Xerrada donada als Dissabtes de les Matemàtiques (2020). Adreçada a estudiants i professors de secundària.

1. SABEM RESOLDRE
EQUACIONS DE TERCER GRAU?
Dissabtes de les Matemàtiques
10 d’abril del 2020
Marc Masdeu
Universitat Autònoma de Barcelona
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

2. 2x ` 7 “ 15
2x “ 15 ´ 7 “ 8
x “ 4
La solució és un nombre natural: N “ t0, 1, 2, 3, 4, . . .u.
2x ` 7 “ 1
x “
1 ´ 7
2
“ ´3
La solució és un nombre enter: Z “ t. . . , ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, . . .u.
2x ` 7 “ 10
2x “ 10 ´ 7 “ 3 ùñ x “
3
2
La solució és un nombre racional: Q “ 2
3 , ´2, 35
11, ´3
7 , . . .
(
.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

3. Equacions quadràtiques
x2
` 2x ´ 5 “ 0
x2
` 2x ´ 5 “ px ` 1q2
´ 1 ´ 5 “ px ` 1q2
´ 6
px ` 1q2
“ 6 ðñ x ` 1 “ ˘
?
6
ðñ x “ ´1 ˘
?
6.
Les solucions no són racionals. Podem pensar que són nombres reals:
R “
"
3
2 , π, e, sinp23q, 3
?
7, ´1 `
?
2,
?
3 ` πe, logp3q
ş5
1
1
?
x7`x`1 , . . . ,
*
.
x2 ` 2x ` 5 “ 0 ðñ px ` 1q2 ` 4 “ 0 ðñ px ` 1q2 “ ´4
Afegim més elements: i “
?
´1 ; C. Aleshores x “ ´1 ˘ 2i.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

4. Clarifiquem
Definim bé el problema
Què volem dir quan diem “resoldre una equació”?
1 Dins de quin conjunt busquem les solucions?
§ Z, Q, R, C, . . . ?
2 Quina mena de resposta busquem?
§ Ens interessa saber si hi ha solució o no?
§ Ens interessa saber quantes solucions hi ha?
§ Volem tenir aproximacions de les solucions?
§ Volem expressions “exactes” de les solucions?
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

5. Un exemple (I): solucions en els racionals
x3
´ x ´ 1 “ 0
En els racionals no hi ha solucions: suposem a
b una fracció reduı̈da.
´a
b
¯3
´
a
b
´ 1 “ 0
a3
´ ab2
´ b3
“ 0
Si b té un divisor primer p, aleshores b “ pc i tenim:
a3
´ ap2
c2
´ p3
c3
“ 0 ùñ a3
“ p2
pac2
` pc3
q
Per tant, a també és múltiple de p, i això no pot ser.
Anàlogament, si a fos múltiple de p aleshores b també, i això no pot ser.
Per tant, les úniques solucions que podrı́em tenir serien x “ 1 o x “ ´1.
Però 13
´ 1 ´ 1 “ ´1 ‰ 0 i p´1q3
´ p´1q ´ 1 “ ´1 ‰ 0.
Conclusió: l’equació no té solucions racionals.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

6. Un exemple (II): solucions en els reals
x3
´ x ´ 1 “ 0
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

7. Un exemple (III): solucions en els complexos
x3
´ x ´ 1 “ 0
Teorema fonamental de l’àlgebra
Tot polinomi de grau n té n solucions‹
en els complexos.
Algoritmes senzills permeten calcular-les amb la precisió que vulguem.
x1 “ 1.3247179572447460259609088544780973407344040569017333645340,
x2,3 “ ´0.662358978622373012980454427239048670367 ˘ 0.562279512062301243899182144909373061497
?
´1.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

8. Un exemple (IV): solucions per radicals
x3
´ x ´ 1 “ 0
1 Fem el canvi x “ u ` v
pu ` vq3
´ pu ` vq ´ 1 “ u3
` 3uvpu ` vq ` v3
´ pu ` vq ´ 1
“ u3
` p3uv ´ 1qpu ` vq ` v3
´ 1.
2 Imposem 3uv ´ 1 “ 0 ðñ v “ 1
3u .
3 Resolem u3
` 1
27u3 ´ 1 “ 0 ðñ 27u6
´ 27u3
` 1 “ 0.
§ ; u3
“ 1
2 ˘
?
69
18 ; u “ 3
b
1
2 ˘
?
69
18 .
4 Obtenim
x “ u `
1
3u
“
3
d
1
2
˘
?
69
18
`
1
3 3
b
1
2 ˘
?
69
18
.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

