477.нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов учебное пособие
1. 1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.И. Григорьев
С.О. Ширяева
Д.Ф. Белоножко
Нелинейные задачи
гидродинамики волновых процессов
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Физика
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. 2
УДК 532.51
ББК В 253.322я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент В.А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета.
Г 83
Григорьев, А.И. Нелинейные задачи гидродинамики волновых
процессов: учебное пособие / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
Д.Ф. Белоножко; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. Ярославль:
ЯрГУ, 2006. 92 с.
ISBN 5-8397-0415-6
Излагаются основы математического моделирования нели-
нейных периодических движений заряженной свободной поверх-
ности жидкости на примере нелинейных осцилляций заряженной
капли.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению
510400 Физика, специальности 010400 Физика (дисциплина «Нели-
нейные задачи гидродинамики», блок ДС), очной формы обучения.
УДК 532.51
ББК В 253.322я73
ISBN 5-8397-0415-6
Ярославский государственный
университет, 2006
А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
Д.Ф. Белоножко, 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
Введение
В последние два с половиной десятилетия (первая теоретическая статья [1] появи-
лась 1983 году) начались регулярные исследования нелинейных осцилляций заряженных
капель [1 – 33], хотя экспериментальные и теоретические исследования устойчивости и
динамики колебаний заряженных капель жидкости в линейном по амплитуде осцилля-
ций приближении проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной капле
объясняется тем, что она является ключевым объектом в самых разнообразных академи-
ческих, геофизических, технических и технологических явлениях и процессах. Напри-
мер, с ней приходится встречаться при распыливании жидких топлив, инсектицидов, ла-
кокрасочных материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, при исследова-
нии проблем грозового электричества, в капельной модели ядра атома (см., например,
обзоры [34 – 46] и указанную там литературу).
Впервые теоретическое изучение капиллярных колебаний и линейная теория ус-
тойчивости заряженной сферической капли были проведены Рэлеем [47, 48] в конце де-
вятнадцатого века. Он представил каплю как колебательную систему с бесконечным
набором собственных частот колебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных
колебаний поверхности рассматривались колебания, описываемые соответствующими
полиномами Лежандра, при этом номер моды соответствовал числу выпуклостей (или
впадин) на поверхности капли. Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и на-
шел критические условия потери устойчивости различными осесимметричными модами
сильно заряженной капли. Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода ка-
пиллярных колебаний, критические условия потери устойчивости которой и определяют
устойчивость всей капли. Величину заряда на капле фиксированного радиуса с задан-
ным коэффициентом поверхностного натяжения, при которой теряет устойчивость ос-
новная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости заряженной капли.
При превышении зарядом Рэлеевского предела капля неустойчива и у нее не существу-
ет равновесных сферических форм. С тех пор проделана масса исследований линейной
устойчивости капель в различных усложняющих вариантах, количество публикаций, по-
священных линейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзоры [34 –
46] и указанную там литературу).
Но сосредоточимся на исследованиях нелинейных осцилляций заряженных капель
[1 – 32, 49 – 51]. Можно выделить три основных направления проведенных исследова-
ний: 1) нелинейный анализ эволюции капиллярных осцилляций поверхности капли в
рамках методов теории возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных капель
вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций решений, имеющих место в
окрестности критического значения заряда; 3) исследование нелинейного взаимодейст-
вия между отдельными модами колебаний заряженной капли.
Впервые классические методы теории возмущений (метод Линштедта – Пуанкаре)
к исследованию осесимметричных капиллярных колебаний конечной амплитуды, со-
вершаемых поверхностью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, были
применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по амплитуде начальной де-
формации поправки к форме поверхности капли, потенциалам скоростей и в третьем по-
рядке малости к частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов начальных
условий, определявшихся заданием начальной деформации капли в виде виртуальной
возмущения n-ой моды осцилляций для n = 2,3,4. В экспериментальных исследованиях
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях отсутствия силы тяжести,
проведенных в [32], получено хорошее согласие с данными работы [1].
В работе [29] на основе более подходящего для исследования многочастотных ко-
лебаний метода многих масштабов были исследованы осцилляции конечной амплитуды
заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбужде-
нием первых трех мод (n = 2,3,4), для случая заряда, меньшего Рэлеевского предела. Од-
нако выяснилось, что при приближении величины заряда к критическому значению *Q
найденные в [29] поправки к амплитудам гармонических колебаний становятся неспра-
ведливыми, так как содержат неограниченно нарастающие при Q > *Q слагаемые. Для
устранения таких расходимостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения
решений, полученных в [29], малый параметр масштабирования вводится таким обра-
зом, чтобы он характеризовал соотношение между амплитудой деформации и отклоне-
нием величины заряда на капле Q от критического ∗Q . Это позволило авторам [32]
проанализировать нелинейную динамику осесимметричных осцилляций поверхности
невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского предела и получить с точностью до вто-
рого порядка малости по величине решения, описывающие эволюцию формы капли, по-
ля скоростей и электрического поля при начальном возбуждении основной моды коле-
баний поверхности.
Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли, несущей заряд, мало
отличающийся от Рэлеевского предела, методами, использованными в [32], предпринят
в [24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричных мод,
описываемых сферическими функциями второго порядка. Решения выведенных уравне-
ний в зависимости от величины начальной деформации капли и близости заряда к кри-
тическому значению могут проявлять стохастическое поведение.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических форм по-
верхности идеально проводящей заряженной невязкой капли с зарядом вблизи Рэлеев-
ского предела при начальном возбуждении основной (n = 2) моды рассматривались в
[32]. В частности, было показано, что Рэлеевский предел соответствует точке транскри-
тической бифуркации семейства статических сферических форм капли на семейства осе-
симметричных вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат был под-
твержден численными расчетами [51]). Вытянутые формы существуют при значениях
заряда, меньших критического, и неустойчивы по отношению к малоамплитудным воз-
мущениям поверхности. Сплюснутые статические формы существуют при зарядах,
больших Рэлеевского предела, причем они оказались устойчивыми по отношению к ма-
лым осесимметричным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях заря-
да, немного меньших критического, устойчивость исходной сферической формы капли
может быть нарушена колебаниями конечной амплитуды. Причем, величина заряда, на
которую снижается его критическое значение, пропорциональна амплитуде начального
удлинения капли. Результаты аналитических вычислений в [32] подтверждаются чис-
ленными расчетами статических форм поверхности капли при возбуждении первых трех
мод. Численный анализ осесимметричных статических форм заряженной капли вблизи
Рэлеевского предела был продолжен в [25] с использованием интегральной формы урав-
нения Лапласа. В квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены несим-
метричные относительно экваториальной плоскости формы капель, неустойчивые в ли-
нейном приближении. В работе [24] при анализе неосесимметричных колебаний капли
получено, что сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие согласно [32] и
численным расчетам [51] при Q > *Q с неустойчивым по отношению к неосесимметрич-
ным возмущениям (позднее аналогичный результат получен и в линейном анализе [49,
50]). Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолютной неустойчиво-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
сти заряженной капли. Начальная стадия реализации неустойчивости заряженной капли
проходит через последовательность удлиняющихся вытянутых сфероидов.
В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 – 28] факт временной
асимметрии осцилляций: при начальном возбуждении основной моды, когда форма кап-
ли осциллирует между вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения капли
(пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время ее нахождения в сплюсну-
том состоянии, и эта тенденция усиливается с увеличением амплитуды осцилляций. Но
констатацией факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование же ему дано в
[52], где показано, что при нелинейных осцилляциях капля совершает колебания не воз-
ле сферической формы, как было в линейном случае, а в окрестности фигуры, близкой к
вытянутому сфероиду.
Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных колебаний заряженной по-
верхности капли рассматривались в работах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго
порядка малости квадратичные по малому параметру компоненты решений (деформации
формы капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатическо-
го потенциала в окрестности капли), а также поправки к частотам осцилляций, опреде-
ляемые в расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях множители ви-
да: ( )222
nm j ωω ⋅− , где mω и nω – частоты различных мод осцилляций капли; j – целое
число. В некоторых ситуациях (при некоторых значениях собственного заряда капли Q,
ее радиуса и величины коэффициента поверхностно натяжения) может выполниться со-
отношение ( ) 0222
=⋅− nm
j ωω . Такие ситуации по аналогии с вынужденными гармони-
ческими осцилляциями принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов
решения расходятся. В теории возмущений отработаны процедуры отыскания решений,
как в окрестности, так и в самой точке резонанса [53 – 55] путем введения параметра
расстройки, величина которого может непрерывно изменяться. В физических задачах в
параметры расстройки вводятся на основе изменения неких параметров задачи, которые
ранее принимались фиксированными. В итоге резонансные компоненты решения сво-
дятся к секулярным слагаемым, которые в свою очередь обрабатываются в стандартных
математических процедурах.
В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен резонанс между четвер-
той (n=4) и шестой (n=6) модами при некотором заряде капли rQ , докритическом в
смысле линейной устойчивости заряженной капли по отношению к собственному заряду
(в смысле анализа устойчивости, проведенного Рэлеем) rQ < *Q , здесь *Q – критический
заряд, при котором теряет устойчивости основная мода (n = 2). Тсамопулос и Браун [29]
ввели параметр расстройки на основе варьирования заряда капли Q в малой окрестности
rQ и построили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его окрестности.
Они показали, что в точке резонанса энергия полностью перекачивается из изначально
возбужденной четвертой моды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвер-
той моды. Они показали, что максимальная амплитуда шестой моды достигается в по-
ложении точного резонанса (при равной нулю величине параметра расстройки) и что
амплитуда шестой моды убывает по гиперболическому закону при увеличении абсо-
лютной величины параметра расстройки.
В [29] также показано, что резонансные ситуации между модами осцилляций реа-
лизуются и для незаряженной капли. В частности, такое взаимодействие для основной (n
= 2) и четвертой (n = 4) мод обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Ука-
занная степень малости приводит к существенному увеличению (на порядок) характер-
ного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.
Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n = 5) и восьмой (n = 8), а также
десятой (n = 10) и шестнадцатой (n = 16) мод в незаряженной капле идеальной несжи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
маемой жидкости рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование про-
ведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно
гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый Лагранжиан вводятся в
соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее
решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго по-
рядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная де-
формация задается суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и 8-й или 10-й и
16-й. Затем Лагранжиан усредняется по быстрому времени. Уравнения Эйлера – Ла-
гранжа, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержат
лишь медленное время и описывают квадратичное по малому параметру взаимодействие
мод, определяющих начальную деформацию. Результаты расчетов резонансного обмена
энергией между взаимодействующими модами в случае осесимметричных осцилляций
зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.
В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осесимметричными модами
осцилляций, то следует учесть, что с m-ой осесимметричной модой связаны 2m+1 неосе-
симметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их воз-
буждения, и осесимметричные моды неустойчивы в смысле передачи своей энергии в
связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в
виртуально возбужденной в начальный момент времени в осесимметричной m-ой моде,
«размазывается» по 2m+1 неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный
момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, количество
связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энер-
гией между взаимодействующими неосесимметричными модами носит стохастический
характер.
Внутреннее резонансное взаимодействие мод, реализующееся в третьем порядке
малости, выполненное с использованием Лагранжева формализма, исследовано Ната-
раньяном и Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые исследовали
возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешен-
ных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма
трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосесимметричной бе-
гущей волны, которая, в конце концов, приводила к вращению капли как целого. Такой
же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в усло-
виях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем.
Натараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых ле-
витирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с уча-
стием неосесиметричных мод. Они указали, что кроме резонанса третьего порядка меж-
ду второй (n=2) и четвертой (n=4) модами, для которых выполняется условие
03 24 =⋅± ωω , о котором сообщалось ранее в [29], существуют резонансы третьего по-
рядка между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой осесимметрич-
ной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как це-
лого. В [4] исследованы в рамках Лагранжева метода резонансное взаимодействие меж-
ду неосесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3), также между
второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесим-
метричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной
моды (n=3, m=0), неосесимметричная тессеральная мода ∼ ),(2
3 ϕθP , (т.е. n=3, m=2),
претерпевает неустойчивость, что в итоге может привести к вращению капли как целого.
Для ситуации начального возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно
между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость неосесимметричная
тессеральная мода ∼ ),(2
4
ϕθP , (т.е. n=4, m=2), что также может привести к вращению
капли как целого. Тем не менее, результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нели-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
нейная поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от найденной ра-
нее в строгом гидродинамическом анализе [29], и сами авторы [4] говорят, что результа-
ты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия оши-
бок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии
из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением
порядка симметрии реализующихся осцилляций, представляется сомнительной, хотя для
системы взаимодействующих точечных осцилляторов перекачка энергии из высоких
мод в низкие имеет место и даже получила специальное название «распадная неустой-
чивость». В экспериментах [5, 6] направленное силовое воздействие на каплю со сторо-
ны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как цело-
го не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.
Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего резонансного взаимо-
действия мод осцилляций с различной симметрией не вызывает никаких возражений.
Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реали-
зации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех вышецитированных работах
при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о
так называемом вырожденном трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимо-
действует с другой, и лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности
вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асим-
метрией, и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли,
перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с бóльшими номерами. Об-
ратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках той доли энер-
гии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодейству-
ют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном ре-
зонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную
деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствую-
щую в спектре мод, определяющих начальную деформацию.
Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно взаимодействующими
модами осцилляций капли с различной симметрией до настоящего времени не исследо-
вался, но такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной струи
идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что перекачка энергии из неосе-
симметричной моды в осесимметричную может иметь место, но обратный перенос, со-
ответствующий распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно не понятно.
Примерно таково же положение дел для резонансного обмена энергией между модами
нелинейно-осциллирующей капли, движущейся относительно среды [31]: распадная не-
устойчивость не имеет места.
Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной динамики поверхности
капли проводились в рамках модели идеальной жидкости. Лишь в работе [23] при расче-
тах численными методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилляции фор-
мы капли. Получено, что даже наличие малой вязкости существенным образом сказыва-
ется на резонансном взаимодействии отдельных мод колебаний.
Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцилляциями и неустойчи-
востью заряженных капель, является возникновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% слу-
чаев это зажигание ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в электри-
ческом поле [56 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчивости с поверхности жид-
кости начинается эмиссия сильно заряженных высокодисперсных капелек, в
окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации ко-
ронный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интересно, что появление
ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда сопровождается интенсивными радиопо-
мехами. Из общефизических соображений можно выделить два источника радиоизлуче-
ния ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных капель и капиллярные ос-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
цилляции капелек, несущих электрический заряд [59, 60]. Радиоизлучение коронного
разряда изучено достаточно хорошо. Достаточно подробно разработана и теория элек-
тромагнитного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому в настоящем
исследовании основное внимание будет уделено оценке интенсивности радиоизлучения,
связанного с нелинейными колебаниями заряженных капель.
Другой примечательный пример применения теории колебаний заряженной капли
связан с исследованием взаимодействия звуковых волн с жидко капельными системами.
В этом случае, как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степеней сво-
боды, связанных с капиллярными колебаниями капель, хотя хорошо известно, что часто-
ты капиллярных колебаний капель с размерами, характерными для жидко-капельных
систем естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), приходятся на диапа-
зоны частот звуковых волн и длинноволновых ультразвуковых (см., например, [45, 61,
62] и указанную там литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклонение
формы капель от сферической, движение капель относительно внешней среды, учет их
вязкости – приводят к смещению спектра капиллярных колебаний в область более низ-
ких значений [45, 65, 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.
Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на обилие теоретических и
экспериментальных исследований нелинейных осцилляций заряженных капель, многие
вопросы, с ними связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представляется
своевременным более детально ознакомиться с характерными постановками задач и ма-
тематическими методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций заря-
женных капель.
1. Анализ нелинейных осцилляций заряженной
капли идеальной жидкости во втором порядке
малости по амплитуде исходной деформации
1.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли
1. Пусть в начальный момент времени t = 0 равновесная сферическая с радиусом R
капля идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэф-
фициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , распределенным
по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесимметричное возмущение фиксиро-
ванной амплитуды, меньшей радиуса капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во
времени формы поверхности такой капли, которая при t > 0 будет совершать нели-
нейные осцилляции в окрестности равновесной сферической формы.
Очевидно, что капля будет осесимметричной как в начальный, так и во все после-
дующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность в сфериче-
ской системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в
которых 1=== γρ R , можно записать в виде:
( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля
скоростей движения жидкости в капле ( )tr,
ψ ; само поле скоростей ( )trV ,
при этом
определяется через градиент потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,,
ψ= . Принимая, что скоро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распро-
странения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрест-
ности капли будем считать электростатическим [59] и станем описывать его с помощью
потенциала ( )tr,
Φ , с которым напряженность поля E
связана известным соотношени-
ем ( )Φ−= gradE
.
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:
Δψ ( t,r
)= 0; )t,r(
ΔΦ ; (2)
r→0: ψ ( t,r
) → 0; (3)
r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad
; (4)
r=1 + ξ(θ, t): ;
r
1
rt 2
θ
ψψξ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(5)
;ndiv)(
8
1
)(
2
1
t
p 22
=∇+∇−
∂
∂
− Φ
π
ψ
ψ
Δ (6)
Φ(r, θ, t) = const; (7)
v
,
3
4
sin2
πϕθθ =dddrr
v = [ ]πϕπθθξ 20,0),t,(1r0 ≤≤≤≤+≤≤ (8)
0sin3
= ϕθθ dddrre
V
r
; (9)
[ ]
1
( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;
4 s
n ds Q s r tξ θ θ π ϕ π
π
− ⋅∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤
(10)
t=0:
∈
++=
Ξ
μεμξμξθξ
i
ii1100 );(Ph)(P)(P)(
∈
=
Ξi
i ;1h
0
),(
=
∂
∂
t
tθξ
; θμ cos= . (11)
Поскольку условия (8) и (9) должны выполняться в любой момент времени, в том
числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в
разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности кап-
ли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра. Иначе говоря, амплитуды нулевой и первой мод
не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: pΔ – перепад постоянных давлений
внутри и вне капли в состоянии равновесия; n
– единичный вектор нормали к поверх-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
ности (1); ε – безразмерная амплитуда начального возмущения формы поверхности ка-
пли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы Лежандра порядка i;
ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в сум-
марное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-
денных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (8) и (9) в
начальный момент времени и с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε ,
равные:
( )
( )3
1
2
2
0
12
εεξ O
i
h
m
i
+
+
−≈
∞
=
;
( )( )
( )
Ξ∈
−
+
+−
−≈
i
ii
O
ii
hhi 312
1
1212
9
εεξ . (12)
2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих
масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [1, 32]. Искомые функции ( )t,θξ ,
( )tr,
ψ , ( )tr,
Φ представим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем счи-
тать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов, определенных через
малый параметр ε : tm
m ε≡Τ :
( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,
m
mm
TTt θξεθξ ; ( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θψεψ
;
( ) ( )
( )
∞
=
Φ=Φ
0
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θε
. (13)
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по ε прибли-
жении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух
временных масштабов 0T и 1T .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содер-
жащие одинаковую степень параметра ε , получим набор краевых задач для определе-
ния функций
( )m
ξ ,
( )m
ψ ,
( )m
Φ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удов-
летворять каждая из функций
( )m
ψ ,
( )m
Φ .
В нулевом порядке малости несложно найти выражение для электростатического
потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :
( )
rQ/0
=Φ .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовле-
творяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅⋅=
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∞
=
+−
⋅⋅=Φ
0
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTFTTr μθ . (14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим
в виде разложений по полиномам Лежандра:
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅=
0
010 1
,,,
n
n
m
n
m
PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)
Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого
порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по-
лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов
( )
( )10
1
,TTMn :
( )
( ) ( )
( ) 0,
,
10
12
2
0
10
12
=+
∂
∂
TTM
T
TTM
nn
n
ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12
ω ;
π4
2
Q
W = . (16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции с коэффициентами,
зависящими от времени 1T :
( ) ( ) ( ) .;.exp, 01
1
10
)1(
скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω )2( ≥n (17)
( ) ( ) ( )
( )( )1
1
1
)1(
1
1
exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= ;
здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к вы-
писанным; ( )1
1na T и ( )1
1
Tbn – вещественные функции, зависимость которых от времени
1T может быть определена только при рассмотрении задачи следующего порядка мало-
сти.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении,
следует, что
( )
( ) 0, 10
1
0 =TTM ;
( )
( ) 0, 10
1
1 =TTM . (18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для
n = 0 и n = 1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:
( ) ii ha
2
1
0)1(
= ; ( ) 00)1(
=ib ; ( )Ξ∈i ;
( ) 00)1(
=na ; ( ) 00)1(
=nb ; ( )Ξ∉n . (19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в по-
лученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после гро-
моздких преобразований получим уравнение относительно коэффициентов
( )
( )10
2
,TTMn :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=+
∂
∂
0
1
1
1
10
12
2
0
10
22
exp2,
,
Ti
dT
TdA
iTTM
T
TTM
n
n
nn
n
ωωω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
+ ( ) ( ) ( ) ( )( )
∞
=
∞
=
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1 2
01
1
1
1
exp
l m
mlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ
( ) ( ) ( ) ( )( )
+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 01
1
1
1
скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)
+
++−−++−+++−=
2
W
n)3)7n2i2(i)1i(j()1)1j(j(n2)1in(K 2
iijnijn ωγ
+ ;
2
W
n
i
1 2
iijn
+ωα ;
2
1
1
1
2
++
+−=
j
n
i
i
n
K ijnijnijn αη
[ ] ;CK
20n
0j0iijjn = .)1()1( 0
1)1(
0
00
n
ji
n
jiijjn CCjjii −++−=α
Здесь
0
1)1(
0
00
n
ji
n
ji CC − - коэффициенты Клебша – Гордана [64]. Они отличны от нуля,
только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:
( )jinji +≤≤− || ; ( ) gnji 2=++ . (21)
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться колебания мод, номера
которых удовлетворяют (21).
3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для каких либо трех мод ко-
лебаний поверхности капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений:
kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =− , (22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в
резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется
лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных колебаний поверхности
капли nω зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении
4=crW частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по от-
ношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на
нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если
соотношения (22) выполняются при crWW < . В работе [29] был обнаружен один резо-
нанс подобного типа для случая, когда 46 2ωω = , а в [65, 66] показано, что общее коли-
чество резонансов при 4<W весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-
ется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодей-
ствия во втором порядке малости, а индексы qpk ,, нумеруют моды, связанные резо-
нансным взаимодействием.
Рассмотрим вначале случай, qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не связана никаким ре-
зонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми
знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
( ) 01
1
=
dt
TdAn
.
Из этого равенства, используя выражение для ( )1
1
TAn через скалярные функции
( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой час-
тей, несложно получить
( ) ( ) 01
)1(
1
)1(
==
dt
Tdb
dt
Tda nn
.
Эти равенства означают, что ( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn не зависят от медленного времени
1T , и в рамках рассмотрения задачи с учетом лишь второго порядка малости их можно
считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для
коэффициентов первого порядка малости ( )tMn
)1(
в разложении возмущения формы
равновесной поверхности
( )
( )t,1
θξ в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид
( ) ( )thtM iiinn ⋅⋅⋅= ωδ cos,
)1(
; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)
in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости,
получаемые при решении уравнения (19), в рассматриваемой ситуации примут вид:
( )
( ) ( )
( ) ( ) +
⋅+−⋅
⋅++⋅⋅=
Ξ∈ Ξ∈
+
i j
jinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin2
( )
( ) ( )
⋅+−⋅
⋅−+⋅+ −
tt jinjinnji ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin ; ( )kqpnn ,,;2 ≠≥
( )
( ) ( )( ) 122 −±
±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)
Заметим, что из соотношений для
( )±
njiλ следует, что выражение для амплитуды до-
бавки второго порядка малости
( )
( )tMn
2
при выполнении условия
( ) 0
22
=±− jin ωωω (22a)
будет содержать малые знаменатели. Считая, что 0>nω , несложно увидеть, что это ра-
венство эквивалентно (22), т.е. условию реализации внутреннего трехмодового комби-
национного резонанса.
4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон эволюции поверхности
заряженной капли во времени, если характер взаимодействия между изначально возбуж-
денными модами не резонансный:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14
Ξ∈
∞
=
Ο+++=
j n
nnjj PMPMtr
0
3)2(2)1(
)()()(1),( εμεμεθ ;
);tcos(hM ii
)1(
i ω= ));t2cos(1(
)1i2(
h
2
1
M i
i
i)2(
0 ω
Ξ
+
+
−=
∈
);tcos()tcos(
)1i2)(1i2(
hih9
M 1ii
i
i1i)2(
1 −
∈
−
+−
−= ωω
Ξ
[ ];)tcos()0(N)t(NM nnn
)2(
n ω−= n > 2;
[ ];)t)cos(()t)cos((hh
2
1
)t(N
j,i
ji
)(
ijnji
)(
ijnjin
∈
−+
−++=
Ξ
ωωλωωλ
Анализ полученных соотношений показывает, что начальное возмущение (четной
либо нечетной) одиночной моды m капиллярных колебаний приводит к возбуждению во
втором порядке малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне [0; m].
Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии с предсказаниями линейной
теории независимо от вида начальной деформации равновесной сферической формы ка-
пли, несущей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчивость по отно-
шению к собственному заряду может быть реализована через быстрое нарастание ам-
плитуды основной моды (n=2), возбуждающейся во втором порядке малости за счет не-
линейного взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр мод, опре-
деляющих начальную деформацию. Этот вывод качественно согласуется с данными [51]
посвященной численному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда на-
чальная деформация капли определена пятой модой, имеется и количественное согласие
полученных выше временных зависимостей амплитуд мод, возбужденных во втором по-
рядке малости с работой [2].
Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды основной моды увели-
чивается с ростом номера моды, определяющей начальную деформацию. С увеличением
номера моды, начальное возмущение которой определяет исходное возмущение равно-
весной сферической формы растет и количество мод капиллярных осцилляций заряжен-
ной капли, возбуждающихся за счет взаимодействия.
Когда начальное возмущение равновесной формы определено четными полинома-
ми Лежандра, то образующая формы капли в любой момент строится из четных же по-
линомов Лежандра и имеет симметричный относительно начала координат вид. При
достаточно большом значении времени t (лежащем на границе интервала равномерности
решения по t) капля проявляет тенденцию к делению на две равные части. Если же на-
чальное возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то форма капли в лю-
бой последующий момент времени асимметрична относительно начала координат, не-
смотря на то, что за счет взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбуж-
даются только четные моды. При больших значениях времени t такая капля проявляет
тенденцию к асимметричному делению.
Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает между модами во
втором порядке малости, когда начальная деформация капли определена одной модой, а
частоты взаимодействующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют со-
отношению
222
nm j ωω ⋅= , где j – целое число, nm ≠ . В результате такого взаимодей-
ствия амплитуда одной из взаимодействующих мод растет со временем, а второй –
уменьшается.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной деформации наиболее
быстро растет амплитуда основной моды капиллярных колебаний. Поскольку использо-
ванная процедура расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех
пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке малости, не сравняется с
амплитудой начального возмущения, то увеличение амплитуды основной моды до вели-
чины порядка ε будет соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом экс-
центриситета
22
25.53 εε −≈e [67]. Несложно видеть, что даже при малых значениях
ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению капли и к снижению критических условий
реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, которые для
сфероидальной капли в линейном по
2
e приближении имеют вид:
( ) ( ) ( )( )7/25.432147/214 222
* εε ⋅−−≈−= eeW .
Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к критическому, то может
реализовываться неустойчивость капли. Если капля характеризуется некоторым значе-
нием параметра Рэлея +=WW , достаточно близким к критическому 4=W , но мень-
шим его, то из приведенного выражения для ( )2
* eW можно найти текущую безразмер-
ную амплитуду основной моды 2a , при достижении которой капля претерпит неустой-
чивость:
( )2
1
1 8.17 1 8.17 .
3.5
+≈ − ⋅ − ⋅a W
Так, при 6.3=W капля станет неустойчивой, когда безразмерная амплитуда ос-
новной моды достигнет величины 16.0≈a . При этом капля сбросит часть своего заря-
да путем эмиссии значительного количества сильно заряженных высокодисперсных ка-
пелек [42 – 45, 68].
1.2. Внутреннее нелинейное резонансное
трехмодовое (вторичное комбинационное)
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли
1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод осцилляций заряжен-
ной капли электропроводной несжимаемой жидкости среди прочих нелинейных эффек-
тов, связанных с нелинейными осцилляциями капли, занимает в проводимых исследова-
ниях видное место: начиная с первых работ на эту тему, появившихся двадцать лет назад
[1, 3, 4, 24, 29] и до настоящего времени [2, 19, 21, 22, 69 – 77] более трех четвертей пуб-
ликаций так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том, что резонансное
взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое и эффективное перераспределение
энергии начальной деформации капли между модами, возбуждающимися за счет нели-
нейного взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влияние как на законо-
мерности реализации нелинейных осцилляций (и связанными с ними акустическим и
электромагнитным излучениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несу-
щей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчивости [2, 24, 29, 70, 74,
76]. Но, несмотря на значительное количество публикаций, посвященных резонансному
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
взаимодействию мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получено.
Так. до сих пор не исследован вопрос о направлении перекачки энергии между модами
при резонансном взаимодействии. Первыми были открыты и исследованы так называе-
мые вырожденные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух взаимодей-
ствующих мод дважды взаимодействует с другой. В [69, 75] было показано, что в таких
резонансах энергия перекачивается только в направлении от низких мод к высоким, что,
вообще говоря, не согласуется с представлениями о "распадной неустойчивости" при
трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе [72] было обнаружено, что распадная неус-
тойчивость может иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных
комбинационных резонансах): было показано, что существует несколько резонансных
ситуаций, в которых энергия перекачивается из высоких мод в третью, но особенности
такого взаимодействия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследованы
не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых взаимодействиях энергия также
может перекачиваться от высоких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку
эти взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости. Исследование воз-
можности перекачки энергии из высоких мод нелинейных осцилляций к низким (точнее
говоря, к основной моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждающимся
в научной литереатуре механизме инициирования разряда молнии коронным разрядом в
окрестности крупной сильно заряженной капли [74, 77].
В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится детальное исследование
закономерностей перераспределения энергии между модами в вырожденных и во вто-
ричных комбинационных резонансах при трехмодовом взаимодействии.
2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности нелинейно осциллирую-
щей капли идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ ,
коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , однородно
распределенным по ее поверхности. В начальный момент времени t = 0 равновесная
сферическая форма капли с радиусом R претерпевает осесимметричное возмущение
фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью най-
ти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) при 0t > .
Примем, что форма капли – осесимметрична как в начальный, так и во все после-
дующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность, в сферической
системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в кото-
рых 1=== γρ R , имеет вид:
( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля
скоростей движения жидкости в капле ( )tr,
ψ ; само поле скоростей ( )trV ,
при этом
определяется через градиент потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,,
ψ= . Принимая, что скоро-
сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распро-
странения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрест-
ности капли будем считать электростатическим и станем описывать его с помощью по-
тенциала ( )tr,
Φ , с которым напряженность поля E
связана известным соотношением
( )Φ−= gradE
.
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:
Δψ ( t,r
)= 0; )t,r(
ΔΦ ; (2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
r→0: ψ ( t,r
) → 0; (3)
r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad
; (4)
r=1 + ξ(θ, t): ;
r
1
rt 2
θ
ψψξ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(5)
;ndiv)(
8
1
)(
2
1
t
p 22
=∇+∇−
∂
∂
− Φ
π
ψ
ψ
Δ (6)
Φ(r, θ, t) = const ; (7)
V
,
3
4
sin2
π
ϕθθ =dddrr V=[ ]πϕπθθξ 20,0),t,(1r0 ≤≤≤≤+≤≤ (8)
0sin3
=⋅ ϕθθ dddrre
V
r
; (9)
[ ];20,0),,(1,)(
4
1
πϕπθθξ
π
≤≤≤≤+===Φ∇•− trSQdsn
S
(10)
t=0:
Ξ∈
++=
i
ii PhPP );()()()( 1100 μεμξμξθξ
Ξ∈
=
i
ih ;1 0
),(
=
∂
∂
t
tθξ
. (11)
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой момент времени, в том
числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в
разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности кап-
ли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра. Другими словами, амплитуды нулевой и первой
мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: θμ cos= ; pΔ – перепад постоян-
ных давлений внутри и вне капли в состоянии равновесия; n
– единичный вектор нор-
мали к поверхности (1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности ка-
пли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы Лежандра порядка i;
ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в сум-
марное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-
денных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (8) и (9) в
начальный момент времени, с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε ,
равные:
( )
( )3
1
2
2
0
12
εεξ O
i
h
m
i
+
+
−≈
∞
=
;
( )( )
( )
Ξ∈
−
+
+−
−≈
i
ii
O
ii
hhi 312
1
1212
9
εεξ . (12)
3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих
масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые
функции ( )t,θξ , ( )tr,
ψ , ( )tr,
Φ представим в виде рядов по степеням малого парамет-
ра ε , и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов,
определенных через малый параметр ε : tm
m ε≡Τ :
( ) ( )( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,
m
mm
TTt θξεθξ ; ( ) ( )( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θψεψ
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
( ) ( )( )
∞
=
Φ=Φ
0
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θε
. (13)
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по приближе-
нии, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух вре-
менных масштабов 0T и 1T .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содер-
жащие одинаковые степени параметра ε , получим набор краевых задач для определе-
ния функций
( )m
ξ ,
( )m
ψ ,
( )m
Φ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удов-
летворять каждая из функций
( )m
ψ ,
( )m
Φ .
В нулевом порядке малости получим выражения для электростатического потен-
циала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :
( )
rQ/0
=Φ .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовле-
творяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:
( )( ) ( )( ) ( )
∞
=
⋅⋅=
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∞
=
+−
⋅⋅=Φ
0
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTFTTr μθ . (14)
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим
в виде разложений по полиномам Лежандра:
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅=
0
010 1
,,,
n
n
m
n
m
PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)
Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого
порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по-
лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов
( )
( )10
1
,TTMn :
( )
( ) ( )
( ) 0,
,
10
12
2
0
10
1
=+
∂
∂
TTM
T
TTM
nn
n
ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12
ω ;
π4
2
Q
W = . (16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции (для 2≥n ) с коэф-
фициентами, зависящими от времени 1T :
( ) ( ) ( ) .;.exp, 01
)1(
10
)1(
скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω ( ) ( ) ( )( )( )1
1
1
1
1
)1(
exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= . (17)
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные
к выписанным; ( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn – вещественные функции, зависимость которых от
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
времени 1T может быть определена только при рассмотрении задачи следующего поряд-
ка малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении,
следует, что
( )
( ) 0, 10
1
0 =TTM ;
( )
( ) 0, 10
1
1 =TTM . (18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для
n = 0 и n = 1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:
( ) ii ha
2
1
0)1(
= ; ( ) 00)1(
=ib ; ( )Ξ∈i ;
( ) 00)1(
=na ; ( ) 00)1(
=nb ; ( )Ξ∉n . (19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в по-
лученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после гро-
моздких преобразований получим уравнение относительно неизвестных коэффициентов
( )
( )10
2
,TTMn :
( )( ) ( )( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅+
∂
∂
0
1
1
)1(
10
12
2
0
10
2
exp2,
,
Ti
dT
TdA
iTTM
T
TTM
n
n
nnn
n
ωωω
( ) ( ) ( ) ( )( ){
∞
=
∞
=
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
2 2
01
)1(
1
)1(
exp
l m
mlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ
( ) ( ) ( ) ( )( )
+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 01
)1(
1
)1(
скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)
+
++−−++−+++−=
2
)3)722()1(()1)1((2)1(2 W
nniiijjjniniijnKijn ωγ
+ ;
2
21
+
W
niiijn ωα ;
2
1
1
)1
2
+++−=
j
n
iijni
n
ijnKijn αη
[ ] ;
20
00
n
jiCijnK = .0
1)1(
0
00
)1()1( n
ji
Cn
ji
Cjjiiijn −
++−=α
Здесь
0
1)1(,0
00
n
jiCn
jiC − – коэффициенты Клебша – Гордана. Они отличны от ну-
ля, только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:
( )jinji +≤≤= || ; ( ) gnji 2=++ . (21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться только колебания мод,
номера которых удовлетворяют (21).
4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод колебаний поверхности
капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений:
kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =+ , (22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в
резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется
лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что, согласно (16), значения частот собственных колебаний поверхности
капли nω зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении
4=crW частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по от-
ношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на
нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если
соотношения (22) выполняются при crWW < . В работе [29] был обнаружен резонанс
подобного типа, для случая когда 46 2ωω = , а в [70, 72, 74] показано, что общее коли-
чество резонансов при 4<W весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-
ется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодей-
ствия во втором порядке малости, а индексы qpk ,, нумеруют моды, связанные резо-
нансным взаимодействием.
4а. Рассмотрим вначале случай qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не связана никаким
резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с ма-
лыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:
( ) 01
)1(
=
dt
TndA
.
Из этого равенства, используя выражение для ( )1
)1(
TAn через скалярные функции
( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой частей,
несложно получить
( ) ( ) 01
)1(
1
)1(
==
dt
Tndb
dt
Tnda
.
Эти равенства означают, что ( )1
)1(
Tna и ( )1
)1(
Tnb не зависят от медленного времени
1T , и в рамках рассмотрения задачи во втором порядке малости их можно считать кон-
стантами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффициен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 21
тов первого порядка малости ( )tnM
)1(
в разложении возмущения формы равновесной
поверхности
( )( )t,1
θξ в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид
( ) ( )tiihintnM ⋅⋅⋅= ωδ cos,
)1(
; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)
где in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости, по-
лучаемые при решении уравнения (20), в рассматриваемой ситуации примут вид:
( )( ) ( ) ( ) ( ) +
⋅−−⋅
⋅++⋅⋅=
Ξ∈ Ξ∈
+
i j
jinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin2
( ) ( ) ( )
⋅+−⋅
⋅−+⋅+ −
tt jinjinnji ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin ; ( )kqpnn ,,;2 ≠≥
( )
( ) ( )( ) 122 −±
±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)
4b. При анализе уравнения (20) для мод с qpkn ,,= , чтобы отразить близость
комбинации частот qp ωω − к частоте kω , введем параметр расстройки ( )1~ Oσ , оп-
ределяемый соотношением:
( )kkqp ⋅+=− εωωω 1 . (25)
Отметим, что параметр расстройки можно связать с величиной собственного заря-
да капли (с величиной параметра W ), имея в виду, что, варьируя заряд капли, можно
изменять частоту осцилляций, уводя ее от положения точного резонанса.
Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20) для рассматриваемых
случаев появятся слагаемые, содержащие следующие сомножители:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi kkkkqp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ ωωσσωεωωω ;
( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi pkkpqk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅=⋅+⋅ ωωσσωεωωω ;
( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi qkkqkp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ ωωσσωεωωω ,
а условия исключения секулярных членов из решения уравнения (20) для qpkn ,,= за-
пишутся в виде:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 1
1
1
1
1
1
)1(
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅Λ+⋅⋅⋅− −
TATATi
dt
TdA
i qpkkqp
k
k ωσω ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 22
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 1
1
1
1
1
1
)1(
=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅Λ+⋅⋅⋅− +
TATATi
dt
TdA
i qkkpqk
p
p ωσω ;
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 1
1
1
1
1
1
)1(
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅Λ+⋅⋅⋅− −
TATATi
dt
TdA
i kpkqkp
q
q ωσω ; (26)
( ) ( ) ( )nlmnmlmlnlmnmlnml ηηωωγγ +⋅⋅±+=Λ ±
.
Приравнивая нулю действительную и мнимую части выражений (26) и вводя но-
вую функцию
( )
( ) ( )
( )1
1
11
1
TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ , (27)
получим систему дифференциальных уравнений относительно вещественных функций
( )
( )1
1
Tak ,
( )
( )1
1
Tkβ ,
( )
( )1
1
Tap ,
( )( )1
1
Tbp ,
( )
( )1
1
Taq ,
( )
( )1
1
Tbq :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin2 TTaTa
dT
Tda
pqkqpkqp
k
k ϕω ⋅⋅⋅Λ=⋅ −
;
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
1
cos22 TTaTaTa
dT
Td
Ta pqkqpkqpkk
k
kk ϕσω
β
ω ⋅⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ −
;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin2 TTaTa
dT
Tda
pqkqkpqk
p
p ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ +
;
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos2 TTaTa
dT
Tdb
Ta pqkqkpqk
p
pp ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ +
;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin2 TTaTa
dT
Tda
pqkkpqkp
q
q ϕω ⋅⋅⋅Λ=⋅ −
;
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos2 TTaTa
dT
Tdb
Ta pqkkpqkp
q
qq ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ −
;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1
1
1
1
1
1
1
1
TbTbTT qpkpqk −+= βϕ . (28)
Начальными условиями для уравнений (28) служат соотношения (19), причем из
требования непротиворечивости системы (28) при t = 0 получаем, что если какая либо из
мод – k, p или q не присутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ , т.е. ее ам-
плитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при 0=t не произвольна,
а равна 2/π . В итоге, начальные условия для системы (28) можно записать в следую-
щей компактной форме:
( )
( ) 2/0 ,
1
jjij ha ⋅= δ ;
( )
( ) ( ) 2/10 ,
1
πδ ⋅−±= jijb ; qpkji ,,; =Ξ∈ . (29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 23
Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резонансно взаимодейст-
вующих мод qpk ,, запишутся в виде (см. (17)):
( ) ( ) ( ) ( )( )( )tttatM kqpkk ⋅−⋅−⋅⋅⋅= εβωωε 1)1()1(
cos2 ;
( ) ( ) ( )( )( )tbttatM pppp ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1(
cos2 ;
( ) ( ) ( )( )( )tbttatM qqqq ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1(
cos2 , (30)
где коэффициенты
( )
( )1
1
Tak ,
( )
( )1
1
Tkβ ,
( )
( )1
1
Tap ,
( )
( )1
1
Tbp ,
( )
( )1
1
Taq ,
( )
( )1
1
Tbq являются ре-
шениями системы уравнений (28) с начальными условиями (29).
0 2 4 t
- 0.2
- 0.1
0
0.1
¶ M4
H1L,¶ M5
H1L,¶ M7
H1L
Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд
( )1
nM резонансно
взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод нелинейных капиллярных осцилляций
заряженной капли в положении точного резонанса 649.1=W . Седьмая мода приведена
тонкой линией, четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной
Отметим, что в используемом приближении (до второго порядка включительно)
резонансное взаимодействие трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя
бы две из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный момент Ξ , т.е.
их амплитуды при 0=t должны быть отличны от нуля. Третья же мода, даже имея ну-
левую начальную амплитуду, появится в спектре колебаний первого порядка малости,
если ее номер удовлетворяет соотношениям вида: kqp ++ – четно;
)(|| qpkqp +≤≤− (для случая Ξ∉Ξ∈ kqp ;, ), возникающим из требования отли-
чия от нуля коэффициентов
( )−
Λ kqp ,
( )+
Λ pqk ,
( )−
Λ qkp в уравнениях (28).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24
Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при 3.0=ε временной эволюции
амплитуд первого порядка малости резонансно взаимодействующих при 649.1=W
четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой и
седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбуждение отсутствовавшей в
спектре начального возмущения пятой моды происходит за счет резонансной перекачки
энергии из наиболее высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии седьмой
моды передается и четвертой, амплитуда которой увеличивается синхронно с амплиту-
дой пятой моды, т.е. имеет место передача энергии от высокой моды к более низким в
соответствии с представлениями о распадной неустойчивости.
4c. Рассмотрим теперь случай вырожденного резонанса, когда одна из мод дважды
резонансно взаимодействует с другой: т.е. когда ks ωω 2= .
Проводя такой же анализ, как описано выше, получим для временных коэффици-
ентов первого порядка малости в разложении (15):
( ) ( ) ( )( )( )tttatM ssss ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= εβωε 1)1()1(
2cos2 ;
( ) ( ) ( )( )( )tbttatM kkkk ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1(
2cos2 , (31)
где вещественные функции ( )tas ⋅ε)1(
, ( )ts ⋅εβ )1(
, ( )tak ⋅ε)1(
; ( )tk ⋅εβ )1(
являются ре-
шениями системы дифференциальных уравнений:
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )1
12
1
1
1
1
1
sin4 TTa
dT
Tda
kskskk
s
s ϕω ⋅⋅Λ=⋅ +
;
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )1
12
1
1
1
12
1
1
1
1
1
cos44 TTaTa
dT
Td
Ta kskskkss
s
ss ϕσω
β
ω ⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ +
;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin2 TTaTa
dT
Tda
kskskks
k
k ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ −
;
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos2 TTaTa
dT
Tdb
Ta kskskks
k
kk ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ −
;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1
1
1
1
1
1
2 TbTT ksks ⋅+= βϕ ;
( )
( ) ( )
( )1
1
11
1
TbTT sss −⋅⋅= ωσβ . (32)
Из соотношений (19) следует, что для системы (32) возможны следующие комби-
нации начальных условий:
Ξ∈],[ ks :
( )
( ) 2/01
ss ha = ;
( )
( ) 001
=sβ ;
( )
( ) 2/01
kk ha = ;
( )
( ) 001
=kb ;
:,, Ξ∈Ξ∉ ks :
( )
( ) 001
=sa ;
( )
( ) 2/01
πβ =s ;
( )
( ) 2/01
kk ha = ;
( )
( ) 001
=kb .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
0 3 6 t
− 0.15
− 0.1
− 0.05
0
0.05
0.1
∂ M4
(1),∂ M6
(1)
Рис. 2г
0 3 6 t
− 0.15
− 0.1
− 0.05
0
0.05
0.1
∂ M4
(1)
,∂ M6
(1)
Рис. 2д
Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд резонансно взаимодей-
ствующих четвертой и шестой мод: a) в положении точного резонанса 66667.2=W ;
б) 5.1=W ; в) 5.2=W ; г) 3=W ; д) 9.3=W .
Тонкая линия соответствует четвертой моде, толстая – шестой
В ситуации, когда Ξ∉k , Ξ∈s (т.е. когда
( )
( ) 001
=ka ;
( )
( ) 2/01
ss ha = ), резонанс-
ное взаимодействие мод s и k в используемом приближении иметь места не будет, так
как из системы (32) при 0=t получим, что
( )
( ) ( )
( ) 0
00
1
1
1
1
==
dT
da
dT
da ks
,
т.е. амплитуды
( )1
ka и
( )1
sa сохраняют свои начальные значения. На рис. 2a представлены
временные зависимости амплитуд
( )
( )tM 1
4 и
( )
( )tM 1
6 резонансно взаимодействующих
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
