Menon issue 2nd_special_052016

Ἔχεις μοι εἰπεῖν, ὦ
Σώκρατες, ἆρα
διδακτὸν ἡ ἀρετή; ἢ
οὐ διδακτὸν ἀλλ’
ἀσκητόν; ἢ οὔτε
ἀσκητὸν οὔτε
μαθητόν, ἀλλὰ
φύσει παραγίγνεται
τοῖς ἀνθρώποις ἢ
ἄλλῳ τινὶ τρόπῳ
UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA
FACULTY OF EDUCATION
MENON
©online
Journal Of Educational Research
A National and International Interdisciplinary Forum
for Scholars, Academics, Researchers and Educators
from a wide range of fields related to
Educational Studies
The Use of History of Mathematics in
Mathematics Education
2nd Thematic Issue
Florina, May 2016

MENON
©online Journal Of Educational Research
2
MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494]
http://www.edu.uowm.gr/site/menon
2nd THEMATIC ISSUE
05/2016
ABOUT MENON
ABOUT MENON
The scope of the MENON is broad, both
in terms of topics covered and
disciplinary perspective, since the
journal attempts to make connections
between fields, theories, research
methods, and scholarly discourses, and
welcomes contributions on humanities,
social sciences and sciences related to
educational issues. It publishes original
empirical and theoretical papers as well
as reviews. Topical collections of articles
appropriate to MENON regularly
appear as special issues (thematic
issues).
This open access journal welcomes
papers in English, as well in German
and French. Allsubmitted manuscripts
undergo a peer-review process. Based
on initial screening by the editorial
board, each paper is anonymized and
reviewed by at least two referees.
Referees are reputed within their
academic or professional setting, and
come from Greece and other European
countries. In case one of the reports is
negative, the editor decides on its
publication.
Manuscripts must be submitted as
electronic files (by e-mail attachment in
Microsoft Word format) to:
mejer@uowm.gr or via the Submission
Webform.
Submission of a manuscript implies that
it must not be under consideration for
publication by other journal or has not
been published before.
EDITOR
 CHARALAMPOS LEMONIDIS
University Of Western Macedonia,
Greece
EDITORIAL BOARD
 ANASTASIA ALEVRIADOU
Greece
 ELENI GRIVA
Greece
 SOFIA ILIADOU-TACHOU
Greece
 DIMITRIOS PNEVMATIKOS
Greece
 ANASTASIA STAMOU
Greece
MENON © is published at
UNIVERSITY OF WESTERN
MACEDONIA – FACULTY OF
EDUCATION
Reproduction of this publication for educational
or other non-commercial purposes is authorized
as long as the source is acknowledged. Readers
may print or save any issue of MENON as long
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Copyright remains with the authors, who are
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providing the necessary credits.

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2nd THEMATIC ISSUE
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SCIENTIFIC BOARD LIST OF REVIEWERS
 Barbin Evelyne, University of Nantes, France
 D’ Amore Bruno, University of Bologna, Italy
 Fritzen Lena, Linnaeus University Kalmar Vaxjo,
Sweeden
 Gagatsis Athanasios, University of Cyprus, Cyprus
 Gutzwiller Eveline, Paedagogische Hochschule von
Lucerne, Switzerland
 Harnett Penelope, University of the West of England,
United Kingdom
 Hippel Aiga, University of Munich, Germany
 Hourdakis Antonios, University of Crete, Greece
 Iliofotou-Menon Maria, University of Cyprus,
Cyprus
 Katsillis Ioannis, University of Patras, Greece
 Kokkinos Georgios, University of Aegean, Greece
 Korfiatis Konstantinos, University of Cyprus, Cyprus
 Koutselini Mary, University of Cyprus, Cyprus
 Kyriakidis Leonidas, University of Cyprus, Cyprus
 Lang Lena, Universityof Malmo, Sweeden
 Latzko Brigitte, University of Leipzig, Germany
 Mikropoulos Anastasios, University of Ioannina,
Greece
 Mpouzakis Sifis, University of Patras, Greece
 Panteliadu Susana, University of Thessaly, Greece
 Paraskevopoulos Stefanos, University of Thessaly,
Greece
 Piluri Aleksandra, Fan S. Noli University, Albania
 Psaltou -Joycey Angeliki, Aristotle University of
Thessaloniki, Greece
 Scaltsa Matoula, AristotleUniversity of Thessaloniki,
Greece
 Tselfes Vassilis, National and
KapodistrianUniversity of Athens, Greece
 Tsiplakou Stavroula, Open University of Cyprus,
Cyprus
 Vassel Nevel, Birmingham City University, United
Kingdom
 Vosniadou Stella, National and Kapodistrian
University of Athens, Greece
 Woodcock Leslie, University of Leeds, United
Kingdom
The Editor and the Editorial
Board of the MENON: Journal
Of Educational Research thanks
the following colleagues for their
support in reviewing
manuscripts for the current
issue.
 Konstantinos Christou
 Charalampos Lemonidis
 Konstantinos Nikolantonakis
Design & Edit: Elias Indos

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EDITOR'S INTRODUCTORY NOTE
INTRODUCTION TO THEMATIC ISSUE
“The Use of History of Mathematics in Mathematics Education”
The question of the integration of the History of Mathematics in
Mathematics Education has been discussed since the 20th century by Educators
(Barwell, Brousseau, Freudental, Piaget), Philosophers (Bachelard),
Mathematicians (Klein, Poincare), and Historians of Mathematics (Loria,
Smith), who have supported the proposal and have given arguments on the
interest and challenges in school Mathematics courses.
Since the 1960s the use of the history of mathematics in mathematics
education has become more popular and many papers in scientific journals,
books, proceedings of conferences and groups of researchers have focused on
this in contrast to the paradigm of the “modern mathematics” reform. We can
find many didactical situations, mathematical problems, teaching series but also
empirical and theoretical studies, Master and Phd level dissertations on the role
and the ways of using historical, social and cultural elements in the teaching of
mathematics. During the 2nd International Congress on Mathematics Education
(ICME) in 1972 we have the creation of an International research group
(International study group on the relation between the History and Pedagogy
of Mathematics (HPM)) which organizes a congress every 4 years. The idea of a
European Summer University (ESU) on the Epistemology and History in
Mathematics Education started from the Instituts Universitaires de Formation
de Maîtres (IUFM) in France, and an ESU is organized every three years in
different European countries. Since 2009 in the context of the Congress of the
European Society for Mathematics Education (CERME) we have also the
appearance of a discussion group on The Role of History of Mathematics in
Mathematics Education: Theory and Research (WG 12). This group also
concentrates on empirical research. We should also mention the publication of
the ICMI study History in mathematics education: the ICMI study (Fauvel & van
Maanen, 2000) which presents the state of the art until this period.
Since the publication of this study, researchers address in a more
demanding way questions about the efficacy and pertinence of many efforts
(examples) of applications in classrooms. They are also wondering about the
transferability of positive experiences from educators on different levels of
education. They are considering questions on the capacity of students but also
of educators when they were in front of the difficulties of studying the
historical aspect of many notions.
Recently researchers΄ activities are moving to investigations in terms of
didactic and educational foundations from which they believe that it could be

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2nd THEMATIC ISSUE
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possible to think better about the role of the history of mathematics in the
teaching and learning of mathematics and the development of theoretical and
conceptual frameworks which could provide the required equipment for the
production of finer and more focus investigations.
These issues include, among others, the educational and teaching
foundations of a cultural-historical perspective in the classroom, the need to
give voice to community stakeholders about the introduction and more
broadly, the nature and the terms of the empirical investigation prevailing in
the research environment.
Parallel to these advancements in research, an attempt to humanize
Mathematics is increasingly present in the mathematics curricula worldwide.
For over 20 years, the presence of the history of mathematics in training
teachers’ environments has increased considerably in many countries.
However, despite the different objectives associated with the introduction of
the history of mathematics in training mathematics teachers, this presence,
implicit or explicit, took the form of specific initiatives for each establishment of
teacher training.
By browsing through the literature since 1990, it is possible to classify the
empirical studies on the use of history in the mathematics classroom into two
categories: studies that relate to the narrative of grounded experiences and
quantitative studies on a larger scale.
Overall, it appears necessary to restore the research field on the introduction
of History in the teaching and learning of mathematics within Didactics of
mathematics and more generally with the educational sciences. This
repositioning should enable research to get inspired from the contexts of the
exploratory work from Humanities as well as theoretical, conceptual and
methodological issues from the Didactics of mathematics and educational
sciences.
This issue includes eight invited papers. Six papers are written in English
and two in French. Each text is accompanied by an abstract in English. The
following papers discuss specific issues in the domain of Using History of
Mathematics in Mathematics Education and are ordered according to the
instructional level; from elementary school to the university and in service
teachers training.
 Evelyne Barbin suggests a new thinking on technique, proposed in the
texts of Simondon and Rabardel. Her purpose, in introducing an
historical instrumental approach of geometrical teaching for students
aged 11-14 years, is to show how an instrument can be conceived both as
an invention to solve problems and as a knowledge or theorem in action.
In particular, she stresses the links between different varieties of
instruments and different kinds of knowledge and shows the
consequences of an instrumental failure for the construction of new
knowledge. Her goal is a coherent using where teaching is based on
families of instruments.

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 Matthaios Anastasiadis and Konstantinos Nikolantonakis describe the
context of an instructional intervention focused on isoperimetric figures
and area-perimeter relationships with the use of one historical note and
two primary sources, from Pappus’ Collection and from Polybius’
Histories. Their findings are based on classroom observations, worksheets
and interviews with sixth grade Greek students.
 Vasiliki Tsiapou and Konstantinos Nikolantonakis present part of a
research study that intended to use the Chinese abacus for the
development of place value concepts and the notion of carried number
with sixth grade Greek students.
 Ingo Witzke, Horst Struve, Kathleen Clark and Gero Stoffels describe
how the concepts of empirical and formalistic belief systems can be used to
give an explanation for the transition from school to university
mathematics during an intensive Seminar. They stress the usefulness of
this approach by outlining the historical sources and the participants’
activities with the sources on which the seminar is based, as well as some
results of the qualitative data gathered during and after the seminar.
 David Guillemette tries to highlight some difficulties that have been
encountered during the implementation of reading activities of historical
texts in the preservice teachers training context. He describes a history of
mathematics course offered at the Université du Québec à Montréal,
with reading activities that have been constructed and implemented in
class and the efforts made by the students and the trainer to articulate
both synchronic and diachronic reading, in order to not uproot the text
and his author from their socio-historical and mathematical context.
 Michael Kourkoulos and Constantinos Tzanakis present and analyze a
teaching work on Pascal's wager realized with Greek students,
prospective elementary school teachers, in the context of a probability
and statistics course. They focus on classroom discussion concerning
mathematical modeling activities, connecting elements of probability
theory and decision theory with elements of philosophical discussions.
 Areti Panaoura examines in-service teachers’ beliefs and knowledge
about the use of the history of mathematics in the framework of the
inquiry-based teaching approach at the educational system of Cyprus,
and the difficulties teachers face in adopting and implementing this
specific innovation in primary education.
 Snezana Lawrence offers ideas for teachers to engage with mathematics
through the historical ‘journeys’ and relationship with art and cultural
and intellectual history. She treats the question of how teachers could
find their own ‘mathematical’ voice through series of historical
investigations and what impact that may have on their teaching and
pupils’ progress.

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Aknowledgements
Firstly, I would like to express my warmest thanks to Christina Gkonou1 for
her precious efforts to read and ameliorate the English texts.
Secondly, I would also like to express my thanks to the Editorial Committee
of Menon Journal for giving me the chance to work this Thematic Issue on
the field of Using History in Mathematics Education.
Finally, I would like to express my grateful thanks to my Colleagues who
sustain with their papers this publication.
The Editor of the 2nd Thematic Issue of
MENON: Journal for Educational Research
Konstantinos Nikolantonakis
Associate Professor
University of Western Macedonia
Greece
1 Christina Gkonou is Lecturer in Teaching English as a Foreign Language in the Department of Language
and Linguistics at the University of Essex, UK. She received her BA from Aristotle University and her MA
and PhD from the University of Essex. Her research interests are in foreign language pedagogy and the
psychology of language learning and teaching.

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2nd THEMATIC ISSUE
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CONTENTS
CONTENTS
9-30 Εvelyne Barbin
L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET
CONNAISSANCE-EN-ACTION
31-50 Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis
PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT
ISOPERIMETRY: A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX
51-65 Vasiliki Tsiapou, Konstantinos Nikolantonakis
THE DEVELOPMENT OF PLACE VALUE CONCEPTS AND THE
NOTION OF CARRIED NUMBER AMONG SIXTH GRADE STUDENTS
VIA THE STUDY OF THE CHINESE ABACUS
66-93 Ingo Witzke, Horst Struve, Kathleen Clark, Gero Stoffels
ÜBERPRO – A SEMINAR CONSTRUCTED TO CONFRONT THE
TRANSITION PROBLEM FROM SCHOOL TO UNIVERSITY
MATHEMATICS, BASED ON EPISTEMOLOGICAL AND HISTORICAL
IDEAS OF MATHEMATICS
94-111 David Guillemette
QUELQUES DIFFICULTÉS RENCONTRÉES DANS LA FORMATION
DES ENSEIGNANTS DE MATHÉMATIQUES DU SECONDAIRE À
L’AIDE DE L’HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES: UNE RÉFLEXION
SUR LES MODALITÉS DE LECTURES DE TEXTES HISTORIQUES
112-129 Michael Kourkoulos, Constantinos Tzanakis
DISCUSSING MATHEMATICAL MODELING CONCERNING
PASCAL'S WAGER
130-145 Areti Panaoura
THE HISTORY OF MATHEMATICS DURING AN INQUIRY-BASED
TEACHING APPROACH
146-158 Snezana Lawrence
THE OLD TEACHER EUCLID: AND HIS SCIENCE IN THE ART OF
FINDING ONE’S MATHEMATICAL VOICE

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L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET
CONNAISSANCE-EN-ACTION
Εvelyne Barbin
Laboratoire LMJL & IREM - Université de Nantes
evelyne.barbin@wanadoo.fr
ABSTRACT
The role of instruments had been underestimated widely in history, including in the
case of the geometry, and that is linked with the Aristotelian partition between theory
and technique. In this paper we work with a new thinking on technique, proposed
recently in the texts of Simondon and Rabardel. To introduce an instrumental
approach of geometrical teaching for students aged 11-14 years, we choose to examine
beginnings of a geometrical thought in history. Our purpose is to show how an
instrument can be conceived both as an invention to solve problems and as a
knowledge or theorem in action. With some examples, we analyze the dynamical
process by which an instrument can be involved in the introduction of geometrical
notions and in the construction of mental schemes. In particular, we stress on the links
between different varieties of instruments and different kinds of knowledge and we
show the consequences of an instrumental failure for construction of new knowledge.
Our goal is not a heteroclite using of instruments in teaching but a coherent using
where teaching is based on families of instruments.
Keywords: geometry, instruments, measurement of distances, technics, trisection of
angle
1. INTRODUCTION
Le rôle des instruments dans l’histoire des mathématiques a été largement
sous-estimé, y compris pour ce qui concerne l’histoire de la géométrie. Plus
largement, nous avons été longtemps tributaires de la séparation
aristotélicienne entre la technique qui est ‘poïétique’, c’est-à-dire du côté de
l’action, de la science, qui est ‘théorétique’, c’est-à-dire du côté de la
contemplation et de la spéculation (Aristote 1991: 4-9). C’est ainsi que, par
exemple, tout rôle des techniques dans la révolution scientifique du XVIIe siècle
(Barbin 2006: 9-44) a été refusé par Alexandre Koyré. Les figures de la
géométrie grecque ont été rattachées à une conception purement idéale, qui est
héritée d’écrits platoniciens et qui les rattache uniquement au discours
axiomatique des Éléments d’Euclide.
Une nouvelle pensée de la technique a été proposée par le philosophe
Gilbert Simondon, qui écrit dans son ouvrage Du mode d’existence des objets
techniques:”il semble que cette opposition entre l'action et la contemplation,
entre l'immuable et le mouvant, doive cesser devant l'introduction de
l'opération technique dans la pensée philosophique comme terrain de réflexion

Εvelyne Barbin
L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-
ACTION 10
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et même comme paradigm” (Simondon 1969: 256). Dans cet article, nous
reprenons les réflexions de Simondon sur les objets techniques pour les
rapporter aux instruments mathématiques dans leur histoire, ainsi que celles du
psychologue Pierre Rabardel qui publie en 1995 Les hommes et les technologies:
approche cognitive des instruments contemporains, où il fait état des écrits de
Simondon et de travaux concernant le travail, la connaissance et l’action.
L’ouvrage de Rabardel a subi une transposition didactique dans des écrits
récents, qui tendent à simplifier, à réifier, et à mettre de côté les propos de
l’auteur, sur le sujet connaissant et sur ‘les autres’, propos qui intéressent en
revanche l’épistémologie et l’histoire des mathématiques. Pour servir à une
approche instrumentale de l’enseignement, nous avons choisi de nous
restreindre à des instruments correspondant aux débuts de la construction
d’une pensée géométrique dans l’histoire, et qui s’adressent à l’enseignement
des élèves du cycle 3 en France (9 ans-12 ans).
2. L’INSTRUMENT COMME INVENTION ET L’ÉDIFICATION DE LA
GÉOMÉTRIE
Un instrument mathématique, comme tout instrument technique, apparaît
d’emblée comme le résultat d’une invention et son fonctionnement suppose,
pour être possible, cette invention (Barbin 2004: 26-27). Simondon écrit à propos
de l’objet technique: “l’objet qui sort de l’invention technique emporte avec lui
quelque chose de l’être qui l’a produit […] ; on pourrait dire qu’il y a de la
nature humaine dans l’être technique” (Simondon 1969: 248). Cette approche
indique que l’instrument peut, mieux que le discours, apporter une forme
dynamique à la connaissance qui est sous-jacente au fonctionnement d’un
instrument. De plus, l’invention, tout comme la science, est la réponse à un
problème. Rabardel écrit à propos de l’artefact: “l’artefact concrétise une
solution à un problème ou à une classe de problèmes socialement poses”
(Rabardel 1995: 49). Pour lui, l’artefact désigne largement toute chose
transformée par un humain, tandis que l’instrument désigne “l’artefact en
situation dans un rapport à l’action du sujet, en tant que moyen de cette action”
(Rabardel 1995: 49). L’artefact n’est donc pas ‘un outil nu’, comme l’écrit Luc
Trouche (Trouche 2005: 265), dans la mesure où il porte avec lui la solution à un
problème et, activé dans une situation analogue à celle qui a présidé à son
invention, il devient un instrument de réponse à ce problème.
En accord avec l’importance que nous accordons au problème, nous
considérons donc que c’est l’enseignement qui donnera son sens à l’instrument
et non l’instrument qui donnera le sien à l’enseignement, à l’instar de ce que
Simondon écrit à propos des rapports entre le travail et l’objet technique.
L’histoire du baromètre, que l’on attribue au physicien Ernest Rutherford, est
une manière amusante d’illustrer ce propos. Elle raconte que l’on a demandé à
un étudiant de mesurer la hauteur d’un immeuble à l’aide d’un baromètre.
L’étudiant est monté en haut de l’édifice et ayant attaché le baromètre à une
corde, il a descendu la corde et l’a remontée pour mesurer la longueur de la

