sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính kết cấu có liên kết dị hương

1. 57
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VIII
Hà Nội, ngày 6-7 /12/2007
Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn
Lương Xuân Bính
Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: lxbinh0201@yahoo.com
Đỗ Xuân Quý
Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: quysbvl@gmail.com
Nguyễn Xuân Lựu
Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: nguyenxuanluu@yahoo.com
Tóm tắt. Trong các kết cấu kỹ thuật công trình, kết cấu có liên kết dị hướng
được sử dụng khá phổ biến như: kết cấu dầm hoặc tấm trên nền đần hồi, kết
cấu vỏ hầm tựa vào nền, kết cấu dây,… Đặc điểm làm việc của loại kết cấu
này là các phản lực liên kết thay đổi theo độ lớn cũng như chiều của chuyển
vị của điểm tựa gối liên kết. Điều này dẫn tới phương trình cân bằng của hệ
là phương trình phi tuyến. Việc giải quyết các bài toán này bằng phương
pháp giải tích đã được GS Vũ Đình Lai giới thiệu. Ở đây, các tác giả muốn
giới thiệu cơ sở lý thuyết và thuật toán tính toán loại kết cấu này bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung phương pháp, thuật toán, các thí dụ
tính toán và phân tích so sánh kết quả sẽ được trình bày trong bài báo này.
1. Đặt vấn đề
Khái niệm liên kết dị hướng trong bài toán này là liên kết trong đó quan hệ
giữa ứng suất biến dạng thay đổi theo độ lớn cũng như chiều chuyển vị của điểm
tựa liên kết. Có thể kể đến một số thí dụ trong thực tế như: dầm trên nền đàn hồi
(đường ray, tà vẹt, dầm móng...), vỏ hầm với môi trường chỉ chịu nén - mô hình
liên kết một chiều (hình 1a, 1b); liên kết giữa vỏ hầm, tường chắn với nền chịu nén
có neo - mô hình liên kết đàn hồi dị hướng (chuyển vị về phía nền thì liên kết có độ
cứng của nền, chuyển vị về phía ra khỏi nền thì liên kết có độ cứng của neo) (hình
1c); thanh liên kết với nền có tính phi tuyến - mô hình liên kết nhiều lần tuyến tính
(hình 1d).

2. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu58
Trong các mô hình liên kết dị hướng được mô tả ở trên, liên kết một chiều là
trường hợp đơn giản nhất. Đây là bài toán phi tuyến. Việc giải bài toán thực chất là
tìm xem khi có tải trọng, trong số các liên kết cấu tạo, có những liên kết nào làm
việc. Phương hướng chung để giải bài toán là thử dần [1], hay sử dụng phương
pháp biến phân và giải bằng phương pháp quy hoạch toàn phương [2]. Gần đây đã
có lời giải giải tích để xác định tổ hợp các liên kết làm việc [3].
Trong phương pháp trình bày ở đây, các tác giả dùng phương pháp phần tử
hữu hạn với phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp
Newton. Với thế mạnh của phương pháp số kết hợp sự hỗ trợ tính toán của máy
tính, bài toán đã được mở rộng cho những bài toán có liên kết dị hướng như đã đề
cập ở trên. Mô hình kết cấu trong bài toán cũng đa dạng và phức tạp hơn.
N
Δ
a)
O
Δ0
k+
Δ0
N
Δ
b)
O
Δ0k-
Δ0
N
Δ
c)
O
Δ0
k--
k+
Δ0
N
Δ
d)
O
k1
kn
k2
ki
Hình 1. Các mô hình liên kết dị hướng.
2. Mô hình toán của liên kết dị hướng
Quan hệ toán học giữa phản lực liên kết và chuyển vị điểm liên kết của các mô
hình liên kết dị hướng có thể dễ dàng được xác định như sau.

3. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 59
Với liên kết một chiều có khe hở ban đầu Δ0, ta có:
( ) 00
22
ΔΔΔΔ −+−=
kk
N (1)
Với liên kết đàn hồi dị hướng có khe hở ban đầu Δ0, ta có:
00
2
)(
2
ΔΔΔΔ −
−
+−
+
=
−+−+
kkkk
N (2)
Từ các mô hình toán của các liên kết dị hướng ở trên, ta dễ dàng tổng hợp
được mô hình toán cho liên kết phi tuyến (nhiều lần tuyến tính - hình 1d) như sau.
nan
n
j
jajaja kkNN )()(
2
111 Δ−Δ+Δ−Δ+= ∑=
−− (3)
trong đó: Δaj là các độ lệch chuẩn (so với gốc tọa độ) của điểm đầu đoạn thẳng N-Δ
thứ j,
Na1 là phản lực liên kết ứng với chuyển vị điểm liên kết Δa1.
3. Tính kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu
hạn
Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu thông
thường là hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng như sau:
[ ]{ } { }PK =Δ (4)
trong đó:
[ ]K - ma trận độ cứng của kết cấu,
{ }Δ - véc tơ chuyển vị của kết cấu,
{ }P - véc tơ tải trọng nút.
Với kết cấu có liên kết dị hướng, véc tơ tải trọng nút ngoài các tải trọng tác
dụng trên kết cấu còn có các phản lực của các liên kết dị hướng (ta coi các phản lực
ứng với các liên kết dị hướng như là các ngoại lực). Tách véc tơ tải trọng thành hai
véc tơ: 1) véc tơ tải trọng gồm các ngoại lực tại các nút như véc tơ { }P trong (4);
và 2) véc phản lực liên kết dị hướng kí hiệu là { }N . Khi đó phương trình cơ bản
của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu có liên kết dị hướng có dạng như
sau:
[ ]{ } { } { }PNK =+Δ (5)

4. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu60
trong đó các thành phần của véc tơ phản lực liên kết { }N được xác định theo (1) ÷
(3) tùy theo từng loại liên kết dị hướng.
Cần chú ý rằng véc tơ phản lực liên kết { }N là hàm của các chuyển vị nút Δ
và trị tuyệt đối của các chuyển vị nút Δ , nên (5) là hệ phương trình phi tuyến. Để
tìm được lời giải cho kết cấu có liên kết dị hướng, ta phải giải hệ phương trình phi
tuyến. Đó chính là sự khác biệt giữa bài toán tính kết cấu dị hướng và kết cấu
thông thường bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
4. Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Hệ phương trình (5) được viết dưới dạng khai triển như sau:
∑ =Ρ−Ν+ΔΚ=
j
iijijif 0
(6)
trong đó fi là hàm số của n biến Δi.
Khai triển Taylor với hàm một biến f(x) tại x = a có dạng:
...)(
!2
)(
))(()()( 2
''
'
+−+−+= ax
af
axafafxf
(7)
Giá trị hàm số tại x = a + Δx được tính:
...
!2
)(
)()()( 2
''
'
+Δ+Δ+=Δ+ x
af
xafafxaf
(8)
Nếu như Δx đủ nhỏ, ta có thể bỏ qua các vô cùng bé bậc cao kết hợp với điều
kiện f(x) = 0, ta được:
0)()()( '
=Δ+≅Δ+ xafafxaf (9)
Nếu f là một hàm nhiều biến f = f(x) = f(x1,x2,..., xn), tại x0
= { }T
nxxx 00
2
0
1 ,...,,
công thức (9) trở thành:
0
)(
...
)()(
)(
0
2
2
0
1
1
0
0
=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+ n
n
x
x
xf
x
x
xf
x
x
xf
xf ΔΔΔ (10)
Kết hợp các phương trình (6) và (10) với chú ý rằng x0
= Δ0
ta thu được hệ
phương trình sau:

5. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 61
)(
)(
...
)()(
...
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
0
0
2
2
0
1
1
0
0
3
0
3
2
2
0
3
1
1
0
3
0
2
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
1
0
1
2
2
0
1
1
1
0
1
ΔΔδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
ΔΔδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
ΔΔδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
ΔΔδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
Δδ
Δ
Δ
nn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
f
fff
f
fff
f
fff
f
fff
−=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
(11)
Từ công thức (6) ta có:
i
i
ii
i
i
ij
j
i
N
K
f
K
f
ΔΔ
Δ
∂
∂
+=
∂
∂
=
∂
∂
(12)
Thay phương trình (12) vào phương trình (11) ta được hệ:
)()
)(
(...
...
)(...)
)(
(
)(...)
)(
(
)(...)
)(
(
0
0
332211
0
333
3
0
3
33232131
0
223232
2
0
2
22121
0
113132121
1
0
1
11
ΔΔδ
Δ
Δ
ΔΔδΔδ
ΔΔδΔ
Δ
Δ
ΔδΔδ
ΔΔδΔΔδ
Δ
Δ
Δδ
ΔΔδΔΔδΔδ
Δ
Δ
nn
n
n
nnnnn
nn
nn
nn
f
N
KKKK
fK
N
KKK
fKK
N
KK
fKKK
N
K
−=
∂
∂
+++∂++
−=++∂
∂
∂
+++
−=++∂+
∂
∂
++
−=++∂++
∂
∂
+
(13)
Do đó, ta có trình tự các bước giải lặp như sau.
Bước 1. Cho véc tơ chuyển vị nút một giá trị ban đầu.
0
ii ΔΔ =
có thể lấy: 0=Δi
Bước 2. Tính giá trị các hàm số fi và các đạo hàm riêng phần của chúng,
j
if
Δ
Δ
∂
∂ )( 0
tại Δ0
.
Giải hệ phương trình (13) tìm được véc tơ số gia chuyển vị nút, δΔi.

6. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu62
Bước 3. Tính lại véc tơ chuyển vị nút.
Δi
1
= Δi
0
+ δΔi
Bước 4. Kiểm tra điều kiện dừng chương trình.
Sai số: )( 1
2
Δ= ∑ ifε
Kiểm tra sai số:
Nếu εε ≤ thì dừng chương trình lấy nghiệm
1
ii ΔΔ = .
Nếu εε > tiếp tục thực hiện lặp với
10
ii ΔΔ = .
Nếu số lần lặp nhiều qúa thì cho dừng chương trình, lúc này phép lặp không
hội tụ.
5. Một số ví dụ tính toán và đánh giá kết quả
Thí dụ 01: Tính dầm trên nền đàn hồi.
Dầm trên nền đàn hồi có bề rộng b = 100 cm chịu lực như trên hình 2, môđuyn
đàn hồi của vật liệu E = 1.105
daN/cm2
và mô men quán tính của mặt cắt ngang
Jx = 426.104
cm4
. Hệ số nền k0 = 6 daN/cm3
. Số liệu về tải trọng như sau:
P = 3.104
daN, M = 9.105
daNcm, q = 20 daN/cm.
4m
P qM
4m 4m
P M
Hình 2. Dầm trên nền đàn hồi.
Hình 3. Mô hình hóa nền đàn hồi bằng các lò xo thẳng đứng (liên kết một chiều).
Hai phương pháp tính đã được sử dụng: giải tích (phương pháp thông số ban
đầu) và phương pháp kiến nghị (phương pháp phần tử hữu hạn). Quá trình tính toán
được tiến hành với năm trường hợp: a) độ cứng chốn uốn của dầm là EJx, b) độ
cứng của dầm là 0,75EJx, c) độ cứng của dầm là 0,50EJx, d) độ cứng của dầm là
0,25EJx, và e) độ cứng của dầm là 0,10EJx. Các số liệu tính toán khác cho năm
trường hợp trên là như nhau. Mục đích của sự thay đổi độ cứng này là để khảo sát
sự ảnh hưởng cũng như mức độ ảnh hưởng của hiện tượng dầm bị vồng lên (không

7. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 63
tiếp xúc với nền). Khi đó phương pháp thông số ban đầu vẫn coi nền làm việc bình
thường (nền cũng chịu kéo). Thực tế nền không chịu kéo, và trong phương pháp đề
xuất ở đây, nền được mô hình bằng các lò xo một chiều (chỉ chịu nén) nên những
khu vực nền bị kéo, các liên kết đàn hồi này không làm việc.
Các kết quả tính được thể hiện trong các hình vẽ 4, 5. Hình 4 cho thấy khi độ
cứng của dầm lớn (tương đối so với độ cứng của nền) thì dầm làm việc bình
thường, tức toàn bộ dầm bị võng xuống, dầm luôn tiếp xúc với nền (Hình 4a, 4b và
4c). Khi này tất cả các liên kết đàn hồi đều làm việc nên ta nhận thấy kết quả của
phương pháp thông số ban đầu và phương pháp kiến nghị là như nhau. Khi độ cứng
của dầm giảm tiếp, dầm bị vồng lên (phần dầm có độ võng âm trên hình 4d và 4e),
tại đó dầm và nền không tiếp xúc với nhau, kết quả là phương pháp kiến nghị có
xét tới sự không làm việc của nền trong phạm vi dầm bị vồng lên cho kết quả khác
với phương pháp thông số ban đầu.
§−êng ®µn håi
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 200 400 600 800 1000 1200
z, cm
v,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
a) Độ cứng dầm EJx
§−êng ®µn håi
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 200 400 600 800 1000 1200
z, cm
v,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
b) Độ cứng dầm 0,75EJx

8. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu64
§−êng ®µn håi
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 200 400 600 800 1000 1200
z, cm
v,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
c) Độ cứng dầm 0,5EJx
§−êng ®µn håi
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 200 400 600 800 1000 1200
z, cm
v,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
d) Độ cứng dầm 0,25EJx
§−êng ®µn håi
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 200 400 600 800 1000 1200
z, cm
v,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
e) Độ cứng dầm 0,1EJx
Hình 4. Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi.

9. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 65
Hình 5 biểu diễn sự thay đổi của độ võng lớn nhất trong dầm theo độ cứng
chống uốn của dầm. Đồ thị cho thấy hai phương pháp cho kết quả khác nhau từ khi
độ cứng của dầm giảm đi 3/4, và sai số càng lớn khi độ cứng của dầm giảm dần.
Mặc dù đồ thị trên hình 5 chỉ biểu diễn kết quả cho thí dụ cụ thể này, nhưng nó cho
thấy mức độ ảnh hưởng của liên kết dị hướng là đáng kể trong những trường hợp
cụ thể (sai số lên tới 22,73% khi độ cứng dầm giảm 90%).
Sù thay ®æi cña ®é vâng lín nhÊt theo ®é cøng dÇm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.25 0.5 0.75 1
§é cøng dÇm, EJx
§évânglínnhÊt,cm
PP Th«ng sè ban ®Çu
PP PTHH
Hình 5. Ảnh hưởng của liên kết dị hướng.
Thí dụ 02: Tính kết cấu vỏ hầm.
Vỏ hầm chịu tác dụng lực tập trung P = 10000 kN, như trên hình 6. Mặt cắt
ngang đoạn vỏ hầm có diện tích F = 2680 cm2
, Jx = 1840000 cm4
. Vỏ hầm làm
bằng vật liệu có môđuyn đàn hồi E = 2.104
kN/cm2
. Tại A và B tựa có 2 liên kết
ngàm cứng. Bề mặt của vỏ hầm tỳ vào đất và để chống chuyển vị tách vỏ hầm ra
khỏi nền đất thì vỏ hầm còn được liên kết với nền đất bằng hệ thống neo.
Vỏ hầm được rời rạc hoá thành các phần tử thanh có liên kết với nền bằng hệ
thống liên kết đàn hồi dị hướng như trên hình 6. Ở đây vỏ hầm được tính với 3
trường hợp.
Trường hợp 1: dùng mô hình nền của Winkler, quan hệ giữa biến dạng và
chuyển vị là hàm bậc nhất, độ cứng liên kết k = 1000 kN/cm (nền làm việc hai
chiều: kéo và nén).
Trường hợp 2: nền được mô hình hóa bởi liên kết một chiều, liên kết có độ
cứng biến dạng âm k-
= 1000 kN/cm.
Trường hợp 3: nền được mô hình hóa bởi liên kết dị hướng có mô hình tính
toán như hình 6, độ cứng liên kết k-
= 1000 kN/cm, k+
= 100 kN/cm.

10. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu66
P
Vá hÇm
O
R =5.2m
300
100
A B
Ν
Δ
M« h×nh liªn
O
Δ0k--
k+
Δ0
Hình 6. Kết cấu vỏ hầm và mô hình tính với liên kết dị hướng.
Hình 7 biểu diễn các biểu đồ nội lực và chuyển vị của vỏ hầm trong trường
hợp 3 (vỏ hầm có neo). Mặc dù không biểu diễn kết quả ở đây, nhưng theo kết quả
tính toán thì mô hình nền Winkler thông thường (nền làm việc với cả hai chiều kéo
và nén) cho chuyển vị toàn phần nhỏ nhất. Mô hình nền liên kết một chiều cho
chuyển vị toàn phần lớn nhất. Sai khác về chuyển vị toàn phần lớn nhất trong hai
trường hợp lên tới 36,91%.
a) Biểu đồ lực dọc trục d) Biểu đồ góc quay

11. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 67
b) Biểu đồ lực cắt e) Biểu đồ độ võng
c) Biểu đồ mô men uốn f) Biểu đồ chuyển vị toàn phần
Hình 7. Kết quả tính toán vỏ hầm
6. Kết luận
Các tác giả đã xây dựng được cơ sở lý thuyết, thuật toán cũng như chương
trình tự động hóa tính toán kết cấu hệ thanh có liên kết dị hướng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn. Các mô hình liên kết dị hướng cũng như các mô hình toán tương
ứng đã được thiết lập khá đầy đủ tương ứng với những liên kết trong thực tế kỹ
thuật. Các phân tích so sánh cho thấy độ tin cậy của phương pháp và mức độ sai số
khi không xét đến sự làm việc của liên kết dị hướng là đáng kể. Nghiên cứu này là
cơ sở tốt để mô hình hóa cũng như phân tích các kết cấu trong thực tế kỹ thuật.
Lời cám ơn
Nhóm tác giả trân trọng cám ơn sự hỗ trợ tài chính cho nghiên cứu và tham dự
Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8 từ Trường Đại học Giao thông Vận tải.

12. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu68
Tài liệu tham khảo
[1] I. M. Rabinovich (1954). Giáo trình Cơ học kết cấu, Gosstroiizđat. Matxcơva.
[2] Nguyễn Văn Hợi, Cao Chu Quang (2004). "Tính công trình ngầm có xét đến liên kết
tiếp xúc một chiều giữa kết cấu và môi trường đất đá theo phương pháp quy hoạch
toàn phương", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến
dạng lần thứ 7. Tập 1. Nhà xuất bản ĐHQG. Hà Nội.
[3] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu (2006). "Tính kết cấu có liên kết dị hướng", Tuyển
tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8.
Tập 1. Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ.