Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer

SKRIPSI
TINJAUAN NUMERIK RAPAT KEADAAN GRAPHENE LAYER
GANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH
MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON
NUMERICAL CONSIDERATION OF DENSITY OF STATE OF
TWISTED BILAYER GRAPHENE AT LOW ENERGY USING
NEWTON RAPHSON METHOD
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajat
Sarjana Sains Fisika
Ilham Pebrika
10/305455/PA/13520
PROGRAM STUDI FISIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2015

HALAMAN PENGESAHAN
SKRIPSI
TINJAUAN NUMERIK RAPAT KEADAAN GRAPHENE LAYER
GANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH
MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON
Telah dipersiapkan dan disusun oleh
Ilham Pebrika
10/305455/PA/13520
Telah dipertahankan di depan Tim Penguji
pada tanggal 20 Februari 2015
Susunan Tim Penguji
Dr. Iman Santosa, M.Sc Dr. Edi Suharyadi, M.Eng
Pembimbing Penguji
Drs. Eko Sulistya, M.Si
Penguji

PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam Skripsi ini tidak terdapat karya yang
pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Ting-
gi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat
yang ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu
dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Yogyakarta, 20 Februari 2015
Ilham Pebrika
iii

Karya sederhana ini kupersembahkan
untuk kebermanfaatan terutama untuk Ilmu
Pengetahuan, semoga bisa menjadi sedikit kontribusi
dari penulis,
untuk orang tua tercinta semoga senantiasa dirahmati
dan dilindungi oleh Allah,
Kakak dan adikku yang kusayangi
dan untuk semua keluargaku di Pariaman
iv

Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya
malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu)
orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan
berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya
berkata) : Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia,
Maha Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka.
(Q.S. Ali Imran : 190 - 191)
Harga diri seseorang itu adalah berdasarkan apa yang ia lakukan untuk
memperbaiki dirinya
(Ali Bin Abu Thalib ra)
v

PRAKATA
Segala puji dan syukur kepada Allah SWT atas kemudahan dan izinNya,
akhirnya Skripsi dengan judul "Tinjauan Rapat Keadaan Pada Graphene La-
yer Ganda Energi Rendah Menggunakan Metode Newton Raphson" telah selesai
penulis susun. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kesegenap pihak te-
lah membantu penulis baik secara moril maupun materil.Di antara pihak-pihak
tersebut adalah
1. Ibuk dan Ayah yang selama ini telah sabar membimbing dan mendoakan
penulis tanpa kenal lelah dan mendukung penulis baik spiritual maupun
materil, semangat dan cinta kasih mulia yang penulis tidak akan pernah
mampu membalasnya
2. Dr. Iman Santoso, sebagai dosen Pembimbing yang telah ikhlas dan sabar
memberikan ilmunya kepada penulis, memberikan inspirasi dan semangat
Jazzakumullahu khairan atas kesabaran bapak selama ini yang telah mem-
bimbing kami.
3. Dr. Edi Suharyadi M.Eng dan Drs. Eko Sulistya M.si, Yang membantu
penulis menyempurnakan karya ini dengan masukan dan saran yang telah
diberikan
4. Qosim dan Lisa sebagai rekan satu bimbingan terima kasih atas diskusinya
selama ini serta Eksperian, mas Sidiq dan mas Anas atas bantuannya
menjadi guru pemrograman Matlab yang harus penulis pelajari dari nol
serta kelompok penelitian KAM Laboratorium Fisika Atom Inti yang telah
diizinkan menggunakan komputer untuk running program
5. Keluarga MLU-01 Halsel 2013. Rahmat,Miski, Eli, Alifah, Fatma, Nana,
Wiji, Saftyan, Arman, Ivan, Dani, Arya,Ghoﬀur, Hamdy, mbk Iﬀa, mbk
Yana, mas Sahar, mbak Eni, mas Alif dan mbk Elsa, terima kasih atas
motivasi, kerjasamanya,pengertiannya, kisah,dan ceritanya selama ini
6. Rekan-rekan Fisika Angkatan 2010, Rekan rekan BEM KM FMIPA UGM
khususnya kabinet cerdas melayani dan pinisi, rekan rekan kfgama, dan
jamaah Shalahudin (JS) UGM, terima kasih atas ilmu dan pengalamannya
yang tidak akan mungkin penulis dapatkan di bangku perkuliahan
vi

vii
7. Keluarga Pesantren Mahasiswa LPI khususnya LPI angkatan IV dan wabilkhusus
Jazakallah atas bimbingannya untuk ust. Arif Rif’an yang telah menjadi
Bapak, kakak serta musyrif bagi penulis, uda zakwan dan para asatidz
yang telah ihklas memberikan ilmunya
8. Asrama Pesantren Fisika, Ibu Zahra yang telah menjadi ibu bagi penulis
selama dijogja, mas Chalis, mas Akrom, mas Arista, mas Mujrin, Roni
dan Faiq, terima kasih atas kebaikan dan pengertiannya terhadap penulis
9. Seluruh keluarga besar Fakultas FMIPA UGM, Jurusan dan Prodi Fisika
yang telah membantu penulis selama melaksanakan studi dan
10. Segenap pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu
Skripsi ini tentunya tidak lepas dari segala kekurangan dan kelemahan,
untuk itu segala kritikan dan saran yang bersifat membangun guna kesempur-
naan Skripsi ini sangat diharapkan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi
kita semua dan lebih khusus lagi bagi pengembagan ilmu ﬁsika.
Yogyakarta, 13 Februari 2015
Penulis

DAFTAR ISI
Halaman Judul i
Halaman Pengesahan ii
Halaman Pernyataan iii
Halaman Persembahan iv
Halaman Motto v
PRAKATA vi
INTISARI xvii
ABSTRACT xviii
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Landasan Teori 14
2.1 Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer . . . . 14
2.1.1 Struktur Ruang Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene . . . . . . . . 15
2.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene 15
2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene . . . . . 18
2.2.1 Tumpukan AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Tumpukan AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene 23
2.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene . . . . 23
viii

ix
2.3.2 Model Hamiltonan dan Energi Dispersi Twisted Bilayer
Grapene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tung-
gal (Graphene Monolayer) . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene . . . . . 29
2.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf ) . . 30
2.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR) . . . . 32
2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson . 33
III Hasil dan Pembahasan 36
3.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) untuk
graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson . . . 36
3.2 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk
graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene)
Untuk Sudut Untiran θ = 1, 16o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilai
DOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1.16o
, θ = 1.79o
, dan
θ = 3.48o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV PENUTUP 53
4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A Lampiran Perhitungan dan Syntac Menggunakan Matlab 58
1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K,
Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom-
patan energi tθ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gra-
dien pada graﬁk energi dispersi (md) dan gradien pada
DOS (mD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

x
1.1.2 Perhitungan nilai Vektor Pergeseran ∆K untuk sudut un-
tiran θ = 1.16o
,θ = 1.79o
, dan θ = 1.48o
. . . . . . . . . . 59
1.1.3 Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada
TBG sudut untiran θ = 1.16o
,θ = 1.79o
, dan θ = 1.48o
. . 60
1.1.4 Perhitungan nilai faktor lompatan energi tθ
untuk sudut
untiran sudut untiran θ = 1.16o
,θ = 1.79o
, dan θ = 1.48o
60

DAFTAR GAMBAR
1.1 Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011) . . . . . . . 2
1.2 Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan
variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan para-
meter lompatan atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom
terdekat selanjutnya(Neto dkk,2009) . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me-
tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(ba-
wah)(a)Rapat muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Gra-
phene layer Ganda tumpukan AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan
Symmetri(Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012) (b)DOS
pada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o
, t⊥ = 0.24 eV(Li
dkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada
bilayer graphene 1, 16o
,1, 79o
,dan 3, 48o
(Manaf,2014) . . . . . . 9
1.5 Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi-
tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) . . . . . 11
1.6 Diagram alir penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yang
atom atomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (war-
na Hitam)(Raza ,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Kisi Balik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene
(bawah)(Raza,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t = 0, 29 dilihat dari
penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . 17
2.4 Energi dispersi dengan t = 0 dilihat dari penampang tiga dan
dua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Tumpukan AB Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap
dan dengan gap (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012) 23
xi

xii
2.9 (2.1(a))Struktur atom pada TBG dengan sudut untiran θ = 21.8o
.(2.1(b))ZB
pada TBG (Cocemasov, dkk,2013) . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 (Visualisasi luasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG pada
beragam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012) . . . . . . . . 25
2.11 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 10o
diperoleh menggu-
nakan persamaan(2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 1.16o
(Manaf :2014) . 28
2.13 Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012) . . 31
2.14 Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng-
gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006) . . . . . . . . . 32
3.1 (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilai
harap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi Graphene
Layer Tunggal untuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 pada
saat nilai Kx=0 diperoleh dari persamaan energi dispersi(2,8). . 36
3.2 Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo-
nolayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆Kx=0.05 E=0.05
∆Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300,
dan 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05
∆E=0.1 ∆Ky=0.1(b)∆Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 (c) ∆Kx=0.05
∆E=0.05 ∆Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai
ralat dan aproksimasi pola linear pada grafik DOS . . . . . . . . 39
3.5 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o
(b) grafik energi
dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o
berda-
sarkan persamaan 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Posisi Saddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuk
sudut untiran θ = 1.16o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Beberapa grafik DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o
(a)
∆Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (b) ∆Kx=0,00005 ∆E=0,00001
∆Ky=0,01 (c) ∆Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (d)Grafik
DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o
dengan nilai ralat . . 43
3.8 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o
grafik energi dis-
persi dengan sudut untiran θ = 1, 79o
pada saat ∆Kx=0 . . . . 44

xiii
3.9 Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut
untiran θ = 1, 79o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10 Beberapa grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o
(a)
∆Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆Ky=0,001 (b) ∆Kx=0,0005 ∆E=0,0005
∆Ky=0,001 (c) ∆Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (d)Grafik
DOS Monolayer dengan nilai ralat . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.11 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1.79o
grafik 3 Dimensi
dan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ =
3.48o
(b) grafik energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut
untiran θ = 3.48o
(c)Posisi Saddle Point pada energi dispersi
pada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o
. . . . . . . . . . . . . 47
3.12 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05,
∆Ky=0.05,∆E(k)=0.1(b) ∆Kx=0.01, ∆Kx=0.1,∆E(k)=0.01 dan
(c) ∆Kx=0.01,∆Ky=0.01,∆E(k)=0.01 dan (d) Grafik DOS Mo-
nolayer dengan nilai galat 0.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.13 (a,b, dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masing un-
tiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah)
Grafik DOS dari variasi ketiga sudut untiran θ 1.16o
, 1.79o
, dan
3.48o
yang diplot dalam satu grafik . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.14 Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilai
kecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang sema-
kin besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.1 Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudut
untiran 1.16o
,1.79o
, dan 3.48o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xiv
DAFTAR SINGKATAN
TBG Twisted Bilayer Graphene
SVH Singular V an Hove
DOS Rapat Keadaan/Density Of States
ZB Zona Brilloun(Brilloun Zone)
STM Scanning Tunnelling Microscopy
STS Scanning Tunnelling Spectroscopy
NR Newton Raphson
FLG Few Layer Graphene

xv
DAFTAR LAMBANG
θ Sudut Untiran Antar lembaran Graphene
E(k) Energi Dispersi
s,p,px, py, pz Konﬁgurasi Elektron pada Atom
σ Ikatan sigma (Sigma Bonds)
π,π∗
ikatan konduksi dan ikatan valensi (pi Bonds)
h
2π
,h tetapan Planck h = 6.62x10−34
Js, = 1.054x10−34
vf Kecepatan Fermi
D(E) Rapat Keadaan
γ Parameter energi lompatan antara atom A(B) pada lembar-
an pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lembaran
kedua(Pada tumpukan AA)
γ0 Parameter energi lompatan pada bidang yang sama (Pada
tumpukan AB)
γ1 Parameter energi lompatan antara atom A1 dan atom A2 (Pa-
da tumpukan AB)
γ2 Parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan atom
B1(B2) (Pada tumpukan AB)
t⊥ Coupling antara lembaran Graphene

xvi
δ1,δ2, dan δ3 Vektor Posisi Atom Terdekat (nearest − neighbor)
δ1, δ2, dan δ3 Vektor posisi atom terdekat berikutnya (second −
nearest neighbor)
aσi(a†
σi) Operator penghancur(Kreasi) Elektron
aσi(a†
σi) Indeks spin
t Energi Lompatan ke atom terdekat
t Energi Lompatan ke atom terdekat berikutnya
m Massa Elektron
H Hamiltonan
ψk Vektor Eigen
φ Perubahan ElectrochemicalPotential antar dua lem-
baran graphene
L Konstatnta kisi pada TBG
S Luasan dari sel satuan TBG
H⊥
0 Model hamiltonan antar lembaran graphene (pada lem-
baran ganda graphene dengan untiran)
K Posisi titik braggg (titik Dirac) sebelum mengalami ro-
tasi
Kθ Posisi titik braggg (titik Dirac) yang baru ketika telah
mengalami rotasi
∆K Vektor Pergeseran titik Bragg (titik Dirac)(pada lem-
baran ganda graphene dengan untiran)
∆ESV H Jarak antar SVH
tθ
⊥ Coupling antar lembaran graphene

INTISARI
Tinjauan Numerik Rapat Keadaan Graphene Layer
Ganda dengan Untiran pada Energi Rendah
Menggunakan Metode Newton Raphson
Oleh
Ilham Pebrika
10/305455/PA/13520
Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap rapat keadaan pada
graphene Layer ganda dengan untiran, dimana pada kajian ini salah satu lembaran
mengalami beberapa variasi sudut untiran (θ) yakni sebesar 1, 160,1, 790, dan 3, 480.
Rapat keadaan dihitung berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) pada energi ren-
dah. Pada umumnya rapat keadaan dihitung secara numerik menggunakan persamaan
N(E) = Nf k δ(E − E(k)), yakni ketika posisi ε = E(k) dengan Nf merupakan fak-
tor degenerasi. Nilai N(E) dikelompokan berdasarkan nilai-nilai yang hampir sama
yang kemudian dijumlahkan menjadi nilai rapat keadaan. Hanya saja metode ini me-
miliki ralat yang lebih besar karena nilai N(ε) yang diperoleh dianggap sama dengan
nilai yang terdekat. Pada kajian ini nilai rapat keadaan dihitung dengan metode yang
berbeda yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan nilai
yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai tersebut direpresentasikan dengan nilai
akar-akar dari persamaan energi dispersi dikurangi nilai level energi E sebegai fungsi
pembuat nol (E(k) − E). Nilainya dapat dihitung dengan metode Newton-Raphson.
Nilai akar ini kemudian diidentifikasikan dengan nilai 1 dan dijumlahkan per level
energi E sehingga setiap levelnya memiliki nilai rapat keadaan yang telah dijumlahkan
berdasarkan banyak akar yang ada. Dari grafik rapat keadaan, diperoleh informasi
nilai rapat keadaan pada posisi SVH untuk tiap untiran, yakni iga sudut untiran, di-
peroleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025 eV−1 m−2, 2,8 1025 eV−1 m−2, dan 11
1025 eV−1 m−2, Energi pada Singularitas Van-Hove (SVH), ±6 meV, ±41 meV, ±215
meV dari titik Dirac. Nilai kecepatan Fermi( vf ) yang direpresentasikaan dengan
nilai gradien (m) pada pola linear dari grafik DOS, yakni 0,21 1025 eV−2 m−2, 0,8
1025 eV−2 m−2 dan 4,3 1025 eV−2 m−2, menggambarkan renormalisasi kecepatan fer-
mi yang terkait dengan adanya interaksi yang berhubungan dengan parameter energi
lompatan. Nilai parameter ini merupakan nilai faktor energi yang dibutuhkan bagi
elektron untuk berpindah antar layer dimana besar nilainya 5,38 meV, 39,93 meV, dan
209,35 meV
Kata-kata kunci :Graphene, Energi Dispersi, Rapat Keadaan.
xvii

ABSTRACT
Numerical Consideration of Density of state Of Twisted
Bilayer Graphene at Low Energy Using Newton Raphson
method
By
Ilham Pebrika
10/305455/PA/13520
The Numerical Computation of Density Of States of Twisted Bilayer Graphehe
(TBG) has been carried out. TBG that consist of two layer graphene with one layer
is twisted with respect to other layer. In this study the twisted angles (θ) are chosen
to be 1.160, 1.790, and 3.480. Calculation of Density of States (DOS) based on
energy dispersion (E(k)) at low energy. Generally calculation of DOS using numerically
methods using N(E) = Nf k δ(E − E(k)) equation, that at ε = E(k) with Nf is
factor of degeneration. The values of N(E) has been included in nearly equall values
and has been summed be a DOS. This method be possessed of large errors because
the values of N(E) acquired same with closest values. In this study the values of
DOS is calculated using different method that is implementation of true values. it
can be represented using the values ot root from energy dispersion minus values of
level energy be a zero maker equation (E(k) − E). it can be calculated using Newton-
Raphson method. Next the values of root is identified by one unit and summed per
level energy E, with the result that every level be possessed of DOS based by summing
all roots. From graphics of DOS we can get information about values of DOS, at
SVH for each twisted angle are 1.5 1025 eV−1 m−2, 2.8 1025 eV−1 m−2, and 11 1025
eV−1 m−2, Energy at Singularitas Van-Hove points are ±6 meV, ±41 meV, and ±215
meV, from the Dirac point. The results of the values of fermy velocity whose values
has been represented by gradien (m) of linearity pattern at DOS graphics are 0.21
1025 eV−2 m−2, 0.8 1025 eV−2 m−2, and 4.3 1025 eV−2 m−2, for each each twisted
angle respectively. it described renormalisation of Fermy velocity is concerned with
interaction that related with flying jump of energy. This parameters is factor energy
is needed to electron to migratory inter layer. Thats value are 5.38 meV, 39.93 meV,
and 209.35 meV.
Keywords:Graphene, Dispersion Energy, Density Of States.
xviii

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Setelah berhasil diisolasi oleh Konstantin Novoselov dan Andre Geim pa-
da tahun 2004, yang kemudian dikenal dengan "Scotch − tape method" (Tabert
dan Nicol, 2012) yang berhasil mengantarkan mereka meraih penghargaan nobel
pada tahun 2010, Graphene yang merupakan kristal atom karbon dua dimensi
yang terdiri atas susunan atom karbon pada kisi hexagonal (Novoselov,2011),
telah menarik banyak ilmuan untuk menelitinya. Hal ini disebabkan karena
adanya sifat-sifat unik pada material graphene yang dahulunya mustahil di-
temukan dalam kajian ﬁsika material, diantaranya Massless Dirac Fermions,
Balistic Electron Transport Efek Hall Quantum, dan Chiral Tunneling(Neto
dkk, 2009). Graphene tersusun pada kisi kisi seperti sarang lebah Honeycomb
Lattice(Gambar 1.1)dimana kisi-kisinya terdiri dari dua atom A dan B per unit
sel dan invarian terhadap rotasi 120o
pada kisinya (Geim,2011).
Graphene tersusun atas atom-atom karbon dengan konﬁgurasi 1s2
2s2
2p2
,
dimana terdapat 4 elektron bebas pada orbital 2s dan orbital 2p. Pada orbi-
tal p, kemudian bisa dipecah menjadi orbital px,py,dan pz (Tabert,2012). Pada
graphene 2s, 2px dan 2py, orbital dari atom karbon berkombinasi (hybridize un-
tuk membentuk tiga orbital baru yang disebut SP2
yang menghasilkan ikatan σ
bonds). Orbital pz(satu elektron) tegak lurus pada bidang yang dibentuk atom
karbon orbital 2pz dari kombinasi atom-atom yang berbeda untuk membentuk
ikatan π(valensi) dan ikatan π*(konduksi). Masing-masing pz menyumbangkan
satu elektron. Ikatan π juga bertindak sebagai muatan pembawa pada sistem
(Tabert,2012), dimana orbital π berpengaruh terhadap sifat elektronik dari gra-
phene (Perez : 2009) dan hibridisasi dari SP2
yang merupakan ciri simetri
hexagonal pada Graphite, Graphene dan Carbon Nanotubes (CNTs) (Dasmukh
dan Singh,2013).
Pada sudut-sudut Zona Brilloun (Brilloun Zone) yang berbentuk hek-
sagonal, terdapat dua titik yang saling berhimpit antara pita konduksi dan pita
valensi yakni pada K dan K yang disebut sebagai titik Dirac (Dirac Points).
Struktur pita yang terletak dekat dengan salah satu titik Dirac ini memiliki
1

2
dispersi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativis-
tik. Partikel-partikel ini dapat dideskripsikan dalam mekanika kuantum melalui
persamaan Dirac tak bermassa (Dirac Massless)(Castro Neto, 2009).
Pada lembaran graphene netral, ikatan valensi dan konduksi bertemu
pada fermi energi yang menyebabkan graphene menjadi semi-metal atau semi-
konduktor dengan gap bernilai nol. Band-nya berbentuk lembah kerucut yang
bersentuhan pada dua simetri tinggi yang ditandai dengan K dan K pada Zona
Brilloun (ZB) dekat titik ini dengan variasi energi linear dengan jumlah momen-
tum. (Peres,2009).
Gambar 1.1: Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011)
Selain layer tunggal (Monolayer) kajian terhadap graphene juga dila-
kukan pada pada layer ganda (bilayer) atau banyak layer (multilayer) atau
yang dikenal dengan istilah Few Layer Graphene (FLG). Salah satu model
graphene layer ganda adalah graphene layer ganda dengan untiran Twisted
Bilayer Graphene (TBG). Model ini sebenarnya berasal dari model tumpuk-
an AA (AA Stack) atau tumpukan AB (AB Stack) pada graphene layer gan-
da tetapi diantara lembaran adanya sudut rotasi (θ)(Morel dan Pacheo, 2013).
Model TBG ini cukup menarik untuk dikaji karena menghasilkan sifat sifat ﬁ-
sis yang tidak ditemukan pada model graphene monolayer seperti pola super
struktur(superstructure) yang dikenal dengan pola moire (Moire Pattern),
Low − Energy SVH (Singularitas V an Hove), massless, Dirac fermions
dan renormalisasi kecepatan fermi(Raza,2012). Selain itu model TBG juga dija-
dikan gagasan untuk merekayasa graphene murni menjadi superkonduktor yakni
dengan cara mendekatkan nilai SVH dengan aras-Fermi. SVH atau juga dikenal

3
dengan titik kritis (Critical Point) pada ZB, merupakan nilai singularitas DOS
pada kristal zat padat. Singularitas ini terjadi berkaitan dengan distribusi elek-
tron pada level states energi. Informasi nilai SVH dapat diamati dari nilai rapat
keadaan, sehingga nilai rapat keadaan menarik untuk dikaji. Rapat Keadaan
atau Density Of State (DOS) merupakan gambaran tentang keadaan(States)
pada tiap level energi (Yuan dkk, 2010). Tabert dalam publikasinya mendefe-
nisikan dengan "gambaran tentang keadaan (States)yang bebas ditempati elek-
tron". Dengan kata lain dari informasi nilai DOS,bisa diperoleh informasi nilai
elektron di setiap states pada tiap level energi. Nilai SVH bisa diprediksi pa-
da grafik energi dispersi yakni pada saat nilai gradien garis bernilai minimum.
Pada grafik tiga dimensi nilai SVH ini bisa diprediski dari posisi saddle Point,
yakni pada titik pertemuan pada saat nilai valensi dan konduksi bernilai mini-
mum dan bernilai maksimum yang dalam graphene netral berada pada titik M.
Dari Informasi DOS juga bisa diperoleh informasi tentang kecepatan fermi vf
dimana nilainya bisa diperoleh dari nilai gradien (m) pada pola linearitas yang
dibentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang terdapat pada grafik DOS.
Perubahan kecepatan fermi vf pada tiap variasi sudut untiran akibat perubahan
gradien (m) yang dibentuk dari pola linear pada nilai DOS bisa diperoleh infor-
masi perubahan kecepatan fermi atau disebut Renormalisasi Kecepatan Fermi
(vf ).
Kajian terhadap nilai DOS sendiri juga telah banyak dilakukan baik seca-
ra analitik maupun numerik. Castro Neto, dkk(2009) misalnya menghitung nilai
DOS secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameter
lompatan atom (Hopping Parameter) t dan t dimana nilai t merupakan nilai
lompatan untuk atom terdekat dan t adalah nilai lompatan atom terdekat selan-
jutnya. Pada perhitungan tersebut diperoleh nilai SVH yang berada pada nilai
±1eV (Neto dkk,2009). Nilai DOS yang sama juga didapatkan oleh Yuan, dkk
(2010) dengan menggunakan pengembangan metode numerik dari model TDSE
(Time − Dependent Schrodinger Equation). Selain monolayer, Tabert(2012)
juga Menghitung nilai DOS secara analitik untuk model Graphene Bilayer, ba-
ik untuk tumpukan AA maupun tumpukan AB. Sedangkan perhitungan DOS
untuk nilai TBG juga dilakukan oleh Li dkk (2009) secara eksperimen menggu-
nakan STM dan STS untuk melihat nilai SVH pada nilai DOS yang diperoleh.
Hasil inilah yang menjadi acuan bagi Manaf (2014) untuk menghitung nilai DOS
secara analitik dengan sudut untiran θ = 1, 16o
,θ = 1, 79o
,dan θ = 3, 48o
. Ma-

4
naf(2014) mengkaji nilai DOS untuk TBG secara analitik, untuk melihat variasi
nilai SVH dan jaraknya terhadap aras-Fermi terhadap variasi nilai sudut untir-
an θ (Sudut untiran/rotasi antar layer graphene). Li dkk, dalam publikasinya
(2009) melakukan pengamatan nilai energi rendah SVH pada nilai DOS seca-
ra eksperimen. Pengukuran menggunakan Scanning Tunnelling Spectroscopy
(STS) ini dilakukan menggunakan graphene TBG. Mereka menemukan bahwa
posisi dari singularitas dapat diatur dengan memvariasikan sudut relatif pada
sudut diantara layer (Morell dkk, 2010).
Perhitungan untuk menghitung nilai DOS pada skripsi ini berdasarkan
nilai DOS yang telah diteliti sebelumnya dengan sudut untiran θ = 1, 16o
,θ =
1, 79o
,dan θ = 3, 48o
(Manaf, 2014). Pada umumnya rapat keadaan dihitung
secara numerik menggunakan persamaan N(E) = Nf k δ(E − E(k)), yakni
ketika posisi E = E(k) dimana nilai selisihnya sama dengan nol. Nf meru-
pakan faktor degenerasi kemudian nilai-nilai N(E) dikelompokan berdasarkan
nilai-nilai yang memiliki nilai-nilai yang hampir sama, misal nilai akar-akar yang
diperoleh adalah 1.85, 1.9, 2, 2,1 dan 2.15. Nilai-nilai ini dikelompokan kedalam
nilai 2 sehingga berjumlah lima untuk menjadi jumlah nilai rapat keadaan pada
level energi (E) tersebut. Dari metode yang digunakan akan terlihat bahwa nilai
yang dihasilkan akan memilki nilai ralat yang cukup besar dikarenakan nilai-nilai
yang ada dianggap sama dengan nilai yang terdekat sehingga memiliki selisih
berdasarkan nilai rentang pengelompokan nilai-nilai tersebut, misal untuk ka-
sus diatas nilai dua berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memiliki
rentang sebesar ±0, 35. Atas dasar inilah untuk tinjauan pada skripsi ini di-
gunakan metode yang lebih akurat yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k)
tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai
tersebut dapat direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energi
dispersi dikurangi dengan nilai level energi E. Salah satu metode yang bisa
digunakan adalah metode Newton-Raphson(NR). Penggunaan metode pencari-
an nilai akar, Newton-Raphson. dikarenakan untuk menghitung nilai akar-akar
pada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan awal, sehingga nilai
tebakan awal bisa dibuat pada rentang nilai tertentu karena setiap nilai akan
dianggap sebagai nilai tebakan awal. Selain karena yang akan menjadi nilai ra-
pat keadaan adalah jumlah dari nilai-nilai yang ada, misal seperti contoh diatas
untuk nilai N(k) pada level energi (E) yakni 1,85, 1,9, 2, 2,1 dan 2,15 sehingga
nilainya berjumlah lima untuk nilai N(k)=2. Pada persamaan energi dispersi ti-

5
dak semua nilai tebakan awal akan memiliki nilai akar-akar sehingga setiap nilai
akar-akar yang ada akan didefenisikan sebagai nilai 1 jika memilki nilai akar dan
bernilai 0 jika tidak memilki nilai akar. Penjumlahan nilai akar yang telah dide-
fenisikan inilah yang kemudian dijumlahkan pada tiap level energi yang menjadi
nilai rapat keadaan. Karena perhitungan nilai rapat keadaan berdasarkan ener-
gi dispersi pada dengan dua variabel x dan y selain penjumlahan berdasarkan
nilai level energi misal variabel y, nilai-nilai rapat keadaan yang diperoleh juga
dijumlahkan pada pada variabel y sehingga jika divisualisasikan akan berupa
penjumlahan slices. sejauh ini penulis belum menemukan metode perhitung-
an rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR. Oleh karena itulah penulis
tertarik untuk mencoba mengkaji metode ini.
1.2 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah: Material Graphene layer
ganda (Bilayer Graphene) ditinjau secara puntiran TBG dimana sudut untiran
divariasi sebesar 1, 16o
1, 79o
dan 3, 84o
. Penelitian ini dilakukan dengan mela-
kukan perhitungan secara numerik untuk membandingkannya dengan hasil yang
didapatkan secara analitik maupun eksperimen dari acuan nilai yang telah ada.
Nilai yang dihitung ialah Rapat keadaan atau Density of State (DOS) menggu-
nakan metode Newton-Raphson (NR) dan menganalisa nilai SVH,renormalisasi
dari kecepatan fermi vf , dan faktor lompatan energi (tθ
) yang didapatkan dari
nilai DOS untuk variasi sudut untiran (θ).
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
1. Memahami struktur elektronik dari Sistem TBG.
2. Membuat program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson
(NR) untuk menghitung nilai DOS pada graphene layer tunggal dan gra-
phene layer ganda.
3. Menghitung dan membandingkan dengan nilai DOS dan SVH pada per-
hitungan yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson dengan
hasil yang telah diperoleh sebelumnya baik analitik maupun eksperimen

6
serta mengkaji nilai renormalisasi kecepatan fermi vf dan parameter faktor
energi lompatan (tθ
) pada TBG.
1.4 Tinjauan Pustaka
Kajian terhadap terhadap nilai DOS dari graphene juga telah banyak
dikaji, baik secara teoretik maupun numerik, Castro Neto, dkk (2009) dalam
publikasinnya melakukan kajian analitik untuk nilai DOS pada Monolayer Gra-
phene dimana diperoleh nilai persamaan DOS per unit sel:
ρ(E) =
2Ac
π
|E|
v2
f
(1.1)
Ac adalah area unit sel dengan nilai Ac = 3
√
3a2
/2. Nilai DOS tersebut
merupakan nilai graphene yang berbeda dari nilai DOS pada Carbon Nanotubes
(Neto dkk,2009).
Yuan, dkk (2010), menghitung nilai DOS secara numerik dengan algori-
tma yang merupakan pengembangan dari model TDSE untuk menemukan distri-
busi nilai eigen (Eigen V alue) dalam area matriks yang sangat luas. Ide utama
yang digunakan ialah superposisi acak dari semua basis states sebagai inisial
state |ϕ(0) = i ai|i , dimana |i merupakan basis states dan ai merupakan bi-
langan kompleks. Solusi numerik dari TDSE (Time Dependent Schrodinger
Equation) menggunakan persamaan alghoritma Chebyshev polynomial yang
berdasarkan pada representasi dari polinomial dari operator U(t) = eitH
.
Dari gambar (1.2) dan (1.3) yang merupakan hasil dari perhitungan DOS
secara analitik pada graphene monolayer, diperoleh nilai DOS terhadap variasi
nilai Energi dispersi (E(k))/Nilai harap (t). Hasil dengan pola yang sama,
dengan faktor SVH berkisar pada rentang pada rentang nilai ±1eV, Tabert
(2012) dalam publikasinya menghitung nilai DOS untuk graphene layer ganda
untuk tumpukan AA dan tumpukan AB. Berdasarkan nilai persamaan DOS
(Tabert,2012):
N(ε) =
2γ
π ( υf )2
ε
γ
− 1 +
ε
γ
+ 1 . (1.2)
Gambar (1.3(atas)) dan (1.4(a)) memperlihatkan perbedaan nilai DOS
antara lembaran tumpukan AA dan tumpukan AB. Untuk nilai DOS pada
AA stack (gambar 1.5)ada dua variasi nilai yakni tanpa nilai assymmetri gap

7
Gambar 1.2: Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan
variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompat-
an atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Neto
dkk,2009)
(∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tum-
pukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π( vf )2
.
Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan meng-
gunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunneling
spectroscopy) yang didasarkan pada pola moire (moire pattern), menemukan
nilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o
(Gambar 1.9) (Li dkk,2009).
Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memiliki
kemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untuk
θ = 1, 79o
,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009).
Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBG
secara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Li
dkk,2009) dengan menggunakan persamaan :
D(E) =
1
16απ3
N[ln|
βα2
+ E2
f
βα2 + E2
|]. (1.3)
Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untuk
variasi 3 sudut yakni1, 16o
,1, 79o
,dan 3, 48o
. dari ketiga tersebut memperlihatkan

8
Gambar 1.3: (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me-
tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(bawah)(a)Rapat
muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Graphene layer Ganda tumpuk-
an AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012)
grafik DOS pola yang sama. Perbedaannya terdapat pada nilai SVH (Menjadi
puncak pada grafik) yang berbeda pada masing masing grafik. Semakin besar
sudut untirannya maka besar nilai SVH bergeser ke nilai yang lebih besar yakni
dari Dirac Point. Nilai DOS yang di plot pada sumbu-y pada grafik yang
diperoleh juga memperlihatkan nilai yang lebih besar untuk nilai untiran yang
lebih besar.
Dari hasil kajian pustaka yang telah dilakukan menunjukan bahwa perhi-
tungan nilai DOS menggunakan Metode NR khususnya untuk perhitungan nilai
DOS graphene monolayer maupun graphene TBG, belum pernah ada sebelum-
nya sehingga penulis tertarik untuk mencoba melakukan perhitungan nilai DOS
menggunakan metode NR ini.

9
Gambar 1.4: (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012)
(b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o
, t⊥ = 0.24 eV(Li
dkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene
1, 16o
,1, 79o
,dan 3, 48o
(Manaf,2014)

10
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi adalah studi/kajian li-
teratur dan perhitungan secara numerik menggunakan program Matlab.Secara
umum tahap tahapnya adalah :
1. Mempelajari Struktur elektronik dari sistem graphene baik Monolayer,
Bilayer, dan TBG sampai dengan persamaan energi dispersi.
2. Membuat program perhitungan untuk menentukan nilai DOS pada graphe-
ne dan TBG untuk variasi θ 1, 16o
,1, 79o
,dan 3, 48o
menggunakan metode
Newton-Raphson.
3. Menganalisa nilai DOS yang telah diperoleh yakni perbandingan nilai
DOS tiap untiran, posisi SVH/sudut kritis, renormalisasi kecepatan fer-
mi (Fermy V elocity,vf ) akibat variasi sudut untiran dan faktor energi
lompatan (to
) untuk TBG.
Nilai DOS yang dihitung pada model graphene monolayer dan model
TBG. Model graphene monolayer bertujuan untuk melihat apakah program per-
hitungan yang dibuat hasilnya sama dengan nilai perhitungan DOS pada model
graphene monolayer yang telah ada sebelumnya. Kemudian jika hasilnya sesu-
ai modal perhitungan tersebut digunakan untuk perhitungan DOS pada model
graphene TBG dengan variasi variasi θ 116o
,1, 79o
,dan 3, 48o
.
Alur perhitungan persamaan energi dispersi untuk menghasilkan nilai
DOS menggunakan metode Newton Raphson berdasarkan persamaan energi dis-
persi dijelaskan pada bagan alir pada gambar (1.5).
Sedangkan bagan alir penelitian dan bagan algoritma perhitungan DOS
dari persamaan energi dispersi menggunakan metode NR dengan parameter-
parameter numerik yang ada, dijelaskan pada gambar (1.6) dan gambar (1.7)

11
Gambar 1.5: Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi-
tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(k)
Gambar 1.6: Diagram alir penelitian

12
Mulai
Energi dispersi E(k), E’(k)
Parameter, E, Ky, Kx,n
)(xE
E)E(x
-= xx
i
i
ii
'
1


Iterasi > n Iterasi < n
)(xE
E)E(x
-xx
i
i
ii
'
1


)(xE
E)E(x
-= xx
i
i
ii
'
1


Xi+1 = 0 Xi+1 = 1


i
ni
iyiy x=x 11
 



i
ni
iy
i
ni
ixix x=x )( 11
Selesai
Gambar 1.7 Algoritma menghitung DOS menggunakan metode Newton-Raphson

13
Perhitungan secara numerik menggunakan metode Newton Raphson (NR)
berdasarkan energi dispersi. Persamaan ini dimasukan kedalam program per-
hitungan dengan berbagai variasi parameter numerik yang telah dibuat meng-
gunakan program Matlab dengan spesiﬁkasi komputer yang digunakan yakni
OS processor intel(R) Core(TM)i3-3217U CPU @1.8 GHz RAM 4 GB 64 Bit
Operating.
Sedangkan untuk nilai turunan dari energi dispersi (E (x)) yang dipakai
pada persamaan NR dihitung secara numerik menggunakan fungsi diff(E(x),Ky)
yang telah tersedia pada program Matlab (Lampiran A 1.2).
1.6 Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing terdiri dari bebe-
rapa sub-bab dengan merinci pokok-pokok permasalahan sehingga penulisannya
dapat dilakukan secara sistematis.
1. Bab I. Pendahuluan berisi uraian latar belakang masalah, batasan ma-
salah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, sistematika
penelitian dan keaslian skripsi.
2. Bab II.Landasan Teori ; berisi tentang konsep -konsep dasar dari beberapa
sifat graphene meliputi, Sifat Geometri, Nilai Halmitonan, Energi disper-
si,dan Density Of State (DOS) SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi
(vf ) untuk lembaran tunggal (Monolayer) graphene,lembaran ganda (Bila-
yer) dan lembaran ganda dengan untiran atau Twisted Bilayer Graphene
(TBG).
3. Bab III.Hasil dan Pembahasan; berisi hasil dari peritungan numerik serta
pembahasan tentang hasil perhitungan numerik dan perbandingan dengan
nilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara teoritik maupun eksperi-
men.
4. Bab IV.Kesimpulan dan saran.