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ACTION 11
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corde descendue. Le professeur le recale, mais il lui donne une chance de se
rattraper: il faut qu’il fasse preuve de connaissance physique. L’étudiant monte
alors en haut de l’édifice et laisse tomber le baromètre, il mesure le temps de
chute avec un chronomètre et il applique la loi de chute pour trouver la
longueur de la chute. Il est admis à l’examen et il indique qu’il a d’autres
réponses: en faisant osciller le baromètre comme un pendule ou en comparant
la hauteur de l’ombre du baromètre à celle de l’immeuble. L’étudiant ajoute que
la meilleure solution est de sonner chez le concierge de l’immeuble et de lui
dire: “si vous me donnez la hauteur de l’immeuble, je vous donne ce superbe
baromètre”. Rappelons que lorsque Blaise Pascal a fait entreprendre
l’expérience du Puy de Dôme, son problème n’était pas d’en mesurer la
hauteur, mais de montrer qu’il y avait du vide en haut du tube du dispositif de
Torricelli.
Quels sont les problèmes qui ont accompagné la genèse d’une science
géométrique? Le terme de géométrie signifie ‘mesure de la terre’, il renvoie à
l’arpentage, qui consiste, pour mesurer les terrains, à reporter un bâton et à
compter le nombre de reports. Mais la géométrie grecque a été au-delà de
l’arpentage. Les historiens attribuent aux Ioniens, au VIe siècle avant J.-C., la
solution du problème de déterminer la distance d’un bateau en mer.
L’arpentage avec un bâton est inadéquat, mais”quand les techniques échouent
la science est proche” (Simondon 1969: 246). Pour résoudre le problème, il faut
ruser: les Ioniens ont utilisé un dioptre, c’est-à-dire un instrument de visée, qui
pouvait être un cadran sur lequel tourne une partie flexible autour d’une partie
maintenue verticale grâce à un fil à plomb (fig. 1). En montant sur un endroit
élevé, il est possible de faire une visée vers le bateau en orientant la partie
flexible du dioptre. Ensuite, il faut se retourner en gardant la même inclinaison
et viser un point sur le sol. Deux nouveaux gestes pour résoudre le problème:
une visée et un retournement qui balaie l’espace. Le problème est résolu parce
que le sujet géomètre a remplacé le ‘schème primitive’, celui du report de
l’arpentage, par un processus d’instrumentation au sens de Rabardel. Un
nouveau schème est formé, qui englobe non seulement des mesures de
distances mais des visées, qui relie des visées et des distances. En quoi consiste
ce schème? Par quel processus l’instrument et le nouveau schème sont-ils
potentiellement porteurs d’une connaissance géométrique?
Figure 1. Le cadran ionien

Εvelyne Barbin
ACTION 12
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La géométrie a pour objet de voir et de faire voir ce que l’on pense. Il faut
d’abord représenter la situation. En détachant du réel les éléments essentiels à
sa compréhension, on réalisera un schéma (fig. 2), puis une mise en figure
composée de droites permettra de connecter ces éléments essentiels (fig. 3). Sur
cette figure, certaines droites représentent des distances concrètes, mais pas
celles qui correspondent aux rayons visuels. Pour tenir un discours qui explique
la solution à un autre (qui le demanderait), il faut dire ce qui est maintenant
représenté par un espace entre deux droites et qui correspond à ce qui est une
‘vise’ dans le contexte instrumental. Cet espace a une signification dans le
contexte du problème et il est relié à une distance: on l’appellera un ‘angle’. La
notion d’angle est attribuée aux Ioniens. Cette notion n’est pas présente dans les
mathématiques égyptiennes, dont ont hérité les Grecs, y compris dans les
problèmes de pente de pyramide.
Figure 2. La distance d’un bateau en mer: schéma
Figure 3. La distance d’un bateau en mer: figure
Le schème consiste en une connaissance sur la figure: l’égalité des angles
implique l’égalité des distances. Nous appellerons schème géométrique (ou
simplement schème) une connaissance qui coordonne des éléments d’une
configuration géométrique particulière, et qui peut être activée, transformée ou
généralisée par re-connaissance de cette configuration dans des situations
variées. Pour démontrer (à un autre qui n’en serait pas convaincu) que l’égalité
des angles implique l’égalité de droites, il faudrait encore introduire les notions
de triangle et d’égalité de triangles, puis des lettres pour désigner les éléments
de la figure. La géométrie qui s’édifie ainsi est une science qui raisonne sur des

Εvelyne Barbin
ACTION 13
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grandeurs pour les comparer. La dioptre est une connaissance-en-action parce
que son fonctionnement demande l’effectuation de gestes et l’activation d’un
schème qui reprennent ceux de l’invention et qui seront repris dans d’autres
situations problématiques. Ici, la connaissance instrumentale et la science
procèdent de manière identique.
Examinons maintenant l’instrument scolaire qui est associé à l’angle, c’est-à-
dire le rapporteur (fig. 4), et son usage. Il est demandé aux élèves de mesurer
des angles, c’est-à-dire de dire des nombres qui correspondent (plus ou moins)
à un angle dessiné ou de dessiner des angles qui valent 30°, 45°, etc. Le
rapporteur est un outil qui sert essentiellement dans le contexte de dessins de
figures qui n’ont pas toujours ou peu un statut de représentation d’une
situation. Tant qu’il reste dans ce cadre numérique étroit, le rapporteur est peu
susceptible de provoquer des raisonnements géométriques. Il vaut d’ailleurs
mieux que l’élève l’oublie quand il lui sera adjoint de ‘démontrer’. Il en va
différemment si un élève demande, ce qui n’est pas rare, pourquoi les angles
sont mesurés de la même façon, quelle que soit la taille du rapporteur. La
réponse à cette question est une connaissance: le rapport de l’arc intercepté par
un angle au centre à la circonférence tout entière est le même, quel que soit le
rayon du cercle. Avec cette réponse, le rapporteur devient une connaissance-en-
action.
Figure 4. Un rapporteur
Avec les deux instruments examinés, nous avons abordé le rôle de ‘l’autre’,
qui dans chacun des deux cas questionne. Cette intrusion n’est pas artificielle
dans l’histoire, où les instruments sont inventés et discutés par des hommes.
Lorsque Rabardel décrit les relations entre les trois pôles constitués par le sujet,
l’instrument et l’objet, il indique bien la composante essentielle qui est
l’environnement. Puis plus loin, il enchérit avec un ‘modèle’ incluant les autres
sujets. Ce modèle SACI (fig. 5) des ‘situations d’activités collectives
instrumentées’ devrait également attirer l’intérêt des didacticiens (Rabardel
1995: 62).

Εvelyne Barbin
ACTION 14
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Figure 5. Modèle SACI d’après Pierre Rabardel
3. GENÈSE INSTRUMENTALE ET CONNAISSANCE-EN-ACTION
L’invention d’un instrument à partir d’un autre et la mise en connexion des
instruments entre eux sont deux processus que nous pouvons explorer dans
l’histoire des mathématiques. Nous les analyserons en reprenant les notions
d’instrumentation et d’instrumentalisation proposées par Rabardel qui
concernent la production de nouveaux artefacts et de nouveaux schèmes. Il
écrit : ”un processus de genèse et d’élaboration instrumentale, porté par le sujet
et qui, parce qu’il concerne les deux pôles de l’entité instrumentale, l’artefact et
les schèmes d’utilisation, a lui aussi deux dimensions, deux orientations à la fois
distinguables et souvent conjointes : l’instrumentalisation dirigée vers l’artefact
et l’instrumentation relative au sujet lui-même” (Rabardel 1995 : 109). Il
caractérise le premier processus comme “un processus d’enrichissement des
propriétés de l’artefact par le sujet” (Rabardel 1995: 114) ou encore comme une
transformation de l’artefact par le sujet. Tandis qu’il caractérise le processus
d’instrumentation en constatant que “la découverte progressive des propriétés
(intrinsèques) de l’artefact par les sujets s’accompagne de l’accommodation de
leurs schèmes, mais aussi de changements de signification de l’instrument
résultant de l’association de l’artefact à de nouveaux schemes” (Rabardel
1995:116). Le schéma ci-dessous (fig. 6) indique que les deux processus sont
effectivement ‘portés par le sujet’ et orientés vers le sujet ou l’artefact, “dans un
même processus de genèse et d’élaboration instrumentale”.
Figure 6. La genèse instrumentale

Εvelyne Barbin
ACTION 15
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Avec la transposition en didactique effectuée par Luc Trouche, la place du
sujet n’est plus la même et le processus d’instrumentalisation va de l’artefact
vers le sujet (fig. 7). Pourtant Rabardel precise: “ces deux types de processus
sont le fait du sujet. L’instrumentalisation par attribution d’une fonction à
l’artefact, résulte de son activité, tout comme l’accommodation de ses schèmes.
Ce qui les distingue c’est l’orientation de cette activité. Dans le processus
d’instrumentation elle est tournée vers le sujet lui-même, alors que dans le
processus corrélatif d’instrumentalisation, elle est orientée vers la composante
artefact de l’instrument” (Rabardel 1995: 111-112).
Figure 7. La genèse instrumentale d’après Trouche
Trouche écrit que “Rabardel distingue, dans la genèse d’un instrument,
deux processus croisés, l’instrumentation et l’instrumentalisation:
l’instrumentalisation est relative à la personnalisation de l’artefact par le sujet,
l’instrumentation est relative à l’émergence des schèmes chez le sujet (c’est-à-
dire à la façon avec laquelle l’artefact va contribuer à préstructurer l’action du
sujet, pour réaliser la tâche en question)” (Trouche 2015: 267). Les termes en
italiques sont le fait de l’auteur, mais celui-ci n’indique pas de pagination en
référence à l’ouvrage de Rabardel. Les conceptions d’un sujet qui ‘personnalise’
l’artefact, tandis que l’artefact ‘préstructure’ l’action du sujet, doivent être
rapprochées du projet de l’auteur, à savoir « de guider et intégrer les usages des
outils de calcul dans l’enseignement mathématiques ». En effet, qu’il s’agisse de
calculateur ou d’ordinateur, le sujet ne peut prétendre modifier ce que nous
pouvons appeler ‘machines’, plutôt qu’artefacts. Tandis que les exemples
nombreux donnés par Rabardel, y compris dans le cadre de formation de sujets,
concernent effectivement les modifications des artefacts et des schèmes.
3.1 De l’outil à l’instrument
L’analyse de processus historiques de modifications d’artefacts permet
d’approfondir la notion d’instrument comme connaissance-en-action. En effet,
il n’y a pas dans l’histoire de simultanéité de tous les instruments mais passage
de l’un à l’autre, avec parfois des crises ou des ruptures. En reprenant ce
qu’écrit Simondon à propos de la technique, nous dirons que l’éducation
mathématique ne doit pas “manquer ces dynamismes humains”, “il faut avoir
saisi l’historicité du devenir instrumental à travers l’historicité du devenir du

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sujet” (Simondon 1969: 107-109).
Nous possédons peu de témoignages ou de traces des premiers instruments
de la géométrie. De ce point de vue, l’ouvrage Géométrie de Gerbert d’Aurillac,
datant de l’an 1000, possède un rôle vicariant. L’auteur a été pape en Avignon,
il a voyagé en Espagne et il a ainsi pu connaître les sciences mathématiques
arabes. Il explique dans son ouvrage comment mesurer la largeur d’une rivière
avec un bâton, il s’agit donc encore ici d’un ‘problème de distance inaccessible’.
Les gestes à effectuer sont les suivants: Gerbert plante son bâton sur le bord de
la rivière, il s’éloigne du bord jusqu’à ce que son œil, l’extrémité du bâton et
l’autre bord de la rivière soient alignés. Comme précédemment, nous réalisons
un schéma qui représente la situation, puis une mise en figure lettrée qui permet
de formuler le schème opérant à condition d’adopter une échelle de proportion
(fig. 8). La configuration est constituée de deux triangles emboîtés pour lesquels
le rapport des côtés BD à CD est égal au rapport de BP à OP, on a la proportion
BD : CD :: BP : OP. Ce schème permet d’obtenir la distance BP, qui est la somme
de BD et de DP, à l’issue d’un calcul sur les grandeurs.
Figure 8. La largeur de la rivière par Gerbert
Ce schème intervient aussi dans le fonctionnement de la ‘lychnia’ (lanterne),
présentée au IIe siècle dans les Cestes de Jules l’Africain. Il s’agit d’une
accommodation pratique du bâton, plutôt que d’une genèse instrumentale: elle
comporte un bâton muni à son sommet d’un autre bâton qui peut tourner et qui
permet ainsi d’effectuer des visées plus aisées (fig. 9). Dans le traité Sur la
Dioptre, datant du Ier siècle, Héron d’Alexandrie présente un dioptre assez
semblable à la lychnia et il lui associe un autre outil: un poteau muni d’un
disque, qui peut coulisser le long du poteau. Il résout de nombreux problèmes
de distances inaccessibles (Barbin 2016) : mesurer des différences de niveaux,
joindre deux lieux qui ne sont pas visibles l’un pour l’autre, creuser un tunnel
connaissant ses extrémités, mesurer l’aire d’un champ en restant à l’extérieur
du champ, etc. L’adjonction de poteaux constitue une instrumentalisation, elle
ne modifie pas le schème primitif des triangles emboîtés. Mais la complexité des
problèmes s’accompagne de celle des figures, et les raisonnements demandent

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‘d’imaginer’ de nombreuses droites qui ne représentent pas d’objets tangibles
(fig. 10).
Figure 9. La lychnia de Jules l’Africain et la dioptre d’Héron d’Alexandrie
Gerbert écrit que “un géomètre doit toujours avoir un bâton avec lui”, mais
la possession de cet outil ne suffit pas pour obtenir la solution. Il faut de plus un
raisonnement extérieur à l’outil, qui est singulier pour chacune des utilisations
de l’outil. Examinons de ce point de vue un autre instrument de Gerbert. Il est
composé de deux bâtons, solidaires et perpendiculaires, dont les trois parties
ainsi déterminées sont égales (fig. 10). Pour mesurer la hauteur d’un édifice,
Gerbert aligne l’extrémité du bâton horizontal, le haut du bâton vertical et le
haut de l’édifice. Le schème précédent permet d’obtenir l’égalité de BH et HE, et
donc AB est égal à la somme de HE et FC. La distance HE est accessible par
arpentage et si FC est égal à 1 (par exemple), alors AB égale HE + 1. Notons que,
pour obtenir la solution, il faut adjoindre à la figure une droite HE, qui est le
témoin de la ruse et de la connaissance du géomètre. Cette droite ne représente
aucun élément tangible, elle est ‘imaginative’.
Figure 10. L’instrument de Gerbert
Nous dirons que nous avons affaire ici à un instrument, parce que Gerbert
incorpore dans la conception de son instrument une connaissance du géomètre:
l’instrument est instruit. Le mot instrument vient du mot latin instrumentum, qui
signifie matériel, outillage ou ressource et qui dérive du verbe instruere. Ce verbe,

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francisé en enstruire, donne disposer, outiller et équiper. Ainsi, les mots instrument
et instruire renvoient l'un à l'autre (Barbin 2004: 7-12). Le passage du bâton à
l’instrument peut-être compris comme un processus d’instrumentation, car
l’instrument incorpore le schème dans sa conception. Celui qui l’utilisera
tiendra en main une connaissance-en-action.
3.2 Connexions entre instruments et connaissances
Dans sa Protomathesis de 1532, Oronce Fine présente un instrument que nous
appelons aujourd’hui ‘équerre articulée’. Il est géomètre, astronome et
cartographe, il a enseigné les mathématiques au Collège Royal de Paris et il
publiera en 1556 un ouvrage de géométrie intitulé De re & Praxi geometrica.
Depuis le XIIIe siècle, les Éléments d’Euclide sont connus en Occident par une
traduction latine d’une traduction arabe et ils sont imprimés en 1482. Fine cite
le texte euclidien lorsqu’il présente son équerre articulée (Fine 1532: 67).
Illustration. Extrait de la Protomathesis d’Oronce Fine
L’instrument est composé d’un bâton qui sera dressé verticalement et de
deux bâtons perpendiculaires l’un à l’autre (les alidades) fixés au sommet du
bâton et qui peuvent tourner autour. Pour mesurer, par exemple, la largeur
d’une rivière, il faut poser l’instrument au bord de la rivière et viser à l’aide
d’une alidade l’autre bord de la rivière, puis viser à l’aide de la seconde alidade
un point qui se trouve de notre côté de la rivière, mais en terre ferme (fig. 11).
La distance entre ce point et la base du bâton est connue, ainsi que la hauteur
du bâton. Ceci suffit à connaître la largeur de la rivière.

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Figure 11. La largeur d’une rivière avec l’équerre articulée
En effet, si nous représentons sur une figure les droites intervenant dans la
situation, nous pouvons en extraire un triangle rectangle ABC et sa hauteur AH
(fig. 12). Cette configuration permet de formuler un nouveau schème, qui
correspond à l’un des théorèmes appartenant à la figure. En effet, ‘le théorème
de la hauteur du triangle rectangle’ affirme que, dans un triangle rectangle avec
l’angle droit en A et AH la hauteur, on a BH : AH :: AH : HC ou encore, la
hauteur AH égale le produit des segments déterminés sur la base, AH2 = BH 
HC. Par conséquent, HC s’obtient à partir de BH et AH, qui nous sont connus,
et si AH = 1 alors HC = 1 : BH. Ce théorème est la proposition 8 du Livre VI
d’Euclide (Euclide 1994: 176-179), il est déduit de la similarité des triangles
ABH et CAH, car deux triangles semblables (qui ont leurs angles égaux) ont
leurs côtés proportionnels. L’équerre articulée est une connaissance-en-action,
celle du théorème de la hauteur du triangle rectangle. Sa genèse correspond à la
fois à un processus d’instrumentation, car le schème correspond à une forme
plus complexe que celle des triangles emboîtés, et à un processus
d’instrumentalisation puisque l’usage de l’instrument est amélioré. Le nouveau
schème est une connaissance géométrique qui pourra intervenir dans d’autres
instruments. Rabardel écrit à ce propos que “L’instrument est un moyen de
capitalisation de l’expérience accumulée (cristallisée disent même certains
auteurs). En ce sens, tout instrument est connaissance” (Rabardel 1995: 73).
Figure 12 . Le théorème de la hauteur d’un triangle rectangle
Nous trouvons dans l’histoire de la géométrie, qu’on appelle pratique et que
nous préférons nommer instrumentale, de nombreux instruments de visée pour

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trouver des distances inaccessibles. Ils forment un monde d’individus liés les
uns aux autres, dont l’exploration est bien préférable pour l’enseignement, à
l’utilisation d’un seul d’entre eux. En effet, la dynamique instrumentale peut
introduire un ordre des connaissances qui constituera un apprentissage
dynamique de la déduction mathématique. Nous reprenons en ce sens ce que
Simondon formule pour la réalisation technique: elle “donne la connaissance
scientifique qui lui sert de principe de fonctionnement sous une forme
d’intuition dynamique appréhensible par un enfant même jeune, et susceptible
d’être de mieux en mieux élucidée, doublée par une compréhension discursive”
(Simondon 1969: 109).
4. DYNAMIQUE INSTRUMENTALE ET CONSTRUCTIONS DE
CONNAISSANCES
Depuis la géométrie grecque, la règle et le compas sont les outils de
construction des figures par excellence. Cependant, en conformité avec
l’héritage aristotélicien qui sépare la poïétique de la théorétique, Euclide ne
mentionne pas ces outils, ni aucun autre, mais son ouvrage contient de
nombreuses constructions de figures qui sont obtenues par intersections de
droites et cercles, au point qu’il peut être lu comme un ouvrage de
constructions tout autant que de théorèmes. Les Éléments répondent aux
préceptes aristotéliciens d’une science démonstrative, c’est-à-dire dans laquelle
chaque proposition est déduite soit d’un axiome (demande ou notion
commune), soit de propositions précédemment démontrées. Les premières
demandes sont “de mener une ligne droite de tout point à tout point” et “de
décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle” (Euclide
1994: 167-169). Les historiens ont discuté sur le rôle existentiel de ces demandes,
mais, de toute façon, mener une droite et décrire un cercle sont deux opérations
de base pour effectuer une construction concrète à l’aide d’outils de figures sur
lesquelles le géomètre spécule et raisonne. Il apparaît dès lors difficile de bannir
la considération de tout outillage dans l’interprétation des Éléments.
Il y a deux sortes de propositions dans les Éléments, les constructions (ce que
les Anciens appellent les problèmes) et les théorèmes. L’intrication entre les
deux sortes de propositions est forte et déterminée puisqu’un théorème sur une
figure ne peut pas être démontré sans que celle-ci et les lignes nécessaires à la
démonstration soient construites à la règle et au compas. Il est nécessaire aussi
que toute construction soit justifiée par des théorèmes démontrés
précédemment. Quelle conception prévaut à cette nécessité? Nous pouvons lire
une réponse dans le dialogue du Ménon de Platon qui permet de lier
l’édification de la géométrie grecque à un échec, à une impossibilité de dire qui
est compensée par une possibilité de montrer par une construction et par des
gestes.
Dans ce célèbre dialogue, Socrate expose à Ménon la théorie de la
réminiscence et il fait venir un esclave pour montrer que, par de simples
questions, il va conduire l’esclave à se ressouvenir. Il présente à l’esclave un

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carré de côté deux et donc d’aire quatre, puis il lui demande s’il est possible de
construire un carré d’aire double. Il continue en demandant quel serait le côté
d’un carré d’aire huit: “essaie de me dire quelle serait la longueur de chaque
ligne dans ce nouvel espace”. L’esclave essaie donc de dire: il dit d’abord
quatre, puis trois. Les deux tentatives échouent. Socrate modifie alors sa
demande: “taches de me le dire exactement, et si tu aimes mieux ne pas faire de
calculs, montre la nous”. Il ne s’agit plus de dire un nombre mais de montrer une
figure. Socrate construit étape par étape la figure, qui permet de montrer la
droite demandée. Il accole quatre carrés égaux au carré de départ, puis trace
dans chacun une diagonale (fig. 13). Les quatre diagonales délimitent le carré
cherché. Ainsi ce qui n'est pas dit exactement est construit exactement à la règle
et au compas. Socrate déplace l’objet de l’exactitude, du nombre à la figure.
Figure 13. La construction géométrique de la duplication d’un carré
4.1 Les compas
La seconde demande d’Euclide, de décrire un cercle, peut être satisfaite avec
une corde ou avec un ‘compas à balustre’ (avec un crayon et une pointe). Mais
un compas peut servir aussi à reporter des longueurs de segments. Dans ce cas,
un ‘compas à pointes sèches’ (sans crayon) est suffisant. L’opération de report
est nécessaire en géométrie, elle intervient dès les premiers théorèmes sur les
triangles. Aussi, dans la proposition 2 du Livre I, Euclide demande de placer en
un point donné A, un segment égal à un segment donné BC (Euclide 1994: 197).
Il donne les étapes de la construction: il faut joindre A et B, construire un
triangle équilatéral DAB sur AB (la construction est donnée dans la proposition
1), prolonger DA et DB, puis construire un cercle de centre B et de rayon BC et
un cercle de centre D et de rayon DG (avec G intersection du cercle précédent
avec le prolongement de DB) (fig. 15). Euclide démontre que l’intersection L de
ce dernier cercle avec le prolongement de DA répond au problème car AL est
égal à CB.

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Figure 14. Le report géométrique d’un segment
Le compas à balustre et le compas à pointes sèches sont deux outils
ressemblants d’un point de vue matériel, mais leurs fonctions sont différentes,
et la théorie montre comment l’une peut se ramener rationnellement à l’autre.
Nous allons examiner deux autres compas que nous qualifions d’instruments,
car chacun est une connaissance-en-action. Ils sont également ressemblants l’un
à l’autre d’un point de vue matériel et d’un usage très ancien chez les artisans.
On les retrouve décrits jusqu’à récemment, dans Le dictionnaire pratique de
Menuiserie, Ébénisterie, Charpente de Justin Storck, édité au début du XXe siècle.
Le ‘compas d'épaisseur’, joliment appelé ‘maître à danser’ à cause de sa
forme suggestive, est composé de deux tiges égales, croisées et articulées autour
de leur milieu. Il permet de mesurer le diamètre extérieur d'un cylindre ou d'un
flacon en y introduisant la partie inférieure de l’instrument, les pieds du ‘maître
à danser’ (fig. 15).
Figure 15. Le compas d’épaisseur ou maître à danser
Le problème est encore de trouver une longueur inaccessible à une mesure
exacte. Puisque les segments OA, Oa, OB et Ob sont égaux, et que les angles au
sommet O sont égaux, les deux triangles OAB et Oab sont égaux
(superposables) donc en mesurant AB, nous obtenons ab. La connaissance en
action présente dans la conception et le fonctionnement de l’instrument
correspond à la proposition IV du Livre I des Éléments d’Euclide (premier cas
d’égalité de deux triangles).

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Le ‘compas de réduction est composé de deux tiges égales, croisées et
articulées autour de leur intersection. La place de cette intersection est
modifiable grâce à des fentes placées sur les deux tiges et une fixation (fig. 16).
Ce compas permet d’obtenir une figure réduite d’une figure donnée, mais tout
aussi bien agrandie. En effet, supposons par exemple que l’on veuille réduire
une figure au tiers, il suffit de placer l’intersection O de telle sorte que aO et bO
soient le tiers de OA et OB. Pour réduire au tiers un segment quelconque, il faut
placer A et B à ses extrémités, alors a et b sont les extrémités du segment réduit.
La conception et le fonctionnement du compas de réduction manifestent une
connaissance-en-action, énoncée un peu plus haut. En effet, les triangles Oab et
OAB sont semblables, donc leurs côtés sont proportionnels, par conséquent ab
est le tiers de AB.
Figure 16. Le compas de réduction.
4.2 Échec instrumental et construction de connaissances
Nous allons examiner deux problèmes qui illustrent l’expression de
Simondon, “quand les techniques échouent la science est proche” (Simondon
1969: 246), et qui fournissent d’autres exemples d’inventions d’instruments et
de schèmes. Ils font partie des fameux problèmes à la règle et au compas que les
géomètres grecs ne sont pas parvenus à résoudre, ce sont la duplication d’un
cube et la trisection d’un angle. Dès la science grecque et durant des siècles, ils
vont connaître de très nombreuses solutions instrumentales et géométriques
(Barbin 2014: 87-146). Nous avons choisi de présenter des solutions anciennes
ou élémentaires.
Le problème de la duplication du cube consiste à construire le côté d’un
cube ayant un volume qui est double d’un cube donné. Il peut être considéré
comme une suite du problème de la duplication d’un carré, dont la solution est
obtenue à la règle et au compas grâce à la figure du Ménon, puisqu’un carré est
constructible. Selon Proclus, pour parvenir à la solution pour le cube, le
mathématicien grec du Ve siècle avant J.-C. Hippocrate de Chios ramène le
problème à un autre problème, celui de construire deux segments qui soient
moyennes proportionnelles entre un segment et son double, ou plus largement
entre deux segments quelconques. En écriture symbolique, nous cherchons à
construire deux segments x et y tels que a : x :: x : y :: y : b. Les Commentaires

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d'Eutocius d'Ascalon sur le traité de la sphère et du cylindre d’Archimède (Ve siècle)
indiquent différentes solutions de géomètres grecs, des instruments mais aussi
des constructions à l’aide des coniques, qui auraient été inventées à cet effet par
Ménechme (IVe siècle avant J.-C.) (Archimède 1969: 551-718).
Nous allons nous intéresser à l’instrument attribué à Platon en commençant
par examiner si effectivement, comme l’écrit Ératosthène, pour Hippocrate
“l’embarras fut changé en un autre et non moindre embarrass”. En effet, le
problème proposé par Hippocrate est une suite de la construction d’une
moyenne proportionnelle entre deux segments, qui s’effectue à la règle et au
compas. Étant donnés deux segments BH et HC mis bout à bout, il suffit de
construire à la règle et au compas le milieu de BC, le demi-cercle de diamètre
BC et la hauteur en H à BC. Si A est l’intersection du demi-cercle et de la
hauteur alors AH est la solution au problème (fig. 17 gauche). En effet, ceci
résulte du théorème de la hauteur d’un triangle rectangle car le triangle ABC est
inscrit dans un demi-cercle, donc il est rectangle. Cette solution indique que
l’équerre est aussi un outil commode pour construire la moyenne
proportionnelle à deux segments (fig. 17 droite): il suffit de placer le coin de
l’équerre sur une perpendiculaire (construite avec l’équerre) en H à BC.
L’équerre est un outil qui permet de mettre en action le théorème du triangle
rectangle.
Figure 17. La moyenne proportionnelle avec le compas et avec l’équerre
Notons que la construction de la moyenne proportionnelle AH entre deux
segments BH et HC est aussi celle du côté d’un carré de même aire que le
rectangle de côtés BH et HC. Le théorème du triangle rectangle fournit donc la
solution au problème de la quadrature d’un rectangle. Ce problème est une
étape essentielle dans la quadrature d’un polygone établie par Euclide, il est
donc légitime de rattacher le théorème du triangle rectangle et son invention à
un problème de construction.
L’instrument de Platon pour construire deux moyennes proportionnelles
consiste en trois barres fixes, Hθ, HZ et Mθ. Les deux dernières barres sont
munies de rainures, de sorte qu’une quatrième barre KΛ coulisse parallèlement
à Hθ (fig. 18 gauche). Pour construire deux moyennes proportionnelles à deux
segments AB et BC, on les dispose perpendiculairement l’un à l’autre (avec une
équerre) et on les prolonge (avec une règle). Posons l’instrument de sorte que

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l’angle θHZ soit sur le prolongement de AB et que Hθ passe par C, puis faisons
coulisser KΛ de sorte qu’elle passe par A (fig. 18 droite). Alors nous avons:
BA : BK :: BK : BH :: BH : BC.
En effet, dans le triangle rectangle AKH nous avons BA : BK :: BK : BH, et
dans le triangle rectangle KHC nous avons BK : BH :: BH : BC. L’instrument de
Platon est le résultat d’un processus d’instrumentalisation car il améliore la
simple équerre et il s’appuie sur le même schème, celui de la hauteur d’un
triangle rectangle.
Figure 18. L’instrument de Platon et son fonctionnement
L’invention de l’instrument résulte d’une nouvelle considération du
problème de la moyenne proportionnelle, il faut s’emparer du schème qui a
réussi pour le compas tout en prenant en compte l’échec du compas au-delà.
Nous pouvons alors regarder l’instrument de Platon comme deux équerres
coordonnées qui permettent d’aller au-delà de la simple équerre. En effet, ce
redoublement répond au redoublement de la moyenne proportionnelle
nécessaire pour résoudre la duplication du cube. Le passage par les instruments
constitue ainsi encore une entrée dynamique dans le raisonnement déductif.
L’embarras dans lequel serait tombé Hippocrate est donc profitable, comme
cela est souvent le cas en mathématiques. Auprès de Ménon, Socrate soutenait
l’intérêt de l’embarras de l’esclave pour l’enseignement.
Le problème de la construction à la règle et au compas de la trisection de
l’angle (en trois angles égaux) est également la suite d’un problème qui est
constructible, celui de la bissection d’un angle (en deux angles égaux). Tenant
compte de l’expérience précédente, nous examinons le schème qui autorise la
réussite dans ce cas. Diviser un angle en n parties égales est équivalent à diviser
en n parties égales l’arc correspondant à cet angle quand il est inscrit au centre
d’un cercle. Étant donné un angle de sommet A, traçons un arc de cercle de
centre A qui coupe les côtés de l’angle en B et C, il faut diviser en deux l’arc BC.
Pour cela, il suffit de construire le milieu M de la corde BC en construisant la
médiatrice. Traçons à partir de B et C deux arcs de cercle égaux qui se coupent
en D, alors AD est la médiatrice (fig. 19 gauche). Les deux triangles AMB et
AMC sont égaux car leurs trois côtés sont égaux, donc les angles BAM et CAM
sont égaux. Cette construction ne va pas au-delà de la division en deux parties
égales. Si nous divisions en trois parties égales la corde BC, ce qui est possible à

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la règle et au compas alors l’arc BC n’est pas divisé en trois parties égales (fig.
19 droite).
Figure 19. Division d’un angle et de la corde sous-tendue
Nous allons examiner trois instruments de trisection dont l’invention prend
en compte ce qui a produit la réussite pour la bissectrice mais aussi l’échec au-
delà. Les deux premiers sont des instruments d’artisans et le troisième est
inventé par un mathématicien.
Le ‘couteau de cordonnier’ est présenté dans la Géométrie appliquée à
l’Industrie à l’usage des artistes et des ouvriers de Claude Lucien Bergery de 1828.
D’après l’auteur, il était utilisé par les ouvriers messins. Le couteau est composé
d’une règle BE, d’une équerre BCD et un demi-cercle de centre F et diamètre AB
tels que BC est égal à BF. Pour obtenir la trisection d’un angle GHI, il suffit de
poser le couteau sur l’angle, le demi-cercle étant tangent à l’un des côtés et C
étant sur l’autre côté. En effet, les angles GHB, BHF et FHI sont égaux et donc
valent le tiers de l’angle GHI (fig. 20).
Menons HF et FI, l’angle FIH est droit. Les triangles CBH et FBH sont égaux,
donc l’angle CHB est égal à l’angle BHF. Les triangles BFH et FIH sont égaux,
donc l’angle BHF est égal à l’angle FHI. L’invention et le fonctionnement du
couteau de cordonnier reprennent le schème primitif qui préside à la
construction de la bissectrice d’un angle, à savoir l’égalité de deux triangles
rectangles. L’invention du couteau contourne l’obstacle en mimant la situation
des cordes égales et en introduisant un schème qui prolonge le précédent: celui
qui est attaché à la configuration de trois triangles égaux.
Figure 20. Le couteau du cordonnier

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‘L’équerre du charpentier’ est présentée dans un article de Scudder intitulé
“How to trisect an angle with a carpenter’s square”, paru en 1928 dans la revue
American Mathematical Monthly. L’équerre est posée sur l’angle BOA, dont on
cherche la trisection, de façon à tracer le long de la partie GH de l’équerre une
parallèle au côté OA de l’angle. Sur l’équerre est marqué un point F tel que FH
est égal à HK. L’équerre est ensuite posée sur l’angle de sorte à ce que le coin K
de l’équerre soit sur la parallèle au point E, que le sommet O soit sur la partie
GH de l’équerre et que le point F soit sur OB (fig. 21). Les points F, K et H sont
marqués sur la figure. Traçons OH, OK et KF, la perpendiculaire à OA passant
par K. Les trois angles FOH, HOK et KOF sont égaux car les trois triangles
rectangles FOH, HOK et KOF sont égaux. Ainsi, bien que le couteau du
cordonnier et l’équerre du charpentier soient deux instruments très
dissemblables d’un point de vue matériel, la connaissance-en-action est la
même.
Figure 21. L’équerre du charpentier
Un problème posé par James Watt pour améliorer le fonctionnement des
machines à vapeur attire l’intérêt des mathématiciens pour ce qui sera appelé
‘systèmes articulés’, c’est-à-dire un système de tiges articulées les unes aux
autres. Tout au long du XIXe siècle, ils recherchent des systèmes particuliers
pour tracer les courbes ou pour résoudre des problèmes de construction (Barbin
2014: 137-139). Dans ce contexte, le mathématicien Charles-Ange Laisant
introduit ‘un compas trisecteur’, qui fait l’objet d’un article d’Henri Brocard en
1875 (Brocard 1875 : 47-48). L’instrument est composé de deux losanges
articulés OABC et BEDC et d’une tige rigide OBD sur laquelle D peut glisser.
Pour obtenir la trisection d’un angle il suffit de poser l’instrument sur l’angle de
sorte que A et E soient sur ses côtés. Alors les angles EOB, BOC et COA sont
égaux et l’angle AOE est coupé en trois parties égales. En effet, les diagonales
d’un losange sont perpendiculaires, donc OD est la médiatrice de EC et les
triangles EOB et BOC sont égaux. La diagonale OC divise aussi le losange
OBCA en deux triangles BOC et COA égaux.

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Figure 22. Le compas trisecteur de Laisant
Les trois instruments de trisections activent des schèmes similaires, mais les
deux premiers sont singuliers, ils ne sont pas susceptibles de résoudre d’autres
problèmes, alors que le compas trisecteur appartient à une famille
d’instruments qui peuvent se coordonner les uns aux autres, de s’enrichir par
l’introduction d’autres schèmes, comme pour l’inverseur de Peaucellier qui
permet de résoudre exactement le problème de Watt. Avec les systèmes
articulés s’ouvre la construction de courbes.
5. CONCLUSION: APPROCHE INSTRUMENTALE ET HISTORIQUE DE
L’ENSEIGNEMENT
Comme nous l’avons souligné à plusieurs endroits, l’invention et la genèse
instrumentales permettent une entrée dynamique dans la déduction
mathématique: elles définissent des schèmes opérants et elles construisent une
suite ordonnée de schèmes. Le fonctionnement de l’instrument constitue une
connaissance-en-action, susceptible d’être reprise ou prolongée avec l’emploi de
nouveaux instruments ou l’intervention de nouveaux problèmes. Le processus
d’instrumentation va souvent de pair avec le processus d’instrumentalisation,
car ils correspondent tous les deux à des modifications de l’instrument. Comme
l’écrit Séris pour la technique, la genèse instrumentale dépend d’une
“aspiration à faire les choses autrement et mieux” (Séris 1994: 20-21). Nous
rencontrons dans l’histoire deux dynamiques de la genèse instrumentale: pour
un même problème, il faut inventer des instruments de plus en plus commodes,
ou il faut chercher à résoudre des problèmes de plus en plus complexes. Dans
l’enseignement, il semble donc nécessaire d’une part, d’introduire des
instruments dont le fonctionnement est accessible et ainsi compréhensible et
d’autre part, de considérer des familles d’instruments reliés les uns aux autres
par des champs de problèmes et/ou des champs de schèmes. Ceci ne se
restreint pas au domaine de la géométrie, qui fait l’objet unique de cet article.
Examinons ces deux points dans le contexte de l’enseignement aujourd’hui.
Nous avons noté que plus un instrument est porteur de nombreuses
connaissances, plus son usage peut être commode et plus universel. Mais sa
complexité peut alors devenir telle qu’il faille lui intégrer des mécanismes
facilitant et régulant son usage. C’est ainsi que le fonctionnement de

Εvelyne Barbin
ACTION 29
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l’instrument peut devenir en partie ou complètement caché. Nous en avons un
exemple avec l’histoire et l’enseignement des instruments de calcul, car il est
long le processus qui va du boulier à l’ordinateur (Chabert, Barbin et al. 1999).
En présence d’un ordinateur, l’élève sait ce qui entre dans la machine et ce qui
en sort, mais non ce qui s’y fait: il s’accomplit une opération à laquelle l’élève ne
participe pas même s’il la commande.
Ce qu’écrit Simondon de la situation du travailleur face à une machine peut
être repris ici : “commander est encore rester extérieur à ce que l’on commande,
lorsque le fait de commander consiste à déclencher selon un montage préétabli,
fait pour ce déclenchement, prévu pour opérer ce déclenchement dans le
schéma de construction de l’objet technique”. Pour lui, l’aliénation du
travailleur, qui résulte de cette extériorité, réside dans la rupture qui se produit
entre la genèse et l’existence de l’objet technique: “il faut que la genèse de
l’objet technique fasse effectivement partie de son existence, et que la relation
de l’homme à l’objet technique comporte cette attention à la genèse continue de
l’objet technique” (Simondon 1969: 249-250). Cette attention à la genèse
instrumentale est également nécessaire dans une approche instrumentale de
l’enseignement, si nous voulons voir accomplir les effets que nous lui
accordons. Elle invite à se tourner vers la genèse historique des instruments.
Dans le même souci, la reprise du schéma de Trouche (fig.7) dans plusieurs
écrits didactiques incite à relever que la genèse instrumentale ne peut pas se
défaire du sujet connaissant, sous peine en effet d’aliénation. “Les objets
techniques qui produisent le plus d’aliénation sont aussi ceux qui sont destinés
à des utilisateurs ignorant” (Simondon 1969: 249-250).
L’introduction de familles d’instruments plutôt que d’instruments
hétéroclites et isolés est indispensable dans le cadre de l’enseignement de la
géométrie, et plus largement des mathématiques d’aujourd’hui. En France,
comme dans beaucoup de pays, l’enseignement de la géométrie est de plus en
plus limité et éparpillé, dans le contexte d’un enseignement des mathématiques
lui-même réduit et morcelé. Il ne s’agit plus tant de former les élèves et les
étudiants, que de leur inculquer des savoirs et surtout de leur fournir des
compétences. Il s’avère que plus ces enseignements sont amoindris de la sorte,
plus ils perdent de leur légitimité sociale et de leur intérêt cognitif. L’approche
instrumentale doit permettre de relier des connaissances et non pas favoriser
encore un éparpillement de savoirs, qui placerait les élèves en face
d’instruments dont le fonctionnement, non seulement n’est pas porteur de
connaissance-en-action, mais leur échappe.
RÉFÉRENCES
Archimède (1960). Les œuvres complètes (Vol. II). Trad. P. Ver Eecke. Liège:
Vaillant-Carmanne.
Aristote (1991). Métaphysique. Trad. Tricot, J. Paris: Vrin.
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(Ed.), Instruments scientifiques à travers l'histoire (pp. 7-12) Paris: Ellipses.

Εvelyne Barbin
ACTION 30
2nd THEMATIC ISSUE
05/2016
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Barbin, É. (2006). La révolution mathématique du xviie siècle. Paris: Ellipses.
Barbin, É. (2014). Les constructions mathématiques avec des instruments et des
gestes (Ed.). Paris: Ellipses.
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théoriques. In D. Bénard & G. Moussard (Ed.). Les mathématiques et le réel:
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Pebble to the Microchip. New-York: Springer.
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Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies: approche cognitive des
instruments contemporains. Paris: Armand Colin.
Séris, J.-P. (1994). La technique. Paris: PUF.
Simondon, G. (1969). Du mode d’existence des objets techniques. Paris: Aubier-
Montaigne.
Trouche, L. (2005). Des artefacts aux instruments, une approche pour guider et
intégrer les usages des outils de calcul dans l’enseignement des
mathématiques. Actes de l’université d’été de Saint-Flour (pp. 265-276).
BRIEF BIOGRAPHY
Évelyne Barbin is full professor of epistemology and history of sciences (University of
Nantes). Her research concerns history of mathematics and relations between history
and teaching. She works in the French IREMS where she organized thirty colloquia
and summer universities and she edited many books. She had been chair of the HPM
Group from 2008 to 2012.

MENON
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PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS
ABOUT ISOPERIMETRY: A USE OF MATHEMATICS HISTORY
IN GRADE SIX1
Matthaios Anastasiadis
Primary school teacher, MSc, University of Western Macedonia
mat.anastasiadis@gmail.com
Konstantinos Nikolantonakis
Associate Professor, University of Western Macedonia
knikolantonakis@uowm.gr
ABSTRACT
In this paper, we report on the use of one historical note and two primary sources, an
extract from Pappus’ Collection and an extract from Polybius’ Histories, in the context of
an instructional intervention focused on isoperimetric figures and area-perimeter
relationships. The participants were 22 sixth graders, aged 11-12. The research findings
we present here are based on classroom observations, on the worksheets used during
the intervention and on personal interviews with the students. During the intervention,
the students solved problems, which were based on the sources. Twenty-one of the 22
students considered the problem which was based on Pappus’ text to be more
interesting than the problems that they were usually asked to solve in mathematics. In
addition, the students’ ratings of the texts indicate that the extract from Pappus was
the text that they liked most. We also examine the various ways through which the
particular use of mathematics history affected the development of the students’
personal Geometrical Working Spaces.
Keywords: History of mathematics, Primary sources, Isoperimetric figures, Area,
Geometrical Working Space
1. INTRODUCTION
This paper presents some findings from a larger research study linking the
use of historical sources in mathematics education with the Geometrical
Working Spaces theoretical framework (Kuzniak 2006), in the context of an
instructional intervention focused on isoperimetric figures and area-perimeter
relationships. In the paper, we focus on how the sources were used and we
discuss the students’ views both on their learning and on the use of the
particular historical sources, and the various ways through which the particular
use of mathematics history affected the development of the students’ personal
Geometrical Working Spaces.
1 A Greek version of this paper has been published in: Kourkoulos, M., & Tzanakis, C. (guest Eds.). (2014).
History of Mathematics and Mathematics Education. Education Sciences. Special Issue 2014. Rethymno,
Greece: Department of Primary Education, University of Crete.

Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis
PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT ISOPERIMETRY :
A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX 32
2nd THEMATIC ISSUE
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1.1. History of mathematics and mathematics education
Regarding the use of mathematics history, on the one hand, there are
theoretical objections and practical difficulties. For example, it has been argued
that students often dislike history and that the history of mathematics could
confuse students (Jankvist 2009, Tzanakis et al. 2000). Practical difficulties
include the lack of teaching time and material and the teachers’ lack of
expertise. Moreover, the use of mathematics history could not be easily
assessed, so it would not attract students’ attention.
On the other hand, it has been argued that mathematics history can motivate
students and contribute to the teaching of specific mathematical content
(Jankvist 2009, Tzanakis et al. 2000). Moreover, learning about the difficulties,
errors and misconceptions that arose in the history of mathematics could be
beneficial to students in terms of emotions, beliefs and attitudes; on the other
hand, this kind of knowledge helps teachers to anticipate students’ possible
difficulties and to develop or adapt history-based problems and other
instructional material that could help students overcome these difficulties. Also,
mathematics history shows the role of individuals and the role of different
cultures in the evolution of mathematics and indicates that mathematical
concepts were developed as tools for organizing the world. Finally,
mathematics history enables the connection between mathematics and other
subjects.
Concerning the relationship between students’ difficulties and the
difficulties encountered in mathematics history, there are different approaches.
Through the concept of epistemological obstacle, Brousseau (2002) emphasized
the role of a piece of prior knowledge, which, depending on its structure, has
particular advantages but also leads to particular errors. Contrarily, Furinghetti
and Radford (2008) emphasized the role of culture and argued that school
prepares the unpacking of a tradition established over centuries. Finally,
according to the conceptual change framework, children’s initial theories can
emerge through the children’s interaction with the physical environment and
with the cultural tools (Vosniadou & Vamvakoussi 2006). Thus, similarities
between children’s difficulties and the difficulties encountered in history could
possibly be related to the use of similar cultural tools or to children’s perception
of the environment; this seems to be particularly interesting in the case of
elementary geometry, considered as the science of space (Kuzniak 2006).
As regards the ways of using mathematics history, the most common way is
the use of historical notes, i.e. texts that are written for teaching purposes and
may include names, dates, biographies, anecdotes and stories (Jankvist 2009;
Tzanakis et al. 2000). Worksheets, historical problems, and primary and
secondary sources are also forms of using history. The various history uses can
also be combined for designing teaching and learning sequences (packages) and
projects, which may be short or more extensive and more or less relevant to the
curriculum.
The use of primary sources is both demanding and time-consuming, and it

2nd THEMATIC ISSUE
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is often difficult to assess the results (Jahnke et al. 2000). The teacher may need
to translate or modify the text, but such adaptations should not deviate far from
the original text. A primary source may be introduced directly (without prior
preparation) or indirectly, e.g. after problem solving. In short, there is not only
one teaching strategy for the use of primary sources; therefore, the most
appropriate strategy should be chosen.
1.2. Area-perimeter relationships in ancient Greek mathematics
There is sufficient evidence to suggest that area-perimeter relationships have
caused difficulties in the past. For example, Polybius from Megalopolis (2nd c.
BC), in the ninth book of his treatise Histories, argued that army generals should
have knowledge of astronomy and geometry, and to support his claim, he
wrote: “Most people infer the size of the aforementioned [cities and camps]
only from the perimeter. (....) The reason of this is that we do not remember the
geometry lessons we were taught in our childhood” (Hist. 9.26a.1-4, Büttner-
Wobst ed.).2 Furthermore, he gave two examples: the first concerns the
comparison between Sparta and Megalopolis, while the second concerns a
hypothetical town or camp which has a perimeter of 40 stadia but is twice as
large as another with a perimeter of 100 stadia.
According to Walbank (1967), ‘the size’ is the area of each city. Moreover,
the first example is of particular historical interest, since the comparison seems
not to be confirmed in the case of area, at least with the existing archaeological
findings. On the contrary, the second example refers to an extreme case and is
mostly of mathematical interest. In any case, Polybius’ reference to geometry is
a characteristic example of the way that ancient writers used mathematics to
present their accounts as superior in terms of accuracy and reliability (Cuomo
2001).
Polybius’ reference to ‘geometry lessons’ shows that area-perimeter
relationships had already been an object of study for mathematicians. In the
Elements, Euclid had already proved that parallelograms on the same base or on
equal bases, and between the same parallels are equal to one another and then
he proved the same for triangles (Ι.35-38). These theorems imply that the length
of the contour of a parallelogram or triangle does not determine the extent of its
surface; this is why, according to Proclus, these theorems caused astonishment
to non-experts (Heath 1921).
Isoperimetry was also the object of Zenodorus’ work (probably 2nd c. BC).
His treatise on isoperimetric figures has not survived; however, on the basis of
what Theon wrote later, Zenodorus proved that of all regular polygons with
equal perimeter, the largest is the one having the greatest number of angles,
and that if a circle and a regular polygon have equal perimeter, then the circle is
larger (Cooke 2005, Heath 1921). Furthermore, he showed that of all
2 Book 9 survives in fragments, and there have been different views concerning the order of the fragments. In
οther editions or translations, this passage is part of 9.21. In Büttner-Wobst’s edition it is a part of 9.26a, and
Walbank (1967) considered this order to be more coherent.

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isoperimetric polygons with the same number of angles, the largest is the
equilateral and equiangular, but he partially based his proof on a lemma that
had not been proved in a general way.
Isoperimetry is also the topic of Book V of Pappus’ Mathematical Collection
(4th c. AD). The first part of the book concerns plane figures and begins with an
introduction, which is characterized of literary merit (Cooke 2005, Heath 1921)
and stimulates the interest of the reader; its topic is the hexagonal shape of the
cells of honeycombs. Pappus’ explanation of the shape is teleological, as he
claimed that bees choose this shape on purpose. At the end of the introduction,
Pappus formulated a mathematical problem:
Bees then know only what is useful to them. That is, that the hexagon is greater
than the square and the triangle, and can hold more honey, for the same
expenditure of material for the construction of each one. We, however, claiming
to have a greater share of wisdom than bees, will investigate something greater.
That is, that of all equilateral and equiangular plane figures having equal
perimeter, the one which has the greatest number of angles is always greater.
And the greatest of all is the circle, whenever it has perimeter equal to them.
(Mathematical Collection V.3, Hultsch ed.)
According to Cuomo (2000), Book V was probably situated in the context of
rivalries for the appropriation of tradition, for the acquisition of reputation and
for the gaining of new pupils. Bees were frequently used as an example by
philosophers too; for Pappus, the difference between bees and humans is that
bees have limited, useful and intuitive knowledge, whereas humans are both
capable of and interested in proving. Thus, the introduction points out to the
need for proving the isoperimetric theorems. The proof process, which follows,
is situated in the context of the Euclidean tradition. Furthermore, although
there is no reference to Zenodorus, it seems that Pappus followed Zenodorus’
work, especially in the case of plane figures, but also added his own
propositions and proofs (Heath 1921).
Pappus’ introduction about bees is also related to the problem which was
later known as the honeycomb conjecture. According to the conjecture, which
has been proved more thoroughly by Hales (2001), “any partition of the plane
into regions of equal area has perimeter at least that of the regular hexagonal
honeycomb tiling” (p. 1).
1.3. Theoretical framework for designing the intervention
Work with isoperimetric figures, that is geometric figures with equal
perimeters, involves the concepts of perimeter and area and their relation.
Regarding these concepts, prior research (Douady & Perrin-Glorian 1989,
Moreira-Baltar & Comiti 1994, Vighi 2010, Woodward & Byrd 1983, Zacharos
2006) has shown that students often use formulas at the expense of other
strategies, make errors when applying them and do not understand the result,
and confuse area and perimeter; they also believe that a smaller/equal/greater
perimeter implies a smaller/equal/greater area respectively, and vice versa,

2nd THEMATIC ISSUE
05/2016
and this misconception often reappears after instruction. Furthermore, the
difficulties related to area-perimeter relationships are observed even in
secondary school students and adults (Kellogg 2010, Woodward & Byrd 1983).
Regarding the concept of area, it has been argued that students need to
understand that area is an attribute (Van de Walle & Lovin 2006). The following
strategies have been recommended: a) area measurement with the use of two-
dimensional units, b) comparison of areas of different figures, c) superposition
of a surface onto another and reconfiguration of one of the surfaces, and d)
examination of area-perimeter relationships (Douady & Perrin-Glorian 1989,
Nunes, Light, & Mason 1993, Van de Walle & Lovin 2006, Zacharos 2006). It is
also worth noting that in the USA the examination of area-perimeter
relationships is recommended for Grade 3 or above (Common Core State
Standards Initiative 2010, Georgia Department of Education 2014, North
Carolina Department of Public Instruction 2012, Van de Walle & Lovin 2006).
In this research study the concepts of area and perimeter were examined
from the standpoint of geometry, so we used the Geometric Working Spaces
theoretical framework (Kuzniak 2006, 2015). A Geometric Working Space
(GWS) is a space organized in a way that makes it possible for the user of the
space (mathematician or student) to solve a geometric problem. Therefore,
problems are the reason of existence of GWSs. The framework distinguishes
three levels: a) the reference GWS, which is determined by a particular
community of mathematicians or, in education, by the curriculum, b) the
appropriate GWS, which is designed by a teacher for a particular class, and c)
the personal GWS, which is developed by the final user, in our case each
student. In addition, there are three paradigms. Here, we are mainly interested
in Geometry I (GI), wherein experimentation is dominant, and practical proofs,
measurement, the use of numbers and approximate answers are allowed, and
in Geometry II (GII), whose archetype is the classical Euclidean geometry.
The GWS’s epistemological plane includes three components: a) a real space
with its geometric objects, b) a set of artifacts, and c) a theoretical frame of
reference with the definitions and the properties of the objects (Kuzniak 2015).
A second and cognitive plane includes three kinds of processes: visualization,
construction and proof. Visualization includes the reconfiguration of figures,
which may be performed materially or with the use of reorganizing lines or
only by looking (Duval 2005).
Concerning students’ misconceptions, Brousseau (2002) has argued that
overcoming an obstacle requires the involvement of students in solving selected
problems, through which they will realize the ineffectiveness of a piece of
knowledge or conception. He noted, however, that problems should be chosen
in a way that students are motivated and, subsequently, act, discuss and think
so as to solve them. Another strategy which can help students change their
ideas is the use of refutation texts (Tippett 2010), i.e. texts which refer to a
prevalent alternative idea, stressing that it is incorrect. For the use of these texts,
a combination with discussions and other activities is recommended, because

2nd THEMATIC ISSUE
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changing ideas is difficult and no text alone is sufficient to achieve this with all
students. Finally, it is recommended that teaching should close with a
metacognitive phase, during which “the teacher asks the students to describe
their old and their new knowledge and to realize its differences” (Kariotoglou,
2006: 36).
We referred above to the role of students’ motivation in solving problems
and we noted that motivation is a usual goal when using the history of
mathematics. Besides, from the viewpoint of motivational psychology, Pintrich
and Schunk (2002) have recommended, among others, the use of original source
material. Regarding the features of the texts that stimulate interest, Schraw,
Bruning and Svoboda (1995) highlighted the role of vividness and of ease of
comprehension. Moreover, prior research has found that students and teachers
argued that when a text is read aloud by the teacher, it becomes more
interesting, and comprehension becomes easier (Ariail & Albright 2006, Ivey &
Broaddus 2001). Other factors that could stimulate interest are: novelty, group
work, hands-on activities, some themes related to nature, meaningfulness and
the balance between the degree of challenge and the level of knowledge and
skill of a person (Bergin 1999, Mitchell 1993, Pintrich & Schunk 2002).
2. METHOD
As already mentioned, this paper presents some findings from a larger
research study. In the paper, we focus on two questions:
1. In what ways was the particular use of mathematics history related to the
development of the students’ personal Geometrical Working Spaces?
2. What were the students’ views both on the particular use of mathematics
history and on their learning?
The research was conducted in Thessaloniki, Greece, and the participants
were 22 sixth graders, aged 11-12. The findings we present here are based on
classroom observations, worksheets and personal interviews with the students.
The instructional intervention was implemented by the first researcher in the
regular classroom of the students. An exception was the class period allotted to
the solution of the main mathematical problem, for which we decided not to
have the groups of students work simultaneously in the regular classroom but
to have each group work for one class period in another classroom of the
school. This was decided in order to enable the observation of the students’
work and of the difficulties they faced. Thus, the whole intervention consisted
of six class periods in the regular classroom and one class period for each group
in another classroom.
The whole research project also included personal interviews with the
students before and after the intervention. In this paper, we focus on the
interviews conducted after the intervention and, in particular, on the questions
asking the students to provide some further explanation concerning their views
on the particular use of mathematics history.

2nd THEMATIC ISSUE
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2.1. Design of the appropriate GWS
The intervention was implemented prior to the teaching of the geometry
unit, because the textbook’s emphasis on formulas and the learning of area
formulas for general triangles and trapezoids would affect the students’
personal GWSs, favouring the use of formulas at the expense of other strategies.
Concerning mathematics history, we selected two primary sources: the first
was the introduction to the first part of Book V of Pappus’ Mathematical
Collection (V.1-3) and the second was an extract from Polybius’ Histories
(9.26a.1-6). In addition, we decided to use a historical note entitled Geometry
and included in the sixth grade textbook (Kassoti, Kliapis, & Oikonomou 2006:
136).
Since primary school students do not know ancient Greek, the sources were
presented in translation. During the translation, we used words and phrases as
close as possible to the original texts, while in some cases we used shorter
sentences, so that the translated texts were both suitable for the students and
close to the original (Jahnke et al. 2000). Furthermore, on the basis of the
objectives of the intervention, we did not include in the extract from Pappus the
vocative address “most excellent Megethion” (Mathematical Collection V.1), the
closing of the introduction including the reference to the circle (V.3), and the
detailed verbal proof of the fact that only three regular figures can completely
cover a surface without gaps or overlaps (V.2).
The extract from Pappus, as a historical source, was not introduced directly,
but after the use of the historical note. More specifically, work with the
historical note included reading it, discussing briefly about the origin and
development of geometry and providing additional information about Pappus’
life and his historical period. As regards Pappus’ text, a different approach was
selected: formulation of questions by the teacher, followed by a teacher read-
aloud of the text, and discussion based on the initial questions. Then, the
teaching plan included providing the students with a copy of the extract and
asking them to underline words and phrases related to mathematics. The goal
was to provide or help the students activate the definitions and geometric
properties needed for developing their GWSs, namely definitions of polygon,
regular polygon, equilateral triangle, square and regular hexagon, and
definitions of perimeter and area; also which regular figures completely cover a
surface without gaps or overlaps, which figures are called isoperimetric and
how demonstration is related to mathematics.
Work with the text was followed by the formulation of a geometric problem
asking the students to examine if Pappus was right in stating that a cell having
the shape of a regular hexagon holds more honey than other figures suitable for
tessellation. The students were asked to solve the problem in groups and with
different methods:
1. Direct area comparison: superposition of a surface onto another and
reconfiguration of one of the surfaces.
2. Indirect area comparison: tiling of equal surfaces (inverse proportion: the

2nd THEMATIC ISSUE
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shape which is used fewer times for the tiling of equal surfaces is
greater).
3. Area measurement with the use of a transparent grid (square-counting).
4. Area calculation with the use of formulas.
The objects of the real space were regular polygons with three, four and six
angles, and irregular polygons (elongated rectangles), in a material form
(cardboard), in order to facilitate the reconfiguration of the shapes. Since the
length of the sides was not given, the students needed to measure the sides, so
as to calculate the perimeter of each shape, and then they were asked to apply
the proposed method of area comparison (GI). The tools selected to be available
(where appropriate, depending on the method) were: triangle ruler, scissors,
glue, adhesive tape, transparency film with a square grid printed on it, marker
pen, pencil, rubber eraser and calculator. In addition, we prepared one
worksheet for each group, aiming, firstly, to provide through a set of questions
particular steps for solving the problem and, secondly, to help students present
their findings in the classroom.
The institutionalization of the new properties was followed by the use of the
extract from Polybius. Work with the second source included a discussion
about area-perimeter relationships, and two other activities. The first one asked
what the shape and the dimensions of two cities could be, if the one had a
perimeter of 40 stadia but twice the area of the other having a perimeter of 100
stadia. The second activity was called ‘Neighborhoods of Thessaloniki’ and
involved eight isoperimetric figures, which represented neighborhoods
(Appendix, Fig. 1).
More specifically, each pair of students was given two figures, which were
printed on a sheet of paper, along with the length of each side in metres. The
students were asked to calculate the perimeter of each figure and to deduce,
without calculation, if an area was smaller than, equal to, or larger than the
other and why.
Regarding perimeter, the students needed only to add the given lengths and
realize that the figures were isoperimetric. Regarding area, they had to develop
the theoretical pole of their GWS (GII), applying the institutionalized
conclusions which were based on the honeycomb problem. Then, each pair of
students was asked to present their answer and check its correctness by
performing measurements (GI) via a computer connected to a projector and
with the use of a Geogebra applet designed for the activity. In the applet, a map
of Thessaloniki was inserted as a background and the eight figures were on the
same scale as the map. Finally, the students were asked to put all the figures on
a board from the smallest to the largest in area, noting that eight different
figures had equal perimeter but different area, that the largest in area was the
regular figure having the greatest number of angles, and that the smallest was
the most elongated figure.

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