9. Un exemple (V): solucions algebraiques
x3
´ x ´ 1 “ 0
Podem inventar-nos un nou “sistema de nombres”: afegim un nombre nou
als racionals: τ (només en sabem que τ3
“ τ ` 1).
Aleshores τ3
´ τ ´ 1 “ 0. El “número” τ és una solució!
Tots els nombres s’escriuran com
a ` bτ ` cτ2
.
Per sumar i restar, ho fem aixı́:
p2 ` 3τq ` p1 ´ τ ` 5τ2
q “ 3 ` 2τ ` 5τ2
.
Per multiplicar, fem servir que τ3
“ τ ` 1:
pτ2
`3τqτ2
“ τ4
`3τ3
“ τpτ `1q`3pτ `1q “ τ2
`τ `3τ `3 “ τ2
`4τ `3.
Amb una mica més de feina, també podem dividir: 1{τ “ τ2
´ 1.
La teoria dels nombres algebraics estudia aquests sistemes de nombres.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

10. Equacions cúbiques. Scipione dal Ferro (1515),
Cardano (1539)
x3
` ax2
` bx ` c “ 0
1 Completem el cub (x ÞÑ x ´ a
3 )
; x3
` px ` q “ 0.
2 Fem el canvi x “ u ` v:
pu ` vq3
` ppu ` vq ` q
“ u3
` p3uv ` pqpu ` vq ` v3
` q
3 Imposem que
v “ ´ p
3u ; u3
` v3
` q “ 0.
4 Resolem l’equació u3
´
` p
3u
˘3
` q.
5 Obtenim u3
, i d’aquı́ u “
3
?
u3.
6 Recuperem x “ u ´ p
3u
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

11. Equacions quàrtiques. Ferrari (1540)
x4
` Ax3
` Bx2
` Cx ` D “ 0
1 Completem el quart (x ÞÑ x ´ A
4 ) ; x4
` ax2
` bx ` c “ 0.
2 L’objectiu és factoritzar x4
` ax2
` bx ` c “ px2
` px ` qqpx2
´ px ` c
q q
§ Igualant coeficients, obtenim el sistema:
#
c
q ` q “ a ` p2
c
q ´ q “ b
p
ùñ
#
pc
q ` qq2
“ pa ` p2
q2
pc
q ´ qq2
“ pb
p q2
§ Restem les dues equacions i fem servir la fórmula
pa ` bq2
´ pa ´ bq2
“ 4ab. . .
§ Obtenim 4c “ pa ` p2
q2
´ pb
p q2
ðñ p6
` 2ap4
` pa2
´ 4cqp2
´ b2
“ 0.
§ Trobem p2
(resolent una cúbica).
§ Trobem p “ ˘
a
p2 i q “ 1
2
´
a ` p2
´ b
p
¯
.
3 Resolem les dues quadràtiques per separat.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

12. Equació quı́ntica
Paolo Ruffini Niels Hendrik Abel
Teorema de Ruffini (1799) i Abel (1824)
En general, les solucions d’una equació de grau 5 no es poden escriure només
fent servir `, ´, ˆ, ˜, n
?
.
Per exemple, x5
´ x ´ 1 “ 0 “no és resoluble”.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

13. Equació quı́ntica (II)
Teorema de Ruffini (1799) i Abel (1824)
En general, les solucions d’una equació de grau 5 no es poden escriure només
fent servir `, ´, ˆ, ˜, n
?
.
x5
´ x ´ 1 “ 0
. . . però les solucions me les dona el meu ordinador:
x1 “ 1.1673039782614
x2,3 “ ´0.76488443360059 ˘ 0.35247154603173
a
´1
x4,5 “ 0.18123244446988 ˘ 1.0839541013177
a
´1
I les puc demanar amb tanta precisió com vulgui:
x1 “1.16730397826141868425604589985484218072056037152548903914008
2449275651903429527053180685205049728672895359168995241047936
4512959675087179133695787225571958846714945525435862127109396
8328462644521894157117200000282963198186011226768218564675622
070438598076571691549499360707223188636846275625694963070 . . .
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

14. Equacions
en dues variables
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

15. Equacions en dues variables: lineals
2x ` 3y “ 7
En els enters, totes les solucions són:
t. . . , px “ ´10, y “ 9q, p´7, 7q, p´4, 5q, p´1, 3q, p2, 1q, p5, ´1q, p8, ´3q, . . .u
Per tant, en els naturals només té la solució px “ 2, y “ 1q.
En els racionals (i en els reals,. . . ), per cada x que triem podrem aı̈llar y:
totes les solucions són ˆ
x,
7 ´ 2x
3
˙
A partir d’ara ens centrarem en les solucions racionals.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