BAB II
Landasan Teori
2.1 Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer
2.1.1 Struktur Ruang Real
Lembaran tunggal Graphene monolayer merupakan atom karbon yang
tersusun dari struktur kristal Sarang Lebah (Honeycomb Lattice) yang meru-
pakan kisi hexagonal bravais dengan basis terdiri dari dua atom yang ditandai
dengan A dan B pada masing masing kisi.
Gambar 2.1: Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yang atom
atomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (warna Hitam)(Raza
,2012)
.
Jika menggunakan sistem koordinat kartesian dengan sumbu x dan y
pada bidang kristal graphene dan tegak lurus terhadap sumbu z untuk bidang
pada graphene. vektor dua dimensi dalam bidang yang sama pada graphene
digambarkan sendiri dalam koordinat x dan y. Vektor kisi primitif dari kisi
Bravais Hexagonal (gambar 2.1) ditandai dengan a1 dan a2.
a1 =
a
2
,
√
3a
2
, a2 =
a
2
, −
√
3a
2
, (2.1)
dimana a=|a1|=|a1| adalah kisi konstan. Pada graphene a= 2.46 Å
Lattice konstan adalah jarak antara unit sel yang merupakan jarak atom kar-
14

15
bon. Ikatan lengan-lengan karbon yang panjangnya acc= a/
√
3 Å (Raza:2012).
Vektor posisi dari atom terdekat nearest − neighboor disimbolkan dengan δi (Ta-
bert,2012), yakni δ1,δ2, dan δ3. ketiganya dapat dituliskan sebagai :
δ1 =
a
2
(1,
√
3), δ2 =
a
2
(1, −
√
3), δ1 = −1(a, 0). (2.2)
Sedangkan untuk vektor posisi dari atom terdekat berikutnya (Second
Nearest Neighbour) adalah (Neto dkk,2009):
δ1 = ±a1, δ2 = ±a1, δ3 = ±(a2 − a1). (2.3)
2.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene
Kisi balik merupakan kisi yang dibentuk oleh vektor translasi dari kisi
primitif (Quinn dan Yi, 2009) .Kisi balik pada graphene memiliki simetri yang
identik yakni hexagonal, akan tetapi kisi baliknya berotasi 90o
bila dibandingkan
dengan kisi sesungguhnya (Wong dan Akinwende ,2011).Dengan penyelesaian
kisi balik digambarkan pada gambar (2.2) ,dimana kisi hexagonal bravais. ZB
adalah wilayah hexagonal yang ditandai (Raza,2012).
Zona Brilloun (ZB) atau (Brilloun Zone) merupakan sel Wigner−Seitz
pada kisi balik. dimana sifat simetrinya memuat banyak informasi yang mewa-
kili sistem material yang dikaji(Manaf,2014). Vektor kisi balik pada ZB dapat
ditulis:
b1 =
2π
3a
(1,
√
3), b2 =
2π
3a
(1, −
√
3). (2.4)
Dimana terdapat beberapa titik yang menjadi pusat yang berkaitan de-
ngan energi dispersi E(k)(Manaf,2014). titik titik tersebut adalah K dan K
dimana masing masing memiliki posisi di ruang momentum (Neto dkk,2009)
K = (
2π
3a
,
2π
3
√
3a
), K = (
2π
3a
, −
2π
3
√
3a
). (2.5)
2.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene
Model ikatan kuat (Tight Binding) adalah model pendekatan untuk
menghitung struktur pita elektronik pada sistem yang digunakan dengan mem-
perkirakan kumpulan pita berdasarkan fungsi gelombang sebagai superposi-

16
Gambar 2.2: Kisi Balik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene
(bawah)(Raza,2012)
.
si fungsi gelombang atom yang terisolasi pada kisi kisi gelombang (Tabert :
2012).Dengan mempertimbangkan elektron yang berpindah ke atom terdekat
maupun ke atom terdekat berikutnya dapat dituliskan (dengan =1)(Neto dkk,
2009)
H = −t
<i,j>,σ
(a†
σib†
σj + H.c) − t
<i,j>,σ
(a†
σia†
σjb†
σia†
σj + H.c), (2.6)
dimana aσi(a†
σi) merupakan operator penghancur (kreasi)elektron dengan
spin σ(σ = ↑, ↓) di titik Ri pada sub kisi A (defenisi yang sama untuk kisi
B).Notasi diatas ditulis dalam bentuk kuantisasi kedua (Second Quantization)
(Tabert,2012) dengan parameter t(≈ 2, 8eV ) yang merupakan energi lompatan

17
ke atom terdekat dan t merupakan energi lompatan ke atom berikutnya (Neto
dkk,2009).
E± = ±t (3 + f(k)) + t f(k), (2.7)
dengan nilai fk
f(k) = 2cos
√
3kya + 4cos
√
3
2
kya cos
3
2
kxa , (2.8)
dimana tanda ± merupakan tanda untuk menunjukan pita atas (bawah)
π∗
(π)(Neto dkk,2009).
Gambar 2.3: Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t = 0, 29 dilihat dari
penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011)

18
Gambar 2.4: Energi dispersi dengan t = 0 dilihat dari penampang tiga dan dua
dimensi (Raza,2011)
2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene
Lembaran ganda graphene ( Graphene Bilayer) tersusun atas dua lem-
baran tunggal graphene yang keduanya terikat melalui gaya V an Der Waals.
Dimana lembaran ini diklasiﬁkasikan dalam dua tipe tumpukan yakni tumpukan
AB (AB Stacked Bilayer) dan tumpukan AA (AA Stacked Bilayer)(Manaf,
2014).
2.2.1 Tumpukan AB
Tumpukan AB atau dikenal dengan Bernal Stacking merupakan susunan
alami lembaran lembaran tunggal graphene membentuk graphite (Neto, dkk :
2009). Tumpukan ini memiliki empat atom untuk tiap sel satuan yakni A1 dan
B1 pada lembaran bawah dan A2 dan B2 pada lembaran atas atau sebaliknya.
Sehingga dalam tumpukan AB, pada atom B1(lembaran bawah) berpasangan
dengan atom A2 pada lembaran atas. Vektor kisi primitif pada tumpukan AB
yakni a1 = (1/2,
√
3/2)a0 dan a1 = (−1/2,
√
3/2)a0. Nilai a0 sama dengan
lembaran tunggal yakni a ≈ 2, 46 angstrom. Sel satuan dari tumpukan AB
sama dengan nilai pada graphene lembaran tunggal begitu juga dengan nilai
kisi balik dan ZB, sama dengan lembaran tunggal graphene (Raza,2012).
Model Hamiltonan tight binding pada tumpukan AB adalah (Neto dkk,
2009)

19
Gambar 2.5: Tumpukan AB Graphene (Tabert,2012)
H = −γ0
<i,j>m,σ
(a†
1,i,σb†
m,j,σ + H.c) − γ1
j,σ
(a†
1,j,σa†
2,j,σ + H.c)
− γ4
j,σ
(a†
1,j,σb†
2,j,σ + (a†
2,j,σb†
1,j,σH.c)
− γ3
<i,j>m,σσ
(b†
2,i,σb†
2,j,σ + H.c), (2.9)
dimana am,i,σ(am,i,σ) merupakan operator penghancur elektron dengan
spin σ pada sub kisi A(B) untuk bidang m=1,2 di Ri. Sedangkan a†
m,i,σ(b†
m,i,σ)
merupakan operator kreasi elektron dengan spin σ pada subkisi A(B) untuk
bidang m=1,2 di Ri. Nilai γ0,γ1,γ3, dan γ4 merupakan parameter lompatan
energi (energi yang dibutuhkan untuk melompat dari satu atom ke atom yang
lain)yang nilainya sama dengan nilai pada graphite. Nilai γ0=t merupakan pa-
rameter energi lompatan pada bidang yang sama γ1(γ1 = t⊥ ≈ 0, 4) eV meru-
pakan parameter lompatan energi antara atom A1 dan atom A1. γ4(γ4 = 0, 04)
eV merupakan parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan B1(B2). Se-
dangkan γ3 merupakan parameter energi lompatan antara atom B1 dan B2 (Neto
dkk,2009).
Pembahasan tentang Hamiltonan (Persamaan 2.10) dapat difokuskan pa-
da daerah titik K pada ZB, dengan cara mengekspansikan momentum dekat titik
K. Nilai Hamiltonannya dapat ditulis (Neto dkk,2009):
H =
k
ψ†
k.Hk.ψk, (2.10)

20
dimana nilai parameter γ4 dapat diabaikan maka:
H =






−φ vf k 0 3γ3ak
vf k∗ −φ γ1 0
0 γ1 φ vf k
3γ3ak 0 vf k∗ φ






(2.11)
k = kx + iky merupakan bilangan kompleks, φ merupakan perubahan
electrochemical potential antar dua lembaran φ yang akan muncul ketika poten-
sial bias diberikan pada dua lembaran tersebut. ψ†
k dengan nilai ψ†
k = (b†
1a†
1a†
2b†
2)
merupakan eigen vektor. Jika φ = 0 dan γ3, vf k γ1 maka model hamiltonan
pada persamaan (2.12) dapat dituliskan dalam bentuk Hamiltonan efektif (Neto
dkk,2009)
Hk =
0 v2k2
γ1
+ 3γ3ak∗
v2k∗2
γ1
+ 3γ3ak 0
(2.12)
untuk γ = 0 maka persamaan diatas menghasilkan dua pita berbentuk
parabolik εk,± = ±v2
f k2/t⊥ yang keduanya saling bersentuhan di ε = 0 (gambar
2.7). Dari sana juga bisa diketahui bahwa adanya simetri elektron-holes. De-
ngan pendekatan yang sama diperoleh juga dua pita tambahan yakni masing
masing satu pada pita valensi dan pita konduksi yaitu γ1(γ1 = tt ≈ 0.04).(Neto
dkk,2009).
Pada persamaan (2.11) apabila φ = 0 hal ini akan merusak ekuivalen-
si dari dua lembaran graphene (tumpukan AB)tersebut atau dengan kata lain
merusak simetri inversi. Energi dispersi dapat dituliskan (Neto dkk,2009):
ε±,k = φ2
+ v2
f k2 + t2
⊥ ± 4φ2v2
f k2 + t2v2
f k2 + t2
⊥/4. (2.13)
2.2.2 Tumpukan AA
Seperti pada tumpukan AB (Bernal Stacking), tumpukan AA tersusun
juga atas dua lembaran graphene yang terikat melalui gaya Van Der Walls. Pada
tumpukan AA atom A(B) pada lembaran atas ditumpuk berpasangan dengan
atom A(B) pada lembaran bawah (gambar 2.8). Model hamiltonan spin tunggal

21
Gambar 2.6: Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap dan
dengan gap (Tabert,2012)
pada tumpukan AA adalah (Tabert dan Nicol,2012).
Gambar 2.7: Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012)
H = −t
n,σ
(b†
ln+σaln+H.c)−t
n,σ
(b†
2n+σa2n+H.c)+γ
n
(a†
2na1n+(b†
2nb1n+H.c),
(2.14)
dimana dua suku pertama pada persamaan (2.15) merupakan bentuk pa-
rameter lompatan elektron ke atom terdekat pada bidang atau lembaran yang
sama dengan energi lompatan yakni t ∼ 3 eV.Dua bidang penyusun tumpuk-
an AA ditandai dengan i dengan i = 1.2.ai,n merupakan operator penghancur
elektron pada atom A di titik n pada lembaran Graphene i.Label n merupakan
indeks dari posisi pada kisi Bravais triangular. Sebaliknya b†
i,n+δ merupakan

22
operator kreasi elektron pada lembaran i di dekat atom B pada posisi n + δ
dengan δ merupakan vektor posisi atom terdekat.Vektor posisinya dapat ditu-
liskan:
δ1 = −(a1 + a2)/3, δ2 = (2a1 − a2)/3, dan δ3 = −(a1 − 2a2)/3. (2.15)
Vektor kisi primitif dari subkisi triangular adalah : aa = (a
√
3/2, a/2)
dan aa = (a
√
3/2, −a/2) dengan |a1| = |a1| =
√
3aC−C dimana aC−C merupakan
jarak terdekat dari ikatan karbon (Tabert dan Nicol,2012)
Suku ketiga dari persamaan (2.21) terkait dengan parameter energi lom-
patan antar lembaran graphene. Dimana parameter lompatan antara antara
atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lem-
baran kedua dituliskan dalam bentuk γ ≈ 0.2 eV.Pada tumpukan AA, elektron
juga dapat melompat dari atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom
B(A) yang terdekat pada lembaran kedua. Tetapi energi lompatannya sangat
kecil sehingga suku lompatan tersebut dapat diabaikan (Tabert dan Nicol,2012).
Bentuk hamiltonan pada persamaan (2.15) dapat ditransformasikan ke
ruang k sehingga dapat dituliskan (Tabert dan Nicol,2012)
H =






0 0 γ f(k)
0 0 f ∗ (k) γ
γ f(k) 0 0
f ∗ (k) γ 0 0






(2.16)
Dimana f(k) = −t σ eik.σ
dan digunakan vektor eigen ψ = (a1k, b2k, a2k, b1k)
(Manaf:2014).Penyelesaian untuk nilai eigen dari H diperoleh nilai energi dis-
persi (Tabert dan Nicol,2012)
εα(k) = ±[|f(k)| + (−1)α
γ], (2.17)
dengan α=1 dan 2 sedangkan f(k) merupakan dispersi energi untuk lem-
baran tunggal. Untuk energi rendah maka nilai f(k) dapat diekspansikan di
sekitar titik K pada ZB dan diperoleh f(k) = vf keiθ
dengan vf =
√
3ta/2
dan θ merupakan sudut ruang k disekitar titik K. Dari gambar (2.9) dapat dida-
patkan dua pita energi yang identik dengan lembaran tunggal grpahene (Tabert

23
dan Nicol,2012).
Gambar 2.8: Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012)
2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene
2.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene
Untiran pada permukaan Graphite yang sebelumnya telah diteliti meng-
gunakan Scanning Tunnelling Microscope (STM)(Li,dkk : 2010) dijadikan da-
sar dalam kajian terhadap untiran antar lembaran Graphene (Twisted Bilayer
Graphene Layers)yang kemudian dikembangkan menjadi model Twisted Bilayer
Graphene (TBG)(Santos dkk,2007).
Model TBG dikarakterisasi melalui keberadaan sudut rotasi dan vektor
translasi relatif antara dua lembaran graphene. Apabila kedua struktur kisi ter-
sebut sepadan, maka diperolah vektor kisi primitif L1 dan L2 yang diperoleh dari
hasil perkalian bilangan bulat dengan vektor-vektor kisi masing-masing lembar-
an.Nilai L1 dapat dituliskan dalam bentuk bilangan bulat m,n,m’,n’.Persamaaanya
adalah:
L1 = ma
(1)
1 + na
(1)
2 = m a
(2)
1 + n a
(2)
2 , (2.18)
dengan a
(1)
1 dan a
(2)
1 merupakan vektor kisi dari lembaran Graphene l =
1.2. Sedangkan L2 diperoleh dengan cara merotasikan L1 sebesar 60o
. indeks

24
(m, n) dapat dibuat sama dengan indeks (n , m ) dengan cara memilih vektor
posisi sehingga TBG dapat dimodelkan melalui sepasang bilangan bulat (m, n).
Nilainya dapat dituliskan(Moon dan Koshino,2012) :
cosθ =
1
2
m2
+ n2 + 4mn
m2 + n2 + mn
, (2.19)
dimana konstanta kisi pada TBG L = |L1| = |L2| bernilai:
L = a0
√
m2 + n2 + mn =
|m − n|
2sin(θ/2)
a0, (2.20)
dengan a0 = |a1| = |a2| ≈ 0.246 merupakan konstanta kisi pada graphene
(Moon dan Koshino,2012).
Gambar 2.9: (2.1(a))Struktur atom pada TBG dengan sudut untiran θ =
21.8o
.(2.1(b))ZB pada TBG (Cocemasov, dkk,2013)
Luasan dari sel satuan (Unit cell) pada model TBG adalah
S = |L1 × L2| = (
√
3/2)L2
. (2.21)
Bentuk ZB pada TBG ditunjukan pada gambar 2.10(b). Terdapat dua
titik Dirac K dan Kθ pada Zona Brilloun dari TBG dikarenakan adanya untiran
antara satu lembaran relatif terhadap lembaran yang lain dimana jarak antara
titik Dirac K(Kθ) dengan pusat Zona Brilloun Γ bernilai 2π/ao. Besar Vektor
pergeseran dari K menuju Kθ (Luican dkk,2011).

