Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản

phamhung.207@gmail.com 1
LÝ THUYẾT VỀ MÔ HÌNH ĐỊA KỸ THUẬT CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
MỞ ĐẦU
“Change by exchange” – “Wandel durch Austausch”.
Ebook này tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về mô hình địa kỹ thuật được sử dụng bởi phương pháp phần
tử hữu hạn (Plaxis, GeoStudio, Midas, Abaqus…). Kiến thức trong Ebook được cố gắng diễn giải sao cho
gần gũi và dễ hiểu nhất cho người đọc.
Tác giả hi vọng rằng, cuốn Ebook này sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên, những người thực sự muốn học hỏi
và nâng cao kiến thức trong khi vốn tiếng Anh còn hạn chế. Cuốn Ebook này không nhắm tới các kĩ sư có
khả năng đọc hiểu các tài liệu nước ngoài.
Ebook này cố gắng bao gồm các phần sau:
- Mô hình đàn hồi tuyến tính
- Mô hình đàn hồi phi tuyến
- Mô hình đàn-dẻo tuyệt đối
- Tiêu chuẩn phá hoại: Morh-Coloumb, Tresca, Von-Mises
- Mô hình cơ học đất tới hạn: CamClay, Modified CamClay, mô hình đất yếu Soft Soil (sử dụng trong
Plaxis).
- Các kiến thức cơ bản về phần tử hữu hạn cũng được đề cập trong cuốn Ebook này.
Ebook này được cung cấp miễn phí. Các code FEM (nếu có cũng được cung cấp miễn phí). Các kiến thức
trong Ebook này không được trích dẫn cụ thể. Tác giả không chịu bất cứ trách nhiệm nào nếu có hậu quả
xảy ra khi sử dụng kiến thức trong Ebook này. Tác giả hoan nghênh mọi đóng góp để cuốn Ebook này tốt
hơn, dễ hiểu hơn.
Tác giả
Phạm Hùng

ĐƠN VỊ VÀ KÍ HIỆU DẤU
Ebook này sử dụng hệ đơn vị như sau:
- Thời gian : s
- Chiều dài: m
- Lực : kN
- Ứng suất: kPa
- Nhiệt độ: 0
C
- Góc lượng giác: Độ (degree).
Ứng suất nén mang dấu dương, và ứng suất kéo mang dấu âm.
Các biến được viết nghiêng, ví dụ (a, b, K, G…), ma trận được kí hiệu [ ], vector được kí hiệu { }.
Các chữ in nghiêng màu đỏ thể hiện chú thích, người đọc có thể tham khảo thêm.
Các chữ in nghiêng màu xanh thể hiện các kiến thức nâng cao mở rộng cho các bạn thích tìm tòi.
Sẽ có nhiều chương có nội dung dài, nhưng sẽ có nhiều chương có nội dung rất ngắn (dưới một trang). Mục
đích là để tác giả dễ tổ chức nội dung và thay đổi khi cần thiết.

1. CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Dưới tác dụng của ngoại lực, đất sẽ bị biến dạng. Mọi mô hình cơ học đất trong FEM đều xuất phát từ mối
quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. Để hiểu các xây dựng mô hình vật liệu, chúng ta phải hiểu bản chất và
ý nghĩa của ứng suất và biến dạng.
1.1. Ứng suất và biến dạng
Các kiến thức về ứng suất và biến dạng được đề cập trong môn học như sức bền vật liệu, cơ học kết cấu.
Hình 1.1: (a) – Vật thể dưới tác dụng của ngoại lực; (b) – Biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực; (c) – Các thành
phần ứng suất.
Tại Hình 1.1, một vật thể chịu tác dụng bởi các lực F khác nhau. Xét phân tố A rất nhỏ có dạng hình lập
phương (được gọi là phân tố đại diện – representative element volume) trong hệ trục không gian ba chiều
Oxyz. Dưới tác dụng của ngoại lực, phân tố A di chuyển từ tọa độ ( 0 0 0, ,x y z ) tới tọa độ ( 1 1 1, ,x y z ).
Gọi u, v, w là chuyển vị theo các trục x, y, z tương ứng. Hoặc có thể biểu diễn:
1 0
1 0
1 0
u x x x
v y y y
w z z z
= D = -
= D = -
= D = -
(1.1)
Biến dạng của phân tố A trong hệ trục tọa độ 3 chiều được định nghĩa như sau:
y
; ;
; ;
xx yy zz
xy x yz zy xz zx
u v w
x y z
u v v w w u
y x z y x z
e e e
g g g g g g
¶ ¶ ¶
= - = - = -
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= = - - = = - - = = - -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
(1.2)
Trong phương trình (1.1), e được gọi là biến dạng dọc trục, và g là biến dạng cắt.
Hình 1.2: Biến dạng 1 chiều
Để hiểu rõ hơn, xem xét ví dụ đơn giản như Hình 1.2. Một thanh bị kéo giãn từ chiều dài ban đầu 0L thêm
một đoạn là LD . Phân tố A (điểm màu đỏ) di chuyển từ tọa độ 0x tới tọa độ 1x . Tọa độ 1x được biểu diễn
theo trục tọa độ Ox như sau:
( )1 0 1 0 0
0 0
L L
x x x x x x
L L
D D
= + - = + D (1.3)
Chuyển vị u theo phương x.

1 0 0 0
0 0
L L
u x x x x x x
L L
D D
= - = + D - = D (1.4)
Biến dạng dọc trục theo phương x được tính theo công thức (1.1):
0
x
u L
x L
e
¶ D
= - = -
¶
(1.5)
Phương trình (1.4) là phương trình quen thuộc trong tính toán biến dạng của thanh bị kéo.
Ứng suất trong vật lý được định nghĩa là lực trên một đơn vị diện tích:
F
A
s = . Phân tố A tại Hình 1.1 cân
bằng khi ta thêm vào mặt các phân tố các thành phần ứng suất. Một phân tố hình lập phương có sáu mặt
bao gồm các mặt x, y, và z.
- Mặt x là mặt vuông góc với trục x.
- Mặt y là mặt vuông góc với trục y.
- Mặt z là mặt vuông góc với trục z.
Thành phần ứng suất được kí hiệu bao gồm hai chỉ số là mặt tác dụng và phương. Ví dụ ứng suất zzS là
ứng suất trên mặt z, theo hướng trục z, tức là ứng suất pháp tuyến của mặt z. Ứng suất zxS là ứng suất trên
mặt z, theo phương trục x, tức là ứng suất tiếp tuyến (Hình 1.1-c).
Như vậy ta có tổng cộng chín thành phần ứng suất: , , , , ,xx yy zz xz zx xy yx yz zyS S S S S S S S S= = = tương ứng với chín
thành phần biến dạng (phương trình 1.2).
Hình 1.3: Chín thành phần ứng suất trong không gian ba chiều.
1.2. Tensor và vector
Để biểu diễn ứng suất của một phân tố đại diện, có thể dùng tensor ứng suất hoặc vector ứng suất. Tensor
ứng suất là một ma trận 3x3 như sau:
[ ] y
xx xy xz
x yy yz
zx zy zz
s t t
s t s t
t t s
é ù
ê ú
= ê ú
ê ú
ë û
(1.6)
Để quen thuộc, kí hiệu s là ứng suất pháp tuyến và t là ứng suất tiếp tuyến.
Vector ứng suất trong không gian ba chiều được thể hiện như sau:
{ } { }
T
xx yy zz xy xz yzs s s s s s s= (1.7)
T là kí hiệu chuyển vị của vector.
Tương tự ta cũng có tensor biến dạng và vector biến dạng:
y
xx xy xz
x yy yz
zx zy zz
e g g
g e g
g g e
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(1.8)

{ }
T
xx yy zz xy xz yze e e g g g (1.9)
Ứng suất và biến dạng có thể biểu diễn dưới hai dạng: Tích lũy (tổng), hoặc dạng biến thiên. Ví dụ, tại thời
điểm ban đầu, ứng suất của một phân tố là [ ]0s hoặc { }0s . Dưới tác dụng của lực FD , ứng suất thay đổi
thành [ ]1s hoặc { }1s .Biến thiên ứng suất dưới tác dụng của lực FD là:
[ ] [ ] [ ]
{ } { } { }
1 0
1 0
s s s
s s s
D = -
D = -
(1.10)
Tương tự với biến dạng.
1.3. Định luật Hook liên hệ giữa ứng suất và biến dạng
Định luật Hook miêu tả mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của một phân tố. Viết theo dạng vector,
định luật Hook như sau:
{ } [ ]{ }
( )( )
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0.5 0 01 1 2
0 0 0 0 0.5 0
0 0 0 0 0 0.5
x x
y y
z z
xy xy
xz xz
zy zy
D
E
s e
s em m m
s em m m
s em m m
t gmm m
t gm
t gm
D = D
D D-ì ü ì üé ù
ï ï ï ïê úD D-ï ï ï ïê ú
ï ï ï ïD Dê ú-ï ï ï ï
® = ê úí ý í ý
D D-+ - ê úï ï ï ï
ê úï ï ï ïD D-
ê úï ï ï ï
D D-ê úï ï ï ïë ûî þ î þ
(1.11)
· [ ]D là ma trận liên hệ giữa biến dạng và ứng suất.
· m là hệ số Poisson (hoặc Poát xông theo tiếng Việt).
· E là Young mô đun (Young’s modulus).
Phương trình (1.11) có thể viết dưới dạng sử dụng mô đun khối (bulk modulus K) và mo đun cắt (shear
modulus G).
4 / 3 2 / 3 2 / 3 0 0 0
4 / 3 2 / 3 0 0 0
4 / 3 0 0 0
0 0
0
x x
y y
z z
xz xz
yz yz
xy xy
K G K G K G
K G K G
K G
G
G
G
s e
s e
s e
t g
t g
t g
ì ü ì üD D+ - -é ù
ï ï ï ïê úD D+ -ï ï ï ïê ú
ï ï ï ïê úD D+ï ï ï ï
= ê úí ý í ý
D Dê úï ï ï ï
ê úï ï ï ïD D
ê úï ï ï ï
D Dê úï ï ï ïë ûî þ î þ
(1.12)
Trong đó:
3 (1 2 )
; ;
2(1 ) 3(1 2 ) 2(1 )
E E K
G K G
m
m m m
-
= = =
+ - +
(1.13)
1.3.1. Bài toán ứng suất phẳng (Plane-stress)
Hình 1.4: Bài toán ứng suất phẳng

Trong trường bài toán ứng suất phẳng, không tồn tại ứng suất trong mặt phẳng vuông góc với tấm. Ví dụ
như tấm mỏng, chịu kéo hoặc nén, không chịu uốn. Khi đó 0z xz yzs t t= = = . Phương trình (1.11) và (1.12)
trở thành:
( ) ( )
2
1 0
1 0
1
1
0 0
2
x x
y y
xy xy
E
s m e
s m e
m
t gm
é ù
ê úì ü ì üD D
ê úï ï ï ï
D = Dê úí ý í ý
- ê úï ï ï ïD D-î þ î þê ú
ê úë û
(1.14)
Để xây dựng phương trình 1.14, ta cần nghịch đảo ma trận D tại phương trình (1.11) để có dạng
{ } [ ] { }
1
De s
-
D = D và sau đó cho 0z xz yzs t t= = = .
1.3.2. Bài toán biến dạng phẳng (Plane-strain)
Hình 1.5: Bài toán biến dạng phẳng
Đối với công trình có kích thước theo phương z lớn, do đó có thể coi rằng theo phương z không có biến
dạng, tức 0z yz zxe g g= = = . Lúc này tính toán được thực hiện trên “tấm” có chiều dày là t . Phương trình
(1.11) được rút gọn thành:
( )( )
1 0
1 0
1 1 2
0 0 0.5
x x
y y
xy xy
E
s m m e
s m m e
m m
t m g
ì ü ì üD - Dé ù
ï ï ï ïê úD = - Dí ý í ýê ú+ -ï ï ï ïê úD - Dë ûî þ î þ
(1.15)
1.4. Các thành phần bất biến của ứng suất và ý nghĩa của nó
Các thành phần ứng suất miêu tả tại (1.8) hoặc (1.9) phụ thuộc vào hệ trục tọa độ Oxyz. Nếu xoay hoặc di
chuyển hệ tọa độ này, các thành phần này cũng thay đổi theo. Tuy nhiên, có những cách miêu tả ứng suất
mà giá trị của các thành phần ứng suất không phụ thuộc vào hệ trục tọa độ. Chúng ta gọi đây là các thành
phần bất biến của ứng suất, bao gồm:
· Ứng suất trung bình (mean stress):
3
x y z
p
s s s+ +
= (1.16)
· Ứng suất lệch (deviatoric stress):
( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
6
x y x z y z xy xz yz
J
s s s s s s t t té ù- + - + - + + +
ê úë û= (1.17)
· Góc Lode:

1
3
1 3 3 det
sin
3 2
x xy zx
xy y yz
zx yz z
s
J
p
s p
p
q
s t t
t s t
t t s
-
æ ö
= - ç ÷ç ÷
è ø
é ù-
ê ú
= -ê ú
ê ú-ë û
(1.18)
Ứng suất chính là ứng suất pháp tuyến trên mặt chính. Mặt chính là mặt có ứng suất cắt (tiếp tuyến) bằng
không. Gọi ba thành phần ứng suất chính là 1 2 3, ,s s s . Các thành phần ứng suất chính được biểu diễn thông
qua các thành phần bất biến như sau:
( )
1
2
3
2
sin
1 3
2
1 sin
3
1 2
sin
3
p J
p
q
s
s q
s p
q
ì üæ ö
+ç ÷ï ïì ü ì ü è øï ïï ï ï ï ï ï
= +í ý í ý í ý
ï ï ï ï ï ï
æ öî þî þ ï ï-ç ÷
ï ïè øî þ
(1.19)
Để hiểu ý nghĩa của p, J và q , xét một điểm P trong không gian có giá trị ứng suất chính ( )1 2 3, ,s s s . Thay
vì biểu diễn điểm P trong hệ tọa độ Oxyz, chúng ta biểu diễn điểm P trong hệ tọa độ 1 2 3Os s s như Hình 1.6.
Đây được gọi là không gian ứng suất chính.
Hình 1.6: Biểu diễn ứng suất trong không gian ứng suất chính.
Trong Hình 1.6:
- Đường 1 2 3s s s= = được gọi là đường space diagonal (chưa nghĩ ra tên tiếng việt). Đường này là
duy nhất trong không gian ứng suất chính.
- Mặt phẳng vuông góc với đường space diagonal được gọi là mặt phẳng Deviatoric plane. Có vô số
các mặt phẳng như vậy.
- Điểm P có ứng suất ( )1 2 3, ,s s s nằm trong một mặt phẳng Deviatoric. Mặt phẳng này giao với
đường space diagonal tại điểm A (Hình 1.6).
- Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A là 3OA p=
- Khoảng cách từ điểm P đến điểm A là: 2PA J=
- Chiếu trục ứng suất 1 2 3, ,O O Os s s lên mặt phẳng Deviatoric (các trục nét đứt trên hình vẽ). Hình
chiếu là 3 đường thẳng ( 1 2 3, ,A A As s s ) hợp với nhau tạo thành các góc 0
120 . Trục vuông góc với
trục 2As là trục có góc Lode 0
0q = . Góc Lode là góc hợp bởi trục trên và đường thẳng AP . Góc
Lode dương khi ngược chiều kim đồng hồ.
- Với trạng thái nén ba trục 2 3s s= , góc Lode 0
30q = - .
- Với trạng théo kéo ba trục 0
1 2 30s s q= ® =
Như vậy, các thành phần bất biến đều có ý nghĩa riêng.

1.5. Biểu diễn ứng suất phẳng trên vòng tròn Mohr (Mohr’s circle)
Trong hệ trục Oxy (bài toán phẳng), giả sử ứng suất của một phân tố là { } { }
T
x y xys s s t= . Giá trị ứng
suất trên sẽ thay đổi ra sao nếu hệ trục Oxy bị thay đổi thành một hệ trục ' '
Ox y bất kỳ?
Trên Hình 1.7-a, hệ trục Oxy được xoay một góc q ngược chiều kim đồng hồ. Hệ trục toạ độ mới là ' '
Ox y .
Giả sử x ys s> và ứng suất tiếp dương khi qua cùng chiều kim đồng hồ. Trên mặt A , ứng suất pháp tuyến
là ys và ứng suât tiếp tuyến là 0xyt > . Trên mặt B , ứng suất pháp tuyến là xs và ứng suất tiếp tuyến là
0xyt < . Ta cần xác định trạng thái trên mặt nghiêng C được kí hiệu là ns và nt (Hình 1.7-a).
Hình 1.7: Biểu diễn vòng tròn Mohr ứng suất; (a) – Quay hệ trục toạ độ; (b) – Vòng tròn Mohr ứng suất
Bằng cách chiều các ứng suất lên mặt nghiêng và thiết lập phương trình cân bằng lực trên mặt nghiêng,
ứng suất trên mặt nghiêng C được xác định như sau:
( ) ( )cos 2 sin 2
2 2
x y x y
n xy
s s s s
s q t q
+ -
= + + (1.20)
( ) ( ) ( )
1
sin 2 cos 2
2
n x y xyt s s q t q= - - + (1.21)
Viết lại phương trình 1.20 bằng cách chuyển
2
x ys s+
sang vế trái và bình phương hai vế:
( ) ( )
2 2
cos 2 sin 2
2 2
x y x y
n xy
s s s s
s q t q
+ -æ ö é ù
- = +ç ÷ ê ú
è ø ë û
(1.22)
Bình phương hai vế phương trình 1.21:
( ) ( ) ( )
2
2 1
sin 2 cos 2
2
n x y xyt s s q t q
é ù
= - - +ê úë û
(1.23)
Cộng phương trình 1.22 và 1.23, sau đó rút gọn:
2 2
2 2
2 2
x y x y
n n xy
s s s s
s t t
+ -æ ö æ ö
- + = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
(1.24)
Trong hệ trục n nOs t , phương trình 1.24 là phương trình hình tròn với tâm ,0
2
x ys s+æ ö
ç ÷
è ø
và bán kính
2
2
2
x y
xyR
s s
t
-æ ö
= +ç ÷
è ø
. Hình tròn được biểu diễn như Hình 1.7-b. Cách biểu diễn này được gọi là vòng tròn
Mohr (Mohr’s circle) ứng suất.
Theo Hình 1.7-b, ứng suất trung bình avgs , ứng suất pháp tuyến nhỏ nhất mins , ứng suất pháp tuyến lớn
nhất maxs , ứng suất tiếp tuyến lớn nhất maxt được xác định như sau:

2
x y
avg
s s
s
+
= (1.25)
( )max min, avg Rs s s= ± (1.26)
( )max, min Rt t = ± (1.27)
Khi biết ứng suất của một phân tố { } { }
T
x y xys s s t= , vòng tròn Mohr được vẽ qua các bước sau:
- Bước 1: Dựng hệ trục n nOs t
- Bước 2: Xác định tâm ,0
2
x ys s+æ ö
ç ÷
è ø
- Bước 3: Xác định bán kính
2
2
2
x y
xyR
s s
t
-æ ö
= +ç ÷
è ø
- Bước 4: Vẽ vòng Mohr khi biết tâm và bán kính
Nếu ứng suất tiếp 0xyt = , thì min max max; ;
2
x y
y x
s s
s s s s t
-
= = = . Đây chính là các điều kiện ứng suất trong thí
nghiệm nén ba trục (xem tại các chương tiếp theo).

2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phần này được phát triển cho bài toán biến dạng phẳng, bài toán full 3D xây dựng tương tự.
2.1. Phương pháp xấp xỉ
Nguyên lý của phương pháp phần tử hữu hạn là chia nhỏ miền tính toán thành các miền con liên tục được
nối với nhau bởi các nút.
Hình 2.1: Rời rạc miền tính toán
Ví dụ tại Hình 2.1, miền tính toán được chia nhỏ thành 12 phần tử, được tạo thành bởi 13 nút. Xét một phần
tử tam giác gồm 3 nút 6, 7, 8 (Hình 2.2).
Hình 2.2: Phần tử tam giác
Chuyển vị của các nút 6, 7, 8 theo các phương x, y lần lượt là { }
6
7
8
e
u
u u
u
Dì ü
ï ï
D = Dí ý
ï ïDî þ
và { }
6
7
8
e
v
v v
v
Dì ü
ï ï
D = Dí ý
ï ïDî þ
. Tọa độ x và
y tương tự là { }
6
7
8
e
x
x x
x
ì ü
ï ï
= í ý
ï ï
î þ
và { }
6
7
8
e
y
y y
y
ì ü
ï ï
= í ý
ï ï
î þ
. Một điểm P nằm trong phần tử. Chuyển vị và tọa độ của điểm P
được biểu diễn thông qua chuyển vị của các nút 6, 7, 8 như sau.
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
P e
P e
P e
P e
x N x
y N y
u N u
v N v
=
=
D = D
D = D
(2.1)
N được gọi là hàm dạng (shape-function). Với phần tử có n nút, hàm dạng có dạng:
{ } { }1 2 .... .... nN L L L= (2.2)
Trong đó iL là các hệ số của hàm dạng phụ thuộc vào từng loại phần tử. Ta có thể tổng quát biểu diễn
chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc phần tử có n nút theo dạng vector như sau.

1
1
1
1
0 .... .... 0 ....
0 .... .... 0 ....
n
n
n
n
u
v
L Lu
L Lv
u
v
ì ü
ï ï
ï ï
ï ïé ùì ü ï ï
=í ý í ýê ú
î þ ë û ï ï
ï ï
ï ï
ï ïî þ
(2.3)
Trong bài toán biến dạng phẳng:
( ) ( ) ( ) ( ); ;x y xy
u v u v
x x y x
e e g
¶ D ¶ D ¶ D ¶ D
D = - D = - D = - -
¶ ¶ ¶ ¶
(2.4)
Thay phương trình (2.3) vào phương trình (2.4), vector biến dạng biểu diễn như sau:
[ ]
1 1
1 1
1 2
2 2
2 21 2 2
1 1 2 2
0 0 .... .... 0
0 0 .... .... 0
.... ....
....
.... ....
n
x
y
xy
n n
n
n
u u
v vLL L
u ux x x
v vL L L
B
y y y
L LL L L L
y x y x y x u
v
e
e
g
D Dì ü
ï ïD Dé ù¶¶ ¶ ï ï
ê ú ï ïD D¶ ¶ ¶ê úì üD ï ï
D Dê ú¶ ¶ ¶ï ï ï ï
D = - =í ý í ýê ú
¶ ¶ ¶ï ï ï ïê úDî þ ï ïê ú¶ ¶¶ ¶ ¶ ¶
ï ïê ú
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Dë û ï ï
ï ïDî þ
....
n
n
u
v
ì ü
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
í ý
ï ï
ï ï
ï ï
Dï ï
ï ïDî þ
(2.5)
Hoặc
{ } [ ]{ } { } { } [ ]
TT T
n n
B d d Be eD = D ® D = D (2.6)
Trong đó [ ]B là ma trận liên hệ giữa biến dạng { }eD và chuyển vị của phần tử gồm n nút { }n
dD .
2.2. Xác định ma trận [ ]B
Hình 2.3: Hệ tọa độ địa phương của phần tử
Mỗi loại phần tử (tam giác, tứ giác…) có một hệ trục tọa độ địa phương (local coordinate) khác nhau. Với
phần tử 2D, kí hiệu hệ trục tọa độ là x và c (Hình 2.3). Các thành phần của hàm dạng N (công thức 2.2)
được biểu diễn thông qua x và c , hoặc N là hàm của x và c . Sử dụng công thức đạo hàm hợp ta có:
N N x N y
x y
N N x N y
x y
x x x
c c c
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= +
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= +
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
(2.7)
Hoặc viết dưới dạng ma trận:
[ ]
N x y N N
x x
J
N NN x x
y y
x x x
c c c
¶ ¶ ¶é ù é ù ¶ ¶é ù é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ê ú ê ú ê ú ê ú= =
¶ ¶¶ ¶ ¶ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú¶ ¶¶ ¶ ¶ ë û ë ûë û ë û
(2.8)
Trong phương trình (2.8):

1
1
....
....
n
n
LLN
x x x
LLN
y y y
¶¶¶ ì üì ü
=í ý í ý
¶ ¶ ¶î þ î þ
ì ü ì ü¶¶¶
=í ý í ý
¶ ¶ ¶î þ î þ
(2.9)
Phương trình (2.9) là thành phần của ma trận [ ]B trong phương trình (2.5).
Từ phương trình (2.8) ta có:
1
NN
x
J
N N
y
x
c
-
¶é ù¶é ù
ê úê ú ¶¶ ê úê ú =
¶ ¶ê úê ú
ê úê ú¶ ¶ë û ë û
(2.10)
Và ma trận [ ]J là ma trận chuyển giữa hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể.
[ ]
1 11 2
2 2
1 2
.... .... ....
.... ....
.... .... ....
n
n
n n
x yLL Lx y
x y
J
x x LL L
x y
x x x x x
c c c c c
é ù¶¶ ¶¶ ¶ é ùé ù
ê úê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ê úê úê ú= =
ê ú¶ ¶ ¶¶ ¶ê úê ú
ê úê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û ë û ë û
(2.11)
Trong phương trình (2.11), các tọa độ ix và iy của từng nút đã biết. Khi biểu diễn iL thông qua x và c ,
các đạo hàm riêng iL
x
¶
¶
và iL
c
¶
¶
có thể được xác định. Do đó ma trận [ ]J được xác định theo (2.11) và [ ]B
được xác định theo (2.5).
2.2.1. Ví dụ phần tử tam giác – 3 nút
Hàm dạng phần tử tam giác:
{ } { }1N x c x c= - - (2.12)
Tính các đạo hàm riêng trong (2.11).
{ }
{ }
1 0 1
0 1 1
N
N
x
c
ì ü¶
= -í ý
¶î þ
ì ü¶
= -í ý
¶î þ
(2.13)
Ma trận [ ]J :
[ ]
1 1
2 2
3 3
1 0 1
0 1 1
x y
J x y
x y
é ù
-é ù ê ú= ê ú ê ú-ë û ê úë û
(2.14)
2.2.2. Ví dụ phần tử tứ giác – 4 nút
Hàm dạng:
{ } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4
N x c x c x c x c
ì ü
= - - + - + + - +í ý
î þ
(2.15)
Tính các đạo hàm riêng trong phương trình (2.11).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 4 4
N
N
c c c c
x
x x x x
c
¶ é ù
= - - - + - +ê ú¶ ë û
¶ é ù
= - - - + + -ê ú¶ ë û
(2.16)
Ma trận [ ]J :

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 4 4
x y
x y
J
x y
x y
c c c c
x x x x
é ùé ù
- - - + - + ê úê ú
ê ú= ê ú
ê úê ú- - - + + - ê úê úë û ë û
(2.17)
Lưu ý rằng, trong phương trình (2.17) vẫn tồn tại các tọa độ địa phương x và c (khác với phương trình
2.14 của phần tử tam giác 3 nút).
2.3. Nguyên lý thế năng cực tiểu
Trong phần 2.1, chúng ta đã đi xây dựng mối liên hệ giữa vector biến dạng của một điểm với vector chuyển
vị của phần tử. Một phân tố cân bằng khi tổng thế năng (total potential energy) là nhỏ nhất. Thế năng bao
gồm hai thành phần: Do biến dạng (energy strain) và do công của ngoại lực.
0E W Ld d dD = D - D = (2.18)
Trong đó:
· EdD là tổng thế năng
· WdD : Do biến dạng
· LdD : Do công của ngoại lực
Thế năng do biến dạng:
{ } { }
1
2
T
Wd e sD = D D (2.19)
Thế năng do biến dạng của một phần tử (miền R) được xác định bằng tích phân (2.19) trong miền R.
{ } { }
1
2
T
R
W dRe sD = D Dò (2.20)
Thay phương trình (1.11) và (2.6) vào (2.20):
{ } [ ] [ ][ ]{ }
1
2
TT
n n
R
W d B D B d dRD = D Dò (2.21)
Công do ngoại lực bao gồm lực thể tích bfD , lực bề mặt sfD , và lực tập trung PfD
{ } { } { } { } { } { } { }
T T T T T
b s Pn n n
R s
L d N f dR d N f dS d fD = D D + D D + D Dò ò (2.22)
Thế năng của toàn bộ hệ với tổng số phần tử là m.
{ } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { } { } { }
1 1
1
0
1
2
m m
i i
i i
m
T T TT T T T
b s Pn n n n n
i R R s
E W L
E d B D B d dR d N f dR d N f dS d f
= =
=
D = D - D =
é ù
D = D D - D D - D D - D Dê ú
ë û
å å å
å å ò ò ò
(2.23)
Hệ cân bằng, phương trình (2.23) viết lại dưới dạng:
[ ] { } { } [ ]{ } { }
1 1
m m
e e ii
i i
K d R K d F
= =
é ù é ù
D = ® D = Dê ú ê ú
ë û ë û
å å (2.24)
Trong đó:
· [ ]K là ma trận độ cứng tổng thể (global stiffness), được thành lập bằng cách lắp ghép ma trận độ
cứng phần tử:
[ ] [ ] [ ][ ]
T
e
R
K B D B dR= ò (2.25)
· { }dD là vector chuyển vị của toàn bộ nút.
· { }FD là vector lực tác dụng (right hand side vector).
Phương trình (2.24) là phương trình tổng quát của phương pháp phần tử hữu hạn.

