Bdhsg nguyen ly dirichle

Tài li u b i dư ng h c sinh gi i THCS http://violet.vn/honghoi Trang 19

3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lý Dirichlet còn g i là "nguyên t c nh t th vào l ng " ho c "nguyên t c x p đ v t vào
ngăn kéo" ho c "nguyên t c chu ng b câu". N i dung c a nguyên lý này h t s c đơn gi n và d
hi u, nhưng l i có tác d ng r t l n trong gi i toán. Nhi u khi có nh ng bài toán, ngư i ta đã dùng
r t nhi u phương pháp toán h c đ gi i mà v n chưa đi đ n k t qu , nhưng nh nguyên lý Đirichlê
mà bài toán tr nên d dàng gi i quy t.

Nguyên t c Đirichlê đư c phát bi u dư i d ng bài toán sau đây:

1. N u đem nh t m con th vào n chi c l ng, v i m > n (nghĩa là s th nhi u hơn s l ng)
thì ít nh t cũng có m t l ng nh t không ít hơn 2 th .

2. N u đem x p m đ v t vào n ô ngăn kéo, v i m > n (nghĩa là s đ v t nhi u hơn s ngăn
kéo), thì ít nh t cũng ph i có m t ô ngăn kéo ch a không ít hơn 2 đ v t.
Vi c ch ng minh các kh ng đ nh trên khá d dàng b ng phương pháp ph n ch ng. Nguyên lí
Dirichlet là m t đ nh lí v t p h p h u h n. Phát bi u chính xác nguyên lí này như sau:
Cho A và B là 2 t p không r ng có s ph n t h u h n mà s ph n t A l n hơn s lư ng ph n
t c a B, n u v i quy t c nào đ y, m i ph n t c a A tương ng v i 1 ph n t c a B thì t n t i 2
ph n t khác nhau c a A mà chúng tương ng v i cùng 1 ph n t c a B.
M r ng nguyên lí Dirichlet
Cho A là t p h u h n nh ng ph n t , Kí hi u |A| là s lư ng các ph n t thu c A. Nguyên lý
Dirichlet có th phát bi u như sau: N u A và B là nh ng t p h p h u h n và |A| > k|B| đây k là
1 s t nhiên nào đó và n u m i ph n t c a A cho tương ng v i 1 ph n t nào đó c a B thì t n t
i ít nh t k + 1 ph n t c a A mà chúng tương ng v i cùng m t ph n t c a B.
Th c hành: Đ s d ng nguyên lý Dirichlet ta ph i làm xu t hi n tình hu ng nh t "th " vào
"chu ng" th a mãn các đi u ki n:
- S "th " ph i nhi u hơn s "chu ng".
- "Th " ph i đư c nh t h t vào các "chu ng", nhưng không b t bu c "chu ng" nào cũng ph i
có "th "
- Thư ng phương pháp Dirichlet thư ng đi kèm v i phương pháp ph n ch ng.
- Có nhi u bài t p có k t lu n gi ng như k t lu n c a nguyên lý Dirichlet tuy nhiên trong l i
gi i l i không dùng dùng nó.

Dư i đây là m t s ví d áp d ng.
Bài 3.1. Ch ng minh r ng trong s 5 ngư i tùy ý, bao gi cũng có hai ngư i có cùng s ngư i
quen nhau.

Gi i

Ta chia 5 ngư i thành i nhóm, 0 ≤ i ≤ 4, đây i bi u th là s ngư i quen nhau. Khi đó x y ra
hai trư ng h p:
• Trư ng h p 1: Có m t ngư i không quen ai h t, khi đó thì 0 ≤ i ≤ 3. Theo nguyên lý
Dirichlet t n t i nhóm có ít nh t hai ngư i quen nhau.

• Trư ng h p 2: Ai cũng có ngư i quen, khi đó 0 ≤ i ≤ 4. Theo nguyên lý Dirichlet t n t i
nhóm có ít nh t hai ngư i quen nhau.


Luy n t p:
1. Ch ng minh r ng trong s n ngư i (n là s nguyên dương l n hơn b ng 2), bao gi cũng có hai
ngư i có s ngư i quen b ng nhau.

Bài 3.2. Gi s trong m t nhóm 6 ngư i mà m i c p b t kỳ thì ho c là b n c a nhau ho c là thù
l n nhau. Ch ng t r ng trong nhóm trên có 3 ngư i là b n l n nhau ho c có 3 ngư i là k thù
l n nhau.

Gi i

G i A m t trong 6 ngư i trên. Theo nguyên lý Dirichlet thì trong s 5 ngư i còn l i c a nhóm
ho c là có ít nh t 3 ngư i là b n c a A ho c có ít nh t 3 ngư i là k thù c a A.
Trong trư ng h p đ u ta g i B, C, D là b n c a A. N u trong 3 ngư i này có 2 ngư i là b n
thì h cùng v i A l p thành m t b 3 ngư i b n c a nhau ( không ai là k thù c a ai c ), ngư c
l i, t c là n u trong 3 ngư i B, C, D không có ai là b n c a ai thì ch ng t h là b ba ngư i thù
l n nhau.
Tương t như trên ta có th ch ng minh trong trư ng h p có ít nh t 3 ngư i là k thù c a A.

Bài t p dư i đây có hình th c phát bi u khác, tuy nhiên l p lu n v n không thay đ i.

Bài 3.3. Có 6 đ i bóng thi đ u v i nhau (m i đ i ph i đ u 1 tr n v i 5 đ i khác). Ch ng minh
r ng vào b t c lúc nào cũng có 3 đ i trong đó t ng c p đã đ u v i nhau ho c chưa đ u v i nhau
tr n nào.

Gi i

Gi s 6 đ i bóng đó là A, B, C, D, E, F . Xét đ i A, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra: A ph i đ u
ho c không đ u v i ít nh t 3 đ i khác. Không m t tính t ng quát, gi s A đã đ u v i B, C, D.
N u B, C, D t ng c p chưa đ u v i nhau thì bài toán đư c ch ng minh.
N u B, C, D có 2 đ i đã đ u v i nhau, ví d B và C thì 3 đ i A, C, D t ng c p đã đ u v i nhau.
Như v y b t c lúc nào cũng có 3 đ i trong đó t ng c p đã đ u v i nhau ho c chưa đ u v i nhau
tr n nào.
Luy n t p:
1. Trong m t gi i vô đ ch bóng đá có 11 đ i tham gia. Hai đ i b t kì ph i thi đ u v i nhau cùng
m t tr n. Ch ng minh r ng t i m t th i đi m c a gi i luôn có hai đ i có cùng s tr n đ u b ng
nhau.
2. M t nhóm có 10 ngư i, trong đó 2 ngư i b t kì là b n c a nhau ho c là thù l n nhau. Ch ng
minh r ng trong nhóm trên luôn có 7 ngư i mà ho c là 3 ngư i là b n c a nhau và 4 ngư i là k
thù l n nhau ho c là 3 ngư i là k thù l n nhau và 4 ngư i là b n c a nhau.
3. Trên m t ph ng cho 6 đi m, trong đó không có ba đi m nào th ng hàng. Các đi m đã cho đư c
n i v i nhau b i các đo n th ng, m i đo n th ng đư c tô b i m t trong hai màu: xanh ho c đ .
Ch ng minh r ng t n t i 3 đi m trong s 6 đi m đã cho t o thành m t tam giác có 3 c nh cùng
màu.
4. Trên m t ph ng cho 17 đi m, trong đó không có ba đi m nào th ng hàng. Các đi m đã cho đư c
n i v i nhau b i các đo n th ng, m i đo n th ng đư c tô b i m t trong ba màu: xanh, đ , vàng.
Ch ng minh r ng t n t i 3 đi m trong s 17 đi m đã cho t o thành m t tam giác có 3 c nh cùng
màu.