25
Gambar 2.10: (Visualisasi luasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG pada
beragam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012)
∆K =
8π
3ao
sin(θ/2), (2.22)
dengan θ merupakan sudut untiran dan ao merupakan konstanta kisi pada
lembaran tunggal graphene. Vektor pergeseran ∆K memiliki komponen ∆Kx
dan ∆Ky dimana sudut yang dibentuuk antara ∆Kx dan ∆K adalah θ/2 se-
hingga untuk nilai ∆Kx dan ∆Ky diperoleh nilai (Manaf,2014).
∆Kx = ∆Ksin(θ/2). (2.23)
∆Ky = ∆Kcos(θ/2). (2.24)

26
2.3.2 Model Hamiltonan dan Energi Dispersi Twisted Bilayer Gra-
pene
Model Hamiltonan pada daerah disekitar K dan Kθ diformulasikan (Ta-
bert dan Nicol,2009):
H(k) =
H0(k + ∆K/2) H⊥
H†
⊥ H0(k − ∆K/2)
(2.25)
dengan
H0(k) =
0 f ∗ (k)
f(k) 0
(2.26)
dimana f = vf (kk + iky) dan
H0
⊥(k) = ˜t⊥
1 1
1 1
(2.27)
H±
⊥ (k) = ˜t⊥
e iφ
1
e±iφ
e iφ
(2.28)
Parameter lompatan energi disimbolkan dengan ˜t⊥ (berkisar antara 100 meV
sampai dengan 150 meV), φ = 2π/3, merupakan tetapan planck sedangkan vf
merupakan kecepatan fermi. Dari persamaan (2.25) sampai persamaan (2.28)
diatas diperoleh bentuk analitik dari persamaan dispersi energi (saat tidak ada
magnet luar)(Tabert dan Nicol,2009)
E2
α(k) =
1
2
[˜t2
⊥ + ε+2
G + ε−2
G + (−)ξ
Γ],
dimana
Γ = (˜t2
⊥ + ε+2
G + ε−2
G )2 + 4ε+2
G ε−2
G . (2.29)
ξ bernilai 1 dan 2 serta ε±
G = |f(k ± ∆K)|. dispersi ini hanya berlaku
pada sudut untiran 3o
≤ θ ≤ 10o
(Manaf : 2014).
Sedangkan untuk sudut untiran θ ≤ 3o
tidak berlaku persamaan (2.29).

27
Gambar 2.11: Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 10o
diperoleh menggu-
nakan persamaan(2.3)
Oleh karena itu dikembangkan model hamiltonan yang sesuai untuk sudut un-
tiran yang relatif lebih kecil. Model hamiltonan tersebut dapat dituliskan (Ma-
naf,2014):
Heff
=
2 2
v2
f
15˜t2
⊥
0 (k∗)2
− (1
2
∆K)2
k2
− (1
2
∆K)2
0
(2.30)
dengan bilangan kompleks k dideﬁnisikan sebagai k = kx +iky dan ∆K =
∆Kx + ∆Ky. (kx, ky) merupakan komponen vektor dari k relatif terhadap titik
tengah (mid point) dari titik Dirac (Dirac Points). Dari persamaan (2.30)
diperoleh persamaan (He dkk : 2013):
E(kx, ky) = α (k2
x − k2
y −
1
4
∆K2
x +
1
4
∆K2
y )2 + (2k2x − k2
y −
1
2
∆Kx∆Ky)2,
(2.31)
dengan α = ±2 2
v2
f /15˜t⊥. Dispersi energi (persamaan 2.31) diatas dikhu-
suskan untuk tinjauan pada daerah energi dekat aras fermi dan terkait dengan
SVH. keberadaan SVH sendiri mulai teramati saat θ ≤ 10o
, oleh karena itu
dispersi energi diatas ahanya valid pada sudut untiran θ ≤ 10o
(He, dkk,2013).

28
Gambar 2.12: Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 1.16o
(Manaf :2014)
2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tunggal
(Graphene Monolayer)
Rapat Keadaan (DOS)merupakan gambaran tentang kondisi energi pa-
da tiap keadaan (States) yang bebas ditempati elektron (Tabert, 2012).Rapat
keadaan (DOS) per unit area dapat dituliskan :
N(ε) = Nf
k
δ(ε − E(k)), (2.32)
dimana Nf adalah faktor degenerasi. jumlah k dapat diganti dengan
integral dua dimensi
k
→
1
(2π)2
d2
k, (2.33)
Persamaan diatas bisa dihitung secara numerik menggunakan represen-
tasi lorentzian pada delta fungsi
δ(x) = lim
1
π
η
η2 + x2
, (2.34)
dengan perluasan penyebaran nilai dari η. Untuk rapat muatan penuh
digunakan persamaan (2.8)untuk E(k). Untuk Rapat Muatan Penuh

29
N(ε) = Nf
1
(2π)2
1stB.Z
dkxdkyδ(ε − E(k)), (2.35)
Untuk Nf = gx = 2 diperoleh (Neto,2009):
N(ε) =
1
(2π) 1stB.Z
dkxdkyδ(ε − E(k)), (2.36)
Nilai DOS juga dapat diperoleh dengan penjumlahan kecepatan group
(group velocity)dari Dirac Fermion. Kecepatan group bisa diperoleh dengan
Divergence dari energi dispersi E(k)(Manaf,2014):
v =
1
E(k), (2.37)
dengan nilai DOS:
D(E) =
1
4π3N
dl
|v|
, (2.38)
Sehingga nilai DOS bisa dituliskan :
D(E) =
1
4π3N
dl
E(k)
. (2.39)
2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene
Bentuk Rapat Keadaan pada model Twisted Bilayer Graphene (TBG)
diperoleh dari nilai E(k) berdasarkan persamaan (He dkk 2013) :
E(kx, ky) = α(A2
+ B2
)1/2
, (2.40)
dimana untuk nilai α = ±
2 2v2
f
15t
, A= k2
x − k2
y − 1
4
∆K2
x + 1
4
∆K2
x dan nilai
B= 2k2
xk2
y − 1
2
∆kxky dimana t adalah coupling antar layer dan (kx, ky) vek-
tor gelombang dua dimensi relatif terhadap titik tengah titik Dirac. Vektor
∆K(∆Kx, ∆Ky) adalah pergeseran relatif dari Dirac Point pada ZB(Gambar
2.10(b)). Untuk nilai ∆K:
∆K =
8π
3ao
sin(
θ
2
). (2.41)

30
Untuk nilai ao adalah kisi konstan dari graphene layer tunggal. dan θ ada-
lah sudut dari rotasi setara yakni ∆Kx = ∆Ksin(θ/2) dan ∆Ky = ∆Kcos(θ/2)
(Manaf dkk, 2014)
Untuk nilai DOS dirumuskan (Manaf,2014) :
D(E) =
1
16απ3N
ln
βα2
+ E2
f
βα2 + E2
, (2.42)
dengan
β = −2(A1(k2
x − k2
y) + B1(k2
xk2
y)) −
1
16
|∆K|4
. (2.43)
Pada persamaan (2.33) efek dopingnya diabaikan, sehingga posisi aras
Fermi Ef diasumsikan bernilai 0 meV (berada pada titik Dirac)atau identik
dengan Graphene murni (Manaf,2014) Pendekatan ini dilakukan berdasarkan
model TBG yang menunjukan bahwa Dirac Cones masih terlihat pad susut
untiran θ > 1o
sehingga sifat graphene murni masih dimiliki Dirac Cones akan
mulai tidak terlihat pad susut untiran θ < 1o
, sehingga sifat graphene murni
akan menghilang pada sudut untiran tersebut (Santos, dkk ,2012). Posisi aras
fermi yang berada pada titik Dirac maka persamaan (2.33) dapat dituliskan
(Manaf,2014):
D(E) = N0 ln
βα2
+ E2
D
βα2 + E2
, (2.44)
dengan ED merupakan energi pada titik Dirac dan N0 = 1/16απ3
N (Ma-
naf ,2014).
2.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf )
Berdasarkan data eksperimen menggunakan STS dengan sudut untiran
θ = 1, 16o
didapatkan nilai beda jarak antara satu SVH dengan SVH satunya
(jarak antar SVH) adalah ∆ESV H=12 meV (Li dkk, 2009). Aras Fermi berada
pada energi nol (Zero−Energy States) dan tepat berada ditengah-tengah SVH,
sehingga jarak SVH dan aras Fermi adalah 6 meV (Manaf, 2014). Jarak antar
SVH yang diperoleh dari model tersebut untuk sudut untiran 2o
< θ < 5o
dapat
diformulasikan dengan :(Santos dkk,2007; Raza,2012)

31
∆ESV H ≈ vf ∆K − 2tθ
, (2.45)
dimana tθ
merupakan faktor energi lompatan antar bidang yang gayut
dengan sudut untiran ditambahkan dengan potensial bias (gate voltagge). Beda
jarak SVH lainnya yang berhasil dikaji secara eksperimen pada sudut untiran
θ = 1, 79o
dengan beda nilai SVH ∆ESV H=82 meV dan pada sudut untiran
θ = 3, 48o
dengan beda nilai SVH ∆ESV H=430 meV (Li dkk,2009; Raza,2012;
Manaf,2014).
Gambar 2.13: Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012)
Selain SVH yang dekat dengan aras fermi, pada kajian graphene dengan
sudut untiran muncul sifat-sifat yang identik dengan lembaran tunggal graphe-
ne, yakni partikel yang terlibat merupakan massless Dirac Fermions dan re-
normalisasi kecepatan Fermi (vf ). Kedua hal ini berkaitan dengan pergeseran
Dirac Cones seperti pada perubahan nilai SVH pada variasi sudut untiran.
Semakin bertambahnya pergeseran ke Dirac Cones akan membuat dispersi ener-
gi terlihat semakin linear. Dimana akan diperoleh keberadaan dua Dirac Cones
yang semakin jelas (Manaf, 2014) Bentuk dispersi energi berbentuk Dirac Cones
identik pada lembaran tunggal graphene yang menggambarkan bahwa partikel
merupakan massless Dirac Fermions (Raza,2012).
Berdasarkan fakta teori dan eksperimen kecepatan fermi (vf ) akan ber-
tambah seiring dengan bertambahnya sududt untiran hingga mencapai sudut
untiran maksimum yakni θ = 30o
, dimana nilai ini teramati pada Chemical
V apour Deposition (CVD) graphene ﬁlms. Pada CVD terlihat keberadaan
massless Dirac Fermions baik untuk sudut untiran kecil θ < 10o
dan sudut un-

32
tiran lebih besar 10o
< θ < 30o
. sedangkan untuk nilai kecepatan fermi vf terjadi
perbedaan untuk perbedaan sudut untiran yakni 0.87 × 106
m/s dan 1.10 × 106
m/s.perubahan ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi vf yang secara
teori dapat dimodelkan dengan persamaan(Sanos dkk,2007;Raza,2012):
vf (θ)
vθf
= 1 − 9
tθ±
vf ∆K
2
. (2.46)
vf (θ) vθf
adalah kecepatan fermi pada lembaran-lembaran graphene yang
mengalami untiran (Kecepatan fermi vf pada lembaran tunggal graphene).
2.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR)
Metode NR merupakan salah satu metode untuk menentukan akar akar
suatu persamaan.Metode NR menggunakan satu nilai tebakan awal yakni nilai
perkiraan awal dari akar akar persamaan yang ingin dihitung xi. Suatu garis
singgung dapat dibuat dari titik (xi,f(xi), dimana garis singgung tersebut me-
motong sumbu x yang biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dengan
nilai akar.Dasar dari persamaan ini adalah Aproksimasi linear dari fungsi di-
sekitar nilai akar. nilainya bisa diperoleh dengan memperluas fungsi f(xr = 0
disekitar nilai akar xr melalui ekspansi Taylor (Pang, 2006).
Gambar 2.14: Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng-
gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006)
.
Penurunan rumus Newton-Raphson(NR) menggunakan deret Taylor

33
f(xi+1) f(x − i) + (xi+1 − xi)f (xi) + frac(xi+1 − xi)2
2f (xi), xi < t < xi+1.
(2.47)
Nilai dipotong sampai orde suku satu menjadi f(xr+1) f(x − r) +
(xr+1 − xr)f (xr) karena nilai suku orde dua bernilai sangat kecil dan dapat
diabaikan.
Dimana nilai x dianggap sebagai nilai coba untuk nilai akar xr pada ting-
kat tertentu misal i dan aproksimasi untuk tahap setelah i yakni i + 1 diperoleh
dari :
f(xi+1) = f(xi) + (xi+1 − xi)f (x) 0, (2.48)
Sehingga
xi+1 = xi + ∆xi = xi −
fi
fi
, (2.49)
dan jika ditentukan berdasarkan graﬁk suatu persamaan melewati pada
nilai y=0 :
xi+1 = xi −
f(xi − 0)
f (xi)
. (2.50)
Nilai 0 pada f(xi − 0) merupakan nilai pembuat nol pada Metode NR
sehingga persamaannya menjadi :
xi+1 = xi −
f(xi)
f (xi)
. (2.51)
Pada metode NR yang dipakai pada perhitungan di skripsi ini nilai pem-
buat nol diberikan oleh nilai E(k) (sb-y) sebagai level energi pada graﬁk Energi
dispersi terhadap nilai Kx dan Ky sehingga persamaannya menjadi
xi+1 = xi −
E(xi) − E
E (xi)
. (2.52)
2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson
Perhitungan numerik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati
nilai sebenarnya sehingga terdapat nilai kesalahan atau ralat terhadap nilai yang
sebenarnya. Ralat berkaitan dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan

34
solusi yang sebenarnya. Misalkan ã adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a,
maka nilai selisih ε = a−ã disebut ralat, dimana nilai positif maupun negatifnya
tidak berpengaruh sehingga dapat didefenisikan (Tresnaningsih, 2010) :
|ε| = |a − ã|. (2.53)
Ukuran ralat ini tidak terlalu bermakna karena tidak menjelaskan sebe-
rapa besar ralat tersebut dari nilai sejatinya. Sehingga diperlukan interpretasi
ralat tersebut yang dinormalkan terhadap nilai sejatinya. ralat ini dikenal de-
ngan istilah ralat relatif (ε|R). ralat ini didefenisikan sebagai εR = ε
a
atau jika
ditulsi dalam persentase εR = ε
a
× 100%¸, untuk ralat relatif hampiran εR = ε
a
.
Nilai ralat ini juga disebut nilai ralat relatif sejati karena dinormalkan terha-
dap nilai sebenarnya (Tresnaningsih, 2010).
Sedangkan untuk sumber utama ralat dalam perhitungan numerik secara
umum ada dua yakni(Tresnaningsih, 2010) :
1. Ralat Pemotongan
Ralat pemotongan mengacu pada ralat yang disebabkan karena penggan-
tian ekspresi matematika yakni pemotongan suatu deret(Tresnaningsih, 2010).
Contoh : Hampiran deret taylor
1 −
x2
2!
+
x4
4!
+
x6
6!
x8
8!
+
x10
10!
+ ......, (2.54)
Pada deret diatas nilai deret dipotong pada pada suku x6
6!
. Nilai ralat
dapat dihitung melalui hampiran ralat pemotongan menggunakan rumus suku
sisa(Tresnaningsih, 2010) :
Rx(x) =
n
k=1
(x − x0)(n+1)
(n + 1)!
fn+1
(c), x0 < c < x. (2.55)
Untuk nilai c pada batasan selang tertentu, maka nilai mungkin dari Rn
untuk c dalam selang tersebut(Tresnaningsih, 2010):
|Rx(x)| < max
x0<c<x
|fn+1
(c)|x
(x − x0)(n+1)
(n + 1)
. (2.56)
2.Ralat Pembulatan
Ralat Pembulatan merupakan pengurangan cacah digit pada suatu nilai
hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Penjelasan tentang

35
ralat pembulatan telah dijelaskan diatas dan terjadi karena adanya pembulatan
dalam komputasi numerik.

BAB III
Hasil dan Pembahasan
3.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) un-
tuk graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson
Gambar 3.1: (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilai
harap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal
untuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 pada saat nilai Kx=0 diperoleh
dari persamaan energi dispersi(2,8).
Gambar 3.1a dan 3.1b merupakan grafik dari energi dispersi untuk gra-
phene monolayer dengan nilai parameter lompatan t = 2.8 dan t = 0 yang dipe-
roleh dari perhitungan menggunakan persamaan energi dispersi E(k)(Persamaan
2.8). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa grafik energi dispersi bi-
sa memberikan informasi distribusi elektron pada setiap level E sehingga dari
sini bisa diprediksi grafik DOS yang akan dihasilkan. Atas dasar inilah pada
perhitungan DOS kali ini hanya diambil rentang nilai E dari -2 eV sampai 2 eV
dikarenakan pada rentang energi tersebutlah elektron terdistribusi lebih banyak
sehingga kemungkinan posisi SVH pada DOS akan berada pada rentang energi
tersebut(Lihat gambar 3.1b grafik DOS pada saat Kx=0).
Selain dari energi dispersi E(k), nilai SVH juga bisa diprediksi dari posisi
titik pelana Saddle Point (SP) pada grafik energi dispersi. Posisi titik pelana
menunjukan posisi flat (seperti bentuk pelana) pada energi dispersi dimana
energi (E) energi bernilai konstan. Gambar 3.2 menunjukan posisi SP pada
36

37
grafik monolayer dimana nilainya berkisar pada nilai E/t= 1 eV
Gambar 3.2: Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo-
nolayer
Perhitungan numerik untuk menghitung nilai DOS pada graphene mono-
layer didasarkan pada persamaan energi dispersi E(k)(Persamaan 2.9), meng-
gunakan metode Newton Raphson yang menghasilkan beberapa grafik DOS de-
ngan beberapa variasi parameter numerik. Parameter-parameter tersebut yak-
ni,parameter level energi(E) parameter K(x), parameter tebakan awal (K(y))
dan iterasi (n). Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) dan nilai itera-
si (n) tidak memberikan pengaruh yang terlalu berarti terhadap nilai bentuk
grafik yang dihasilkan. Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) juga tidak
memberikan perubahan pada hasil grafik hal ini karena nilai tebakan awal yang
merupakan nilai predisksi akar-akar yang sebenarnya sehingga nilai tersebut ak-
an mengacu pada nilai-nilai akar sebenarnya dari persamaan. Jika nilainya tidak
ada atau jauh dari nilai akar-akar yang ada maka nilai prediksi akar dari tebakan
awal dianggap nol. Sedangkan untuk parameter iterasi (n) juga diperoleh hasil
grafik yang sama untuk beberapa variasi parameter iterasi (n). Hal ini dikare-
nakan faktor kekonvergenan dari fungsi yang digunakan (energi dispersi E(k).
Dimana nilai akan mencapai nilai konvergen untuk pengulangan iterasi yang
tidak terlalu lama. Nilai iterasi (n) yang diberikan dengan jumlah 50, 100, 300,
500 dan 1000, menghasilkan grafik yang sama. Walaupun tidak memeberikan
pengaruh pada hasil grafik DOS, parameter tebakan awal K(y) maupun para-

38
meter iterasi (n) tetap memberikan pengaruh pada proses lamanya perhitungan
yakni jika nilai iterasi (n) dan parameter tebakan awal K(y) yang diberikan
semakin besar maka waktu untuk proses perhitungan akan bertambah karena
setiap proses perhitungan program akan menghitung nilai yeng lebih banyak
sehingga membutuhkan waktu yang lebih lama untuk masuk ke perhitungan
selanjutnya.
Gambar 3.3: Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆Kx=0.05
E=0.05 ∆Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300, dan
500
Sedangkan untuk variasi parameter level energi E dan parameter K(x)
akan memeberikan pengaruh terhadap bentuk grafik DOS yang dihasilkan. Jika
nilai parameter yang diberikan baik parameter E dan K(x) semakin besar (Ni-
lai rentang (∆E dan ∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akan
semakin baik(halus).
Pada gambar (3.2) memperlihatkan hasil perhitungan DOS berupa grafik.
Dari beberapa grafik yang dihasilkan, grafik pada gambar (3.2(c)) merupakan
grafik yang paling baik dibadingkan grafik (3.2(a)) dan (3.2(b)). Sehingga da-
pat disimpulkan bahwa pada perhitungan DOS menggunakan metode Newton-

39
Raphson, parameter E dan K(x) merupakan parameter yang paling berpenga-
ruh terhadap nilai grafik DOS yang dihasilkan.
Nilai ralat yang digunakan pada metode NR ini yaitu menggunakan sum-
ber ralat pembulatan. Nilai ini diambil dari nilai selisih antara nilai tebakan
awal dengan nilai akar sebenaarnya. Untuk perhitungan monolayer graphene
diperoleh nilai ralat ±0.002 atau 0.2%¸. Nilai ralat yang diperoleh menunjukan
nilai ralat yang cukup kecil sehingga dapat disimpulkan nilai perhitungan pa-
da graphene monolayer menghasilkan nilai yang tidak terlalu jauh dengan nilai
sebenarnya (gambar 3.1(d)).
Gambar 3.4: Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05
∆E=0.1 ∆Ky=0.1(b)∆Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 (c) ∆Kx=0.05 ∆E=0.05
∆Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai ralat dan aproksimasi
pola linear pada grafik DOS
Gambar 3.2 merupakan hasil perhitungan DOS dari graphene layer tung-
gal untuk nilai t = 2.8 dan t = 0. Grafik DOS yang diperoleh memperlihatkan
bentuk yang simetri antara nilai DOS positif dan nilai DOS negatif, dengan ni-
lai SVH/titik kritis berkisar pada nilai ±1eV . Nilai ini sesuai dengan prediksi
posisi SVH pada grafik DOS pada posisi Saddle Point pada energi dispersi.

40
Nilai ini juga sesuai dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya untuk graphene
layer tunggal baik secara analitik maupun numerik seperti yang telah diteliti
oleh Nicol dkk(2009) dan Yuan dkk(2010).
Dari grafik DOS yang diperoleh terlihat pola linear untuk rentang energi
-0,6 - 0,6 (dekat titik dirac (zero point)) dan pola logaritmik untuk rentang
energi > -0,6 eV dan < 0,6 eV sampai titik kritis(SVH). Pola linear yang terben-
tuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan energi dispersi dimana terbentuk
garis linear disekitar tenaga nol. Nilai ini terbentuk karena adanya keterlibatan
Dirac Fermions yang memiliki dispersi energi yang menyerupai dispersi energi
partikel-partikel ultrarelativistik sehingga membentuk pola linear. Pola linear
ini juga bisa dijelaskan dari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dima-
na m=0, dengan persamaan Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana
terlihat nilai energi akan sebanding dengan nilai (k). Sedangkan untuk pola
logaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada
posisi saddle Point dimana jika mengacu pada persamaan D(E) = 1
4π3N
dl
E(k)
,
dimana nilai ∆E(k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1
E(k
akan menghasilkan
tak berhingga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik
pada grafik DOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisi
SVH juga merepresentasikan nilai elektron yang terdapat pada daerah terse-
but keadaan elektron pada level energi tertentu yang terdistribusi lebih banyak
pada titik tersebut (Pada posisi flat atau posisi Saddle Point). Pola linear
yang terbentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang bisa dijelaskan de-
ngan persamaan energi fermi sehingga dari grafik DOS juga bisa jelaskan faktor
kecepatan elektron sebagai Dirac Fermion pada energi rendah atau disebut
juga dengan Kecepatan Fermi vf (Fermi V elocity). Nilai vf ini bisa didekati
dengan pendekatan nilai gradien(m) pada pola linear yang terbentuk dimana
untuk graphene monolayer pada rentang energi -0,6 eV sampai 0,6 eV dekat ti-
tik Dirac, diperoleh nilai m = 0,33 DOS eV −1
, besarnya dipengaruhi oleh faktor
energi dan faktor rapat keadaan (DOS).

41
Untuk perhitungan nilai DOS pada graphene TBG secara numerik meng-
gunakan metode Newton Raphson sama dengan perhitungan untuk DOS untuk
graphene monolayer yakni berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) (2.32),
yakni Persamaan energi dispersi untuk TBG yang dihitung pada rentang energi
rendah. Sama dengan perhitungan DOS pada graphene monolayer perhitungan
DOS pada graphene TBG untuk sudut untiran θ ≤ 10o
yakni θ = 1, 16o
, juga
dihitung pada beberapa variasi parameter yakni parameter level energi E, nilai
tebakan awal K(y), nilai K(x), dan nilai iterasi(n). Untuk persamaan energi
dispersi pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 16o
digunakan nilai tetapan yak-
ni h dan v yang merupakan nilai tetapan planck dan kecepatan group dengan
nilai masing-masing 6,58 dan 0,87 (Manaf, 2014). Hanya saja pada perhitung-
an DOS untuk TBG pada energi rendah ini, digunakan faktor pengali yakni α
dimana α = ±99, 24 2v2
f /˜t⊥. Nilai ini merupakan faktor kesetaraan, agar nilai
yang diperoleh mendekati nilai yang diperoleh sama dengan nilai yang diperoleh
pada nilai eksperimen(Manaf,2014)(untuk untiran θ = 1, 16o
SVH berada pada
nilai 6 meV (Li dkk,2009)).
Gambar 3.5: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o
(b) grafik energi dis-
persi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o
berdasarkan persamaan
2.32
Sama seperti pada graphene monolayer, nilai DOS pada TBG bisa diper-
kirakan nilainya dari grafik energi dispersi (3.5 (a) dan (b)). Nilai pada grafik
energi dispersi bisa dijadikan acuan untuk mengambil rentang nilai E sebagai

42
Gambar 3.6: Posisi Saddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuk
sudut untiran θ = 1.16o
nilai pembuat nol yang akan digunakan pada perhitungan (nilai -0.008 eV sam-
pai 0.008 eV untuk sudut untiran θ = 1, 16o
). Selain itu dari nilai energi dispersi
juga bisa diprediksi posisi titik kritis(SVH) pada grafik DOS. Posisi SVH ju-
ga bisa diprediksi pada posisi saddle Point (gambar 3.6) dimana posisi saddle
Point merupakan posisi yang akan menjadi nilai puncak SVH pada grafik DOS
(gambar 3.7).
Untuk variasi parameter numerik dalam menghitung DOS diperoleh nilai
grafik terbaik untuk nilai Kx dan E yang paling besar (nilai partisi∆E dan
∆Kx yang paling kecil)(Gambar 3.7). Untuk nilai ralat juga diperoleh dengan
cara yang sama dengan nilai ralat pada graphene monolayer yakni sumber ralat
pembulatan, dimana nilainya berkisar ±0, 001.
Grafik DOS yang dihasilkan untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 16o
membentuk pola linear, yakni pada rentang -0,0022 eV sampai 0,0022 eV da-
ri titik Dirac (Dirac Point). Pola linear ini dapat dijelaskan karena adanya
keterlibatan Dirac Fermions yang sifat-sifat ini identik dengan graphene de-
ngan lembaran graphene. Pola linear ini juga bisa dijelaskan dengan persamaan
Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan seban-
ding dengan nilai (k).Dibandingkan dengan pola linear pada grafik DOS graphe-
ne monolayer yang berada pada rentang energi eV, pola linear yang terbentuk
pada grafik DOS TBG terbentuk pola linear yang lebih rendah karena berada
pada rentang energi meV. Sedangkan pola logaritmik berada pada rentang nilai
> 0,005 eV dan > 0,005 eV sampai titik kritis(SVH). Pola logaritmik ini bi-

43
Gambar 3.7: Beberapa grafik DOS TBG untuk sududt untiran θ =
1, 16o
(a) ∆Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (b) ∆Kx=0,00005 ∆E=0,00001
∆Ky=0,01 (c) ∆Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (d)Grafik DOS TBG un-
tuk sudut untiran θ = 1, 16o
dengan nilai ralat
sa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada posisi saddle
Point dimana jika mengacu pada persamaan D(E) = 1
4π3N
dl
E(k)
, dimana nilai
∆E(k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1
E(k
akan menghasilkan tak berhing-
ga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik
DOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisi SVH/titik kritis
yang menggambarkan keadaan elektron yang terdapat pada level energi tersebut
(Pada posisi flat atau posisi Saddle Point) pada energi dispersi.
untuk nilai SVH/titik kritis pada grafik DOS pada TBG, untuk sudut
untiran θ = 1.16o
berada pada nilai 6 meV dan −6 meV dari titik dirac, dengan
nilai DOS 1.5 1025
eV−1
m−2
. Nilai ini sama dengan nilai yang telah diteliti
sebelumnya baik secara analitik oleh Manaf(2014), dengan dimensi berorde 1025
,
dan secara eksperimen oleh Li dkk(2009). Sedangkan untuk nilai kecepatan fermi
(vf ) yang merupakan kecepatan elektron pada tiap level pada energi dispersi,
nilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m), diperoleh nilai m =

44
0,21 1025
eV−2
m−2
.
Untuk perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 79o
digunakan faktor faktor kesetaraan α = ±119, 6 2v2
f /˜t⊥. Untuk grafik DOS pa-
ling baik diperoleh pada variasi paramater nilai ∆Kx=0,001, ∆E=0,001, dan
∆Ky=0,001(Gambar 3.8(c)). Nilai ini sesuai dengan nilai perhitungan sebe-
lumnya dimana grafik yang dihasilkan akan semakin baik (halus) untuk variasi
parameter Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi ∆Kx dan ∆E semakin
kecil). Sedangkan untuk Untuk nilai ralat juga digunakan sumber ralat pe-
motongan dimana nilai untuk ralat pada TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o
diperoleh nilai ± 0, 002.
Gambar 3.8: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o
grafik energi dispersi
dengan sudut untiran θ = 1, 79o
pada saat ∆Kx=0
Pada grafik DOS yang diperoleh(gambar 3.10) diperoleh pola linear pada
rentang energi E>-3,6(10−2
)eV dan E>3,6(10−2
)eV, dari point dirac dan pola
logaritmik pada nilai rentang energi E<-3,6(10−2
)eV dan E>3.6(10−2
)eV sam-
pai nilai SVH/titik kritis. Pola linear ini juga bisa diprediksi dari persamaan
energi dispersi (gambar 3.8) dan terjadi akibat adanya keterlibatan dari massles
Dirac Fermion pada TBG yang identik dengan lembaran tunggal graphene se-
perti pada TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o
. pola linear juga bisa dijelaskan
dari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dimana m=0, dengan persama-
an Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan

45
Gambar 3.9: Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut
untiran θ = 1, 79o
sebanding dengan nilai (k). Sementara untuk pola logaritmik juga bisa dije-
laskan pada posisi flat atau posisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar
3.8 dan 3.9) yang menggambarkan kondisi elektron pada level energi tersebut.
Untuk Posisi SVH pada grafik DOS untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o
berada pada nilai -41 meV dan 41 meV dari point dirac dengan nilai DOS 2,8
1025
eV−1
m−2
, yang nilai ini juga bisa diprediksi grafik energi dan pada posisi
Saddle point(gambar 3.9). Nilai ini sama dengan nilai yang telah diteliti sebe-
lumnya oleh Manaf (2014), dengan dimensi berorde 1025
, dan secara eksperimen
oleh Guohong Li dkk (2009). Sedangkan untuk pola kecepatan fermi (vf ) yang
nilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m) diperoleh nilai m= 0,8
1025
eV−1
m−2
.
Sama seperti perhitungan DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o
dan θ = 1, 79o
, perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 3, 48o
berdasarkan pada energi dispersi dispsersi (E(k)) dimana untuk sudut untiran
θ = 1, 79o
digunakan nilai faktor kesetaraan α = ±218, 3 2v2
f /˜t⊥ (Manaf,2014).
Dari variasi variasi parameter numerik yang diberikan memberikan hasil gra-
fik yang terbaik untuk parameter Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi

46
Gambar 3.10: Beberapa grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o
(a)
∆Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆Ky=0,001 (b) ∆Kx=0,0005 ∆E=0,0005 ∆Ky=0,001
(c) ∆Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (d)Grafik DOS Monolayer dengan ni-
lai ralat
∆Kx dan ∆E semakin kecil) yakni ∆Kx=0,0005, ∆E=0,0005, dan ∆Ky=0,001
(Gambar 3.11(c)). Sedangkan untuk nilai ralat menggunakan sumber ralat pem-
bulatan diperoleh nilai ralat ±0, 003.
Dari grafik DOS yang diperoleh terbentuk pola linear pada pola linear
pada rentang energi E>-0,19 eV dan E>0,19 eV, dari point dirac, yang bisa di-
jelaskan dari energi dispersi akibat keterlibatan Massless Dirac fermion yang
identik dengan graphene monolayer dan persamaan persamaan Dirac untuk
Dirac Fermion dimana massa = 0. Sedangkan untuk pola logaritmik yang ber-
ada pada nilai rentang energi E<-0,19 eV dan E>0,19 eV sampai nilai SVH/titik
kritis Untuk nilai SVH dari poin dirac yang bisa dijelaskan pada posisi flat atau
posisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar 3.11) sama seperti TBG untuk
sudut untiran θ = 1, 16o
dan θ = 1, 79o
.
Untuk posisi SVH untuk sudut untiran θ = 3, 48o
pada grafik DOS juga
bisa diprediksi dari grafik energi dan pada posisi Saddle Point pada energi

47
Gambar 3.11: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1.79o
grafik 3 Dimensi
dan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 3.48o
(b) grafik
energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 3.48o
(c)Posisi Saddle
Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o
dispersi(Gambar 3.11), yakni pada pada nilai -215 meV dan 215 meV dengan
nilai DOS 11 1025
eV−1
m−2
. Posisi SVH pada DOS ini sama dengan posisi DOS
yang telah diteliti sebelumnya oleh (Li dkk,2009) dan Manaf (2014). Sedangkan
untuk kecepatan fermi (vf ) pada grafik DOS yang direpresentasikan dengan nilai
gradien (m) diperoleh nilai m= 4,3 1025
eV−2
m−2
.

48
Gambar 3.12: Beberapa bentuk graﬁk DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0,05,
∆Ky=0,05,∆E(k)=0,1(b) ∆Kx=0,01, ∆Kx=0,1,∆E(k)=0,01 dan (c)
∆Kx=0,01,∆Ky=0,01,∆E(k)=0,01 dan (d) Graﬁk DOS Monolayer dengan
nilai galat 0,18
3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilai
DOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1, 16o
, θ = 1, 79o
, dan
θ = 3, 48o
Gambar 3.13 menunjukan perbandingan nilai DOS diantara ketiga variasi
sudut untiran θ. Untuk perbandingan nilai DOS diantara ketiga sudut untiran,
diperoleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025
eV−1
m−2
, 2,8 1025
eV−1
m−2
,
dan 11 1025
eV−1
m−2
dimana nilai ini bernilai sama dengan nilai DOS untuk
ketiga sudut untiran 1, 16o
,1, 79o
, dan 3, 48o
yang diteliti secara analitik oleh
manaf(2014)dengan dimensi berorde 1025
.
Sedangkan untuk nilai ralat yang menggunakan sumber ralat pembulatan
(Selisih antara nilai tebakan awal dengan nilai-nilai akar sebenarnya) diperoleh
nilai ralat ±0, 01, 0, 002 dan 0, 003(nilai pembulatan) untuk masing-masing su-
dut untiran θ 1, 16o
, 1, 79o
, dan 3, 48o
. Nilai ini menunjukan bahwa semakin

49
Gambar 3.13: (a,b, dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masing
untiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah) Grafik DOS
dari variasi ketiga sudut untiran θ 1, 16o
, 1, 79o
, dan 3, 48o
yang diplot dalam
satu grafik
besar nilai sudut untiran maka nilai ralat juga akan semakin besar. Selain
perbandingan sudut untiran θ, hal ini juga bisa dijelaskan dengan nilai fak-
tor kesetaraan yang diberikan untuk masing masing sudut untiran α = ±99, 24,
α = ±119, 6 2v2
f /˜t⊥, dan α = ±218, 3 2v2
f /˜t⊥. Jika mengacu pada penghitungan
nilai ralat dengan pendekatan nilai turunan, faktor kesetaraan akan memberikan
hasil turunan yang lebih besar sehingga akan memberikan nilai ralat yang lebih
besar seperti nilai kesetaraan persamaan energi dispersi pada masing-masing
sudut untiran
Pada grafik DOS yang dihasilkan diperoleh nilai SVH/titik kritis untuk
masing masing uniran θ yakni,± 6 meV, ±41 meV, dan ±215 meV dari titik

50
dirac. Nilai ini sesuai dengan fakta eksperimen yang ada, dimana semakin besar
sudut untiran yang diberikan untuk TBG maka akan terjadi pergeseran Dirac
Cones yang lebih besar dari titik dirac (Dirac point)(Li dkk,2009; Raza,2012;
Manaf,2014).
Selain itu dari grafik DOS yang dihasilkan bisa diperoleh informasi ten-
tang renormaliasi kecepatan fermi(vf ). Dari pola linear yang terbentuk pada
masing masing grafik DOS untuk masing masing untiran, bisa direpresentasikan
dengan nilai gradien (m) dari persamaan linear yang dibentuk. Nilai renorma-
lisasi kecepatan fermi ini bisa dijelaskan dengan hubungan antara nilai energi
dispersi dan k, yakni pada persamaan persamaan Dirac untuk Dirac Fermions,
dimana massa=0. Dari Persamaan Dirac diatas terlihat hubungan yang seban-
ding antara nilai E dan nilai k dimana hal ini bisa menjelaskan pola linear pada
grafik DOS yang diperoleh seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Untuk
nilainya tergantung pada sudut untiran yang diberikan. Nilai gradien(m) un-
tuk masing-masing sudut untiran yaitu 0,21 1025
eV−2
m−2
, 0,8 1025
eV−2
m−2
dan 4,3 1025
eV−2
m−2
. Nilai gradien (m) tersebut bisa merepresentasikan nilai
kecepatan fermi vf . Dengan adanya perubahan gradien untuk masing masing
sudut untiran yakni semakin besar nilai sudut untiran yang diberikan maka nilai
kecepatan fermi (vf ) yang direpresentasikan dengan nilai gradien (m). perubah-
an kecepatan tiap perubahan sudut untiran ini menjelaskan adanya perubahan
kecepatan fermi per sudut untiran yang disebut dengan renormalisasi kecepatan
fermi vf (Renormalisation Fermy V elocity).Nilai ini merupakan nilai represen-
tasi dari nilai representasi perubahan kecepatan antar fermi vf pada graphene
TBG yang menunjukan nilainya akan semakin besar jika sudut untiran (θ) se-
makin besar. Nilai ini juga bisa dicari dengan mencari nilai kesetaraan antara
gradien pada energi dispersi dengan gradien pada DOS. Nilai ini diausmsikan
bahwa antara nilai gradien pada pola linear pada energi dispersi dan gradien
pada pola linear pada DOS memuat informasi kecepatan fermi vf , hanya sa-
ja pada gradien DOS nilai gradien merupkan nilai representasi dari kecepatan
fermi dengan dimensi eV−2
m−2
sehingga dibutuhkan nilai kesetaraan dari gra-
dien energi dispersi dengan dimensi eV10−10
m untuk nilai kesetaraan gradien
(β) untuk masing masing sudut untiran 1, 16o
,1, 79o
, dan 3, 48o
diperoleh nilai
0,47 eV−3
m8
, 0,42 eV−3
m8
, dan 0,43 eV−3
m8
Nilai DOS pada posisi SVH, posisi SVH, dan nilai gradien pada pola
linear grafik DOS sebagai nilai representasi dari kecepatan fermi (vf ), nilai vek-

