Đây là 200 Bài tập Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé! ------------------------------------------------------------------------------ Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;) http://megabook.vn/ Chúc các em học tốt! ^^

1. Trang 1
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
x
I dx
x x
2 2
2
1 7 12

 

Dạng 1: Tách phân thức
xxx
ddd
x x
222 222
2

111 777 222 

I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
 
   
  
Câu 1. III xxx
x x2
111 
ddd
x x
222
1
 
  
 x x x
2
116ln 4 9ln 3    III xxx
x x1
111666 999
 111
444 333
  
    xxx xxx 111111666 nnn 444 999lllnnn 333   1 25ln2 16ln3 = xxx
222
lll 111 = 222555lllnnn222 111666lllnnn333
dx
I
x x
2
5 3
1



.
x x
222
5 3
1 

x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
   
 
Câu 2.
dddxxx
III
x x5 3
1


xx x x x3 2 3 2
111 111
( 1) 1
   
 
I x x
x
2
2
21 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 812
 
         
 
 Ta có:
xxx
xx x x x3 2 3 2
111
( 1) 1 
III xxx xxx
x2
222111 111 333 111 333
lllnnn lllnnn((( 111))) lllnnn222 lllnnn555
2 2 2 812
 
         
 
x
I dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6


  


x
222
2 2 2 2 812 
xxx
III dddxxx
x x x
555 222
3 2
4
111
2 5 6


  
 I
2 4 13 7 14
ln ln ln2
3 3 15 6 5
   Câu 3.
x x x3 2
4
333
2 5 6  
444 111 777 111
lllnnn lllnnn222
3 3 15 6 5
 
xdx
I
x
1
0 3
( 1)



 III
222 333 444
lllnnn
3 3 15 6 5
 
ddd
x
111
0 3
( 1)
x x
x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
  
    
 
I x x dx
1 2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
        
Câu 4.
xxx xxx
III
x0 3
( 1)



xxx xxx
xxx xxx
x x
222 333
3 3
((( 111))) ((( 111)))
( 1) ( 1)
 
    
 
ddd
0
111 Ta có:
x x3 3
111 111
( 1) ( 1)
 
 
III xxx xxx xxx
111 222 333
0
111
((( ))) ((( 111)))
888
        
x
I dx
x
2
4
( 1)
(2 1)




Dạng 2: Đổi biến số
III ddd
x
222
4
((( 111
(2 1)



x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .
3 2 1 2 1
    
    
    
Câu 5.
xxx
xxx
x 4
)))
(2 1)

222
111 111
3 2 1 2 1    
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
 
  
 
 Ta có:
xxx xxx
fff xxx
xxx xxx
111
((( ))) ... ...
3 2 1 2 1
    
    
    
xxx
III CCC
x
333
111 111
9 2 1
 
  
 
 
 
x
I dx
x
991
101
0
7 1
2 1





x9 2 1 
 
xxx
III dddxxx
x
101
0
777 111
2 1



 
x dx x x
I d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
       
      
       
 
Câu 6.
 
 x
999999111
101
0 2 1

 
dddxxx xxx xxx
ddd
x x xx
999
2
0 0
2 1 9 2 1 2 12 1
  
       
 
x
x
100
1001 1 7 1 11
2 1
09 100 2 1 900
         
 
x
I dx
x
1
2 2
0
5
( 4)




 
xxx
III
x x xx
999999 999111 111
2
0 0
777 111 111 777 111 777 111
2 1 9 2 1 2 12 1
       
   
       
x
x
100
1001 1 7 1 11
2 1
09 100 2 1 900
         
 
xxx
III dddxxx
x
111
2 2
0
555
( 4)


Câu 7.
x2 2
0 ( 4)
 t x2
4  I
1
8
 Đặt ttt xxx222
444 
111
888
 III 
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2. x
I dx
x
1 7
2 5
0 (1 )



Trang 2
III ddd
x
111 777
2 5
000 ((( 
 t x dt xdx2
1 2   Câu 8.
xxx
xxx
x2 5

111 )))
dddttt222
111
t
I dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1
.
2 4 2

  Đặt ttt xxx xxxdddxxx222   III dddttt
t
222 333
5 5
1
111 ((( 111))) 111 111
2 4 2


I x x dx
1
5 3 6
0
(1 ) 

ttt
t5 5
1
...
2 4 2

ddd
111
0
(((
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
             
 
Câu 9. III xxx xxx xxx555 333 666
0
111 ))) 
ttt ttt ttt
ttt ddd
x
111 777 888
333 222 666
2
0
111 111
111 333 111 )))
3 3 7 8 1683

             
 
I dx
x x
4
3
4
1
1
( 1)



 Đặt
ddd
ttt xxx dddttt xxx dddxxx dddxxx III ttt ttt
x2
0
111
(((
3 3 7 8 1683
 
 
III dddxxx
x x
444
4
1
111
( 1)


 t x2
Câu 10.
x x
333
4
1 ( 1)
222 t
I dt
t t
3
2
1
1 1 1 3
ln
2 4 21
 
   
 
 Đặt ttt xxx
ttt
III ddd
t t2
1
111
lllnnn
2 4 21
  
 
dx
I
x x
2
10 2
1 .( 1)



 ttt
t t
333
2
1
111 111 333
2 4 21
 
 
 

xxx
III
x x10 2
...((( 111)))


x dx
I
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)


Câu 11.
ddd
x x
222
10 2
111 

ddd
x x
444
5 10 2
1 .( 1)
 t x5

xxx xxx
III
x x
222
5 10 2
1
...
.( 1)


555 dt
I
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)


. Đặt ttt xxx
ttt
III
t t
333222
2 2
1
111

555 ((( 111)))
x
I dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )





ddd
t t2 2
1 

xxx
ddd
x x
222 777
7
1 (1 )

x x
I dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )



Câu 12. III xxx
x x7
1
111
(1 )



xxx xxx
x x
222 777 666
7 7
1
111
.(1 )
 t x7
 III dddxxx
x x7 7
1
((( )))...
.(1 )



777 t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )


. Đặt ttt xxx
ttt
III dddttt
t t
111 888
1
111 111
7 (1 )



dx
I
x x
3
6 2
1 (1 )




t t
222
1
7 (1 )
dddxxx
III
x x
333
6 2
111 )))



x
t
1

Câu 13.
x x6 2
111 ((( 
111 t
I dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
1
1
1 1
 
      
  
  Đặt : xxx
ttt
 III ddd dddttt
t t
333
111666333
444 222
2 2
1 3
3
111
111
1 1
 
     
  
117 41 3
135 12


ttt
ttt ttt ttt
t t2 2
1 3
3
1 1

  
 
111 444
135 12


x
I dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )



=
111 777 111 333
135 12
xxx
dddxxx
x
222 000000111
2 1002
1 (1 )
x
I dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1
. .
(1 ) 1
1
 
  
 
 
 
Câu 14. III
x
222
2 1002
1
...
(1 )



xxx
III ddd xxx
x x
x
x
222 222444
3 2 1002 1002
1 1 3
2
... ...
(1 ) 1
1
  
 
 
  t dt dx
x x2 3
1 2
1     xxx ddd
x x
x
x
222000000
3 2 1002 1002
1 1 3
2
111
(1 ) 1
1
 
  
 
 
ttt dddttt dddxxx
x x2 3
111 222
    . Đặt
x x2 3
111
x xdx
I
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )

 

.
xxx xxxdddxxx
III
x x
111 000
2 2000 2 2
0
111
222 (((111 ))) (((111 ))) 
Cách 2: Ta có:
x x
222000 000
2 2000 2 2
0
...222

 
t x dt xdx2
1 2   
t
I dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1 1
2 2 2002.2
   
       
   
 
. Đặt ttt xxx dddttt xxxdddxxx222
111 222   
ttt
III ddd
t tt t
000000
1000 2 1001
1 1
((( ))) 111 111 111
111 111
2 2 2002.2

       
   
x
I dx
x
2 2
4
1
1
1




 ttt ddd
t tt t
111 000000222 222111 000000
1000 2 1001
1 1
111 111 111
2 2 2002.2
  
   
 
xxx
III dddxxx
x
222
4
1
111
1



Câu 15.
x
222
4
11
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3. x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11



 
Trang 3
xxx xxx
x x
x
222
4
2
2
111
111
111
11



 
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có:
x x
x
222
4
2
2
11 
t x dt dx
222
1 1
1
 
     

dt
I dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
 
   
   
 
t
t
3
1 2 1 2 1
.ln ln2
2 2 2 2 2 2 11
  
   
   
. Đặt t x dt dx
xxx xxx
1 1
1
 
     


dt
I dt
3 3
2 2
111 111
1 1 1 
    
t
3
1 2 1 2 1
.ln ln2
222 222 111
  
 
 
x
I dx
x
2 2
4
1
1
1





dt
I dt
ttt tttttt
3 3
2 2
222
1 1 1
222 222 222 222222
 
   
   
 
t
ttt
3
1 2 1 2 1
.ln ln2
222 222 222 222111
  
 
   
x
I dx
2 2
1
111




x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11



 
Câu 16.
x
I dx
xxx
2 2
444
111
1
 
xxx xxx
x x
x
222
4
2
2
111
111
111
11



 
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có:
x x
x
222
4
2
2
11 
t x dt dx
xxx 222
1 1
1
 
     
dt
I
t
5
2
2
2 2
 

. Đặt t x dt dx
xxx
1 1
1
 
     
 
dt
I
5
2
 
2 2

dt
I
ttt
5
2
222
 
2 2

du
t u dt
u2
2tan 2
cos
  
.
uuu
ttt uuu dddttt
u2
222 aaannn 222
cos
   u u u u1 2
5 5
tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
     Đặt
ddd
u2
ttt
cos
111 222aaarrr aaa ttt aaarrr
2 2
u
u
I d u u u
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan2
2 2 2 2
 
     
 

; uuu uuu uuu uuu
555 555
tttaaannn 222 cccttt nnn222;;; aaannn ccctttaaannn
2 2
     
u
222
ddduuu uuu uuu
1
222 222 222 555
aaarrrccc aaarrrccc
2 2 2 2 
x
I dx
x x
2 2
3
1
1




uuu
u
III
1
222 111((( ))) tttaaannn tttaaannn222
2 2 2 2
 
     
 

ddd
x x3
1 
 xI dx
x
x
2 2
1
1
1
1



Câu 17.
xxx
III xxx
x x
222 222
3
1
111


dddxxx
x
x
222 222
1
1

t x
x
1
  Ta có: xxxIII
x
x
1
111
111
1



 xxx
xxx
111
. Đặt ttt   I
4
ln
5

x
I dx
x
1 4
6
0
1
1




 III
444
lllnnn
555

xxx
III ddd
x
111
6
0
111
1



x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
     
    
       
Câu 18. xxx
x
444
6
0 1

xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
x x x x x x x x
444
6 6 2 4 2 6 2 6
111 ((( 111))) 111 111
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
     
    
       
d x
I dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
.
3 4 3 4 31 ( ) 1
  
    
 
 
 Ta có:
x x x x x x x x
444 222 222 444 222 222 222
6 6 2 4 2 6 2 6
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1       
d x
I dx dx
1 1 3
1 1 ( ) 1
.
  
     
x
I dx
x
3
23
4
0 1




d x
I dx dx
xxx xxx
1 1 3
222 333 222
000 000
1 1 ( ) 1
.
333 444 333 444 333111 ((( ))) 111
  
    
 
 
xxx
III dddxxx
x
333
222333
4

000 111

x
I dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
 
      
    
 
Câu 19.
x4

xxx dddxxx
x x x x
333 333
222333 333
2 2 2 2
0 0
111
lllnnn(((222
2 4 12( 1)( 1) 1 1


    

xdx
I
x x
1
4 2
0 1

 


xxx
III ddd
x x x x2 2 2 2
0 0
111 111 111
333)))
2 4 12( 1)( 1) 1 1

     
    

dddxxx
x x
111
4 2
000

 
Câu 20.
xxx
III
x x4 2
111 
 t x2

dt dt
I
t t
t
1 1
2 22
0 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2

  
    
    
   
 .  Đặt ttt xxx222

ttt dddttt
III
t t
t
111 111
2 22
0 0
111 111
2 2 6 31 1 3
2 2

  
    
    
   
 
ddd
t t
t
2 22
0 0
2 2 6 31 1 3
2 2
    
    
   
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4. x
I dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1



 

Trang 4
dddxxx
x x
222
4 2

1 1 
x x
x x x
x
2 2
4 2
2
2
1
1
1
11 1



   
Câu 21.
xxx
III
x x
111 555
222
4 2
1
111
1


 

x x x
x
222 222
4 2
2
2
111
111
11 1

   
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có:
xxx xxx
x x x
x
4 2
2
2
111
11 1


   
t x dt dx
222
1 1
1
 
     

dt
I
t
1
2
0 1



. Đặt t x dt dx
xxx xxx
1 1
1
 
     


dt
I
1
222

0 1

du
t u dt
u2
tan
cos
  
dt
I
ttt
1

0 1
 ttt uuu ttt
u2
ttt
cos
 I du
4
0
4


 . Đặt
ddduuu
ddd
u2
aaannn
cos
  ddd
0
4

 III uuu
444
0
4

 
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
x
I dx
x x2
3 9 1

 

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
xxx
III ddd
x x2
3 9 1

 
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
      
 
   
Câu 22. xxx
x x2
3 9 1 

xxx
III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
x x2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
      
 

I x dx x C2 3
1 13  
 ddd ddd ddd ddd
x x
222 222 222
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1 
  
III xxx xxx111 111333   I x x dx2
2 9 1  x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 1
9 1 (9 1) (9 1)
18 27
     + xxx ddd CCC222 333
 III xxx xxx xxx222   xxx ddd xxx xxx CCC
111 111
999 111 (((999 ))) 999 111)))
18 27
     
I x x C
3
2 321
(9 1)
27
   
+ ddd222
999 111
333
222 222 222 222
222111 (((
18 27
III xxx
111
999 111)))
27
  
x x
I dx
x x
2
1




 xxx CCC
333
222 333222(((
27

xxx
III dddxxx
x x1



x x
dx
x x
2
1



x x
dx dx
x x x x
2
1 1
 
 
 
Câu 23.
xxx
x x
222
1

xxx
xxx
x x1


xxx xxx
dddxxx xxx
x x x x1 1
 
 

xxx
ddd
x x
222
1
 ddd
x x x x
222
1 1 
 
x
I dx
x x
2
1
1



.
xxx
III xxx
x x111


x x t x x2
1 1    x t3 2 2
( 1)   x dx t t dt2 24
( 1)
3
  + ddd
x x
222
111

 xxx xxx ttt xxx xxx111 111    333 222 222 222 222
3
t dt t t C2 34 4 4
( 1)
3 9 3
   
. Đặt t= 222
xxx ttt((( 111)))   xxx dddxxx ttt ttt dddttt
444
((( 111)))
3
  
ddd ttt
3 9 3  x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
    ttt ttt ttt CCC222 333444 444 444
((( 111)))
3 9 3
     xxx xxx xxx CCC
333
111
9 3
x
I d x
x x
2
1



= xxx
444 444
111 111
9 3
   
xxx
III dddxxx
x x111


d x x
x x
2 (1 )
3 1


+
x x
222


ddd
x x
222 (((111 )))
3 1


x x C2
4
1
3
 =
xxx xxx
x x3 1
 222
3
 
 I x x C
3
4
1
9
  
= xxx xxx CCC
444
111
3
 
 I x x C
3
4
1  
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1


 

Vậy:  I x x C
3
4
1
999
  
xxx
III dddxxx
x
444
01 2 1 
 t x2 1 Câu 24.
x0
222 111
1 2 1


 
ttt xxx
t
dt
t
3 2
1
2 ln2
1
 
 Đặt 222 111 
ttt
dddttt
t
333 222
1
222 lllnnn222
1
 

. I =
t1
1
 
 .
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5. dx
I
x x
6
2 2 1 4 1

  

Trang 5
III
x x
666
222   
 t x4 1 Câu 25.
dddxxx
x x

222 111 444 111  
  Đặt ttt xxx444 111 I
3 1
ln
2 12
 
I x x dx
1
3 2
0
1 
. III
333 111
 lllnnn
222 111222

ddd
111
333 222
0
t x2
1 Câu 26. III xxx xxx xxx
0
111  ttt 111   I t t dt
1
2 4
0
2
15
   Đặt: xxx222
ttt ddd
111
222 444
0
222
15
III ttt ttt  
0
15
 
x
I dx
x
1
0
1
1




.
xxx
III dddxxx
x
111
0
111
1



t x
Câu 27.
x01

xxx dx t dt2 . Đặt ttt  ddd ddd...
t t
dt
t
1 3
0
2
1

 xxx ttt ttt222
t
111 333
0
 t t dt
t
1
2
0
2
2 2
1
 
   
 . I =
ttt ttt
dddttt
t0
222
111


ddd
t
111
222
0

 
11
4ln2
3
= ttt ttt ttt
t0
222
222 222
111
 
   
  3
=
111111
444lllnnn222
3

x
I dx
x x
3
0
3
3 1 3


  

.
ddd
x x
333
0 3 1 3  

t x tdu dx1 2   
Câu 28.
xxx
III xxx
x x0
333
3 1 3


  
ttt xxx tttddduuu xxx111 222   
t t
I dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
13 2

   
 
  
3
3 6ln
2
   Đặt ddd
ttt ttt
III dddttt ttt dddttt dddttt
tt t
222 222 222
2
1 1 1
222 888 111
((( 666 666
1113 2

   
 
 
333
 333 666lllnnn
222
 
I x x dx
0
3
1
. 1

 

tt t
333
2
1 1 1
222 )))
3 2 

ddd
000
333
1
...


t t
t x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
9
1 1 3 3( 1) 3
7 4 28
 
              
 
Câu 29. III xxx xxx xxx
1
111

 
ttt ttt
ttt xxx ttt xxx dddxxx ttt dddttt III ttt ttt
00
999
111 111 333 333((( 111))) 333
777 444 888
 
              
 
x
I dx
x x
5 2
1
1
3 1




 Đặt ddd
111
111 777 444
333 222 333333
00
222 
xxx
III dddxxx
x x
555 222
1
111
3 1



tdt
t x dx
2
3 1
3
   
Câu 30.
x x1 3 1

ttt
xxx dddxxx
222
 333 111
333
 
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3 2
.
31
.
3
 
 
 
 


dt
t dt
t
4 4
2
2
2 2
2
( 1) 2
9 1
  

 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 52 2
  
     
 
 Đặt
tttddd
ttt 
ttt
tttdddttt
III
t
t
2
2
111
111
333 222
...
3331
.
3
 

 


ddd
t
444 444
222
2
2 2
222
)))
999 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 52 2
  
     
 
x x
I dx
x
3 2
0
2 1
1
 




t
t
222
222
444
2
2 1
.
3
 


ttt
ttt dddttt
t2
2 2
((( 111 222
111
 

 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 52 2
  
     
 
x x
I dx
xxx
3 2
000
2 1
111
 



x t x t2
1 1    
Câu 31.
x x
I dx
3 2
2 1 
 
222
dx tdt2 Đặt xxx ttt xxx ttt111 111     dddxxx tttdddttt222
t t t
I tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
    
      
  

ttt
III tttddd ttt ttt dddttt ttt
t
222
222 555
11 1
((( 111 555
222 222 222 333 ))) 222
5 5
     
 
ttt ttt
ttt
t
222 222222 222
444 222 333
11 1
222 ))) ((( 111))) 111 444 444
(((
5 5
    

 
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6. x dx
I
x x
1 2
0
2
( 1) 1

 

Trang 6
xxx dddxxx
III
x x
111
0
222
( 1) 1

 
t x t x tdt dx2
1 1 2      
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
   
         
    
Câu 32.
x x
222
0 ( 1) 1 

ttt ddd222
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
   
         
    
 
x
I dx
x
4
2
0
1
1 1 2


 

 Đặt ttt xxx ttt xxx dddttt xxx111 111 222      
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
   
         
    
 
ddd
x
2
0 1 1 2 
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
       

Câu 33.
 
xxx
III xxx
x
444
2
0
111
1 1 2


 

ddd
ddd ttt
x
111 ((( 111)))
1 2
t t
x
2
2
2

 Đặt
xxx
ttt xxx ttt dddxxx ttt ddd
x
111 222
1 2
       

xxx
222
222
2
t t t t t t
dt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
      
     
 
  
và
ttt ttt
2


ttt ttt ttt ttt ttt ttt
ttt dddttt ttt dddttt
tt t t
222
2 2 2
2 2 2
111 ((( 222 222)))((( 111))) 111 333 444 222 111 444 222
333
2 2 2
      
     
 
t
t t
t
2
1 2
3 4ln
2 2
 
   
 
 
Ta có: I = ddd
tt t t
444 444 444333 222
2 2 2
2 2 2
2 2 2  
  
ttt
222
333 lllnnn
2 2
   
 
=
ttt
ttt
ttt
111 222
444
2 2
 
 
1
2ln2
4

x
I dx
x
8
2
3
1
1




=
111
222lllnnn222
444

III dddxxx
x2

3 1
x
I dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
 
   
  

Câu 34.
xxx
x
888
2
3
111
1



x x2 2
3 1 1
 
  
  x x x
8
2 2
3
1 ln 1
 
    
xxx
III dddxxx
x x
888
2 2
3
111
1 1
 
 
  
 
888
222 222
3
   1 ln 3 2 ln 8 3   = xxx xxx xxx 3
111 lllnnn 111
 
        111 lllnnn 333 222 nnn 888 333  
I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2  
= lll
III xxx xxx xxx dddxxx
111
333 222
0
  
I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)        
Câu 35.
0
((( 111))) 222
ddd ddd
111 111
333 222 222 222
0 0
((( ))) 222 ((( 222 ))) 222 ((( )))  t x x2
2  III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
0 0
111 111 111        ttt xxx xxx222  I
2
15
 . Đặt 222
15
 III
222
15
 
x x x
I dx
x x
2 3 2
2
0
2 3
1
 

 

.
xxx xxx xxx
III dddxxx
x x2
0
222 333
1
 

 
x x x
I dx
x x
2 2
2
0
( )(2 1)
1
 

 

Câu 36.
x x
222 333 222
2
0 1 

xxx xxx xxx
III xxx
x x
222
2
0
((( )))222 111)))
1
 

 
t x x2
1   I t dt
3
2
1
4
2 ( 1)
3
    ddd
x x
222
2
0
(((
1 
 ttt xxx xxx 111   III ttt dddttt
1
444
222 ((( )))
333
   . Đặt 222
333
222
1
111
x dx
I
x
2 3
3 2
0 4



.
ddd
x
3 2
0 4
t x x t xdx t dt
3 2 2 3 2
4 4 2 3      
Câu 37.
xxx xxx
III
x
222 333
3 2
0 4



ttt xxx xxx ttt dddxxx ttt ttt444 444 222 333       I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5
 
     
 
 Đặt xxx ddd
333 222 222 333 222
III ddd
3
4
333
(((
2 2 5
 
    
 

dx
I
x x
1
2
11 1

  

 ttt ttt ttt
3
222
444 333
4
333 888
444 ))) 444 222
2 2 5
 
 
ddd
x x
111
2
11 1   
Câu 38.
xxx
III
x x2
11 1

  

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7. x x x x
I dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 ) 
     
 
  
 
x
dx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 1
1
2 2 
  
   
 
 
I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2 

 
        
 

x
I dx
x
1 2
2
1
1
2

 
Trang 7
xxx xxx xxx xxx
xxx xxx
222 222
111 111
111 111 111 111
((( 


xxx
dddxxx xxx
111
111 111
111 111
111
 
 
  
xxx111
222 222 
x
I dx
x
111 222
222
1
1
2

  t x t x tdt xdx2 2 2
1 1 2 2      
 Ta có: d d
xx x
111 222
2 2
1 1
2(1 ) (1 )   
ddd
x x
111 222
1 1
2 2  

ddd
xxx
111
111
111
111
222 222 
  

III
xxx
1 2
2
222

tttdddttt ddd111 111 222
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)



+ xxx xxx xxx
111 111 111
nnn |||

    
xxx
dddxxx
111
111

  ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222
222     
2
t dt2
0


I 1
+ tttdddttt ddd111 111 222
ttt222
222 ((( )))
III 
. Đặt ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222
222     
dddttt
000
222 111

111
t x x2
1  
 I2=
ttt222 222

t x x2
1  
Vậy: 111
xxx xxx222
111
 x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3

 
.
ttt xxx 
xxx
III
xxx
1
3 31 
 I dx
x x
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .
 
  
 

Cách 2: Đặt

444
111
333
 III dddxxx
111
111
333
222 333
333
111 111
  t
x2
1
1 
.
xxx
dddxxx
111
111 ...
 
 
 
t
xxx
1
1  I 6Câu 39.
111
333 333111
III dddxxx
xxx xxx
111
111
333111 111
  222
111
111 III Ta có: 111 ...
 
 
xxx

x
I dx
x
2 2
1
4
 
. Đặt ttt  666
x
I dxxx
x
2
1
4
 
x
I xdx
x
2 2
2
1
4
 

xxx
xxx
222
111
444
 
III xxxdddxxx

x t x tdt xdx2 2 2
4 4      
.
III ddd
xxx
222 222
xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444      
t tdt t t
dt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
24 4 4
  
     
    
  
Câu 40.
222
xxx
x xxx
222
111
444
  ttt222 222 222
ttt
000000 2
222 222 222
333333 333
((( )))
( ))) lll
222444
 
  
  
2 3
3 ln
2 3
 
  
  
 Ta có:
222 222
xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444      
ttt
ttt
000 000
333
444 222
444 444

  
 
  
222 333
333 lllnnn
222 333
 



x
I dx
x x
2 5
2 2
2 ( 1) 5

 

. Đặt t = ttt222 222 222
tttdddttt ttt ttt
dddttt dddttt ttt
ttt ttt
111 nnn  

xxx
xxx x222 ((( )))

 
t x2
5 
 I =
222
(((
222 333
333 lllnnn
 

 
ddd ttt xxx 555 
dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
4 74
 


=  
III xxx
222 555
111

222 dt
I
ttt
5
222
333
1 15
ln
444 777
 Câu 41.
x
I dx
xxx
2 5
222 222
555
  ttt xxx 555  III
444


x
I dx
x x
27
3 2
1
2



 Đặt
222 ddd555
111

x
I dx
x x
2
3 2
1
2



ttt 111 555
lllnnn
xxx
7
222


t x6

t t
I dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1
 
     
   
 
2 5
5 3 1 ln
3 12
 
    
 
.
xxx
III dddxxx
222
333 222
111


ttt 
ttt ttt
III dddttt ttt
t ttt222 222
111 111
222 222 222 111
555 555 111
) 111 111

     
  
 
222
lll
333 111

I dx
x x
1
2
0
1
1

 

Câu 42.
xxx
777

xxx666
ddd
tttttt ttt
333 333333
((( )))


555
555 333 111 nnn
222

    
III
xxx000
111



t x x x2
1   
 Đặt ttt 
ttt ttt
III dddttt ttt
ttt222
222 222 222 111
555 555 111
111

      
222
lll
333 111

 
x x x  
dt
I t
t
1 3
1 3
1
1
2 3 2 3
ln(2 1) ln
2 1 3

 
   

 ddd
333 333333
 555
555 333 111 nnn
222

    
dddxxx
xxx
111
111
x x222
 
dddttt
III ttt
ttt 1
111
222 333 222 333
lllnnn(((222 111))) lllnnn
222

   

x
I dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )

   

Câu 43. I dx
xxx
1
222
1



ttt xxx 111 
111 333
111 333
111 333



xxx
222
222
))) 
 Đặt xxx xxx222 dddttt
III ttt
111
222 333 222 333
lllnnn(((222 111))) lllnnn

   
xxx
III xxx
111
 
x t2 1   I t dt
t t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
 
       
 


111 333
111 333



ddd
xxx
333
222
000 (((   
x t2 1   t dt
ttt ttt
444
333
42 36 4
2 16 12 42llln
3

      


Câu 44.
xxx
III xxx
111 (((222 111 )))

III
222

 Đặt xxx ttt222 111 ddd
333
111 111 444 ttt ttt
444222 666 444
222 666 222 222 nnn
333


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8. x
I dx
x x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1

    

Trang 8
ddd
x x x x
333 222
000 111 111    

t x 1 
Câu 45.
xxx
III xxx
x x x x

222((( ))) 222 111    
 
t t dt
I t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1)
2 ( 1)
( 1)

  

  t
2
3
1
2 2
( 1)
3 3
   Đặt ttt xxx 111
ddd
ttt dddttt
t t
222 222222 222
2
1 1
)))
111
( 1)
  ttt
1
((( 111
3 3
x x x
I d x
x
32 2 3
4
1
2011 
 

ttt ttt ttt
III
t t
222
2
1 1
222 ((( 111
222 ((( )))
( 1)

  

222
333
1
222 222
)))
3 3
  
xxx xxx xxx
III dddxxx
x
222 222
4
1
222000 111 
 
xI dx dx M N
x x
3
2 2 2 22
3 3
1 1
1
1
2011

    
xM dx
x
3
2 2 2
3
1
1
1
 
Câu 46.
x
333 333
4
1
111
xxx ddd ddd
x x3 3
1 1
222000111
xM dx
x
3
2 2 2
3
1
1
1
  t
x
3
2
1
1 
 Ta có: III xxx xxx MMM NNN
x x
333
222 222 222 222222
3 3
1 1
111
111
111

    
xM dx
x
3
2 2 2
3
1
1
1
  t 3
2
1
1  M t dt
3
7
32
3
0
3 21 7
2 128

   
N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 14077
2011
162
  
     
 
 
. Đặt t
xxx
3
2
1
1  ddd
777
333222
333
0
222
2 128


N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 14077
2011
162
  
     
 
 
I
3
14077 21 7
16 128
 
 MMM ttt ttt
333
0
333 111 777
2 128
   
N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 14077
2011
162
  
     
 
 
I
3
14077 21 7
111 111222
  I
3
14077 21 7
666 888
 
dx
I
x x
1
33 3
0 (1 ). 1

 

.
xxx
III
x x
33 3
0 (1 ). 1

 

t x
3 3
1 
Câu 47.
ddd
x x
111
33 3
0 (1 ). 1 
ttt 111 
t dt
I dt
t t t t
3 3
2 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
 
 
 
dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 342 3
33
1
1
11
1. 1

 
 
   
    
    
   
  
 Đặt xxx
333 333 dddttt
dddttt
t t t t
222 222222
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1) 
dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 342 3
33
1
1
11
1. 1

 
 
   
    
    
   
  
dt
u du
t t3 4
1 3
1   

ttt
III
t t t t
333 333
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
 
 
 
dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 342 3
33
1
1
11
1. 1

 
 
   
    
    
   
  
dt
u du
ttt ttt
1 3
1   
u u
I du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0
0
0
1 1 1
13 3 3 2
3


 
 
     
  
 
 Đặt
dt
u du
333 444
1 3
1   
uuu uuu
III ddduuu uuu uuu uuu
3
0 0
0
0
111 111 111
13 3 3 2
3
 
 
     
 
 
x
I dx
x x
x
2 2 4
23
1
1

 
  
 

 ddd
111
111111 111222 111 222
222 111 222222 222333 333
333 333
3
0 0
0
0
13 3 3 2
3


 
 
 
xxx
III dddxxx
x x
x
222 222
2

333
111
111
 
  
 
Câu 48.
x x
x
444
2 
  
 
t x2
1  Đặt ttt xxx222
111 
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9. t
I dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2




t t
dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4 4 22 2
   
     
    
  
Trang 9
333 222
ttt
222 222
222 222 222
999
 x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1
      

 ttt
t2
2
111
2


 ttt ttt ttt ttt
ttt ttt
333 333 333
222 222
222 222 222
111 222 444
lllnnn
333 444 444 222222 222
 

   
x
III x x x
1
000
1
222 ln 1
111
    
x
H dx
x
1
0
1
1




= ddd
222
222111 111
    
 
xxx  
HHH dx
xxx
111
111
x t tcos ; 0;
2
 
  
 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
ddd
111
ooo 000;

H 2
2

 
Câu 49.
xxx
xxx xxx xxx
111
111
lllnnn 111
 
 
xxx
dddxxx
000

  xxx ttt tttccc sss ;;; ;
222

   H 2
2

 
K x x dx
1
0
2 ln(1 ) 
 Tính
111
ooo 000

 
222
222

 
K x x dx
1
0
2 ln(1 ) 
u x
dv xdx
ln(1 )
2
  


. Đặt xxx ttt tttccc sss ;;; ;;;
222

   HHH
111
000
222 lll ))) 
(((
K
1
2


KKK xxx xxx dddxxxnnn(((111
uuu xxxlllnnn 111 )))  


K
1
2

I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

  
 Tính
d
ddd
dd
v
vvvvv
xxx
xxx
(((
222
111
222
x x xdx
2
5 2 2
2
)4

  
x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

 
. Đặt
uuu xxx
dddxxx
lllnnn 111 )))  


KKK 
I x x x x222 222
222
( ) 4

  
x
222
222
((( ))) 444

x x dx
2
5 2
2
4



ddd
222
555
xxx x dx222 2
) 4 
222
xxx xxx dx555 222
222
444

 x x dx
2
2 2
2
4


Câu 50. III xxx xxx xxx xxx((( ))) 444 
555
xxx xxx ddd222
dx
2
x x dx2 2
222
4

 I = xxx xxx 
222
xxx xxx dddxxx555 222
444
222
dx222 222
444
x x dx
2
5 2
2
4


=  xxx xxx dddxxx
2
x x x5 2
2
 t x 
+
d222
222
4 
= A + B.
222
xxx xxx xxx555

 ttt xxx
x x dx
2
2 2
2
4


444 + Tính A = ddd
2
x x d x2 2
2
 x t2sin
. Đặt ttt xxx
222
222 222
222
 xxx tttiiinnn
. Tính được: A = 0.
xxx xxx dddxxx 222sss 2+ Tính B = 444 xxx tttiiinnn 222
I 2
. Đặt 222sss
I 2
. Tính được: B =
222
 x dx
I
x
2 2
4
1
3 4
2
 
 
.
III
x x
I
2 2
3 4 
 
x
I dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2

  
Vậy:
 ddd
xxx444
111 222
xxx
4 4
111 111
333 444
222 222

.
xxx
222 222 222

I1
Câu 51.
xxx xxx
III
222 222
333 444 

III dddxxx dddxxx
444 444

111 dx
x
2
4
1
3
2

 Ta có:
xxx
222 222 222

III xxx
222
444 x dx
2
4
1
3 7
2 16


.
ddd
xxx
333
222
2
x dx4
111
3 7
+ Tính xxx
222
111

222
444
222 666
x
I d x
x
2 2
2 4
1
4
2

 
= ddd
333
111

x
I dx
x1
4
2

  x t dx tdt2sin 2cos  
= xxx dddxxx
333 777
666

xxx
ddd
xxx111
444
222

  xxx dddxxx ttt tttsssiiinnn 222ccc sss  
.
III xxx ttt ddd222 ooo+ Tính
222 222
222 444
xxx dddxxx ttt tttsssiiinnn 222ccc sss  . Đặt ttt ddd222 ooo .
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10. tdt
I t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
  
  
 
     
 
  
 I
1
7 2 3
16
 
Trang 10
tttddd
ddd ttt
ttt
666 666 666
ooo
ooo ccc
888 888 888 888iiinnn iiinnn  
666
x dx
I
x
1 2
6
0 4




ttt
III ttt ttt ttt ddd
t t
222222 222 222
222 222
222 444 222
6 6 6
111 ccc sss 111 111 111 333
ccc ttt ooottt ... (((cccooottt )))
8 8 8 8sin sin
  
  
 
     
 
  
III
111666
x x
I
1 2
 
t x dt x dx3 2
3  
Vậy:  111
777 222 333
xxx666
000 444
ttt xxx
dt
I
t
1
2
0
1
3 4



.
ddd
dddxxx333 III
444

Câu 52.
xxx xxx
III
111 222
 
ttt xxx dddttt xxx dddxxx333 222
 
dddttt
ttt
111
111

t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2
 
     
 Đặt 333 III
2
22222000
333 

t u u dt udu2sin , 0; 2c s
2
 
     
I dt
6
0
1
3 18


 

dddttt111
111

222 ,,, 000 222 sss
222
 
     
III ttt


.
ttt uuu uuu dddttt uuuddduuusssiii nnn ;;; ccc ddd
666
111
 
x
I dx
x
2
0
2
2



Đặt ooo dddttt
666
000
111
333 111888


 
 x t dx tdt2cos 2sin   
 III 
xxx
III
xxx
222
000
222
222



xxx ttt dddxxx ttt ttt222cccsss 222 iiinnn   
t
I dt
2
2
0
4 sin 2
2

  
.
dddxxx dddooo sss
t
I dt
2
2
4 sin 2

  Câu 53.  xxx ttt dddxxx ttt ttt222cccsss 222 iiinnn   
t
t
000
x dx
I
x x
1 2
2
0 3 2

 

 Đặt dddooo sss III dddsss
222

 
x dx
I
x x2
0 3 2

 
x dx
I
x
1 2
2 2
0 2 ( 1)

 


ttt
ttt
222
222
444 iiinnn 222
222
 
III
xxx222
000 333 222

 
222 222
000 222 ((( ) 
 x t1 2cos 
.
xxx dddxxx
xxx
xxx xxx
III
111 222
 xxx ttt111 222ccc sss 
Câu 54.
111 222

ddd
xxx 111
ooo
t t
I dt
t
22
2
2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )



 


 Ta có:
xxx xxx
III
111 222
)))
 xxx ttt111 222ccc sss 
t t
I dddt
t
22
2
2
3
(1 2s ) 2 in
4 (2cos )



 

 t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2


 
. Đặt ooo
dddttt
ttt
222222
222
222
333
((( 222 ))) 222 iiinnn
444 ((( )))



  ttt dddttt
222
333
cccooosss

3 3
4
2 2

 
.
ttt ttt
III
111 sss
222cccooosss
 ttt
222
333 444cccooosss 222 222

 
 3 3
4 
x x dx
1
2
2
0
1 2 1 
 ddd
cccooo sss

 ttt dddttt
222
333
cccooosss

333 333
222 222
 
x dx
0
1 2 1 x tsin
=  ttt333 444cccooosss 222 222 

444
000
111 222 111 xxx tttsssiiinnn I t t tdt
6
0
3 1
(cos sin )cos
12 8 8


    
=
xxx dddxxx I t t tdt
6
000
3 1
(cos sin )cos
12 8 8


    Câu 55. xxx
111
222
222
 xxx tttsssiiinnn ttt )))s
222 888
 
I x dx
3
2
2
1 
 Đặt tttdddtttooo nnn cccsss
111

I d
3
2
1 
 III ttt
666
333 111
(((ccc sss sssiii ooo
888

  
333
222
111 
Dạng 3: Tích phân từng phần
III dddCâu 56. xxx xxx222
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11. x
du dxu x
xdv dx
v x
2
21
1

        
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
 
        
   
 
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
   

  I x x2 3
2
5 2 ln 1    
Trang 11
xxx
ddd dddxxxxxx
dv dx
v x
222111

    
  
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
 
        
   
 
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
   

  I x x2 3
2
5 2 ln 1    
 I
5 2 1
ln 2 1 ln2
2 4
   
 Đặt
uuuuuu
xxxdv dx
v x
222
111

  
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
 
        
   
 
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
   

  I x x2 3
2
5 2 ln 1    
 I
5 2 1
ln 2 1 ln2
222
   
x
t
1
cos

  I
5 2 1
ln 2 1 ln2
444
   
tttcos
  2;3 1;1   Chú ý: Không được dùng phép đổi biến xxx
111
cos
;;;333 111;;;  vì  222 111
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12. Trang 12
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
x x
I dx
x x
2
8cos sin2 3
sin cos
 


Dạng 1: Biến đổi lượng giác
xxx xxx
III xxx
x x
222
888cccsss sssiiinnn222 333
sin cos
 


 x x x
I dx x x x x dx
x x
2
(sin cos ) 4cos2
sin cos 4(sin cos
sin cos
 
       
x x C3cos 5sin  
Câu 57. ddd
x x
ooo
sin cos
xxx xxx
III dddxxx xxx xxx xxx xxx xxx
x x
222
iiinnn cccooosss ))) 444cccooo222
sssiiinnn cccooosss sssiiinnn sss
sin cos

      
x x C3cos 5sin  
  xxx
ddd
x x
(((sss sss
444((( cccooo
sin cos

  
x x C3cos 5sin  
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin4
 
 
.
ddd
x
ooo tttaaa tttaaa
sin4
x x x x
I dx dx dx C
x x xx2
2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
sin4 sin4 2sin4sin 4

       
Câu 58.
xxx xxx xxx
III xxx
x
ccc ttt nnn 222 nnn222
sin4
 

xxx
III ddd ddd dddxxx
x x xx2
222cccooo tttaaa cccooo cccooosss
222
sin4 sin4 2sin4sin 4

 
x
I dx
x x
2
cos
8
sin2 cos2 2
 
 
 
 

 Ta có:
xxx xxx xxx
xxx xxx CCC
x x xx2
ttt222 222 nnn222 222 ttt444 444 111
sin4 sin4 2sin4sin 4
    
ddd
x x
222
cccooo
sin2 cos2 2

 
x
I dx
x
1 cos 2
1 4
2 2 1 sin 2
4


 
  
 
 
  
 

x
dx
dx
x x x
2
cos 2
1 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8

  
 
                               
 
x
dx
dx
x x2
cos 2
1 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8

 
  
   
   
    
           
 
x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
     
             
Câu 59.
xxx
III xxx
x x
sss
888
sin2 cos2 2

 
 
 

xxx
III dddxxx
x
111 cccooosss 222
111 444
2 2 1 sin 2
4


 
  
 
 
  
 

x
dx
dx
x x x
2
cos 2
1 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8

  
 
                               
 
x
dx
dx
x x2
cos 2
1 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8

 
  
   
   
    
           
 
x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
     
         
   
dx
I
x x
3
2 3sin cos



 

 Ta có:
x2 2 1 sin 2
4

  
 
x
dx
dx
x x x
2
cos 2
1 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8

  
 
                               
 
x
dx
dx
x x2
cos 2
1 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8

 
  
   
   
    
           
 
x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
     
         
   
dx
I
xxx
333

 
dx
I
x
3
1
2
1 cos
3

 

 
  
 

Câu 60.
dx
I
xxx222 333sssiiinnn cccooosss



 

x
3
111
2
1 cos
3

  
  
 

dx
I
x2
3
1
4
2sin
2 6

 

 
 
 

dddxxx
III
x
3

2
1 cos
3
 
  
 
xxx
III
2
3
111
4
2sin
2 6


  
 
 

1
4 3
=
ddd
xxx2
3
4
2sin
2 6
 
 
 
111
4 3
=
4 3
I dx
x
6
0
1
2sin 3




.
ddd
x0 2sin 3


Câu 61. III xxx
x
666
0
111
2sin 3



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13. I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2
sin sin sin sin
3 3
 
 
 
 
 
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2cos .sin
3 2 6 2 6
   
  
    
      
     
   
     
   
 
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
  
 
   
    
    
   
    
   
 
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
 
    
       
   
Trang 13
I
I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )

  
 Ta có:
I dx dx
x x 6 6 0
0 1 1 1
222 sin
sin sin
sin 3 3
   
  
 x x
dx dx x
x x 6 6
0 0 cos
cos 2
6 2
6 3
sin sin
2cos
.sin 3 2
6 2
6  
   
    
  
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
x x
dx
dx x
x 6
6 0
0 cos
sin 2 6
2 6
1 1 2 2
sin cos
2 6 2
6  
Câu 62. I x x x x dx
2
4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )

  
x x x x4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )  x x
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
  
.
xxx xxx xxx xxx(((sssiiinnn cccooosss )))(((sssiiinnn cccooosss ))) 
333
cccooosss sss
64 16 64
I
33
128
 Ta có: 444 444 666 666
xxx xxx
333 777 333
444 cccooo 888
64 16 64
  
333
111 888
 III
333

222

I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )

 
.
ddd
0
ccc (((sss ooo
I x x d x x d
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
 
   
       
   
 
Câu 63. III xxx xxx xxx xxx
222
444 444
0
ooosss222 iiinnn ccc sss )))

 
xxx xxx
0 0
ccc sss sss (((sss
2 2 2
 
   
I x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .

 
 III xxx xxx dddxxx ddd
222 222
222 222
0 0
111 111 111
ooo 222 111 sssiiinnn 222 111 iiinnn 222 iiinnn222 ))) 000
2 2 2
 
   
     
   
 
ddd
222
333 222
0
(((ccc ccc
 x d x x d x
2 2 2
5 2
0 0
cos 1 sin (sin )
 
  
Câu 64. III xxx xxx xxx
0
ooosss 111))) ooosss ...

 
dddxxx xxx ddd xxx
0 0
ooosss 111 iii nnn ))) 
8
15
 A =  xxx
222 222 222
555 222
0 0
ccc sssnnn (((sssiii
 
  15
xdx x dx
2 2
2
0 0
1
cos . (1 cos2 ).
2
 
  
=
888
15
xdx x dx
2 2
2 1
cos . (1 cos2 ).
222
 
   4

B = xdx x dx
2 2
2
000 000
1
cos . (1 cos2 ).
 
   4

8
15
=
4
15 4

Vậy I =
888
15 444

–

2
2
0
I cos cos 2x xdx

 
.
222
222
0
III cccooo cccoooxxx xxxddd

 
I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1
cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
2 4
  
       
Câu 65.
0
sss sss222 xxx
xxx xxxxxx xxxdddxxx xxx xxx ddd
222 222
222
0 0 0
ooosss cccooo222 (((111 cccooo222 sss 111 cccooo222 cccooo 444
2 4
  III ddd xxx xxx
222
0 0 0
111 111
ccc sss sss )))cccooo 222 ((( 222 sss sss )))
2 4
  
     
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14. x x x
2
0
1 1
( sin2 sin4 )
4 4 8


   
x
I dx
x
3
2
0
4sin
1 cos



Trang 14
xxx
222
000
((( sssiiinnn iii
888


  
xxx
dddxxx
x
333
0
444sssiiinnn
1 cos
x x x
x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin

    

I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2

   
Câu 66. III
x
222
0 1 cos



x x2
sss 444
444sss 444 ccc sss
1 cos sin
I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2

   
I xdx
2
0
1 sin

 

xxx xxx xxx
xxx xxx xxx xxx xxx
x x
333 333
2
444 iiinnn sssiiinnn (((111 cccooosss )))
iiinnn sssiiinnn ooosss 444sssiiinnn 222 iiinnn222
1 cos sin

    

I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2

   
III xxxdddxxx
222
0

1 sin 
x x x x
I dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
 
 
    
  
x
dx
2
0
2 sin
2 4

 
  
 
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4



 
 
    
       
    
  
  4 2
Câu 67.
0
1 sin
III xxx ddd
222222 222
0 0
sssiii ccc sss
2 2 2 2
 
   
   ddd
222
0
sss


 
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4



 
 
    
       
    
  
  4 2
dx
I
x
4
6
0 cos

 

xxx xxx xxx xxx
ddd xxx
0 0
nnn ooosss iiinnn cccooosss
2 2 2 2
 
 
 
xxx
xxx
0
222 iiinnn
222 444
 
  
 
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4



 
 
    
       
    
  
  4 2
x6
0 cos
I x x d x
4
2 4
0
28
(1 2tan tan ) (tan )
15

   Câu 68.
dddxxx
III
x
444
6
0 cos

 
444
222 444
0
aaa aaa aaa
111
 Ta có: III xxx xxx ddd xxx
0
222888
(((111 222ttt nnn ttt nnn ))) (((ttt nnn )))
555

    .
xdx
I
x x
sin2
3 4sin cos2

 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
xxxddd
3 4sin cos2
x x
I dx
x x2
2sin cos
2sin 4sin 2

 

Câu 69.
xxx
III
xxx xxx
sssiiinnn222
3 4sin cos2

 
xxx xxx
III xxx
2
x x
iiinnn ccc sss
2sin 4sin 2

 
 t xsin Ta có: ddd
2
x x
222sss ooo
2sin 4sin 2 
ttt xxxiiinnn I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
   

. Đặt sss III xxx CCC
x
111
 nnn sssiiinnn 111
sssiiinnn 111
  

dx
I
x x3 5
sin .cos
 

x
lll

dddxxx
III
3
x x5
sin .cos
 
 
xx
dx
xxx
dx
I 23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
Câu 70.
3
x x5
sin .cos
xxxx 222333222333333
ccc.2sincos.cos.sin
t xtan
  
xxxx
dddxxx
xxx
dddxxx
III
ooosss.2sin
888
cos.cos.sin
tttaaa I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
 
         
 Đặt ttt xxxnnn III ttt ttt ttt ttt xxx xxx xxx CCC
t x
333 333 444 222
2
333 111 333 111
333 tttaaannn aaannn 333lllnnn ttt nnn
4 2 2tan
 
         
 
t
x
t2
2
sin2
1


. ddd
t x2
ttt aaa
4 2 2tan 
ttt
xxx
t2
222
iiinnn222
1


Chú ý:
t2
sss
1
.
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15. dx
I
x x3
sin .cos
 
Trang 15
dddxxx
III
x x3
sin .cos
 
dx dx
I
x x x x x2 2
2
sin .cos .cos sin2 .cos
  
Câu 71.
x x3
sin .cos
xxx xxx
III
x x x x x2 2
222
sin .cos .cos sin2 .cos
   t xtan
dx t
dt x
x t2 2
2
; sin2
cos 1
  

dt t
I dt
t t
t
2
2
1
2
2
1

  

 
t x
t dt t C x C
t
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
       

ddd ddd
x x x x x2 2
sin .cos .cos sin2 .cos
tttaaa
dddxxx ttt
dddttt xxx
2
x t2
222
;;; sssiiinnn222
cos 1
  

dt t
I dt
t t
t
2
2
1
2
2
1

  

 
t x
t dt t C x C
t
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
       
x x
I xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin
cot
sin

 
. Đặt ttt xxxnnn
2
x t2
cos 1
dt t
I dt
t t
t
2
2
1
2
2
1

  

 
t x
t dt t C x C
t
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
       
xxx xxx
III dddxxx
x
111 000111 000000
5
iiinnn iiinnn
ccc ttt
sin


xxI xdx xdx
x x
2011 2011 22
4 4
1
1
cotsin cot cot
sin sin


  
Câu 72. xxx
x
222000 111 222 111 222 999
5
sss sss
ooo
sin

III xxxdddxxx xxxddd
x x
111 222000111111 222222
4 4
111
tttiii ttt
sin sin


 
t xcot
 Ta có:
xxxxxx xxx
x x
222000111
4 4
111
cccooosssnnn cccooo cccooottt
sin sin
 
ccc I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 20112011 2011
t (1 )
4024 8046
    Đặt ttt xxxooottt III tttddd
444000222 888000444
000111 222000111 222000111000111 222000111
ttt (((
000222 888000444
x x C
4024 8046
2011 20112011 2011
cot cot
4024 8046
 
 ttt ttt ttt ttt CCC
222 444 666
222222 111 111 111222 111 111
 111 )))
444 444 666
   
xxx xxx CCC
444000222 888000444
000111 222000111000111 222000111
cccooottt cccooo
4024 8046
 
x x
I dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos



=
444 666
222 111 111222 111 111
ttt
4024 8046
xxx xxx
III xxx
x
222
0
sssiiinnn ...cccooosss
1 cos
x x
I dx
x
22
0
sin .cos
2
1 cos



Câu 73. ddd
x0
222
1 cos

 
x0
sss
ccc
t x1 cos  Ta có:
xxx xxx
III dddxxx
x
222222
0
iiinnn ...cccooosss
222
111 ooosss


 ttt xxx111 ooosss 
t
I dt
t
2 2
1
( 1)
2 2ln2 1

  . Đặt ccc
ttt
III dddttt
t
222 222
1
((( 111)))
222 222lllnnn222 111

  
I x xdx
3
2
0
sin tan

 

t1
xxxddd
0
tttaaa

x x x
I x dx dx
x x
23 3
2
0 0
sin (1 cos )sin
sin .
cos cos
 

  
Câu 74. III xxx xxx
333
222
0
sssiiinnn nnn 
xxx xxx
xxx dddxxx dddxxx
x x
222
0 0
111 ooosss )))sssiiinnn
nnn ...
cccsss ccc
 

t xcos Ta có:
xxx
III
x x
222333 333
0 0
sssiiinnn ((( ccc
 sssiii
ooo ooosss
  xxxccc
u
I du
u
1
22
1
1 3
ln2
8

   
. Đặt ttt ooosss
ddd
u
222
1
I x x dx2
2
sin (2 1 cos2 )


  

uuu
III uuu
u
111
222
1
111 333
lllnnn222
888

   
ddd222
2

sin (2 1 cos2 )

I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2
 
 
     
Câu 75. III xxx xxx xxx
2
sin (2 1 cos2 )

  
222
xxxdddxxx xxx xxxdddxxx HHH KKK222
2 2

2sin sin 1 cos2

 
 Ta có: III
2 2
2sin sin 1 cos2
 
    
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16. H xdx x dx2
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2
 
 
 
      
Trang 16
222
xxxddd ddd
2 2

2sin (1 cos2 )
2 2

 


K x x x xdx2 2 2
2 2
sin 2cos 2 sin cos
 
 
    xd x2
2
2
2 sin (sin )
3


  
I
2
2 3

  
+ HHH xxx xxx xxx
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2 

      
xxxddd222 222 222
2 2

sin 2cos 2 sin cos

 
222
xxxddd xxx
2

sssnnn (((sssiiinnn )))

 
I
2
2 3

  
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos


 
+ KKK xxx xxx xxx xxx
2 2
sin 2cos 2 sin cos
 
   
2
222
222 iii
333
 
I
2
2 3

  
dx
I
xxx xxx
3
sssiiinnn ...ccc sss

 
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos


 
Câu 76.
dx
I
3
222 444
444
ooo


 
dddxxx
III
2
x x2
4
...
sin 2 .cos
 t xtan
x x
333
2 2
4
444
sin 2 .cos


 tttaaa
dx
dt
x2
cos
. Đặt ttt xxxnnn dddttt
x2
cos
t dt t
I t dt t
tt t
3
3 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 4
2 2
3 3
   
          
  
 

dddxxx
x2
cos

t dt t
I t dt t
tt t
3
3 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 4
2 2
3 3
   
          
  
 
 
2
2
0
sin 2
2 sin
x
I dx
x




.
t dt t
I t dt t
tt t
3
3 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 4
2 2
3 3
   
          
  
 
 
2
2
sin 2
sssiii
x
I dx

 
x x x
I dx dx
x x
2 2
2 2
0 0
sin2 sin cos
2
(2 sin ) (2 sin )
 
 
 
 
Câu 77.
2
2
000
sin 2
222 nnn
x
I dx
xxx




ddd ddd
x x2 2
0 0
sss
(2 sin ) (2 sin ) 
t x2 sin  Ta có:
xxx xxx xxx
III xxx xxx
x x
222 222
2 2
0 0
sssiiinnn222 iiinnn cccooosss
222
(2 sin ) (2 sin )
 
 
 
  ttt xxx222 sssiiinnn . Đặt
t
I dt dt t
t tt t
33 3
2 2
2 2 2
2 1 2 2
2 2 2 ln
   
       
   
 
3 2
2ln
2 3
 
.
ttt
ddd ddd ttt
t tt t
333 333
2 2
2 2 2
222 222
222 222 222 lll
 
       
   

333 222
222
x
I dx
x
6
0
sin
cos2

 
 III ttt ttt
t tt t
333
2 2
2 2 2
111 222
nnn
 
   
  222lllnnn
333

ddd
x0
cos2
x x
I dx dx
x x
6 6
2
0 0
sin sin
cos2 2cos 1
 
 

 
Câu 78.
xxx
III xxx
x
666
0
sssiiinnn
cos2

 
xxx xxx
III dddxxx dddxxx
x x2
0 0
sssnnn sssnnn
cos2 2cos 1
 
 

t x dt xdxcos sin   
x x
666 666
2
0 0
iii iii
cos2 2cos 1
  ttt xxx dddttt xxx xxxcccooosss sssiiinnn   
x t x t
3
0 1;
6 2

     
. Đặt ddd
xxx ttt xxx ttt
333
000 111;;;
666 222

     
t
I dt
tt
3
1
2
2
31
2
1 1 2 2
ln
2 2 2 22 1

  


Đổi cận:
ttt
ddd
tt
333
111
222
2
31
2
111 111 222
lll
2 2 2 22 1


1 3 2 2
ln
2 2 5 2 6


Ta được III ttt
tt2
31
2
222
nnn
2 2 2 22 1
  


333 222
2 2 5 2 6


=
111 222
lllnnn
2 2 5 2 6
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17. Trang 17
x
I e x x dx
22
sin 3
0
.sin .cos .

 Câu 79. x
I e x x dx
22
sin 3
0
.sin .cos .

  t x2
sin Đặt t x2
sin t
e t dt
1
0
1
(1 )
2
 e
1
1
2
= e
1
1
2
 .
I x x dx
2 12sin sin
2
6


  Câu 80. I x x dx
2 12sin sin
2
6


   t xcos Đặt t xcos I
3
( 2)
16
 . I
3
( 2)
16
 
x
I dx
x x
4
6 6
0
sin4
sin cos



Câu 81.
x
I dx
x x
4
6 6
0
sin4
sin cos




x
I dx
x
4
20
sin4
3
1 sin 2
4




x
I dx
x
4
20
sin4
3
1 sin 2
4



 t x23
1 sin 2
4
 . Đặt t x23
1 sin 2
4
  dt
t
1
4
1
2 1
3
 
 
 
 I = dt
t
1
4
1
2 1
3
 
 
 
 t
1
1
4
4 2
3 3
= t
1
1
4
4 2
3 3
 .
 
x
I dx
x x
2
3
0
sin
sin 3cos



Câu 82.
 
x
I dx
x x
2
3
0
sin
sin 3cos




x x xsin 3cos 2cos
6
 
   
 
 Ta có: x x xsin 3cos 2cos
6
 
   
 
x xsin sin
6 6
   
    
  
;
x xsin sin
6 6
   
    
  
x x
3 1
sin cos
2 6 2 6
    
     
   
= x x
3 1
sin cos
2 6 2 6
    
     
   
x dx
dx
x x
2 2
3 20 0
sin
63 1
16 16
cos cos
6 6
 
 
 
 
  
   
    
   
  I =
x dx
dx
x x
2 2
3 20 0
sin
63 1
16 16
cos cos
6 6
 
 
 
 
  
   
    
   
 
3
6
=
3
6
x x
I dx
x
24
2
3
sin 1 cos
cos




 Câu 83.
x x
I dx
x
24
2
3
sin 1 cos
cos




 
x x
I x dx x dx
x x
4 4
2
2 2
3 3
sin sin
1 cos . sin
cos cos
 
 
 
   
x x
x dx x dx
x x
0 4
2 2
0
3
sin sin
sin sin
cos cos

 

  
x x
I x dx x dx
x x
4 4
2
2 2
3 3
sin sin
1 cos . sin
cos cos
 
 
 
   
x x
x dx x dx
x x
0 4
2 2
0
3
sin sin
sin sin
cos cos

 

  
x x
dx dx
x x
0 2 24
2 2
0
3
sin sin
cos cos



  
7
3 1
12

  =
x x
dx dx
x x
0 2 24
2 2
0
3
sin sin
cos cos



  
7
3 1
12

   .
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18. Trang 18
I dx
x x
6
0
1
sin 3cos



Câu 84. I dx
x x
6
0
1
sin 3cos




I dx
x x
6
0
1
sin 3cos



 I dx
x x
6
0
1
sin 3cos



 dx
x
6
0
1 1
2
sin
3

 
 
 
= dx
x
6
0
1 1
2
sin
3

 
 
 

x
dx
x
6
20
sin
1 3
2
1 cos
3
 

 
 
 
 
  
 
=
x
dx
x
6
20
sin
1 3
2
1 cos
3
 

 
 
 
 
  
 
 .
t x dt x dxcos sin
3 3
    
        
   
Đặt t x dt x dxcos sin
3 3
    
        
   
I dt
t
1
2
2
0
1 1 1
ln3
2 41
 

 I dt
t
1
2
2
0
1 1 1
ln3
2 41
 


I x xdx
2
2
0
1 3sin2 2cos

  Câu 85. I x xdx
2
2
0
1 3sin2 2cos

  
I x x dx
2
0
sin 3cos

  I x x dx
2
0
sin 3cos

  I x x dx x x dx
3 2
0
3
sin 3cos sin 3cos
 

     3 3 = I x x dx x x dx
3 2
0
3
sin 3cos sin 3cos
 

     3 3 
xdx
I
x x
2
3
0
sin
(sin cos )



Câu 86.
xdx
I
x x
2
3
0
sin
(sin cos )




x t dx dt
2

     Đặt x t dx dt
2

    
tdt xdx
I
t t x x
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
 
 
 
 
tdt xdx
I
t t x x
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
 
 
 
 
dx dx
2I x
x x x
2 2 4
2
2 00 0
1 1
cot( ) 1
2 2 4(sin cos ) sin ( )
4
  


     
 
 
dx dx
2I x
x x x
2 2 4
2
2 00 0
1 1
cot( ) 1
2 2 4(sin cos ) sin ( )
4
  


     
 
  I
1
2
 I
1
2

x x
I dx
x x
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )




Câu 87.
x x
I dx
x x
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )





   
xdx xdx
I I
x x x x
2 2
1 23 3
0 0
sin cos
;
sin cos sin cos
 
 
 
  Xét:
   
xdx xdx
I I
x x x x
2 2
1 23 3
0 0
sin cos
;
sin cos sin cos
 
 
 
  .
x t
2

 Đặt x t
2

  . Ta chứng minh được I1 = I2
 
dx dx
x
x x x
2 2
2
20 0
1
tan( ) 122 4sin cos 02cos ( )
4
 


   
 
 Tính I1 + I2 =
 
dx dx
x
x x x
2 2
2
20 0
1
tan( ) 122 4sin cos 02cos ( )
4
 


   
 
 
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19. Trang 19
I I1 2
1
2
   I I I1 27 –5 1  I I1 2
1
2
   I I I1 27 –5 1  .
x x
I dx
x x
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )




Câu 88.
x x
I dx
x x
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )





x t dx dt
2

     Đặt x t dx dt
2

    
t t x x
I dt dx
t t x x
2 2
3 3
0 0
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos sin ) (cos sin )
 
 
 
 
 
t t x x
I dt dx
t t x x
2 2
3 3
0 0
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos sin ) (cos sin )
 
 
 
 
 
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2 1
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
  
 
     
  
  
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2 1
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
  
 
     
  
   I
1
2
 I
1
2
 .
x x
I dx
x2
0
sin
1 cos



Câu 89.
x x
I dx
x2
0
sin
1 cos




t t t
x t dx dt I dt dt I
t t2 2
0 0
( )sin sin
1 cos 1 cos
 

 

        
 
 
t d t
I dt I
t t
2
2 2
0 0
sin (cos )
2
4 4 81 cos 1 cos
 
  
  
 
        
  
 
 Đặt
t t t
x t dx dt I dt dt I
2
t t2
0 0
( )sin sin
1 cos 1 cos
 

 

        
 
 
t d t
I dt I
t t
2
2 2
0 0
sin (cos )
2
4 4 81 cos 1 cos
 
  
  
 
        
  
 
x x
I dx
x x
42
3 3
0
cos sin
cos sin



Câu 90.
x x
I dx
x x
42
3 3
0
cos sin
cos sin




x t dx dt
2

     Đặt x t dx dt
2

    
t t x x
I dt dx
t t x x
0 4 42
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos sin


  
 
 
t t x x
I dt dx
t t x x
0 4 42
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos sin


  
 
 
x x x x x x x x
I dx dx xdx
x x x x
4 4 3 32 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1
2 sin2
2 2sin cos sin cos
  
 
   
 
  
x x x x x x x x
I dx dx xdx
x x x x
4 4 3 32 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1
2 sin2
2 2sin cos sin cos
  
 
   
 
  
I
1
4
 I
1
4
 .
I x dx
x
2
2
2
0
1
tan (cos )
cos (sin )

 
  
  
Câu 91. I x dx
x
2
2
2
0
1
tan (cos )
cos (sin )

 
  
  

x t dx dt
2

     Đặt x t dx dt
2

    
I t dt
t
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )

 
  
  
 x dx
x
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )

 
  
  
 I t dt
t
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )

 
  
  
 x dx
x
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )

 
  
  

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20. Trang 20
I x x dx
x x
2
2 2
2 2
0
1 1
2 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )

 
    
  
Do đó: I x x dx
x x
2
2 2
2 2
0
1 1
2 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )

 
    
  
 dt
2
0
2

= dt
2
0
2


I
2

 I
2

 .
x x
I dx
x
4
0
cos sin
3 sin2




Câu 92.
x x
I dx
x
4
0
cos sin
3 sin2





u x xsin cos 
du
I
u
2
2
1 4
 

 Đặt u x xsin cos 
du
I
u
2
2
1 4
 

 u t2sin
tdt
I dt
t
4 4
2
6 6
2cos
124 4sin
 
 

   

 . Đặt u t2sin
tdt
I dt
t
4 4
2
6 6
2cos
124 4sin
 
 

   

  .
x
I dx
x x
3
2
0
sin
cos 3 sin



Câu 93.
x
I dx
x x
3
2
0
sin
cos 3 sin




t x2
3 sin  Đặt t x2
3 sin  x2
4 cos= x2
4 cos x t2 2
cos 4 . Ta có: 2
x t2
cos 4 
x x
dt dx
x2
sin cos
3 sin


và
x x
dt dx
x2
sin cos
3 sin


.
x
dx
x x
3
2
0
sin
.
cos 3 sin


I =
x
dx
x x
3
2
0
sin
.
cos 3 sin



x x
dx
x x
3
2 2
0
sin .cos
cos 3 sin


=
x x
dx
x x
3
2 2
0
sin .cos
cos 3 sin



dt
t
15
2
2
3 4
=
dt
t
15
2
2
3 4
 dt
t t
15
2
3
1 1 1
4 2 2
 
 
  = dt
t t
15
2
3
1 1 1
4 2 2
 
 
  
t
t
15
2
3
1 2
ln
4 2


=
t
t
15
2
3
1 2
ln
4 2


1 15 4 3 2
ln ln
4 15 4 3 2
  
 
   
=
1 15 4 3 2
ln ln
4 15 4 3 2
  
 
   
    1
ln 15 4 ln 3 2
2
  =    1
 ln 15 4 ln 3 2
2
   .
x x x x
I dx
x x
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin


 


Câu 94.
x x x x
I dx
x x
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin


 



x dx
I dx
xx
2 2
3 3
2
3 3
1 sinsin
 
 
 
 
x dx
I dx
xx
2 2
3 3
2
3 3
1 sinsin
 
 
 
  .
x
I dx
x
2
3
1 2
3
sin


 + Tính
x
I dx
x
2
3
1 2
3
sin


 
u x
du dx
dx
dv v x
x2
cot
sin
 
  
   
. Đặt
u x
du dx
dx
dv v x
x2
cot
sin
 
  
   
I1
3

 I1
3


dx dx dx
I =
x x
x
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2
  
   
   
    
     
   
  + Tính
dx dx dx
I =
x x
x
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2
  
   
   
    
     
   
  
I 4 2 3
3

  Vậy: I 4 2 3
3

   .
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21. Trang 21
x
dx
x x
I
2
2 2
0
sin2
cos 4sin


 Câu 95.
x
dx
x x
I
2
2 2
0
sin2
cos 4sin


 
x x
dx
x
I
2
2
0
2sin cos
3sin 1




x x
dx
x
I
2
2
0
2sin cos
3sin 1



 u x2
3sin 1 . Đặt u x2
3sin 1 
udu
du
u
I
2 2
1 1
2
2 23
3 3
   
udu
du
u
I
2 2
1 1
2
2 23
3 3
   
x
I dx
x
6
0
tan
4
cos2
  
 
  Câu 96.
x
I dx
x
6
0
tan
4
cos2
  
 
  
x
x
I dx dx
x x
26 6
2
0 0
tan
tan 14
cos2 (tan 1)
  
     

 
x
x
I dx dx
x x
26 6
2
0 0
tan
tan 14
cos2 (tan 1)
  
     

  t x dt dx x dx
x
2
2
1
tan (tan 1)
cos
    . Đặt t x dt dx x dx
x
2
2
1
tan (tan 1)
cos
    
dt
I
tt
1
1
3
3
2
00
1 1 3
1 2( 1)

   


dt
I
tt
1
1
3
3
2
00
1 1 3
1 2( 1)

   

 .
x
I dx
x x
3
6
cot
sin .sin
4

 

 
 
 
Câu 97.
x
I dx
x x
3
6
cot
sin .sin
4


  
 
 

x
I dx
x x
3
2
6
cot
2
sin (1 cot )





x
I dx
x x
3
2
6
cot
2
sin (1 cot )




 x t1 cot  dx dt
x2
1
sin
  . Đặt x t1 cot  dx dt
x2
1
sin
  
 t
I dt t t
t
3 1 3 1
3 1
3 1 3
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
 


 
     
 
  t
I dt t t
t
3 1 3 1
3 1
3 1 3
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
 


 
     
 

dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos


 Câu 98.
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos


 
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos


  Ta có:
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos


 
dt
t x dx
t2
tan
1
  

. Đặt
dt
t x dx
t2
tan
1
  

t dt t
I t dt t
tt t
3
2 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 )
2 2 3 31 1 1
 
         
t dt t
I t dt t
tt t
3
2 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 )
2 2 3 31 1 1
 
         
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22. Trang 22
x
I dx
x x x
4
2
0
sin
5sin .cos 2cos



Câu 99.
x
I dx
x x x
4
2
0
sin
5sin .cos 2cos




x
I dx
x x x
4
2 2
0
tan 1
.
5tan 2(1 tan ) cos


 
 Ta có:
x
I dx
x x x
4
2 2
0
tan 1
.
5tan 2(1 tan ) cos


 
 t xtan. Đặt t xtan ,
t
I dt dt
t tt t
1 1
2
0 0
1 2 1 1 2
ln3 ln2
3 2 2 1 2 32 5 2
 
     
    
 
t
I dt dt
t tt t
1 1
2
0 0
1 2 1 1 2
ln3 ln2
3 2 2 1 2 32 5 2
 
     
    
 
xdx
x x x
I
24
4 2
4
sin
cos (tan 2tan 5)



 
 Câu 100.
xdx
x x x
I
24
4 2
4
sin
cos (tan 2tan 5)




 

dt
t x dx
t2
tan
1
  

 Đặt
dt
t x dx
t2
tan
1
  

t dt dt
I
t t t t
21 1
2 2
1 1
2
2 ln 3
32 5 2 5 
   
   
 
t dt dt
I
t t t t
21 1
2 2
1 1
2
2 ln 3
32 5 2 5 
   
   
 
dt
I
t t
1
1 2
1 2 5

 
Tính
dt
I
t t
1
1 2
1 2 5

 

t
u I du
0
1
4
1 1
tan
2 2 8



   . Đặt
t
u I du
0
1
4
1 1
tan
2 2 8



    I
2 3
2 ln
3 8

  . Vậy I
2 3
2 ln
3 8

   .
x
I dx
x
22
6
sin
sin3


 Câu 101.
x
I dx
x
22
6
sin
sin3


  .
x x
I dx dx
x x x
22 2
3 2
6 6
sin sin
3sin 4sin 4cos 1
 
 
 
 
 
x x
I dx dx
x x x
22 2
3 2
6 6
sin sin
3sin 4sin 4cos 1
 
 
 
 
 
t x dt xdxcos sin   Đặt t x dt xdxcos sin   
dt dt
I
t t
3
0 2
2
203
2
1 1
ln(2 3)
14 44 1
4
    
 
 
dt dt
I
t t
3
0 2
2
203
2
1 1
ln(2 3)
14 44 1
4
    
 
 
x x
I dx
x
2
4
sin cos
1 sin2





Câu 102.
x x
I dx
x
2
4
sin cos
1 sin2






x x x x x1 sin2 sin cos sin cos     Ta có: x x x x x1 sin2 sin cos sin cos     x ;
4 2
  
  
(vì x ;
4 2
  
  
)
x x
I dx
x x
2
4
sin cos
sin cos





x x
I dx
x x
2
4
sin cos
sin cos




 t x x dt x x dxsin cos (cos sin )    
I dt t
t
22
11
1 1
ln ln2
2
   
. Đặt t x x dt x x dxsin cos (cos sin )    
I dt t
t
22
11
1 1
ln ln2
2
   
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23. Trang 23
I x x xdx
2
6 3 5
1
2 1 cos .sin .cos Câu 103. I x x xdx
2
6 3 5
1
2 1 cos .sin .cos 
t dt
t x t x t dt x xdx dx
x x
5
6 3 6 3 5 2
2
2
1 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin
        
t t
I t t dt
1
1 7 13
6 6
00
12
2 (1 ) 2
7 13 91
 
      
 
 Đặt
t dt
t x t x t dt x xdx dx
x x
5
6 3 6 3 5 2
2
2
1 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin
        
t t
I t t dt
1
1 7 13
6 6
00
12
2 (1 ) 2
7 13 91
 
      
 
xdx
I
x x
4
2
0
tan
cos 1 cos



Câu 104.
xdx
I
x x
4
2
0
tan
cos 1 cos




xdx
I
x x
4
2 2
0
tan
cos tan 2



 Ta có:
xdx
I
x x
4
2 2
0
tan
cos tan 2




2 2 2
2
tan
2 tan 2 tan
cos
      
x
t x t x tdt dx
x
. Đặt 2 2 2
2
tan
 2 tan 2 tan
cos
     
x
t x t x tdt dx
x
3 3
2 2
3 2    
tdt
I dt
t

3 3
2 2
3 2    
tdt
I dt
t
x
I dx
x x
2
3
0
cos2
(cos sin 3)


 
Câu 105.
x
I dx
x x
2
3
0
cos2
(cos sin 3)


 
 t x xcos sin 3   Đặt t x xcos sin 3  
t
I dt
t
4
3
2
3 1
32

  
t
I dt
t
4
3
2
3 1
32

   .
x
I dx
x x
4
2 4
0
sin4
cos . tan 1



Câu 106.
x
I dx
x x
4
2 4
0
sin4
cos . tan 1




x
I dx
x x
4
4 4
0
sin4
sin cos



 Ta có:
x
I dx
x x
4
4 4
0
sin4
sin cos



 t x x4 4
sin cos . Đặt t x x4 4
sin cos  I dt
2
2
1
2 2 2     .
x
I dx
x
4
2
0
sin4
1 cos



Câu 107.
x
I dx
x
4
2
0
sin4
1 cos




x x
I dx
x
24
2
0
2sin2 (2cos 1)
1 cos




 Ta có:
x x
I dx
x
24
2
0
2sin2 (2cos 1)
1 cos




 t x2
cos. Đặt t x2
cos
t
I dt
t
1
2
1
2(2 1) 1
2 6ln
1 3

   

t
I dt
t
1
2
1
2(2 1) 1
2 6ln
1 3

   
 .
x
I dx
x
6
0
tan( )
4
cos2
 

 Câu 108.
x
I dx
x
6
0
tan( )
4
cos2
 

 
26
2
0
tan 1
(tan 1)


 

x
I dx
x
 Ta có:
26
2
0
tan 1
(tan 1)


 

x
I dx
x
t xtan. Đặt t xtan
1
3
2
0
1 3
( 1) 2

  

dt
I
t

1
3
2
0
1 3
( 1) 2

  

dt
I
t
.
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24. Trang 24
36
0
tan
cos2

 
x
I dx
x
Câu 109.
36
0
tan
cos2

 
x
I dx
x
3 36 6tan tan
2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0
 
  
 
x x
I dx dx
x x x x
 Ta có:
3 36 6tan tan
2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0
 
  
 
x x
I dx dx
x x x x
.
t xtanĐặt t xtan
3
33 1 1 2
ln
2 6 2 310
   

t
I dt
t

3
33 1 1 2
ln
2 6 2 310
   

t
I dt
t
.
x
I dx
x
2
0
cos
7 cos2



Câu 110.
x
I dx
x
2
0
cos
7 cos2




xdx
I
x
2
2 2
0
1 cos
2 6 22 sin


 


xdx
I
x
2
2 2
0
1 cos
2 6 22 sin


 


dx
x x
3
4 3 5
4
sin .cos


Câu 111.
dx
x x
3
4 3 5
4
sin .cos



dx
x
x
x
3
3
84
4 3
1
sin
.cos
cos


 dx
xx
3
24 3
4
1 1
.
costan


  Ta có: dx
x
x
x
3
3
84
4 3
1
sin
.cos
cos


 dx
xx
3
24 3
4
1 1
.
costan


  .
t xtanĐặt t xtan  I t dt
33
84
1
4 3 1

    I t dt
33
84
1
4 3 1

  
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x

 

Câu 112.
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x

 


x x x x x
I x dx x x dx dx J K
x x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
    
     
   
   Ta có:
x x x x x
I x dx x x dx dx J K
x x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
    
     
  
  
J x x dx
0
.cos .

 + Tính J x x dx
0

.cos . 
u x du dx
dv xdx v xcos sin
  
   
J 2  . Đặt
u x du dx
dv xdx v xcos sin
  
   
J 2  
x x
K dx
x2
0
.sin
1 cos



+ Tính
x x
K dx
x2
0
.sin
1 cos



 x t dx dt    
t t t t x x
K dt dt dx
t t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
  
   

   
   
   
  
x x x x dx x dx
K dx K
x x x2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
21 cos 1 cos 1 cos
  
 

 
    
  
  
. Đặt x t dx dt    
t t t t x x
K dt dt dx
t t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
  
   

   
   
   
  
x x x x dx x dx
K dx K
2
x x x2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
21 cos 1 cos 1 cos
  
 

 
    
  
  
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25. Trang 25
t xcos
dt
K
t
1
2
1
2 1


 

Đặt t xcos
dt
K
t
1
2
1
2 1


 

 t u dt u du2
tan (1 tan )   
u du
K du u
u
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 41 tan
 


 
   

 

    

 
, đặt t u dt u du2
tan (1 tan )   
u du
K du u
u
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 41 tan
 


 
   

 

    

 
I
2
2
4

 Vậy I
2
2
4

 
2
2
6
cos
I
sin 3 cos





x
dx
x x
Câu 113.
2
2
6
cos
I
sin 3 cos





x
dx
x x
2
2 2
6
sin cos
sin 3 cos





x x
I dx
x x
 Ta có:
2
2 2
6
sin cos
sin 3 cos





x x
I dx
x x
t x2
3 cos . Đặt t x2
3 cos 
 dt
I
t
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
24
    

  dt
I
t
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
24
    


Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
I x x dx
2 12sin sin .
2
6


  Câu 114. I x x dx
2 12sin sin .
2
6


  
x t t
3
cos sin , 0
2 2
 
   
 
 Đặt x t t
3
cos sin , 0
2 2
 
   
 
tdt
4
2
0
3
cos
2

 I = tdt
4
2
0
3
cos
2


3 1
2 4 2
 
 
 
=
3 1
2 4 2
 
 
 
.
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos




x x
I dx
x x
Câu 115.
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos




x x
I dx
x x
2 2 2
2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
3 cos 3 cos 3 cos
  

  
    
x x x x
I dx dx dx
x x x
2 2
2 2
0 0
3sin 4cos
3 cos 4 sin
 
 
  
x x
dx dx
x x

2 2 2
2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
3 cos 3 cos 3 cos
  

  
    
x x x x
I dx dx dx
x x x
2 2
2 2
0 0
3sin 4cos
3 cos 4 sin
 
 
  
x x
dx dx
x x
2
1 2
0
3sin
3 cos



x
I dx
x
+ Tính
2
1 2
0
3sin
3 cos



x
I dx
x
cos sin   t x dt xdx. Đặt cos sin   t x dt xdx
1
1 2
0
3
3


dt
I
t

1
1 2
0
3
3


dt
I
t
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26. Trang 26
2
3 tan 3(1 tan )   t u dt u duĐặt 2
3 tan 3(1 tan )   t u dt u du
26
1 2
0
3 3(1 tan ) 3
3(1 tan ) 6


 

u du
I
u

26
1 2
0
3 3(1 tan ) 3
3(1 tan ) 6


 

u du
I
u
2
2 2
0
4cos
4 sin



x
I dx
x
+ Tính
2
2 2
0
4cos
4 sin



x
I dx
x
1 1sin cos  t x dt xdx
1
1
2 12
10
4
ln3
4
 

dt
I dt
t
. Đặt 1 1sin cos  t x dt xdx
1
1
2 12
10
4
ln3
4
 

dt
I dt
t
3
ln3
6

 IVậy:
3
ln3
6

 I
x
I dx
x x
4
2
6
tan
cos 1 cos




Câu 116.
x
I dx
x x
4
2
6
tan
cos 1 cos





x x
I dx dx
x xx
x
4 4
2 2
2
26 6
tan tan
1 cos tan 2cos 1
cos
 
 
 

  Ta có:
x x
I dx dx
x xx
x
4 4
2 2
2
26 6
tan tan
1 cos tan 2cos 1
cos
 
 
 

 
u x du dx
x2
1
tan
cos
  Đặt u x du dx
x2
1
tan
cos
  
u
I dx
u
1
2
1
3
2



u
I dx
u
1
2
1
3
2



u
t u dt du
u
2
2
2
2
   

. Đặt
u
t u dt du
u
2
2
2
2
   

I dt t
3
3
7
7 3
3
7 3 7
3 .
3 3

     
.
I dt t
3
3
7
7 3
3
7 3 7
3 .
3 3

     
x
I dx
x x
2
4
sin
4
2sin cos 3


 
 
 
Câu 117.
x
I dx
x x
2
4
sin
4
2sin cos 3


 
 
 

 
x x
I dx
x x
2
2
4
1 sin cos
2 sin cos 2



 
 
 Ta có:
 
x x
I dx
x x
2
2
4
1 sin cos
2 sin cos 2



 
 
 t x xsin cos . Đặt t x xsin cos  I dt
t
1
2
0
1 1
2 2
 

 I dt
t
1
2
0
1 1
 
2 2

t u2tanĐặt t u2tan
u
I du
u
1
arctan
22
2
0
1 2(1 tan ) 1 1
arctan
22 22tan 2

   


u
I du
u
1
arctan
22
2
0
1 2(1 tan ) 1 1
arctan
22 22tan 2

   


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27. x x
I dx
x
3
2
3
sin
cos


 
Trang 27
I dx
x
3
2
3
cos


 
Dạng 4: Tích phân từng phần
III dddxxx
xxx
333
222
333
cccooosss


 
x dx
I xd J
x x x
3 33
3
3 3
1 4
,
cos cos cos 3
 

 


 
 
     
 
 
Câu 118.
xxx xxxsssiiinnn
dddxxx
xxx
cccooo cccooo

 
 
dx
J
x
3
3
cos



 
.
xxx
III ddd JJJ
xxx xxx xxx
333 333333
333
333 333
111 444
,,,
sss cccooo sss 333
 

 
 

     xxx
 
t xsin .
 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
sss
dddxxx
JJJ
333
333
cccooosss



iiinnn ...
d x d t t
J
x tt
3 3
3 2 2
2 3
3
23 2
1 1 2 3
ln ln
cos 2 1 2 31

  
 
     
 
 
với
dx
J
x
3

 
ttt xxxsss
dx dt t
J
ttt
3 3
3 2 2
222
333
222
222
1 1 2 3
ln ln
333111

 
 
      
I
4 2 3
ln .
3 2 3
 
 

Để tính J ta đặt
ddd
x
xx
t
tt
333 222 222
333
333
111 222
lllnnn lll
ccc sss 222 111 222

 

 
I
4 222 333
lnnn ...
 
 
Khi đó
xxx dddttt ttt
JJJ
333 333
111 333
nnn
ooo
 
    
 
 
333 222 333
xx
I e dx
x
2
0
1 sin
.
1 cos

 
  
 

x x
x x
x xx 2 2
1 2sin cos1 sin 12 2 tan
1 cos 2
2cos 2cos
2 2

  

Vậy III
444
lll
 
 
xxxxxx
III eee dddxxx
222
000
111 sssiiinnn
...
cccooo

 
  
x x
xxx x
xxx 2 2
1 sin coss nnn 111222 2 tan
111 222
222 222 sss
222 222

  

x
xe dx x
I e dx
x
2 2
20 0
tan
2
2cos
2
 
  
Câu 119. xx
I e dx
xxx
2
1 sin
.
111 sss

 
  
 

xxx222 222
222111 iii
ccc sss
cccooosss cccooo

eeexxx
xxxxxx xxx
III eee dddxxx
xxx
222 222
tttaaannn
222
 
  e2

 Ta có:
xxx xxx
xxx
xxx
111 sssiiinnn cccooossssss 222 tttaaannn
ooo

  
ddd
222000 000

222 ooosss
222
 e2

 
x x
I dx
x
4
2
0
cos2
1 sin2





ex
xdx x
I e dx
2 2
tan
2
ccc
 
   eee
 x
2
0
s
1 sin2


= 222

 xxx
222
000
sss
111 sssiiinnn222


Câu 120.
xxx xxx
III dddxxx
444
cccooo 222
 
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28. Trang 28
u x du dx
x
dv dx v
xx 2
cos2 1
1 sin2(1 sin2 )
   
 
      
 Đặt
u x du dx
x
dv dx v
xx 2
cos2 1
1 sin2(1 sin2 )
   
 
      
I x dx dx
x x
x
4 4
20 0
1 1 1 1 1 1 1
. . .4
2 1 sin2 2 1 sin2 16 2 20 cos
4
 



 
      
      
 
 
 x
1 1 1 2 2
. tan . 0 14
16 2 4 16 2 2 4 162 0

    
          
 
 I x dx dx
x x
x
4 4
20 0
1 1 1 1 1 1 1
. . .4
2 1 sin2 2 1 sin2 16 2 20 cos
4
 



 
      
      
 
 
 x
1 1 1 2 2
. tan . 0 14
16 2 4 16 2 2 4 162 0

    
          
 
TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 1: Đổi biến số
x
x
e
I dx
e
2
1


Câu 121.
x
x
e
I dx
e
2
1



x x x
t e e t e dx tdt2
2     Đặt x x x
t e e t e dx tdt2
2    
t
I dt
t
3
2
1
  
 t t t t C3 22
2 2ln 1
3
     x x x x x
e e e e e C
2
2 2ln 1
3
     
.
t
I dt
t
3
2
1
  
 t t t t C3 22
2 2ln 1
3
     x x x x x
e e e e e C
2
2 2ln 1
3
     
x
x
x x e
I dx
x e
2
( )




Câu 122.
x
x
x x e
I dx
x e
2
( )





x
x
x x e
I dx
x e
2
( )





x
x
x x e
I dx
x e
2
( )





x x
x
xe x e
dx
xe
.( 1)
1


=
x x
x
xe x e
dx
xe
.( 1)
1



x
t x e. 1 . Đặt x
t x e. 1  x x
I xe xe C1 ln 1     x x
I xe xe C1 ln 1     .
x
dx
I
e2
9


Câu 123.
x
dx
I
e2
9



x
t e2
9  Đặt x
t e2
9 
dt t
I C
tt2
1 3
ln
6 39

  


x
x
e
C
e
2
2
1 9 3
ln
6 9 3
 
 
 

dt t
I C
tt2
1 3
ln
6 39

  


x
x
e
C
e
2
2
1 9 3
ln
6 9 3
 
 
 
x
x
x x
I dx
ex e
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( ) 
 

  
Câu 124.
x
x
x x
I dx
ex e
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( ) 
 

  

x x
I dx
x x
2
2 2
ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
   
    
 Ta có:
x x
I dx
x x
2
2 2
ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
   
    
 t x2
ln( 1) 1  . Đặt t x2
ln( 1) 1  
t
I dt
t
1 2010
2

  t t C
1
1005ln
2
  
t
I dt
t
1 2010
2

  t t C
1
1005ln
2
   x x C2 21 1
ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1)
2 2
     = x x C2 21 1
ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1)
2 2
     
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29. Trang 29
e x
x
xe
J dx
x e x1
1
( ln )



Câu 125.
e x
x
xe
J dx
x e x1
1
( ln )




e x ee
x
x
d e x e
J e x
ee x 11
( ln ) 1
ln ln ln
ln
 
   


e x ee
x
x
d e x e
J e x
ee x 11
( ln ) 1
ln ln ln
ln
 
   


x x
x x x
e e
I dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
2 1
1
 

  
Câu 126.
x x
x x x
e e
I dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
2 1
1
 

  

x x x x x x
x x x
e e e e e e
I dx
e e e
ln2 3 2 3 2
3 2
0
3 2 ( 1)
1
     

  

x x x x x x
x x x
e e e e e e
I dx
e e e
ln2 3 2 3 2
3 2
0
3 2 ( 1)
1
     

  

x x x
x x x
e e e
dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
3 2
1
1
  
 
    
=
x x x
x x x
e e e
dx
e e e
ln2 3 2
3 2
0
3 2
1
1
  
 
   

x x x
e e e x3 2 ln2 ln2
ln( – 1)
0 0
  = x x x
e e e x3 2 ln2 ln2
ln( – 1)
0 0
  
14
ln
4
= ln11 – ln4 =
14
ln
4
 x
dx
I
e
3ln2
2
30
2


Câu 127.
 x
dx
I
e
3ln2
2
30
2



 
x
x
x
e dx
I
e e
3ln2 3
2
0 33 2



 
x
x
x
e dx
I
e e
3ln2 3
2
0 33 2



x x
t e dt e dx3 31
3
  . Đặt
x x
t e dt e dx3 31
3
   I
3 3 1
ln
4 2 6
 
  
 
 I
3 3 1
ln
4 2 6
 
  
 
x
I e dx
ln2
3
0
1 Câu 128. x
I e dx
ln2
3
0
1 
x
e t
3
1 
t dt
dx
t
2
3
3
1



t dt
dx
t
2
3
3
1


dt
t
1
3
0
1
3 1
1
 
 
 
 I = dt
t
1
3
0
1
3 1
1
 
 
 

dt
t
1
3
0
3 3
1


=
dt
t
1
3
0
3 3
1


 .
dt
I
t
1
1 3
0
3
1


Tính
dt
I
t
1
1 3
0
3
1



t
dt
t t t
1
2
0
1 2
1 1
 
 
   
=
t
dt
t t t
1
2
0
1 2
1 1
 
 
   
 ln2
3

= ln2
3


I 3 ln2
3

  Vậy: I 3 ln2
3

  
 x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
ln15 2
3ln2
24
1 5 3 1 15


    
Câu 129.
 x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
ln15 2
3ln2
24
1 5 3 1 15


    

x x
t e t e2
1 1     x
e dx tdt2  Đặt x x
t e t e2
1 1     x
e dx tdt2 
 t t dt
I dt t t t
t tt
4 42 4
2 3
3 3
(2 10 ) 3 7
2 2 3ln 2 7ln 2
2 24
 
         
   
 
2 3ln2 7ln6 7ln5   
.
 t t dt
I dt t t t
t tt
4 42 4
2 3
3 3
(2 10 ) 3 7
2 2 3ln 2 7ln 2
2 24
 
         
   
 
2 3ln2 7ln6 7ln5   
ln3 2
ln2 1 2
x
x x
e dx
I
e e

  
Câu 130.
ln3 2
ln2 1 2
x
x x
e dx
I 
e e  

x
e 2  x
e dx tdt2
2 Đặt t = x
e 2  x
e dx tdt2
2
t tdt
t t
1 2
2
0
( 2)
1

 
 I = 2
t tdt
t t
1 2
2
0
( 2)
1

 

t
t dt
t t
1
2
0
2 1
1
1
 
  
  
= 2
t
t dt
t t
1
2
0
2 1
1
1
 
  
  
 t dt
1
0
2 ( 1)=
1
t dt
0
2 ( 1)
d t t
t t
1 2
2
0
( 1)
2
1
 
 
+
d t t
t t
1 2
2
0
( 1)
2
1
 
 

t t
1
2
0( 2 )= t t
1
2
0( 2 ) t t
1
2
02ln( 1) + t t
1
2
02ln( 1)  2ln3 1= 2ln3 1 .
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