He phuong trinh vo ty 1

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
17
II. Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa về tích số
A B A B
A B
A B


A B A B
2
A B
A B


3 3
A B 3 32 3 2
A AB B  3 32 3 2
A B
A AB B 
3
A B 3 2 3 2
A B A B 
3
3 2 3 2
A B
A B A B 
 Phân tích bài toán và hướng tư duy đi đến lời giải (tương tự cho 3 ( ))f x
Gi ( ) ( ) ( ) 0f x g x h x  
 ướng ( ) ( )f x g x ( )h x
( ) ( )f x g x
2
3 2 1 2 3,x x x x      (3 2) ( 1) 2 3x x x    
2
2 3 (2 3)( 1)x x x x     2 3x 
( ) ( )f x g x
( ),h x
 ướng . PP
o
x x  ghép h ng s .
( ) ( ) ( )f X g X h X 
.o
x x
( ( ) ( ) ( )) :( )o
f X g X h X X x  
o
x x
,m n o
x x
( ), ( )o o
m f x n g x  o
x x
[ ( ) ] [ ( )] ( ) 0f x m n g x h x m n      
( ) .h x m n 

Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
18
câu: 2
3 1 6 3 14 8 0.x x x x      
5x  nên 3.5 1 4m    ( 3 1 4)x  
6 5 1n    (1 6 )x  5.x 
2
3 14 5 ( 5)(3 1)x x x x     5.x 
 ướng ẹp 1 2
, PP
x x x x   ghép .ax b
ax b
,a b
( )f x
1 1
2 2
( )
,
( )
f x ax b
a b
f x ax b
  

 
c ( ).g x Thí d gi i: 2
2 3 4 3 5 9 6 13.x x x x     
0, 1x x   ax b
ax b 3 4x 
3.0 4 .0 2
13.( 1) 4 .( 1)
a b b
aa b
     
 
     
2 3 4 ( 2)x x   
 
5 9x  3. 5 9 ( 3) .x x   
 
 l sau hi nhân lượng liên hợp
( ) ( ) 0o
x x f x   2
( ). ( ) 0.ax bx c f x  
nh ( ) 0,f x 
( )f x
 ( ) 0,f x 
( )f x
x
( )),f x suy ra ( )f x
 ( ) 0f x 
( , ,...)A B A B  ( ) 0f x 
)A B k  .x

19
. Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ hoặc dễ xác định nhân t .
 Nhóm I: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn lại
Ví dụ 21. 2
3 2 1 2 3x x x x      ( )
Học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2014
 Lời giải
2
3
x  
2( 3 2 1)( 3 2 1)
( ) 2 3
3 2 1
x x x x
x x
x x
     
    
  
2 3
(2 3)( 1) 0
3 2 1
x
x x
x x

    
  
3
1 2
(2 3) ( 1) 0
13 2 1 1 (1)
3 2 1
x
x x
x x x
x x

 
       
     
   
2
3
x 
2 5
( ) 1 1 1
3 3
f x x      (2)
( ) 3 2 1g x x x   
3 1 2
( ) 0,
32 3 2 2 1
g x x
x x
      
 
( )g x
2
;
3
 

 
nên
1 1
( )
( ) 3 2 1
h x
g x x x
 
  
 2
;
3
2 2 15
; max 1
3 3 5
h x h
 

 
   
      
   
hay ( ) 1h x  (3)
( ) ( )f x h x
Kết luận 3/2.x 
Bình luận. S ( )f x trong (2 3). ( ) 0x f x 
1
( 1)
3 2 1
X
X X
 
  
( )f x ( )g x
 ( )f x ( ) ( )g x h x
Ví dụ 22. Gi 2
1 1 4 3x x x    ( )
Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc

20
Phân tích. Khi ghép 3 ( 1) 2 1x x x   
2
4 1 (2 1)(2 1)x x x    ế é
ẳ :
( )( )A B A B
A B
A B
 
  

 Lời giải 0.x 
2 2 1
( ) (4 1) ( 3 1) 0 (2 1)(2 1) 0
3 1
x
x x x x x
x x

           
 
0, 0
1 1
(2 1) 2 1 0 2 1 0
23 1
x
x x x x
x x
  
 
            
  
Kết luận
1
2
x  
Ví dụ 23. Gi 3.(2 2) 2 6x x x     ( )
Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
Phân tích Rú ọ ( ) 2.(3 ) 6 3 2 6 9 18x x x x x           và
ghép ( 6) (9 18) 8 24 8.(3 )x x x x        3 x ế
é ờ ả :
 Lời giải
2 0
2.
6 0
x
x
x
  
 
 
8.(3 )
( ) 2.(3 ) 6 9 18 2.(3 )
6 9 18
x
x x x x
x x

         
  
34
(3 ) 1 0
6 9 18 4 (1)6 9 18
x
x
x xx x
  
       
        
2
(1) 10 12 2 ( 6)(9 18) 16 9 36 108 14 5x x x x x x          
2 2 2
14 14
11 3 5
5 5
2
9 36 108 (14 5 ) 16 176 304 0
x x
x
x x x x x
 
   
     
        
Kết luận

  
11 3 5
3,
2
x x
Ví dụ 24. 2 2
2 9 2 1 4x x x x x       ( )
Phân tích ế
ế ả ả
4 0 4x x     ọ é ờ
(TM)
(TM)

21
: 2 2
(2 9) (2 1) 2( 4)x x x x x       é
4x  ế ả ờ ả :
 Lời giải 4 0 4.x x    
         
   
    
2 2 2 2
2 2
( 2 9 2 1)( 2 9 2 1)
( ) 4
2 9 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x
2 2
(do : 2 9 2 1 2 8 4, 4)x x x x x x x             
2 2
2 2
2( 4)
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x

         
    
(1)
( ),
2 2
2 2
2 9 2 1 2
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x x
      

      
2 2 2
2 2 9 6 4(2 9) ( 6)x x x x x x        
2
7 8 0 0x x x    
8
:
7
x 
Kết luận
8
0,
7
x x  
Bình luận ế 4,x  
( ) 0f x  ế ọ
đưa về hệ tạm ả V
?! TL
 T ờ ( ) ( ) .f x g x ax b  
( ) ( ), ( ( ))f x g x hay ax b f x  
é é
ế ế ờ
Ví dụ 25. Gi 2 2
9 24 6 59 149 5x x x x x       ( )
Phân tích 2 2 2 2
(6 59 149) ( 9 24) 5 50 125 5( 5)x x x x x x         
5x  é
 Lời giải .D 
2 2
( ) 6 59 149 9 24 5x x x x x        
2
2 2
5.( 5)
5
6 59 149 9 24
x
x
x x x x

  
    
2 2
5.( 5)
( 5) 1 0
6 59 149 9 24
x
x
x x x x
 
     
      

22
5x  2 2
6 59 149 9 24 5.( 5)x x x x x       (1)
( ), (1),
2 2
2 2
9 24 6 59 149 5
6 59 149 9 24 5.( 5)
x x x x x
x x x x x
       

      
(2)
(3)
(2) (3), suy ra: 2
2
5 19
9 24 2 10
33 31 76 0
x
x x x x
x x
 
       
  
Kết luận
19
5,
3
x x  
Ví dụ 26. 3 2 2 3
1 2 2 3 3x x x x x       ( )
Phân tích 2 2
( 1) (2 3) 3 2x x x x x       é
:
3 33 3 2 3 2
3 3
3 3 3 32 3 2 2 3 2
( ) ( )
( ) ( )
A B A AB B A B
A B
A AB B A AB B
    
  
   
2
3 2,x x  ờ ả :
 Lời giải .D  3 2 3
1; 2 3a x x b x    
3 2 23
( ) ( 1 2 3) ( 3 2) 0x x x x x         
2
2
2 2 2 23 3 3
3 2
( 3 2) 0
( 1) ( 1)(2 3) (2 3)
x x
x x
x x x x x x
 
    
       
  
            
   
2 2
2 2
11
( 3 2) 1 0 3 2 0
2
x
x x x x
xa ab b
Nhận xét T é ả
3 3
, .a A b B  ẳ
q : 2 2 3 3
( ).( )a b a ab b a b    :
 
    
 
2 2
2 2 3
0.
2 4
b b
a ab b a
Ví dụ 27. Gi 3 32 23 3
2 1 2 2 1x x x x      ( )
 Lời giải. .D 
3 32 23 3
( ) ( 2 1) ( 2 1 2) 0x x x x         (1)
3 32 23 3
2 , 1, 2 1, 2.a x b x m x n x      
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
(1) 0
x x x x
a ab b m mn n
   
  
   
2
2 2 2 2
1 1
(2 1) 0 1x x x
a ab b m mn n
 
        
    
h
1
2
x   
Kết luận 0,5x   và 1.x 

23
Ví dụ 28. 2 2
( 3 1)( 4 3) 2x x x x x x       ( )
Nhận xét
ờ
ế x ế ế
ả ( 3) ( 1) 2x x    ế x
ế 3 1 0x x    ờ ả :
 Lời giải 0x  ?!
2
( ) ( 1)( 3) .( 3 1)x x x x x x        
2
( 3) ( 1)( 3) 1 0x x x x x x x         
 
( 3) 1( 3 ) 0 ( 3)( 1) 0x x x x x x x x x x             
3 1 5
21
x x
x
x x
   
  
  
1 13
2
x


Kết luận
1 5 1 13
,
2 2
x x
 
  
Ví dụ 29. Gi i: 2 2 2 2 2
( 1 4 1).( 5 1 2 1) 3x x x x x x x         ( )
Phân tích 2 2 2
(5 1) (2 1) 3x x x    ế ả
ế ờ ả :
 0x 
 V 0,x  ta có:
2 2
2 2
2 2
1 4 1
( ) 3 3
5 1 2 1
x x x x
x x
x x
    
   
  
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x          (1)
Do 0x  thì 2 2
1 4 1x x x x     và 2 2
5 1 2 1x x   nên:
2 2
2 2 2 2
3 3
(1)
4 1 1 5 1 2 1
x x
x x x x x x
 
       
2 2 2 2
1 1
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x
 
       
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x          (2)
(1), (2), suy ra:
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1
4 1 1 5 1 2 1
x x x x x x
x x x x x x
         

        
(3)
(4)
2 2 2
(3) (4) 4 1 5 1 0 0x x x x x x           x 1 (TM)
Kết luận 0, 1.x x 

24
Ví dụ 30. Gi

   
2
5.( 3)
1 2 4
2 18
x
x x
x
( )
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Phân tích. Có 1 2 4 1 16 4x x x x       và ( 1) (16 4 ) 5.( 3)x x x    
é ờ ả sau:
 Lời giải 1 4.x  
2
( ) 2 18.( 1 16 4 ) 5.( 3)x x x x       
2
2
3 : TM5.( 3) 2 18
5.( 3)
2 18 1 16 4 (1)1 16
Đ
4
Kxx x
x
x x xx x
  
    
       
2 2 2
(1) 2 3 1 4 ( 1)(4 ) 4 3 4 2 3 1x x x x x x x x             (2)
Nhận xét S
3
1, ,
2
x x   hay
2
( 1).(2 3) 2 3,x x x x     :
Hướng 1 A B
2
4 3 2
2
1
2 3 1 0 1
(2) 2
4 12 29 42 63 0
( 1)(2 3)(2 7 21) 0
x x x x
x x x x
x x x x

         
  
          
1x  
3
:
2
x 
Hướng 2 2
2 3.x x 
2 2
(2) (2 3) 4. ( 1) 3 4 0x x x x x            
(3)
Xét 2
1 3 4 0 1x x x x         1x  
Xét 2
1 3 4 0 1,x x x x         ( 1;4].x 
2
2
2
4.(2 3)
(3) (2 3) 0
1 3 4
x x
x x
x x x
 
    
    
2 2
2
0, ( 1;4].
1
4
(2 3) 1 0 2 3 0 3
1 3 4
2
x
x
x x x x
xx x x
   
                         
Hướng 3. n n
a b
ẵ
2 2 2
(2) 4 2.2. 3 4 ( 3 4) 6 9x x x x x x           

25
2
2 2 2
2
2 3 4 3
(2 3 4) ( 3)
2 3 4 3
x x x
x x x
x x x
      
       
       
2
2
3 4 2 3
1
23 4 5 0 : 1;4o
x x x
x x
x x x VN x
     
      
          
Ví dụ 31. Gi
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x

   

( )
Phân tích. (2 4) (8 4 ) 6 4x x x     ế ả
ế é ờ ả :
 Lời giải 2 2.x  
 
          
  
2
2 (6 4) 4
( ) 4.( 2 4 8 4 ) 6 4 6 4
2 4 8 4
x x
x x x x x
x x
2
2
2
4
3(6 4) 1 0
2 4 8 4
2 4 8 4 4 (1)
xx
x
x x
x x x

                    
2 2 2
(1) 2 12 2 (2 4)(8 4 ) 4 4 8 2 2 8x x x x x x x            
4 3 2
2 2
2
4 2 2.
(2) 0
( ) 4 20 32 64 0
x
x
x x x
f
f x x x x x
  
 
        
      
Kết luận
2
, 2.
3
x x 
Nhận xét Q ế 31 ế é
é ẳ S
ả q ế .
 Nhóm II: S dụng casio, tìm nghiệm duy nhất  PP
o
x x ghép hằng số.
Ví dụ 32. Gi 2
3 1 6 3 14 8 0x x x x       ( )
Đại học khối B năm 2010
Phân tích é
: 2
3 1 6 3 14 8X X X X      và 2
= ả 5.X 
ú 2
( 3 1 6 3 14 8) :( 5)X X X X X       và
ế shift solve 2 = thì cho ế q ả ế

26
T ẳ 1 é
T é : 2
( 3 1 ) ( 6 ) 3 14 8 0x m n x x x m n           ,m n
5,x  ĩ
3 1 3.5 1 4
6 6 5 1
m x
n x
     

    
2
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x         
( ) ( 5)x  ờ ả ế :
 Lời giải
3 1 0 1
6.
6 0 3
x
x
x
  
   
 
2
( ) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x          
3( 5) 5
(3 1)( 5) 0
3 1 4 1 6
x x
x x
x x
 
     
   
3 1
( 5) 3 1 0 5.
3 1 4 1 6
x x x
x x
 
         
    
Do
1
;6 ,
3
x
 
  
 
suy ra:
3 1
3 1 0.
3 1 4 1 6
x
x x
   
   
Kết luận 5.x 
Ví dụ 33. Gi 2 3
3 10 3 3 26 5 2x x x x x       ( )
Phân tích S 2x 
é : ( 3 3 ), ( 5 2 )x m x n   
3 3 3.2 3 3, 5 2 5 2.2 1m x n x          ờ ả :
 Lời giải
3 3 0 5
1
5 2 0 2
x
x
x
  
    
 
3 2
( ) ( 3 3 3) (1 5 2 ) 3 10 24 0x x x x x           
 
      
   
23( 2) 2( 2)
( 2)( 12) 0
3 3 3 1 5 2
x x
x x x
x x
23 2
( 2) ( 12) 0
3 3 3 5 2 1
x x x
x x
 
        
    
2x  23 2
12
3 3 3 5 2 1
x x
x x
   
   
(1)
2
( ) 12f x x x  
5
1;
2
 
 
 
có
1
( ) 2 1 0
2
f x x x      
Mà
5 33 1 49
( 1) 10, ,
2 2 2 2
f f f
   
          
   
Suy ra:
5
1;
2
max ( ) 10.f x
 
 
 
 

27
  (1)
( ) 10,VP f x mà
 
      
     
(1)
3 2 5
0, 1; ,
23 3 3 5 2 1
VT x
x x
Ví dụ 34. Gi i: 2 3 2
3 4 2 3 1 2 1 6 7 3 0x x x x x x          ( )
Phân tích S 1x 
é
1,x  ờ ả :
 Lời giải. 2
2 1 0; 3 1 0 1
23 4 2 0
x x
x
x x
    
  
  
2 3 2
( ) ( 3 4 2 1) ( 3 1 2) ( 2 1 1) 6 7 1 0x x x x x x              
2
3 2
2
3 4 1 3 3 2 2
6 7 1 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x x x x
x x
x xx x
   
      
     
2
2
( 1)(3 1) 3( 1) 2( 1)
( 1)(6 6 1) 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x x x x
x x x
x xx x
   
       
     
2
2
3 1 3 2
( 1) 6 6 1 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x
x x x
x xx x
 
                
2
2
1
3 1 3 2
6 6 1 0 (1)
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x
x
x x
x xx x
 

       
      
2
( ) 6 6 1f x x x   trên
1
;
2
 

 
có
1
( ) 12 6 0,
2
f t x x      
( )f x
1
; ,
2
 

 
suy ra:
1 7
( )
2 2
f x f
 
   
 
Mà
2
3 1 3 2 1
( ) 0,
23 1 2 2 1 13 4 2 1
x
g x x
x xx x

      
     
(1)
( ) ( ) 0,VT f x g x  
Kết luận: 1.x 
Ví dụ 35. Gi 2 2
15 3 2 8x x x     ( )
Phân tích S 1,x 
ghé : 2 2
( ) 15 8 3 2x x x      
và có 2 2
15 8 0,x x x     ( ) 3 2 0.x   V
ế

28
2
3
x  
 Lời giải 1
 
            
   
2 2
2 2
2 2
1 1
( ) 15 4 8 3 3 3 3( 1)
15 4 8 3
x x
x x x x
x x
2 2
1 1
( 1) 3 0
15 4 8 3
x x
x
x x
  
       
    
1x 
2 2
1 1
3
15 4 8 3
x x
x x
 
 
   
(1)
2 2
(1)
2 2 2 2
1 1 8 15 1
( 1) ( 1)
15 4 8 3 ( 15 4)( 8 3)
x x
VT x x
x x x x
     
       
        
2
,
3
x  suy ra: 2 2
1 0
8 15 1 0
x
x x
  

    
nên    (1) 1
0 3VT VP
 Lời giải 2 : 2 2
( ) 15 8 3 2 0x x x       
2 2
( ) 15 8 3 2f x x x x      v x >
2
3
có:
2 2
2 2 2 2
8 15 2
( ) 3 . 3 0,
315 8 ( 8)( 15)
x x x x
f x x x
x x x x
   
          
     
( )f x
2
;
3
 
 
 
và có (1) 0,f  nên 1x 
Ví dụ 36. Gi 23
9 2 3 5 1 1x x x x      ( )
Học sinh giỏi Tp. Hà Nội 2013
Phân tích S 1.x 
é ờ ả 1 :
1
5 1 0
5
x x    
 Lời giải 1
23
( ) ( 9 2) (2 5 1) 2 3 5 0x x x x          
23 3
1 5( 1)
( 1)(2 5) 0
( 9) 2 9 4 5 1 2
x x
x x
x x x
 
     
     

29
23
1 5
( 1) 2 5 0 1:
( 9 1) 3 5 1 2
x x x
x x
 
        
      
Do
23
1 5 5 2 1
2 5 5 0,
2 5 5( 9 1) 3 5 1 2
x x
x x
          
    
Nhận xét é
( ). ( )o
x x f x ( )f x ả
q ế Đối với loại ghép h ng số
( )f x phương pháp truy ngư c d u ả ả
( )f x đối với phương trình c nghiệm duy nh t :
 Bước 1. ế
23
( ) 9 5 1 2 3 1 0x x x x        
 Bước 2 ax : é
:     
   
3
23 3
1
9 2 ( 1) ,
( 9) 2 9 4
x x
x x
23 3
1
( 9) 2 9 4x x   
:
 
     
   
5(1 ) 5
2 5 1 ( 1) ,
2 5 1 2 5 1
x
x x
x x
( )m A thành ( )),A A m :
 
    
 
5( 1) 5 1
5 1 ( 5 1 2)
5 1 2
x x
x x
x
      5 1( 5 1 2) 5 1 2 5 1x x x x
5 1x  ế ờ ả :
 Lời giải 2. Ta có: 23
( ) 2 9 2 5 1 4 6 2 0x x x x        
23
2( 9 2) 5 1( 5 1 2) 4 5 0x x x x x          
23 3
1 5( 1) 5 1
( 1)(4 5) 0
( 9) 2 9 4 5 1 2
x x x
x x
x x x
  
     
     
23
1 5 5 1
( 1) (4 5) 0 1 0 1.
( 9 1) 3 5 1 2
x
x x x x
x x
 
            
      
Ví dụ 37. Gi 2
2 4 2 5 2 5x x x x x       ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng
5
4.
2
x 
 Phân tích và lời giải 1. (L ờ : S 3x 
é :

30
( 2 ), ( 4 ), ( 2 5 )x m x n x p      , ,m n p
3,x 
2 1, 4 1, 2 5 1.m x n x p x        
2
( ) ( 2 1) ( 4 1) ( 2 5 1) 2 5 3x x x x x            
3 3 2( 3)
( 3)(2 1)
2 1 4 1 2 5 1
x x x
x x
x x x
  
     
     
1 1 2
( 3) (2 1) 0
2 1 4 1 2 5 1
x x
x x x
 
        
      
3
1 2 1
2 1 (1)
2 1 2 5 1 4 1
x
x
x x x
 
     
      
(1) vô nghi m do
5
;4
2
x
 
  
 
có
(1)
(1)
1 2 1 2
3
1 12 1 2 5 1
1 5
2 1 2 1 2. 1 6
24 1
VT
x x
VP x x
x

    
    

        
  
Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x 
 Phân tích và lời giải 2. (T c d u): Sau khi chuy n vế sao cho h s
th c luôn thì 2
( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x          nếu ghép và liên
h ờng thì
3 3
(1 2) ( ), (1 4 ) ( )
1 2 1 4
x x
x a x b
x x
 
     
   
và
2(3 )
(1 2 5) ( )
1 2 5
x
x c
x

  
 
th y bi u th c ( ), ( )a c b c d u so v i bi u th c
( )b c l i theo d ng ( )m A A A m   và có lời giải 2.
2
( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x         
2
2( 2 1) (1 4 ) 2 5( 2 5 1) 2 8 6 0x x x x x x x              
( 3) 2 3 2( 3) 2 5
2( 3)( 1) 0
2 1 1 4 2 5 1
x x x x x
x x
x x x
    
      
     
2 1 2 2 5
( 3) 2( 1) 0
2 1 1 4 2 5 1
x x
x x
x x x
  
        
       
3
5
0 : ;4 .2 1 2 2 5
20 2( 1)
2 1 1 4 2 5 1
o
x
VN xx x
x
x x x
 
 
                   
Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x 

31
Ví dụ 38. Gi 3 2
5 6 ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x       ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Bạc Liêu
1 5.x  
2
( ) ( 5 6) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x        
( 2)( 3) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x       
( 3) 2 2 5x x x x      (1) (do: : 2 0, 1;5x x     
 Lời giải 1 1.x 
2
(1) ( 2 2 2) ( 5 2) ( 3 4) 0x x x x         
2( 1) 1
( 1)( 4) 0
2 2 2 2 5
x x
x x
x x
 
     
   
1x 
2 1
4
2 2 2 2 5
x
x x
  
   
(2)
Ta có:
(2)
(2)
2 2
1
22 2 2
1;5
1
4 4 3
2 5
VT
x
x
VP x x
x

  
  
     
      
  
 Lời giải 2 ( 1). ( ) 0x f x  có ( ) 0.f x 
2
(1) 3 2 2 5 0x x x x      
2
2 2( 2 2 2) 2(2 5 ) 2 4 6 0x x x x x          
( 1) 2 2 ( 1)
( 1)( 3) 0
2 2 2 2 5
x x x
x x
x x
  
     
   
1x  ho c
2 2 1
0 3 0
2 2 2 2 5
x
x
x x

    
   
vô nghi m 1;5 .x   
Ví dụ 39. Gi 23
6 1 1x x x     ( )
1 0 1.x x   
 Lời giải 1. 2,x 
23
( ) ( 6 2) ( 1 1) 4x x x        
2 33
2 2
( 2)( 2)
1 1( 6) 2. 6 4
x x
x x
xx x
 
    
    
23
1 1
( 2) 2 0
( 6 1) 3 1 1
x x
x x
 
       
      
(1)

32
Do
23
1 1 1 2
2 1 2 0, 1
3 3( 6 1) 3 1 1
x x x x
x x
            
    
nên:
(1) 2 0 2.x x    

 Phân tích và lời giải 2. Chuyên vế thì 2 3
( ) 4 4 4 6 4 1 0x x x        và
ả
33 2 2
( )A A m ế
ờ 3
m A ờ ả :
23
(2) 6 1 1x x x     
2 23 3
4 5 6 6 ( 6) 4 4 1( 1 1) 0x x x x x x               
3
2 33
( 2)( 14) 6 4( 2) 1
( 2)(4 3) 0
1 1( 6) 4 6 16
x x x x x
x x
xx x
    
     
    
3
23
0, 1
( 14) 6 4 1
( 2) 4 3 0 2 0 2.
( 6 2) 12 1 1
x
x x x
x x x x
x x
  
   
           
      
Ví dụ 40. Gi 3 2 2
2 2 5 2 4 5 5 4x x x x x x        ( )
2
2 5 0 5
44 5 0
x x
x
x
   
   
 
 Phân tích và lời giải 1. S 1,x 
é ờ ả 1 :
3 2 2
( ) 2 5 4 (2 2 5) 2(3 4 5) 0x x x x x x            
2
2
2
2 1 4 4
( 1)( 4) 2 0
4 5 32 5 2
x x x
x x x
xx x
    
       
   
2
2
( )
1 8
( 1) 4 0
4 5 32 5 2
f x
x
x x x
xx x
 
             
(1)
2 2
2
1
( 1) 4 2 ( 1) 1 1 1
( 1) 4 2
x
x x x x
x

            
  
(2)
5
,
4
x   suy ra
8 8 8 8
3 34 5 3 4 5 3x x
    
   
(3)

33
2
2 11 1 1 5
( ) 4 0,
3 2 12 4
f x x x x x
 
           
 
(4)
(1) 1 0 1.x x    
 Phân tích và lời giải 2.
T
8( 1) 4 5
2 4 5( 4 5 3)
4 5 3
x x
x x
x
 
   
 
8 4 5 5
0,
44 5 3
x
x
x

   
 
2 4 5( 4 5 3) 2(4 5) 3.2 4 5x x x x       3 4 5x 
ế 3 2
(2 2 5)x x   2
( ) 2 5ax b x x      
.( 1)m x  ọ 1a  2
.x
2
2
2
(2 2) 5
( ) 2 5
2 5
b x b
x b x x
x b x x
             
.( 1)m x 
2
2 2
5
m b
m b
  

  
ả 1b  3.b  
ả ọ 1b  ờ ả :
3 2 2
( ) 3 6 15 12 3 2 5 6 4 5 0x x x x x x          
2 3 2
3( 1 2 5) 2 4 5( 4 5 3) 3 6 4 1 0x x x x x x x x             
2
2
12( 1) 8( 1) 4 5
( 1)(3 3 1) 0
4 5 31 2 5
x x x
x x x
xx x x
  
      
    
2
2
12 8 4 5
( 1) 3 3 1 0 1.
4 5 31 2 5
x
x x x x
xx x x
 
          
      
Ví dụ 41. Gi (5 4) 2 3 (4 5) 3 2 2x x x x      ( )
Chọn đội tuyển VMO năm 2015 – Tỉnh Đồng Nai
Phân tích S 6.x  ế
ế ế
2 2
(2 3)(5 4) (3 2)(4 5) 2x x x x      ả
A B C  ế ế ú ỉ
1 é ờ ả :
 Lời giải.
3
2
x  
( ) (5 4) 2 3 2 (4 5) 3 2x x x x       
3 2 3 2
50 155 152 48 48 152 155 46 4(4 5) 3 2x x x x x x x x          

34
3 2
2 3 3 2 4(4 5) 3 2 0x x x x x        (1)
3 2
(4 5) 3 2.( 3 2 4) 2 15 20 12 0x x x x x x          (2)
23( 6)(4 5) 3 2
( 6)(2 3 2) 0
3 2 4
x x x
x x x
x
  
     
 
23(4 5) 3 2
( 6) 2 3 2 0 6
3 2 4
x x
x x x x
x
  
          
   
Do 23(4 5) 3 2 3
2 3 2 0,
23 2 4
x x
x x x
x
 
      
 
Bình luận T ế 1 ỹ
4(4 5)(4 3 2)x x   thành (4 5) 3 2.( 3 2 4)x x x   
Ví dụ 42. Gi 2
( 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x x        ( )
2.x  
 Phân tích và lời giải 1. S 2,x 
é
é ( 1).( 2 ), ( 6).( 7 ).x x m x x n     
2
( ) ( 1)( 2 2) ( 6)( 7 3) ( 2 8) 0x x x x x x            
2 2
( 1) ( 6) ( 2)( 4) 0
2 2 7 3
x x
x x x x
x x
 
         
   
1 6
( 2) 4 0 2.
2 2 2 3
x x
x x x
x x
  
        
    
Do 2,x   suy ra: 2 0, 6 0x x    và lúc này, ta luôn có:
1 6 2 2 6 6
4
2 22 2 7 3 2 2 7 3
x x x x x x
x
x x x x
        
         
          
1 2 2 6 6 1 6 1
0
2 2 3 2 62 2 2 2 2 2
x x x x x
x x x
    
         
     
 Phân tích và lời giải 2. Nếu liên h p d ng
( 1)( 2)
( 1)( 2 2)
2 2
x x
x x
x
 
   
 
1x  2x   ĩ ế
2
( 2)( 1)x x  sau khi ả
( 2)( 1)x x  1, 2x x  
é ( ) 2ax b x   
 

35
ả ( 2)( 1)),x x 
2 2 2 2 2 2 1 4
,
3 31 2 1 2 1
khi x x ax b a b
a b
khi x x ax b a b
          
   
            
é
1 4
( 1) 2
3 3
x x x
  
      
  
ả ế 3 ế
2 2
( 1)( 2) ( 2)( 1)
( 1) ( 4) 3 2
4 3 2 4 3 2
x x x x x
x x x
x x x x
          
       
ả ả
:

   
  
2
( 1)
0, 2.
4 3 2
x
x
x x
:
( 6)( 2)
( 6)(3 7)
3 7
x x
x x
x
 
    
 
6 0x    2,x : ( 6)(3 7)x x  
( 2)( 6) 7
( 6) 7( 7 3)
7 3
x x x
x x x
x
  
    
 
( 6) 7
0, 2.
7 3
x x
x
x
 
   
 
T ờ ả :
2
( ) ( 1)( 4 3 2) ( 6) 7( 7 3) 3 10 0x x x x x x x x              
2
( 1) ( 2) 2
( 6) 7 ( 2)( 5) 0
4 3 2 7 3
x x x
x x x x
x x x
  
        
    
2
0, 2
( 1) ( 6) 7
( 2) 5 0 2.
4 3 2 7 3
x
x x x
x x x
x x x
   
   
        
      
Ví dụ 43. Gi 2
( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13x x x x x x        ( )
4 5 0.x  
 Lời giải 1. 1x 
2
( ) ( 1)( 4 5 3) 2( 5)( 3 2) 3 7 10x x x x x x           
4( 1).( 1) 2( 5)( 1)
( 1)(3 10) 0
4 5 3 3 2
x x x x
x x
x x
   
     
   
4( 1) 2( 5)
( 1) (3 10) 0 1.
4 5 3 3 2
x x
x x x
x x
  
         
    
Do
4 5 05
5 04
x
x
x
  
    
 
4( 1) 2( 5)
(3 10)
4 5 3 3 2
x x
x
x x
 
  
   
4 5 4 5 2( 5) 5 25 5
3 34 5 3 3 2 4 5 3
x x x x
x x x
    
     
      
4 5 4 5 2( 5) 5 25 5 2 10 5
0
3 3 2 3 34 5 3 4 5 3
x x x x x
x x
    
        
   

36
Kết luận có nghi m duy nh t 1.x 
 Lời giải 2.
2
( ) 2( 1). ( 2) 4 5 2( 5) 3.( 3 2) 2 6 8 0x x x x x x x x               
 
2
2( 1) ( 1) 2( 5)(x 1) 3
2( 1)( 4) 0
2 4 5 3 2
x x x x
x x
x x x
    
     
    
2
2( 1) 2( 5) 3
( 1) 2( 4) 0 1.
2 4 5 3 2
x x x
x x x
x x x
   
         
      
Do
2
2( 1) 2( 5) 3 5
2( 4) 0,
42 4 5 3 2
x x x
x x
x x x
  
       
    
Kết luận m duy nh t 1.x 
Sai lầm thường gặp i v i cách gi i 1, sai l ng g p c a h c sinh là
4( 1) 2( 5) 4 2
(3 10) ( 1) ( 5) (3 10)
3 24 5 3 3 2
x x
x x x x
x x
 
         
   
2 23 5
0,
3 4
x
x

       B i lẻ v i
5
4
x   thì d u c a 1x  c nh âm
t.
Ví dụ 44. Gi 23
3 2 3 2 2 2 1x x x x     ( )
 Lời giải.
2
3
x  
23
( ) ( 3 2 2) 2 ( 3 2 2) 2 2 2 1x x x x x          
23
( 3 2 2) ( 3 2 2) 2 ( 1) 2 1 0x x x x x             
2 233
3( 2) 3 ( 2) 2 ( 2)
0
3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1
x x x x x
xx x x x
  
   
       
2 233
3 3 2
( 2) 0
3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1
x x
x
xx x x x
 
     
         
2
23 2
3 (3 2 1 2 3 2 3 1)
( 2) 0
( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)
x x x x
x
x x x x
     
    
        
2
2
23 2
( )
18 12 17
3 1
3 3 2 1 2 3 2
( 2) 0
( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)
f x
x x
x x
x x
x
x x x x
   
     
        
        
  
2 0 2.x x     Do
2
• 8 72
3 •
x x
x
x
   
   
 
nên ( ) 0.f x 

37
Ví dụ 45. Gi 2
18 (2 9) 3 2 5 1 0x x x x x        ( )
1
5
x  
 Lời giải 1. Liên h ng.
2
( ) (2 9)( 3 2) 2(2 5 1) 3 4 0x x x x x           
1 10.(1 )
(2 9) ( 1)( 4) 0
3 2 5 1 2
x x
x x x
x x
 
       
   
2 9 10
( 1) 4 0
3 2 5 1 2
x
x x
x x
 
       
    
(1)
2 9 10
( ) 4
3 2 5 1 2
x
f x x
x x

   
   
trên
1
;
5
 

 
2 2
2 3 8 3 5 1
( ) 1 0,
52 3( 3 2) 5 1( 5 1 2)
x x
f x x
x x x x
  
       
     
( )f x
1
; ,
5
 

 
suy ra
1 227 94 5
( ) 0
5 10
f x f
  
   
 
(2)
1 0 1.x x   
 Lời giải 2 c d u.
( ) 3(4 18 11 3) 2 5 1( 5 1 2) ( 1)(2 1) 0x x x x x x x             
( 1)(16 39) 10( 1) 5 1
3 ( 1)(2 1) 0
4 18 11 3 5 1 2
x x x x
x x x
x x x
   
       
    
(16 39) 3 10 5 1
( 1) (2 1) 0 1.
4 18 11 3 5 1 2
x x x
x x x
x x x
   
         
      
Do
1
,
5
x  suy ra:
(16 39) 3 10 5 1
2 1 0.
4 18 11 3 5 1 2
x x x
x
x x x
  
   
    
 Nhóm III: Có nghiệm đẹp 1 2
  , PP
x x x x ghép bậc nhất  .ax b
Ví dụ 46. Gi 2 2
2 3 21 17x x x x x      ( )
Phân tích. S 2 2
2 3 21 17X X X X X     
2.X 
ú 2 2
( 2 3 21 17) :( 2)X X X X X X       ,
1.X 

38
2
( 2)( 1) 3 2x x x x     é
: 2
2 3 ( ) , ( ) 21 17x x ax b cx d x             
, , ,a b c d :
2 2
2 2
1 2 3 2.1 1 3 2 1
12 2 3 2.2 2 3 3 2
khi x x x ax b a b a
bkhi x x x ax b a b
              
 
           
và
1 21 17 21.1 17 2 2 3
2 5 12 21 17 21.2 17 5 2
khi x x cx d c d c d c
c d dkhi x x cx d c d
               
    
              
é ờ ả :
 Lời giải. 21 17 0.x  
2 2
( ) 2 3 ( 1) (3 1) 21 17 ( 3 2) 0x x x x x x x                    
2 2
2
2
3 2 9( 3 2)
( 3 2) 0
3 1 21 172 3 1
x x x x
x x
x xx x x
   
     
     
2
2
1 9
( 3 2) 1 0
3 1 21 172 3 1
x x
x xx x x
 
              
(1)
Do
17
,
21
x  suy ra:
2
1 9
1 0
3 1 21 172 3 1 x xx x x
  
     
nên:
(1) 2
3 2 0 1x x x      2.x 
Ví dụ 47. Gi 2
2 3 4 3 5 9 6 13x x x x      ( )
u ki n:
3 4 0 4
5 9 0 3
x
x
x
  
   
 
Phân tích S : 0, 1.x x   é
2. 3 4 ( ) , 3. 5 9 ( ) ,x ax b x cx d        
   
:
0 3 4 3.0 4 2 .0 1
21 3 4 3.( 1) 4 1 .( 1)
khi x x ax b a b b a
bkhi x x ax b a b a b
             
 
                
0 5 9 5.0 9 3 .0 1
31 5 9 5.( 1) 9 2 .( 1)
khi x x cx d c d d c
dkhi x x cx d c d c d
             
  
                
 Lời giải. Ta có: 2
( ) 2 3 4 ( 2) 3 5 9 ( 3)x x x x x x             
   
2 2
22( ) 3( )
( ) 0
3 4 2 5 9 3
x x x x
x x
x x x x
  
    
     
2 2 02 3
( ) 1 0 0
13 4 2 5 9 3
x
x x x x
xx x x x
  
           
        

39
Do
4
,
3
x   suy ra:
2 3
1 0.
3 4 2 5 9 3x x x x
  
     
Kết luận 1, 0.x x  
Ví dụ 48. Gi 2 2
3 2 1 5 4 4x x x x    ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước
Phân tích S
1
, 1
2
x x  é
V 2 1x  thì
1 1 1
22 1 2 1 0
2 2 2
1
1 2 1 2.1 1 1 1.
ax x ax b a b
b
x x ax b a b

           
  
           
V 2
5 4x thì
2
2 2
1 1
5 4 5 1 2 2
2 2
3
1 5 4 5 4.1 1
khi x x ax b a b a
b
khi x x ax b a b

            
  
          
 Lời giải
1 5
2 2
x   ( )a

1
2
x 
 V
1
2 1 2 1 0
2
x x x      thì:
2 2
( ) 3 2 1 (2 1) . 5 4 ( 2 3) 3(2 3 1) 0x x x x x x x                   
2 2
2
2
6(2 3 1) 4 (2 3 1)
3(2 3 1) 0
2 1 2 1 5 4 3 2
x x x x x
x x
x x x x
    
     
     
2
2
6 4
(2 3 1) 3 0
2 1 2 1 5 4 3 2
x
x x
x x x x
 
              
2 1
2 3 1 0
2
x x x      (lo i) ho c 1.x 
Kết luận
1
1,
2
x x  
Nhận xét T ả é ờ
1
2 1 2 1 0
2
x x x      
é ế ờ ọ .
Ví dụ 49. Gi 23
3 5 2 19 30 2 7 11x x x x      ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng

40
Phân tích S 2, 3x x 
é ờ ả :
 Lời giải
5
3 5 0
3
x x     ( )a
23
( ) 3 5 ( 1) 2 ( 19 30 ) 2 10 12x x x x x x            
 
2 3
2 233
3 5 ( 1) 19 30
2 2( 2)( 3)
3 5 1 (19 30) 19 30
x x x x
x x
x x x x x x
    
     
      
2 233
( 2)( 3) ( 2)( 3)( 5)
2 2( 2)( 3)
3 5 1 (19 30) 19 30
x x x x x
x x
x x x x x x
    
      
      
2 233
0, ( )
1 2( 5)
( 2)( 3) 2 0
3 5 1 (19 30) 19 30
x a
x
x x
x x x x x x
  
 
      
        
( 2)( 3) 0 2x x x      ho c 3.x 
Ví dụ 50. 3 2 2
( 1) 3 1 2 1 2 1 6x x x x x x x         ( )
2
3 1 0 1
31 0
x
x
x x
  
   
  
Phân tích và lời giải 1 S 2 0, 1,x x 
2
( 1) .x x x x   D é
: 2
( 1). 3 1 ( ) , 2. ( ) 1x x ax b cx d x x             
:
0 3 1 1 1
11 3 1 2
Khi x x ax b b a
bKhi x x ax b a b
         
 
        
:
2
2
0 1 1 0
11 1 1
Khi x x x cx d d c
dKhi x x x cx d c d
          
  
        
T ờ ả 1 :
2 3 2
( ) ( 1) 3 1 ( 1) 2(1 1) 3 4 0x x x x x x x x              
 
2 2
2
2
( 1)( ) 2( )
( )( 4) 0
3 1 1 1 1
x x x x x
x x x
x x x x
    
     
     
2
2
01 2
( ) 4 0
13 1 1 1 1
xx
x x x
xx x x x
   
                   
Do
2
1 2 1 1
4 2 4 1 0,
1 33 1 1 1 1
x x
x x x x
xx x x x
 
              
     

41
Phân tích và lời giải 2 V ( )f x trong 2
( ). ( )x x f x sau khi
liên : 2
2.(1 1)x x   :
2 2
2. 1.( 1 1)x x x x     3 1 ( 1)x x   3 1.( 1 3 1)x x x   
( )f x p T ờ ả :
2 2 3
( ) 2 1( 1 1) 3 1( 1 3 1) 0x x x x x x x x x              
2 2 2
2
2
2( ) 1 ( ) 3 1
( )( 1) 0
1 3 11 1
x x x x x x x
x x x
x xx x
    
     
    
2
2 2
2
02 1 3 1
( ) 1 0 0
11 3 11 1
xx x x
x x x x x
xx xx x
     
                    
Do
1
,
3
x   suy ra:
2
2
2 1 3 1
1 0.
1 3 11 1
x x x
x
x xx x
  
   
    
Ví dụ 51. 3 2
3 2 4 4 1x x x x x x x          ( )
 Phân tích và lời giải. S 1, 2x x  
é T
é ế 2
( 1)( 2) 2.x x x x    
ế ế ả ọ
2 3.x  
2
( ) ( 3 1) ( 2 ) ( 2)( 2)x x x x x x x           
2 2
22 2
( 2)( 2) 0
3 1 2
x x x x
x x x
x x x x
     
       
    
2 1 1
( 2) 2 0
3 1 2
x x x
x x x x
 
         
      
2
2 0 1x x x        2.x 
2. Liên hợp với phương trình có nghiệm vô tỷ hoặc có sự biến đổi
 Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản hơn hoặc có sự biến đổi, rồi liên hợp
Ví dụ 52. Gi (8 13) 4 7 2( 2) 2 3 12 35x x x x x       ( )
Phân tích. S
1
2
x   N
2 ,x ả q
1 2
2 3 2 3.t x x t    

42
2 2 3 2
( ) (4 1) 2 1 6 17 0t t t t t         ú 2,t  é
ờ ả :
 Lời giải 2 3 0.x   2
2 3 0 2 3.t x x t     
2 2 3 2
( ) (4 1) 2 1 6 17t t t t t       
2 2 3 2
(4 1) 2 1 ( 1) 3 2 16 0t t t t t           
2 2
2
2
(4 1)( 2 )
( 2)(3 4 8) 0
2 1 1
t t t
t t t
t t
 
     
  
2
2
0, 0
1 1
( 2) 3 4 8 0 2 0 2
22 1 1
t
t t t t t x
t t
  
 
               
   
Kết luận
1
2
x  
Bình luận ế 2 3 0t x  
2t   é 2 2 2
(4 1)( 2 1 3) ( 2)( 4 7)t t t t t      
ế ẳ ả
q ế ả ế
ọ ả
2 2
(4 1)( 2 1 3)t t   2 2
(4 1). 2 1 ( 1)t t t      
ả ả
V ế ả 1t  ?!
TL
 ở 0,t  ế .( 2)t t 
é ax b 0, 2)t t 
é 1,t  ọ
2 3 2
(4 1)( 1) 4 4 1t t t t t      :
3 2 2
3 2 16 ( 2)(3 4 8)t t t t t      có 2
3 3 8 0, , (do : 0, 3 0).t t t a       
Ví dụ 53. Gi 3 2 4 2
(8 6 1) 4 21 16 12 2 21x x x x x x       ( )
Chọn đội tuyển VMO năm 2014 – Tỉnh Nghệ An
Phân tích S 1.x  Nh
2 ,x ả
2t x ờ ả :
 Lời giải 2 .t x
3 2 4 2
( ) ( 3 1) 21 3 21t t t t t t        
3 2 3
( 3 1) 21 ( 3 1) 21t t t t t t       

43
3
3 2
2
21.( 3 1)
( 3 1).( 21 ) 21 21
21
t t
t t t t
t t
 
       
 
3 2 3 2
3 1 21 ( 3 2) ( 3 21) 0t t t t t t t t             
2 2
2 2
6( 2) 6
( 2)( 1) 0 ( 2) ( 1) 0
3 21 3 21
t
t t t t
t t t t
 
          
       
2,t  suy ra: 2 2 1.t x x   
Ví dụ 54. Gi 3 3 4 3
(28 4 ) 2 15 2 3 14 16x x x x x      ( )
Phân tích. 3 3 4 3 3 3
28 4 4(7 ); 2 14 2 ( 7); 2 15 2( 7) 1x x x x x x x x         
ả 3 3 3
7 7 7t x x t x t        ờ ả :
 Lời giải 3 3
15
2 15 0
2
x x    
        3 3 3 3
( ) 2 ( 7) 3( 7) 5 4(7 ) 2( 1)x x x x x (1)
3 3
7 7t x x t     3 3 1
2 15 0 2 2 14 1
2
x t x t        
3 3
(1) 2 7 4 2 1 3 5 2 ( 7 2) 4 ( 2 1 1) 5( 1) 0t t t t t t t t t t              
2 33
2 ( 1) 8 ( 1)
5( 1) 0 1 2.
2 1 1( 7) 2 7 4
t t t t
t t x
tt t
 
        
    
Do:
2 33
2 8 1
5 0,
22 1 1( 7) 2 7 4
t t
t
tt t
     
    
Ví dụ 55. Gi i 2 4 2 4 2
91 2 2 93 2 2 2 93x x x x x x x x x           
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Phân Châu Trinh – Đà Nẵng
 Lời giải
4 2
2
2 2 93 2 0
x
x x x x
 

     
4 2
2 2 93 0.t x x x x     
Suy ra: 2 4 2 2 2
2 2 93 ( 2) 91.t x x x x x x        
h
2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) 91 2 91
91 2 2 91
x x t x x t
x t t t t x
         
 
         
2 2
( )( )
( )( ) 0
2 2 91 91
x t x t x t
x t x t
x t t x

  
     
     
( , 2)x t 

44
2 2
1
( ) 0 .
2 2 91 91
x t
x t x t x t
x t t x
 
                
Suy ra: 2 2 2 2
91 2 ( 91 10) ( 2 1) ( 9)x x x x x x           
2
( 3)( 3) 3
( 3)( 3)
2 191 10
x x x
x x
xx
  
    
  
2
3 1
( 3) ( 3) 0 3 :
2 191 10
x
x x x
xx
 
         
    
Do:
2
3 1 3 1
( 3) ( 3) 0, 2.
102 1 2 191 10
x x
x x x
x xx
 
         
    
Bình luận. Trong bài giả t n ph h i x ng
lo i II, ta s tìm hi u d u hi u nh n d th ở nh ng bài họ
n a, qua bài này tôi mu n g i m p r ng: khi g p h i x ng
lo i II ch c thì sau khi l y vế tr vế s liên h p luôn nh c ,x y ho c
có th s d ng nhân t .x y
Ví dụ 56. Gi
3 2 9
3 1 3
x x
xx x
 

  
( )
Phân tích
q
ế ú ú ọ
ế T ờ
2
1 2
( ) .( )( )f x ax bx c a x x x x      1 2
,x x
( ) 0f x  ẳ
:
2
2 2
2 2
•
•
•
x x x x x x
x x x x
x x x x
             

        

       
T ế ờ ả :
 Lời giải
1 0; 9 0 1 9
3 1 3 0.
0 0
x x x
x x
x x
       
      
  
( 1 2)( 1 2) 2 9
( )
( 1 1)( 1 2) ( 1 1)( 1 1)
x x x
x x x x
    
  
       
( 1 2)( 1 1) 2 9 3 3 1 2 9 0x x x x x x             
( 8) 1 2( 8)
1( 1 3) 2(1 9 ) 0 0
1 3 1 9
x x x
x x x
x x
  
          
   

45
8 0 8 :x x    
Do:  1 2
0, 1;9 0
1 3 1 9
x
x
x x

     
   
.
Ví dụ 57. Gi
( 6) 1 8 2 2 1 5
23 1
x x x x
x x
     

  
( )
 Lời giải V 1,x  thì ta có:
2
3 2
•
• 6 8 5 6
( 1) 2( 1) 5 1 6 ( 1 2)( 1 3)( 1 1)
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
             

               

             
1 1
21 1 0
x x
xx
   
  
   
( 1 2)( 1 3)( 1 1) 2 1 5 2 1 5
( ) 1 3
2 2( 1 1)( 1 2)
x x x x x
x
x x
         
      
   
x 5 nên có tách ghép:
( 2 1 3) 2
1 2 1 2( 1 2) ( 2 1 3)
2
x
x x x
  
          
2( 5) 2( 5) 1 1
( 5) 0
1 2 2 1 3 1 2 2 1 3
x x
x
x x x x
  
       
        
5 0 1
5 :
2 1 1 1 0 2 2 2 1 1
x x
x
x x x x x
   
    
          
Ví dụ 58. Gi
2
9 14 25 ( 1 1)(2 4)
3 3 4 2 1
x x x x
xx x
    

  
( )
 Phân tích và lời giải 1,x  suy ra: 3 3 4 2 1 0.x x    Ta có:
2 2
(3 3) 4 2 1 (3 3) 4 2 1 (3 3) 16 2 1 9 14 25x x x x x x x x              
  
2
9 14 25
(3 3) 4 2 1
3 3 4 2 1
x x
x x
x x
 
    
  
( 1 1)(2 4)
( ) 3 3 4 2 1
x x
x x
x
  
     
2
3 3 4 2 1 (2 4) 1 2 4x x x x x x x        
2
3 5 4 4 2 1 2( 2) 1 0x x x x x x        

46
D ẵ
n n
A B ẳ :
2 2
4 2.2 . 2 1 (2 1) ( 2) 2.( 2). 1 ( 1) 0x x x x x x x x               
   
2 2 2 2
(2 2 1) ( 2 1) 0 (2 2 1) ( 2 1)x x x x x x x x              
2 2 1 2 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 0
x x x x x x x
x x x x x x x
           
  
             
(1)
(2)
1 ọ 1x 
:
2 2
(1) 3 2 2 ( 1)(2 1) 4 4 2 ( 1)(2 1) 6x x x x x x x x x             
Do 1,x  suy ra: 2 2
2 ( 1)(2 1) 2 .2 2 2. 2 6
Cauchy
x x x x x x x x        
S 1,x  é (2) :
(2) 1 2 1( 2 1 1) ( 1) 0x x x x         ỹ
2( 1) 2 1
1 ( 1) 0
2 1 1
x x
x x
x
 
     
 
0, 1
2 ( 1)(2x 1)
1 1 1 0 1 0 1.
2 1 1
x
x
x x x x
x
  
  
            
   
Ví dụ 59. 3 2 3 2 2
3 2 9 4 4 2 2 4 1x x x x x x x        ( )
32 2 2 3
( ) 16 4 4 9 4 4 3 2 2 0x x x x x x x           (1)
3 2 3 3 2
3 2 2 0 35 54 0 0x x x x x x       
54
35
x  
 TH 1 V 0x  0x 
 TH 2 V
54
0;
35
x
 
 
 
0,x 
3
2 2
1 1 1 1 2
(1) 16 4 9 4 3 1
x x xx x
   
          
   
(2)
3
2
1,t
x
  suy ra:
3
3 2 1 1
1
2
t
t
x x

    
6 6
(2) 15 8 3 2 0t t t       u ki n: 3 2 0)t  
6 6
6 6
6 6
1 1
( 15 4) (3 8) 3 3 3( 1)
15 4 8 3
t t
t t t t
t t
 
           
   

47
3 2 3 2
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) 3 0 1 1.
15 4 8 3
t t t t t t
t t x
t t
      
          
     
3 2 3 2
6 6
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1)
15 4 8 3
15 4 8 3
t t t t t t
t t
t t
     
      
   
Suy ra:
3 2 3 2
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2
3 0,
315 4 8 3
t t t t t t
t
t t
     
     
   
 TH 3 V ( ;0),x  ho 0,x 
32 2 2 31 1 1
(1) 16 4 4 9 4 4 3. 2 2x x x x x x
x x x
   
              
   
3
2 2
1 1 1 1 2
9 4 16 4 3 1
x x xx x
   
          
   
(3)
3
2
1,t
x
  suy ra:
3
3 2 1 1
1
2
t
t
x x

     Do 3
0 1 1.x t t      
6 6
(3) 8 15 3 2 0t t t       (4)
6 6
( ) 8 15 3 2f t t t t      trên ( ; 1), 
5
6 6
1 1
( ) 3 3 0, 1.
8 15
f t t t
t t
 
          
  
( )f t
trên ( ; 1),  suy ra: 6 6
( ) 8 15 3 2 f( 1) 2f t t t t         (5)
5
Ví dụ 60. 2 2
6 1 (2 1) 2 3x x x x x      ( )
Học sinh giỏi tỉnh Long An năm 2014
T nh: .D 
Phân tích và lời giải 1 S
2 2
0 :(2 1)( 2 3 ) 6 1 2a x x x a x x ax a         
p:
2 2
2
2
2 3
(2 1) (6 2 ) 1 .
2 3
x x a
x x a x a
x x a
  
      
  
: 2
2 6 2 2
2
3 4 1 23 1
a a
a
a a
    
   
     
ờ ả 1 :
2
2 2 2
2
(2 1)( 2 1)
( ) (2 1)( 2 3 2) 2 1 2 1
2 3 2
x x x
x x x x x x x
x x
  
            
  

48
2
2
22
2 1 02 1
( 2 1) 1 0
2 3 2 12 3 2
x xx
x x
x x xx x
    
                 
2 2
1 2 1 2
2 1 0 3 15
2 3 (2 1) 3
x x
x
x
x x x
      
 
      
      
Kết luận
3 15
1 2,
3
x x

    
 Lời giải 2.
Do
1
2
x  
2
2 6 1
( ) 2 3 2 2
2 1
x x
x x
x
 
      

22 2
22
1 22 1 02 1 2 1
3 152 1 2 2 3 2 12 3 2
3
xx xx x x x
x x x xx x x
          
               

Bình luận V q ế ax b ế
q ế ả hệ số x2 ng nhau nên để
đơn giản c thể thêm h ng số a T ờ ả 3 phương
pháp đ t n số phụ không hoàn toàn (nên làm khi là số chính phương):
 Lời giải 3 2 2 2
2 3 2 2 3t x x x t x       
2
( ) (2 1) 4 2 0t x t x        2
(2 3)t
x   2t  2 1.t x 
Suy ra:
2
2
2 3 2
1 2
2 3 2 1
x x
x
x x x
   
    
    
3 15
3
x


Ví dụ 61.
3 2
2
2
2 3 1
1
2
x x x
x x
x
  
  

( )
Phân tích ế ế 2 2 3 2
( 2) 1 ( ) 2 (3 ) 1x x x ax b x x a x b             
ế ế ế ả 3
ế ế ả é
ờ ả :
2 2
2 2
5 3 5 3
( ) 1 2 1 ( 2)
2 2
x x
x x x x x x
x x
                  
(1)
 V 2 2
1 2 0 1 2 :x x x x x x          
 V 2
1 2 0x x x    

49
2 22 2
(5 3) 5 3 3 1 1
(1) 0
52 21 2 1 2
x x
x
x xx x x x x x
  
       
        
(2)
2 2 1 3 2 5
(2) 1
2
x x x x x
 
       
Kết luận
3 1 3 2 5
,
5 2
x x
 
   
Ví dụ 62. 2 2
2 16 18 1 2 4x x x x      ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang
2 1x    1.x 
Phân tích và lời giải 1 S 1,x  
2
1.x  2
1x  ả 1,x   ế ú
ỉ é ế 2
2 16 18 (2 4)x x x   
ở ế ẵ
é é 2 4 0.x   T ờ ả 1:
2 2
( ) 2 16 18 (2 4) 1 0x x x x           
2
2
2
2( 1)
1 0
2 16 18 2 4
x
x
x x x
 
   
   
2
2
2
2 1
1 1 0
2 16 18 2 4
x
x
x x x
 
    
     
2
1 0 1x x      2 2
2 16 18 2 4 2 1x x x x      (1)
2 2
2
2 2
2 16 18 1 2 4
( ),(1) 3 1 4 8
2 16 18 2 1 2 4
x x x x
x x
x x x x
      
     
      
2 2 2
4 8 0 2 32 3 57
79( 1) (4 8) 7 64 73 0
x x
x
x x x x
       
     
       
Kết luận
32 3 57
1,
7
x x
 
   
Phân tích và lời giải 2 4, 1a b  
ĩ
2 2
2 16 18 .( 2) .( 1)x x a x b x     
2 2 2
( ) 4( 2) 2( 1) 2( 2) 1x x x x         (1)
Do 2x   2 0,x  

50
2 2
2
1 1
(1) 4 2 2
2( 2)
x x
xx
 
    

(2)
2
1
0
2
x
t
x

 

2
2 2
0
0 2
(2) 4 2 2 4
4 2 (2 )
3
t
t
t t
t t t
 
              
 V
2
21
0 0 1 0 1:
2
x
t x x
x

        

 V
2
24 1 4 32 3 57
3 1 4( 2) :
3 2 3 7
x
t x x x
x
  
        

3 57 32
1,
7
x x

   
Ví dụ 63. 2 21 1
1 2 2 1 2 2 5x x x x
x x
   
          
   
( )
 Lời giải 0.x 
2 2 2 21
( ) 2 2 2 2 ( 2 2 2 2) 5x x x x x x x x
x
             
2 2
2 2
1 4
2 2 2 2 5
2 2 2 2
x
x x x x
x x x x x
        
    
2 2
2 2
4
2 2 2 2 5
2 2 2 2
x x x x
x x x x
       
    
2 2 2 2
2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2.t x x x x x x            
24
(1) 5 5 4 0 1t t t t
t
         4t 
Suy ra: 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 ( 2 2)( 2 2) 8x x x x x x x x x             
4 2
4 4 2 2
6 6 6 6 2 6
4 6
34 12 36 12 32
x x
x x x
x x x x
       
          
      
 Nhóm II: S dụng chức năng table của casio tìm nhân t bậc hai, bậc ba
V q ọ ú
ú é ú
ờ q ả
Ví dụ 64. Gi
2
2
2
1 2
2. 4
4 1
x x
x
x x
 
  
 
( )

51
Phân tích
2
2
2
1 2
2. 4
4 1
X X
X
X X
 
  
 
SHIFT / CACL / 9 / 
1.732050808.X  T
TABLE : casio fx – 570 ES PLUS)
 ế X A : ALPHA / ) / SHIFT / RCL / (–)
 2
( )f X A AX  : MODE SETUP / 7 / ALPHA
/ (–) / 2
x /  / ALPHA / (–) / ALPHA / ) /  /  / 9 /  / 9 /  / 1 / 
:
( )
9 1 4.732,
10 0 3
X F X
 q ế dòng có .
T 1 0 3 2
3x 
3 ( )F X : 2
.X bX c 
casio fx – 570 VN PLUS ho c Vinacal 570es flus:
( )g x : MODE SETUP / 7 /
ALPHA /(–) / 2
x /  / ALPHA / (–) / ALPHA / ) /  /  /  / 9 /  / 9 /  / 1 / 
T é ờ ả :
 Lời giải
2
1
0 4 0 4.
4
x x
x x
x
 
      

2
2
2
1 2
( ) ( 3) 2. 1 1 0
4 1
x x
x
x x
    
              
2
2
2
2 2
1
1
1 24( 3) 2. 0
1 1
1
4
x x
xxx
x x x
x
 

     
  


2 2
2
2 2 2
2.( 3) 3
( 3) 0
( 4)( 1) 4 1.( 1 2)
x x
x
x x x x x x
 
    
       
2
2 2 2
32 1
( 3) 1 0
3( 4)( 1) 4 1 2 1
x
x
xx x x x x x
   
       
             
Do
2 2 2
2 1
1 0, 4.
( 4)( 1) 4 1 2 1
x
x x x x x x
     
       
Bình luận: S 2
3,x  ờ
ờ ả ọ é 1

52
2
3x  ỉ “ ả ”
2
1
,
4
x x
x
 

é
2
1
4
x x
a
x
 


và
2 2 2 2
21 (1 ) 1 4
4 4
x x x a x a
a
x x
     
  
 
2
3x  nên t ọ 1.a  “ ả ”
é q 2
3x 
Ví dụ 65. Gi
2
2 2
9 2 1
42 3
x x
x x x
 
 
  
( )
Phân tích S 2
7x  é
T ờ ả :
 Lời giải 9 3x    3.x 
2
22
( 7) 8 2 9
( ) 0
4 23
x x
x xx
  
    
 
2
2 2
1 2 9
( 7) 1 1 0
4 3 2
x
x
x x x
   
                
2 2
2
2 2
1 3 2 2 9
( 7) 0
4 3 2
x x x x
x
x x x
     
    
  
2 2
2
2 2 2 2
1 7 7
( 7) 0
4 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x x
x
x x x x x x x
 
    
        
2
2 2 2 2
1 1 1
( 7) 0
2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x
x x x x x x x
 
     
          
2
7 0 7x x      7.x 
Do
2 2 2 2
1 1 1
0, ( ).
2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x a
x x x x x x x
    
        
Kết luận 7.x  
Bình luận Q ế
é
ẵ T é ế :
Ví dụ 66. Gi 2 2
2(1 ) 2 1 2 1x x x x x      ( )
2 1 2
2 1 0
2 1
x
x x
x
   
    
  

53
Phân tích B 2 2
( ).ax bx c dx e ax fx g      ả
T ả 2
2 5x x  :
 Lời giải 2
2 5.x x 
2 2
( ) ( 2 5) 2( 1)( 2 1 2) 0x x x x x         
22
2
22
2 5 02( 1)( 2 5)
( 2 5) 0
2 1 22 1 2
x xx x x
x x
x x xx x
     
      
       
(1)
(2)
(1) 1 6x    1 6.x   
2
(2) 2 1 2 :x x x    
Kết luận 1 6.x   
Ví dụ 67. Gi 3 3 2 2
7 11 5 3 5 7x x x x x x        ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng
Phân tích S 2
3x x  ẵ
T é
5 7x  n ghép ( ) 5 7ax b x   :
2
3.x x  V
1, 2a b  : 2 2
3 (5 7) ( 2) .x x x x      H 2x 
2x  é T ờ ả ế :
 Lời giải   
7
5
x 3 3 2
7 11 5, 2.a x x x b x     
32 3 2
( ) ( 3) 7 11 5 ( 2) ( 2) 5 7 0x x x x x x x x                     
2 2
2
2 2
3 3
3 0
2 5 7
x x x x
x x
a ab b x x
   
     
    
2
2 2
1 1 1 13
( 3) 1 0
22 5 7
x x x
a ab b x x
  
         
     
Do: 2 2
1 1 7
1 0,
52 5 7
x
a ab b x x
      
    
Kết luận
1 13
2
x

 
Ví dụ 68. 3 32 3
12 46 15 5 1 2 2x x x x x       ( )
Phân tích S 2X  1
3 32 3
( 12 46 15 5 1 2 2) :( 2)X X X X X X       
solve 9 = ế
2
2 1.x x 

54
2 3
( 2)( 2 1) 5 2x x x x x     
ờ
 Lời giải 3 32 3
12 46 15, 2 1, 5 1.a x x b x c x x       
3 32 3
( ) 12 46 15 (2 1) ( 5 1 1) 0x x x x x             
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
8 40 16 5 2 8( 5 2) 5 2
0 0
1 1
x x x x x x x x
a ab b c c a ab b c c
        
     
       
3
2 2 2
0, , ,
28 1
( 5 2) 0
1 1 2
a b c
x
x x
a ab b c c x
  
  
        
        
Kết luận 2x  1 2.x   
Ví dụ 69. Gi 3 3 2 2 174
16 62 78 7 36
5
x x x x x
x
      

( )
Phân tích S 1X  1
3 3 2 2 174
16 62 78 7 36 :( 1)
5
x x x x x X
x
 
        
 
và
9 = ế
2
3 11.x x 
2 3 2
( 1)( 3 11) 4 8 11,x x x x x x       ờ ả ế :
 Lời giải 5.x  
3 3 2 3 2
( ) ( 5) 16 62 78 2 6x x x x x x x         
33 2 3 2 2
4 8 11 ( 5) 16 62 78 2 9 5x x x x x x x x x           
33 2 3 2
4 8 11 ( 5) 16 62 78 ( 5)(2 1)x x x x x x x x x           
33 2 3 2
4 8 11 ( 5). 16 62 78 (2 1)x x x x x x x x             
33 2 3 2
( 4 8 11) ( 5). (2 1) 16 62 78 0x x x x x x x x              
3 3 2
2 1, 16 62 78.a x b x x x     
3 2
3 2
2 2
7( 5)( 4 8 11)
( 4 8 11) 0
x x x x
x x x
a ab b
   
     
 
3 2
2 2
7( 5)
( 4 8 11) 1 0
x
x x x
a ab b
  
       
  
2 2
3 2
2 2
3
7( 5)
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a a
b x
x x x
a a
b
 
    
      
 
  
 

55
2
2
3 2
2 2
3
(2 1) 7( 5)
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a
b x x
x x x
a a
b
 
     
      
 
  
 
2 2
3 2
2 2
12 16 143
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a x x
b
x x x
a a
b
   
  
      
 
  
 
3 2
4 8 11 0 1x x x x      
3 53
2
x

 
Vì:
2
2 2 2
12 16 143 0,
3
0; 0
2 2 4
x x x
a a a
b b
    

   
       
   
2 2
2 2
12 16 143
2 4
0.
3
2 4
a x x
b
a a
b
   
  
  
 
  
 
Kết luận
3 53
1,
2
x x

  
Ví dụ 70. Gi 3 2 2
3 2 2 4 2 11x x x x x x       ( )
Phân tích S 2
2 7x x  ờ ả :
 Lời giải 4.x  
2
( ) ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x             
   
(1)
 ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x          
   
1 2 2 :x   
 1 2 2 ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x              
   
2 2 2
( 2 7) 2 7
(1) 0
3 2 4 2 2 1
x x x x x
x x x x
   
  
     
2
2 1
( 2 7) 0
3 2 4 2 2 1
x
x x
x x x x
 
      
      
2
2
2 7 0 2 2 1.
( 2 2 1) 3 2 4 0 (2)
x x x
x x x x x
       
 
        
(2), ( ),
3 2 2
3 2 2
3 2 2 4 2 11
2 3 2 11 2 4
x x x x x x
x x x x x x
       

       
2 2 2 2
1 2 4 2 11 2 11 2 4 2.( 4) 11x x x x x x x x

            

56
2 2
3 1x x  
Kết luận 2 2 1.x  
Ví dụ 71. Gi 2 3
8 3 3 1x x x    ( )
Phân tích S 2
1x x  ờ ả :
 Lời giải 2 8 3 8 3
8 3 0
3 3
x x      
2 2
( ) ( 1)( 1) (2 ) 8 3 0x x x x x            
2
2
2
4( 1)
( 1)( 1) 0
2 8 3
x x
x x x
x x
 
     
  
2
2
2
2
1 0 (1)
4
( 1) 1 0 4
1 0 (2)2 8 3
2 8 3
x x
x x x
xx x
x x
   
  
                   
2 1 5
(1) 1 0 :
2
x x x

     
2
(2) ( 1)(2 8 3 ) 4 0x x x       2 3
8 3 3 1x x x   
3 3
( 1)(2 3 1) 4 ( 1)( 4 3) 4 0x x x x x x x            
4 2 3 2 2 3
( 4 4) 4 0 0 ( 2) 4 0 :x x x x x x x             
Kết luận
1 5 1 5
,
2 2
x x
 
  
Ví dụ 72. Gi 2 2 3 2
(3 11) 1 3 3. 8 11 3. 4x x x x x      ( )
3 3. 8 11 3. 4 0x x x    (1)
2 2 2 2
( ) (3 11) 1 3. (3 11) 8 4x x x x x       
2 2
2 2 2 2
2
(3 11)(1 2 )
(3 11)( 1 3. ) 4(1 2 ) 4(1 2 )
1 3.
x x
x x x x x
x x
 
        
 
2
2 2 2 2
2
3 11
(1 2 ) 4 0 (1 2 )(3 11 4 1 4 3 ) 0
1 3.
x
x x x x x
x x
 
            
  
2 2 2 2 2
(1 2 ) ( 1 2. 1.2 2 ) 2( 2 . 3 3) 0x x x x x             
(2)
2
2 2 2 2 2
1 2 0
(1 2 ) ( 1 2) 2( 3) 0 1 2 0
3 0
x
x x x x
x
  

                
 

57
1
2
x  
3 2
23
x
x
x
  
  

3.x 
Kết luận
2
, 3.
2
x x 
Bình luận T ế ả
2 2 0
0
0
A
A B
B
 
   

ế ờ
ẵ ế ẳ
ỹ ở ả ẳ ả
trình : 2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x      ế ẳ
: (4 2.2. 3 3) (1 2 2 1 2 1) 0x x x x         
2 2 2 3 0
(2 3) (1 2 1) 0 1.
1 2 1 0
x
x x x
x
   
         
  
S ờ
ọ 1,x  é
sau: 2
4 ( 3 2) 2( 2 1 1) 4 5 1x x x x x       
1
4 ( 1) 4( 1)
( 1)(4 1) 4 4
4 1 03 2 2 1 1
3 2 2 1 1
x
x x x
x x x
xx x
x x
 
                    
ú T q q
ọ ả
ọ ả
ọ
Ví dụ 73. Gi 33 2 3
8x 2 2 20 2( 1)x x x x       ( )
Phân tích S 2
2 2x x  ờ ả :
8 2 0x x x    ( )a
33 2 3
( ) 8 2 2 (2 4) 2 20x x x x x         
3 2 3 3
33 2 2 3 3 23
8 6 (2 4) 8( 20)
8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)
x x x x x
x x x x x x x
     
 
         
2 2
33 2 2 3 3 23
( 3)( 2 2) 48( 2 2)
8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)
x x x x x
x x x x x x x
     
 
         
2
32 3 3 2 3 23
2 2 0 1 3
48 3
(1)
(2 4) 2(2 4) 20 ( 20) 8 2 2
x x x
x
x x x x x x x
      

   
         

58
 V
 
 
1 2
3 2 3 23 3
1 3 2
48
0
( 20) 3 ( 20)
(2 4)
3 (1) : .2 4
3
0
8 2 2
o
VT
x x
x
x VN
x
VP
x x x
 
 
   
   
      

 
   
 V
3 3
3 2
2 2 2 20 0
3 ( ) :
8 2 0
x x
x
x x x
    
    
   
Kết luận 1 3.x  
Ví dụ 74. Gi 3 2 3 2
( 3 5) 2 5 3 5 2 5x x x x x x x       ( )
2 5 0
2
x x x     0.x 
3 2 3 2 3
( ) ( 3 5)( 2 5 1) 3 5 2 5 ( 3 5)x x x x x x x x x            
2
3 2
2
2 5 1
( 3 5) (2 5 1)
2 5 1
x x
x x x x x
x x
 
       
 
23
2
3 22
2 5 1 03 5
(2 5 1) 0
3 5 ( 2 5 1)2 5 1
x xx x
x x x
x x x x xx x
     
                 
(1)
(2)
5 33
(1)
4
x
 
 
5 33
:
4
x
 

2
3 2 3 2
(2) 2 5 2 5 (2 5) ( . 2 5)x x x x x x x x x x           
3 2 3 2 3
( ) 2 (2 5) (2 5) (2 5)x x x x x x      
3 2 3 2
( ) (2 5) (2 5) 0x x x x     
2 3
3 2 2 2 5 02 5 3
(2 5) 0 :
2 4 2 5 0
x xx
x x
x
      
        
   
Kết luận
5 33 5 33
,
4 4
x x
   
  
Bình luận 3 2 3 2
(3 5 2 5) ( 3 5) (2 5 1)x x x x x x x x         ế
é
2
2
2
2 5 1
2 5 1
2 5 1
x x
x x
x x
 
  
 
2
2 5 1x x 
é T ra .
Ví dụ 75. Gi 2 2
(3 5 6) 2 3 6 5x x x x x      ( )

59
 Lời giải 2
2 0 3 2 6
33 6 5 0
x
x
x x
   
  
  
2
2 2
2
3 5 7
( ) (3 5 7) 2 3 6 5 2
3 6 5 2
x x
x x x x x x
x x x
 
          
   
2
2
1
(3 5 7) 2 0
3 6 5 2
x x x
x x x
 
        
    
2
2
22
3 5 7 0 5 109
3 5 7 0
61
2
(2 )(3 6 5) 1:3 6 5 2 o
x x
x x x
x
x x x x VNx x x
    
    
    
         
Kết luận
5 109
6
x

 
Ví dụ 76. Gi 2 2 3 2
( 3) 1 3 4 1x x x x x x       ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên
 Lời giải. .D 
3 2
2
2 2
3 4 1 7 8
( ) 1 ( 3)
3 3
x x x x
x x x
x x
   
       
 
                   
2
2 2 2
7 8 7 8 7 8
1 ( 3) 0 0
3 3 1 3
x x x
x x x
x x x x x
2 2
2 2
8
1 1
7(7 8) 0
3 1 3 1 (1)
x
x
x x x x x x x x

                    
2
2 2 21 3 3
1 1.
2 4 2
t x x x t x x
 
           
 
2 21 5 1 3 2 5
(1) 1 0 2 2 1 5 0
2 2
t t t x x x
  
             
Kết luận
8 1 3 2 5
,
7 2
x x
 
   
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 11. Gi 10 1 3 5 9 4 2 2.x x x x       ( )x
BT 12. Gi 2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4x x x x x x x         
BT 13. Gi 2 3 1 3 1 2 3.x x x x       ( )x
BT 14. Gi 2 2
( 1) 5 1.x x x x     ( )x

60
BT 15. Gi 2 2 10 2 3.x x x     ( )x
BT 16. Gi 2 3 2 6.x x x    ( )x
BT 17. Gi i 2 2
4 5 1 2 1 9 3.x x x x x       ( )x
BT 18. Gi 2 1 1 2.x x x     ( )x
BT 19. Gi 2
2 3 2 2.x x x x      ( )x
BT 20. Gi
3
4 1 3 2
5
x
x x

     ( )x
BT 21. Gi
3 1
4 1 2
5
x
x x

     ( )x
BT 22. Gi 9( 4 1 3 2) 3.x x x     ( )x
BT 23. Gi 2 2
2 3 5 2 3 5 3 .x x x x x      ( )x
BT 24. Gi i 2 2
2 1 1 3 .x x x x x      ( )x
BT 25. Gi
3
3 1 1.
3 10
x
x
x
  

( )x
BT 26. Gi 1 3 1.
2
x
x x
x
   

( )x
BT 27. Gi 2 2
9 8 1 3 1 8 .x x x x x       ( )x
BT 28. Gi
4 1 5
2x x x
x x x
      ( )x
BT 29. Gi 2
2 4 2 5 1.x x x x      ( )x
BT 30. Gi 4 3 2
3 2 1 5 12 15 3 0.x x x x x x        
BT 31. Gi 2 2
12 5 3 5.x x x     ( )x
BT 32. Gi 2 2 10
91 7 4.
3
x x x      ( )x
BT 33. Gi 2
3 5 2 7 2 0.x x x x       ( )x
BT 34. Gi 3 2
5 1 2 5 10 13 0.x x x x x        ( )x
BT 35. Gi 3 2
3 1 2 1 3 2 5 3 0.x x x x x x         
BT 36. Gi 3 2
3 17 8 9 3 2 7 0.x x x x x        ( )x
BT 37. Gi 4 3 2
3 2 2 2 3 8 8 0.x x x x x x        
BT 38. Gi 2
9 20 2 3 10.x x x    ( )x

61
BT 39. Gi nh:
2
2
2( 1)
20.
(3 7 2 )
x
x
x

 
 
( )x
BT 40. Gi
2
2
6
2 1 1.
( 2 1 1)
x
x x
x
   
 
( )x
BT 41. Gi
8
3 2 1 1.
8 1 1
x
x
x
  
 
( )x
BT 42. Gi 2 2
( 4)( 1 1) .x x x    ( )x
BT 43. Gi 2
( 7 3)(1 10 21) 4.x x x x       ( )x
BT 44. Gi 2
( 5 2)(1 7 10) 3.x x x x       ( )x
BT 45. Gi ( 1 1)( 1 2 5) .x x x x      ( )x
BT 46. Gi h: 2 3
2 11 21 3 4 4.x x x    ( )x
BT 47. Gi 3
2 3 4 2 5 4 16.x x x     ( )x
BT 48. Gi 3 2
4 1 2 3.x x x     ( )x
BT 49. Gi 23
6 1 1.x x x     ( )x
BT 50. Gi 3 2 3
2. ( 4) 7 3 28 0.x x x x x       ( )x
BT 51. Gi 3 2 2 2
3 8 2 15.x x x     ( )x
BT 52. Gi 23
6 7 1.x x x     ( )x
BT 53. Gi : 3
3 5 3 4.x x    ( )x
BT 54. Gi 3
2 3 3 1 2 .x x x     ( )x
BT 55. Gi 3 3
2 6 5 .x x x     ( )x
BT 56. Gi 3 23
3 2 3 3 0.x x x x     ( )x
BT 57. Gi 23
4 2 7 8 13 0.x x x x       ( )x
BT 58. Gi 23
2 1 2 13 4 44 117 0.x x x x       ( )x
BT 59. Gi 3 3
2 3 ( 2) 3 6 3.x x x x       ( )x
BT 60. Gi : 3 23 3
2 5 2 3 2( 1).x x x x x       ( )x
BT 61. Gi 3 2
2 4 4 2 1 4.x x x x      ( )x
BT 62. Gi 3 3 2
4 2 2.x x x x     ( )x
BT 63. Gi 3 2 2
1 2 1 2.x x x x x        ( )x

62
BT 64. Gi 33 2 2
2 ( 1) 2 1 2 .x x x x x x      ( )x
BT 65. Gi 3 3 2 2
1 3.x x x x     ( )x
BT 66. Gi 3 2 2
10 1 1.x x x x      ( )x
BT 67. Gi 3
3 5 3 2 2.x x x     ( )x
BT 68. Gi 3 3 23
4
4 3 2 3 .
3
x x x x x      ( )x
BT 69. Gi 2 3
2 4 1 3 2.x x x x x     ( )x
BT 70. Gi 2 2
5 5 2 3 2.x x x x x       ( )x
BT 71. Gi 2
( 2 2 1 1)(1 1 ) .x x x x x x       ( )x
BT 72. Gi 32 2 2
( 1)(2 3 ) 3 5 5 3.x x x x x       ( )x
BT 73. Gi 2 2 2
(2 2 5)( 1) 4 1 2 2 5x x x x x x x x        
BT 74. Gi 3 2 3 2 2
3 2 9 4 4 2 2 4 1.x x x x x x x       
BT 75. Gi 2
2 11 2 16 28 5 .x x x x      ( )x
BT 76. Gi
2
2
2
3 3 3
6 2 .
3 24
x x
x
xx
 
  

( )x
BT 77. Gi
2 2
2
2 1
1
2 32
x x x
xx
 
   

( )x
BT 78. Gi 2
2 3 2 2( 1) 2 3 8 4.x x x x x       ( )x
BT 79. Gi ( 2) 1 (4 5) 2 3 6 23 0.x x x x x        ( )x
BT 80. Gi 2 2
( 2) 3 6 2 1 3 10 0.x x x x x        ( )x
BT 81. Gi 2
( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13.x x x x x x       
BT 82. Gi 2
( 1) 2 3 2(3 1) 4 2 16 14 2.x x x x x x       
BT 83. Gi 2
3 1 5 4 3 3.x x x x      ( )x
BT 84. Gi 2 2
2 5 7 5 6 3 0.x x x x x        ( )x
BT 85. Gi 2 2 3 2
( 3) 1 3 4 1.x x x x x x       ( )x
BT 86. Gi 32 3 2
2 1 3 5.x x x x x x        ( )x
BT 87. Gi 3
5 1 7 8 2 2 1.x x x x      ( )x
BT 88. Gi 2 2
( 1) 2 5 4 1 2( 1).x x x x x x       ( )x

63
BT 89. Gi 23
2 3 5 6.x x x x      ( )x
BT 90. Gi 3 3 2
(5 1) 3 6 2 3.x x x x x      ( )x
BT 91. Gi 2 3 3 2
6 18 9 10 81.x x x x x x x      ( )x
BT 92. Gi
1 1
1 1 .
2 2
x x x x x
   
        
   
( )x
BT 93. Gi 26
2 1 4 9 2 3.x x x
x
      ( )x
BT 94. Gi
2
4 1 2
1 3.
3 ( 2 1)
x x
x
x
  
   
 
( )x
BT 95. Gi 2 46 17
3 6 1 5 8x.
2 1 4 3 1
x
x x
x x

    
  
( )x
BT 96. Gi i: 2 2 2
( 10 26) 4 ( 2 2) 2 3 18.x x x x x x x x          ( )x
BT 97. Gi 3
( 3)(2 2) 2 5 3 7.x x x x       ( )x
BT 98. Gi 2
6 2 6 6 5 2 5.x x x x x        ( )x
BT 99. Gi 2 2
3 2 5 6 ( 5 9 18 2).x x x x x x      
BT 100. Gi 3 2 2
4x 3 2x 5 2x 13.x x x       ( )x
BT 101. Gi 3 2 2
3 2 2 4 2 11.x x x x x x       ( )x
BT 102. Gi 2 2
3 2 1 2 3 3 2 .x x x x x x        ( )x
BT 103. Gi 2
3 2.x x x x     ( )x
BT 104. Gi 3 2 3 2
2 ( 1) 3 2 6 7 2 .x x x x x x      ( )x
BT 105. Gi 4
4 ( 8) ( 1 1) .x x x x x       ( )x
BT 106. Gi
3
6 1
1.
1 1
x
x
x x

  
 
( )x
BT 107. Gi
2
2
1 2
1
x x x
x x
 
 

( )x
BT 108. Gi 2 2
(3 5 6) 2 3 6 5.x x x x x      ( )x
BT 109. Gi 32
2 3 1.
4
x
x x

    ( )x

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