51
tor pergeseran ∆K dan besar faktor lompatan energi (tθ
) untuk masing-masing
sudut untiran 1, 16o
,1, 79o
, dan 3, 48o
diperlihatkan pada tabel 3.1.
Tabel 3.1: Perbandingan nilai DOS, posisis SVH, dan nilai gradien(m)sebagai
representasi nilai vf , nilai vektor pergeseran ∆K dan besar faktor lompatan
energi (tθ
) untuk masing-masing sudut untiran 1, 16o
,1, 79o
, dan 3, 48o
.
DOS Gradien Gradien Kece- faktor
Sudut pada SVH/ (m)DOS (m)Energi -patan ∆K lompatan
Untiran SVH titik (1025
eV−2
dispersi fermi (10−10
Energi
(θ) (1025
kritis m−2
) (eV (vf ) m) (to
)
eV−1
(meV) 10−10
m m/s (meV)
m−2
)
1, 16o
1,5 ± 6 0,21 0,75 0, 114 × 106
1,13 5,38
1, 79o
2,8 ± 41 0,8 1,9 0, 29 × 106
1,61 39,93
3, 48o
11 ± 215 4,3 10 1, 52 × 106
2,03 209,35
Faktor energi lompatan (tθ
) merupakan suatu tetapan yang menunjukan
besarnya energi yang dibutuhkan untuk elektron berpindah dari satu layer ke
layer yang lain, nilainya berdasarkan persamaan (2.46). Untuk masing-masing
sudut untiran 1, 16o
,1, 79o
, dan 3, 48o
diperoleh nilai parameter lompatan energi
5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV.
Gambar 3.14: Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilai
kecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang semakin besar

52
Nilai kecepatan fermi (vf ) akan berkaitan dengan nilai interaksi antar
elektron pada tiap layer dimana semakin kecil sudut untiran (θ) maka nilai in-
teraksinya akan semakin besar akibat nilai kerapatan yang semakin besar(Lihat
gambar 3.14 dimana visualisasi nilai interaksi anatr elektron akibat nilai kerapat-
an pada TBG dengan sudut untiran yang berbeada). Hal ini akan memberikan
pengaruh pada besar kecepatan fermi (vf ) pada masing-masing layer, dimana
pergerakan elektron akan lebih terbatas. Nilai ini bisa dilihat dari represen-
tasi dari besar gradien pada graﬁk DOS dimana nilainya akan semakin besar
sejalan dengan semakain besarnya sudut untiran. Perubahan nilai kecepatan
fermi fermi ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi dimana nilainya
juga berkaitan dengan nilai faktor lompatan energi yakni semakin besar sudut
untiran maka nilai faktor lompatan energi juga akan semakin besar. Hal ini bisa
dikaitkan dengan dengan interaksi antar atom pada layer yang semakin jauh,
akibatnya dibutuhkan energi yang semakin besar untuk berpindah yang nilai ini
bisa dilihat pada perubahan nilai gradien (m), Kecepatan fermi (vf ), dan Faktor
lompatan energi (tθ
) terhadap sudut untiran pada tabel (3.1).

BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
1. Metode Newton Raphson bisa digunakan sebagai salah satu metode untuk
menghitung nilai DOS berdasarkan persamaan Energi Dispersi E(k).Faktor
yang paling berpengaruh terhadap hasil grafik yang dihasilkan adalah pa-
rameter E dan K(x), dimana semakin besar nilainya (nilai partisi ∆E dan
∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akan semakin baik.
2. Pola linear yang terbentuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan ener-
gi dispersi dimana terbentuk garis linear disekitar tenaga nol. Nilai ini
terbentuk karena adanya keterlibatan Dirac Fermions yang memiliki dis-
persi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelati-
vistik sehingga membentuk pola linear. Pola linear ini juga bisa dijelaskan
dari persamaan energi Fermi (Fermy Energy),dimana berdasarkan per-
samaan persamaan Ef = hvf k dimana nilai energi akan sebanding dengan
nilai (k) dan energi fermi sehingga bisa menjelaskan pola linear. Sedangk-
an untuk pola logaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita
dispersi atau pada posisi saddle Point dimana jika mengacu pada per-
samaan D(E) = 1
4π3N
dl
E(k)
, dimana nilai ∆E(k)=0 maka nilai D(E)
dengan faktor 1
E(k)
akan menghasilkan tak berhingga sehingga nilainya
akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik DOS.
3. Nilai DOS pada posisi SVH yang diperoleh untuk masing masing untiran
θ 1, 16o, 1, 79, dan 3, 48 yakni 1,5 1025
eV−1
m−2
,2,8 1025
eV−1
m−2
,dan
11 1025
eV−1
m−2
dengan nilai titik kritis/SVH 6 meV dan −6 meV untuk
sudut untiran 41 meV dan −41 meV 215 meV dan −215 meV. Sedangkan
nilai gradien yang diperoleh dari aproksimasi pola linear untuk tinjauan
energi rendah (Low − Energy) sebagai representasi dari nilai kecepatan
fermi diperoleh nilai untuk masing-masing untiran θ = 1, 16o
,θ = 1, 79o
,
dan θ = 3, 48o
yakni, 0,21 1025
eV−2
m−2
, 0,8 1025
eV−1
m−2
, dan 4,3 1025
eV−1
m−2
serta nilai faktor lompatan (tθ
) untuk masing-masing untiran
yakni 5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV. Nilai ini berkaitan dengan
53

54
renormalisasi kecepatan fermi (vf ) yang berkaitan dengan adanya interak-
si antar elektron, dimana nilainya akan semakin besar untuk perubahan
sudut untiran (θ) yang semakin besar.
4.2 Saran
Pada Skripsi ini penulis menggunakan variabel bertingkat untuk nilai
masukan E sebagai level energi dan Kx sebagai nilai penjumlah, dimana perhi-
tungan yang dilakukan secara bertahap untuk tiap nilainya sehingga memerluk-
an waktu yang lama pada proses perhitungan. Untuk selanjutnya bisa dibuat
perhitungan yang lebih cepat yakni nilai E dan K(x) dibuat dalam bentuk perhi-
tungan luasan yakni berbentuk matriks sehingga perhitungan akan lebih cepat.
Kemudian untuk nilai turunan dari persamaan E(k) dilakukan pada worksheet
lain pada program perhitungan. Penulis belum bisa menemukan formulasi tu-
runan yang bisa diprogram langsung pada loop perhitungan. Sehingga untuk
kedepan program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson ini bi-
sa terus dikembangkan untuk menghasilkan nilai yang lebih akurat serta cepat
dalam proses perhitungannya.

DAFTAR PUSTAKA
Cocemasov, A. I., Denis L. N., and Balandin A. A., 2013,Phonon in Twisted
bilayer graphene, Rev. Phys. B., 88, 035428.
Desmukh, M. M., and Singh, V., 2011,Graphene-An Exciting Two-Dimensional
Material For Science and Technology, Resonance, 16, 238-253.
Geim, A. K., 2011,Nobel Lecture:Random walk to graphene, Rev. Mod. Phys.,
83, 851-852.
He, W. ,Chu W. dan He, L. ,2013,Tunneling a Twisted Graphene Bilayer,Phys.
Rev. Lett. 111, 066803.
Luican, A. ,Li G., Reina, A., Kong, J., Nair, R.R., Novoselov, K. S., Geim,
A. K., and Andrei, Y. E., 2011,Single-Layer Behavior and Its breakdown in
Twisted Graphene layers, Phys. Rev. Lett., 106, 126802.
Li, G. A., Lopez, D. S., J. M. B. Peres, Neto, Castro A. H., Reina, A. Kong
J., and Andrei, Y. E., 2010,Observation of Van Hove Singularity in Twisted
Graphene Layers, Nature phys. 6, 109-113.
Manaf, M. N., Thesis S2, 2014,Kemungkinan Watak ketidakstabilan Superkon-
diktivitas Antar Lembaran Graphene dengan Untiran, Jurusan Fisika UGM,
Yogyakarta.
Manaf, M. N., Santoso, I., and Hermanto, A., 2014,Density of states of Twis-
ted bilayer graphene at Low Energy, Procedding of Confeerence on Phys(ICP
2014), 19-21.
Moon, P. and Koshino, M., 2012,Energy Spectrum and Quantum Hall Eﬀects in
Twisted Bilayer Graphene, Phys. Rev. B. 85, 195458
Neto, Castro, A. H. Guinea, F., N. M. R. Novoselov, K.S. and Geim, A. K.,
2009,The Electronic Properties of Graphene, Rev. Mod. Phys., 81, 109-162.
Novoselov, K. S., 2011,Nobel Lecture:Graphene: Materials in the Flatland, Rev.
Mod. Phys. 83, 837-838.
55

56
Novoselov, K. S., Jiang, D., Schedin, F., Booth, T. J., Khotkevich, V. V., Mo-
rozov, S. V., and Geim, A. K., 2005,Two Dimensional Atomic Crystals, Proc.
Natl. Acad. Sci. USA. 102, 10451-10453.
Peres, N. M., 2009,Graphene: New Physics in Two Dimension, Europhysics
News, 40/3, doi: 10. 1051/epn/2009501, 17-20.
Raza, H., (Editor), 2012,Graphene Nanoelectronics ; Metrology, Synthe-
sis,Properties and Applications, Springer-Verlag, New York.
Santos, Lopes Dos, J. M. B. Peres, and Neto,Castro A. H. ,2007, Grapehene
Bilayer with a twist:Electronic Structure, Phys. Rev. B. 99, 256802.
Tabert, C. J., (Thesis), 2012,Optical Properties of AA-Stacked Bilayer Graphe-
ne, University of Guelph, Ontorio, Canada.
Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Dynamical Conductivity of AA-Stacked
Bilayer Graphene, Phys. Rev. B, 86, 075439.
Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Optical Conductivity of Twisted bilayer
Graphene, Phys. Rev. B, 87, 121402.
Tiryaki, A. A. S., (Thesis), 2013,The Electronic Band p Structure of Graphene
and Carbon Nanotubes, An-Najjah National University, Nablus, Palestine.
Tresnaningsih, Rizky, 2010,Modul Mata Kuliah Analisis Numerik, FMIPA, IKIP
PGRI. Madiun.
Pang, Tao, 2006,An Introduction Computational Physiscs, Second Edition, Cam-
bridgr University Press, UK.
Pujiyanta, Ardi, 2007 Komputasi Numerik dengan Matlab, Graha Ilmu, Yogya-
karta
Quinn, John. J. ,Kyung, Soo Yi, 2007,Solid State Physics, principle and Modern
Applications, Springer, Berlin, Jerman.
Wong, H. S. P., and Akinwande, D., 2011,Carbon Nanotube and Graphene Device
Physics, Cambridge University Press, UK.

57
Yan, Wei, Mengxi L., Rui-Fen, D., Lan, Meng, Lei, Feng, Zhao-Dong, C., Yan-
feng, Z., Zhongfan, Liu, ia-Cai, N., and Lin, He ,2011,Carbon Nanotube and
Graphene Device Physics, Cambridge University Press, UK.
Yuan, Shengjun ,Hans, De R. ,and Mikhail, I. K., 2011,Modeling electronic stru-
cture and transport properties of graphene with resonant scattering centers,
Phys. Rev. B, 82, 115448.

LAMPIRAN A
Lampiran Perhitungan dan Syntac Menggunakan Matlab
1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K,
Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom-
patan energi tθ
1.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gradien
pada graﬁk energi dispersi (md) dan gradien pada DOS (mD)
Faktor kesetaraan (β) untuk membandingkan gradien pada pola linear
pada energi dispersi (md) dan pola linear pada DOS (mD).
Gambar 1.1: Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudut
untiran 1.16o
,1.79o
, dan 3.48o
mD = βmd, (1.1)
dengan nilai md berdsarkan aprokmasi linear pada graﬁk energi dispersi
untuk TBG (gambar 1.1) diperoleh nilai md:
md =
0, 3 − 0
2, 1 − 1.7
= 0, 75eV 10−10
m (1.2)
md =
1, 5 − 0
3, 3 − 2, 5
= 1, 9eV 10−10
m (1.3)
md =
10 − 0
6, 5 − 5, 5
= 10eV 10−10
m. (1.4)
58

59
Untuk nilai kesetaraan (β) diperoleh persamaan
β = mD/md (1.5)
jika nilai (md) dan (mD) untuk masing-masing masing sudut untiran
θ = 1, 16o
,θ = 1, 79o
, dan θ = 1, 48o
, maka nilai kesetaraan gradien (β) untuk
masing-masing sudut untiran :
untuk sudut untiran θ = 1, 16o
dengan mD = 0,21 1025
eV−1
m−2
dan md
= 0,75 eV 10−10
, diperoleh nilai kesetaraan β :
β =
0, 21 × 1025
eV −1
m−2
0, 75eV × 10−10
= 0, 47eV −3
m8
(1.6)
Untuk sudut untiran θ = 1, 79o
dengan mD = 0,8 1025
eV−1
m−2
dan md
= 1,9 eV 10−10
β =
0, 8 × 1025
eV −1
m−2
1, 9eV × 10−10
= 0, 47eV −3
m8
, dan (1.7)
untuk sudut untiran θ = 3, 48o
dengan mD = 4,3 1025
eV−1
m−2
dan md
= 10 eV 10−10
β =
4, 3 × 1025
eV −1
m−2
10eV × 10−10
= 0, 47eV −3
m8
(1.8)
1.1.2 Perhitungan nilai Vektor Pergeseran ∆K untuk sudut untiran
θ = 1, 16o
,θ = 1, 79o
, dan θ = 1, 48o
Nilai vektor pergeseran ∆K didasarkan pada persamaan (2.23). Nilai
vektor pergeseran ∆K untuk masing-masing sudut untiran θ = 1.16o
,θ = 1.79o
,
dan θ = 1.48o
.
∆K =
8π
3.0.246nm
sin(1.16o
/2) = 1.13 (1.9)
∆K =
8π
3.0.246nm
sin(1.79o
/2) = 1.61 (1.10)
∆K =
8π
3.0.246nm
sin(3.48o
/2) = 2.03 (1.11)

Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer

Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (6)

Similar to Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer

Similar to Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer