630.широкополосное, проводимое по многим направлениям сейсмопрофилирование пр...
палкин реферат к аспирантуре pref
1. Реферат
по специальности 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы
DNS и LES моделирование турбулентных
реагирующих потоков
Палкин Егор Владимирович
Научный руководитель:
проф. Кемал Ханъялич
2. Введение
Ископаемые топлива остаются основным источником энергии в
домашнем отоплении, генерации электроэнергии и транспорта. Другие
источники энергии, такие как солнечная, ветровая или ядерная до сих пор
насчитывают меньше чем 20% общего потребления энергии. Таким
образом, старейшая технология сжигания ископаемых остается ключевой
ввиду её предсказуемого будущего. Как известно, горение производит не
только тепло, конвертируемое в электроэнергию, но и загрязняющие
выбросы (окислы азота, сажа, недожжённые гидрокарбонаты, углекислый
газ и т.д.). Как никогда раньше строгие политические регулирования
подталкивают промышленость сократить объемы таких загрязняющих
выбросов. Этого можно добиться улучшением эффективности камер
сгорания. Технически, сгорание топлива всегда происходит в
турбулентных течениях, нежели в ламинарных. Можно выделить две
причины для этого:
1) Турбулентность ускоряет процессы смешивания и тем самым
ускоряет сжигание.
2) Горение высвобождает тепло и, следовательно, генерирует
неустойчивое течение потока за счет выталкивающей силы и
расширения газа, что ускоряет переход к турбулентности.
3. Уравнения Навье-Стокса обычно принимают за базовые уравнения
для описания турбулентных реагирующих потоков, соответствующим
образом расширенные для включения химических реакций и других
эффектов. Когда в турбулентных течениях появляются химические
реакции, как в случае многих устройств, включающих горение,
проблематика переходит на новый уровень. Широкая область
турбулентных течений присоединяется к другой области гидродинамики,
аэротермохимии, которая соответствует аэродинамике в сочетании с
термодинамикой и химией. В результате, для описания таких
турбулентных реагирующих потоков включается взаимодействие
турбулентного движения с горением. Требования повышенной
эффективности камеры сгорания и пониженной эмиссионной
(загрязняющей) способности, начиная от электростанций до реактивных
двигателей, и введение таких устройств как газодинамические лазеры
привело к потребности в улучшенных методах предсказания и численного
счета турбулентных течений, включающих химические реакции.
Уравнения Навье–Стокса на протяжении полувека занимают
ключевую позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания
движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется
интересной и значимой, поскольку многие атмосферные явления, волнения
на море, сейсмические и другие природные явления могут быть описаны с
точки зрения уравнений гидродинамики. Важным является вопрос о
4. существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса,
поскольку именно прекращение существования решения отвечает таким
стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов,
землетрясения и другие. В тоже время этими уравнениями активно
пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов,
автомобилей и кораблей.
Несмотря на то, что уравнения существуют достаточно
продолжительное время, проблематика существования и гладкости
решения остается неразрешенной. Нахождение общего аналитического
решения системы Навье–Стокса для пространственного или плоского
потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от
начальных и граничных условий. Таким образом, доказательство или
опровержение существования и гладкости решения уравнений Новье–
Стокса является одна из семи математических задач тысячелетия,
сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя,
назначивший премию в 1 млн долларов США.
5. Cистема Новье-Стокса описывающее движение вязкой жидкости
может быть представлена следующим образом:
̃
̃ ̃ ̃ ̃ ̃
̃ (1)
Здесь p, и – скорость, давление, плотность и вязкость жидкости
соответственно, а – внешние массовые силы; знаком тильда отмечены
мгновенные величины. Система уравнений (1) замкнута. Дополнив ее
начальными и краевыми условиями, получим полную постановку
математической задачи.
Сразу отметим важное свойство системы (1) – нелинейность.
Нелинейность систем означает, что процессы, протекающие в них, не
удовлетворяют принципу суперпозиции. Аналитическое описание
процессов в нелинейных системах затруднено ввиду отсутствия общих
методов решения нелинейных уравнений. Наиболее доступно изучение
динамики слабо нелинейных систем. Нелинейность в таких системах
проявляется в возникновении малых поправок к решению
линеаризованных уравнений. При исследовании сильно нелинейных
систем, за исключением ограниченного числа точно решаемых случаев,
используется численное моделирование. Разделяют два класса нелинейных
6. систем – консервативные системы, в которых энергия сохраняется, и
диссипативные системы, в которых энергия диссипирует (поступает в
систему) от внешних источников. Известно, что движение вязкой
жидкости является диссипативной системой.
Вторым важным свойством уравнения Навье–Стокса является
наличие параметра подобия при старшей производной. Если уравнения
системы (1) записать в безразмерном виде с использованием характерного
масштаба течения L, характерной скорости U и вязкости жидкости , то
при старшей производной в уравнении Навье–Стокса появится
безразмерный параметр – величина, обратная числу Рейнольдса
. Очевидно, что значение этой величины определяет вклад в
общий баланс уравнения эффектов вязкости жидкости на рассматриваемом
масштабе течения и, как следствие, определяет свойства решения
системы (1). С помощью числа Рейнольдса устанавливается фактическое
отношение между масштабами всей системы и масштабами, на которых
эти диссипативные свойства имеют место.
Моделирование турбулентности
Несмотря на бурный (экспоненциальный) рост производительности
компьютеров и значительные успехи, достигнутые в последние годы в
7. области построения эффективных численных алгоритмов для решения
задач аэродинамики и теплообмена, расчет турбулентных течений, как и
на протяжении многих предшествующих десятилетий, является одной из
наиболее сложных проблем вычислительной аэродинамики. Более того,
надежное предсказание характеристик турбулентных потоков все еще
остается скорее исключением, чем правилом, что объясняется
исключительной физической сложностью турбулентности, в частности ее
стохастической природой, принципиально трехмерным нестационарным
характером и широким спектром пространственно-временных масштабов.
Вместе с тем, общий прогресс вычислительной аэродинамики, разумеется,
не мог не сказаться и на состоянии проблемы моделирования
турбулентности. В частности, в последние годы все большее применение
находят подходы к моделированию турбулентности, базирующиеся на
первых принципах аэродинамики (метод прямого численного
моделирования - в англоязычной литературе Direct Numerical Simulation
или DNS и метод моделирования крупных вихрей - Large Eddy Simulation
или LES). Однако из-за крайней вычислительной трудоемкости этих
подходов их широкое практическое использование при решения сложных
задач аэродинамики может начаться лишь в конце нынешнего столетия.
Прямые методы численного моделирования используются для
нахождения максимально полного решения задач турбулентных течений
8. на основании исходных законов движения. Рассматривая уравнения
Навье–Стокса (1) как основу теории турбулентности и используя
некоторые подходящие начальные данные (например, данные, полученные
с помощью генератора случайных чисел), можно проследить динамику
течения. Единственное (общепринятое в настоящее время) допущение,
на котором базируется DNS, состоит в том, что уравнения Навье-Стокса
адекватно описывают не только ламинарные, но и турбулентные течения.
Соответственно, в рамках этого подхода расчет турбулентных течений
производится путем непосредственного (без какого-либо
предварительного осреднения) численного решения уравнений Навье-
Стокса. При этом независимо от характера осредненного течения (то есть,
независимо от того является ли оно двумерным или трехмерным,
стационарным или нестационарным) должны использоваться трехмерные
нестационарные уравнения Навье-Стокса, поскольку турбулентность
является принципиально трехмерным и нестационарным явлением. Кроме
того, DNS подразумевает необходимость достаточно точного разрешения
всех пространственно-временных масштабов турбулентности. Наглядное
представление об этих масштабах дает рисунок 1, на котором изображен
типичный энергетический спектр турбулентности (зависимость
кинетической энергии турбулентности от волнового числа) при достаточно
высоких числах Рейнольдса. Этот спектр имеет три области.
9. Рисунок 1. Различные области энергетического спектра турбулентности
при высоких значениях числа Рейнольдса
Область I соответствует крупномасштабным “энергонесущим”
турбулентным вихрям с размерами порядка интегрального линейного
масштаба рассматриваемого течения L (ему отвечает волновое число
kmax=1/L), черпающим энергию из осредненного течения. В области III
спектра доминируют мелкие вихри с размерами меньше Колмогоровского
10. масштаба ( )
⁄
( - скорость диссипации энергии турбулентности) и
волновыми числами ⁄ , вязкая диссипация которых переводит
кинетическую энергию турбулентности в тепло. Наконец, область II или
инерционная область спектра, лежащая между областями I и Ш,
соответствует вихревым структурам с размерами в диапазоне L < l < .