2.4. Tích phân ma trận độ cứng phần tử [ ]eK
2.4.1. Phương pháp tích phân Gauss cho hàm 1 biến số
Giả sử ta có một hàm ( )f x là hàm số của biến x. Ta cần tính tích phân của hàm ( )f x như sau:
( )
b
a
I f x dx= ò (2.26)
Tích phân I được xác định bằng hàm đa thức:
( ) ( ) ( )1 1 2 2
1
.....
g
n n i i
i
I w f x w f x w f x w x
=
= + + + = å (2.27)
Đây được gọi là phép tích phân Gauss, ix được gọi là các điểm Gauss, iw là các trọng số tương ứng với
các điểm Gauss, và g là tổng số điểm tích phân.
2.4.2. Phương pháp tích phân Gauss cho hàm 2 biến số.
Hàm f gồm hai biến ,x y . Tích phân hai lớp của hàm 2 biến:
( ),I f x y dxdy= òò (2.28)
Tích phân 2.28 được triển khai qua các điểm Gauss như sau:
( )
1 1
,
g g
i j i j
i j
I w w f x y
= =
= åå (2.29)
Ví dụ với 2 điểm Gauss, phương trình 2.29 trở thành:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2, , , ,I w w f x y w w f x y w w f x y w w f x y= + + + (2.30)
2.4.3. Tích phân ma trận độ cứng phần tử [ ]eK
Trong ví dụ phương trình (2.17), ma trận [ ]J là hàm của x và c . Do đó ma trận [ ]B cũng là hàm phụ
thuộc x và c , dẫn đến ma trận [ ]eK trong phương trình 2.25 là hàm của x và c .
Tích phân 2.25 cho bài toán biến dạng phẳng được xác định như sau:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]det
T T
e e
R R
K B D B dR t B D B J d dx c= =ò òò (2.31)
Trong đó et là chiều dày của phần tử. Phương trình 2.31 là tích phân của hàm 2 biến, tương tự như mục
2.4.2.
2.4.4. Ví dụ phần tử tam giác – tích phân 3 điểm Gauss (Hình 2.3)
Điểm Gauss x c iw
1g 1/6 1/6 1/6
2g 2/3 1/6 1/6
3g 1/6 2/3 1/6
2.4.5. Ví dụ phần tử tứ giá – tích phân 4 điểm Gauss (Hình 2.3)
Điểm Gauss x c
iw
1g 1
3
-
1
3
- 1
2g 1
3
1
3
- 1

3g 1
3
1
3
1
4g 1
3
- 1
3
1
2.5. Các dạng điều kiện biên
Phương trình tổng quát (2.24) là [ ]{ } { }K d FD = D . Nhìn vào phương trình trên ta thấy:
- Nếu biết chuyển vị nút id bên vế trái, ta thu được lực iF bên vế phải tương ứng. Đây là giá trị phản
lực.
- Nếu thay đổi giá trị iF vế phải, chuyển vị { }dD cũng thay đổi theo.
Có hai dạng điều kiện biên tương ứng với hai nhận xét trên:
· Điều kiện biên Dirichlet: Giải hệ phương trình với chuyển vị nút đã biết.
· Điều kiện biên Neumann: Lực tại nút đã biết. Lực này có thể được quy đổi từ lực bề mặt, hoặc lực
tập trung tại nút.
Ví dụ như sau, giải hệ phương trình:
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
5 2 0 1 0
2 4 1 0 0
0 1 6 3 2
1 0 3 7 0
0 0 2 0 3
x f
x f
x f
x f
x f
- ì ü ì üé ù
ï ï ï ïê ú
ï ï ï ïê ú ï ï ï ï
ê ú =í ý í ý
ê ú ï ï ï ï-ê ú ï ï ï ï
ê ú ï ï ï ïë û î þ î þ
(2.32)
Nếu 2x c= là một hằng số, ta gọi đây là điều kiện biên Dirichlet. Để áp dụng điều kiện biên Dirichlet, ta thay
đổi vế phải.
{ }
1
3
4
5
2
1
0
0
f c
c
f f c
f c
f c
- ´ì ü
ï ï
ï ïï ï
= - ´í ý
ï ï- ´
ï ï
- ´ï ïî þ
(2.33)
Và thay đổi ma trận độ cứng.
[ ]
5 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 6 3 2
1 0 3 7 0
0 0 2 0 3
K
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú=
ê ú
-ê ú
ê úë û
(2.34)
Giải phương trình
5 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 6 3 2
1 0 3 7 0
0 0 2 0 3
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-ê ú
ê úë û
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
ì ü
ï ï
ï ïï ï
í ý
ï ï
ï ï
ï ïî þ
=
1
3
4
5
2
1
0
0
f c
c
f c
f c
f c
- ´ì ü
ï ï
ï ïï ï
- ´í ý
ï ï- ´
ï ï
- ´ï ïî þ
sẽ tự động cho kết quả 2x c= như mong muốn.
2.6. Các loại phần tử bài toán 2D
Phần tử cho bài toán 2D có hai dạng là phần tử tam giác và phần tử chữ nhật. Trong phần mềm GeoStudio
(Sigma/W), lưới có thể chia ở cả hai dạng (Hình 2.5). Trong Plaxis, chỉ có phần tử tam giác được sử dụng.

Hình 2.4: Các loại phần tử thường được sử dụng trong phân tích 2D
Hình 2.5: Phần tử chữ nhật (Quads), tam giác (Triangles) trong Geostudio.
Trong Sigma/W, phần tử tam giác và chữ nhật có lựa chọn sử dụng phần tử bậc 2 (secondary nodes - Hình
2.5). Khi đó, các nút 4,5,6 sẽ được thêm vào phần tử tam giác (Hình 2.4), và nút 5,6,7,8 được thêm vào
phần tử chữ nhật (Hình 2.4).
Plaxis chỉ sử dụng phần tử tam giác, có lựa chọn giữa 6 nút và 15 nút.
Lưu ý: Không bao giờ sử dụng phần tử tam giác bậc 1 (chỉ có 3 nút) trong phân tích ứng suất biến
dạng. Kết quả của phần tử này chỉ tin cậy khi lưới phần tử là rất nhỏ.
2.7. Nguyên lý lắp ma trận độ cứng tổng thể
Từng ma trận độ cứng phần tử theo phương trình 2.25 cần được sắp xếp vào ma trận độ cứng tổng thể
(global stiffness matrix). Nguyên lý như sau.
2.7.1. Đánh số thứ tự bậc tự do
Chuyển vị theo từng phương của mỗi nút gọi là một bậc tự do. Trong bài toán biến dạng phẳng, mỗi nút gồm
hai bậc tự do là chuyển vị theo phương x (u) và chuyển vị theo phương y (v). Khi xét tới bài toán thấm, có
thể có thêm áp lực nước lỗ rỗng p.
Vector chuyển vị nút của toàn hệ có thể được viết một trong hai dạng như sau:
{ } { }1 1 1 .... ....
T
n n nd u v p u v p= (2.35)
Hoặc:
{ } { }1 2 1 2 1 2.... .... ....
T
n n nd u u u v v v p p p= (2.36)
Kí hiệu theo kiểu nào đi nữa, số bậc tự do của toàn hệ là không đổi. Tuy nhiên, chỉ số của từng nút thay đổi
phụ thuộc vào cách đánh số thứ tự.
Ví dụ một phần tử tam giác gồm 3 nút 1, 3 ,4 (Bỏ qua áp lực nước lỗ rỗng p của hệ). Mỗi nút gồm 2 bậc tự
do, theo cách đánh số thứ nhất (phương trình 2.35), vector chuyển vị của phần tử là:

{ } { }1 1 3 3 4 4
T
ed u v u v u v= (2.37)
Vị trí của từng thành phần { }ed trong vector tổng thể { }d được gọi là chỉ số (index):
{ } { }1 2 5 6 7 8
T
index = (2.38)
Nếu đánh số thứ tự bậc tự do theo 2.36, vector chuyển vị và chỉ số của phần tử lúc này thay đổi thành:
{ } { }1 3 4 1 3 4
T
ed u u u v v v= (2.39)
{ } { }1 3 4 1 3 4
T
index non non non= + + + (2.40)
Trong đó non là tổng số nút của bài toán.
Trong bài toán 2D, mỗi nút có 2 bậc tự do, tổng số bậc tự do là 2DOF non= ´ . Do đó ma trận độ cứng tổng
thể [ ]K có kích thước DOF DOF´ .
Kích thước của ma trận độ cứng phần tử [ ]eK là 2 2npe npe´ trong đó npe là số nút của mỗi phần tử. Ví dụ
phần tử tam giác 3 nút, kích thước ma trận độ cứng phần tử là 6 6´ , ma trận độ cứng phần tử với vector chỉ
số index tại 2.38 như sau:
[ ]
1 10 . . . . .
2 . . . . . .
5 . . . . . .
6 . . . . . .
7 . . . . . 20
8 . . . . . .
1 2 5 6 7 8
eK
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
(2.41)
Ma trận độ cứng tổng thể của hệ như sau:
[ ]
1 . . . . . .
2 . . . . . .
3 . . . . . .
... . . . . . .
... . . . . . .
. . . . . .
1 2 3 .. ..
K
DOF
DOF
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
(2.42)
Ma trận [ ]eK tại 2.41 được lắp vào [ ]K vào 2.42 bằng các chỉ số. Ví dụ:
- Hàng 1 cột 1 của [ ]eK , [ ]11
10eK = có chỉ số là ( )1,1 được lắp vào hàng 1, cột 1 của ma trận [ ]K
theo nguyên lý cộng tác dụng. Tức [ ] [ ] [ ]11 11 11eK K K= +
- Hàng 4 cột 6 của [ ]eK , [ ]46
20eK = có chỉ số là ( )7,8 được lắp vào hàng 7, cột 8 của ma trận [ ]K ,
tức [ ] [ ] [ ]78 78 46eK K K= +
Áp dụng các bước trên cho toàn bộ các phần tử, ta thu được ma trận độ cứng tổng thể [ ]K .
Điều kiện biên Dirichlet có thể được áp dụng cho từng ma trận độ cứng phần tử. Điều này sẽ làm giảm thời
gian thay đổi ma trận độ cứng tổng thể (tại 2.34 và 2.33).
Quá trình trên có thể được thực hiện bằng multi-thread, tức sử dụng tất cả các nhân của máy tính để thực
hiện. Thời gian sẽ giảm rất nhiều
Ma trận độ cứng được lưu dưới dạng ma trận thưa, tức chỉ lưu các số hạng khác không. Tìm hiểu thêm về
sparse matrix.

Với nhiều loại phần tử trong một hệ, mỗi nút lại có các bậc tự do khác nhau, việc đánh chỉ số bậc tự do và
tính toán tổng bậc tự do khác một chút.
2.8. Giải hệ phương trình [ ]{ } { }K d FD = D
Việc cuối cùng là giải hệ phương trình tuyến tính [ ]{ } { }K d FD = D . Hệ có DOF ẩn với DOF phương trình
(DOF là tổng số bậc tự do của hệ).
Có hai cách giải hệ phương trình trên: Cách giải trực tiếp, và giải lặp.
2.8.1. Phương pháp giải trực tiếp – Direct solver
[ ]{ } { } { } [ ] { }
1
K d F d K F
-
D = D ® D = D (2.43)
Phương pháp phổ biến nhất gọi là LU decomposition. Ma trận [ ]K được tách thành ma trận tam giác dưới L
và ma trận tam giác trên U.
Phương trình 2.43 được viết lại thành:
[ ]{ } { } [ ][ ]{ } { }K d F L U d FD = D « D = D (2.44)
Hệ phương trình 2.44 được giải qua hai bước.
· Bước 1:
[ ]{ } { }L y F= D (2.45)
· Bước 2:
[ ]{ } { }U d yD = (2.46)
Vì hệ 2.45 và 2.46 là ma trận tam giác, do đó việc giải hệ này rất dễ dàng.
Ngoài ra còn nhiều cách decomposition ví dụ như LUP, LDU.
Phương pháp giải trực tiếp tốn rất nhiều bộ nhớ RAM, và tăng theo cấp số nhân với số bậc tự do. Phương
pháp giải trực tiếp là phương pháp chính xác, luôn cho kết quả đúng. Với bài toán 2D, số lượng bậc tự do
nhỏ so với khả năng của máy tính hiện đại, do dó phương pháp này được sử dụng trong cả GeoStudio và
Plaxis.
2.8.2. Phương pháp giải lặp
Nguyên tắc của phương pháp giải lặp cho phương trình 2.43 là sử dụng một lời giải dự đoán { }0dD , sau đó
vế phải tương ứng với { }0dD được tính:
{ } [ ]{ }0 0R K dD = D (2.47)
Sai số giữa { }FD thực tế và { }0RD (gọi là residual error) được tính:
{ } { }0 0r F R= D - D (2.48)
Phương pháp giải lặp bằng nhiều cách khác nhau đưa sai số 0r về nhỏ nhất bằng cách thay đổi { }0dD . Khi
đó { }0dD được coi là lời giải gần đúng.
Phương pháp lặp phổ biến bao gồm: Conjugate Gradient (CG), BiConjugate Gradient (BiCG), Jacobi…
Phương pháp giải lặp cần ít RAM do ma trận độ cứng không cần chia thành LU như phương pháp giải trực
tiếp. Tuy nhiên, phương pháp giải lặp đòi hỏi nhiều vòng lặp, và không chắc chắn lời giải sẽ hội tụ. Trong
Ansys, Abaqus, Midas… phương pháp giải lặp được điều khiển bởi số vòng lặp lớn nhất (maximum
iteration), sai số residual cho phép (TOL).

Phương pháp giải lặp ở đây là giải lặp cho hệ phương trình tuyến tính, không nên nhầm lẫn với giải lặp trong
bài toán đàn-dẻo được đề cập trong các chương sau.
3. LÝ THUYẾT CỐ KẾT
Đang hơi khó hiểu, sẽ cố gắng viết cho dễ hiểu nhất có thể
Đất được coi là môi trường xốp (porous media) được cấu tạo bởi các hạt cốt đất (soil grains) và khoảng
trống (pore space) giữa các hạt (Hình 3.1). Ở trạng thái tự nhiên, các khoảng trống được lấp đầy bởi không
khí và nước. Khi ở trạng thái bão hòa, 100% khoảng trống được lấp đầy bởi nước.
Hình 3.1: Cấu tạo của đất
Gọi thể tích lỗ rỗng là voidV , thể tích của hạt cốt đất là solidV , và thể tích toàn bộ là totalV . Hệ số rỗng e được
định nghĩa như sau:
void
solid
V
e
V
= (3.1)
Độ rỗng n được định nghĩa:
1
void
total
Ve
n
e V
= =
+
(3.2)
Hình 3.2: Nén thoát nước một chiều
Giả sử phân tố đất bị nén với áp lực s trên đỉnh thông qua một viên đá thấm (porous stone – cho phép
nước thoát qua) với điều kiện biên như Hình 3.2:
· Cạnh trái, cạnh phải không thể chuyển vị ngang và không thoát nước
· Cạnh đáy không thể chuyển vị đứng và không thoát nước
· Tại đỉnh, do có đá thấm nên nước có thể thoát qua

Hình 3.3: (a)- Chuyển vị của viên đá thấm ; (b) – Áp lực nước lỗ rỗng dư tại điểm A
Tại thời điểm ngay sau khi tác dụng lực, do đất có hệ số thấm nhỏ, nên nước không thoát ra được khỏi đá
thấm. Do đó, áp lực s sẽ do toàn bộ nước chịu, chuyển vị tức thời hD gần như bằng 0. Áp lực nước lỗ
rỗng dư tại điểm A là lớn nhất.
Theo thời gian, nước bắt đầu thoát ra khỏi mẫu đất thông qua đá thấm ở trên đỉnh mẫu. Chuyển vị hD tăng
dần theo thời gian, và áp lực nước lỗ rỗng dư tại điểm A giảm dần theo thời gian.
Quá trình trên được gọi là quá trình cố kết của đất. Lý thuyết cố kết dựa trên giải thiết sau:
· Dòng thấm trong đất tuân theo định luật Darcy
· Dưới tác dụng của lực, hạt đất bị nén lại, nước bị nén lại, và thể tích lỗ rỗng của đất nhỏ lại. Tổng
sự thay đổi thể tích của hạt đất, nước, lỗ rỗng bằng với thể tích nước thoát ra khỏi mẫu.
3.1. Nén không thoát nước của một phân tố
Giả sử áp suất sD tác dụng lên một phân tố đất bão hòa nước như Hình 3.4.
Hình 3.4: Lực tác dụng lên phân tố bão hòa nước
Nước có độ nén (compressibility) là fC , hạt cốt đất có độ nén là sC , và toàn bộ cả nước và hạt cốt đất có
độ nén là mC (độ nén này là do các hạt cốt đất dịch chuyển lại gần nhau dưới tác dụng của lực).
Phân tố đất có thể tích là V . Dưới tác dụng của sD , áp lực nước tăng thêm là pD , phần còn lại psD - D
được truyền vào các hạt đất.
Sự thay đổi thể tích của nước do bị nén dưới tác dụng của pD là:
1f fV nC pVD = - D (3.3)
Sự thay đổi thể tích của hạt đất là dưới tác dụng của pD là:
( )1 1s sV n C pVD = - - D (3.4)
Sự thay đổi thể tích sVD kéo theo sự thay đổi thể tích của phần lỗ rỗng (pore space):
1 sV C pVD = - D (3.5)
Dưới ảnh hưởng của psD - D , nước không thay đổi thể tích:
2 0fVD = (3.6)

Ứng suất tác dụng lên các hạt đất là
1
p
n
sD - D
-
, do đó sự thay đổi thể tích của hạt đất dưới tác dụng của
1
p
n
sD - D
-
là:
( )2s sV C p VsD = - D - D (3.7)
Thay đổi thể tích lỗ rỗng dưới tác dụng của psD - D :
( )2 mV C p VsD = - D - D (3.8)
Vậy, tổng thay đổi thể tích của nước:
1 2f f f fV V V nC pVD = D + D = - D (3.9)
Tổng thay đổi thể tích của hạt đất:
( ) ( )1 2 1s s s s sV V V n C pV C p VsD = D + D = - - D - D - D (3.10)
Tổng thay đổi thể tích của lỗ rỗng:
( )1 2 s mV V V C pV C p VsD = D + D = - D - D - D (3.11)
Vì không thoát nước, do đó tổng thay đổi thể tích của lỗ rỗng bằng tổng thay đổi thể tích của nước và hạt
đất, tức:
f sV V VD = D + D (3.12)
Thay 3.9, 3.10, 3.11 vào 3.12 ta có:
( ) ( )
m s
m s f s
C Cp
B
C C n C Cs
-D
= =
D - + -
(3.13)
B gọi là hệ số Skempton. Trong cơ học đất, tính nén của nước và hạt cốt đất nhỏ hơn rất nhiều so với tính
nén của lỗ rỗng, tức: ;s m f mC C C C  . Nếu xấp xỉ 0f sC C  , phương trình 3.13 cho 1m
m
C
B
C
  .
Lưu ý: Modulus khối (bulk modulus) , ,s fK K K là nghịch đảo của , ,m f sC C C .
3.2. Áp lực nước thủy tĩnh, áp lực nước lỗ rỗng dư, cột nước áp lực
Xét một mẫu đất nằm mực nước như Hình 3.5 trong mặt phẳng Oxy trong đó trục Oy ngược chiều trọng
lực. Gốc O có cao độ là 0 (m). Xét điểm A như trên hình vẽ, cao trình điểm A là Ay (m), và khoảng cách
từ điểm A tới mặt nước là AH (m).
Hình 3.5:Sơ đồ áp lực thủy tĩnh, áp lực nước lỗ rỗng dư, cột nước áp lực
Áp lực thủy tĩnh tại điểm A được định nghĩa như sau:
s
A w ap Hg= (3.14)
Trong đó 3
( / )w kN mg là trọng lượng riêng của nước.
Giả sử mẫu đất bị nén với áp lực s , áp lực nước lỗ rỗng tăng thêm do lực nén này là e
Ap . Tổng áp lực
nước tại điểm A lúc này là:
s e
A A Ap p p= + (3.15)
Tổng cột nước áp lực tại điểm A (water head) lúc này là:

( ) A
A
w
p
H m y
g
= + (3.16)
Trong nhiều phần mềm, áp lực nước p được sử dụng. Tuy nhiên, trong nhiều phần mềm, tổng cột nước áp
lực được sử dụng thay thế.
3.3. Nguyên lý ứng suất hiệu quả
Nguyên lý ứng suất hiệu quả được lần đầu tiên đưa ra bởi Tarzaghi. Xét một phân tố có cao trình ( )y m , ứng
suất hiệu quả được xác định theo công thức.
( )'
wp H ys s s g= - = - - (3.17)
Trong đó s là ứng suất tổng, p là áp lực nước lỗ rỗng (pore pressure), và '
s là ứng suất hiệu quả, H là
tổng cột nước áp lực.
Biot tổng quát hóa cho bài toán 3D:
( )'
ij ij ij ij ij wp H ys s ad s ad g= - = - - (3.18)
Hoặc viết dưới dạng vector:
( )
( )
( )
'
'
'
'
'
'
0 0
0 0
0 0
x x x w
y y y w
z z z w
xy xy xy
xz xz xz
yz yz yz
p H y
p H y
p H y
s s sa a g
s s sa a g
s s sa a g
t t t
t t t
t t t
ì ü ì ü ì ü -ì üì ü
ï ï ï ï ï ï ï ïï ï
-ï ï ï ï ï ï ï ïï ï
ï ï ï ï ï ï ï ïï ï -ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï
= - = -í ý í ý í ý í ý í ý
ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï
ï ï ï ïï ï ï ï ï ïî þ î þî þ î þ î þ
(3.19)
Với 1 s
m
C
C
a = - là hệ số Biot. Trong cơ học đất, do 0sC  nên 1a  , phương trình 3.16 giống với công thức
đưa ra bởi Terzaghi.
3.4. Định luật Darcy
Xét một ống chứa đất từ a đến b có diện tích mặt cắt ngang là 2
( )A m , chiều dài ( )ab L m= và lưu lượng
dòng chảy trong ống là 3
( / )Q m s . Gọi áp lực nước tại điểm ,a b lần lượt là ap và bp , cột nước tổng là
( )aH m và ( )bH m .
Hình 3.6: Dòng chảy trong ống nghiêng
Chênh lệch cột nước giữa hai điểm ,b a là:
b aH H HD = - (3.20)
Nếu chênh lệch cột nước là tuyến tính theo chiều dài L , gradient thuỷ lực giữa hai điểm ,b a :
b a
H
i
L
-
D
= - (3.21)
Theo định luật Darcy, lưu lượng Q được xác định theo công thức:
b a
b a
H H
Q kAi kA
L
-
-
= = - (3.22)
Trong đó ( / )k m s là hệ số thấm.
Do chênh lệch cột nước là tuyến tính, nếu L tiến tới vô cùng nhỏ, công thức 3.22 được viết lại dưới dạng
đạo hàm:

Q H
q k
A L
¶
= = -
¶
(3.23)
Trong hệ trục toạ độ ba chiều Oxyz với trục Oy ngược chiều trọng lực, cột nước tổng
w
p
H y
g
= + , công
thức 3.23 được viết cho từng trục , y,zx như sau:
; ;x y w z
w w w
k p k p k p
q q q
x y z
g
g g g
æ ö¶ ¶ ¶
= - = - + = -ç ÷
¶ ¶ ¶è ø
(3.24)
Hoặc biểu diễn theo cột nước tổng:
; ;x y z
H H H
q k q k q k
x y z
¶ ¶ ¶
= - = - = -
¶ ¶ ¶
(3.25)
3.5. Lý thuyết cố kết ba chiều (3D)
3.5.1. Phương trình vi phân
Việc thành lập lý thuyết thấm cố kết ba chiều không được trình bày ở đây vì rất dài. Do đó, tác giả chỉ nêu ra
công thức cuối cùng.
Lý thuyết cố kết thấm ba chiều bao gồm một phương trình miêu tả dòng thấm, và ba phương trình cân bằng
lực.
Phương trình miêu tả dòng thấm (storage equation) được viết là:
yx z
qq qp
S
t t x y z
e
a
¶æ ö¶ ¶¶ ¶
+ = - + +ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø
(3.26)
Trong đó S được gọi là hệ số lưu trữ (storativity)
( )f sS nC n Ca= + - (3.27)
Thay phương trình 3.24 vào phương trình 3.26, phương trình được viết lại:
0
w w w
p k p k p k p
S
t t x y z
e
a
g g g
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
+ - + + =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
(3.28)
Lưu ý: phương trình 3.28 được viết cho p là áp lực nước lỗ rỗng dư. Phương trình này có thể dễ dàng viết lại
sử dụng cột nước áp lực tổng H.
Phương trình cân bằng lực của một phân tố trong không gian là:
0
0
0
xyxx xz
x
xy yy yz
y
yzxz zz
z
f
x y z
f
x y z
f
x y z
ss s
s s s
ss s
¶¶ ¶
+ + - =
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
+ + - =
¶ ¶ ¶
¶¶ ¶
+ + - =
¶ ¶ ¶
(3.29)
Trong đó các thành phần ứng suất tổng được tính từ áp lực nước lỗ rỗng p và ứng suất hiệu quả như
phương trình 3.19.
( )
( )
( )
'
'
'
'
'
'
0 0
0 0
0 0
x x x w
y y y w
z z z w
xy xy xy
xz xz xz
yz yz yz
p H y
p H y
p H y
s s sa a g
s s sa a g
s s sa a g
t t t
t t t
t t t
ì ü ì ü ì ü -ì üì ü
ï ï ï ï ï ï ï ïï ï
-ï ï ï ï ï ï ï ïï ï
ï ï ï ï ï ï ï ïï ï -ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï
= - = -í ý í ý í ý í ý í ý
ï ï ï ïï ï ï ï ï ïî þ î þî þ î þ î þ
Quan hệ giữa ứng suất hiệu quả và biến dạng tuân theo định luật Hook:

{ } { }
( )( )
' '
' ' ' '
' ' ''
' ' '' '
'' '
'
'
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0.5 0 01 1 2
0 0 0 0 0.5 0
0 0 0 0 0 0.5
x x
yy
zz
xyxy
xzxz
zyzy
D
E
s e
s em m m
em m ms
em m ms
gmt m m
gmt
gmt
é ùD = Dë û
ì üD Dì üé ù-
ï ï ï ïê ú D-Dï ï ï ïê ú
ï ï ï ïê ú D-Dï ï ï ï
® = ê úí ý í ý
D-D + - ê úï ï ï ï
ê úï ï ï ïD-D
ê úï ï ï ï
D-D ê ú ï ïï ï ë û î þî þ
(3.30)
3.5.2. Phân tích cố kết trong phần tử hữu hạn, bài toán cặp
Hệ phương trình của lý thuyết cố kết ba chiều gồm phương trình 3.28 và 3.29, cả hai phương trình đều
chứa biến thời gian t . Trong bài toán 3 chiều, các biến của bài toán bao gồm:
· Chuyển vị theo trục x: u
· Chuyển vị theo trục y: v
· Chuyển vị theo trục z: w
· Hoặc vector chuyển vị là { }d u v w=
· Áp lực nước lỗ rỗng p
Giả sử tại thời điểm ban đầu 0t giá trị các biến là 0d và 0p . Phương trình 3.28 và 3.29 được giải bằng cách
tích phân trong khoảng thời gian tD nhỏ. Ví dụ phương trình 3.28 có thể được viết lại dưới dạng tích phân
từ 0t đến 0t t+ D như sau:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0
w
k p p p
t t t S p t t p t t
x x y y z z
a e e
g
é ùæ ö æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
+ D - + + D - - D + + =é ù é ù ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ë û ë û ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ê úè ø è ø è øë û
(3.31)
Trong đó p là áp lực trung bình từ thời gian 0t đến 0t t+ D , được viết như sau:
( ) ( ) ( )
0
0
0 0
1
1
t t
t
p pdt p t p t t
t
q q
+D
= = - + + D
D ò (3.32)
Trong đó q gọi là hệ số tích phân. Phương trình 3.32 có nghĩa là, nếu chúng ta biết áp lực nước lỗ rỗng tại
thời điểm 0t và 0t t+ D , áp lực nước lỗ rỗng trung bình có thể được biểu diễn thông qua hai giá trị này.
Trong phơng trình 3.32, nếu:
· 0q = , có nghĩa là 0p p= , phương pháp này được gọi là phương pháp forward Euler, hay lời giải
explicit.
· 1q = , có nghĩa là ( )0p p t t= + D , phương pháp này được gọi là backward Euler, hay lời giải
implicit.
Thông thường, 0.5 1q£ £ . Trong hầu hết các phần mềm, 1q = được sử dụng.
Như đã chi tiết trong chương 1 và chương 2, trong bài toán tĩnh, không có thời gian, và chỉ có ứng suất
tổng, hệ phương trình tuyến tính là:
[ ]{ } { }K d FD = D (3.33)
Với bài toán cố kết, hệ phương trình tuyến tính với phương pháp backward Euler là:
T
K C d F
C S tD p Q
D Dé ù ì ü ì ü
=í ý í ýê ú- + D D Dë û î þ î þ
(3.34)
Trong đó [ ]C là ma trận bài toán cặp, [ ] [ ]S t D+ D là ma trận của bài toán thấm.

Trong phương trình, hệ số của ma trận [ ]K phụ thuộc vào E và m trong khi đó hệ số ma trận [ ]C , [ ]S và
[ ]D phụ thuộc vào hệ số thấm k , hệ số nén của nước fC và hệ số nén của hạt đất sC . Tất cả các hệ số
này nhỏ hơn rất rất nhiều lần so với E , do đó có sự chênh lệch rất lớn giữa các thành phần của ma trận
tổng thể.
Điều này dẫn đến:
· Giải hệ phương trình 3.34 theo phương pháp lặp có thể dẫn đến khó hội tụ, đặc biệt với bài toán
nén không thoát nước có 0tD = .
· Thiết lập hệ phương trình 3.34 phức tạp.
Do vậy bài toán cố kết thấm thường được giải theo phương pháp un-coupled như sau:
· Giải riêng biệt bài toán thấm
· Ứng với mỗi bước tính toán của bài toán thấm, sự thay đổi áp lực nước lỗ rỗng sẽ được biết, từ đó
xác định được sự thay đổi của ứng suất hiệu quả.
Trong phần mềm Geostudio, bài toán thấm được giải bằng modulus Seep/W, và ứng suất biến dạng được
giải bằng Sigma/W. Cặp giữa Sigma/W và Seep/W là bài toán phân tích cố kết thấm theo phương pháp un-
coupled. Trong Sigma/W, phương pháp coupled cũng có thể được sử dụng khi vật liệu được chọn là
Effective Parameters w/PWP Change.
Hình 3.7: Lựa chọn giải bài toán coupled trong Sigma/W.
Trong Plaxis, ba phương pháp phân tích cố kết được gọi là phương pháp A, B, C. Cụ thể về ba phương
pháp này sẽ được trình bày ở chương sau.
3.6. Lý thuyết cố kết một chiều (1D)
Trong bài toán 3D, nếu không tồn tại chuyển vị theo phương ngang, lý thuyết cố kết 3D được rút gọn thành
lý thuyết cố kết 1D (được phát triển bởi Terzaghi).
Khi không có chuyển vị theo phương ngang, và trục thẳng đứng là trục y, ta có:
yye e= (3.35)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính
( )'
yy v yy v yym m pe s s a= - = - - (3.36)
Trong đó vm là hệ số nén không nở hông (xem chương 4 phần thí nghiệm oedometer). Từ 3.36, ta có:
yy
v v
p
m m
t t t
se
a
¶¶ ¶
= - +
¶ ¶ ¶
(3.37)
Thay phương trình 3.37 vào phương trình 3.28:
0
i
i
d
H
e = (3.38)
Trong đó Ñ là toán tử Laplace. Toán tử Laplace của một vector f được định nghĩa như sau:
( )
f f f
f
x y z
¶ ¶ ¶
Ñ = + +
¶ ¶ ¶
(3.39)
Nếu ứng suất tổng là hằng số theo thời gian, 0yy
t
s¶
=
¶
, phương trình 3.38 trở thành:

( ) ( )2 2
v v
f
p k p
m S p c p
t t
a
g
æ ö¶ ¶
+ = Ñ Ñ ® = Ñç ÷ç ÷¶ ¶è ø
(3.40)
Với vc là hệ số cố kết được xác định như sau:
( )2v
v f
k
c
m Sa g
=
+
(3.41)
Phương trình 3.40 là phương trình kinh điển của lý thuyết cố kết thấm một chiều. Trong cơ học đất, nếu
1a = và 0S = , hệ số cố kết trở thành:
v
v f
k
c
m g
= (3.42)
Và phương trình thấm được viết rút gọn:
v
f
p k
m p
t g
æ ö¶
= Ñ Ñç ÷ç ÷¶ è ø
(3.43)
Hoặc viết dưới dạng cột nước tổng H :
v w
H H H H
m k k k
t x x y y z z
g
æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö
= + +ç ÷ç ÷ ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è øè ø
(3.44)
Phương trình 3.44 được sử dụng trong phần mềm Seep/W cho bài toán thấm.

4. CÁC THÍ NGHIỆM ĐẤT TRONG PHÒNG CƠ BẢN
4.1. Thí nghiệm cắt phẳng trực tiếp (Direct shear test)
Hình 4.1: Thí nghiệm cắt phẳng trực tiếp
Thí nghiệm cắt phẳng trực tiếp được mô tả như Hình 4.1 bao gồm:
- Mẫu đất có diện tích sA được đặt trong một hộp gồm hai phần. Phần trên có thể di chuyển theo
chiều ngang, và phần dưới được cố định.
- Hai tấm đá thấm được đặt tại đỉnh và đáy của mẫu nhằm triệt tiêu áp lực nước lỗ rỗng có thể sinh ra
trong quá trình thí nghiệm.
- Hai đồng hồ đo biến dạng để do biến dạng đứng và ngang.
Quá trình thí nghiệm như sau:
- Tác dụng một lực yF theo phương đứng lên đỉnh mẫu. Lực này gây ra áp suất theo phương đứng là
y
y
s
F
A
s =
- Tác dụng một lực xF nằm ngang, tăng dần rất chậm. Quá trình này được gọi là quá trình cắt. Trong
quá trình cắt, ghi lại số liệu chuyển vị đứng yD , chuyển vị ngang xD , lực xF . Ứng suất cắt tại mặt
phẳng ngang là x
s
F
A
t = .
Hình 4.2: Kết quả điển hình thí nghiệm cắt phẳng trực tiếp
Hình 4.2 thể hiện kết quả điển hình của thí nghiệm cắt trực tiếp cho đất sét quá cố kết, cát chặt, cát lỏng và
sét cố kết bình thường. Ứng với từng cấp tải trọng đứng ys , biểu đồ ứng suất t được thể hiện cùng với
chuyển vị ngang xD .
Với cát chặt hoặc sét quá cố kết, ứng suất t đạt trạng thái lớn nhất gọi là pt (gọi là peak) sau đó giảm dần
về giá trị residual rt . Hiện tượng trên được giải thích là do cát chặt nên tồn tại các “shear locking” giữa các
hạt. Do đó, ứng suất cắt cần phải lớn để phá vỡ “shear locking” này. Sau đó, các hạt bắt đầu “trườn (roll)”
nên nhau nên ứng suất cắt giảm.
Với cát “lỏng” (loose sand), hiện tượng trên không xuất hiện. Ứng suất cắt tăng cùng với chuyển vị ngang
cho đến khi đạt giá trị residual.

Với ít nhất 3 thí nghiệm khác nhau ta thu được ba bộ giá trị:
· ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , , ,p p ps t s t s t
· ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , , ,r r rs t s t s t
Thể hiện các giá trị trên trên hệ trục ( ),t s như Hình 4.1 ta thu được:
- Góc ma sát trong lớn nhất '
pf , hệ số “dính” lớn nhất '
pc
- Góc ma sát trong '
rf và hệ số dính '
rc residual
Có thể thấy, thí nghiệm cắt phẳng có các nhược điểm sau:
- Không thể điều chỉnh được áp lực nước lỗ rỗng, do đó thí nghiệm phải tiến hành rất chậm để đảm
bảo áp lực nước lỗ rỗng dư bằng 0.
- Mặt phẳng cắt đã được định trước là mặt ngang, nhưng thực tế, mặt phá hoại có thể là mặt xiên.
4.2. Thí nghiệm nén ba trục
4.2.1. Mô tả
Hình 4.3: Thí nghiệm nén ba trục
Về cơ bản, các thành phần của thí nghiệm nén ba trục được thể hiện như Hình 4.3, bao gồm:
- Mẫu đất hình trụ có diện tích A và chiều cao H, tại hai đầu có hai đĩa xốp (porous disk). Mẫu được
bọc kín bởi màng cao su (membrane). Ngoài ra các vòng cao su được sử dụng để ép chặt màng
cao su vào đáy và đỉnh của hộp nén.
- Khung gia tải (thường là tự động) dùng để tác dụng một lực vF theo phương thẳng đứng lên mẫu.
Do đó, ứng suất theo phương đứng do lực gây ra là v
v
F
A
s = .
- Một đồng hồ đo chuyển vị (LVDT) để đo chuyển vị thẳng đứng.
- Áp lực nước lỗ rỗng trong mẫu được đo dưới đáy mẫu. Van thoát nước dùng để điều khiển việc
thoát nước hoặc không thoát nước của mẫu.
- Toàn bộ mẫu được đặt trong một buồng kín chứa đầy nước. Áp lực của nước trong buồng gọi là áp
lực buồng 3s .
- Trên đỉnh mẫu có một đường ống để điều khiển áp lực nước lỗ rỗng trong mẫu (back-pressure).
Về cơ bản, thí nghiệm nén ba trục gồm ba bước:
- Bước 1: Bão hoà mẫu, hay còn gọi là B-Check.
- Bước 2: Cố kết mẫu ở một trạng thái ứng suất. Ở bước này, nếu van thoát nước được đóng, tức
mẫu không được cố kết. Trạng thái như vậy kí hiệu là U (U trong Unconsolidated). Nếu van thoát
nước mở, mẫu được cố kết, kí hiệu là C (C trong Consolidated). Tuỳ thuộc vào trạng thái ứng suất,
có thể có thêm kí hiệu I nếu ứng suất là Istropic, hoặc K0 nếu điều kiện ứng suất thoả mãn không
có chuyển vị ngang.
- Bước 3: Tăng áp lực đứng đến khi mẫu bị phá hoại (giai đoạn cắt). Nếu van thoát nước được mở,
giai đoạn này kí hiệu là D (D trong Drained). Nếu van thoát nước đóng, không có nước thoát ra, giai

đoạn này kí hiệu là U (U trong Undrained). Ngoài ra, nếu thí nghiệm là nén, có thể kí hiệu là C (C
trong compression). Nếu thí nghiệm là kéo, kí hiệu là E (E trong Extension).
Như vậy các thí nghiệm cơ bản được kí hiệu như sau:
- UU: Unconsolidated Undrained Test, tức không cố kết ở bước 2, không thoát nước ở bước 3.
- CD: Consolidated Drained Test, tức cố kết ở bước 2 và thoát nước ở bước 3.
- CU: Consolidated Drained Test, tức cố kết ở bước 2 và không thoát nước ở bước 3.
Ngoài ra, các thí nghiệm khác có thể là:
- CK0UC: Thí nghiệm nén, cố kết với trạng thái ứng suất K0 ở bước 2, và không thoát nước ở bước
3.
- CIUC: Thí nghiệm nén, cố kết với ứng suất istropic (tức 1 3s s= ) ở bước 2, và không thoát nước ở
bước 3.
- CK0UE: Thí nghiệm có 1 3s s< , các thông số còn lại tương tự CK0UC.
- CIUE: Thí nghiệm có 1 3s s< , các thôgn số còn lại tương tự CIUC.
-
Ứng với mỗi thời điểm bất kí trong thời gian thí nghiệm, các thông số sau có thể được tính toán:
- Biến dạng dọc trục: a
H
H
e
D
=
- Ứng suất buồng 3s (Trùng với ứng suất chính 3s )
- Ứng suất thẳng đứng: 1 3
vF
A
s s= + (Trùng với ứng suất chính 1s
- Ứng suất chính hiệu quả: '
1 1 us s= - ; '
3 3 us s= -
- Ứng suất lệch: 1 3t s s= -
4.2.2. Biểu diễn kết quả thí nghiệm nén 3 trục
Trong thí nghiệm nén ba trục, ứng suất chính 2s có thể trùng với ứng suất chính 3s nếu mẫu bị nén, hoặc
trùng với 1s nếu trường hợp 1 3s s< . Do không có lực xiên, nên ứng suất chính 1s trùng với phương thẳng
đúng, và ứng suất chính 3s có phương nằm ngang.
Kết quả thí nghiệm của mẫu được thể hiện trên hệ trục toạ độ Ost . Có hai cách để thể hiện:
- Thể hiện theo vòng tròn Morh
- Thể hiện theo điểm ứng suất
Cách thể hiện theo điểm ứng suất thường được sử dụng để thể hiện lộ trình ứng suất (stress path). Trong
hệ trục Ost , điểm có toạ độ ( ),s t hoặc ( )'
,s t
' '
'1 3 1 3 1 3
; ;
2 2 2
s s t
s s s s s s+ + -
= = = (4.1)
Hình 4.4: Hai cách thể hiện kết quả thí nghiệm nén ba trục

Cách biểu diễn điểm ứng suất trên được xuất phát từ nhóm của MIT. Ngoài ra, nhóm của Cambridge sử
dụng cách ký hiệu khác. Thay vì sử dụng s và 's , nhóm từ Cambridge sử dụng ứng suất trung bình p và
'p thay thế.
Ta có:
( ) ( )' ' '
1 2 31 2 3 '
; ;
3 3
p p
s s ss s s + ++ +
= = (4.2)
Trong thí nghiệm nén ba trục, ' '
2 3 2 3;s s s s= = , do đó:
( ) ( )' ' '
1 3 1 3
1 1
2 ; 2
3 3
p ps s s s= + = + (4.3)
Ví dụ, một thí nghiệm nén ba trục có 1 100( )kPas = ; 3 50( )kPas = và áp lực nước lỗ rỗng 20( )u kPa= . Ta
biểu diễn các thành phần ứng suất bằng vòng tròn Mohr, bằng điểm ứng suất theo cả MIT và Cambridge
cho ứng suất hiệu quả như sau:
- Ứng suất hiệu quả: '
3 3 50 20 30( )u kPas s= - = - = và '
1 1 100 20 80( )u kPas s= - = - =
- Ứng suất cắt:
' '
1 3 80 30
25( )
2 2
t kPa
s s- -
= = =
- Tâm vòng tròn Mohr:
' '
1 3 80 30
55( )
2 2
kPa
s s+ +
= =
- Ứng suất trung bình: ( ) ( )' ' '
1 3
1 1
2 80 2 30 46.67
3 3
p s s= + = + ´ »
Hình 4.5: Biểu diễn ứng suất với ( )' '
,t s và ( )' '
,t p
Trong Ebook này, cách biểu diễn theo MIT được sử dụng.
4.2.3. Điều kiện ứng suất đẳng hướng Isotropic và K0
Mục đích của bước 2 trong thí nghiệm nén ba trục là đưa đất về trạng thái gần với trạng thái thực tế (tại hiện
trường) nhất. Khi ứng suất được cố kết dưới trạng thái ứng suất ( )1 3, ,us s , nếu:
- 1 3s s= : Đây được gọi là điều kiện ứng suất đẳng hướng.
- Tuy nhiên, có thể đất ngoài hiện trường được cố kết trong điều kiện không có biến dạng ngang. Khi
đó, tỷ số giữa ứng suất ngang và ứng suất thẳng đứng được gọi là 0K , tức:
3
0
1
K
s
s
= (4.4)
Với đất cố kết bình thường, 0 ncK K= trong đó ncK là hệ số áp lực đất ngưng:
'
'
'
1 sin
1
nc
v
K
v
j= - =
-
(4.5)
Tại bước 2, trạng thái K0 là trạng thái ứng suất sao cho không có biến dạng ngang trong thí nghiệm nén 3
trục.
4.2.4. Lộ trình ứng suất (stress path)
Tập hợp các điểm ứng suất trong thí nghiệm nén 3 trục được gọi là lộ trình ứng suất.

Hình 4.6: Lộ trình ứng suất
Ví dụ trên Hình 4.6, biểu diễn lộ trình ứng suất của một thí nghiệm nén 3 trục bắt đầu từ điểm O sau đó đến
A , sau đó từ A đến X với X là điểm khi mẫu bị phá hoại. Lộ trình ứng suất có thể diễn giải như sau:
- Bắt đầu từ điểm O : Ứng suất của mẫu bằng 0. Vòng tròn Mohr có bán kính bằng 0.
- Cố kết mẫu với ứng suất đăng hướng 3s . Điểm ứng suất lúc này là điểm A . Do ứng suất đẳng
hướng nên 1 3
0
2
s s
t
-
= = , điểm A vẫn nằm trên trục Os và bán kính vòng tròng Mohr vẫn bằng 0.
- Tăng dần ứng suất '
1s trong khi giữ nguyên ứng suất '
3s cho đến khi mẫu bị phá hoại. Vòng tròn
Mohr mở rộng cho đến khi tiếp xúc với đường phá hoại Mohr Couloumb (MC). Nối điểm A vớ các
đỉnh vòng tròn Mohr (điểm , , ,B C D X ) được đường gọi là lộ trình ứng suất. Đường này nghiêng một
góc 0
45 so với phương ngang (Trong điều kiện nén thoát nước CD).
Trên Hình 4.6, nối điểm X với điểm gốc của đường phá hoại MC được một đường gọi là đường phá huỷ
fK . Đường này cắt trục Ot tại '
k và hợp với phương ngang một góc '
a .
4.2.5. Bão hoà mẫu
Trong mục 3.3, khi tác dụng một áp suất sD đẳng hướng vào mẫu đất sẽ sinh ra áp lực nước lỗ rỗng uD :
u B sD = D (4.6)
Với đất, hệ số Skempton ~ 1B .
Trong thí nghiệm nén ba trục, mẫu phải được bão hoà. Quá trình làm cho mẫu bão hoà được gọi là B-
Check, tức kiểm tra hệ số Skempton. Khi hệ số B~1, mẫu được gọi là bão hoà.
Thông thường, việc bão hoà mẫu được tiến hành như sau:
- Tăng dần áp lực buồng 3s và áp lực back-pressure p sao cho 3 p consts - = , tức duy trì ứng suất
hiệu quả là hằng số. Không khí trong mẫu được “hoà” vào nước dưới áp lực back-pressure p .
- Để kiểm tra mẫu đã đạt độ bão hoà hay chưa, tăng áp lực buồng một giá trị 3sD với van thoát nước
đóng. Khi đó áp lực nước lỗ rỗng tăng lên uD . Nếu
3
~ 1
u
B
s
D
=
D
, mẫu được coi là bão hoà.
Hình 4.7: Bão hoà mẫu và kiểm tra hệ số Skempton B
4.2.6. Nén ba trục UU
Trong thí nghiệm UU, trong cả hai giai đoạn cố kết và cắt, van thoát nước đều đóng. Có nghĩa là, ứng suất
hiệu quả ' '
1 3 0s s= = .

- Cố kết đẳng hướng tại một cấp áp lực buồng 3s
- Giữ nguyên 3s , tăng dần áp lực thẳng đứng 1sD đến khi mẫu bị phá hoại.
- Thí nghiệm lại với cấp áp lực 3s khác.
Kết quả thí nghiệm được biểu diễn theo thông số ứng suất tổng như Hình 4.8.
Hình 4.8: Thí nghiệm UU; (a) – Sơ đồ lực tác dụng; (b) – Biểu diễn kết quả vòng tròn Mohr ứng suất tổng
Với các các áp lực hông 3s khác nhau, bán kính vòng tròn Mohr là như nhau. Đỉnh các vòng tròn Mohr nối
với nhau tạo thành đường thẳng song song với trục Os (tức góc ma sát 0)j = , cắt trục thẳng đứng tại uS .
Giá trị uS được gọi là sức kháng cắt không thoát nước (undrained shear strength).
4.2.7. Nén ba trục CU
- Bước nén cố kết: Sau bước B-Check, mở van thoát nước. Tuỳ thuộc điều kiện ứng suất đẳng
hướng (isotropic) hay K0, tiến hành tăng dần ứng suất 3s và 1s đến giá trị mong muốn. Sau đó, chờ
cho mẫu cố kết hoàn toàn (áp lực nước lỗ rỗng giảm gần giá trị back-pressure, biến dạng của mẫu
không đổi).
- Đóng van thoát nước: Tăng dần 1s cho đến khi mẫu bị phá hoại.
Trong thí nghiệm nén CU, áp lực nước lỗ rỗng được đo. Do đó, ứng suất hiệu quả được tính:
' '
1 1 3 3;u us s s s= - = - (4.7)
Tiến hành với các cấp áp lực 3s khác nhau, ta được các bộ thông số ứng suất tổng và ứng suất hiệu quả.
Biểu diễn bộ thông số này trên vòng tròn Mohr, góc ma sát trong j và hệ số dính c tương ứng với ứng
suất hiệu quả và ứng suất tổng có thể được xác định.
Hình 4.9: Thí nghiệm nén ba trục CU; (a) – Sơ đồ áp lực; (b) – Biểu diễn vòng tròn Mohr ứng suất tổng; (c) – Biểu
diễn vòng tròn Mohr ứng suất hiệu quả
4.2.8. Nén ba trục CD
Thí nghiệm nén ba trục CD giống với thí nghiệm nén ba trục CU ở bước nén cố kết. Nhưng sau đó, van
thoát nước tiếp tục được mở và áp lực 1s tăng từ từ sao cho áp lực nước lỗ rỗng uD không tăng (tức giữ
back-pressure) là hằng số.
Trong thí nghiệm CD, chúng ta chỉ thu được bộ thông số ứng với ứng suất hiệu quả. Biểu diễn kết quả vòng
tròn Mohr với các cấp áp lực hông khác nhau, chúng ta thu được góc ma sát trong '
j và hệ số dính '
c
tương ứng với ứng suất hiệu quả.

4.3. Thí nghiệm nén cố kết oedometer
Hình 4.10: Thí nghiệm nén cố kết một chiều
Trong thí nghiệm nén cố kết một chiều odometer, mẫu bão hoà hình trụ có diện tích mặt cắt ngang sA và
chiều cao ban đầu 0H được đặt trong một hộp nén. Tại đáy và đỉnh mẫu là đá thấm (porous stone). Hộp
nén được đặt ngập trong nước.
Ứng với mỗi lần gia tải, độ lún của mẫu được xác định thông qua số đọc của đồng hồ đo chuyển vị đứng.
Mỗi cấp tải thường cách nhau một ngày, và cấp tải sau thường gấp đôi cấp tải trước. Mục đích để cho áp
lực nước lỗ rỗng dư được tiêu tán hết, do đó ứng suất hiệu quả của mỗi lần gia tải là:
'
s
F
A
s = (4.8)
Trong đó F là tổng trọng lượng quả cân gia tải. Chiều cao mẫu sau mỗi lần gia tải là:
0i iH H d= - (4.9)
Trong đó id là số đọc của đồng hồ đo. Hoặc biến dạng của mẫu là:
0
i
i
d
H
e = (4.10)
Mẫu ban đầu có hệ số rỗng là 0e , sau mỗi lần gia tải, hệ số rỗng mới là:
( )0
0
0
1
i
e H
e e
H
+ D
= - (4.11)
Hệ số nén thể tích vm trong phương trình 3.43 cho hai cấp tải liên tiếp được xác định:
( ) ' '
01
v
e
m
e
e
s s
D D
= =
+ D D
(4.12)
Nếu biểu đồ hệ số rỗng e được thể hiện cùng với logarit của ứng suất hiệu quả '
s , biểu đồ là một đường
cong, có thể được xấp xỉ thành hai đường thẳng với độ dốc rC và cC được gọi là chỉ số nén lại (r trong
recompression), chỉ số nén (c trong compression). Nếu mẫu được dỡ tải (unloading), biểu đồ '
log( )e s đi
theo đường nở với độ dốc sC (s trong swelling).
Thí nghiệm oedometer cũng có thể được dùng để xác định hệ số cố kết một chiều vc như Hình 4.11.
Hình 4.11: Phương pháp log-t xác định hệ số cố kết cv

Với một cấp áp lực cụ thể, độ lún của mẫu hD được ghi lại theo thời gian t . Biểu đồ thể hiện giữa
log( )h tD  . Theo lời giải giải tích của thí nghiệm nén oedoemeter, tại khoảng thời gian ban đầu của quá
trình cố kết, độ cố kết tỷ lệ với t . Tức độ lún trong khoảng thời gian 0t = (phút) và 1t t= (phút) sẽ bằng
với độ lún trong khoảng thời gian từ 1t t= và 14t t= .
Nếu độ lún tại thời điểm 1t = (phút) là 1hD và thời điểm 4t = (phút) là 2hD và độ lún ngay sau khi gia tải là
0hD , ta có:
1 0 2 1h h h hD - D = D - D (4.13)
Khi thời gian đủ dài, độ lún là ổn định và giá trị lún cuối cùng là h¥D . Ta xác định được độ lún ứng với 50%
độ cố kết là:
( )50% 0
1
2
h h h¥= - (4.14)
Độ lún trên tương ứng với thời gian 50%t . Theo lời giải giải thích, hệ số cố kết vc là:
2
50%
0.197v
h
c
t
= (4.15)
Khi đá thấm chỉ ở phía trên mẫu, 0h H= . Khi đá thấm ở cả trên và đáy mẫu, 02h H= .
4.4. Thí nghiệm nén cố kết tốc độ biến dạng không đổi CRS (Constant rate of strain)
Hình 4.12: Thí nghiệm cố kết CRS
Khác với thí nghiệm nén cố kết oedomter, thí nghiệm CRS bao gồm:
- Thiết bị gia tải tự động, được điều khiển bởi máy tính
- Thiết bị đọc biến dạng đứng tự động
- Tại đáy mẫu có lắp cảm biến đo áp lực nước lỗ rỗng
Cũng như thí nghiệm oedometer truyền thống, mẫu bão hoà và có:
- Chiều cao ban đầu 0H
- Diện tích mặt cắt ngang sA
Thí nghiệm CRS được tiến hành với tốc độ biến dạng ve là không đổi. Tại một thời điểm bất kì, số đọc của
thí nghiệm bao gồm thời gian thí nghiệm t , biến dạng e , áp lực thẳng đứng vs , và áp lực nước lỗ rỗng p .
Theo tiêu chuẩn ASTM-4186, hệ số cố kết giữa hai thời điểm 1t và 2t liên tiếp là:
2
2
1
2
log
( )
2 log 1
v
bf v
H
k
c
pm S
t
s
s
g a
s
æ ö
ç ÷
è ø= = -
+ é ù
D -ê ú
ë û
(4.16)