16. Equacions quadràtiques
Mirem equacions del tipus
ax2
` bxy ` cy2
` dx ` ey ` f “ 0
De vegades podem fer el mateix que abans:
Per xy ´ 1 “ 0, totes les solucions són px, 1{xq, amb x ‰ 0.
De vegades no hi ha cap solució:
§ x2
` y2
“ ´1 no té cap solució en els reals, i per tant tampoc en els
racionals.
§ x2
` y2
“ 3 tampoc té solucions en els racionals (per què?).
Si té solucions, ens agradaria trobar-les totes.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

17. Un exemple
Volem trobar totes les solucions de x2
` y2
“ 1 amb x, y racionals.
pendent = t
y = t(x + 1)
x
y
P =
1−t2
1+t2 , 2t
1+t2
(−1, 0)
x2
` y2
“ 1
x2
` t2
px ` 1q2
“ 1
x2
`
2t2
1 ` t2
x `
t2
´ 1
1 ` t2
“ 0
px ´ x0qpx ´ x1q “ 0 ùñ x0x1 “
t2
´ 1
1 ` t2
x0 “ ´1 ùñ x1 “
1 ´ t2
1 ` t2
Solucions:
ˆ
1 ´ t2
1 ` t2
,
2t
1 ` t2
˙
, t P Q.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

18. Equacions cúbiques i corbes el·lı́ptiques
ax3
` bx2
y ` cxy2
` dy3
` ex2
` fxy ` gy2
` mx2
` ny ` r “ 0
De vegades no hi ha cap solució: per exemple x3
` 14y3
“ 12.
Entre les que tenen solucions, les interessants són les corbes el·lı́ptiques.
Què és una corba el·lı́ptica?
Una corba el·lı́ptica és una equació E : y2
“ x3
` ax ` b amb 4a3
‰ ´27b2
.
La corba y2
“ x3
´ 108 no té cap solució.
La corba y2
“ x3
´ 27 només té una solució: tpx “ 3, y “ 0qu.
La corba y2
“ x3
` 4 en té dues: tp0, 2q, p0, ´2qu.
La corba y2
“ x3
´ x ` 1 en té infinites:
tp1, 1q, p´1, 1q, p0, 1q, p3, 5q, p5, 11q, p1
4 , 7
8 q, p´11
9 , 17
27 q, . . . , p159
121 , 1861
1331 q, . . .u.
Podem trobar algun patró?
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

19. El mètode de la secant
P
Q
S(P, Q)
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

20. El mètode de la tangent
P
T(P)
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

21. Els teoremes de Mordell i Faltings
Teorema de Mordell (1922)
Hi ha solucions P1, P2, . . . , Pn de manera que totes les
solucions de E es poden obtenir aplicant repetidament
els mètodes de la secant i la tangent.
Hi ha algoritmes que intenten trobar les solucions P1, P2, . . . , Pn.
Els matemàtics “creiem” que aquests algoritmes acaben.
§ Sempre que ho hem provat amb una corba concreta, ha acabat.
Però no ho sabem demostrar.
Teorema de Faltings (1983)
Tota equació‹
en dues variables de grau
almenys 4 té finites solucions.
Avui en dia no sabem ni quantes, ni
com trobar-les.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

22. Exemple: la corba maleı̈da
5x4
`y4
´6x2
y2
`6x3
`26x2
y`10xy2
´10y3
´32x2
´40xy`24y2
`32x´16y “ 0
És fàcil de trobar les solucions p0, 0q, p0, 2q i p1, 1q.
Buscant una mica més, trobem dues solucions més: p1
2 , 1
2 q, i p´3
2 , 3
2 q.
Teorema (Balakrishnan–Dogra–Müller–Tuitman–Vonk, 2019)
No hi ha més solucions.
Annals of Mathematics 189 (2019), 885–944.
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

23. Equacions
en més variables?
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

24. En més variables, hi ha un munt problemes que no
sabem resoldre!
La branca de les matemàtiques que s’ocupa
d’aquests problemes s’anomena
geometria aritmètica.
Animeu-vos-hi!
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

25. Resum
Cal especificar primer què admetem com a solució.
§ La dificultat i del problema pot canviar dràsticament!
“Resoldre” té diferents significats, depenent de per què volem
les solucions.
§ Busquem una fórmula en termes dels coeficients?
§ Ens cal un algoritme que trobi les solucions?
§ Volem treballar algebraicament amb una solució “inventada”?
§ Potser només volem saber si ha zero / finites / infinites solucions?
En una variable, ho sabem gairebé tot.
En dues variables, sabem moltes coses però n’hi ha moltes
que no sabem demostrar.
En més variables, hi ha un món per descobrir!
Sabem resoldre equacions de tercer grau?

26. Moltes
gràcies !
https://www.mat.uab.cat/˜masdeu/
Sabem resoldre equacions de tercer grau?