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Fundamental matrix
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- 55. Thx.
Editor's Notes
- 給定兩台camera，找到相對的pixel
- 給予對應點，得知camera的相對位置
- 給定camera與相對pixel，求取這些點在空間中的位置
- 我們從第一個問題開始，用一個系統化的方式來回答這些問題
- 第一個問題就是， 給定相機c和c’，相機c的image plane上的一點x，在c’上會變成什麼樣子
- 這一點在真實世界中的可能位置，會是一條直線， 這條直線在c的投影是一個點；在c’的投影則是一條直線
- C、c’和x的幾何關係，稱為epipolar geometry
- 其中，兩個camera center的連線，稱之為baseline
- C、c’和X所構成的平面稱之為epipolar plane
- Epipolar plane和c’的image plane 的intersection稱之為epipolar line
- 根據定義，所有的epipolar plane都會通過baseline， 而所有的epipolar plane會相交於e和e’
- E和e’稱為epipole Epipole就是， baseline和image plane的intersection， Camera center在image plane的projection，
- Epipolar line與camera之間的關係 跟camera的夾角有關
- Camera越平行，epipolar line越水平
- 接著是第二個問題， 給定一堆對應點，能知道camera的相對位置嗎
- 這個問題關係到intrinsic和extrinsic matrix 系統性的解法是用一個fundamental matrix描述他， 這個fundamental matrix包含了intrinsic matrix和extrinsic matrix， 使得兩個對應點與他的乘積為0
- Intrinsic & extrinsic
- 以下要說明fundamental matrix
- 要計算fundamental matrix， 常見的說法是，先對齊extrinsic matrix，再計算intrinsic matrix 假設intrinsic matrix是identity，p與p’是x的projection
- 兩邊同乘ptt後， 可得到ptEp’ = 0
- E稱為essential matrix， 就是第二的問題的解答
- 對齊extrinsic matrix後， 再加入intrinsic matrix，就可以得到fundamental matrix Fundamental matrix跟c與c’的intrinsic matrix有關
- Fundamental matrix有幾個特性
- 首先 ，他rank是2 這是因為s的關係，s對稱而且diagonal為0 另外就是，degrees of freedom是7
- 對稱性， 如果f是p到p’的fundamental matrix， 那麼ft就是p’到p的fundamental matrix
- Pixel position與f的乘積是epipolar line
- 有幾個方法可以求取fundamental matrix， 其中一個是八點法 因為fundamental是線性矩陣， 所以可以用最小平方法來求解
- 因為fundamental matrix的rank是2， 所以解出來的F還要把它做svd分解，只保留前兩大的eigen value
- 值得注意的是，magnitude會影響計算的準度
- 所以先做一個normalization很重要
- Intersection: epipole: projection of camera center wrong
- 流程
- 8 point algorithm要搭配ransac的方法
- Fundamental matrix的可能應用有以下幾項， 但是要特別強調的是，image stitching是有條件限制的，並不是所有情況都成立
- Stitching是根據對應點將image做warping，然後再blend起來
- 這麼做要正確，必須是這兩個條件其中之一 Camera center一樣 或 投影的物體在同一個平面上
- 如果camera center相同， Blending影像不會有問題
- 但是camera center如果不一樣， cameraA的一個點， 會對應到cameraB的多個點 在blend時， 就會有問題