Bài 3.4. Trong hình vuông có c nh b ng 1 đ t 51 đi m b t kì phân bi t. Ch ng minh r ng có ít
1
nh t ba trong s 51 đi m đó n m trong m t hình tròn bán kính . 1
7

Gi i
1
Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông con b ng nhau có c nh b ng . Theo nguyên lý
5
Dirichlet, t n t i ít nh t m t hình vuông (α) ch a ít nh t 3 trong s 51 đi m trên. Đư ng tròn
1 1
ngo i ti p (α) có bán kính √ < . V y ba đi m nói trên n m trong hình tròn đ ng tâm v i
5 2 7
1
đư ng tròn ngo i ti p (α) có bán kính .
7
Luy n t p:
1. M t hình l p phương có c nh b ng 15 ch a 11000 đi m.Ch ng minh r ng có m t hình c u bán
kính đơn v ch a ít nh t 6 đi m trong s 11000 đi m đã cho.
2. Cho 9 đi m phân bi t n m trong hình vuông đơn v . Ch ng minh r ng tìm đư c 3 đi m l p
1
thành m t tam giác có di n tích nh hơn hay b ng .
8

Bài 3.5. Trong hình tròn có di n tích b ng 8 đ t 17 đi m b t kì phân bi t. Ch ng minh r ng có
ít nh t ba đi m t o thành m t tam giác có di n tích nh hơn 1.

Gi i

Chia hình tròn thành 8 hình qu t b ng nhau, m i hình qu t có di n tích b ng 1. Theo nguyên lý
Dirichlet t n t i ít nh t m t hình qu t (α) ch a ít nh t 3 trong s 17 đi m trên. Tam giác có ba
đ nh là ba đi m đó n m tr n trong hình tròn (α) nên có di n tích nh hơn di n tích hình qu t,
t c là bé hơn 1.
Luy n t p:
1. Trong m t hình tròn có di n tích S l y 35 đi m, trong đó không có ba đi m nào th ng hàng.
1
Ch ng minh r ng t n t i ba đi m là các đ nh c a tam giác có di n tích nh hơn S.
17
2. Trong m t hình tròn có di n tích S l y 2n + 1 đi m(n ≥ 1, n ∈ N). Trong đó không có 3 đi m
nào th ng hàng. Ch ng minh r ng t n t i ba đi m là các đ nh c a m t tam giác có di n tích nh
1
hơn S.
n
Bài 3.6. Trong hình tròn (O; 2.5) cho 10 đi m b t kỳ. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m trong
s 10 đi m đã cho mà có kho ng cách nh hơn 2.

Gi i

Chia hình tròn thành 9 ph n như hình v , đư ng tròn bên trong có bán kính 1. Theo nguyên lý
Dirichlet thì có m t ph n ch a ít nh t hai đi m, gi s là A và B, trong 10 đi m đã cho:

• N u hai đi m đó n m trong hình tròn nh thì ta có đi u ph i ch ng minh.
1
Bài toán kh ng đ nh ít nh t 3 đi m, thì trung bình 2 con n m trong m t hình vuông(vì hình tròn s l y ngo i
ti p hình vuông), v y chia 51−1 = 25 hình vuông
2


• N u hai đi m đó n m trong các hình thang cong còn l i. Khi đó xét hình thang M N P Q có:
QP < 1; QM = 1.5; P N = 1.5; M N < 2; QN < 2; P M < 2. Do đó kho ng cách gi a hai
đi m b t kỳ trong M N P Q đ u nh hơn 2. V y

– N u A, B n m trong hình thang M N P Q thì ta có đi u ph i ch ng minh.
– N u A, B không n m hoàn toàn trong hình thang thì l y trên đo n OM đi m A sao
cho OA = OA, l y trên đo n ON đi m B sao cho OB = OB.
Ta có 
AOB ≤ A OB

OA = OA ⇒ AB ≤ A B < 2.

OB = OB


V y trong m i trư ng h p thì AB < 2

Luy n t p:
1. Bên trong m t tam giác đ u ABC có c nh b ng 6cm, cho 13 đi m phân bi t. Ch ng minh r ng
√
t n t i hai đi m mà kho ng cách gi a chúng nh hơn 3cm.
Hư ng d n: Chia tam giác đ u theo hình dư i đây

2. Trong hình ch nh t 3 × 4 có 6 đi m. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m A, B trong s 6 đi m
√
trên mà kho ng cách gi a chúng không vư t quá 5.
Hư ng d n: Chia hình ch nh t theo hình dư i đây 3. Bên trong đư ng tròn bán kính 5 cho 7
đi m. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 5.
Hư ng d n: Chia đư ng tròn thành 6 hình qu t b ng nhau.
4. Bên trong đư ng tròn bán kính 5 cho 6 đi m. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng


cách nh hơn 5.
Hư ng d n: Chia đư ng tròn thành 6 hình qu t b ng nhau b i các bán kính đi qua các đi m(xét
trư ng h p có đi m là tâm, hai đi m cùng m t bán kính).
5. Bên trong hình tròn bánh kính 5 cho 13 đi m. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng
cách nh hơn 4.
Hư ng d n: Dùng ph n ch ng(b ng cách v 13 đư ng tròn bán kính 2 tâm là các đi m đã cho thì
13 đư ng tròn này n m ngoài nhau ho c ti p xúc ngoài v i nhau nhưng đ u n m trong đư ng tròn
tâm O bán kính b ng 5+2=7. Tính t ng di n tích c a các đư ng tròn và di n tích đư ng tròn
l n.)
6. Bên trong đư ng tròn bán kính 5 cho 10 đi m. Ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng
cách nh hơn 4.
Hư ng d n: Chia đư ng tròn b i m t đư ng tròn nh bán kính 2 r i chia hình vành khăn thành
8 mi n b ng nhau.
7. Bên trong đư ng tròn bán kính 6,

a) Cho 5 đi m, ch ng minh r ng t i t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 9.

b) Cho 4 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 9.

c) Cho 17 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 4.

8. Bên trong hình ch nh t kích thư c 3 × 4,

a) Cho 7 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 2,24.

b) Cho 6 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách nh hơn 2.24.

c) Cho 5 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách không quá 2.5.
1
d) Cho 4 đi m, ch ng minh r ng t n t i hai đi m có kho ng cách không quá 3 .
3
Bài 3.7. Cho 69 s nguyên dương phân bi t không vư t quá 100. Ch ng minh r ng có th ch n
ra đư c 4 s a, b, c, d sao cho a < b < c và a + b + c = d

Gi i

Gi s các s là 1 ≤ a1 < a2 < . . . < a69 ≤ 100. Khi đó a1 ≤ 32. Xét hai dãy s sau:

1 < a1 + a3 < a1 + a4 < . . . < a1 + a69 ≤ 132
1 < a3 − a2 < a4 − a2 < . . . < a69 − a2 ≤ 132


Hai dãy trên có 134 s h ng trong đo n [1;132], suy ra có hai s b ng nhau thu c v hai dãy trên.
T đó ta có đi u ph i ch ng minh. 2
Luy n t p
1. Ch ng minh r ng t t p h p tuỳ ý g m n s t nhiên luôn tách ra đư c m t t p h p con (khác
r ng ) ch a các s mà t ng c a chúng chia h t cho n.
Hư ng d n: Ph n ch ng, gi s t n t i n s t nhiên a1 , a2 , . . . , an mà không th a mãn kh ng đ nh
trên. Xây d ng n t ng như dư i đây

S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 ,
············ ,
Sn = a1 + · · · + an .

Sau đó xét s dư khi chia cho n.
2. Cho t p X = {1, 2, . . . , 2009}. Ch ng minh r ng trong s 1006 ph n t b t kỳ c a X luôn có
hai ph n t có t ng b ng 2010.
Hư ng d n: Chia t p X thành 1005 c p

(1, 2009), (2, 2008), . . . , (1005, 1005).

3. Cho t p X = {1, 2, . . . , 2010}. Ch ng minh r ng trong s 1006 ph n t b t kỳ c a X luôn có
hai ph n t nguyên t cùng nhau.
Hư ng d n: Chia t p X thành 1005 c p

(1, 2), (3, 4), . . . , (2009, 2010).

4. Ch ng minh r ng trong n + 1 s b t kỳ thu c t p h p {1, 2, . . . , 2n} luôn ch n đư c hai s mà
s này là b i c a s kia.
Hư ng d n: Vi t n + 1 s đã cho dư i d ng

a1 = 2k1 b1 , . . . , an+1 = 2kn +1 bn+1 ,

v i 1 ≤ b1 , . . . , bn+1 ≤ 2n − 1 là các s l nên có hai s trùng nhau.
5. Ch ng minh r ng trong 39 s t nhiên liên ti p b t kì luôn có ít nh t m t s có t ng các ch
s chia h t cho 11.
Hư ng d n: Xét 20 s h ng đ u tiên, s có hai s có t n cùng là s 0, và m t trong hai s đó có
hàng ch c khác 9. G i s đó là N . Xét 11 s thu c 39 s đã cho là

N, N + 1, N + 2, . . . , N + 9, N + 19,

r i xét dãy mà các s h ng là t ng các ch s c a dãy trên.
6. Xét 100 s nguyên dương a1 , a2 , . . . , a100 , ai ≤ 100 v i i = 1, 2, . . . , 100 và a1 +a2 +· · ·+a100 = 200.
Ch ng minh r ng trong 100 s đó luôn t n t i m t vài s có t ng b ng 100.
Hư ng d n: N u ai = aj v i m i i = j thì bài toán đúng. N u t n t i hai s khác nhau, không
m t tính t ng quát có th gi s a1 =a2 . Khi đó, xét 100 s h ng

a1 , a2 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , . . . , a1 + a2 + · · · + a99 .
2
Vi c nghĩ ra hai dãy như trên xu t phát t ph n k t lu n c a bài toán a + b + c = d ⇒ d − a = b + c, nên nghĩ
đ n vi c thi t l p m t dãy t ng, m t dãy hi u, n u l p t ng hai s b t kỳ thì không ki m soát đư c mi n giá tr c a
t ng. Nên ph i thi t l p t ng v i a1 và hi u v i a2


7. Ch ng minh r ng có th tìm đư c s có d ng 19791979 . . . 197900 . . . 0 chia h t cho 2000.
Hư ng d n: Xét dãy s
1979, 19791979, . . . , 19791979 . . . 1979 .
2001 c p 1979

8. Cho t p X = {1, 2, . . . , 2010}. Ch ng minh r ng trong s 1006 ph n t c a X luôn có hai ph n
t a, b mà a − b = 2.
9. Ch ng minh r ng t 52 s t nhiên b t kì, luôn tìm đư c hai s sao cho ho c là t ng c a chúng
ho c hi u c a chúng chia h t cho 100. K t lu n còn đúng không v i 51 s ?
10. Ch ng minh r ng t 12 s t nhiên b t kì luôn chon đư c hai s có hi u chia h t cho 11.
11. Cho n > 1 và n + 2 s nguyên dương
1 ≤ a1 < a2 < . . . < an+2 ≤ 3n.
Ch ng minh r ng t n t i hai s ai và aj sao cho n < ai − aj < 2n.
Hư ng d n: Ta có th gi s an+2 = 3n(n u không thì t nh ti n đ u t t c các ph n t ). N u t n
t i ai mà n < ai < 2n thì n < an+2 − ai < 2n. N u không t n t i, thì xét n + 1 c p
(1, 2n), (2, 2n + 1), . . . , (n, 3n − 1).
12. Ch ng minh r ng trong 11 s t nhiên tùy ý luôn có th ch n ra hai s có hi u bình phương
chia h t cho 20.
Bài 3.8. Cho 7 s th c b t kì. Ch ng minh r ng gi a chúng có th ch n đư c 2 s , ch ng h n x
và y sao cho √
x−y 3
0≤ ≤
1 + xy 3
Gi i
Các s đã cho ký hi u là x1 , x2 , . . . , x7 . Bi u di n các s đó dư i d ng xi = tan αi , đây αi là m t
s trong kho ng − π , π , i = 1, . . . , 7. Chúng ta chia đo n này ra thành 6 đo n nh có đ dài
2 2
π
b ng nhau, nghĩa là có đ dài . D dàng th y r ng có ít nh t hai s trong b y s α1 , . . . , α7 cùng
6
n m trong m t đo n con nào đó. Ta ký hi u hai s đó là αi , αj thì t đó suy ra 0 ≤ αi − αj ≤ π . 6
Suy ra: √
tan α1 − tan αj xi − xj π 3
0 ≤ tan(αi − αj ) = = ≤ tan = .
1 + tan αi tan αj 1 + xi xj 6 3
Luy n t p:
1. Cho t p X = {1, 2, 3, . . . , 81}. Ch ng minh r ng trong 3 ph n t tùy ý c a X luôn có hai ph n
t a, b sao cho √ √ 4
0 < 4 a − b ≤ 1.
√
Hư ng d n: Xét x1 , x2 , x3 c a X. Đ t ci = 4 xi , i = 1, 2, 3 thì 1 ≤ ci ≤ 3. Chia đo n [1, 3] thành
hai đo n [1, 2] và [2, 3].
2. Ch ng minh r ng m i b g m 11 s th c khác nhau trong đo n [1;1000] có th ch n đư c hai
√
s x =y th a mãn 0 < x − y < 1 + 3 3 xy.
√
Hư ng d n: V i x ∈ [1, 1000] thì 3 x ∈ [1, 10], chia đo n này thành 10 đo n [1, 2], [2, 3], . . . , [9, 10]
thì t 11 s s có hai s thu c m t đo n, g i là x > y, và 0 < x − y < 1. Lưu ý
√ √ √ √
3 √ √ √
x − y − 1 − 3 3 xy = 3 x − 3 y − 1 x2 + 3 y 2 + 1 − 3 x − 3 y − 3 xy .


3. Ch ng minh r ng trong 9 s th c phân bi t b t kỳ, luôn t n t i hai s a và b sao chon
a−b √
0< √ < 2 − 1.
1 + ab

4. Cho b n s b t kỳ, ch ng minh r ng có 2 trong s 4 s đó, ch ng h n x,y th a mãn b t đ ng
th c √
x−y
0≤ ≤ 3.
2 + x + y + xy
Hư ng d n: S d ng ví d 8.
5. Cho các s th c dương x, y, z th a mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Ch ng minh r ng xy + yz + zx ≥
x + y + z.
Hư ng d n. Do có ba s x, y, z nên có ít nh t hai s ≥ 1 ho c hai s ≤ 1. Do tính đ i x ng c a
b t đ ng th c, ta có th gi s hai s đó là x, y. Th
x+y+1
z=
4xy − 1

t gi thi t vào k t lu n ta đư c
x+y+1
z(x + y − 1) ≥ x + y − xy ⇔ (x + y − 1) ≥ x + y − xy.
4xy − 1

Khi đó v trái ≥ 1, còn v ph i ≤ 1.
6. Cho a1 , a2 , . . . , a7 , b1 , b2 , . . . , b7 > 0 th a mãn ai + bi ≤ 2, ∀i = 1, 7. Ch ng minh r ng t n t i
i =j sao cho
|ai − aj | + |bi − bj | ≤ 1.
7. Ch ng minh r ng trong 4 s th c dương không nh hơn 1, luôn có hai s a, b sao chon
√
(a2 − 1)(b2 − 1) 3
≥ .
ab 2
Bài 3.9. M t h i toán h c g m các thành viên 6 nư c. Danh sách các thành viên g m 1978
ngư i đư c đánh s t 1 đ n 1978. Ch ng minh r ng t n t i ít nh t m t h i viên có s báo danh
g p đôi s báo danh c a m t h i viên khác cùng nư c, ho c b ng t ng hai s báo danh c a hai
h i viên cùng m t nư c v i mình.

Gi i

T 329 · 6 < 1978 suy ra m t trong các nư c (kí hi u là A) có không ít hơn 330 đ i bi u trong
đ i h i và chúng ta có th vi t s báo danh a1 < a2 < . . . < a330 < . . .. Chúng ta xét nh ng hi u
xi = a330 − ai , i = 1, 2, . . . , 329.
N u có m t s xi nào đó trùng v i ai (s báo danh c a đ i bi u nào đó c a A ) thì chúng ta có
a330 = ai + aj và bài toán đư c ch ng minh xong.
N u xi =aj v i m i i, j thì s xi là s báo danh c a đ i bi u thu c 5 nư c còn l i. Bây gi vì 65 ·
5 < 329 nên m t trong 5 nư c này (ký hi u là B) s có không ít hơn 66 thành viên mà s báo danh
c a h là m t trong các s x1, x2, . . . , x329. Ký hi u các s báo danh c a B là b1 < b2 < . . . < b66 < .
. . v i bi = xni, i = 1, 2, . . . , 66. Chúng ta l i xét hi u yi = b66 − bi, i = 1, 2, . . . , 65. N u m t


hi u nào đó trùng v i s báo danh bj c a m t đ i bi u nào đó c a B thì b66 = bi + bj và ta có đi u
ph i ch ng minh. N u v i hai s i và k nào đó chúng ta có yi = ak thì

ak = b66 − bi = xn66 − xni = a330 − an66 − (a330 − ani ) = ani − an66

hay ani = an66 + ak , và ta có đi u ph i ch ng minh.
N u hai trư ng h p trên không x y ra thì nh ng s này s là s báo danh c a đ i bi u 4 nư c
còn l i và suy ra ít nh t m i trong các nư c này l i có s h i viên ít nh t là 17 và ti p t c quá
trình trên chúng ta có k t lu n c a bài toán.

Bài 3.10. Trên đư ng tròn cho 16 đi m tô b i m t trong ba màu: X(xanh), Đ(đ ), V(vàng). Các
dây cung n i 2 đi m trong 16 đi m trên đư c tô b i hai màu: T(tr ng), Đ(đ ). Ch ng minh r ng
ta luôn có 3 trong 16 đi m trên tô cùng màu và 3 c nh c a nó cũng đư c tô cùng màu.

Gi i

Có ít nh t 6 đi m tô cùng màu. Gi s là A, B, C, D, E, F . Xét 5 dây cung AB, AC, AD, AE ,AF
s có ít nh t 3 dây cùng màu. Gi s đó là màu T.
N u AB, AC, AD cùng màu T. Khi đó: n u BC màu T thì k t thúc, n u BC màu Đ thì xét CD:
n u CD màu T thì k t thúc, n u CD màu Đ thì xét BD: n u BD là T thì k t thúc, n u BD màu
Đ thì tam giác BCD có ba c nh cùng màu Đ và 3 đ nh B, C, D cùng màu.
Tương t v i các trư ng h p khác.

Bài 3.11. Cho đa giác đ u A1 A2 . . . A1981 n i ti p (O). Ch ng minh r ng trong s 64 đ nh b t kỳ
c a đa giác luôn có 4 đ nh là các đ nh c a m t hình thang.

Gi i

Nh n xét: N u có hai dây cung(đư c t o thành t 1981 đ nh c a đa giác) có đ dài b ng nhau và
không có đ nh chung thì ta s có m t hình thang cân.

Xét đ dài các dây cung A1 A2 , A1 A3 , . . . , A1 A1981 . Ta th y

A1 A2 = A1 A1981 , A1 A3 = A1 A1980 , . . . , A1 A991 = A1 A992
và các đ dài này đôi m t khác nhau. V y có 990 đ dài các dây cung có m t đ nh là A1 và đó
cũng là t t c các đ dài c a các dây cung đư c t o thành t 1981 đi m đã cho.


2
Trong 64 đ nh s có C64 = 2016 dây cung. Vì có 990 đ dài suy ra có ít nh t 3 dây cung có
cùng đ dài. N u các dây cung này đ u đôi m t có đ nh chung thì s t o thành 1 tam giác đ u(vì
ch có đúng 2 dây cung chung đ nh có cùng đ dài) như hình v .
Khi đó đư ng tròn s đư c chia ra 3 cung b ng nhau, suy ra s đ nh c a đa giác ph i là s
nguyên l n c a 3, đi u này vô lý vì 1981 không chia h t cho 3. V y trong 3 dây cung có đ dài này
có ít nh t hai dây cung không có chung đ nh„ hai dây cung đó t o thành m t hình thang cân có
4 đ nh là 4 đ nh c a đa giác ban đ u.

Bài 3.12. Các s t 1 đ n 200 đư c chia thành 50 t p h p. Ch ng minh r ng m t trong các t p
h p đó có ba s là đ dài ba c nh c a m t tam giác.