Trong đó H là chiều cao mẫu trung bình, bp là áp lực nước lỗ rỗng trung bình.
Thí nghiệm CRS cho kết quả vc thay đổi phụ thuộc vào các cấp áp lực. Ngoài ra, khi thể hiện kết quả trên
biểu đồ '
log( )e s ta cũng thu được các hệ số , ,c r sC C C tương tự như thí nghiệm oedometer. Thí nghiệm
CRS thường mất từ một đến hai ngày cho một thí nghiệm, trong khi đó thí nghiệm oedometer thường mất
khoảng một tuần tuỳ thuộc vào số lượng cấp áp lực cần thí nghiệm.
4.5. Nguyên tắc xác định modun đàn hồi E (Young’s modulus) từ các thí nghiệm trong phòng
Với các thí nghiệm cắt trực tiếp, nén ba trục, cách xác định hệ số dính c và góc ma sát trong j đã được
trình bày khá tường minh. Tuy nhiên, các thông số liên quan đến “độ cứng” (stiffness) của đất chưa được
nhắc tới cụ thể. Trong mục 4.5 này, nguyên tắc xác định giá trị liên quan đến độ cứng của đất từ các thí
nghiệm trong phòng được trình bày. Đây sẽ là tiền đề để xác định các giá trị cần thiết cho từng mô hình cụ
thể trong các phần mềm như Plaxis, GeoStudio…
Với các mô hình đơn giản, các thông số chính trong mô hình FEM liên quan đến độ cứng của đất thông
thường bao gồm:
- Mô đun đàn hồi E
- Hệ số nở hông m
- Bulk modulus K
- Modulus cắt G
Theo định luật Hook, quan hệ giữa các thành phần như sau:
2 (1 )
3(1 2 ) 3(1 2 )
G E
K
m
m m
+
= =
- -
(4.17)
( ) ( )
3 (1 2 )
2 1 2 1
K E
G
m
m m
-
= =
+ +
(4.18)
Hệ số nở hông m thường khó xác định, và chúng ta coi như đã biết bằng cách nào đó. Do đó, nếu biết một
trong các thành phần ,G,EK chúng ta sẽ xác định được các thành phần còn lại theo 4.17 và 4.18.
Hệ số nở hông có thể xác định trong thí nghiệm nén nở hông (unconfined compression), hoặc trong thí
nghiệm nén 3 trục với điều kiện biến dạng ngang cần được đo.
Có rất nhiều loại modun đàn hồi E, bao gồm:
- Mô đun tiếp tuyến (tangent modulus)
- Mô đun cát tuyến (secant modulus)
- Mô đun đàn hồi thoát nước '
E
- Mô đun đàn hồi không thoát nước urE
- Mô đun đàn hồi dỡ tải ulE
- Mô đun đàn hồi thí nghiệm không nở hông oedometer: oedE
Ý nghĩa của từng modun đài hồi E như sau.
Hình 4.13: Kết quả thí nghiệm nén 3 trục

Trong thí nghiệm nén 3 trục CD, sau giai đoạn cố kết, ta coi biến dạng dọc trục 0ae = . Nếu giữ nguyên '
3s ,
ta có thể biểu diễn kết quả cho ( )' '
1 3 ~ as s e- như Hình 4.13. Kết quả là một đường cong.
- Tại một điểm bất kỳ trên đường cong, modulus Young cát tuyến ứng với ứng suất hiệu quả được
định nghĩa là:
( )' '
1 3'
s
a
E
s s
e
-
= (4.19)
- Youngs modulus tiếp tuyến ứng với ứng suất hiệu quả là:
( )' '
1 3'
t
a
E
s s
e
¶ -
=
¶
(4.20)
Nếu vật liệu đàn hồi tuyến tính tuyệt đối, s tE E= .
Lưu ý rằng, kết quả từ thí nghiệm CU sẽ không thể áp dụng vào cách tính trên do trong thí nghiệm CU, ứng
suất '
3s thay đổi.
- Nếu dỡ tải (unloading), độ dốc của đường dỡ tải là modun dỡ tải.
- Trong trường hợp nén không thoát nước ta có:
'
urG G= (4.21)
Tức modun cắt trong trường hợp không thoát nước và thoát nước là như nhau. Mặt khác, modun cắt G có
thể được tính theo công thức 4.18. Ta có:
( ) ( )
'
'
'
2 1 2 1
ur
ur
ur
E E
G G
v v
= = =
+ +
(4.22)
Khi nén không thoát nước, nước chịu toàn bộ áp lực nén (xem lại mục 3.1). Nếu coi nước là không nén
được, tức thay đổi thể tích của mẫu khi nén không thoát nước bằng 0. Điều này chỉ có thể xảy ra khi hệ số
nở hông 0.5urm = . Thay vào phương trình 4.22, ta được:
( )
'
'
3
2 1
ur
E
E
m
=
+
(4.23)
- Mô đun đàn hồi thí nghiệm không nở hông oedometer oedE thực chất là
1
vm
trong phương trình 4.12,
tức:
( ) ( )
( )
( )( )
' '' '
' '
' ' ' '
14 4
3 3 1 2 3 2 1 1 2 1
oed
EE E
E K G
m
m m m m
-
= + = + =
- ´ + - +
(4.24)
Ứng với hai cấp tải trọng liên tiếp trong thí nghiệm nén cố kết, ta có:
'
1
oed
v
E
m
s
e
D
= =
D
(4.25)
Áp dụng của các giá trị E modun khác nhau sẽ được giải thích với từng mô hình cụ thể.

Từ chương này, để hiểu rõ, các bạn không nên đọc lướt mà đọc cẩn thận, hãy để sẵn bút và giấy ở bên
cạnh để ghi ra lại các công thức, ghi lại các bước cho đến khi hiểu hoàn toàn. Nếu các bạn chỉ đọc “lướt”, sẽ
rất khó để hiểu những chương về sau.
5. MÔ HÌNH ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH – ĐÀN HỒI PHI TUYẾN
5.1. Mô hình đàn hồi tuyến tính (Linear)
Đây là mô hình đơn giản nhất. Đất được coi như “thép”, “bê tông”, tức hoàn toàn đàn hồi tuyến tính.Hình 5.1
miêu tả một mẫu đất chịu tác dụng của tải trọng s . Biến dạng dọc trục của mẫu là e . Khi lực tác dụng tăng,
biến dạng tăng, và khi lực tác dụng giảm, đất trở lại trạng thái ban đầu (Hình 5.1). Quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng là tuyến tính. Trong mô hình FEM, quan hệ này miêu tả tại phương trình 1.11.
Hình 5.1: Mô hình đàn hồi tuyến tính
Các thông số đầu vào của mô hình rất đơn giản, chỉ bao gồm:
· Trọng lượng riêng của đất : g để tính lực thể tích do tác dụng của trọng lực
· Modun đàn hồi: E
· Hệ số nở hông Poisson: m
Ứng dụng của mô hình này trong mô phỏng địa kỹ thuật rất hạn chế do đất là vật liệu có tính phi tuyến cao,
bị phá hoại khi chịu lực cắt lớn… Mô hình này chủ yếu được dùng để mô phỏng vật liệu bê tông (bài toán
tường chắn, đập dâng) khi mà vật liệu làm việc trong miền đàn hồi. Khi áp dụng mô hình này cho đất, kết
quả ứng suất biến dạng thu được sẽ sai lệch nhiều với thực tế.
Modun đàn hồi E có thể được xác định:
- Từ thí nghiệm oedometer, được lấy với cấp áp lực gần với thực tế (theo phương trình 4.23 và 4.22).
- Từ kết quả thí nghiệm nén 3 trục CD, ứng với mô đun tiếp tuyến ban đầu 0E
- Từ kết quả thí nghiệm nén 3 trục CD, ứng với mô đun cát tuyến tại 50% giá trị ứng suất cắt phá
hoại, gọi là 50E
Hình 5.2: Xác định E từ kết quả thí nghiệm nén ba trục CD
Nếu có kể đến quá trình dỡ tải, modun dỡ tải ulE của đất thông thường là ( )3 4ulE E= ¸ .

5.2. Young modulus phụ thuộc cấp áp lực
Tại Hình 5.3, mẫu đất bị nén dưới áp lực s tăng dần từ 0 đến 5s . Biến dạng dọc trục e không tăng tuyến
tính với mức tăng cấp áp lực. Modun tiếp tuyến giữa hai cấp áp lực:
E
s
e
D
=
D
(5.1)
Young modulus không phải là một hằng số, mà thay đổi phụ thuộc vào cấp áp lực s . Trong phần mềm
Geostudio, đường cong E phụ thuộc cấp áp lực hông có thể được nhập trực tiếp vào chương trình (Hình
5.4). Trong phần mềm Plaxis, Young modulus cũng có thể tăng theo chiều sâu (Hình 5.5). Tuy nhiên, cần
phải lưu ý rằng, các lựa chọn của Sigma/W và Plaxis không phải là mô hình có E phụ thuộc cấp áp lực như
đề cập ở đây.
Trong Sigma/W và Plaxis, vào thời điểm ban đầu, ứng với mỗi chiều sâu khác nhau, modun E có thể được
tính toán cho từng điểm Gauss. Sau đó, modun này sẽ giữ nguyên với mọi cấp tải.
Hình 5.3: Mô hình đàn hồi phi tuyến
Hình 5.4: Young modulus phụ thuộc ứng suất thẳng đứng trong GeoStudio
Hình 5.5: Đàn hồi phi tuyến trong Plaxis
Ma trận [ ]D liên hệ giữa ứng suất và biến dạng theo phương trình { } [ ]{ }Ds eD = D phụ thuộc vào mô đun
đàn hồi E. Trong khi đó, mo đun đàn hồi E phụ thuộc vào trạng thái ứng suất. Để thu được kết quả biến
dạng phù hợp như Hình 5.3, chia nhỏ lực tác dụng thành các cấp áp lực khác nhau. Ví dụ tại Hình 5.3, áp
lực tác dụng được chia thành các các từ 0 đến 5s .
Modun đàn hồi E giữa hai cấp áp lực được coi là hằng số và phụ thuộc vào cấp áp lực ban đầu. Ví dụ:
· Tại thời điểm ban đầu có 0E E= tương ứng với trạng thái ứng suất 0s = .

· Áp lực tác dụng tăng từ 0 đến 1s . Tức lực tác dụng 1 0F s sD = D = - .
· Thiết lập ma trận độ cứng [ ]K sử dụng 0E .
· Giải hệ phương trình để tìm chuyển vị và biến dạng do lực tác dụng từ 0 đến 1s .
· Tại bước tải tiếp theo từ 1s đến 2s , modun đàn hồi phụ thuộc vào 1s .
· Lặp lại các bước trên đến khi 5s s=
Phương pháp trên được gọi là phương pháp modun tiếp tuyến (tangent stiffness modulus). Để phương
pháp trên có độ chính xác cao, lực tác dụng cần được chia nhỏ ra thành nhiều bước gia tải. Nếu bước gia
tải quá lớn, sai số của phương pháp này là tích lũy và dẫn đến sai số lớn cho những bước tải cuối cùng.
Hình 5.3 miêu tả sai số tích lũy do bước tải lớn. Các điểm màu đen là lời giải chính xác. Do sử dụng
modulus đàn hồi là hằng số cho từng bước tải, kết quả bị dịch chuyển thành các điểm màu đỏ. Càng các
bước tải về sau, điểm màu đỏ càng lệch nhiều so với lời giải chính xác.
5.3. Mô hình Hyperbolic (Duncan-Chang)
Trong phần trên, chúng ta dùng sơ đồ nén không có áp lực hông (áp lực ngang) để miêu tả mô hình đàn hồi
phi tuyến. Với mô hình hyperbolic, mẫu đất bị nén theo chiều thẳng đứng với áp lực 1p và áp lực hông duy
trì là 3p (Hình 5.6). Với sơ đồ nén này, ứng suất chính 1s trùng với ứng suất nén 1p và ứng suất chính
2 3 3ps s= = . Do đó, ứng suất cắt q:
1 3 1 33q J p ps s= = - = - (5.2)
Trong đó J được đề cập trong phương trình 1.17.
Biến dạng theo phương thẳng đứng (biến dạng dọc trục) là ae . Hình 5.6 thể hiện quan hệ giữa q và ae . Khi
q tăng, biến dạng dọc trục ae tăng và đường quan hệ này có dạng đường cong hyperbolic. Do đó, mô hình
này được gọi là hyperbolic. Duncan và Chang là những người dành nhiều thời gian nhất để phát triển mô
hình này, do đó mô hình này còn được gọi là mô hình Duncan-Chang.
Hình 5.6: Mô hình Hyperbolic
Trong Hình 5.6-b, mối quan hệ giữa q và ae thể hiện qua phương trình:
( )1 3
a
a
q
a b
e
s s
e
= - =
+
(5.3)
Trong đó ,a b là các hằng số. Hệ số
1
i
a
E
= và hệ số
1
a
b
q
= được thể hiện tại Hình 5.6.
- iE được gọi là modun ban đầu (initial modulus).
- aq là giá trị tiệm cận của đường cong khi biến dạng ae tăng tới vô cùng. Có nghĩa là khi tiếp tục
nén, phương trình 4.3 sẽ tiệm cận với giá trị aq . Tuy nhiên do đất sẽ bị phá hoại khi chịu ứng suất
cắt lớn, do đó thực tế q sẽ không bao giờ đạt giá trị aq . Giá trị q lớn nhất có thể đạt được gọi là giá
trị ứng suất cắt phá hoại fq . Giá trị này phụ thuộc vào góc ma sát trong j và lực dính c của đất.
Tỷ số giữa fq và aq được gọi là fR , tức:

1f
f
a
q
R
q
= < (5.4)
Trong một số sách, phương trình 5.3 có thể được viết dưới dạng:
( )
( )
1
1
1
a
a
a
a
i
a
q qb qa
a b
qa q
qb q
E
q
e
e
e
e
= ® - =
+
® = =
- æ ö
-ç ÷
è ø
(5.5)
Như vậy thực chất, mô hình hyperbolic giống với mô hình tại mục 5.1, tức modulus đàn hồi thay đổi theo cấp
áp lực. Modulus đàn hồi ban đầu iE ứng với 1 3s s- =0 và khi tăng q , modulus đàn hồi trở thành tE . Ví dụ
tại Hình 5.6-b, tE tại điểm A chính là độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong ứng suất – biến dạng.
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, ta cần xác định tE ứng với từng cấp tải trọng. Từ phương trình 5.3,
tE được xác định:
( )
( ) ( )
2 2 2
1
1
a a
t
a a a
a b bq a a
E
a b a b qa
a b
qb
e e
e e e
+ -¶
= = = =
¶ + + æ ö
+ç ÷
-è ø
(5.6)
Thay
1
a
b
q
= ; f
a
f
q
q
R
= ;
1
i
a
E
= ; ( )1 3q s s= - , phương trình 5.6 được viết lại thành:
2
1t f i
f
q
E R E
q
æ ö
= -ç ÷ç ÷
è ø
(5.7)
Nếu áp dụng tiêu chuẩn phá hoại Morh-Coloumb, ứng suất cắt khi bị phá hoại được xác định theo công
thức:
32 cos( ) 2 sin( )
1 sin( )
f
c
q
j s j
j
+
=
-
(5.8)
Thay vào phương trình 5.7, ta thu được:
2
1 3
3
( )(1 sin )
1
2 .cos 2 sin
f
t i
R
E E
c
s s j
j s j
- -é ù
= -ê ú
+ë û
(5.9)
Modulus đàn hồi ban đầu iE không phải là hằng số mà phụ thuộc vào áp lực hông 3s . Duncan-Chang đưa
ra công thức cho iE như sau:
3
n
i a a
a
E K p
p
sæ ö
= ç ÷
è ø
(5.10)
Trong đó:
- ap : Áp suất khí quyển
- aK : Số modulus gia tải (không có đơn vị)
- n : Số mũ thể hiện quan hệ giữa áp lực hông và modun iE
Trong trường hợp dỡ tải (từ điểm B về điểm C), đất được coi là làm việc hoàn toàn đàn hồi với modun đàn
hồi là urE . Modulus này cũng phụ thuộc vào áp lực hông 3s tương tự như iE .
3
ur u
n
r a
a
E K p
p
sæ ö
= ç ÷
è ø
(5.11)
Trong đó urK là số modulus dỡ tải.

Tổng kết lại, các thông số đầu vào mô hình Duncan-Chang bao gồm:
- Góc ma sát j và hệ số dính c để xác định sức kháng cắt của vật liệu theo tiêu chuẩn Mohr-
Columb.
- Số modun gia tải aK và dỡ tải urK . Thông thường 3ur aK K=
- Số mũ n
- Hệ số fR
- Hệ số nở hông Poisson m
- Trọng lượng riêng g
Trình tự tính toán đối với mô hình Duncan-Chang như sau:
- Từ trạng thái ban đầu (có thể do trọng lượng riêng, hoặc tự định nghĩa)…xác định ứng suất chính
nhỏ nhất 3s
- Xác định modulus ban đầu iE theo phương trình 5.10
- Chia nhỏ tải trọng tác dụng thành các cấp tải, xác định modulus tE cho các cấp tải theo phương
trình 5.9
- Thiết lập ma trận độ cứng theo tE và m và giải hệ phương trình tuyến tính. Nếu là quá trình dỡ tải,
sử dụng urE
- Xác định ứng suất, và tiếp tục thay đổi iE và tE theo trạng thái ứng suất.
- Lặp lại quá trình trên khi tải trọng đạt yêu cầu.
Lưu ý rằng, tại phương trình 5.7, khi fq q= , modulus đàn hồi ( )
2
1t f iE R E= - . Nếu tE quá nhỏ, dẫn đến
không hội tụ. Do đó tE được giới hạn lớn hơn một trị số nào đó. Thông thường t aE p³ .
Trong trường hợp bị kéo 3 0s < , tE cũng cần được giới hạn. Trong GeoStudio, 10%t aE p= .

6. PHÁT TRIỂN MÔ HÌNH ĐÀN-DẺO (ELASTO-PLASTIC)
6.1. Các mô hình đàn-dẻo cơ bản
Để hiểu về mô hình đàn dẻo, ta xét một mẫu đất chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng như Hình 6.1-a.
Hình 6.1: Ứng xử của đất khi bị nén; (a) – Sơ đồ nén; (b) – Đàn hồi tuyến tính; (c) – Đàn – dẻo tuyệt đối; (d) –
Tăng cứng (hardening) ; (c) – Giảm cứng (softening).
Trong Hình 6.1-b, đất làm việc hoàn toàn đàn hồi tuyến tính. Mô hình này được thảo luận trong các chương
4.
Trong Hình 6.1-c, xuất phát từ điểm O, ứng suất 1p và biến dạng dọc trục đều tăng (giống với mô hình đàn
hồi tuyến tính) cho khi đến điểm A . Tại điểm A , ứng suất 1p không thể tăng được nữa mà giữ nguyên.
Nếu vẫn duy trì nén, biến dạng ae tăng tới vô cùng, và biến dạng lúc này gọi là biến dạng dẻo. Mô hình này
được gọi là mô hình đàn – dẻo (elastic-plastic). Điểm A gọi là điểm đạt trạng thái dẻo, gọi ứng suất tại A là
ys . Khi giảm lực tác dụng, đất làm việc đàn hồi tuyến tính. Ví dụ, khi biến dạng tăng từ điểm A tới điểm
B và bắt đầu dỡ tải, đất sẽ trở lại điểm C. Độ dốc đường OA sẽ bằng độ dốc đường BC. Khi tăng tải từ điểm
C, đất sẽ làm việc đàn hồi tuyến tính (trở lại điểm B) cho đến khi ứng suất 1 yp s= .
Tại Hình 6.1-d, đất cũng bắt đầu đi từ điểm O tới A và làm việc hoàn toàn đàn hồi tuyến tính. Điểm A
cũng được gọi là điểm dẻo (yield point) có ứng suất dẻo yAs . Khi tiếp tục tăng lực tác dụng (từ điểm A tới
điểm B ), biến dạng ae tăng nhưng không tăng tuyến tính. Tại điểm B khi dỡ tải, đất trở lại điểm C . Từ
điểm C , đất được gia tải trở lại. Đất làm việc đàn hồi cho đến khi đạt điểm B . Tức điểm dẻo lúc này là
điểm B , và ứng suất tại điểm dẻo yB yAs s> . Quá trình trên được gọi là quá trình tăng cứng. Trong mô hình
hardening, ứng suất dẻo (yield stress) tăng theo biến dạng. Mô hình miêu tả trạng thái trên được gọi là mô
hình tăng cứng (hardening soil).
Hình Hình 6.1-c rất giống với đường ứng suất – biến dạng của mô hình Duncan-Chang. Trong Plaxis, mô
hình đất tăng cứng (hardening soil) cũng sử dụng đường cong hyperbol của mô hình Duncan-Chang để mô
tả quá trình gia tải.
Ngược lại với mô hình tăng cứng là mô hình giảm cứng (softening) như hình Hình 6.1-e. Ứng suất dẻo giảm
khi biến dạng tăng.
Các mô hình đàn-dẻo tuyệt đối, hardening, softening đều được gọi chung là mô hình đàn-dẻo (elasto-
plastic). Biến dạng trong mô hình đàn dẻo gồm hai thành phần: Biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo.
6.2. Thành lập mô hình đàn-dẻo
6.2.1. Trục của ứng suất và biến dạng.
Để thành lập mô hình đàn dẻo, ta quay lại một chút với các thành phần bất biến của ứng suất tại chương 1.
Chúng ta có ba thành phần ứng suất chính ( )1 2 3, ,s s s , hoặc ( ), ,p J q lần lượt là ứng suất trung bình (mean
stress), ứng suất lệch (Deviatoric stress), và góc Lode (Lode angle).

Như chúng ta đã biết tại chương 1, chúng ta có thể biểu diễn ứng suất trên hệ trục Oxyz, hoặc trong không
gian ứng suất chính, hoặc sử dụng hệ trục ( ), ,p J q .
Ứng với trục ứng suất chính ( )1 2 3, ,s s s , sẽ có biến dạng 1 2 3, ,e e eD D D . Tổng biến dạng thể tích:
1 2 3ve e e eD = D + D + D (6.1)
Ứng suất có thể viết dưới dạng ứng suất tích lũy ( )1 2 3, ,s s s hoặc dạng tăng (incremental form)
( )1 2 3, ,s s sD D D .
Các mô hình đàn-dẻo được thiết lập dựa trên giả thiết, trục của 1 2 3, ,e e eD D D trùng với trục của
( )1 2 3, ,s s s .
Trong mô hình đàn hồi tuyến tính, trục của 1 2 3, ,e e eD D D trùng với trục của ( )1 2 3, ,s s sD D D . Đây là điểm
khác biệt rất quan trọng giữa hai loại mô hình.
6.2.2. Hàm dẻo – Yield Function
Điểm A tại Hình 6.1 được gọi là điểm dẻo (yield point). Để quyết định trạng thái ứng suất { }s có là điểm
dẻo hay không, chúng ta cần sử dụng hàm dẻo F . Hàm dẻo phụ thuộc vào trạng thái ứng suất { }s . Trong
trường hợp tăng cứng hoặc giảm cứng, hàm dẻo phụ thuộc thêm vào thông số { }k miêu tả sự tăng cứng
hoặc giảm cứng (hardening/softening). Có thể tổng quát hóa, { } { }( ),F ks . Một điểm được gọi là đạt trạng
thái dẻo khi:
{ } { }( ), 0F ks = (6.2)
Khi { } { }( ), 0F ks < , đất làm việc hoàn toàn ở trạng thái đàn hồi. Hàm dẻo F không bao giờ lớn hơn 0 (Hình
6.2).
Hình 6.2: Biểu diễn mặt dẻo 2D và 3D
Tập hợp trạng thái ứng suất có 0F = được gọi là mặt dẻo (yield surface). Trong bài toán 2D, khi 2 0s = ,
mặt dẻo suy biến thành đường dẻo (yield curve). Miền có 0F < được gọi là miền đàn hồi (elastic domain).
6.2.3. Hàm thế năng dẻo – Potential Plastic Function
Khi đạt trạng thái dẻo, biến dạng dẻo xảy ra. Vector của biến dạng dẻo (độ lớn biến dạng dẻo, hướng của
biến dạng dẻo) được xác định thông qua luật chảy (flow rule). Vector biến dạng dẻo { }p
eD được định nghĩa:
{ }
{ } { }( )
{ }
,p
P ks
e
s
¶
D = L
¶
(6.3)

Hàm { } { }( ),P ms được gọi là hàm thế năng dẻo (potential plastic function) phụ thuộc vào trạng thái ứng suất
{ }s và hệ số { }m . Khi đất đạt trạng thái dẻo:
{ } { }( ), 0P ms = (6.4)
Hệ số L không đơn vị quyết định độ lớn của biến dạng dẻo. Phương trình 6.3 có thể biểu diễn về mặt hình
học như Hình 6.3. Vector biến dạng dẻo được tính thông qua đạo hàm riêng của hàm thế năng dẻo, do đó
vector này vuông góc với mặt dẻo.
Hình 6.3: Biểu diễn biến dạng dẻo
Trên Hình 6.3, trục của độ tăng biến dạng 1 2 3
, ,p p p
e e eD D D được biểu diễn trùng với trục của ứng suất chính
( )1 2 3, ,s s s . Tại trạng thái ứng suất có { } { }( ), 0P ms = , vector biến dạng dẻo vuông góc với mặt dẻo
(yield surface) hoặc đường dẻo (yield curve). Độ lớn của vector quyết định bởi hệ số L trong phương trình
6.3.
Để đơn giản, hàm thế năng dẻo có thể được giả thiết trùng với hàm dẻo, tức P Fº , lúc này luật chảy (flow
rule) được gọi là kết hợp (associated). Khi P F¹ , luật chảy được gọ là không kết hợp (non-associated).
6.3. Ứng xử của vật liệu đàn dẻo tuyệt đối trong bài toán biến dạng phẳng 2D
Gọi trục x nằm ngang và y thẳng đứng trong bài toán biến dạng phẳng 2D. Một phân tố đất chịu ứng suất xs
và ys . Tại thời điểm ban đầu, phân tố ở điểm O. Tăng dần ứng suất xs tới điểm A. Sau đó tăng dần ys cho
đến khi gặp mặt dẻo tại điểm B. Bắt đầu tại điểm B, ứng suất ys không thể tăng. Nếu duy trì ứng suất ys ,
biến dạng sẽ tới vô cùng.
Hình 6.4: Ứng xử mô hình đàn dẻo tuyệt đối
Quá trình tăng tải từ O-A-B, đất làm việc hoàn toàn trong giai đoạn đàn hồi do nằm trong miền đàn hồi
(elastic domain). Biến dạng ye trong giai đoạn gia tải OA khác không (âm) do ảnh hưởng của hệ số nở hông
Poisson. Biến dạng này chỉ có thể bằng 0 khi 0m = . Điều này là không thực tế.
Trong mô hình đàn dẻo tuyệt đối, mặt chảy là cố định.

6.4. Ứng xử của vật liệu tăng cứng trong bài toán biến dạng phẳng 2D
Như phân tích tại mục 6.1, trong mô hình tăng bền, ứng suất dẻo tăng theo biến dạng tổng biến dạng dẻo.
Có nghĩa là mặt dẻo sẽ phát triển. Có hai cách để mặt dẻo phát triển:
- Mặt dẻo “phình” to ra, nhưng tâm của mặt dẻo không thay đổi. Phát triển mặt dẻo kiểu này được gọi
là isotropic hardening.
- Mặt dẻo không thay đổi kích thước, nhưng di chuyển tâm mặt dẻo. Kiểu này được gọi là kinematic
hardening.
Hình 6.5: Các kiểu tăng cứng
Về lý thuyết, cả isotropic và kinematic hardening đều có thể xảy ra.
Hình 6.6: Ứng xử của vật liệu tăng cứng (hardening)
Hình 6.6 mô tả một phân tố tương tự mô hình đàn dẻo tuyệt đối (mục 6.4). Tại điểm B khi bắt đầu gặp mặt
dẻo, lúc này mặt dẻo mở rộng. Từ điểm B tới điểm C, D tồn tại cả hai biến dạng dẻo và biến dạng đàn hồi
đồng thời.
6.5. Ứng xử của vật liệu giảm cứng trong bài toán biến dạng phẳng 2D
Hình 6.7: Ứng xử của vật liệu giảm cứng (softening)
Ngược lại với mô hình tăng cứng, mô hình giảm cứng có mặt dẻo thu hẹp lại (Hình 6.7).
6.5.1. Quy luật tăng cứng (hardening), giảm cứng (softening)
Thông số { }k trong phương trình 6.2 phụ thuộc vào tổng biến dạng dẻo p
e . Khi không có sự tăng/giảm
cứng, { }k là hằng số. Ngược lại, mối quan hệ giữa tổng biến dạng dẻo p
e và { }k được gọi là quy luật
tăng/giảm cứng (hardening/softening rule).

Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản

Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản

Similar to Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản (20)

More from Khuất Thanh

More from Khuất Thanh (20)

Lý thuyết về mô hình địa kỹ thuật cơ bản