Влияние вязкости в этой области никак не проявляется, и энергия
турбулентности не генерируется и не диссипирует, а лишь передается от
более крупных вихрей к менее крупным (так называемый энергетический
каскад). В результате, энергетический спектр в области II оказывается
универсальными и описывается законом Колмогорова E~k -5/3
.
Отношение максимального L и минимального линейных
масштабов турбулентности L/η пропорционально числу Рейнольдса в
степени 3/4, L/η=Re3/4
, в результате чего размер пространственной сетки,
необходимой для проведения расчетов с помощью DNS, растет с
увеличением числа Рейнольдса как Re9/4
. Наряду с этим, с ростом числа Re
увеличивается также и отношение интегрального и минимального
(соответствующего Колмогоровским вихрям) временных масштабов
( ⁄ )
⁄
определяющее число шагов по времени, необходимое для
11. проведения расчета: ⁄ ~ Re1/2
. В итоге, суммарные затраты на
проведение DNS растут с ростом числа Рейнольдса как Re11/4
.
Вторым по трудоемкости из существующих подходов к
моделированию турбулентности является метод моделирования крупных
вихрей (LES). Этот подход сформировался в начале 80-х годов прошлого
века (см., например, обзорную работу [2]). Его идея состоит в замене
“глобального” осреднения характеристик реального турбулентного
течения по времени, на котором базируется вывод уравнений Рейнольдса
(см. раздел 2.1), “фильтрацией” этих характеристик от коротковолновых
неоднородностей или, иными словами, их пространственным осреднением
по областям с размерам порядка размера фильтра.
Для вывода уравнений LES актуальные переменные f в уравнениях
Навье-Стокса заменяются на сумму соответствующих “отфильтрованных”
и “подсеточных” переменных ̃ , а затем к полученным
уравнениям применяется операция фильтрации. При этом величина ̃
определяется выражением
̃( ) ∫ ( ) ( ) (2)
где ( ) - функция фильтра, x – координата рассматриваемой точки
потока, а Δ – ширина фильтра (два примера часто используемых фильтров
представлены на рисунке 2).
12. ( )
⁄ ⌈ ⌉ ⁄
⌈ ⌉ ⁄
( ) ( )
Рисунок 2. Примеры фильтров, используемых в LES
Система уравнений LES по форме аналогична системе уравнений
RANS. Однако физическое содержание этих двух систем различно. Так,
дополнительные (содержащие напряжения Рейнольдса) члены RANS
описывают влияние всех турбулентных неоднородностей на осредненное
решение, в то время как аналогичные члены уравнений LES
(“подсеточные” напряжения) описывают влияние только относительно
мелких (с размерами меньшими размера фильтра Δ) вихрей на зависящее
от времени решение отфильтрованных уравнений. Иными словами, в
рамках LES вихревые структуры с размерами, превышающими размеры
фильтра, разрешаются “точно”, а моделируются лишь вихревые структуры
меньших размеров. Для того, чтобы подчеркнуть это, модели
турбулентности для LES называют “подсеточными”.
Из приведенного описания становится ясным, что если размеру
фильтра соответствует волновое число , лежащее в универсальной
13. (“инерционной”) области энергетического спектра турбулентности, то
есть, если (см. риc. 3), то моделированию подлежат только
относительно универсальные (не зависящие от конкретной геометрии и
граничных условий) вихри. В результате, роль подсеточной модели в LES
сводится к обеспечению правильной скорости каскадной передачи энергии
турбулентности от крупных к мелким вихрям в пределах инерционного
интервала волновых чисел или, иными словами, - правильной скорости
диссипации наименьших из “разрешенных” вихрей.
Рисунок 3. Масштабы турбулентных структур, разрешаемые и
моделируемые в рамках LES
Именно в этом состоит принципиальное преимущество LES перед
RANS подходом, в рамках которого необходимо моделирование всех, в
том числе крупных энергосодержащих вихрей, не подчиняющихся каким-
либо универсальным законам. С практической точки зрения это
преимущество означает существенное снижение требований к
подсеточным моделям для LES по сравнению с моделями турбулентности
14. для замыкания уравнений RANS. В частности, опыт применения LES
убедительно свидетельствует о том, что при выполнении условия
, он обеспечивает высокую точность расчета не только
осредненных и основных статистических, но и пульсационных
характеристик турбулентности даже при использовании простейших
подсеточных моделей, например, классической алгебраической модели
Смагоринского (аналог модели пути смешения Прандтля для RANS). Это
преимущество LES играет чрезвычайно важную роль при решении задач
аэроакустики, аэроупругости и при расчете турбулентных химически
реагирующих течений.
Естественной платой за описанные преимущества LES является то,
что он требует несопоставимо больших вычислительных ресурсов, чем
RANS. Это связано с необходимостью, как и в случае DNS, проведения
трехмерных нестационарных расчетов на достаточно мелких сетках даже в
тех случаях, когда целью расчета является определение только параметров
осредненного течения. С другой стороны, по понятным причинам
(мелкомасштабная часть спектра моделируется, а не рассчитывается
“точно”) ресурсы, необходимые для реализации LES, оказываются намного
меньшими, чем для DNS. Так, для расчета турбулентности вдали от
твердых стенок число ячеек сетки, необходимой для проведения LES,
увеличивается с ростом числа Рейнольдса намного медленнее, чем в
случае DNS: пропорционально Re0.4
, а не Re2.25
. Однако вблизи стенок, где
15. даже энергонесущие вихри имеют очень маленькие размеры, требования к
сеткам для LES существенно ужесточаются и приближаются к
аналогичным требованиям для DNS: число ячеек, необходимых для LES
таких течений пропорционально Re1.8
.
Параллельные вычисления
Расчёт турбулентных течений продолжает оставаться сложнейшей
задачей механики сплошной среды. Решение этой задачи жизненно важно
для ряда ключевых отраслей промышленности (авиация, турбостроение,
автомобилестроение, химические технологии), при моделировании
процессов в окружающей среде. Другими словами, моделирование
турбулентности применяется во всех областях прикладных и
фундаментальных исследований, использующих методы вычислительной
гидродинамики (Computational Fluid Dynamics, CFD). Помимо
моделирования турбулентности можно выделить ещё несколько основных
компонентов вычислительной гидродинамики: генерация сеток,
построение вычислительного алгоритма с учётом архитектуры компьютера
и многопроцессорных вычислительных технологий. Однако именно
моделирование турбулентности часто оказывается источником
наибольших ошибок и (или) требует недопустимо высоких затрат на
вычисления.
16. Изменение технологий моделирования турбулентности протекает
под действием экспоненциального роста доступных вычислительных
ресурсов, наблюдавшегося в последние десятилетия. Увеличение
мощности компьютера часто играет роль «грубой силы», в то время как
выбор модели турбулентности требует со стороны пользователя
интеллектуального подхода с учётом физики рассматриваемого течения.
При этом, однако, именно рост вычислительных мощностей определяет
стратегии моделирования турбулентности, доступные для инженерной
практики. Как результат, в дополнение (и на смену) традиционным
подходам с использованием осреднения по Рейнольдсу приходит всё более
широкое практическое применение метода моделирования крупных
вихрей.
Message Passing Interface (MPI, интерфейс передачи сообщений) —
программный интерфейс для передачи информации, который позволяет
обмениваться сообщениями между процессами, выполняющими одну
программу. При разработке программ для кластеров и суперкомпьютеров,
где основным средством коммуникации между процессами в MPI является
передача сообщений друг другу. В модели передачи сообщений процессы
выполняемые параллельно имеют раздельные адресные пространства.
Связь происходит, когда часть адресного пространства одного процесса
скопирована в адресное пространство другого процесса. Эта операция
совместная и возможна только тогда, когда первый процесс выполняет
17. операцию передачи сообщения, а второй процесс – операцию его
получения. Процессы в MPI объединяются по группам. Если группа
содержит n процессов, то процессы нумеруются внутри группы целыми
числами от 0 до n-1 . Таким образом, отправитель или получатель,
определенные в операции посылки или приема, всегда обращаются к
номеру процесса в группе.
В качестве основного подхода распараллеливания будет выбран
метод декомпозиции области. При этом подходе, геометрическая сеточная
область вихреразрешающей модели турбулентности подвергается
декомпозиции (рис.4). Таким образом, образуются множество подзадач
(ветви параллельного алгоритма) на подобластях, которые решаются на
независимых MPI процессах. Для того чтобы обеспечить непрерывность
интегрируемых функций подобласти должны перекрываться на 2 слоя.
Непрерывность обеспечивается в результате обмена информации между
подзадачами с помощью MPI операций – прием и передача данных.
