Geometría analítica y euclidiana: conceptos básicos

1
a
MANUAL DOCENTE
INACAP
Ciencias Básicas
Vicerrectoría de Académica de Pregrado
2016
APUNTES DE
GEOMETRÍA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP
MTFG01
MTIC02
MTGI01

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ÍNDICE
UNIDAD 1: GEOMETRÍA PLANA
1.1: ELEMENTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRIA
- Punto, línea plano y espacio
- Ángulo: definición
- Bisectriz
- Medida de ángulos.
- Clasificación de ángulos según su medida.
- Ángulos opuestos por el vértice
- Rectas: Perpendicular y paralelas.
- Distancia entre puntos.
- Distancia de un punto a una recta.
- Distancia entre dos rectas paralelas
- Simetral de un segmento.
1.2 POLIGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULOS
- Concepto congruencia y semejanza.
- Definición y clasificación de los polígonos:
- Triángulos: Definición, clasificación, elementos primarios y Teoremas
- Elementos segundarios de un triangulo
- Área y Perímetro de Triángulos.
- Cuadrilátero: Definición, clasificación, propiedades y Teoremas.
- Área y Perímetro de Paralelogramos y Trapecios.
- Círculo y Circunferencia: Definición, elementos y propiedades
- Ángulos en la circunferencia y sus medidas.
- Área y Perímetro del Círculo y Sector Circular.
1.3 CUERPOS GEOMETRICOS
- Definición, Elementos y Clasificación
- Formulas para el Área de superficies y Volumen.
UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.1: SISTEMAS DE COORDENADAS
- Sistema Coordenado en el plano
- Relación Entre Puntos
- Distancia Entre Puntos
- División de un segmento en una razón dada.
- Áreas y perímetros de triángulos y polígonos.
- Colinealidad.
- Pendiente de una recta.
- Ángulo entre dos rectas.
- Rectas paralelas y perpendiculares.

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2.2 LINEA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
- Lugares geométricos.
- La línea recta: Definición de línea recta.
- Formas de la ecuación de la recta:
 Punto- Punto.
 Punto-Pendiente.
 Pendiente - Ordenada en el origen. (o principal)
 General.
- La circunferencia: Definición, elementos, propiedades y gráfica.
- Ecuación de la circunferencia centrada en el origen y en un punto (h, k)
2.3 SECCIONES CÓNICAS
- Secciones cónicas:
- Elipse: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica.
- Ecuación de la elipse de centro en el origen.
- Ecuación principal y general de la elipse de centro (h, k).
- Parábola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica.
- Ecuación de la parábola de vértice en el origen.
- Ecuación principal y general de la parábola de vértice (h, k).
- Hipérbola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica.
- Ecuaciones de la hipérbola.
- Asíntotas de la hipérbola.
- Hipérbola equilátera.
- Propiedades de la hipérbola.
- Aplicaciones de las cónicas.
UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
3.1: TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL.
- Ángulos
- Definición y tipos de ángulo.
- Sistemas de medición sexagesimal y radial.
- Trigonometría elemental.
- Razones Trigonométricas en el Triángulo rectángulo.
- Teorema del Seno y del Coseno.
- Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.
- Resolución de problemas cotidianos
3.2: TRIGONOMETRIA GRÁFICA Y ALGEBRAICA
Trigonometría gráfica.
- Gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas.
- Uso de calculadora para las funciones trigonométricas directas e inversas.
Trigonometría algebraica.
- Relaciones entre las funciones trigonométricas: inversas, pitagóricas y de ángulos dobles.
- Identidades trigonométricas.
- Ecuaciones trigonométricas.

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
PRESENTACIÓN
Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Geometría, asignatura
lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias
Básicas.
Geometría tiene como propósito fundamental, contribuir a los alumnos del área de
Construcción, en el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas.
La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizaje que involucren
metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del
docente un mediador.
El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de
base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.
Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
n la mayoría de los textos históricos se hace referencia, a que, la geometría, fue
iniciada en Egipto, originándose por necesidades de problemas como la medición
de áreas, en este caso era una necesidad para los egipcios, debido a que el río Nilo, se
desbordarse y barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada dueño.
Muchos autores se basan en el pasaje de Heródoto que señala que en tiempos de Ramsés II
(1300 a.C.) "La tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por
los que pagaba un impuesto anual, y cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño
pedía una deducción proporcional en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo
tenían que certificar que tal fracción de tierra había sido inundada".
Esta es mi opinión (comenta Heródoto) el origen de la geometría que después paso a
Grecia“.
Los conocimientos de geometría y las aplicaciones que los egipcios resolvían con esta, se
evidencian se evidencian en inscripciones talladas en piedras y en papiros, entre los más
antiguos se encuentran el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el
papiro Rhind o de Ahmes que se haya en el British Museum.
También se tiene información histórica que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en
uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de
las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo,
gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que
portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo. Era el
inicio del trabajo con los que después conoceremos como teoremas sobre triángulos.
UNIDAD 1
GEOMETRÍA
E

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1 Aplica conceptos básicos de la geometría
euclidiana para resolver problemas que involucren
Líneas y ángulos.
1.1.1 Identifica líneas, semirrectas, rectas y
segmentos median te definición y ejemplos.
1.1.2 Reconoce las características que debe cumplir
cada elemento e identifica las propiedades de cada una
de ellas.
1.1.3 Aplica definiciones propiedades y teoremas
para calcular ángulos mediante condiciones y/o figuras
dadas.
1.2 Aplica conceptos, técnicas, fórmulas,
propiedades y teoremas de los polígonos,
circunferencia y círculo para resolver problemas
geométricos y/o de su especialidad.
1.2.1 Utiliza conceptos, fórmulas, propiedades y
teoremas para determinar elementos de triángulos y
cuadriláteros.
1.2.2 Aplica definiciones, propiedades, teoremas y
fórmulas para calcular ángulos y arcos en
circunferencias.
1.2.3 Aplica técnicas, propiedades, teoremas y
fórmulas para calcular elementos, áreas y perímetros de
figuras planas dadas y/o en problemas de su
especialidad.
1.3 Aplica conceptos de los cuerpos geométricos
para resolver problemas de la vida real y/o de su
especialidad.
1.3.1 Utiliza fórmulas y propiedades de los cuerpos
geométricos para calcular sus elementos.
1.3.2 Aplica conceptos, fórmulas y propiedades para
calcular áreas de superficie y volúmenes de cuerpos
geométricos.
1.3.3 Aplica conceptos, fórmulas y propiedades de
los cuerpos geométricos para resolver problemas de
aplicación.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Rectas y Ángulos
En Geometría hay ideas básicas que todos entendemos pero que no definimos.
Éstas son las ideas de Punto, Recta, Plano y Espacio.
Señalamos un punto con una marca que puede ser “•” o “x” y la ubicamos en un
marco de referencia, generalmente en el Sistema Cartesiano.
Un punto se caracteriza y se diferencia de otro punto sólo por su ubicación. Si está
en un plano, su posición se indica por un par ordenado de números reales 𝑃(𝑥, 𝑦)
(Figura 1). Si está en el espacio, se indica con un trío ordenado de números reales
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) (Figura 2).
(Figura 1) (Figura 2)
Señalamos una recta por una parre de ella, considerando siempre que la recta es
ilimitada.
La nombramos con una letra (L) o marcando dos puntos cuales quiera de ella 𝐴𝐵
⃡
Cada punto de una recta divide a ésta en dos semirrectas. El punto es la frontera
entre ambas y no pertenece a ninguna de ellas.
Se llama rayo a una semirrecta unida con su frontera
Se llama segmento o trazo a una porción continua de recta limitada por ambos
lados.
La medida o longitud de 𝐴𝐵
̅̅̅̅ se designa por 𝑚(𝐴𝐵) o simplemente AB.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Señalamos un plano por una porción de él y generalmente le damos la forma de
paralelogramo. No debernos olvidar que es plano es ilimitado. Normalmente lo
designamos por una letra
Una recta n un plano divide a éste en dos semiplanos, siendo la recta la frontera
entre los dos semiplanos.
Ambos semiplanos y la recta frontera constituyen una partición del plano.
En el plano encontramos diversas figuras geométricas que se caracterizan por su
forma. Si son líneas abiertas constituidas por segmentos unidos por sus extremos,
se llaman poligonales; cunas si no contienen segmentos y mixtas si están formadas
por segmentos y porciones de curvas. Si las líneas son cerradas, dividen al plano
que las contiene en tres partes: su interior, su exterior y la frontera. Las líneas
cerradas encierran una región, y su área es la medida de la parte del plano que
constituye el interior de la figura. Quedan limitadas por su contorno o frontera,
cuya medida de longitud se denomina perímetro.
Espacio es el ambiente tridimensional en que nos movemos, Propondremos,
estudiaremos y resolveremos problemas relativos a cuerpos geométricos.
Entendemos por cuerpo geométrico una porción continua del espacio limitada por
superficies curvas y/o planas. Si sólo está limitado por planos, se llama poliedro. Si
su límite tiene alguna parte que es una superficie curva, se llama cuerpo redondo.
La medida de esa porción limitada de espacio que constituye un cuerpo es lo que
llamamos volumen del cuerpo.
Las porciones de planos que limitan el cuerpo se llaman caras y si son porciones
de superficies curvas, se denominan manto o superficie de revolución. La suma de
las áreas de las caras y/o de las superficies de revolución constituye el área del
cuerpo geométrico.
Un plano divide al espacio en dos semiespacios, siendo el plano la frontera entre
ambos; no pertenece a ninguno de ellos. Ambos semiespacios y el plano divisorio
constituyen una partición del espacio.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Postulado
Si Dos rectas sé intersectan, estas lo harán en un solo punto. Llamaremos por A al
punto de intersección
Ángulo.
Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen origen común.
El origen recibe el nombre de vértice y la abertura que se produce entre los rayos
es lo que llamamos medida del ángulo. Los rayos se llaman lados del ángulo.
También podemos entender la medida del ángulo corno la parte del plano que
recorre el rayo 𝑂𝐴 para llegar a la posición 𝑂𝐵, manteniendo fijo el punto O.
Considerando que el punto A puede ser elegido en cualquier parte del rayo 𝑂𝐴
(lado del ángulo).
Medida de ángulos:
La medida de un ángulo se considera positiva si la abertura se recorre en sentido
inverso al movimiento que realizan las manecillas del reloj, y se considera negativa
si la abertura se recorre en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del
reloj.
(Medida del ángulo Positiva) (Medida del ángulo Negativa)
Dos ángulos son iguales si el valor absoluto de sus medidas es igual.
Para poder darle una medida a los ángulos, definiremos dos sistemas de medida:

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Sistema sexagesimal: Grados
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituye un grado sexagesimal.
Se denotara con el símbolo “ ° ” sobre el número, así, 20 grados sexagesimales
equivale a escribir 20°.
Cada uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60′) que corresponden,
cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes
iguales (60′′) correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes
Una circunferencia se divide 2𝝅 radianes. (La letra griega 𝝅 se pronuncia Pi)
360º ≈ 6,2836 radianes o bien 1 radian ≈ 57,3°
En esta Unidad usaremos solo la medida en sistema sexagesimal.
Clasificación de los ángulos según su medida.
Angulo agudo: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) está entre los 0º y
los 90º.
Angulo recto: Es aquel ángulo que su medida (abertura) mide exactamente 90º.
Usualmente se coloca un pequeño cuadrado entre las rectas (ver dibujo) para
denotar a este tipo de ángulo, así, no debemos hacer mención de su medida.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Angulo obtuso: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) entre los 90º y los
180º.
Angulo Llano o Extendido: Es aquel que mide exactamente 180º.
Angulo entrante o Cóncavo: Son aquellos que su medida está entre 180° y 360°
Angulo completo: Es aquel ángulo que mide exactamente 360º.
Dos ángulos pueden estar clasificados según su suma en 2 tipos.
Ángulos Complementarios:
Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo recto.
En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 90°
Se dice también, 𝛼 es el complemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 90°
O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 90°

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Otra manera de decir esto es: si 𝛼 es el complemento de 𝛽 entonces 𝛼 = 90° − 𝛽
Ejemplos: 30° es el complemento de 60°, puesto que 60° + 30° = 90°
¿El complemento de 40° es?
Para resolver esto debemos hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos
que el complemento de 40° viene dado por X = 90° - 40° = 50° Por lo tanto, el
complemento de 40° es 50°.
Ángulos Suplementarios:
Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo extendido.
En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 180°
Se dice también, 𝛼 es el suplemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 180°
O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 180°
Otra manera de decir esto es decir si 𝛼 es el suplemento de 𝛽 entonces
𝛼 = 180° − 𝛽
Ejemplo 1: 100° es el complemento de 80°, puesto que 80° + 100° = 180°
Ejemplo 2: ¿El suplemento de 55° es?
Para resolver esto hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos que el
suplemento de 55° viene dado por 𝑥 = 180° − 55° = 125°
Por lo tanto, el suplemento de 55° es 125°.
NOTA: Un ángulo Obtuso NO TIENE COMPLEMENTO. Esto es porque
un ángulo obtuso es mayor que 90°, por lo tanto no podemos encontrar un ángulo
el cual sumado nos de 90°. Ejemplo: ¿El complemento de 100° es? Esto sería
resolver la ecuación 𝑥 = 90° − 100° = −10° Con lo cual llegamos a contradecir
nuestra definición.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Ejemplo Mixto:
¿El suplemento del complemento de un ángulo de 55° es?
Para resolver este problema lo que debemos hacer es primero calcular el
complemento de 55°, para ello debemos resolver la siguiente ecuación:
55° + 𝑥 = 90° ⇒ 𝑥 = 90° − 55° = 35°
Ahora que tenemos el complemento, debemos buscar el suplemento de 35°, para
ello utilizamos la siguiente ecuación:
35° + 𝑦 = 180° ⇒ 𝑦 = 180° − 35° = 145°
Por lo tanto el Suplemento del complemento de 55° es 145°.
Ejercicios Propuestos:
1. Determina el complemento de 72º.
2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?
3. ¿Cuál es el suplemento de (𝑎 − 12)°?
4. Determina el complemento del suplemento de 143º.
5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?
6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (𝑎 − 10)°?
7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento
de 93º?
8. Determina la diferencia entre el suplemento de (𝑎 − 15)° y el complemento
de (𝑎 − 45)°
9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7: 2. ¿Cuánto mide el ángulo
menor?
10. Un ángulo y su complemento están en razón 2: 1. ¿Cuánto mide el
suplemento del ángulo mayor?
11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.
12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto
mide el ángulo menor?
14. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?
15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º.
¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?
16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están
los complementos respectivos de estos ángulos?
17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5.
¿Cuánto mide el ángulo?
18. Determina el complemento de 42º18'.
19. Determina el suplemento de 154º27'42''.
20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.
21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?
Clasificación de los ángulos según su posición.
Se llaman ángulos consecutivos a aquellos ángulos que comparten vértice y un
tienen un lado en común.
Se llaman ángulos adyacentes a aquellos ángulos que comparten vértice, tienen
un lado en común y son suplementarios.
POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS
i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas. 𝐿1//𝐿2
𝐿1
𝐿2

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares.
𝐿1  𝐿2
𝐿1
Teorema: sí dos rectas sé intersectan, entonces
i) α + β = 180 ii) α = δ
β + δ = 180 β = γ
γ + δ = 180
γ + α = 180
Observación:
A los ángulos 𝛼 𝑦 𝛿, así como a 𝛽 y 𝛾, se le dicen ángulos opuestos por el
vértice.
Teorema 2: Sea 𝐿1 paralela a 𝐿2 y sea 𝐿 una recta que intersecta a 𝐿1 y 𝐿2.
Entonces se cumple que:
∡ 𝟏 = ∡ 𝟑 = ∡ 𝟓 = ∡ 𝟕
∡ 𝟐 = ∡ 𝟒 = ∡ 𝟔 = ∡ 𝟖
Además se tiene que ∡𝟏 + ∡𝟐 = 𝟏𝟖𝟎°. Reemplazando ∡1 por ∡3, ∡5 o
∡7 se sigue manteniendo la igualdad, así como también reemplazando ∡2 por
∡4, ∡6 u ∡8

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Ejercicios Propuestos.
1) Encontrar el valor del ángulo 𝑥
2) Si L1 // L2; Entonces el valor del ángulo 𝑥 =
3) Si 𝐿1//𝐿2; Entonces el ángulo 𝑥 =
4) Si 𝑃//𝑄; EF bisectriz; Entonces el ángulo 𝑥 =
5) Si Recta 𝑆//𝑇; Entonces el valor del ángulo 𝑥 =
L1 L2
x+20°
30° 70°
x - 10°
L1
38°
x+27° L2
x L1
135° L2
x
P
F
20° Q
E
S T
M
2x
x

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
6) Si 𝑃//𝑄; y 𝑎 − 𝑏 = 20°; 𝑥 =
7) Si 𝐹//𝐺; G perpendicular con M; 𝑥 =
Definiciones:
1. Se llama distancia entre dos puntos a la medida del segmento que los une.
2. Se llama distancia de un punto a una recta a la medida del segmento que se inicia
en el punto y llega perpendicularmente a la recta (Solo existe una recta que cumple
con esto).
3. Todo segmento trazado desde un punto P a una recta L que no es perpendicular
a la recta se llama segmento oblicuo. 𝑃𝑄
̅̅̅̅ y 𝑃𝑆
̅̅̅̅ son segmentos oblicuos.
Los puntos Q. R y S se denominan pie de los segmentos 𝑃𝑄
̅̅̅̅, 𝑃𝑅
̅̅̅̅ y 𝑃𝑆
̅̅̅̅
respectivamente.
P
a
b Q
x
T
50° F
G
x
M

18
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Dos segmentos oblicuos cuyos respectivos pies están a igual distancia del pie de la
perpendicular tienen longitudes iguales.
Si el pie de un segmento oblicuo está a mayor distancia del pie de la perpendicular
que otro, es más largo que ese otro.
4. Se llama distancia entre dos rectas paralelas a la medida del segmento
determinado por las rectas en una perpendicular a ambas.
La distancia entre las rectas, es la distancia del segmento 𝐴𝐵
̅̅̅̅. Además 𝐿1 
𝐿3 y 𝐿2  𝐿3
5. Se llama simetral de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa
por su punto medio.
1. Si M es punto medio del segmento 𝐴𝐵
̅̅̅̅ y P es un punto dei interior de 𝐴𝐵
̅̅̅̅. Probar
que:
𝑀𝑃
̅̅̅̅̅ =
|𝑃𝐴
̅̅̅̅ − 𝑃𝐵
̅̅̅̅|
2
2. Sean 𝐴𝑀
̅̅̅̅̅, 𝑀𝑁
̅̅̅̅̅, 𝑁𝑃
̅̅̅̅ y 𝑃𝐵
̅̅̅̅ segmentos consecutivos de una misma recta tales que
𝐴𝑀
̅̅̅̅̅ = 𝑥, 𝑀𝑁
̅̅̅̅̅ = 2𝑥, 𝑁𝑃
̅̅̅̅ = 𝑃𝐵
̅̅̅̅ = 𝑥 + 1 y 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 17. Hallar la medida de cada uno.
3. Dado un segmento 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 50 𝑐𝑚. Desde sus extremos se marcan P y Q en 𝐴𝐵
̅̅̅̅ tales
que 𝐴𝑃
̅̅̅̅ = 𝐵𝑄
̅̅̅̅ = 2𝑄𝑅
̅̅̅̅. Siendo R un punto entre P y Q tal que 𝑃𝑅
̅̅̅̅ = 𝐴𝑃
̅̅̅̅ + 1, hallar Ia
medida de todos los segmentos.
4. Sean P un segmento y R un punto interior tal que 𝑃𝑄
̅̅̅̅ = 5𝑃𝑅
̅̅̅̅ y 𝑅𝑄
̅̅̅̅ = 20 𝑐𝑚. Hallar
la medida de 𝑃𝑄
̅̅̅̅.
5. Sean 𝐴𝐵
̅̅̅̅ un segmento y P un punto fuera de él, en la misma recta, tal que 𝐴𝐵
̅̅̅̅ =
3𝐵𝑃
̅̅̅̅ + 1. Si 𝐴𝑃
̅̅̅̅ = 𝑎, cuánto mide 𝐴𝐵
̅̅̅̅?

19
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Triángulos
Los triángulos tienen una enorme importancia en la geometría ya que todo
polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos.
Es esta gran importancia de los triángulos en la geometría, la que ya se conocía en
las primeras civilizaciones.
El estudio tan amplio de los triángulos, que ha generado en sí misma una rama de
la Geometría y de las Matemáticas, es la Trigonometría.
Definición: Un triángulo, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan
dos a dos en tres puntos, que no se encuentran en una misma línea. Se denomina
vértices del triángulo, a los puntos de intersección de las rectas.
A los segmentos de recta determinados entre los vértices se les llama lados del
triángulo.
Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.
Clasificación de triángulos
I. Clasificación de acuerdo a la medida de sus lados:
Triángulo Equilátero: Son los que tienen sus tres lados con igual medida.
Triángulo Isósceles: Son los que tienen al menos dos de sus lados con medida
igual.

20
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Triángulo Escaleno: Es aquel que tienen sus tres lados desiguales.
II. Clasificación de triángulos de acuerdo a sus ángulos:
Triángulos Acutángulos: Son los que tienen sus tres ángulos agudos, es decir
menores a 90°
.
Triángulos Rectángulos: Es el que tiene un ángulo recto; los lados que forman el
ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.
Triángulos Obtusángulos: Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, es decir,
mayor a 90°
.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA
Teoremas sobre triángulos.
Teorema 1:
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.
𝑎 + 𝑏 > 𝑐
𝑏 + 𝑐 > 𝑎
𝑎 + 𝑐 > 𝑏
Teorema2:
En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°
Teorema3: "Teorema de Pitágoras"
En todo Triangulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Pitágoras y sus seguidores, los
pitagóricos, fueron griegos que
se dedicaron al estudio de las
matemáticas y plantearon la
importancia del número en el
cosmos.
Pitágoras es recordado
mayormente por el teorema
que lleva su nombre e indica la
relación entre los lados de un
triángulo rectángulo.
El teorema lleva ese nombre
porque su descubrimiento y
exposición teórica recae sobre
la escuela pitagórica, pero se
sabe que fue usado mucho
antes de la existencia de
Pitágoras.
Los egipcios emplearon el
teorema en forma práctica
para construir ángulos rectos,
lo cual es muy útil al realizar
obras arquitectónicas.

22
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Teorema 4: El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide
con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella.
Teorema 5: "Teorema de la Altura (Euclides)"
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al
producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Teorema 6: "Teorema del Cateto (Euclides)"
El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección
del cateto sobre esta.
Euclides era un Matemático
griego clásico por excelencia y
su nombre aún es, quizá, el
más popular en la larga y
desarrollada historia de las
matemáticas. Nació en el
año 330 A.C en la ciudad de
Tiro, Grecia y murió en el
año 275 A.C en Alejandría.
Escribió una serie de libros
donde sintetizaba todos los
conocimientos matemáticos
conocidos hasta entonces. Los
más notables son los
“Elementos”, trece volúmenes
que tratan de proporciones
aritméticas, geometría plana y
geometría del espacio. Los
Elementos de Euclides se
utilizaron como texto durante
2.000 años, e incluso hoy, una
versión modificada de sus
primeros libros constituye la
base de la enseñanza de la
geometría plana en las escuelas
secundarias.

23
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Problema 1: Una escalera de 6,5 metros de longitud está apoyada sobre la pared de
un edificio, el pie de la escalera dista 2,5 metros de la pared. ¿A qué altura se
apoya la parte superior de la escalera sobre la pared? Si el edificio tiene 12
pisos y cada piso mide 2,2 metros ¿A qué piso llega la escalera en la posición que
se encuentra?
Solución:
Si realizamos un diagrama de la situación, tenemos
Notamos que podemos utilizar el teorema de Pitágoras y obtendremos la medida
del cateto del triángulo que está sobre el edificio.
Se tiene entonces que 𝑥2
+ 2,52
= 6,52
, de esto
𝑥2
= 42,25 − 6,25 = 36 Y 𝑥 = 6 𝑚, así la escalera llega a una altura de 6
metros sobre el edificio.
Además por la medida de cada piso podemos notar que la escalera llega al tercer
piso no alcanza a pasar al cuarto.
Concepto de congruencia y semejanzas.
Los conceptos de congruencia y semejanza son fundamentales, ya que podemos
reducir el estudio de muchas figuras a otras ya estudiadas.
Diremos que dos figuras geométricas se dicen congruentes si tienen la misma
forma y el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa entre las figuras.

24
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Diremos que dos figuras geométricas se dicen semejantes si tienen la misma
forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa
entre las figuras en el plano. Podemos asemejarlo a una ampliación de una figura
respecto de la otra.
Un estudio muy importante es el de la congruencia y semejanza de triángulos, para
esto daremos algunos criterios.
Criterios de congruencia. (Teoremas)
Criterio Lado- Lado- Lado (LLL)
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los
triángulos son congruentes.
Criterio Lado- Angulo- Lado (LAL)
Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido entre
Ellos respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio Angulo- Lado- Angulo (ALA)
Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes a él respectivamente
iguales, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio Lado - Lado - Angulo (LLA)
Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos
respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes.
Criterios de semejanza. (Teoremas)
Criterio Angulo - Angulo - Angulo (AAA)
Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, entonces los
triángulos son semejantes.
Criterio Angulo - Angulo (AA)
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces los

25
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Con los criterios de congruencia y considerando la proporcionalidad al ampliar una
figura tenemos los siguientes criterios de semejanza.
 Si dos triángulos tienen tres lados respectivamente proporcionales, entonces los
 Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo
comprendido respectivamente igual, entonces los triángulos son semejantes.
 Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo
opuesto al mayor de estos lados respectivamente igual, entonces los triángulos son
semejantes.
Ejemplo:
Determine si los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.
Como
10
15
8
12
12
18

 , por el criterio de lados respectivamente proporcionales
tenemos que ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.
Teorema de Thales:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene
un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Podemos decir entonces que toda recta paralela a un lado de un triángulo y que
cortea los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales
Se tiene que del teorema de
Thales presentado, se
encuentra la generalización
que es la siguiente.
Teorema general de
Thales:
Si tres o más rectas paralelas
cortan a dos o más secantes,
entonces los segmentos que
se determinan en las
secantes son proporcionales.

26
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Se tiene entonces que:
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑧
=
𝑐
𝑢
Recíproco del teorema de Thales:
Si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es
paralela al tercer lado del triángulo.
Perímetro y área de un triángulo.
El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.
Podemos notar que según su clasificación en equiláteros, isósceles y
escaleno se tiene:
Tipo Medidas de lados Perímetro
Equilátero 3 ⋅ 𝑎
Isósceles 2 ⋅ 𝑎 + 𝑏
Escaleno 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Área de un triángulo.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por
altura.
La altura de un triángulo es la recta perpendicular trazada desde
un vértice al lado opuesto. Tenemos algunos casos particulares en los
que la fórmula de área se puede expresar como sigue:
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑐
𝑏

27
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Para el cálculo de área de un triángulo también podemos ocupar la
llamada fórmula de Herón, la cual necesita conocer la medida de los
tres lados del triángulo, si estos lados son 𝒂, 𝒃 y 𝒄.
El área será 𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), donde 𝑝 corresponde al semi-
perímetro y se calcula 𝑝 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
Aplicación
Para calcular la altura de una torre, una persona que mide 1,6 metros, clava en el
suelo un listón de tres metros de altura a una distancia de 30 metros de la torre y
después retrocede 2,1 metros hasta que coincide en la visual de los extremos del
listón y de la torre, con la información entregada calcule la altura de la torre.
Solución:
Realizaremos un diagrama de la situación, se tiene
Tipo Área
Equilátero
𝐴 =
𝑎2
√3
4
Rectángulo
𝐴 =
𝑎 ⋅ 𝑏
2
𝑎
𝑎
𝑎
2
ℎ
ℎ =
𝑎√3
2
𝑏 𝑐
𝑎

28
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Podemos plantear las siguientes relaciones ocupando la semejanza entre los
triángulos
3
1,6
=
2,1+𝑥
𝑥
de lo cual se obtiene que 𝑥 = 2,4 𝑚
y además se tiene la relación
ℎ
3
=
34,5
4,5
Así ℎ = 23 𝑚
La altura de la torre es de 23 metros
Ejercicios resueltos.
a) Hallar el área del siguiente triángulo:
b) Calcular el área de un triángulo equilátero de lado 12 cm.
c) Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7cmy 6
cm.
d) Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5 cm.
Solución:
a) Al tener base y altura correspondiente utilizamos la fórmula
𝐴 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
=
13 ⋅ 7
2
=
91
2
= 45,5
Solución:
b) Al ser un triángulo equilátero basta calcular
𝐴 =
𝑎2
√3
4
=
122
√3
4
= 36 √3
Solución:
c) Al tratarse de un triángulo rectángulo su área será

29
UNIDAD 1: GEOMETRIA
𝐴 =
𝑎 ⋅ 𝑏
2
=
7 ⋅ 6
2
= 21 𝑐𝑚2
Solución:
d) Como se tienen como datos sólo los lados de un triángulo entonces utilizamos
la fórmula de Herón
𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),𝑝 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
para este caso 𝑝 =
3+4+5
2
= 6
𝐴 = √6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) = √6(3)(2)(1) = 6 𝑐𝑚2
1. Los lados de un triángulo miden 60 𝑚, 72 𝑚y 90 𝑚. respectivamente.
Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24𝑚.,
calcule la medida de los otros dos lados de este triángulo.
2. La razón de semejanza del triángulo 𝐴𝐵𝐶con el triángulo 𝐷𝐸𝐹es 2:3. Si los lados
del primer triángulo son 12, 21 y27, determina los lados del triángulo 𝐷𝐸𝐹.
3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden6 𝑐𝑚 y 8 𝑐𝑚. ¿Cuánto medirán los
catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15𝑐𝑚?
4. En el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 es perpendicular a 𝐵𝐶 y 𝐶𝐸 es perpendicular a 𝐴𝐵.
Demostrar que 𝐶𝐸 ⋅ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐶
5. Si en el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐷 es la bisectriz del𝐴𝐶𝐵 y 𝐴𝐵𝐸 es congruente al 𝐴𝐶𝐷 ,
demuestre que ∆𝐴𝐶𝐷 es semejante al ∆𝐷𝐵𝐸 y que ∆𝐴𝐷𝐶 es semejante al ∆𝐶𝐸𝐵

30
UNIDAD 1: GEOMETRIA
6. Encuentra la medida del segmento 𝐴𝐷
̅̅̅̅̅si 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 32 𝑚, 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 15 𝑚 y 𝐷𝐸
̅̅̅̅ = 3 𝑚
7. Rocío mide 1,70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1,20m, la sombra del
árbol mide4, 80 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
8. Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un
espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies
y a 5m del edificio. Halla la altura del edificio.
9. Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que una vara de 1,10 m
proyecta una sombra de 0,92 m. Calcula la altura del muro.
10. Calcula el área de un triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado.
11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área
y la altura sobre la hipotenusa.
12. El área de un triángulo es de 66 𝑐𝑚2
; sus lados miden 𝑎 = 20 𝑐𝑚, 𝑏 =
11 𝑐𝑚 𝑦 𝑐 = 13 𝑐𝑚. Calcula sus tres alturas y su perímetro.
13. Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto.
Así obtendrás un nuevo triángulo más grande.
a) Justifica por qué es semejante al inicial.
b) ¿Cuál es la razón entre las áreas?
Problema:
Entre dos pueblos 𝐴 y 𝐵 hay una colina, para medir la distancia de 𝐴 a 𝐵 fijamos un punto 𝑃
desde el que se ven los dos pueblos, al tomar las medidas resulta 𝐴𝑃 = 15 𝑘𝑚 , 𝑃𝑀 = 7,2 𝐾𝑚 y
𝑀𝑁 = 12 𝑘𝑚, 𝑀𝑁 es paralela a 𝐴𝐵, determina la distancia entre 𝐴 y 𝐵

31
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Definición: Los cuadriláteros son polígonos limitados por líneas rectas que
forman cuatro lados y estos entre sí, forman ángulos, también los cuadriláteros
poseen cuatro vértices.
Algunas definiciones importantes son:
Lados consecutivos: son los que tienen un vértice en común.
Vértices y ángulos opuestos: son los que no pertenecen a un mismo lado.
Ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.
Clasificación de cuadriláteros.
La primera división que se realiza es entre cuadriláteros convexos y cuadriláteros
no convexos.
Los cuadriláteros convexos son aquellos en que cada uno de los ángulos
interiores es menor de 180º. También se pueden distinguir pues, dados dos puntos
cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus
puntos interiores al cuadrilátero.
Los cuadriláteros no convexos o cóncavos son aquellos en que uno de los
ángulos es mayor de 180º. También se puede distinguir un cuadrilátero no
convexo ya que podemos encontrar dos puntos, tales que el segmento entre ellos
tenga puntos, exteriores al cuadrilátero.
Los cuadriláteros motivo de nuestro estudio son, los cuadriláteros convexos

32
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Clasificación de cuadriláteros convexos.
Lados paralelos Tipo
Dos pares de lados paralelos Paralelogramos
Dos pares de lados paralelos y los
otros dos no paralelos.
Trapecios
Ningún lado paralelo a otro Trapezoides o cuadriláteros
Clasificación de paralelogramos.
Entre los paralelogramos tenemos los rectángulos, cuadrados, romboides y rombo.
Paralelogramo Características
Rectángulo Tiene sus cuatro ángulos
rectos
Cuadrado Tiene sus cuatro ángulos
rectos y sus cuatro lados
iguales.
Romboide Paralelogramo que tiene
sus ángulos oblicuos.
Rombo Paralelogramo que tiene
sus ángulos oblicuos y los
cuatro lados iguales.

33
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Clasificación de trapecios.
Los trapecios se clasifican en trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio
rectángulo. Sus lados paralelos se llaman bases.
Trapecio Característica
Escaleno Tiene los lados no
paralelos desiguales.
Isósceles
Tiene los lados no
paralelos de igual
longitud, formando
con las bases
ángulos adyacentes
iguales.
Rectángulo Tiene un lado
perpendicular a las
bases, formando un
ángulo recto con
cada base.

34
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Clasificación de trapezoides.
Los trapecios se clasifican en trapezoides simétricos y Asimétricos.
Trapezoides Característica
Simétricos
Son los que tienen dos
pares de lados
consecutivos iguales pero
el primer par de lados
consecutivos iguales es
diferente del segundo
Asimétricos
Son aquellos que no
ofrecen ninguna de las
características de un
trapezoide simétrico.
Ángulos y lados
desiguales
Propiedades de los Paralelogramos
Teorema 1:
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
Si los cuatro ángulos son iguales, entonces cada ángulo es 90º.
Si dos ángulos son suplementarios, los otros dos también son suplementarios.
En un paralelogramo se denomina base a cualquiera de sus lados y la altura será la
distancia entre la base y el lado opuesto.

35
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Teorema 2:
En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
Observe que en un paralelogramo dos ángulos consecutivos son suplementarios
Justifique esta observación.
Teorema 3: Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales, es un
paralelogramo.
Teorema 4: En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
Teorema 5: Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un
paralelogramo.
Teorema 6: En todo paralelogramo las diagonales se dimidian.
Teorema 7: Todo rectángulo es un paralelogramo cuyas diagonales son iguales

36
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Teorema 8: Todo cuadrado es un paralelogramo cuyas diagonales son
perpendiculares e iguales.
Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.
Teorema 9: Todo rombo es un paralelogramo cuyas diagonales son
perpendiculares.
Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.
En resumen, se tiene que todo paralelogramo, tiene:
 Dos pares de lados paralelos.
 Lados opuestos iguales.
 Ángulos opuestos congruentes.
 Los ángulos consecutivos suplementarios.
 Las diagonales se dimidian.
Teorema 10: La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es
paralela a las bases y es igual a su semisuma.
𝐸𝐺
̅̅̅̅ =
𝐴𝐷
̅̅̅̅̅+𝐵𝐶
̅̅̅̅̅
2

37
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Problema 2: En un trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷, de bases 𝐵𝐶
̅̅̅̅ y 𝐴𝐷
̅̅̅̅, los ángulos en los vértices
𝐴 y 𝐷 son complementarios, los segmentos miden 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 5 𝑐𝑚 y 𝐶𝐷
̅̅̅̅ = 12 cm
y el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide
27 cm. Calcule la longitud del segmento 𝐵𝐶
̅̅̅̅.
Solución:
Si observamos la figura asociada a la información se tiene
Por la relación entre los ángulos se tiene que el triángulo 𝑃𝐷𝐶 es rectángulo en 𝐶
por tanto podemos calcular 𝑃𝐷
̅̅̅̅ mide 13 cm, además sabemos que el segmento de
recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide 27 cm y del
teorema 10 sabemos que 27 =
𝑏+𝑏+13
2
Así 54 = 2𝑏 + 13, 41 = 2𝑏,
41
2
= 𝑏
Perímetros y áreas de paralelogramos y trapecios.
Cuadrilátero Dibujo Perímetro 𝑷 Área 𝑨
Cuadrado 𝑃 = 4𝑎 𝐴 = 𝑎2
Rectángulo 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 𝐴 = 𝑎 ⋅ 𝑏

38
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Aplicación
Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por
63 cm de alto.
¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar?
Si la moldura cuesta a $3500 el metro, calcule el precio de dicho marco.
Solución:
Para determinar la cantidad de moldura simplemente debemos calcular el
perímetro del cuadro esto es igual a:
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2 ⋅ 103 + 2 ⋅ 63 = 206 + 126 = 332 cm, la longitud de la
moldura será de 332 cm, por tanto el precio que debemos pagar es 3,32 ⋅ 3500 =
11620, es decir el marco tendrá un valor de $11.620.
Rombo 𝑃 = 4𝑎
𝐴 =
𝑑1 ⋅ 𝑑2
2
Romboide 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 𝐴 = 𝑏 ⋅ ℎ
Trapecio 𝑃 =
𝑏1 + 𝑏2 + 𝑐 + 𝑑
𝐴 =
𝑏1 + 𝑏2
2
⋅ ℎ
Trapezoide 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝐴 =suma de las áreas
de los triángulos

39
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Ejercicios resueltos.
a) Las dos diagonales de un rombo, miden 124 mm y 93 mm. Calcula su área y su
perímetro.
b) La base mayor de un trapecio isósceles mide 35 cm y la menor 15 cm. La altura
es igual a 10,5 cm. ¿Cuánto mide su perímetro y cuál es su área?
Solución:
a)
El área del rombo está dado por 𝐴 =
𝑑1⋅𝑑2
2
=
124⋅93
2
=
11532
2
= 5766 𝑚𝑚2
Su perímetro será 4𝑎 para determinar el valor de 𝑎 utilizamos el teorema de
Pitágoras, donde cada cateto será la mitas de cada diagonal, de esta forma
𝑎2
= (
124
2
)
2
+ (
93
2
)
2
=
15376
4
+
8649
4
=
24025
4
Por tanto 𝑎 = 77,5 mm, con esto el perímetro será 𝑃 = 310 𝑚𝑚
Solución:
b) Al tener las bases y área del trapecio sabemos que su área es
𝐴 =
( 𝑏1+𝑏2 )⋅ℎ
2
=
(35+15 )⋅10,5
2
= 262,5 𝑐𝑚2
Como el trapecio es isósceles podemos calcular su lado utilizando el teorema de
Pitágoras
102
+ 10,52
= 𝑥2
, entonces 𝑥 = 14,5 𝑐𝑚 , por tanto su perímetro es 𝑃 =
15 + 14,5 + 35 + 14,5 = 79 𝑐𝑚

40
UNIDAD 1: GEOMETRIA
1. Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado.
2. Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área.
3. Calcula el área de un rectángulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura.
4. Calcula la base de un rectángulo de 364,5 cm2 de área y 24,3 cm de altura.
5. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con
losetas cuadradas de 25 cm de. ¿Cuántas losetas son necesarias?
6. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.
7. Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado
oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.
8. El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del
cuadrado negro exterior?
9. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 25,6 cm y
108,5 cm y los lados no paralelos 70,5 cm.
10. Calcula el perímetro y el área del trapezoide ABCD con los datos que se indican
AB=12,6 cm. BC=14,82 cm. CD=19,8 cm. DA=19,74 cm. DB=21,24 cm.
Problema:
Las diagonales del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 miden: 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 32 𝑐𝑚 y 𝐵𝐷
̅̅̅̅ = 24 . Por un punto 𝑃 de la
diagonal menor, tal que 𝑃𝐷
̅̅̅̅ = 6 𝑐𝑚 se traza una paralela a la diagonal 𝐴𝐶 que corta en 𝑀 y 𝑁 a
los lados 𝐴𝐷 y 𝐶𝐷.
Calcule el área y el perímetro del pentágono M𝐴𝐵𝐶𝑁 .
(HINT: realice la figura y descomponga el pentágono en figuras geométricas de áreas conocidas )

41
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Definición: La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto
de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto
fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que
es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un
punto fijo. (Centro)
A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así
como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.
Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto
de tangencia.
Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.

42
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Elementos de la circunferencia:
Radio (𝐴𝐵
̅̅̅̅): segmento que une al centro
del círculo con un punto cualquiera de la
circunferencia.
Cuerda (𝐶𝐷
̅̅̅̅): segmento que une dos
puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro (𝐺𝐻
̅̅̅̅): segmento que une dos
puntos de la circunferencia y pasa por el
centro del círculo; se le considera como la
cuerda de mayor tamaño que divide al
círculo en dos partes congruentes
Arco (𝐿𝑀
̅̅̅̅): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.
Ángulos y arcos en el círculo
Ángulo Central (∢𝐴𝐵𝐶): ángulo cuyo
vértice está en el centro de la circunferencia.
Ángulo Inscrito (∢𝐷𝐸𝐹) ángulo cuyo
vértice es un punto de la circunferencia y
cuyos lados son cuerdas del círculo.
Ángulo semi - inscrito (∢𝐺𝐻𝐼) ángulo
cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y sus lados lo forman una
tangente y una secante.
Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente,
entonces decimos que el ángulo AOB subtiende el arco AB.

43
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Teoremas de la circunferencia
Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias.
Teorema 1: El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos
inscritos que subtienden el mismo arco.
∢𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∢𝐴𝐵𝐶
Teorema 2: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo
mismo.
∢𝟏 = ∢𝟐 = ∢𝟑
Teorema 3: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

44
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Teorema 4: Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a
la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
Teorema 5: Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces
los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
𝑨𝑩
̅̅̅̅ ≅ 𝑨𝑪
̅̅̅̅
Teorema 6: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas
de los arcos correspondientes.
∢𝐴𝐸𝐵 =
𝐴𝐵
̂ + 𝐶𝐷
̂
2
Teorema 7: La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las
medidas de los arcos correspondientes.
∢𝐶𝐴𝐷 =
𝐶𝐷
̂ − 𝐵𝐸
̂
2

45
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Proporcionalidad en la Circunferencia.
Teorema 1: Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el
producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los
segmentos determinados en la otra cuerda.
𝑃𝐴
̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐶
̅̅̅̅ = 𝑃𝐵
̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐷
̅̅̅̅
Teorema 2: Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes,
el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es
igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.
𝑃𝐵
̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐴
̅̅̅̅ = 𝑃𝐷
̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐶
̅̅̅̅
Teorema 3: Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el
cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la
secante por la medida de su exterior.
𝑃𝐶
̅̅̅̅2
= 𝑃𝐵
̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐴
̅̅̅̅

46
UNIDAD 1: GEOMETRIA
AREA Y PERIMETRO
Área (A) Perímetro (P)
Circunferencia No tiene área 𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)
Círculo 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑅2
𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)
Circunferencia Círculo
AREA Y ARCO DE UN SECTOR CIRCULAR
Área (𝑨𝒔): Representa una fracción del área.
𝐴𝑠 = (
𝛼
360°
) ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2
𝛼: Ángulo del centro
Arco (𝒂): Representa una fracción del perímetro.
𝑎 = (
𝛼
360°
) ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅
𝛼: Ángulo del centro

47
UNIDAD 1: GEOMETRIA
PROBLEMA APLICACION 1. Se remodelará la esquina de una plaza
colocando un sector circular como indica la figura. Determine el ángulo de centro
que se debe trazar si el ángulo de la esquina era de 72º
DESARROLLO:
a) Identificar Datos:
- Los ángulos a determinar 𝛼 = ∠𝐵𝑂𝐶
- El ángulo conocido ∠𝐵𝐴𝐶 = 72º
b) Estrategia de resolución:
- Representar la informacion relevante en un esquema reducido.
- Se plantean ecuaciones de primer grado.
- Se aplican propiedades de: ángulos en poligonos y radio de contacto con la
tangente..
c) Resolver Problema:
Radio de Contacto:
Siempre que trabajes con circunferencias o arcos de circunferencia que son tangentes con rectas,
segmentos de rectas, rayos u otras circunferencias, resulta ser indispensable el trazado del Radio de
Contacto, Radio que une los puntos de tangencia con el centro de la o las circunferencia y resultan
ser Perpendiculares con dichas Tangentes.
A
B
O
C
72º
108º

48
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Como 𝐵𝑂 y 𝐶𝑂 son los radios de contacto con los respectivos
segmentos tangentes 𝐵𝐴 y 𝐶𝐴 entonces 𝐵𝑂 ⊥ 𝐵𝐴 y 𝐶𝑂 ⊥ 𝐶𝐴 luego
∠𝐴𝐵𝑂 = 90°
Y
∠𝐴𝐶𝑂 = 90°
- En el cuadrilátero 𝐴𝐵𝑂𝐶 la suma de ángulos interiores es 360°, es decir,
∠𝐴𝐵𝑂 +∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐴𝐶𝑂 +∠𝐵𝐴𝐶 = 360°
90° + 𝛼 + 90° + 72° = 360°
𝛼 = 108°
d) Comunicación de resultados:
Entonces el empalme circular corresponde a un sector circular de 𝛼 = 108°
PROBLEMA APLICACION 2. Se necesita pintar la fachada de la casa, cuya
vista frontal se presenta a continuación, ¿cuántos galones de hidrorrepelente se
necesitan si cada uno rinde 20 m2
?
DESARROLLO:
- Debemos calcular el área de cada figura que forma la fachada.
- Debemos calcular cuanta pintura se necesitara para pintar la fachada de la
casa.

49
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Calcularemos el área de rectangulos, circulos y triangulos.
- Al calcular el área a pintar debemos descontar los espacios de la puerta y de
las ventanas.
- Para calcular el área total a pintar, calcularemos las áreas de los rectángulos y
los triángulos que componen la fachada, y descontaremos las áreas de la puerta y
las ventanas.
Area fachada = 2,20 ∗ 2 + 2,20 ∗ 3 +
2,40 ∗ 1,20
2
+
5,50 ∗ 2,20
2
= 18,29
Area puerta y ventanas
= 0,80 ∗ 1,61 +
𝜋 ∗ 0,402
2
+ 1,502
+
𝜋 ∗ 0,752
2
+ 𝜋 ∗ 0,4752
≈ 5,382
- Por lo tanto, el área a pintar es de aproximadamente 12,908 m2.
Como un galón rinde 20 m2
, sólo se necesita un galón de hidrorrepelente para
pintar la fachada de la casa.
Recuerda que:
Área del rectángulo = largo · ancho Área del triángulo =
𝒃𝒂𝒔𝒆 · 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
Área del circulo = 𝝅 · 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝟐

50
UNIDAD 1: GEOMETRIA
1. Para las siguientes figuras, encontrar el valor del ángulo x
a) x = ? b) x = ?
c) ∢ABC=60°, AB diámetro; x=? d) ∢CAO=20°; ∢AOB=100º; x=?
e) ∢BOC=140º; ∢ABC=80º; ∢OAB=? f) ∢OCB = 55º; x = ?
2. Determina el perímetro de una circunferencia de diámetro 15 cm
3. El perímetro de una circunferencia es 119,32 m. calcula su radio y su diámetro
4. Las ruedas de una bicicleta tienen 30 cm de radio, ¿Cuánto recorre entonces la
bicicleta si las ruedas dan vueltas 50 veces?
5. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 7,5 cm
6. Encuentra el área de un círculo de diámetro 10 cm
7. Las ruedas de un tractor tienen 1,5 metros de diámetro, ¿Cuántas vueltas darán
las ruedas en un terreno de 20 m de largo?
O
30
x
O
40
x
A
x
B
O
C
A
B
O
C
A
x
B
O
C
x
C
B
O
A

51
UNIDAD 1: GEOMETRIA
8. El área de un círculo es 78,50 cm2
¿Cuánto mide su radio?
9. Un círculo tiene perímetro 628 cm ¿Cuánto mide su área?
10. Una pista circular tiene un radio de 80 m. un corredor que va por el borde de
la pista da 100 vueltas. ¿Cuántos metros recorre aproximadamente?
11. El radio de un círculo es 8 m. Calcula su perímetro y su área

52
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Definición: Un cuerpo geométrico corresponde una figura en tres dimensiones, es
decir, con largo, ancho y alto, y se encuentran delimitados por una o varias
superficies.
Dependiendo de la forma de las superficies que los delimitan es como se
caracteriza el cuerpo geométrico.
Clasificación y Elementos.
Los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos, los poliedros y los cuerpos
redondos.
Los poliedros son aquellos en los que las superficies que los delimitan son planas,
son caras poligonales.
Los cuerpos redondos, son aquellos, en los que algunas de las superficies que los
delimitan son curvas.
Poliedros
Como ya hemos visto los poliedros son cuerpos limitados por caras poligonales.
Por ejemplo:

53
UNIDAD 1: GEOMETRIA
En un poliedro podemos encontrar los siguientes elementos:
Caras: corresponden a los polígonos que delimitan el poliedro.
Aristas: se llama a los segmentos de recta que corresponden a los bordes de las
caras, o más bien, donde se cortan dos caras.
Vértice: se denomina a los puntos donde concurren tres o más aristas.
Ángulos planos: serán los ángulos formados por dos aristas que se cortan.
Ángulos diedros: estos ángulos son formados por dos caras adyacentes del
poliedro.
Diagonales: Para los poliedros hay dos tipos de diagonales
a) diagonales que unen dos vértices no consecutivos de una misma cara
b) diagonales que unen vértices de distintas caras.
Los poliedros pueden ser clasificados según sus ángulos en Cóncavos y
Convexos.
Para determinar si un poliedro es cóncavo o convexo se deben prolongar sus
caras. Si alguna de las prolongaciones pasa por el interior se llama cóncavo, si no
ocurre esto se llama convexo.
En la figura anterior los dos primeros son poliedros cóncavos y los dos últimos
son poliedros convexos.

54
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Trabajaremos con los poliedros convexos.
Clasificaremos a estos según la forma de sus caras en poliedros regulares y
poliedros irregulares.
Poliedros regulares son aquellos en que todos sus caras son polígonos regulares
iguales en forma y tamaño.
Sólo hay cinco poliedros regulares.
Estos son: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, y son los más
sencillos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de
poliedros recibía el nombre de sólidos platónicos.
Tetraedro: Tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros, cuatro vértices y seis
aristas Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su
superficie.
Cubo o hexaedro: Tiene seis caras que son cuadradas, ocho vértices y doce
aristas.
Octaedro: Tiene ocho caras que son triángulos equiláteros, seis vértices y doce
aristas.
Dodecaedro: Tiene doce caras que son pentágonos regulares, veinte vértices y
treinta aristas.
Icosaedro: Tiene veinte caras que son triángulos equiláteros, doce vértices y
treinta aristas Es el que tiene mayor volumen en relación con su superficie.

55
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Poliedros irregulares, son aquellos en que al menos una de sus caras no es un
polígono regular, estos se clasifican en dos grandes grupos: prismas y pirámides.
Prismas
Son los poliedros formados por dos caras iguales y paralelas llamadas bases y por
una serie de caras laterales rectangulares. Hay tantas caras laterales como lados
tenga el polígono de la base.
Si la base del prisma es un polígono regular, el prisma se llama prisma regular.
Si las aristas laterales son perpendiculares a la base, se llama prisma recto.
Pirámides
Son poliedros que apoyados en su base terminan en un vértice. Por tanto, sus caras
laterales son triángulos.
Si la base de la pirámide es un polígono regular, la pirámide se llama pirámide
regular.
Si la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la
altura de la pirámide, se llama pirámide recta.
Cuerpos redondos.
Los cuerpos redondos se forman al girar una cierta figura alrededor de una recta
llamada eje.
Nosotros estudiaremos los cuerpos llamados cilindro, cono y esfera.

56
UNIDAD 1: GEOMETRIA
El Cilindro
Es el cuerpo que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Se
distinguen en él, generatriz, altura, radio.
Este tipo de cilindro se llama recto, pues existen otros en que su generatriz no es
perpendicular al círculo de la base.
El Cono
Es el cuerpo generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos.
Su generatriz es la hipotenusa del triángulo.
La Esfera
Es el cuerpo generado al girar un círculo alrededor de un diámetro.

57
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Área de superficies y volúmenes
Área de prismas
Para determinar el área total de un prisma, realizamos su desarrollo, es decir
separamos sus dos bases y dividimos la figura cortando por una arista lateral.
Así obtenemos la siguiente figura plana.
Por ejemplo este es el desarrollo de un prisma de base triangular.
El área total será el área lateral más el área de las dos bases, que son iguales.
Área de pirámides
Para observar el desarrollo de una pirámide separamos la base y dividimos la figura
cortando por una arista lateral.

58
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Esta figura está formada por un polígono regular y por tantos triángulos isósceles
como lados tenga el polígono de la base.
Estos triángulos tienen por base el lado de la base del polígono que forma la base y
los lados iguales son las aristas laterales de la pirámide.
La altura de este triángulo es la apotema de la pirámide.
El área total será el área lateral más el área de la base.
Área de los cuerpos redondos.
Cilindro
Revisamos el desarrollo del cilindro
En la descomposición del cilindro se aprecia que su parte lateral es un rectángulo
cuya base es igual al perímetro del círculo y cuya altura es la del cilindro.
El área total será la suma del área lateral más dos áreas de la base.
Cono.
Igualmente, si separamos la base de un cono y dividimos la figura cortando por
una generatriz, resulta:
Esta figura está formada por un sector circular de radio la generatriz, y de longitud
del arco igual a la longitud de la circunferencia de la base.
El desarrollo lateral de un cono recto es un sector circular de radio la generatriz.
Luego, el área total será la suma del área lateral y la de la base.

59
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Esfera
En el caso de la esfera no podemos describir una red.
Su área será 𝐴 = 4𝑟2
𝜋
Resumen de áreas de cuerpos geométricos.
Volúmenes de cuerpos geométricos.
La construcción y cálculo de los volúmenes de los cuerpos geométricos son algo
más difíciles de desarrollar respecto de lo que vimos en las áreas para estos
cuerpos, realizaremos un resumen de las fórmulas más importantes.

60
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Nombre Dibujo Volumen
Cubo 𝑉 = 𝑎3
Paralelepípedo
𝑉 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
Prisma
𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻
Pirámide 𝑉 =
1
3
á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻
Cilindro
𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻
𝑉 =
1
3
𝑅2
𝐻𝜋
Cono
𝑉 =
1
3
á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻
𝑉 = 𝑅2
𝐻𝜋

61
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Aplicación
Se quiere pintar una habitación con forma de prisma recto de base cuadrada de
lado 3 m y la altura de la habitación es 3,5 m. El pintor cobra $1200 por metro
cuadrado. ¿Cuánto costará pintar las paredes de la habitación?
Solución:
Notamos que las 4 paredes de la habitación son de forma rectangular, de lados 3m
y 3,5 m respectivamente.
Calculamos el área de una de las paredes 𝐴 = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 𝑚2
Luego se debe pintar una superficie de 𝑆 = 4 ⋅ 10,5 = 42 𝑚2
.
Finalmente es costo de pintar la habitación es
𝐶 = 42 ⋅ 1200 = 50400
El pintar la habitación tiene un costo de $50.400.
EJERCICIO RESUELTO.
Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 4 cm, como se muestra en
la figura. Si la generatriz del cono mide 4,5 cm.
¿Cuánto mide el volumen NO cubierto por el cono?
Los radios y las alturas del cono y del cilindro coinciden, es decir en cono está
inscrito en el cilindro.
Esfera
𝑉 =
4
3
𝑟3
𝜋

62
UNIDAD 1: GEOMETRIA
Solución:
El volumen no cubierto por el cono será igual a la diferencia entre el volumen del
cilindro con el volumen del cono, con los datos que tenemos calculamos:
Volumen del cilindro:
á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜋𝑟2
⋅ ℎ = 𝜋 ⋅ 16 ⋅ √4,25 =
4
5
√17 𝜋
Volumen del cono:
á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
= 𝜋𝑟2
⋅
ℎ
3
= 𝜋 ⋅
16⋅√4,25
3
=
4
15
√17 𝜋
Volumen buscado: 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉
𝑐𝑜𝑛𝑜 =
8
15
√17 𝜋
PROBLEMA APLICACION 3:
Una persona quiere construir un portico con 4 pilares a la entrada de su casa, cada
pilar esta formado por un paralelepipedo de base cuadrada cuyas dimensiones son
20 cm de base y 1,50 m de altura y un cubo de 30 cm de lado. ¿Cuántos sacos de
hormigón preparado necesita si un saco de 35 kg rinde 0,0168 m3
?
DESARROLLO:
En la resolución de problemas es fundamental el trabajo paso a paso, es por eso
que se recomienda la utilización de la estructura que aparece en el siguiente cuadro:
Recuerda aplicar los siguientes pasos para la resolución de los problemas:
a) Identificación de datos.
b) Estrategia de resolución.
c) Resolución.
d) Comunicación de resultados.

63
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Debemos calcular el volumen de cada cuerpo geométrico que forman los pilares.
- Debemos calcular cuanto hormigón necesitamos.
- Dibujar el pilar.
- Transformar las dimensiones a la misma unidad de medida, es decir, centimetros o
metros.
- Calcularemos el volumen del paralelepipedo y del cubo.
- Al calcular el volumen de cada cuerpo, calcularemos el volumen total
de los pilares.
- El pilar está formado por un paralelepípedo y un cubo, como muestra
la figura:
- Para calcular el volumen de un pilar, calculamos el volumen de cada cuerpo que lo
forma.
- Las dimensiones del paralelepípedo son 20 cm de base y 1,50 m de altura, lo que
equivale a decir, 0,2 m de base y 1,5 m de altura.
Volumen Paralelepipedo = 0,22
· 1,5 = 0,06𝑚3
- Las dimensiones del cubo son 30 cm de lado, equivale a 0,3 m de lado
Volumen Cubo = 0,33
= 0,027𝑚3
- Luego el volumen de un pilar se obtiene sumando el volumen del paralelepípedo
con el volumen del cubo, por lo tanto, el volumen de un pilar es 0,087m3
- Ahora bien, como el pórtico está formado por 4 pilares, el volumen total es de
0,348m3
.
Recuerda que:
Volumen del Paralelepípedo = Área base · altura Volumen cubo =
𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝟑

64
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Sabemos que un saco de hormigón rinde para 0,0168𝑚3
y el volumen total de
los pilares es de 0,348𝑚3
, por lo tanto 0,348 ∶ 0,0168 ≈ 20,71 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠.
Como un saco de hormigón rinde 0,0168𝑚3
y el volumen de los pilares es de
0,348𝑚3
se necesitan 21 sacos.
La viga de la figura está construida de concreto (densidad del concreto 2,4kg/dm3
)
y una estructura compuesta de barras de acero de (densidad del acero 7,85kg/dm3
)
de sección circular de 2,5 cm de diámetro. Calcula la fuerza peso que ejerce esta
viga en reposo.
DESARROLLO:
15cm
15cm
250cm
RECUERDA QUE: Volumen, Densidad, Masa y Peso
No olvides que cuando se quiere calcular el peso de un objeto se debe considerar las
relaciones entre Volumen, Densidad Masa y Peso que son las siguientes
𝑃 = 𝑀 ∙ 𝑔
donde g =9,8 m/s2
es la aceleración de gravedad y que
𝑀 = 𝑉 ∙ 𝐷
Donde D es la densidad que es una constante correspondiente al material del cual está
fabricado el objeto que te indica la cantidad de materia o masa por unidad de volumen.
Las unidades en el sistema internacional (MKS) son
Peso=N (newton=kg m/s2
)
Masa=kg
Densidad=gr/cm3
,kg/dm3
,ton/m3
Un error muy frecuente es confundir Peso con Masa, la primera es una fuerza y la
segunda es la unidad que indica la cantidad de materia. Cuando vas a comprar el pan
compras cantidad de masa de pan no peso de pan.

65
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Dimensiones de la viga 𝑎 = 15𝑐𝑚 de ancho, 𝑏 = 15𝑐𝑚 de alto y 𝑐 = 250𝑐𝑚 de
largo.
- Dimensiones de las barras de acero: diámetro 𝑑 = 2,5𝑐𝑚 y largo ℎ = 250𝑐𝑚
- Densidad del acero 7,85kg/dm3
- Densidad del concreto 2,4kg/dm3
- Interpretar la viga como un paralelepipedo rectangular y utilizar la formula de
volumen correpondiente 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son las aristas del
paralelepípedo
- Interpretar las barra como cilindros y utilizar la formula de volumen
correspondiente 𝑉 = 𝜋
𝑑2
4
ℎ donde 𝑑 es el diametro y ℎ es la altura, en este caso el
largo de las barras.
- Aplicar correctamente las relaciones volumen, densidad masa y peso indicadas al
comienzo de esta solución.
- No olvidar que en los calculos de masa se debe descontar el volumen de las barras
del volumen total de la viga
- Calculo del volumen de la viga
𝑉1 = 𝑎𝑏𝑐 = 15𝑐𝑚 ∙ 15𝑐𝑚 ∙ 250𝑐𝑚 = 56250𝑐𝑚3
- Calculo del volumen de una barra de acero
𝑉2 = 𝜋
𝑑2
4
ℎ = 𝜋
(2,5𝑐𝑚)2
4
250𝑐𝑚 = 1227,2𝑐𝑚3
- Calculo del volumen total de acero
𝑉𝐴 = 4𝑉1 = 4 ∙ 1227,2𝑐𝑚3
= 4908,8𝑐𝑚3
- Calculo del volumen del concreto como la diferencia entre el volumen total de la
viga menos el volumen total de acero
𝑉𝐶 = 𝑉1 − 𝑉𝐴 = 56250𝑐𝑚3
− 4908,8𝑐𝑚3
= 51341,2𝑐𝑚3

66
UNIDAD 1: GEOMETRIA
- Calculamos las masas del acero y el concreto por separado como el producto de
sus volúmenes y sus respectivas densidades. Es conveniente transformar la unidad
de volumen de cm3
a dm3
para que la unidad de masa quede en kg.
Unidades de densidad = gr/cm3
, kg/dm3
, ton/m3
Esto se hace simplemente dividiendo por 1000 pues 1dm3
= 1000cm3
𝑉𝐴 = 4908,8𝑐𝑚3
= 4,91𝑑𝑚3
𝑉𝐶 = 51341,2𝑐𝑚3
= 51,34𝑑𝑚3
Las masas respectivas serán
𝑀𝐴 = 7,85
𝑘𝑔
𝑑𝑚3
4,91𝑑𝑚3
= 38,54𝑘𝑔
𝑀𝐶 = 2,4
𝑘𝑔
𝑑𝑚3
51,34𝑑𝑚3
= 123,22𝑘𝑔
- Calculamos la masa total como la suma de las masas del concreto y el acero
𝑀𝑇 = 𝑀𝐴+𝑀𝐶 = 38,54𝑘𝑔 + 123,22𝑘𝑔 = 161,76𝑘𝑔
- Calculamos finalmente el peso de la viga
𝑃 = 161,76𝑘𝑔 ∙ 9,8
𝑚
𝑠2
= 1585,25𝑁
- La masa total de la viga es de 161,76kg
- La fuerza peso que ejerce en reposo es de 1585,25N
1. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 14 𝑐𝑚2
y
34.000 𝑐𝑚3
de capacidad.
2. Hallar el área lateral y volumen de un prisma cuadrangular cuyas medidas son:
a) lado basal es6 𝑐𝑚y su altura es 12 𝑐𝑚.
b) lado basal es 3 𝑐𝑚y de altura del prisma 5𝑐𝑚.

67
UNIDAD 1: GEOMETRIA
3. Hallar el área total lateral de un prisma cuadrilátero regular recto cuyas medidas
son:
a) el lado de la base mide 8 𝑐𝑚 y la arista lateral mide 10 .
b) el lado de la base mide 5 𝑐𝑚y la arista lateral 20 𝑐𝑚.
4. Hallar el Volumen de una pirámide cuadrangular que tiene de lado de la base 8
cm y e altura de la pirámide 6 cm.
5. Hallar el área lateral de una pirámide cuadrilátera regular recta, cuyo lado de la
base mide 10 cm. y su altura es de 6 cm.
6. En una pirámide cuadrilátera regular recta, el lado de la base es 6mm, si la arista
lateral mide 5mm, hallar el volumen.
7. Calcula la altura de una pirámide cuadrada de 5 cm de arista lateral y cuya base
tiene 6 cm de lado.
8. Calcula el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 18 cm
de lado y su altura es de 40 cm.
9. Hallar el Área Lateral de un cilindro que tiene de radio de la base 10 cm y de
generatriz 5 cm.
10. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base.
Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total.
11. Hallar el Volumen de un cilindro que tiene de radio de la base 5 cm y de altura
10 cm.
12. En un cilindro recto, la generatriz mide 12 cm y el radio de la base 4 cm. Hallar
el área lateral.
13. Hallar el volumen de un cilindro recto de radio 8cm sabiendo que su generatriz
es la mitad del radio.
14. Un vaso en forma de cilindro recto necesita ser llenado de agua, para saber
cuánto liquido servir se debe saber el volumen de este, su generatriz es de 10 cm y
el radio de la base es la mitad de la generatriz al cuadrado.
15. Hallar el Área Lateral de un cono que tiene de radio de la base 15 cm y de
generatriz 10 cm.
16. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz es de 6.72m y su altura es de
6.01m.

68
UNIDAD 1: GEOMETRIA
17. Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular el área lateral y el área
total.
18. Hallar el Área de una Esfera tiene de radio de la base 10 cm.
19. Hallar el volumen de una esfera de 2 cm, de radio.
20. Hallar el área de una esfera de 12 cm de diámetro.
21. La suma de todas las aristas de un cubo es 120 cm. El área total del cubo y su
volumen son respectivamente:
22. Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide:
(recuerda 1 litro=1000 cc)
23. Las alturas de dos conos están en la razón de 5: 4 y los radios de sus bases
están en la razón de 2: 3. Sus volúmenes están en la razón:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA UNIDAD
1. Observa el siguiente plano e identifica:
Problema:
Si a un cubo de arista 𝑎 le extraemos una pirámide cuyas aristas laterales son las aristas del cubo
que concurren en uno de sus vértices y cuya base es un triángulo cuyos lados son las diagonales de
las caras del cubo que concurren a ese mismo vértice, queda un cuerpo geométrico.
¿Cuál es el volumen de este cuerpo geométrico?

69
UNIDAD 1: GEOMETRIA
a) ¿Dónde podemos distinguir puntos?
b) ¿Dónde se trabaja con rectas paralelas?
c) ¿Dónde se observan rectas perpendiculares?
d) ¿Cuál es la medida de ángulos con la que más se trabaja en el plano?
2. En la primera imagen se muestran los límites marítimos actuales de Chile, en
la segunda imagen se muestra la postura de Perú en los alegatos. Si Perú pide ganar
al menos la mitad de esta zona marítima, ¿dónde debería quedar nuestro nuevo
límite marítimo?
3. En el siguiente plano de emplazamiento mida los ángulos demarcados con
naranjo.

70
UNIDAD 1: GEOMETRIA
4. Por razones técnicas y de diseño el ángulo de depresión del techo de la
terraza debe ser de 18º y el del pilar de 78º de elevación. Determina la medida del
ángulo exterior α que permita hacer una juntura perfecta entre el envigado del
techo y el pilar, con los ángulos indicados por las especificaciones.
5. La cubierta del techo de una construccion en el centro de Viña del Mar tiene
un ángulo de depresión 25º. La normativa vigente en esta ciudad (art 2.6.3
MINVU), exige que ninguna construccion puede sobrepasar el ángulo de elevacion
envolvente de la razante de 70º como indica la figura, por lo que el techo debe
tener un quiebre en el punto P. Determina el angulo interio α que deben formar
las cubiertas para cumplir con la normativa.
6. Repite el problema anterior utilizando el esquema que muestra la figura.
18º
78º
𝛼
70º
25º
𝛂
P
P
70º
85º
𝛂

71
UNIDAD 1: GEOMETRIA
7. La estructura de la figura coresponde a una armadura de techo o cercha
en “M”. Entendiendo que: los △ 𝐴𝐵𝐶,△ 𝐴𝐷𝐹 y △ 𝐷𝐵𝐸 son todos isósceles, que
𝐹𝐺 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 y 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵. Determina la medida de los ángulos
∠𝐶𝐹𝐷, ∠𝐸𝐷𝐶, ∠𝐶𝐸𝐻 sabiendo que ∠𝐶𝐴𝐵 = 26°
8. El tramo de la calzada que muestra la figura hace un giro de 40º. Determina
la medida del angulo de centro que se necesita para construir el arco de
circunferencia que empalme los dos tramos de la via.
9. En un conjunto de locales comerciales, los recintos R1 y R2 forman un
ángulo de 136º como indica la figura. Determine la medida de los angulos 𝛼, 𝛽, y
𝛾, sabiendo que 𝐴𝐷 es bisectriz del ∠𝐵𝐴𝐹
A B
C
D
E
F
G H
40º
D
C
G
136º
A
B
F
E
H
R1
R2
𝛼
𝛽
𝛾

72
UNIDAD 1: GEOMETRIA
10. En la figura, FC es bisectriz del <BHD, HA biseca al <GHB. La medida del
<AHF es:
a) 45º
b) 84º
c) 96º
d) 99º
11. En la figura, 𝐿1//𝐿2, BC biseca al <DBE. La medida del ángulo αes:
a) 36º
b) 72º
c) 118º
d) 149º
12. El estadio nacional, necesita una remodelación de sus áreas verdes, ¿Cuánto
dinero gastara la municipalidad, si la palmeta de 0,5 m2
tiene un costo de $940 y las
dimensiones de la cancha de fútbol son 105 por 68 m?
13. A continuación, se presenta la planta superior de una construcción. Calcule
el área de cada habitación y de la construcción total.
6,05
9,17
10,02
11,4
2,85
4,06
2,09
A
8,95
3,45
5,3
4,77
7,2
A
E
F
G
B
D
C
H
168°
118º
A
B
C
D
E

73
UNIDAD 1: GEOMETRIA
14. ¿Cuántos ladrillos de 28,5 x 14 x 4,5 cm, son necesarios para construir una
pared de 324,5 cm de ancho y 192,5 cm de alto, si se desea dejar un centímetro de
separación entre ladrillos?
15. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 30 cm se necesitan para embaldosar un
salón de 6m de largo y 4,5 m de ancho?
16. Se desea cercar un sitio cuadrado de 14 metros de lado, con tres corridas de
alambre Inchalam # 14 y al mismo tiempo se desea sembrar ligustrinas cada 20
cm.
a. ¿Cuánto se gastara en alambre, si el paquete de 100 m tiene un valor de
$9.670?
b. ¿Cuántas patillas de ligustrinas son necesarias para delimitar todo el sitio?
17. El levantamiento topográfico de un terreno arrojo como resultado la
siguiente poligonal.
¿Cuál es el perímetro a cercar?
18. Los triángulos ABC y DEA son isósceles AE = DE, AE biseca al <CAB,
entonces la medida del <x es:
a) 44º
b) 66º
c) 72º
d) 100º
67º
104º
A
C
B
D
E
x
90,8m
53,5m
68,7m
44,6m
63,7m

74
UNIDAD 1: GEOMETRIA
19. En la figura, el segmento AB es tangente a la circunferencia en B. La medida
del ángulo α es:
a) 45º
b) 50º
c) 96º
d) 100º
20. En la figura, el ángulo x mide:
a) 69º
b) 138º
c) 145º
d) 146º
21. En la figura, AB = BC y AE = EB, EB=5cm. La medida del segmento AC
es:
a) 2,5cm
b) 5cm
c) 5 2 cm
d) 10cm
22. En el terreno de la figura, AB // CD. La longitud del deslinde AB es:
a) 100m
b) 58m
c) 35m
d) 43m
o 34°
x
13°
A B
C
D
E
A
15m
B
C
D
25m 17m
15m
48º
o
A
B

75
UNIDAD 1: GEOMETRIA
23. El perfil metálico de la figura tiene forma de triángulo equilátero, su altura h
mide aproximadamente:
a) 8 cm
b) 7 cm
c) 6 cm
d) 5 cm
24. En la figura, ABCD se aprecia el detalle de una jardinera en la planta de una
terraza de un departamento. La longitud del segmento AB es:
a) 7,2m
b) 5,4m
c) 5,0m
d) 4,0m
25. En la figura AB // EC, la longitud AE mide:
a) 25/4
b) 20/3
c) 10
d) 50/3
26. La longitud del segmento DE es:
a) 16m
b) 24m
c) 32m
d) 40m
27. En el terreno de la figura, AB //
CD. La longitud del deslinde AB es:
a) 66m
b) 60m
c) 64m
d) 62m
10
18
30
A B
C
D
E
8cm
h
30m
12m
24m
34m
A B
C
D
E
30m
2,4m
A B
C
D
3.0m
A B
C
E
D
18m
30m
24m

76
UNIDAD 1: GEOMETRIA
28. En la figura, el segmento BC mide:
a) 6
b) 8
c) 32/3
d) 46/3
29. En la figura, el segmento ED mide aproximadamente:
a) 2m
b) 2,4m
c) 4m
d) 4,8m
30. En la figura se muestra una estructura de escuadras de un techo, el
segmento AB mide aproximadamente:
a) 14,5m
b) 12,0m
c) 6,8m
d) 6,0m
e)
31. Se desea construir una piscina, como la figura, con capacidad para 56 m3
. Si
el largo de la piscina es 8 m y tiene una profundidad mínima de 1,5 m y 2,5 de
profundidad máxima, ¿Cuál debe ser el ancho de la piscina?
1,2m
1,5m
0,9m
2m
A
C
B
D
E
C
6
8
8
A
B
D
E
A B
C
D
6,8m
3,2m

77
UNIDAD 1: GEOMETRIA
32. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 45 m. Si
restaurarla tiene un costo de $5.000 por m2
. ¿Cuánto costara repararla?
33. Una familia necesita comprar un estanque para almacenar agua y tienen dos
opciones. La primera es comprar un estanque con forma cilíndrica de 1,5 m de
diámetro y 2 m de altura a un valor de $79.990. La segunda opción es comprar un
estanque en forma de cubo de 1 m de lado a un valor de $59.990.
a. ¿Cuál es la capacidad de cada estanque?
b. ¿Cuál estanque les conviene más?
34. Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma cilíndrica, debe ser capaz de
contener un máximo de 10000 litros. Si el radio debe ser la tercera parte de la
altura, y además como factor de seguridad su capacidad se debe aumentar en un
5%. ¿Cuáles son las dimensiones apropiadas para estas condiciones?
35. Se desea construir un tanque de almacenamiento para un conjunto residencial. Los
estudios hidráulicos dan como resultado que el volumen de diseño para el tanque
debe ser de 55m3
.La base del tanque se realizara con concreto y tendrá un espesor
de 0,1m y un radio total de 2m. La pared del tanque será en concreto y tendrá un
espesor de 0,08m. El tanque será elevado para distribuir agua por gravedad y se
construirá sobre una estructura en acero. Calcule el peso máximo que tendrá el
tanque para que con dicho valor se diseñe la estructura que lo sostendrá. Asume
un peso específico de 24 KN/m3
para el concreto y del agua de 10 KN/m3
.
45m

78
UNIDAD 1: GEOMETRIA
36. La figura esquematiza una excavación en forma de trinchera y se debe Los perfiles
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 son trapecios paralelos entre sí, 𝑃2 se mide en el punto medio del eje
de la excavación. Calcula el volumen del movimiento de tierra que implica realizar
esta faena utilizando el método del prismoide.
37. La figura muestra la sección transversal de una viga de concreto reforzado con
barras de acero de sección circular con diámetro de 60mm. Determina la masa y el
peso que ejerce una viga de estas características que tenga una longitud de 18m.
Considera la densidad del acero 7.85gr/cm3
y la densidad del concreto 285gr/cm3
.
20𝑐𝑚
20𝑐𝑚
51𝑐𝑚
38𝑐𝑚
38𝑐𝑚
15𝑐𝑚
45𝑐𝑚
Barras de fierro de 60mm
𝑃1
𝑃3
𝑃2
52𝑚
12𝑚
𝑃1 10𝑚
8𝑚
25𝑚
34𝑚

79
UNIDAD 1: GEOMETRIA
38. El tanque cilíndrico de la figura tiene 905 litros de agua, que es un tercio de su
contenido total. ¿Cuánto mide su altura?
a) 1,2m
b) 1,5m
c) 2,4 m
d) 2,7m
39. ¿Aproximadamente, qué fuerza debe soportar una persona que sostiene el embudo
de la figura, lleno de agua hasta la mitad de su altura? ( g=9,8m/seg2
densidad del
agua = 1Kg/dm3
)
a) 149.628 [N]
b) 12.469 [N]
c) 10.584 [N]
d) 3.646 [N]
40. La masa del tronco de cono de cobre de la figura es: (densidad del cobre = 9,8
Kg/dm3
)
a) 3,7 g
b) 13,7 g
c) 134,3 g
d) 3700 g
41. Si un tarro de pintura rinde 30 m2
, ¿cuántos tarros de pintura o fracción son
necesarios para pintar los muros, el piso y el cielo del recinto de la figura? Sus caras
laterales son cuadrados de 3m de longitud y sus bases son hexágonos regulares.
a) 38,4
b) 5,6
c) 4,2
d) 3,4
36cm
30cm
16mm
30mm
32mm
1,2m
ℎ

80
UNIDAD 1: GEOMETRIA
42. La cantidad de material en metros cuadrados que se requiere para construir el
tanque de la figura es
a) 3.920,7 m2
b) 3.468,3 m2
c) 3.015,9 m2
d) 2.563,5m2
12m
16m

81
UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA
unque existen algunos antecedentes previos, es René Descartes quien al publicar
en 1637 su obra “La Geometrie” pone los cimientos de lo que actualmente
conocemos como geometría analítica o geometría cartesiana.
En resumen se puede decir que su propuesta es enlazar la geometría con el álgebra
estableciendo un método que traduce las propiedades geométricas de las figuras a un
lenguaje algebraico, para poder operar aplicando sus leyes, y una vez obtenido un resultado,
interpretarlo geométricamente.
Para dar una idea más concreta de lo que es la geometría analítica, enunciaremos dos de sus
problema fundamentales.
 Dada una gráfica hallar su ecuación:
 A partir de una ecuación en dos variables, dibujar su gráfica:
GEOMETRIA ANALITICA
A
GEOMETRÍA ÁLGEBRA
ÁLGEBRA GEOMETRÍA

82
APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN
2.1 Utiliza relaciones entre puntos y ángulos
entre rectas para resolver problemas geométricos
en el plano cartesiano.
2.1.1 Calcula perímetros y áreas de triángulos y
polígonos mediante relaciones entre puntos en el plano
cartesiano.
2.1.2 Calcula las coordenadas de un punto que
divide a un segmento en una razón dada mediante
teoremas.
2.1.3 Calcula la medida del ángulo entre dos rectas
mediante propiedades y teorema.
2.2 Determina la ecuación de la recta y
circunferencia en sus distintas formas de acuerdo a
un gráfico y/o condiciones geométricas dadas.
2.2.1 Determina la ecuación de la recta, mediante
condiciones dadas, y la expresa en forma general y/o
principal.
2.2.2 Determina la ecuación de la recta mediante
una gráfica dada.
2.2.3 Determina la ecuación de la circunferencia en
sus distintas formas según condiciones dadas.
2.2.4 Determina la ecuación de la circunferencia en
sus distintas formas según gráfica dada.
2.3 Determina la solución de problemas
geométricos y físicos relacionados con cónicas
mediante gráfica y/o condiciones geométricas
dadas.
2.3.1 Determina los elementos de las diferentes
cónicas dadas mediante definiciones y propiedades.
2.3.2 Determina las ecuaciones de las diferentes
cónicas en sus distintas formas de acuerdo a
condiciones o gráficas dadas.
2.3.3 Aplica definiciones, elementos y propiedades
de las cónicas para resolver problemas geométricos y
físicos.

83
¿Para qué usar Geometría Analítica?
La geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no
bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría
euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas. En
este sentido, podemos entender a la geometría analítica como la parte de las
matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para
crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de
coordenadas, por métodos algebraicos.
La geometría Analítica se utiliza mucho en la Física, por ejemplo para poder
describir la trayectoria que sigue un proyectil, usamos el concepto de Parábolas.
Para mejorar la acústica de algún lugar (teatros, iglesias, etc.) podemos ocupar el
concepto de Elipse ya que forma una curva en la que el sonido pueda rebotar en
las paredes y enviar las ondas de sonido a los espectadores u otro lugar de la
construcción.
En la astronomía, para medir la distancia de los cuerpos celestes en cuanto a otros,
o la distancia que recorren al acercarse o alejarse a algún punto designado en el
espacio. Entonces usamos el concepto de Hipérbola.
Al fabricar las llantas de los carros, se necesita el concepto de Circunferencia.
Es claro que podemos seguir mencionando aplicaciones de la Geometría
Analítica en la vida cotidiana, pero mejor daremos una definición para este
concepto.
Definición 1:
La Geometría Analítica es la parte de la Matemática que estudia problemas que,
partiendo de conceptos y propiedades puramente geométricos, llega a resultados
puramente analíticos mediante desarrollos de tipo algebraico.
La problemática de la geometría analítica se basa principalmente en:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su
ecuación.
Lo novedoso de la Geometría
Analítica es que permite
representar figuras geométricas
mediante fórmulas del
tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, donde 𝑓
representa una función u otro
tipo de expresión matemática.
En particular, las rectas pueden
expresarse como ecuaciones
polinómicas de grado 1 (Por
ejemplo: 2𝑥 + 6𝑦 = 0) y
las circunferencias y el resto
de cónicas como ecuaciones
polinómicas de grado 2.
(Por ejemplo, la circunferencia
como 𝑥2
+ 𝑦2
= 9 y la
Hipérbola como 𝑥𝑦 = 1 )

84
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar
geométrico de los puntos que la cumplen.
Para dar solución a estos problemas definiremos elementos que nos permitan
comprender de una mejor manera estos conceptos.
Sistema Coordenado Rectangular
Dado un plano cualquiera, un Sistema Coordenado Rectangular, está formado por
dos rectas dirigidas y perpendiculares entre sí llamadas Ejes de Coordenadas. Al
eje X se le denomina eje de las abscisas, al eje Y, eje de las ordenadas y al punto
O, que es la intersección de ambas rectas, el origen de coordenadas.
Ubicación de puntos en el plano
Podemos asociar puntos del plano a pares ordenados de números reales. Para ello
identificamos cada punto del plano con un par ordenado (x, y) de números reales
llamados coordenadas del punto, como se observa en el Figura 1. Siendo x: la
abscisa del punto y distancia dirigida desde el eje Y al punto, ey: la ordenada del
punto y distancia dirigida desde el eje X al punto.
Para ubicar los puntos, debemos trazar rectas Paralelas a los ejes de manera que
donde se intersectan ambas rectas. Sera el punto que estamos ubicando.
Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos en el plano Cartesiano.
(3,6); (−1,5); (4,2); (−3, −5); (1, −2); (−2, −1)
Figura 1: Sistema Coordenado
Rectangular
Es bueno separar el plano en
cuadrantes. Se enumeran con
los números romanos en
sentido Anti horario (Contra las
manecillas del Reloj) partiendo
sobre el eje X. (Ver figura)
En cada cuadrante los valores
tienen un signo determinado.
Así, quedan determinados por:
𝐼 ∶ (+, +)
𝐼𝐼 ∶ (−, +)
𝐼𝐼𝐼 ∶ (−, −)
𝐼𝑉 ∶ (+, −)
P(x,y)
Y
X
y
x

85
Solución: Daremos nombres a los puntos y luego los ubicaremos en el plano.
𝐴 = (3,6)
𝐵 = (−1,5)
𝐶 = (4,2)
𝐷 = (−3, −5)
𝐸 = (1, −2)
𝐹 = (−2, −1)
Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos cualesquiera del plano, 𝐴(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2), su distancia
|𝐴𝐵|, está dada por la expresión:
|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Y es igual a la longitud del trazo 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
Ejemplos: a) Calcula la distancia entre los puntos 𝐴(2 , −3) y 𝐵(5, 1) del plano.
Solución: Identificamos a (2, −3) = (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (5,1) = (𝑥2, 𝑦2). Así
|𝐴𝐵| = √(5 − 2)2 + (1 − (−3))
2
= √32 + 42 = √25 = 5
Con esto, la distancia entre los puntos A y B es 5.
b) Encontrar la distancia entre los puntos 𝐴(−1 , −2) y 𝐵(4, −6) del plano.
Solución: Identificamos a (−1, −2) = (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (4, −6) = (𝑥2, 𝑦2). Así
|𝐴𝐵| = √(4 − (−1))
2
+ ((−2) − (−3))
2
= √52 + 12 = √26
Con esto, la distancia entre los puntos A y B es √26.
La razón por la cual la formula
viene dada por una raíz, es
debido a que tomando ambos
puntos y un tercero formado
por las proyecciones, formamos
el siguiente triangulo
Y lo que hacemos es usar el
Teorema de Pitágoras, donde
los cateto son (𝑥2 − 𝑥1) y
(𝑦2 − 𝑦1) y la hipotenusa es la
distancia que queremos
encontrar.
Figura 2: Ubicación de Puntos

86
División de un segmento en una razón dada
Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2 , 𝑦2) son los extremos de un segmento 𝑃1𝑃2, las
coordenadas (𝑥 , 𝑦) de un punto 𝑃 que divide a este segmento en la razón dada
𝑟 = 𝑃1𝑃
̅̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝑃2
̅̅̅̅̅ son
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
1 + 𝑟
, 𝑦 =
𝑦1 + 𝑟𝑦2
1 + 𝑟
, 𝑟 ≠ −1
En el caso particular en que 𝑃 es el punto medio del segmento dirigido 𝑃1𝑃2 , es
𝒓 = 1, de manera que 1os resultados anteriores se reducen a
𝑥 =
𝑥1 + 1 ∙ 𝑥2
1 + 1
=
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦 =
𝑦1 + 1 ∙ 𝑦2
1 + 1
=
𝑦1 + 𝑦2
2
Según esto tenemos la siguiente definición:
Definición 2: Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos
puntos extremos son (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) son
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
Observaciones:
1. En Geometría elemental. las relaciones se escriben sin considerar el signo. En
Geometría analítica, en cambio, las razones deben ser consideradas con su
signo, ya que estamos tratando con segmentos rectilíneos dirigidos.
2. Al usar las fórmulas, debe cuidarse de que la sustitución de las coordenadas sea
correcta, sin cambiar el orden pre-establecido.
3. Si el punto de división 𝑃 es externo al segmento dirigido 𝑃1𝑃2, la razón 𝑟 es
negativa.
Ejemplo:
1. Si 𝑃1(−4, 2) y 𝑃2(4, 6) son los puntos extremos
del segmento dirigido 𝑃1𝑃2, hallar las coordenadas
del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en
la razón 𝑃1𝑃
̅̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝑃2
̅̅̅̅̅ = −3.
Solución. Como la razón 𝑟 es negativa, el punto de
división 𝑃 es externo, tal como se indica en la figura.
Aplicando lo anterior, obtenemos
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
1 + 𝑟
=
−4 + (−3) ∙ 4
1 + (−3)
= 8
𝑦 =
𝑦1 + 𝑟𝑦2
1 + 𝑟
=
2 + (−3) ∙ 6
1 + (−3)
= 8

87
Una empresa de construcción necesita saber la distancia que existe entre la plaza
de Punta Arenas y el museo regional para realizar un tendido eléctrico, el cual
puede ser aéreo o subterráneo.
Suponiendo que el tendido aéreo y el subterráneo tienen el mismo precio por
metro, ¿Cuál le convendría a la empresa?
DESARROLLO:
a) Identificar de datos:
- Distancia entre la Plaza de Punta
Arenas y el Museo Regional.
- Se representara la ciudad en un
plano cartesiano y se calculara la
distancia entre los puntos.
- Si el tendido es subterráneo la
distancia entre la plaza y el museo, se
marca en rosa.

88
- Luego la distancia horizontal se
calcula como: 5 – 4 = 1 y la distancia
vertical: 4–3 = 1
- Por lo tanto, si el tendido es
subterráneo la distancia entre la plaza y el
museo es de 2 [u].
- Ahora, si el tendido es aéreo, la
distancia entre la plaza y el museo, se
señala en verde:
- Entonces, la distancia aérea se calcula como
d = √(5 − 4)2 + (4 − 3)2 = √2 ≈ 1,4
- Por lo tanto, si el tendido es aéreo la distancia entre la plaza y el museo es de
aproximadamente 1,4 [u].
Como el tendido aéreo y el subterráneo cuestan lo mismo, conviene más el
tendido aéreo, ya que la distancia es menor.
Recuerda que:
La distancia entre dos puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2),
se calcula como:
𝑑𝑃𝑄 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

89
1. Sean 𝐴(3,5) ; 𝐵(−2,1) ; 𝐶(4, −3) ; 𝐷(−5, −1)
a) Dibujar un plano cartesiano y ubicar los puntos.
b) Encontrar el perímetro del cuadrilátero.
2. Sean los puntos 𝐴(−3,6) ; 𝐵(𝑥, 1) ; 𝐶(4, 𝑦), encontrar los valores de 𝑥 e
𝑦, para que las distancias 𝐴𝐵
̅̅̅̅ y 𝐴𝐶
̅̅̅̅ sean iguales. ¿Son únicos los puntos?
3. Sean los puntos 𝐴(−2, −1); 𝐵(2, 2); 𝐶(5, −2)
a) Dibujar un plano cartesiano y ubicar los puntos
b) Probar que los puntos son los vértices de un triángulo isósceles.
c) Encontrar el perímetro del Triángulo.
4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto
(3. −2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. ¿es única la
solución?
5. Los puntos extremos de un segmento son 𝑃1(2, 4) y 𝑃2(8, −4). Hallar el
punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en dos partes tales que 𝑃1𝑃
̅̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝑃2
̅̅̅̅̅ =
− 2.
6. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑃1(7, 4) y 𝑃2(−1, −4). Hallar
la razón 𝑃2𝑃
̅̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝑃1
̅̅̅̅̅ en que el punto 𝑃(1, −2) divide a1 segmento.
7. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto
medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.
8. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑃1(7, 4) y 𝑃2(−1, −4). Hallar
la razón 𝑃1𝑃
̅̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝑃2
̅̅̅̅̅ en que el punto 𝑃(1, −2) divide a1 segmento.
9. a) Encontrar los puntos medios de los lados del cuadrilátero del ejercicio
n°1.
b) Encontrar los puntos medios de los lados del triángulo del ejercicio n°3
10. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1).
Hallar las coordenadas de los tres vértices.

90
Pendiente de la recta
Para comenzar a definir la ecuación de la recta, necesitamos un concepto
importante, que es la pendiente de la recta.
Definición 2:
Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del
eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba.
Así, de acuerdo con la definición, el ángulo de inclinaci6n de la recta 𝑙 es 𝛼, y el de
𝑙′ es 𝛼′. (Figura 4). Evidentemente, 𝛼 puede tener cualquier valor comprendido
entre 0° y 180°; es decir, su intervalo de variación está dado por
0° ≤ 𝛼 ≤ 180°
Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica, emplearemos más la
tangente del ángulo de inclinaci6n que el ángulo mismo. Así:
Definición 3:
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de
inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra 𝑚.
Por tanto, podemos escribir
𝑚 = tan(𝛼)
Por las definiciones anteriores, se ve que la pendiente puede tornar todos los
valores reales. Si 𝛼 es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta 𝒍 en la
figura 4; si 𝛼′ es obtuso, como para la recta 𝒍′, la pendiente es negativa.
Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y seria perpendicular a1 eje X, y
su ángulo de inclinación será de 90°. Como tan 90° no está definida, la pendiente
de una recta paralela al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda
recta perpendicular al eje X no tiene pendiente.
Figura 4: Angulo de una Recta
Para probar esta fórmula, basta
con observar el dibujo.
Vemos que al tener los puntos,
formamos un triángulo.
Por la definición de la tangente
en un triángulo rectángulo, se
tiene que:
tan(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Y vemos que las diferencias
mostradas en la formula,
corresponden precisamente a
estos catetos.

91
Para encontrar este valor, solo conociendo 2 puntos por los cuales pasa esta recta,
es que daremos la siguiente definición
Definición 4:
Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥1, 𝑦2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta,
entonces la pendiente de la recta es
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
; 𝑥1 ≠ 𝑥2
Observaciones:
1. El valor de m dado por la f6rmula anterior, no está definido analíticamente para
𝑥1 = 𝑥2. En este caso, la interpretación geométrica es que una recta determinada
por dos puntos diferentes con abscisas iguales es paralela al eje Y, y por tanto,
como se mencionó anteriormente, no tiene pendiente.
2. El orden en que se toman las coordenadas en la formula, no tiene importancia.
Ya que
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
Aunque debemos ser cuidadosos, ya que hay un error muy frecuente de tomar las
ordenadas en un orden y las abscisas en el orden contrario, y esto hace un cambio
el signo de la pendiente.
Ejemplo: Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por
los puntos (1,6) y (5, − 2).
Solución. Esta recta se muestra en la figura 5. Por la formula anterior, tenemos
para la pendiente,
𝑚 =
6 − (−2)
1 − 5
=
8
−4
= −2
Para el ángulo se tiene, tan(𝛼) = −2 ⇒ 𝛼 = arctan(−2) = 116°34′

92
Angulo de dos rectas.
Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por la fórmula
tan 𝜃 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1 ∙ 𝑚2
; 𝑚1 ∙ 𝑚2 ≠ −1
en donde 𝑚1 es la pendiente inicial y 𝑚2 la pendiente final correspondiente al
ángulo θ.
Ejemplo:
Observación:
1. Si 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 entonces la formula no se utiliza y diremos que estas rectas
son perpendiculares.
2. Si 𝑚1 = 𝑚2 entonces la formula nos dará que la tan 𝜃 = 0, lo cual indica que
𝜃 = 0° 𝑜 𝜃 = 180° , y eso nos dice que las rectas son paralelas.
Ambos casos se definen a continuación
1. Demostrar que los tres puntos (12, 1); (−3, −2); (2, −1) son colineales, es
decir, que están sobre una misma línea recta (ver pendiente).
2. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto
de la recta es 4. Hallar su ordenada.
3. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos
(2, 5); (7, 3); (6, 1) y (0,0).
4. Una recta pasa por los dos puntos (−2, −3); (4, 1). Si un punto de abscisa
10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?
5. Hallar la ecuación que debe satisfacer cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que
pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, −1) y que tiene una pendiente igual
a 4.
6. Probar que los tres puntos (2, 5); (8, −1) y (−2, 1) son los vértices de un
triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.
7. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que
pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos (2, −1); (7, 3)

Geometría analítica y euclidiana: conceptos básicos

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