RealEDU.

1. ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu

2. ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu
Ngày 23 tháng 10 năm 2021

3. Mục lục
Lời nói đầu 15
I Cơ sở 17
1 Giới thiệu về hệ đa tác tử 19
1.1 Giới thiệu, định nghĩa, và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Điều khiển hệ đa tác tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Ghi chú và tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Lý thuyết đồ thị 25
2.1 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Đồ thị vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Đồ thị hữu hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Đồ thị có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Đại số đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Một số ma trận cấu trúc của đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1.1 Ma trận bậc và ma trận kề . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1.2 Ma trận liên thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1.3 Ma trận Laplace của đồ thị vô hướng . . . . . . . . . 32
2.2.2 Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Ghi chú về tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II Hệ đồng thuận 43
3 Thuật toán đồng thuận 45
3.1 Đồng thuận với các tác tử tích phân bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3

4. 4 MỤC LỤC
3.1.3 Một số trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Đồng thuận với các tác tử tích phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Hệ đồng thuận tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Hệ đồng thuận tuyến tính không liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 Mô hình và điều kiện đồng thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 Liên hệ với mô hình đồng thuận liên tục . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Ghi chú và tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Phân tích hệ đồng thuận theo lý thuyết ổn định Lyapunov 69
4.1 Hàm bất đồng thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Phân tích quá trình đồng thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Đồng thuận cạnh và đồng thuận đầu ra 79
5.1 Quá trình đồng thuận cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Đồng bộ hóa đầu ra các hệ thụ động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Đồng bộ đầu ra hệ tuyến tính dựa trên quan sát trạng thái . . . . . . 87
5.3.1 Đồng bộ hóa dựa trên bộ quan sát trạng thái Luenberger . . . 87
5.3.2 Bộ quan sát kết hợp đồng bộ hóa đầu ra . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Ghi chú và tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III Một số ứng dụng của hệ đa tác tử 101
6 Điều khiển đội hình 103
6.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Điều khiển đội hình dựa trên vị trí tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Điều khiển đội hình dựa trên vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3.1 Trường hợp tác tử là khâu tích phân bậc nhất . . . . . . . . . 108
6.3.2 Trường hợp tác tử là khâu tích phân bậc hai . . . . . . . . . . 110
6.4 Điều khiển đội hình dựa trên khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2 Luật điều khiển đội hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5 Điều khiển đội hình dựa trên vector hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1 Lý thuyết cứng hướng trên Rd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Ghi chú và tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5. MỤC LỤC 5
7 Giữ liên kết và tránh va chạm 135
7.1 Giữ liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 Tránh va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8 Định vị mạng cảm biến 149
8.1 Bài toán định vị mạng cảm biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Định vị mạng dựa trên vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2.1 Trường hợp không có nút tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2.2 Trường hợp có nút tham chiếu trong mạng . . . . . . . . . . . 150
8.2.3 Phương pháp dựa trên vector hướng . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2.3.1 Trường hợp không có nút tham chiếu . . . . . . . . . 152
8.2.3.2 Trường hợp có nút tham chiếu . . . . . . . . . . . . . 153
8.2.4 Phương pháp dựa trên khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . 154
9 Một số mô hình mạng xã hội 157
9.1 Mô hình French - Degroot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 Mô hình Friendkin - Johnsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.3 Mô hình Abelson và mô hình Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.4 Mô hình Friendkin - Johnsen đa chiều và một số mở rộng . . . . . . . 163
9.5 Mô hình Hegselmann-Krause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.6 Mô hình Altafini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10 Hệ đồng thuận với trọng số ma trận 177
10.1 Đồ thị với trọng số ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.2 Thuật toán đồng thuận trọng số ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2.1 Điều kiện đồng thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2.2 Hiện tượng phân cụm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3 Đồng thuận trọng số ma trận với hệ có leader . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3.1 Trường hợp leader đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3.2 Trường hợp leader chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.4 Đồ thị trọng số ma trận hữu hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4.1 Đồ thị có dạng cây với một gốc ra . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4.2 Đồ thị trọng số ma trận cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.5 Ghi chú và tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Phụ lục 195
Phụ lục A Một số kết quả về lý thuyết ma trận 195
Phụ lục B Lý thuyết điều khiển 199
B.1 Hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
B.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6. 6 MỤC LỤC
Phụ lục C Mô phỏng MATLAB 203
C.1 Hàm biểu diễn các đội hình 2D và 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
C.2 Biểu diễn sự thay đổi của đội hình theo thời gian . . . . . . . . . . . . 205
Chỉ mục 206

7. Danh sách hình vẽ
2.1 Một số ví dụ về đồ thị vô hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Một số đồ thị định hướng khác nhau của đồ thị trên Hình 2.1(a). . 31
G
2.3 Các trị riêng của nằm trong đĩa tròn tâm , bán kính
L B ∆ + 0
j
∆ = maxi deg+
(vi) (vùng màu đỏ). Các trị riêng của nằm trong
−L
đĩa tròn B0 đối xứng với qua trục ảo (vùng màu xám). . . . . . . . 38
B
2.4 Minh họa Ví dụ 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Đồ thị vô hướng G1 và G2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Đồ thị vô hướng H1 và H2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Thuật toán đồng thuận từ góc nhìn của tác tử . . . . . . . . . . . . . 46
i
3.2 Mô phỏng thuật toán đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: G1 là đồ thị
đều gồm 16 đỉnh, mỗi đỉnh có 3 đỉnh kề, G2 là đồ thị chu trình gồm
20 đỉnh và G3 là đồ thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh. . . . . . . 50
3.3 Mô phỏng chuyển động của các tác tử với luật đồng thuận (3.18). . . . 55
3.4 Mô phỏng hệ đồng thuận ở Ví dụ 3.3. Các biến trạng thái xi → xj khi
t → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Mô phỏng đối chiếu thuật toán đồng thuận liên tục và không liên tục 62
3.6 Đồ thị ở Bài tập 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 (a) Đồ thị ứng với . (b) Đồ thị
G L G0 ứng với L>
. (c) Đồ thị Ḡ ứng
với L̄ L L
= Γ + >
Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Mô phỏng thuật toán đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác nhau. 77
5.1 Đồ thị có ba chu trình, trong đó hai chu trình là độc lập. . . . . . . 81
G
5.2 Mô phỏng minh họa Ví dụ 5.2. Những cạnh màu đỏ tạo thành một
cây bao trùm của đồ thị. Các biến tương đối khi . . . 82
ζ( )
t → 0 t → ∞
5.3 Hệ gồm hệ con thụ động với hàm kết nối . . . . . . . . . . . . 84
Σ n φ( )
·
5.4 Mô phỏng mô hình Kuramoto đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Sơ đồ khối mô tả thuật toán đồng thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Mô phỏng hệ đồng thuận gồm 8 tác tử trong Ví dụ 5.4. Các biến đầu
ra yi , i , . . . , ,
= 1 8 dần đạt tới đồng thuận sau khoảng 100 giây. . . . . 90
7

8. 8 DANH SÁCH HÌNH VẼ
5.7 Sơ đồ mô tả bộ đồng bộ hóa (5.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.8 Mô phỏng Ví dụ 5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.9 Các đồ thị trong Bài tập 5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1 Hệ qui chiếu toàn cục (g Σ), hệ qui chiếu chung (cΣ), và các hệ qui
chiếu cục bộ (i
Σ và j
Σ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 Mô phỏng thuật toán điều khiển đội hình dựa trên vị trí tuyệt đối. . . 107
6.3 Mô phỏng thuật toán điều khiển đội hình dựa trên vị trí tương đối
trong 2D và 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Một số ví dụ minh họa lý thuyết độ cứng (rigidity theory). . . . . . . 112
6.5 Đội hình gồm 5 tác tử: (a) Đồ thị ,(b) và (c) tiến tới một đến một
G p
cấu hình mong muốn, (Phải) tiến tới một cấu hình không mong muốn.117
p
6.6 Ví dụ về tính cứng hướng vi phân: Trong R2, các đội hình (a), (b), (c)
là cứng hướng vi phân, các đội hình (d), (e), (f) là không cứng hướng
vi phân. Trong R3, các đội hình (g), (h), (i), (j) là cứng hướng vi phân,
các đội hình (k), (l) là không cứng hướng vi phân. . . . . . . . . . . . 120
6.7 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát trong R3 xuất phát từ một cạnh
nối hai đỉnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.8 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát trong R3 xuất phát từ chu trình
C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.9 Minh họa phân tích ổn định thuật toán điều khiển đội hình chỉ dựa
trên vector hướng: (a) Ví dụ về hai điểm cân bằng đối xứng tâm và có
cùng trọng tâm; (b) luôn nằm trong tập . . . . . . . . . . . . . . . 124
δ S
6.10 Mô phỏng đội hình 4 tác tử dưới luật điều khiển (6.34) trong trường
hợp 2D và 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.11 Các đồ thị G1 và G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1 Minh họa bài toán giữ liên kết: mỗi tác tử có một miền trao đổi thông
tin mô tả bởi một hình tròn tâm tại vị trí tác tử. Nếu hai tác tử nằm
trong miền thông tin của nhau thì tồn tại một cạnh mô tả sự tương
tác giữa hai tác tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2 Hàm trọng số aij( ) =
p σω( d
− ij ( ( )))
p t tương ứng với một số bộ tham
số và khác nhau. Dễ thấy
ω  aij( ) 0
p → khi dij(kpi − pjk →
) δ = 1. . 137
7.3 Minh họa việc tránh va chạm của các tác tử. . . . . . . . . . . . . . . 139
7.4 Biểu diễn hàm βij (kpi − pjk) = 0 75 1 1 5
với d . , , . . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Mô phỏng luật giữ liên kết trong Ví dụ 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.6 Mô phỏng luật giữ liên kết trong Ví dụ 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1 Mô tả mạng cảm biến với các nút tham chiếu và các nút mạng thường.
Mỗi cạnh của đồ thị thể hiện luồng thông tin (đo đạc hoặc truyền
thông) giữa các nút mạng.Nhiễu εij có thể xuất hiện trong từng cạnh
của đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Minh họa định vị mạng cảm biến gồm 10 nút với luật định vị mạng (8.9)154

9. DANH SÁCH HÌNH VẼ 9
8.3 Định vị nút 4 dựa vào 3 nút mốc và 3 khoảng cách . . . . . . . . . . . 155
8.4 Ví dụ đồ thị cứng 3-liên thông có 2 hiên thực hóa trong 2D. Đồ thị này
không dư cứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.1 Mô phỏng hệ 4 tác tử với mô hình F-J trong hai trường hợp khác nhau
của đồ thị tương tác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2 Mô phỏng hệ 10 tác tử với mô hình Taylor mở rộng . . . . . . . . . . 162
9.3 Mô phỏng mô hình F-J với ma trận C =
0 8 0 2
. .
0 3 0 7
. .
. . . . . . . . . . . 166
9.4 Mô phỏng mô hình F-J với ma trận C =
0 8 0 2
. − .
−0 3 0 7
. .

. . . . . . . . . 166
9.5 Mô hình Ye 1: Hệ đạt đồng thuận về cả 3 chủ đề khi bi = 0. . . . . . . 168
9.6 Mô hình Ye 2: Hệ không đạt đồng thuận khi bi 6= 0. . . . . . . . . . . 168
9.7 Model 1 and 2: Xét trường hợp C I
= d , các tác tử dần đạt đồng thuận. 168
9.8 Mô hình Ye 1: Khi các tác tử có định kiến và bảo thủ, các tác tử không
đạt được đồng thuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.9 Mô hình Ye 1: Tăng mức độ liên kết giữa các tác tử dẫn đến điều kiện
ổn định không thỏa mãn, dẫn đến hệ mất ổn định. . . . . . . . . . . . 168
9.10 Mô hình 2: Tăng mức độ liên kết giữa các tác tử đẩy nhanh quá trình
đồng thuận nhưng không làm thay đổi điểm đồng thuận. . . . . . . . . 168
9.11 Đồ thị mô tả các tác tử trong ví dụ 9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.12 Đồng thuận với ma trận Laplace theo mô hình Ahn: Trái - Chủ đề 1
(xi,1, i ,. . . , x
= 1 5 2
). Giữa - Chủ đề ( i,2, i ,. . . ,
= 1 5). Phải - Chủ đề
3 (xi,3, i , . . .,
= 1 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.13 Mô phỏng mô hình Hegselmann - Krausse với . . 171
d . , . , . . . , .
= 0 2 0 4 1 2
9.14 (a) Đồ thị dấu cân bằng cấu trúc; (b) Đồ thị dấu không cân bằng cấu
trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.15 Mô phỏng mô hình Altafini với các đồ thị trong Ví dụ 9.7. . . . . . . . 175
10.1 Ví dụ đồ thị trọng số ma trận trong đó cạnh màu đỏ thể hiện một cạnh
xác định dương và cạnh màu xanh thể hiện một cạnh xác định dương
hoặc bán xác định dương. Đồ thị với các cạnh màu đỏ là một cây bao
trùm xác định dương của . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
G
10.2 Đồ thị minh họa hệ bốn tác tử trong Ví dụ 10.1. . . . . . . . . . . . . 183
10.3 Ví dụ 10.1: Thay đổi của biến trạng thái của hệ với luật đồng thuận
(10.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.4 Đồ thị gồm 5 đỉnh ở Ví dụ 10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.5 Ví dụ 10.2: Thay đổi của biến trạng thái của hệ với luật đồng thuận
(10.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.6 Ví dụ về đồ thị cây có hướng với đỉnh 1 là gốc ra. . . . . . . . . . . . 189
C.1 Thay đổi đội hình theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10. 10 DANH SÁCH HÌNH VẼ

11. Danh sách bảng
6.1 Phân loại các bài toán điều khiển đội hình. . . . . . . . . . . . . . . . 133
11

12. 12 DANH SÁCH BẢNG

13. Danh mục kí hiệu
Dưới đây là các kí hiệu sẽ được sử dụng xuyên suốt trong tài liệu này.
R Tập hợp các số thực
C Tập hợp các số phức
Rd
Không gian các vector chiều
d
Rd d
× Không gian các ma trận kích thước d d
×
α, β, γ,. . . Các hằng số
a, b, c,. . . Các đại lượng vô hướng hoặc các hàm nhận giá trị vô hướng
a b c
, , ,. . . Các vector
A B C
, , ,. . . Các ma trận
A B C
, , , .. . Các không gian vector
A, B, C, . . . Các đồ thị hoặc các tập hợp liên quan đến đồ thị
 Đơn vị ảo
Re Im Phần thực, phần ảo của số phức
( )
s , ( )
s s
A> Chuyển vị của ma trận A
A−1 Nghịch đảo của ma trận A
det Định thức của ma trận
( )
A A
trace Vết của ma trận
( )
A A
ker Không gian rỗng hay hạt nhân của ma trận
( )
A A
im Không gian ảnh của ma trận
( )
A A
dim Số chiều của không gian
( )
A A
diag Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo là các phần
( )
a
tử của vector a
blkdiag(Ak) Ma trận đường chéo khối với các ma trận Ak trên đường chéo
chính
rank Hạng của ma trận
( )
A A
k k
A l Chuẩn- của ma trận
l A
k k
A Chuẩn-2 (hay chuẩn Euclid) của ma trận A
| · | Giá trị tuyệt đối của một đại lượng vô hướng, hoặc lực lượng
của một tập hợp
13

14. 14 DANH MỤC KÍ HIỆU
1n Vector cột kích thước với toàn bộ phần tử s
n × 1 1
0n Vector cột kích thước với toàn bộ các phần tử , hoặc ma
n × 1 0
trậ không có kích thước n n
×
In Ma trận đơn vị kích thước n n
×
⊗ Tích Kronecker
g
Σ Hệ qui chiếu toàn cục
i
Σ Hệ qui chiếu riêng (địa phương) của tác tử i
ai , bi, ci, . .. i
Các vector liên quan tới tác tử viết trong hệ qui chiếu toàn
cục gΣ
ai
i , bi
i, ci
i, . .. i
Các vector liên quan tới tác tử viết trong hệ qui chiếu riêng iΣ
aij , bij , cij, . .. i
Các vector biến tương đối giữa hai tác tử và viết trong hệ
j
qui chiếu g
Σ
ai
ij , bi
ij , ci
ij, . .. i
Các vector biến tương đối giữa hai tác tử và viết trong hệ
j
qui chiếu iΣ
a∗
, b∗
, c∗, . .. Các vector đặt

15. Lời nói đầu
Phân tích và điều khiển hệ đa tác tử là một hướng nghiên cứu đã và đang được quan
tâm trên thế giới từ khoảng đầu những năm 2000. Nội dung nghiên cứu bao gồm
các hệ đa tác tử trong tự nhiên (hiện tượng tụ bầy ở chim, cá), trong kĩ thuật (hệ
các robot tự hành, mạng cảm biến, lưới điện thông minh), hay các hiện tượng xã hội
(mạng xã hội, mạng học thuật).
Mặc dù nghiên cứu về các hệ đa tác tử hiện nay đã phân chia thành nhiều hướng
nghiên cứu nhỏ và chuyên sâu, hiện nay không có nhiều những sách tham khảo, kể cả
bằng tiếng Anh, bao quát các kiến thức cơ bản về điều khiển hệ đa tác tử. Tài liệu
này được biên soạn với mong muốn cung cấp một nguồn tham khảo ngắn gọn bằng
tiếng Việt cho học viên trong hai học phần Điều khiển nối mạng và Điều khiển hệ đa
tác tử tại Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Tài liệu được chia thành ba phần chính. Phần I giới thiệu về hệ đa tác tử và cung
cấp một số kiến thức cơ bản về lý thuyết đồ thị. Phần II trình bày về hệ đồng thuận
tuyến tính và một số phương pháp phân tích và thiết kế các luật đồng thuận và đồng
bộ hóa đầu ra. Phần III giới thiệu về một số ứng dụng của hệ đa tác tử bao gồm
điều khiển đội hình, giữ liên kết và tránh va chạm, định vị mạng cảm biến, và một
số mô hình động học quan điểm trong nghiên cứu mạng xã hội. Để sử dụng tài liệu,
người đọc cần có kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, Giải tích, Tín hiệu hệ thống
và Lý thuyết điều khiển tuyến tính. Một số kiến thức liên quan về Lý thuyết đồ thị,
Lý thuyết cứng và Lý thuyết điều khiển phi tuyến liên quan sẽ được cung cấp trong
phần Phụ lục của tài liệu.
Tài liệu này vẫn đang trong quá trình chỉnh sửa và bổ sung, vì vậy sẽ không tránh
được những sai sót. Tác giả hi vọng sẽ nhận được những ý kiến góp ý về nội dung
của tài liệu từ độc giả.
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu
Bộ môn Điều khiển Tự động
Viện Điện, Trường Điện - Điện tử
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Email: minh.trinhhoang@hust.edu.vn.
15

16. 16 DANH MỤC KÍ HIỆU

17. Phần I
Cơ sở
17

19. Chương 1
Giới thiệu về hệ đa tác tử
1.1 Giới thiệu, định nghĩa, và ví dụ
Các hệ đa tác tử (multi-agent systems) đang ngày càng hiện hữu trong đời sống hiện
nay nhờ vào những tiến bộ mạnh mẽ của kĩ thuật điện - điện tử, truyền thông, vật
liệu, và cơ khí. Một loạt các ứng dụng của hệ đa tác tử có thể kể đến là các đội hình
bay không người lái, các mạng cảm biến, hệ thống sản xuất và cung cấp điện năng,
cũng như các hệ thống điều khiển giao thông. Một hệ đa tác tử bao gồm nhiều hệ
thống nhỏ, được gọi chung là các tác tử. Mỗi tác tử trong hệ có thể chỉ là phần mềm
máy tính hoặc là các hệ thống vật lý cụ thể. Các tác tử trong hệ tương tác với nhau
và với môi trường bên ngoài thông qua mạng truyền thông/cảm biến. Hơn nữa, các
hệ đa tác tử thường được thiết kế để hợp tác cùng nhau thực hiện một nhiệm vụ khó
hoặc không thể thực hiện bởi một vài tác tử đơn lẻ.
Tuy khái niệm về hệ đa tác tử mới được ra đời trong vài thập kỉ gần đây, các hệ
thống đa tác tử (thiên tạo và nhân tạo) đã được quan sát, phân tích, nghiên cứu bởi
nhiều ngành khoa học và kĩ thuật khác nhau từ rất lâu.
Đầu tiên có thể kể đến các hiện tượng bầy đàn trong tự nhiên ở chim sẻ, cá, và
côn trùng. Khi di cư lên đầu nguồn để sinh sản, cá hồi bơi thành đàn lớn hàng nghìn
con để tiết kiệm năng lượng cũng như tăng khả năng sống sót trước các loài thiên
địch. Một đàn châu chấu có thể di chuyển với số lượng hàng triệu con từ vùng này
sang vùng khác, tạo thành hiện tượng mưa châu chấu có sức tàn phá lớn hơn rất
nhiều so với vài trăm cá thể đơn lẻ. Một hiện tượng thú vị khác là các con đom đóm
trong một diện tích rộng lại có thể đồng điệu chớp sáng cùng với nhau. Nghiên cứu
của các nhà sinh vật học lại chỉ ra rằng, tuy các hiện tượng này khá phức tạp, cơ chế
nảy sinh chúng lại khá đơn giản, và hầu như chỉ dựa trên các mối liên hệ giữa các cá
thể lân cận với nhau. Một mô hình đơn giản lấy cảm hứng từ tự nhiên đã được đề
xuất bởi Reynolds [Reynolds, 1987]. Trong mô hình này, mỗi tác tử (được gọi là một
boid trong bài báo) di chuyển trong không gian ba chiều tuân theo ba qui tắc đơn
19

20. 20 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỆ ĐA TÁC TỬ
giản là chia tách (separation), căn chỉnh (alignment), và gắn kết (cohesion). Với ba
luật đơn giản trên, Renolds mô phỏng một loạt các hiện tượng khá thực tế, với các
chuyển động rất phức tạp nếu thực hiện theo cách khác. Một mô hình khác được đề
xuất bởi nhóm nghiên cứu của nhà vật lý học Vicsek [Vicsek et al., 1995] mô tả một
hệ trong đó các tác tử chuyển động trên mặt phẳng với cùng tốc độ nhưng với hướng
khác nhau. Mỗi tác tử cập nhật hướng đi của mình dựa trên trung bình cộng về góc
hướng của tác tử đó và các tác tử lân cận và một thành phần nhiễu từ môi trường.
Phân tích và mô phỏng cho thấy, nếu như nhiễu là không đáng kể, theo thời gian,
các tác tử dần dần đi theo cùng một hướng. Hiện nay, những hiện tượng tự nhiên
thường được nghiên cứu từ quan sát thực tế, sau đó lập mô hình giản lược và phân
tích ngược lại dựa trên toán học. Lý thuyết điều khiển là một trong những công cụ
được sử dụng rộng rãi trong phân tích các hệ đa tác tử trong tự nhiên, giúp đưa ra
một số qui luật tổng quát như tính ổn định, tính điều khiển được và tính quan sát
được. Hơn thế, những luật tự điều chỉnh trong tự nhiên là cảm hứng để thiết kế lời
giải cho các bài toán về hệ đa tác tử nhân tạo.
Ví dụ về hệ đa tác tử nhân tạo có thể kể đến hệ thống sản xuất và phân phối điện
năng. Trong hệ thống này, mỗi nhà máy phát điện lớn hay mỗi hộ gia đình có máy
phát nhỏ đều có thể coi là một tác tử, nhưng qui mô và mức ảnh ưởng của các tác tử
là rất khác nhau. Lưới điện đã được xây dựng và không ngừng mở rộng từ khi điện
năng còn chưa được sử dụng rộng rãi. Việc vận hành và xây dựng lưới điện phần lớn
tự phát theo nhu cầu. Điều này dẫn đến những vấn đề về an toàn và khả năng chống
chịu, phục hồi của hệ thống khi sự cố xảy ra. Nhiều sự kiện xảy ra trên thế giới đã
cho thấy, một sự cố xảy ra tại một nơi gây ảnh hưởng sập lưới trên diện rộng hay
thậm chí toàn bộ lưới điện. Do ảnh hưởng sâu rộng của lưới điện với đời sống con
người, nghiên cứu về hệ thống điện từ góc độ một hệ đa tác tử là một hướng đi đã
và đang được nhiều quan tâm.
Một ví dụ khác là các hệ thống giao thông cao tốc, khi các hệ thống xe tự lái đi
vào hoạt động. Khi lưu thông trên đường cao tốc, các xe cần liên lạc với nhau thành
một đội xe (platooning) với cùng vận tốc và khoảng cách giữa các xe định trước. Việc
lập đội xe ngoài đảm bảo tính an toàn và tiết kiệm nhiên liệu còn giúp tăng lưu lượng
xe và hạn chế ách tắc trên đường. Bài toán lập đội xe là một trường hợp riêng trong
bài toán lớn hơn là bài toán về điều khiển đội hình sẽ được phân tích ở chương 6.
Từ một góc độ khác, ta có thể coi mỗi con đường cùng lưu lượng xe là một tác tử,
và mạng lưới giao thông là một hệ thống đa tác tử khổng lồ. Giả sử rằng hệ thống
đèn tín hiệu có thể điều khiển lưu lượng và sự luân chuyển xe giữa các con đường,
bài toàn điều khiển giao thông có thể qui về bài toán sản xuất và phân phối hay rộng
hơn là bài toán tối ưu phân tán.
Một hướng nghiên cứu đang được quan tâm hiện nay là về các hiện tượng xã hội
học, hay nghiên cứu về các mạng xã hội. Những mô hình toán phân tích động học của
ý kiến được đưa ta từ những năm 70 (mô hình Degroot, mô hình Friedkin-Johnsen)
tương đồng với mô hình hệ đồng thuận trong điều khiển. Mối liên hệ thú vị này, cùng
với các hiện tượng xã hội khó dự đoán xảy ra trên các mạng xã hội nảy sinh các

21. 1.2. ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ 21
bài toán phân tích các mạng xã hội. Hơn thế nữa, việc phân tích và dự báo các hiện
tượng lan truyền thông tin có thể được sử dụng chống lại việc sử dụng mạng xã hội
vào các mục đích xấu, ví dụ như lan truyền tin tức giả, hay chi phối dư luận ở các
chính quyền độc tài.
1.2 Điều khiển hệ đa tác tử
Từ góc nhìn điều khiển học, trọng tâm nghiên cứu về hệ đa tác tử đi về ba bài toán:
(i) mô hình hóa hệ đa tác tử, (ii) phân tích tính ổn định và chất lượng của hệ đa tác
tử, (iii) thiết kế luật điều khiển cũng như tổng hợp các hệ đa tác tử theo những mục
tiêu, giới hạn cho trước.
Một mô hình toán học hữu ích cần phải thể hiện được động học của từng tác tử,
mối liên hệ giữa các tác tử trong hệ thống, và sự vận động chung của tất cả tác tử
như một hệ thống chung. Tuy nhiên, mô hình này cũng cần phải đủ đơn giản cho việc
phân tích, thiết kế luật điều khiển, và mô phỏng. Các hệ đa tác tử, từ định nghĩa,
luôn mang trong mình tính phân tán và tính phi tập trung. Trong nhiều trường hợp,
việc thiết kế một bộ điều khiển trung tâm để điều hành mọi tác tử riêng rẽ là không
thực tế. Bởi vậy, nghiên cứu điều khiển hệ đa tác tử chủ yếu quan tâm tới việc thiết
kế các thuật toán, sách lược điều khiển phi tập trung và điều khiển phân tán. Tính
phi tập trung/phân tán của các sách lược điều khiển thể hiện ở các điểm sau:
• Bài toán điều khiển hệ đa tác tử là một bài toán phức tạp, với nhiều yêu cầu
khác nhau được lượng hóa bởi các biến trạng thái chung, gọi là biến toàn cục
của hệ.
• Mỗi tác tử bị giới hạn về khả năng liên lạc, đo đạc các thông tin chung toàn cục
của hệ. Cụ thể hơn, mỗi tác tử chỉ có thể đo đạc một số biến tại vị trí của bản
thân (gọi là biến địa phương), hoặc có thể trao đổi thông tin với một số lượng
nhỏ các tác tử lân cận khác. Hơn thế, phạm vi điều khiển của một tác tử cũng
là giới hạn, một tác tử chỉ có thể tác động tới một số tác tử lân cận mình.
• Mỗi tác tử đưa ra quyết định điều khiển dựa trên các biến địa phương để giải
quyết một bài toán nhỏ của mình. Động học của cả hệ đa tác tử dựa trên việc
các tác tử giải các bài toán nhỏ một cách đồng thời. Hơn thế nữa, động học
chung hệ đa tác tử thường rất khác biệt và phức tạp so với động học của từng
tác tử đơn lẻ.
Như vậy, ta có thể nhìn nhận một thuật toán điều khiển phân tán là một cách phân
chia một bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ, sao cho các bài toán nhỏ có thể giải
quyết bởi mỗi tác tử nhờ tài nguyên tại địa phương.
So sánh với thiết kế điều khiển tập trung, điều khiển phi tập trung/phân tán
không đòi hỏi có một bộ điều khiển trung tâm mà chỉ dựa trên tài nguyên trao đổi,
đo đạc, và tính toán tại địa phương. Điều này giúp giảm chi phí hiện thực hóa các
hệ đa tác tử. Một lợi ích khác của điều khiển phi tập trung/phân tán là khả năng

22. 22 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỆ ĐA TÁC TỬ
mở rộng và phát triển hệ đa tác tử với ít công sức. Do các tác tử được xét tương tự
nhau, các luật điều khiển phi tập trung/phân tán cho mỗi tác tử là tương tự nhau và
không phụ thuộc vào số lượng tác tử. Điều đó có nghĩa là ta chỉ cần thiết kế một luật
điều khiển phổ quát cho tác tử một lần, và không cần thay đổi luật này khi tăng số
lượng tác tử trong hệ sau này. Cuối cùng, do ta chia nhỏ bài toán lớn thành các bài
toán nhỏ cho các tác tử, ảnh hưởng khi một tác tử không hoàn thành nhiệm vụ tới
toàn hệ sẽ được hạn chế.
Đi kèm với những lợi thế kể trên, các phương pháp điều khiển phi tập trung/phân
tán cũng có những hạn chế, khó khăn của mình. Đầu tiên là khó khăn trong thiết kế
luật điều khiển phi tập trung/phân tán. Giả sử ta có một hệ thống và các yêu cầu cần
đạt. Khi có đầy đủ thông tin về các biến trạng thái, ta có thể phân tích và thiết kế bộ
điều khiển tập trung một cách dễ dàng dựa trên các phương pháp thiết kế điều khiển
truyền thống. Tuy nhiên, khi thiết kế luật điều khiển phi tập trung/phân tán, mỗi
tác tử bị hạn chế về thông tin, do đó nhiều khi mặc dù các tác tử hoàn thành nhiệm
vụ riêng của mình, hệ đa tác tử vẫn không đạt được toàn bộ các yêu cầu của bài toán
thiết kế. Nói cách khác, lượng thông tin giảm bớt được đánh đổi bởi chất lượng của
hệ thống và sẽ được minh họa trong bài toán điều khiển đội hình ở chương sau. Thứ
hai, mặc dù các luật điều khiển địa phương thường đơn giản, động học chung của cả
hệ đa tác tử thường phức tạp hơn rất nhiều. Các hệ đa tác tử trong thực tế là các hệ
phi tuyến và có những yếu tố bất định trong mô hình cũng như bị ảnh hưởng từ môi
trường bên ngoài. Nhìn chung, các hệ đa tác tử đều có một cơ sở nghiên cứu chung và
tùy ứng dụng cụ thể mà có một số công cụ phân tích, thiết kế được phát triển riêng.
Một vấn đề khác là an toàn của các hệ đa tác tử khi bị tấn công hay khi có tác tử
gặp sự cố. Một tác động địa phương có thể bị nhân lên thành một thảm họa cho cả
hệ thống nếu như hệ không được thiết kế với khả năng phát hiện và cô lập các sự cố
một cách phân tán và theo thời gian thực.
1.3 Ghi chú và tham khảo
Một điểm đặc biệt của các hệ đa tác tử nhân tạo (lưới điện, hệ giao thông, mạng xã
hội,...) là chúng đã được xây dựng và phát triển trước khi có một lý thuyết chung
về hệ đa tác tử. Sự phát triển của các hệ đa tác tử sẽ nảy sinh nhu cầu về các kĩ sư
và chuyên gia về hệ đa tác tử trong tương lai gần. Nghiên cứu các bài toán về hệ đa
tác tử sẽ cần có kiến thức cơ sở về lý thuyết điều khiển [Antsaklis and Michel, 2007,
Ogata, 2009, Khalil, 2002], lý thuyết đồ thị [West, 1996, Biggs, 1993] và tối ưu hóa
[Boyd and Vandenberghe, 2004].
Trong phần I, cơ sở về lý thuyết đồ thị sẽ được trình bày ở chương 2. Tiếp theo,
ở phần II, một số kết quả quan trọng trong phân tích hệ đồng thuận sẽ được trình
bày. Những kết quả về hệ đồng thuận tuyến tính ở chương 3, mặc dù đơn giản nhưng
là khởi điểm cho các nghiên cứu về các hệ đa tác tử trong hai thập kỉ qua. Những
ứng dụng của hệ đồng thuận trong các bài toán như điều khiển đội hình, giữ liên kết,
tránh va chạm, định vị mạng cảm biến và một số mô hình động học quan điểm trong

23. 1.3. GHI CHÚ VÀ THAM KHẢO 23
nghiên cứu mạng xã hội sẽ được giới thiệu ở phần III, trong các chương 6 9 nhằm
cung cấp những ví dụ cụ thể về việc thiết kế, phân tích các hệ đa tác tử hiện nay.
Các ví dụ mô phỏng được cung cấp để hỗ trợ độc giả tiếp cận các kết quả lý thuyết
trong tài liệu.1
1Các ví dụ mô phỏng trong tài liệu này có thể sử dụng với MATLAB/SIMULINK bản R2018a
trở lên.

24. 24 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỆ ĐA TÁC TỬ

25. Chương 2
Lý thuyết đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Tính trừu
tượng hóa cao của đồ thị cho phép mô tả nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau.
Không quá khi nhận xét rằng, gần như mọi bài toán về hệ đa tác tử đều ít nhiều dựa
trên những kết quả khác nhau từ lý thuyết đồ thị. Ví dụ, người ta có thể dùng đồ
thị để biểu diễn ảnh hưởng xã hội giữa các thành viên trong một tổ chức, để mô tả
dòng phương tiện giữa các nút giao thông khác nhau, hay để biểu diễn những luồng
thu thập, trao đổi thông tin trong một mạng cảm biến, . . . .
Mục tiêu của chương này là tổng kết những kết quả của lý thuyết đồ thị thường
dùng trong nghiên cứu về hệ đa tác tử. Đầu tiên, các định nghĩa và kết quả cơ bản
về đồ thị theo lý thuyết tập hợp được giới thiệu trong mục 2.1. Tiếp theo, mục 2.2
trình bày các cấu trúc đại số để mô tả đồ thị, ví dụ như ma trận liền kề, ma trận liên
thuộc, và ma trận Laplacian. Hai mục 2.1 và 2.2 là nền tảng để mô tả các hệ đa tác
tử và sẽ được dùng trong phân tích hệ đồng thuận ở Chương 3.
2.1 Đồ thị
2.1.1 Đồ thị vô hướng
Một đồ thị đơn, hữu hạn, vô hướng (hay gọi ngắn gọn là một đồ thị) ,
G V, E
= ( )
gồm một tập đỉnh V v
= { 1 , v2, . .. , vn } | |
với V = 0
n > phần tử, và một tập cạnh
E v
= (
{ i, vj ) = 1 =
|i, j , . . ., n, i 6 j V V
} ∈ × với phần tử. Ta gọi
| |
E = m vi ∈ V và
(vi, vj) ∈ E tương ứng là môt đỉnh và một cạnh của đồ thị . Do đồ thị là vô hướng
G
nên nếu có (vi , vj) (
∈ E thì cũng có vj , vi ) ∈ E.1
Khi có nhiều đồ thị khác nhau, ta
kí hiệu tập đỉnh và tập cạnh tương ứng của đồ thị bởi và . Trong một
G V G
( ) E G
( )
1Bởi vậy, với đồ thị vô hướng , ta chỉ cần liệt kê
G (vi, vj) (
là đủ hiểu rằng cả vi, vj) và (vj, vi)
đều thuộc .
E
25

26. 26 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
v2
v3
v4
v1
(a) G1
v1
v2
v3 v4
v5
(b) G2
v0
1
v0
2
v0
3 v0
4
v0
5
(c) G3
Hình 2.1: Một số ví dụ về đồ thị vô hướng.
số ngữ cảnh, để đơn giản, ta có thể kí hiệu đỉnh vi bởi , cạnh
i (vi, vj ) ( )
bởi i, j hoặc
eij.
Mỗi đồ thị có một biểu diễn hình học tương ứng, gồm các vòng tròn nhỏ biểu
G
diễn các đỉnh vi ∈ V , và các đoạn thẳng (hay các cung) nối vi với vj nếu (vi, vj ) ∈ E.
Ví dụ 2.1. Trên hình 2.1: (a) G1 = (V1, E1 ) có tập đỉnh V1 = {v1, v2, v3 , v4}, tập cạnh
E1 = (
{ v1 , v2) (
, v2, v3) (
, v3, v4 ) (
, v4, v1) (
, v1 , v3)}. (b): G2 = (V2, E2) có tập đỉnh V2 =
{v1 , v2, v3, v4, v5}, tập cạnh E2 = (
{ v1 , v2) (
, v2 , v3) (
, v3, v4) (
, v4, v5) (
, v5, v1)}. (c): G3 =
(V3, E3 ) có V3 = {v1 , v2 , v3, v4 , v5} và E3 = (
{ v1, v3) (
, v3 , v5) (
, v5, v2) (
, v2 , v4) (
, v4, v1)}.
Giả sử (vi, vj ) ( )
∈ E G thì ta nói vi, vj là hai đỉnh kề nhau (kí hiệu vi ∼ vj ), và
đỉnh vi gọi là liên thuộc với cạnh (vi , vj ). Hai cạnh phân biệt có chung một đỉnh gọi
là hai cạnh kề. Hai đồ thị là đẳng cấu nếu tồn tại một song ánh giữa hai tập đỉnh mà
bảo toàn quan hệ liền kề. Từ nay, ta không phân biệt giữa hai đồ thị đẳng cấu . Nếu
G và là hai đồ thị đẳng cấu, ta viết
H G ∼
= H G H
hoặc đơn giản là = .
Ví dụ 2.2. Xét hai đồ thị G2 và G3 trên hình 2.1(b) và (c). Định nghĩa ánh xạ
f V
: 2 → V3 như sau: f v
( 1 ) = v0
1, f v
( 2 ) = v0
3, f v
( 3 ) = v0
5, f v
( 4) = v 0
2 , và f v
( 5) = v0
4.
Dễ thấy là một song ánh giữa
f V1 và V2 . Hơn nữa, có thể kiểm tra:
• (v1, v2) ∈ E1 thì ( (
f v1 ) (
, f v2)) = (v0
1, v0
3 ) ∈ E2,

27. 2.1. ĐỒ THỊ 27
• (v2, v3) ∈ E1 thì ( (
f v3 ) (
, f v3)) = (v0
3 , v0
5) ∈ E2,
• (v3, v4) ∈ E1 thì ( (
f v3 ) (
, f v4)) = (v0
5 , v0
2) ∈ E2,
• (v4, v5) ∈ E1 thì ( (
f v4 ) (
, f v5)) = (v0
2 , v0
4) ∈ E2,
• (v5, v1) ∈ E1 thì ( (
f v5 ) (
, f v1)) = (v0
4 , v0
1) ∈ E2.
Như vậy bảo toàn quan hệ liền kề và ta đi đến kết luận rằng
f G2
∼
= G3.
Một đồ thị G0
= (V 0
, E0
) = ( )
là một đồ thị con của G V, E nếu V 0
⊆ V và E0
⊂ E.
Trong trường hợp này ta viết G0 ⊆ G V
. Nếu 0 ⊂ V V
thì đồ thị ( 0
, E V
∩ 0
× V0) là
một đồ thị con được dẫn xuất từ V 0, và kí hiệu bởi G V
[ 0]. Đồ thị là một đồ thị
H
con dẫn xuất của nếu và .
G H G
⊂ H G V H
= [ ( )]
Tập láng giềng của đỉnh vi của đồ thị được định nghĩa bởi
G N v
( i) = {vj |(vi, vj ) ∈
E v
}. Bậc của đỉnh i là số phần tử của tập láng giềng N v
( i) (
, tức là deg vi) = (
|N vi )|.
Ta cũng có thể định nghĩa bậc của một đỉnh trong đồ thị là số cạnh liên thuộc với nó.
Khi chỉ có một đồ thị , ta có thể dùng kí hiệu rút gọn
G N v
( i) = Ni và deg v
( i) = degi.
Khi có nhiều đồ thị khác nhau, ta thêm kí hiệu đồ thị như một chỉ số dưới. Ví dụ nếu
H G
là một đồ thị con được dẫn xuất của và thì
v H
∈
NH ( ) =
v NG ( ) ( )
v ∩ V H , và degH ( ) =
v |NH( )
v |.
Với tập V 0 ⊂ V N V
, ta định nghĩa tập ( 0
) = ( )
∪{N v | ∈
v V 0}. Bậc tối thiểu của
các đỉnh của được kí hiệu bởi và bậc tối đa được kí hiệu bởi . Nếu
G δ G
( ) ∆( )
G
δ G G k G k G
( ) = ∆( ) = , tức là mọi đỉnh của đều có bậc , thì gọi là một đồ thị chính
quy bậc (hoặc đồ thị đều bậc ). Đồ thị chính quy mạnh là đồ thị chính quy mà
k k
mọi cặp đỉnh kề nhau đều có số láng giềng chung bằng nhau và mọi cặp đỉnh không
kề đều có số láng giềng chung bằng nhau. Đồ thị chính quy bậc k V n
= | | − 1 = − 1
gọi là đồ thị đầy đủ bậc , kí hiệu bởi
n Kn .
Nếu E0 ⊂ −
E G G
( ) thì E0
, ( ( )
V, E G E0 ) gọi là đồ thị thu hẹp từ sau khi
G
ta xóa đi các cạnh trong E0 . Tương tự, nếu V 0 ⊂ −
V G G
( ) thì V 0 là đồ thị thu
hẹp từ sau khi xóa đi các đỉnh thuộc
G V 0 , với qui ước rằng khi một đỉnh v ∈ V0
bị xóa đi thì các cạnh kề với cũng bị xóa đi. Nói cách khác, nếu thì
v G V, E
= ( )
G V
− 0
= (V V
0
, E V V
∩ ( 0
) (
× V V
0)). Nếu V0 = { } −
v , ta thường viết G v thay
cho . Tương tự, ta viết thay cho . Với đồ thị , ta có thể
G v
− { } G e
− G e
− { } H G
⊂
viết thay cho . Nếu cạnh thì đồ thị mở rộng từ
G H
− G V H
− ( ) e V V E
∈ × G
bằng cách thêm vào cạnh được kí hiệu là . Ta cũng có những
e G e V, E e
+ = ( ∪ { })
định nghĩa tương tự cho đồ thị mở rộng nhờ thêm đỉnh.
Với V v
= { 1 , . .. , vn} {
, deg(v i)}n
1 gọi là chuỗi bậc của . Thông thường, ta sắp
G
xếp các đỉnh sau cho chuỗi bậc là đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm. Dễ thấy rằng
n
X
i=1
deg(vi) = 2 ( ) = 2
|E G | m,

28. 28 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
do đó tổng chuỗi bậc
Pn
i=1 deg(vi) luôn luôn là một số chẵn.
Với và là hai đỉnh không nhất thiết trùng nhau của , một đường mòn nối
u v G W
u v
− là một chuỗi luân phiên giữa đỉnh và cạnh, u1 , e1, u2 , e2, . .. , ul , el, ul+1 , sao cho
u1 = u u
(đỉnh đầu), l+1 = v (đỉnh cuối), và các cạnh ei = (ui , ui+1 ) ( ) 1
∈ E G , ≤ ≤
i l
là đôi một khác nhau. Thông thường, ta kí hiệu W v
= 1v2 . . .vl+1 bởi dưới dạng
này có thể xác định rõ các cạnh của . Độ dài của đường mòn này là . Tập
W W l
đỉnh và tập cạnh của được kí hiệu lần lượt là
W V W v
( ) = { i| }
i ,. . . , l
= 1 + 1 và
E W e
( ) = { i| }
i , . . . ,l
= 1 + 1 . Một lối mòn có tất cả các đỉnh đôi một khác nhau (có
thể trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối) gọi là một đường đi. Một lối mòn có đỉnh đầu và đỉnh
cuối trùng nhau được gọi là một mạch (circuit). Một đường đi có đỉnh đầu và đỉnh
cuối trùng nhau với độ dài được gọi là một chu trình.
l ≥ 3
Một chu trình thường được kí hiệu bởi v1v2 . . .vl (thay cho v1v2 . . .vlv1). Ta
thường đồng nhất đường đi đơn và chu trình đơn với các đồ thị
P C ( ( ) ( ))
V P ,E P
và . Như vậy,
( ( ) ( ))
V C ,E C v1v2 . . .vl+1 và vl+1vl . . .v1 kí hiệu cùng một đường đi.
Tương tự, v1v2 . . .vl và v2v3 . . .vlv1 kí hiệu cùng một chu trình. Ta kí hiệu Pl là một
đường đi độ dài và
l Cl một chu trình độ dài .
l
Một đồ thị là liên thông nếu tồn tại ít nhất một đường đi giữa hai đỉnh bất kì
của đồ thị. Ngược lại, ta gọi đồ thị là không liên thông. Một đồ thị con liên thông
tối đa của là một đồ thị con sao cho là liên
G H V H , E G V H V H
= ( ( ) ( ) ∩ ( ) × ( )) H
thông và không có đường đi nào trong nối với các đỉnh .
E G
( ) H v V G V H
∈ ( ) ( )
Ta thường gọi là một thành phần của đồ thị .
H G
Một đồ thị liên thông không chứa chu trình nào gọi là một cây. Một đồ thị không
chứa chu trình nào gọi là một rừng. Một cây chứa tất cả các đỉnh của đồ thị gọi là
một cây bao trùm. Một cây có đỉnh thì luôn có cạnh. Đường đi giữa hai đỉnh
n n − 1
bất kì trong một cây là duy nhất. Một rừng gồm đỉnh và thành phần có
n c n c
−
cạnh.
Khoảng cách giữa hai đỉnh , , kí hiệu bởi là độ dài nhỏ nhất của một
u v d u, v
( )
đường đi nối với . Nếu như không tồn tại một đường đi nào nối , hay nói cách
u v u v
−
khác, và thuộc về hai thành phần khác nhau, ta qui ước .
u v d u, v
( ) = ∞
Ghi chú 2.1. Trong các định nghĩa ở trên, ta không xét đồ thị có chứa khuyên (một
cạnh nối một đỉnh với chính nó) và giả thuyết rằng giữa hai đỉnh bất kì chỉ được nối
bởi một cạnh (không có các cạnh ). Một đồ thị có cạnh bội gọi là một đa đồ
cạnh bội
thị. Một đa đồ thị có chứa khuyên gọi là một giả đồ thị.
2.1.2 Đồ thị hữu hướng
Một đồ thị hữu hướng định nghĩa bởi một tập đỉnh cùng với một tập
G V V G
= ( )
các cạnh hữu hướng . Một cạnh có hướng (với )
E E G V V
= ( ) ∈ × ( )
u, v ∈ E u v
6=
được biểu diễn hình học bởi một cung có hướng từ đỉnh tới đỉnh . Khi làm việc với
u v
đồ thị hữu hướng, và là hai cạnh khác nhau và có thể cùng tồn tại. Hơn
( )
u, v ( )
v, u
nữa, nếu thì không suy ra được rằng . Hầu hết các định nghĩa
( )
u, v ∈ E ( )
v, u ∈ E
cho đồ thị vô hướng có thể được mở rộng ngay cho đồ thị có hướng. Với mỗi đỉnh

29. 2.1. ĐỒ THỊ 29
u V u u
∈ , ta định nghĩa bậc-ra của đỉnh là số cạnh có hướng xuất phát từ , kí hiệu
deg+
( )
u . Định nghĩa tập láng giềng-ra của đỉnh bởi
u N+( ) = ( )
u { |
v u, v ∈ }
E thì ta
có deg+
( ) =
u |N+( )
u |.2
Hoàn toàn tương tự, ta có thể định nghĩa bậc-vào deg−
( )
u
và tập láng giềng-vào N−( )
u của đỉnh . Nếu đồ thị có deg
u G +
( ) =
u deg−
( )
u với mọi
u V G
∈ thì gọi là một đồ thị cân bằng.
Một đường đi hữu hướng u0u1 . . .uk là một đường đi chứa các cạnh hữu hướng
(ui, ui+1) ∈ E. Với một đồ thị đơn, vô hướng , ta có thể xây dựng một đồ thị hữu
H
hướng bằng cách gán cho mỗi cạnh của một hướng nhất định. Đồ thị gọi là
G H G
một đồ thị được định hướng của . Ngược lại, với một đồ thị hữu hướng , ta có
H G
thể loại bỏ hướng của tất cả các cạnh của và thu được đồ thị vô hướng .
G H 3 Nếu
đồ thị vô hướng là liên thông, thì là một đồ thị liên thông yếu. Nếu với mỗi cặp
H G
đỉnh ta đều tìm được một đường đi hữu hướng , thì gọi là
u, v V G ,u v
∈ ( ) 6= u v
− G
một đồ thị liên thông mạnh. Có thể thấy rằng khi đồ thị là vô hướng thì việc xét hai
khái niệm liên thông yếu và liên thông mạnh là tương đương.
Nếu trong đồ thị hữu hướng , tồn tại một đỉnh sao cho với mọi
G V,E
= ( ) u V
∈
v E,v u u v G
∈ 6= , ta đều tìm được một đường đi hữu hướng từ tới trong , thì đỉnh
u G
gọi là một gốc-ra của , và gọi là một đồ thị có gốc-ra tại . Khi đó, chứa
G u G
một cây bao trùm có hướng sao cho từ gốc-ra có thể đi đến tất cả các đỉnh khác
T u
trong . Tương tự, nếu trong tồn tại một đỉnh sao cho với mọi ,
T G u V
∈ v E, v u
∈ 6=
ta đều tìm được một đường đi hữu hướng trong từ tới , thì đỉnh gọi là một
G v u u
gốc-vào của , còn được gọi là một đồ thị có gốc-vào tại . Khi đó, chứa một
G G u G
cây bao trùm có hướng sao cho gốc-vào có thể đi tới được từ tất cả các đỉnh
T u
khác trong . Với một đồ thị liên thông mạnh thì mọi đỉnh của đồ thị đều vừa là một
T
gốc-vào cũng như là một gốc-ra.
Với mỗi đỉnh bất kì của , ta luôn có thể tìm được một đồ thị con, liên thông
u G
mạnh, tối đa của sao cho . Ở đây, thuật ngữ “tối đa” mang ý nghĩa là
H G u V H
∈ ( )
không tồn tại một đồ thị con liên thông mạnh nào của sao cho là một đồ thị
K G H
con dẫn xuất của . Chú ý rằng đồ thị có thể chỉ chứa một đỉnh . Với mọi đồ thị
K H u
G, ta luôn có thể phân hoạch thành các đồ thị con liên thông mạnh, tối đa. Mỗi đồ
G
thị con này gọi là một thành phần của . Do tính tối đa của mỗi thành phần, phân
G
hoạch này của là duy nhất.
G
2.1.3 Đồ thị có trọng số
Ta có thể định nghĩa một đồ thị có trọng số bởi một bộ ba , trong đó ngoài
G ( )
V, E,A
tập đỉnh và tập cạnh , ta có thêm tập trọng số
V E A ω
= { ij ∈ R+ | 6 ∈ }
i = j, i, j V .
Ứng với mỗi cạnh có một trọng số
( )
i, ji ∈ E ωij > 0 tương ứng. Trong khi đó, nếu
( )
i, j /
∈ E ω
thì trọng số ij được cho bằng 0. Nhờ có trọng số, ngoài tính liên kết trong
đồ thị, ta có thể đánh giá tương đối về mức độ quan trọng (hay mạnh yếu) của các
cạnh (liên kết) trong đồ thị.
2Chú ý rằng một số tài liệu sử dụng kí hiệu degout( )
u và Nout( )
u với cùng ý nghĩa.
3Nếu tồn tại hai cạnh và trong thì ta coi chúng là một cạnh trong .
( )
u, v ( )
v,u G H

30. 30 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
2.2 Đại số đồ thị
2.2.1 Một số ma trận cấu trúc của đồ thị
2.2.1.1 Ma trận bậc và ma trận kề
Xét đồ thị , ta định nghĩa ma trận kề
G V,E,A
= ( ) A( ) = [
G aij]n n
× ∈ Rn n
× của G
bởi:
aij =

ωji, v
nếu ( j , vi ) ∈ E,
0, các trường hợp khác.
(2.1)
Ma trận bậc được định nghĩa bởi
D( )
G
D( ) = ( (
G diag deg v1) (
, . .. , deg vn )) =





deg(v1) 0 0
· ··
0 (
deg v2) 0
· · ·
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
.
0 0 (
· · · deg vn)





, (2.2)
với deg(vk) = deg−
(vk) =
P
j N
∈ i
aij . Khi chỉ có đồ thị , ta sẽ viết gọn
G A A
( ) =
G
và .
D D
( ) =
G
Ví dụ 2.3. Ma trận kề và ma trận bậc của đồ thị trên hình 2.1(a) được cho bởi:
v1 v2 v3 v4
A(G1) =




0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0




v1
v2
v3
v4
, G
D( 1 ) =




3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 2



. (2.3)
Dễ thấy ma trận kề A A
= > luôn có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0,
và các phần tử khác đều không âm. Hơn nữa, nếu đồ thị là vô hướng thì ma trận
G
kề là đối xứng A A
= > .
2.2.1.2 Ma trận liên thuộc
Giả sử đồ thị có đỉnh và cạnh. Xét một đồ thị định
G V,E,A
= ( ) | |
V = n | |
E = m
hướng bất kì của và đánh số các cạnh của đồ thị này bởi
G e1, . .. , em . Ma trận liên
thuộc H = [hki]m n
× ∈ Rm n
× biểu diễn mối liên hệ giữa các đỉnh và các cạnh của đồ
thị . Mỗi hàng của ma trận liên thuộc ứng với một cạnh của trong khi mỗi cột
G E
tương ứng với một đỉnh trong . Cụ thể, các phần tử của ma trận liên thuộc được
V
xác định bởi
hki =



−1, e
nếu k = (vi , vj ),
1, e
nếu k = (vj , vi ),
0, trường hợp khác.
(2.4)

31. 2.2. ĐẠI SỐ ĐỒ THỊ 31
v2
v3
v4
v1
(a) H1
v2
v3
v4
v1
(b) H2
Hình 2.2: Một số đồ thị định hướng khác nhau của đồ thị trên Hình 2.1(a).
G
Ví dụ 2.4. Ma trận liên thuộc của đồ thị trên hình đồ thị trên hình 2.2(a) được cho
bởi:
v1 v2 v3 v4
H(H1) =






−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1
0 1 1 0
−
0 0 1 1
−






e1 = (v1, v2)
e2 = (v1, v3)
e3 = (v1, v4)
e4 = (v2, v3)
e5 = (v3, v4)
Mặc dù với mỗi cách định hướng khác nhau của , dấu của các hàng của ma trận
G
H sẽ thay đổi tương ứng. Tuy nhiên, hạng của ma trận là không phụ thuộc vào
H
cách ta định hướng đồ thị .
G
Ma trận liên thuộc cho ta thông tin về cấu trúc của đồ thị . Cụ thể, nếu đồ thị
G G
là liên thông thì không gian rỗng của ma trận được sinh bởi vector
H 1n = [1 1]
, . .. , >,
nói cách khác ker span
( ) =
H {1n }. Trong khi đó, không gian rỗng (hay hạt nhân)
của ma trận H> liên hệ với không gian chu trình (cycle space) của đồ thị .
G
Xét một đồ thị định hướng của và giả sử rằng là liên thông. Trong , một
H G G H
vector đường đi đánh dấu (signed path vector) tương ứng với một đường đi hữu
z
hướng sao cho phần tử thứ của
P i z = [z1 , . .. , zm ]> nhận giá trị:
zi =



+1, i
nếu cạnh thứ được đi thuận hướng trong P,
1, i P,
nếu cạnh thứ được đi ngược hướng trong
0, i
nếu cạnh thứ không thuộc .
P
Với một đường đi với đỉnh đầu và cuối khác nhau trong đồ thị mô tả bởi vector
P H
z, vector y H
= >z nhận giá trị nếu đỉnh là đỉnh xuất phát của đường đi,
−1 i 1
nếu đỉnh là đỉnh kết thúc, và trong các trường hợp khác. Không gian rỗng của
i 0
H> được sinh bởi các vector đường đi đánh dấu độc lập tuyến tính tương ứng với
các chu trình độc lập của . Gọi là số chu trình độc lập trong (cũng như của )
H µ H G
thì dim ker
µ = ( (H> )) (
. Do đó, rank H> ) = ( (
dim im H>)) ( (
− dim ker H>)) = m µ
− .
Mặt khác, với liên thông thì rank dim im dim ker . Từ
G ( ) =
H ( ( ))
H − ( ( )) = 1
H n −

32. 32 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
rank rank
( ) =
H (H>), ta suy ra công thức
µ m n .
= − + 1 (2.5)
Trong trường hợp không liên thông và có thành phần, dim ker . Khi đó,
G c ( ( )) =
H c
công thức tính số chu trình độc lập trở thành . Chú ý rằng công thức
µ m n c
= − +
(2.5) cũng có thể suy ra như sau: Xét một cây bao trùm bất kỳ của gồm
T G n − 1
cạnh. Rõ ràng, không chứa bất kỳ chu trình nào. Với mỗi cạnh
T e E G E T
∈ ( ) ( )
được thêm vào đồ thị thì ta có một chu trình độc lập tương ứng. Vì vậy, số chu trình
độc lập trong bằng .
G | | −
E G
( ) E T
( ) = m n + 1
Ví dụ 2.5. Xét ma trận liên thuộc trong ví dụ 2.4 (đồ thị trên hình 2.2(a)). Không
gian rỗng của được sinh bởi vector
H 14 do đồ thị là liên thông yếu. Dễ thấy hạt nhân
của H>
chứa các vector
• z1 = [1 1 0 1 0]
, − , , , >
tương ứng với chu trình đi qua các đỉnh v1, v2, v3, v1;
• z2 = [0 1 1 0 1]
, , − , , >
tương ứng với chu trình đi qua các đỉnh v1, v2, v3, v1;
• z3 = [1 0 1 1 1]
, , − , , >
tương ứng với chu trình đi qua các đỉnh v1, v2, v3, v4, v1 .
Do z3 = z1 + z2, z3 phụ thuộc tuyến tính với z1 và z2. Như vậy và
µ H
( ) = 2
ker(H>
) = span{z1, z2}. Có thể kiểm tra lại rằng .
µ m n
= − + 1 = 5 4 + 1 = 2
−
2.2.1.3 Ma trận Laplace của đồ thị vô hướng
Ma trận Laplace L = [lij]n n
× ∈ Rn n
× của đồ thị vô hướng được định nghĩa bởi:
G
L , D A
− . (2.6)
Nói cách khác, các phần tử của ma trận Laplace có thể được định nghĩa từ các phần
tử của ma trận như sau:
A
lij =

−aij, i, j V, i j,
nếu ∈ 6=
Pn
j=1 aij, i j.
nếu =
Ta cũng có thể định nghĩa ma trận dựa trên ma trận liên thuộc. Với một định
L
hướng bất kỳ của , ta có một ma trận liên thuộc tương ứng. Ma trận Laplace có
G H
thể viết dưới dạng:
L = H>
H. (2.7)
Như vậy, với là đồ thị vô hướng thì ma trận Laplace là đối xứng và bán xác định
G L
dương. Do đó, các trị riêng của là các số thực và ta có thể sắp xếp chúng theo thứ
L
tự tăng dần như sau:
λ1 ( )
G ≤ λ2 ( )
G ≤ ≤
. . . λn( )
G . (2.8)
Mặc dù có thể định nghĩa từ ma trận (xem phương trình (2.7)), ma trận không
H L
phụ thuộc vào cách ta chọn định hướng các cạnh khi biểu diễn ma trận (phương
H
trình (2.6)).

33. 2.2. ĐẠI SỐ ĐỒ THỊ 33
Định lý 2.1 .
(Các tính chất của ma trận Laplace) Xét đồ thị vô hướng G V,E
= ( )
với ma trận Laplace . Ta có:
L
1. là đối xứng:
L L L
= >
.
2. là bán xác định dương. Các giá trị riêng của , sắp xếp theo thứ tự tăng dần,
L L
thỏa mãn:
0 = λ1 ≤ λ2 ≤ ≤
. . . λn.
3. thuộc tập các M-ma trận. Mỗi M-ma trận
L M M
= [ ]ij ∈ Rn n
× có các phần
tử ngoài đường chéo không dương ([ ]
M ij ≤ ∀ 6
0, i = j), nhưng phần thực của các
trị riêng của nó đều không âm (λi( ) 0 = 1
M ≥ , i
∀ , . .. , n).
4. Tổng các hàng và các cột của đều bằng . Nói cách khác, ma trận và
L 0 L L>
đều nhận vector 1n là một vector riêng ứng với trị riêng λ1( ) = 0
G .
5. Đồ thị là liên thông khi và chỉ khi
G λ2( ) 0
G > . Giá trị λ2( )
G còn gọi là là giá
trị riêng Fiedler hay trị số liên thông của đồ thị .
G
6. Nếu gồm thành phần liên thông, ta có thể đánh số các đỉnh của sao
G c G
cho ma trận có thể viết dưới dạng một ma trận khối đường chéo
L L =
blkdiag(L1, . .. , Lc), trong đó Li , i , . . . ,c
= 1 , là những ma trận Laplace tương
ứng của mỗi thành phần liên thông trong . Số chiều của không gian rỗng của
G
L bằng với số thành phần liên thông của đồ thị (dim ker ).
( ( )) =
L c
7. Vết của ma trận Laplace bằng hai lần số cạnh của , nói cách khác trace
G ( ) =
L
2m.
8. (Định lý ma trận - cây) Kí hiệu Lv i
là ma trận thu được từ sau khi xóa đi
L
hàng và cột ứng với đỉnh vi bất kì của đồ thị. Số cây bao trùm đồ thị được
G
tính bởi det
τ G
( ) = (Lvi).
9. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Lx b
= b>
1n = 0. Nghiệm của phương
trình có dạng x = α1n+L†
b, trong đó và
α ∈ R L†
= (0
Pdiag , λ−1
2 , . .. , λ−1
n )P>
là ma trận nghịch đảo Moore-Penrose của ,
L P v
= [ 1, . .. , vn] với vk là các vec-
tor riêng đã được chuẩn hóa tương ứng với các giá trị riêng λ1, . .. , λn của ma
trận . Ma trận
L L†
là đối xứng, bán xác định dương, có tổng hàng và tổng cột
bằng 0, và thỏa mãn L†
L LL
= †
= In − 1
n 1n1>
n .
10. Giả sử là đồ thị liên thông và
G G0
là đồ thị thu được từ sau khi xóa đi các
G
đỉnh V1 = 1 1
, . .. , l l
, ≥ , thì ma trận Laplace có thể viết dưới dạng:
L =

L11 L12
L21 L22

, (2.9)
trong đó L11 ∈ Rl l
×
, L12 = L>
12 = L21 ∈ Rl n l
×( − )
, và L22 = (
L G0
) −
diag(L211l) ∈ R( ) ( )
n l
− × n l
− là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi l = 1

34. 34 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
thì L 22 còn có tên gọi là ma trận Laplace nối đất, với ma trận nghịch đảo gồm
các phần tử không âm thỏa mãn (L −1
22 )ij = (ei − e1)>L†
(ei − e1 ), trong đó
ei = [0 0 1 0 0]
, . . . , , , , . . . , >
∈ Rn
là vector đơn vị với các phần tử bằng 0 ngoại
trừ phần tử thứ có giá trị bằng .
i 1
11. Điện trở hiệu dụng reff
ij giữa hai đỉnh trong đồ thị liên thông được cho bởi
i, j G
reff
ij = (ei − ej)> L†
(ei − ej) = L†
ii + L†
jj − 2L†
ij . Điện trở hiệu dụng là một
metric trong đồ thị, thỏa mãn các tính chất: (a) Không âm: reff
ij ≥ ∀ ∈
0, i, j V
và r eff
ij = 0 =
khi và chỉ khi i j r
; (b) Đối xứng: eff
ij = reff
ji , i, j V
∀ ∈ ; (c) Bất đẳng
thức tam giác: reff
ij ≤ reff
ik + r
eff
kj , i, j,k V
∀ ∈ .
11. Chứng minh của khẳng định này
Chứng minh. 1-4. Các tính chất này được suy từ cách định nghĩa ma trận Laplace
theo các pt. (2.6)–(2.7).
5. Từ pt. (2.7), ta có ker ker
( ) =
L (H>H H H
) = (
ker ). Do hạt nhân của được
sinh bởi vector 1n khi và chỉ khi là liên thông, ta có điều phải chứng minh.
G
6. Tương tự tính chất 5, ta có thể đánh số các cạnh của từng thành phần liên
thông Gk = (Vk, Ek ) = 1
, k , . . . , c G e
trong sao cho 1, . .. , em1
thuộc G1,
em1+1, . .. , em1+m2
thuộc G2, . . . , và ePc−1
k=1 mk+1, . .. , ePc
k=1 mk
, với
Pc
k=1 mk =
m. Do các thành phần liên thông không có đỉnh chung, ma trận liên thuộc của
đồ thị có dạng:
H =





H1 0 0
· · ·
0 H2 · · · 0
· · ·
...
. ..
.
.
.
0 0
· · · Hc





(2.10)
Do mỗi thành phần là liên thông, định nghĩa
vk = vec(0|V1 |, . .. , 0|Vk−1 |, 1|Vk |, 0|Vk+1|, . .. , 0|Vc |) = 1
, k , . . ., c,
thì
Hvk =








0|V1 |
.
.
.
Hk1|V k|
.
.
.
0|Vc|








= 0n, do Hk 1|Vk | = 0|Vk|.

35. 2.2. ĐẠI SỐ ĐỒ THỊ 35
Như vậy, dim ker . Do
( ( )) =
H c
L = H>
H =





H>
1 H1 0 0
· · ·
0 H >
2 H2 · · · 0
· · ·
...
...
.
.
.
0 0
· · · H>
c Hc





= (
blkdiag L1, . .. , Lc).
(2.11)
nên cũng có dim ker dim ker
( ( )) =
H ( (H >H)) = ker .
( ) =
L c
7. Từ pt. (2.6), ta có trace( ) =
L
Pn
i=1 deg(vi) = 2m.
8. Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn . Đầu tiên, ta chứng minh kết
i = 1
quả sau: Xét tập gồm cạnh bất kì của đồ thị . Nếu các cạnh của
S n − 1 G S
không tạo thành một cây bao trùm của thì det
G (H>
v1
[ ]) = 0
S (H>
v1
[ ]
S là ma
trận con của H>
sau khi xóa đi hàng 1 và các cột tương ứng với các cạnh không
thuộc ). Ngược lại, nếu các cạnh của tạo thành một cây bao trùm của thì
S S G
det(H>
v1
[ ]) = 1
S ± .
Thật vậy, nếu các cạnh của không tạo thành một cây bao trùm của thì
S G
một tập các cạnh (giả thuyết không kề với v1 ) trong sẽ tạo thành của một
S
chu trình trong . Chọn vector đường đi đánh dấu tương ứng với chu trình
G z
này thì H>
v1
[ ] =
S z 0. Điều này chứng tỏ các cột của H>
v1
[ ]
S phụ thuộc tuyến
tính, từ đó ta suy ra det(H>
v1
[ ]) = 0
S .
Giả sử các cạnh của lập thành một cây bao trùm của . Với là một cạnh
S T G e
của liên thuộc với
T v1 thì cột tương ứng của trong ma trận
e H>
v1
[ ]
S chỉ chứa
duy nhất một phần tử khác 0 (nhận giá trị ). Trong ma trận
±1 H>
v1
[ ]
S , sau khi
xóa đi hàng và cột tương ứng với phần tử khác của , ta thu được một ma trận
0 e
H
0
>
v1
∈ R( 2) ( 2)
n− × n− . Chú ý rằng det(H>
v1
[ ]) = (
S ±det H
0
>
v1
[ ])
S . Gọi T0
= T e
là cây thu được từ sau khi thu hẹp cạnh vào đỉnh . Khi đó
T e v H
0
>
v1
[ ]
S chính là
ma trận H
0
>
v1
(T 0 ) sau khi xóa đi hàng tương ứng với đỉnh . Do đó, theo nguyên
u
tắc quy nạp theo số đỉnh (trường hợp dễ thấy det
n n = 2 (H>
v1
[ ]) = 1
S ± ), ta
có det(H
0
>
v1
) = 1
± .
Tiếp theo, ta chứng minh định lý ma trận - cây. Do L = H>H, ta suy ra
Lv1
= H>
v1
Hv 1
. Theo định lý Cauchy-Binet:
det(Lv1
) =
X
S
det(H>
v1
[ ]) (
S det Hv1
[ ])
S ,
với là một tập bất kì gồm phần tử trong tập . Do det
S n−1 { }
1,. . . , m (H>
v1
[ ]) =
S
det(Hv 1
[ ])
S , ta suy ra
det(Lv1
) =
X
S
( (
det H>
v1
[ ]))
S 2
.

36. 36 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
Áp dụng kết quả vừa chứng minh ở trên, với mỗi tập tạo thành một cây bao
S
trùm của thì det
G (H >
v 1
[ ]) = 1 (
S ± , trong khi ngược lại thì det H>
v1
[ ]) = 0
S . Do
đó, tổng ở vế phải của đẳng thức trên đúng bằng số cây bao trùm của đồ thị .
G
9. Do ma trận là suy biến với ker = im
L ( )
L (1n ) ( )
nên im L ⊥ 1n. Do đó, phương
trình có nghiệm khi và chỉ khi im , tức là
Lx b
= b ∈ ( )
L 1>
n b = 0. Nghiệm của
phương trình được cho bởi:
x = α1n + L †
b, (2.12)
với và
α ∈ R L†
b ⊥ 1n . Nhân trực tiếp 2 ma trận diag
L = P (0, λ2, . .. , λn)P >
và L†
= (0
Pdiag , λ−1
2 , . .. , λ−1
n )P> , ta thu được điều phải chứng minh.
10. Từ pt. L22 = (
L G0 ) (
− diag L211l) ta có ngay L22 là đối xứng. Do đồ thị là
G
liên thông, diag
B = − (L211l) = (
diag b1, . .. , bn−1) là một ma trận đường chéo
với bi =
Pl
j=1 aij ≥ 0 và tồn tại ít nhất một phần tử bi > 0.
Với mọi vector riêng vk ∈ Rn−1 của L(G0) ứng với giá trị riêng λk ≥ 0 thì
v>
k L22vk = λk +
Pn−1
j=1 bj v2
kj > 0 (
. Do span v1 , . .. , vn−1) = R( 1) ( 1)
n− × n− nên
ta suy ra L 22 là ma trận xác định dương.
2.2.2 Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng
Với đồ thị hữu hướng, có trọng số , ma trận kề (với trọng số) được định
G V,E,A
= ( )
nghĩa bởi
[ ]
A ij =

aij , v
nếu ( j, vi) ∈ E,
0, các trường hợp khác.
(2.13)
Ma trận bậc (vào) được định nghĩa bởi
D = (
diag deg−
(vi)),
với deg−
(vi ) =
P
j∈ker−(vi) aij. Với định nghĩa này, ta có
D A
= (
diag 1n). (2.14)
Ma trận Laplace được định nghĩa bởi
L , D A A
− = (
diag 1n ) − A. (2.15)
Với định nghĩa này, ta vẫn có L1n = (
diag A1n)1n − A1n = 0 1
, hay n ∈ ker và
( )
L
L luôn có một trị riêng bằng . Tuy nhiên, lúc này không đối xứng.
0 L
Định lý ma trận - cây cho đồ thị hữu hướng được phát biểu như sau:

37. 2.2. ĐẠI SỐ ĐỒ THỊ 37
Định lý 2.2 (Định lý ma trận - cây [Tutte, 1984, West, 1996]). Với là một đỉnh
v
bất kì của đồ thị hữu hướng có trọng số , ta có
G
det(Lv ( )) =
G
X
T∈Tv
Y
(vj,vi)∈T
aij,
trong đó Tv là tập hợp các cây bao trùm của có gốc ra tại ,
G v
Q
(vj,vi)∈T aij là tích
trọng số của các cạnh thuộc cây bao trùm , và
T Lv ( )
G là ma trận thu được từ L( )
G
sau khi xóa đi hàng và cột tương ứng với đỉnh .
v
Đối với một đồ thị hữu hướng, có trọng số , điều kiện cần và đủ để chứa một
G G
cây bao trùm có gốc vào (hay là một đồ thị có gốc vào) được cho trong định lý sau
G
đây:
Định lý 2.3. Một đồ thị hữu hướng với đỉnh chứa một cây bao trùm có gốc vào
G n
khi và chỉ khi . Khi đó, ker
rank n
( ) =
L − 1 ( ) =
L span{1n}.
Chứng minh. Điều cần chứng minh tương đương với việc đa thức đặc tính của nhận
L
0 là một nghiệm đơn. Viết đa thức đặc tính dưới dạng
pG( ) =
λ λn
+ αn−1λn−1
+ +
. . . α1λ α
+ 0, (2.16)
thì α0 = 0 0
do ma trận Laplace luôn có một trị riêng bằng . Bởi vậy, rank n
( ) =
L −1
khi và chỉ khi α1 6= 0. Mặt khác,
α1 =
X
v
det(Lv ),
với Lv là ma trận thu được từ sau khi xóa đi hàng và cột thứ . Từ định lý ma
L v
trận - cây, ta có det(Lv) = 0
6 khi và chỉ khi tồn tại một cây bao trùm có gốc vào
tại . Cuối cùng, do
v G
∈ L1n = ( ( )) = 1
0 luôn đúng, nếu rank L G n − , ta suy ra
ker im
( ( )) =
L G {1n}.
Một số tính chất của ma trận của đồ thị hữu hướng, có trọng số được tóm
L G
tắt trong định lý sau:
Định lý 2.4 .
(Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng, có trọng số) Giả thuyết rằng
G V, E,A
= ( ) là một đồ thị hữu hướng, có trọng số và có gốc-vào. Khi đó,
1. nhận
L 1n là một vector riêng bên phải ứng với trị riêng λ1 = 0. Các giá trị
riêng khác của thỏa mãn Re
L (λi) 0 = 2
> , i , .. . , n. Hơn nữa, các trị riêng của
L đều nằm trong đĩa tròn tâm , bán kính
∆ + 0
j ∆ = maxi deg−
(vi) trên mặt
phẳng phức (Hình 2.3).
2. Đồ thị là liên thông mạnh khi và chỉ khi tồn tại vector
G γ = [γ1 , . .. , γn]>
thỏa
mãn γ>L = 0>, γ>1n = 1, và γi > , i , .. . , n
0 = 1 .

38. 38 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
+
+
0 σ
jω
∆
∆ + 0j
−∆ + 0j
B
B0
Hình 2.3: Các trị riêng của nằm trong đĩa tròn tâm , bán kính
L B ∆ + 0
j ∆ =
maxi deg+
(vi) (vùng màu đỏ). Các trị riêng của nằm trong đĩa tròn
−L B 0 đối xứng
với qua trục ảo (vùng màu xám).
B
3. Nếu là liên thông mạnh thì ma trận là tối giản, tức là không tồn tại ma
G L
trận hoán vị để
P P P
L >
có dạng ma trận khối đường chéo trên. Nếu như G
có gốc ra, thì tồn tại ma trận hoán vị rút gọn về dạng:
L
L =





L11 L12 . . . L1k
0 L22 . . . L2k
.
.
.
.
.
.
.. .
.
.
.
0 0 . . . Lkk





(2.17)
trong đó Lii , i , .. . , k
= 1 − 1, là tối giản, có ít nhất một hàng với tổng hàng
dương, và Lkk là tối giản hoặc bằng 0.
Ví dụ 2.6. Xét đồ thị có ma trận Laplace cho bởi:
G L
L =








1 0 1 0 0 0
−
−1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
−
0 1 1 3 1 0
− − −
0 0 1 0 2 1
− −
0 0 0 1 0 1
−








Theo định lý Gersgorin, mọi giá trị riêng của nằm trong miền
L C =
S6
i=1 Ci, trong
đó C1 = C2 = C3 = C6 = = + ( 1)
{s σ jω ∈ |
C σ − 2 + ω2
= 1}, C4 = = +
{s σ jω ∈
C| −
(σ 3)2 +ω2 = 9} và C5 = = + ( 2)
{s σ jω ∈ |
C σ − 2+ω2 = 4 =
}. Dễ thấy, C C4.

39. 2.3. GHI CHÚ VỀ TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
(a) Đồ thị (b) Các đĩa tròn Gerschgorin và các giá trị riêng của
G L
Hình 2.4: Minh họa Ví dụ 2.6.
2.3 Ghi chú về tài liệu tham khảo
Những kiến thức về đồ thị trong chương này có thể tìm thấy trong hầu hết các giáo
trình về lý thuyết đồ thị. Những tài liệu [Biggs, 1993, Godsil and Royle, 2001] cung
cấp những kiến thức bổ sung về lý thuyết đồ thị, ví dụ như bài toán ghép cặp, bài
toán tô màu đồ thị, hay lý thuyết đồ thị tới hạn,. . .
2.4 Bài tập
Bài tập 2.1. Xét đồ thị Petersen như ở Hình 2.6.
1. Hãy xác định các ma trận , , của đồ thị.
A H L
2. Sử dụng MATLAB, hãy tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận Laplace.
3. Cần xóa ít nhất bao nhiêu đỉnh/cạnh để làm mất tính liên thông của đồ thị
Petersen?
Bài tập 2.2. Hai đồ thị G1 và G2 trên Hình 2.5 có đẳng cấu hay không? Cùng câu
hỏi với hai đồ thị H1 và H2 trên Hình 2.6.
Bài tập 2.3. Chứng minh rằng một đồ thị đơn gồm đỉnh và thành phần liên
n k
thông có nhiều nhất ( )( +1)
n k
− n k
−
2
cạnh.
Bài tập 2.4. Tồn tại hay không một đồ thị với chuỗi bậc cho bởi: (a) 1, 2, 2, 3, 3,
3, 4; (b) 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4? Trong trường hợp đồ thị tồn tại, hãy biểu diễn tất cả các
đồ thị thỏa mãn chuỗi bậc đó.

40. 40 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
(a) G1 (b) G2
Hình 2.5: Đồ thị vô hướng G1 và G2.
(a) H1 (b) H2
Hình 2.6: Đồ thị vô hướng H1 và H2 .
Bài tập 2.5. Kí hiệu số cây bao trùm đồ thị bởi . Với là một cạnh bất kỳ
G τ G
( ) e
của , chứng minh rằng:
G
τ G τ G e τ G e .
( ) = ( − ) + ( )
Bài tập 2.6. Kí hiệu ei là vector đơn vị với phần tử thứ bằng 1 và các phần tử
i
khác bằng 0. Với mỗi cạnh (vi, vj ) của , ta định nghĩa vector
G eij = ej − ei . Chứng
minh rằng:
1. Mỗi hàng của ma trận H>
tương ứng với một vector eij ∈ E.
2. Ma trận Laplace có thể viết dưới dạng: L =
P
(vi,vj)∈E eij e>
ij.
Bài tập 2.7. Với mỗi ma trận A ∈ Rn n
×
, kí hiệu Aij là ma trận thu được từ sau
A
khi xóa đi hàng và cột . Phần bù đại số của
i j Aij được tính bởi Cij = ( 1)
− i j
+ det(Aij).
Ma trận phụ hợp của ma trận được cho bởi
A adj C
( ) = [
A ji], với tính chất Aadj( ) =
A
det( )
A In . Xét đồ thị liên thông với và ma trận Laplace , chứng
G V, E
= ( ) | |
V = n L
minh rằng:
1. adj , với
( ) = ( )
L τ G J J = 1n1>
n .
2. τ G
( ) = 1
n
Qn
i=2 λi ( )
L , với λi , i , .. . , n
= 2 là các trị riêng dương của .
L
Bài tập 2.8. 1. Hãy vẽ đồ thị hình sao S3 , S4.

41. 2.4. BÀI TẬP 41
2. Hãy lập các ma trận kề A(S3) (
và A S4) tương ứng của S3 và S4.
3. Tính tích Kronecker A3 = A1 ⊗ A2 và vẽ đồ thị nhận A 3 là ma trận kề.
Bài tập 2.9. Đồ thị đảo ngược của một đồ thị hữu hướng là một đồ thị hữu hướng
G
trong đó mọi cạnh có hướng của đều được đảo ngược. Đồ thị loại bỏ hướng của
G G
là đồ thị thu được sau khi thay mỗi cạnh (có hướng) của bằng một cạnh vô hướng
G
tương ứng. Những phát biểu sau là đúng hay sai?
1. Đồ thị hữu hướng G là liên thông mạnh khi và chỉ khi đồ thị đảo ngược của nó
là liên thông mạnh.
2. Một đồ thị hữu hướng chứa một cây bao trùm có gốc ra khi và chỉ khi đồ thị đảo
ngược của nó chứa một cây bao trùm có gốc ra.
3. Nếu như đồ thị loại bỏ hướng của G là liên thông thì phải có G hoặc đồ thị đảo
ngược của G là có chứa một cây bao trùm có gốc ra.
4. Đồ thị hữu hướng G là cân bằng khi và chỉ khi đồ thị đảo ngược của nó là cân
bằng.
Bài tập 2.10. Chứng minh rằng một đồ thị gồm đỉnh và có hơn
n ( 1)( 2) 2
n − n − /
cạnh là liên thông.
Bài tập 2.11. Chứng minh rằng một đồ thị gồm đỉnh và có hơn cạnh thì
n n − 1
phải chứa một chu trình.
Bài tập 2.12. Xét đồ thị với ma trận kề
G A ∈ Rn n
× . Chứng minh rằng các phần
tử [bij] của ma trận B A
= 2
tương ứng với số đường đi với độ dài bằng 2 trong G
giữa và .
i j
Bài tập 2.13. Chứng minh rằng với đồ thị vô hướng có ma trận liên thuộc và ma
H
trận Laplace thì
L L = H>
H.
Bài tập 2.14. Đồ thị bù của đồ thị được kí hiệu bởi
G V, E
= ( ) Ḡ V,
= ( Ē) với
( )
i, j ∈ Ē i, j /
khi và chỉ khi ( ) ∈ E. Chứng minh rằng:
1. L L
( ) +
G (Ḡ n
) = In − 1n 1>
n và với ,
2 ≤ ≤
j n
λj (Ḡ n λ
) = − n j
+2− ( )
G .
2. và
G Ḡ không thể đồng thời là không liên thông.

42. 42 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

43. Phần II
Hệ đồng thuận
43

45. Chương 3
Thuật toán đồng thuận
Bài toán đồng thuận là một trong những bài toán cơ bản nhất trong điều khiển hệ đa
tác tử, trong đó các tác tử dần tiến tới một điểm chung về một vài biến được quan tâm
dựa trên trao đổi thông tin với một vài tác tử lân cận [Baillieul and Samad, 2015].
Một thuật toán (hay một giao thức) đồng thuận là một luật cập nhật đưa các biến
được quan tâm của các tác tử hội tụ về một giá trị chung [Jadbabaie et al., 2003,
Olfati-Saber et al., 2007, Ren, 2007]. Các biến được quan tâm có thể là thời gian gặp
mặt, trọng tâm của đội hình, nhiệt độ của một khu vực, hay góc định hướng của các
tác tử. Các thuật toán đồng thuận có ứng dụng rộng rãi trong bài toán hội ngộ, điều
khiển đội hình, tụ bầy, căn chỉnh góc định hướng.
Nghiên cứu các hệ đồng thuận mở ra mối liên hệ mật thiết giữa khả năng hội tụ
của hệ về một giá trị chung và cấu trúc trao đổi thông tin bên dưới giữa các tác tử.
Ta sẽ xem xét bài toán đồng thuận khi biến được quan tâm của các tác tử thay đổi
theo một mô hình động học bậc nhất liên tục hoặc không liên tục.
3.1 Đồng thuận với các tác tử tích phân bậc nhất
3.1.1 Phát biểu bài toán
Xét một hệ gồm tác tử đánh dấu từ đến và kí hiệu . Giả sử tại
n 1 n I { }
, 1, . . . ,n
thời điểm , mỗi tác tử có một biến trạng thái
t ≥ 0 xi( )
t ∈ R và có thể đo được các
biến tương đối xij ( ) =
t xj ( )
t − xi( )
t từ một số tác tử lân cận. Các tác tử cập nhật
biến trạng thái của mình dựa trên tổng có trọng số của các biến tương đối. Để thể
hiện sự tương tác giữa các tác tử trong hệ, ta sử dụng một đồ thị hữu hướng, có trọng
số . Mỗi đỉnh của đồ thị đại diện cho một tác tử và mỗi cạnh của
G V, E, A
= ( ) ( )
j, i
đồ thị mô tả rằng tác tử đo được biến tương đối
i xij . Kí hiệu tập các tác tử lân cận
của tác tử bởi
i Ni = ( )
{ ∈ I|
j j, i ∈ }
E , mỗi tác tử cập nhật biến trạng thái của
45

46. 46 CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN
Hình 3.1: Thuật toán đồng thuận từ góc nhìn của tác tử .
i
mình theo luật sau:
ẋi( ) =
t
X
j N
∈ i
aijxij( ) =
t −
X
j N
∈ i
aij(xi( )
t − xj( ))
t , i .
∀ ∈ I (3.1)
Sơ đồ khối thể hiện thuật toán đồng thuận đối với tác tử được cho trên Hình3.1
i
Kí hiệu vector trạng thái của hệ tác tử bởi
n x( ) = [
t x1, . .. , xn ]>
∈ Rn
, ta có thể
biểu diễn phương trình của cả hệ như sau
ẋ x
= ( )
−L G ( )
t , (3.2)
trong đó là ma trận Laplace (ra) của đồ thị tương tác giữa các tác tử . Trong
L( )
G G
một số tài liệu, người ta cũng gọi là luồng thông tin (information flow) của hệ.
G
Trong bài toán đồng thuận, nếu xi = xj, thì ta nói hai tác tử và đồng thuận
i j
với nhau. Nếu xi = xj, i, j n
∀ ∈ I, thì ta nói hệ tác tử đạt được đồng thuận. Định
nghĩa tập đồng thuận bởi
A { ∈
= x Rn
|x1 = x2 = =
. . . xn},
thì là một không gian con của
A Rn
được sinh bởi vector 1n. Dễ thấy rằng nếu vector
x x
∈ A thì = α1n, với .
α ∈ R
Trong các mục sau đây, ta xét tính hội tụ của hệ đồng thuận (3.2) trong một số
trường hợp khác nhau của đồ thị .
G

47. 3.1. ĐỒNG THUẬN VỚI CÁC TÁC TỬ TÍCH PHÂN BẬC NHẤT 47
3.1.2 Trường hợp tổng quát
Xét đồ thị , điều kiện tổng quát để hệ (3.2) tiến tới đồng thuận là có
G V, E,A
= ( ) G
chứa một cây bao trùm có gốc ra. Kết quả này được cho trong định lý sau:
Định lý 3.1. Với một đồ thị có chứa một cây bao trùm có gốc ra, quỹ đạo trạng
G
thái của với điều kiện đầu
(3.2) x0 = (0)
x thỏa mãn
lim
t→∞
x( ) = (
t 1nγ>
)x0 = 1n
 n
X
i=1
γixi(0)

,
với 1n và tương ứng là các vector riêng bên phải và bên trái ứng với giá trị riêng
γ
0 của đã được chuẩn hóa sao cho
L γ>1n = 1. Nói cách khác, x x
( )
t → A ∀
, 0 ∈ Rn,
khi và chỉ khi chứa một cây bao trùm có gốc ra.
G
Chứng minh. Vì đồ thị là có một gốc ra, ma trận có một giá trị riêng đơn tại
L 0
trong khi các trị riêng khác của có phần thực không âm. Do đó, có thể phân tích
L L
theo dạng chuẩn Jordan như sau:
L = PJP −1
= P






J(λ1) 0 0
· · ·
0 (
J λ2)
.. .
.
.
.
.
.
.
...
.. . 0
0 0 (
·· · J λn)






P−1
, (3.3)
với Ji(λi) là ma trận khối Jordan tương ứng với giá trị riêng λi. Chú ý rằng J1 (λ1 ) = 0
do ma trận Laplace chỉ có duy nhất một giá trị riêng 0, và số ma trận khối Jordan
Ji không nhất thiết phải bằng . Ma trận
n P p
= [ 1 , . .. , pn] có vector cột đầu tiên là
p1 = 1n, và ma trận P−1
= [q1, . .. , qn ]> có q>
1 là vector riêng bên trái của ứng
L
với giá trị riêng λ1 = 0. Vì P −1P I
= n , ta có q>
1 1n = 1 =
, nên ta đặt γ q1 . Chú ý
rằng các phần tử của ma trận có thể là các số phức.
P
Theo lý thuyết về hệ tuyến tính, quỹ đạo trạng thái của hệ đồng thuận (3.2) thỏa
mãn
lim
t→∞
x( ) = lim
t
t→∞
e−Lt
x0
= P






lim
t→∞






e0
0 0
· · ·
0 e−J(λ2)t ...
.
.
.
.
.
.
. ..
... 0
0 0
·· · e−J(λn)t












P −1
x0.
Do các giá trị riêng khác của đều có phần thực dương,
0 L limt→∞ e−J(λi)t = 0,

48. 48 CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN
∀i , . .. , n
= 2 . Bởi vậy,
lim
t→∞
x P
( ) =
t






1 0 0
· · ·
0 0
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 0 0
· · ·






P −1
x0 = (p1q>
1 )x0 = (1nγ>
)x0 =
 n
X
i=1
γixi(0)

1n,
hay các tác tử dần tiến tới đồng thuận tại x∗ =
Pn
i=1 γixi(0), khi .
t → ∞
Giá trị x∗ =
Pn
i=1 γi xi(0) gọi là giá trị đồng thuận. Chú ý rằng, do γ> L = 0>,
ta có
d
dt
(γ>
x γ
( )) =
t > d
dt
( ( )) =
x t −γ>
Lx( ) = 0
t . (3.4)
Từ quan sát này ta có định lý:
Định lý 3.2. Giá trị trung bình trọng số γ> x γ
( ) =
t >x(0) =
Pn
i=1 γixi(0) = x∗
là
bất biến với luật đồng thuận .
(3.2)
3.1.3 Một số trường hợp riêng
Trong nhiều ứng dụng, lớp các thuật toán đồng thuận cho giá trị đồng thuận tại trung
bình cộng của xi(0), i n
∈ I, được đặc biệt quan tâm. Ví dụ khi ta có cảm biến theo
dõi nhiệt độ của một khu vực, các cảm biến trao đổi giá trị đo và muốn tìm giá trị
trung bình nhiệt để đại diện cho nhiệt độ của cả khu vực. Các thuật toán này được
gọi chung là các thuật toán đồng thuận trung bình.
Với thuật toán đồng thuận (3.2), điều kiện cần và đủ để giá trị đồng thuận là
trung bình cộng phụ thuộc vào đồ thị . Đầu tiên, xét là một đồ thị vô hướng, liên
G G
thông. Khi đó, do L L
= >
và L1n = 0 1
, ta cũng có >
n L = 0>. So sánh với pt. (3.4),
ta suy ra γ = 1n/n, limt→∞ e−Lt = 1
n 1 n1>
n , và giá trị đồng thuận được xác định bởi
1>
n x0 = 1
n
Pn
i=1 xi(0) - trung bình cộng của tất cả các biến xi(0), i
∀ ∈ I.
Từ quan sát trên, ngoài điều kiện đồng thuận là chứa một cây bao trùm có
G
gốc ra, để giá trị đồng thuận là trung bình cộng thì ma trận Laplace phải nhận 1>
n
làm một vector riêng bên trái ứng với giá trị riêng 0. Điều này tương đương với việc
lii =
Pn
i=1 aij =
Pn
j=1 aij, hay deg+
(vi) = deg−
(vi ), i
∀ ∈ I. Một đồ thị hữu hướng
thỏa mãn tổng trọng số vào bằng tổng trọng số ra tại tất cả các đỉnh được gọi là một
đồ thị cân bằng (về trọng số). Ta có định lý sau:
Định lý 3.3. Thuật toán là một thuật toán đồng thuận trung bình khi và chỉ
(3.2)
khi đồ thị là liên thông yếu và cân bằng.
G
Cuối cùng, xét đồ thị là liên thông mạnh nhưng không cân bằng. Vì liên
G G
thông mạnh nên mọi đỉnh của đều là một gốc vào. Do điều kiện đồng thuận được
G

49. 3.1. ĐỒNG THUẬN VỚI CÁC TÁC TỬ TÍCH PHÂN BẬC NHẤT 49
thỏa mãn, hệ tiến tới đồng thuận tại x∗ =
Pn
i=1 γi xi(0). Theo định lý 2.4, có các
γ
phần tử γi > i
0, ∀ ∈ I và
Pn
i=1 γi = 1. Ta suy ra với là liên thông mạnh, giá trị
G
đồng thuận của hệ (3.2) là trung bình cộng có trọng số của các giá trị xi(0), i ∈ I.
Ví dụ 3.1. Mô phỏng thuật toán đồng thuận với một số đồ thị khác nhau. Giá trị
đầu của các biến trạng thái được chọn ngẫu nhiên với − ≤
5 xi(0) 5
≤ . Với luật đồng
thuận , hệ dần tiến tới không gian đồng thuận với cả 3 đồ thị. Tốc độ tiến tới
(3.1)
đồng thuận phụ thuộc vào giá trị riêng liên kết λ2( )
L và biểu hiện trên các Hình 3.2
(b), (d), (f).
1 % Code Matlab mo phong he dong thuan voi do thi G1
2 A=zeros(16,16);
3 for i=1:16
4 for j=1:16
5 if (mod(j,16)==mod(i+1,16))||(mod(j,16)==mod(i-1,16))||...
6 (mod(j,16)==mod(i+4,16))||(mod(j,16)==mod(i-4,16))
7 A(i,j)=1;
8 end
9 end
10 end
11 G = graph(A);
12 global L
13 L=laplacian(G)*eye(16);
14
15 % Giai phuong trinh vi phan dung ode45
16 x0 = 10*(rand(16,1)-0.5); % Dieu kien dau
17 [t,x] = ode45(@control_law,[0 5],x0);
18
19 % Bieu dien tren do thi
20 figure(2);hold on;
21 for i=1:16
22 plot(t,x(:,i) , ,1.5);
' ' '
LineWidth
23 end
24 xlabel ;
' '
Thoi gian [s]
25 ylabel ;
' '
Bien trang thai x_i(t)
26 title ' '
x_i(t)
27 box on;
28
29 %% Ham tinh luat dong thuan
30 function dpdt = control_law(t,p)
31 global L
32 dpdt = -L*p;
33 end

50. 50 CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN
(a) G1 (b)
(c) G2 (d)
(e) G3 (f)
Hình 3.2: Mô phỏng thuật toán đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: G1 là đồ thị đều
gồm 16 đỉnh, mỗi đỉnh có 3 đỉnh kề, G2 là đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh và G3 là đồ
thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh.

51. 3.2. ĐỒNG THUẬN VỚI CÁC TÁC TỬ TÍCH PHÂN BẬC HAI 51
3.2 Đồng thuận với các tác tử tích phân bậc hai
Ở mục này, ta xét hệ gồm các tác tử có mô hình là khâu tích phân bậc hai:
ẋi = yi,
ẏi = ui, i , . . ., n,
= 1 (3.5)
với xi ∈ R, yi ∈ R, và ui ∈ R. Luật đồng thuận được đề xuất cho hệ (3.5) là:
ui = −
X
j∈Ni

xi − xj) + β

yi − yj

, i , . . ., n,
= 1 (3.6)
trong đó là một hằng số tỉ lệ hữu hạn. Thuật toán đồng thuận (3.6) là một
β > 0
luật phi tập trung theo nghĩa mỗi tác tử chỉ cần có thông tin từ một vài tác tử láng
giềng. Ta sẽ chứng minh rằng với luật điều khiển (3.6), hệ đạt được đồng thuận dưới
dạng |xi − xj| → 0 và |yi − yj| → → ∞
0, khi t . Chú ý rằng nếu xi và yi thể hiện vị
trí và vận tốc của tác tử thứ thì (3.6) thể hiện gia tốc của tác tử này.
i
Đặt x = [x1, . .. , xn ]> và y = [y1, . .. , yn]>. Khi sử dụng luật điều khiển (3.6) cho
hệ, ta có thể viết lại (3.5) dưới dạng ma trận như sau:

ẋ
ẏ

=

0n n
× In
− −
L βL
 
x
y

= M

x
y

. (3.7)
Với một ma trận khối có dạng A =

A11 A12
A21 A22

thì det ) = det(
(M A11A22 −
A21A12 ) nếu như hai ma trận A11 và A21 là giao hoán được (tức là A11A21 =
A21A11 ). Ta áp dụng công thức trên để tìm các trị riêng của :
M
det(sI2n − M) = det

λIn −In
L sIn + βL

= det

s2
In + (1 + )
βs L

(3.8)
Chú ý rằng det(sIn + L)=
Qn
i=1( +
s λi ), trong đó λi kí hiệu giá trị riêng thứ của .
i L
Vì vậy, so sánh với phương trình (3.8), ta có:
det

s2
In + (1 + )
βs L

=
n
Y
i=1
(s2
+ (1 + )
βs λi). (3.9)
Phương trình (3.9) chứng tỏ rằng, các giá trị riêng của đều có thể thu được từ
M
phương trình s2 + λiβs λ
+ i = 0. Nghiệm của phương trình này được cho bởi:
si± =
−βλi ±
p
β2λ2
i − 4λi
2
, (3.10)
với si+ và si− là các giá trị riêng của ứng với
M λi.

52. 52 CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN
Từ phương trình (3.10), dễ thấy rằng ứng với mỗi giá trị riêng λi = 0 của thì
L
M có tương ứng hai giá trị riêng bằng 0. Với giả thuyết rằng đồ thị là liên thông
G
thì chỉ có một giá trị riêng duy nhất bằng 0, còn các giá trị riêng khác đều có phần
L
thực dương (Định lý 2.4). Từ đây, ta suy ra có hai giá trị riêng bằng 0, kí hiệu là
M
s1+ = s1− = 0. Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ đạt được đồng
thuận
Định lý 3.4. Hệ dần đạt tới đồng thuận khi và chỉ khi ma trận có đúng
(3.7) M
hai giá trị riêng bằng 0 và các giá trị riêng khác tính theo đều có phần thực
(3.10)
âm. Khi đó, x → 1nγ>x(0) + t1nγ>
y(0) khi , trong đó
t → ∞ γ ∈ Rn
là một vector
riêng bên phải (có các phần tử không âm) của ứng với giá trị riêng và
L 0 γ>1n = 1.
Chứng minh. (Điều kiện đủ) Đầu tiên, ta chứng minh rằng giá trị riêng 0 của M
có bội hình học là 1 trong trường hợp có đúng hai giá trị riêng bằng 0. Đặt
M
q q
= [ >
a , q>
b ]> là một vector riêng của ứng với giá trị riêng 0 (
M qa , qb ∈ Rn
) thì
Mq =

0n n
× In
− −
L βL
 
qa
qb

=

0n
0n

, (3.11)
tức là phải có qb = 0n và Lqa = 0n . Điều này chứng tỏ rằng qa là một vector riêng của
L L
ứng với giá trị riêng 0. Do chỉ có hai giá trị riêng bằng 0,
M chỉ có một trị riêng
duy nhất bằng 0. Do đó, ker chỉ được sinh bởi một vector độc lập tuyến tính duy
( )
L
nhất. Từ đây suy ra ker cũng chỉ được sinh bởi duy nhất vector
( )
M q q
= [ >
a , 0n]>.
Điều này tương đương với việc giá trị riêng của có bội hình học là .
0 M 1
Chú ý rằng ta có thể viết dưới dạng sau:
M
M P JP
= −1
= [w1, . .. , w2n]


0 1 01 (2 2)
× n−
0 0 01 (2 2)
× n−
0(2 2) 1
n− × 0(2 2) 1
n− × J 0





η>
1
.
.
.
η>
2n


 , (3.12)
trong đó là dạng Jordan của ,
J M wj ∈ R2n, là các vector riêng và
j ,. . . , n,
= 1 2
vector riêng suy rộng bên phải của ma trận , còn
M ηj, i , .. . , n,
= 1 2 là các vector
riêng và vector riêng suy rộng bên trái của , và
M J0 là ma trận Jordan có dạng
đường chéo khối (có dạng tam giác trên) ứng với các giá trị riêng khác không si+ và
si−, .
i , . . . , n
= 2
Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn w1 = [1>
n , 0>
n ]> và w2 = [0>
n , 1>
n ]>
thì Lw1 = 0n và Lw 2 = w1. Khi đó, có thể kiểm tra rằng η1 = [γ>, 0>]> và
η2 = [0>
, γ>
]> là các vector riêng và vector riêng suy rộng của ứng với giá trị
M
riêng . Chú ý rằng
0 η>
1 w1 = 1 và η>
2 w2 = 1. Do các giá trị riêng si± của đều có
M

53. 3.2. ĐỒNG THUẬN VỚI CÁC TÁC TỬ TÍCH PHÂN BẬC HAI 53
phần thực âm, ta có
lim
t→∞
eMt
= lim
P
t→∞

eJt

P −1
= lim
P
t→∞




1 t 01 (2 2)
× n−
0 1 01 (2 2)
× n−
0(2 2) 1
n− × 0(2 2) 1
n− × eJ 0
t



 P−1
= w1η>
1 + (tw1 + w2)η>
2
=

1nγ> t1nγ>
0n n
× 1nγ>

. (3.13)
Như vậy, khi thì
t → ∞ x( )
t → 1nγ>
x(0) +t1n γy(0) và y( )
t → 1nγ>y(0). Nói cách
khác, ta có |xi( )
t − xj( ) 0
t | → and |yi( )
t − yj(0) 0
| → khi , hay hệ đạt được
t → ∞
đồng thuận.
(Điều kiện cần) Giả sử rằng điều kiện đủ “ có hai giá trị riêng bằng 0 và các
M
giá trị riêng khác đều có phần thực âm” không thỏa mãn. Do có ít nhất hai
M
giá trị riêng 0, nên điều kiện đủ này không thỏa mãn khi có nhiều hơn hai giá
M
trị riêng bằng hoặc nó có ít nhất môt giá trị riêng với phần thực dương. Không
0
mất tính tổng quát, giả sử rằng ι1 = ι2 = 0 và Re(ι3 ) , với
≥ 0 ιk, k , . .. , n,
= 1 2 kí
hiệu cho giá trị riêng thứ của . Với
k M J = [Jkl ] là ma trận Jordan của thì
M
Jkk = ιk, k , . . ., n
= 1 2 . Khi đó ta có limt→∞ eJkkt 6= 0 = 1 2 3
, k , , , tức là ba cột đầu
của limt→∞ eJt
là độc lập tuyến tính. Bởi vậy, rank(limt→∞ eJt
) . Vì hệ tiến tới
≥ 3
đồng thuận khi và chỉ khi limt→∞ eJt

x(0)
y(0)

→

1np( )
t >x(0)
1n q( )
t >
y(0)

, trong đó p q
, ∈ Rn
.
Bởi vậy, rank(limt→∞ eJt
) và ta được một điều vô lý.
≤ 2
Từ Định lý 3.4, nếu như ban đầu các tác tử đứng yên (yi (0) = 0 = 1
, i
∀ , . . . , n),
thì khi , ta có
t → ∞ xi( )
t →
Pn
i=1 γixi(0) và yi ( ) 0 = 1
t → , i
∀ , .. . , n.
Nếu như vận tốc ban đầu của các tác tử khác không và ta mong muốn hệ đạt
được đồng thuận về vị trí tại một điểm, thì có thể sử dụng luật đồng thuận sau:
ui = −αyi −
X
j∈Ni

xi − xj) + β

yi − yj

, i , . . ., n,
= 1 (3.14)
trong đó .
α > 0
Ta có thể viết hệ khi áp dụng luật đồng thuận (3.14) dưới dạng ma trận như sau:

ẋ
˙
y

=

0n n
× In
− −
L αIn − βL
 
x
y

= N

x
y

. (3.15)
Các giá trị riêng của thỏa mãn
N
det(sI2n − N) = det

sIn −In
L ( + )
s α In + βL

= det

(s2
In + )
αs In + (1 + )
βs L

(3.16)