Gi i

Ta đ ý r ng v i ba s 0 < a < b < c thì đi u ki n c n và đ đ a, b, c là đ dài ba c nh c a m t
tam giác là a + b > c. Rõ ràng n u ch xét các s t 100 đ n 200 thì ba s b t kỳ đ u là đ dài 3
c nh c a m t tam giác (a + b ≥ 100 + 101 = 201 > c). T đó ch c n xét 101 con th là các s t
100 đ n 200 r i áp d ng nguyên lý Dirichlet cho 50 cái chu ng t p h p.

Bài 3.13. T i m t h i ngh có 100 đ i bi u. Trong s đó có 15 ngư i Pháp, m i ngư i quen v i ít
nh t 70 đ i bi u và 85 ngư i Đ c, m i ngư i quen v i không quá 10 đ i bi u. H đư c phân vào
21 phòng. Ch ng minh r ng có m t phòng nào đó không ch a m t c p nào quen nhau.

Gi i

M i m t ngư i Pháp ph i quen v i ít nh t 70 – 14 = 56 ngư i Đ c. Suy ra s c p (Pháp, Đ c)
quen nhau ít nh t là 15 × 56 = 840. G i n là s ngư i Đ c quen ≤ 9 đ i bi u ngư i Pháp (g i là
Đ1) thì ta có: 840 ≤ (85 − n)10 + n.9. Suy ra n ≤ 10. Nh ng ngư i Đ c còn l i (Đ2) đ u quen 10
đ i bi u ngư i Pháp, do đó không th quen v i ngư i Đ c n a.
Vì có 21 phòng và ch có 15 ngư i Pháp nên có ít nh t 6 phòng ch có toàn ngư i Đ c. Vì ch có
nhi u nh t 10 ngư i Đ c có th quen nhau nên theo nguyên lý Dirichlet, trong 6 phòng này s có
ít nh t m t phòng ch có nhi u nh t 1 ngư i Đ c thu c Đ1. Phòng này chính là phòng c n tìm.

Bài 3.14. Bên trong m t hình tròn bán kính 33 có 1000 đi m. Ch ng minh r ng t n t i m t hình
tròn bán kính 1 n m trong hình tròn ban đ u mà không ch a đi m nào trong 1000 đã cho.

Gi i

V 1000 hình tròn bán kính 1 có tâm là 1000 đi m đã cho. G i P là tâm c a hình tròn ban đ u.
D ng hình tròn tâm P bán kính 32 = 33 − 1. G i S1 là di n tích c a h p 100 hình tròn bán kính
1(có th ch m lên nhau). G i S2 là di n tích c a hình tròn tâm P bán kính 32. Ta có:

S1 ≤ 1000π 2 .1 = 1000π < 1024π = 322 π = S2

Do đó t n t i m t đi m Q n m trong hình tròn (P ; 32), n m ngoài các hình tròn bán kính 1. V
hình tròn (Q, 1), hình tròn này n m trong hình tròn ban đ u (P, 33) mà không ch a đi m nào
trong 1000 đi m đã cho.
V i cách làm như v y ta đã chuy n bài toán tìm cách d ng đư ng tròn bán kính 1 b ng tìm
m t đi m th a mãn tính ch t trên. Ý tư ng như sau: Gi s ta ph i tìm đư ng tròn bán kính
S(B, 1) không ch a đi m nào trong 1000 đi m A1 , A2 , . . . , A1000 . Đư ng tròn S(B, 1) không ch a


đi m A1 ⇔ BA1 > 1 ⇒ B ∈ S(A1 , 1). V y B ∈ S(A1 , 1) ∩ S(A2 , 1) ∩ · · · ∩ S(A1000 , 1). Tuy nhiên
yêu c u "ph " là đư ng tròn S(B, 1) ph i n m trong đư ng tròn S(P, 33) nên đi m B không đư c
phép "g n" biên đư ng tròn S(P, 33). Đ có đư c thì B ph i n m trong đư ng tròn S(P, 32). V y
ta ph i tìm đi m B th a mãn hai đi u ki n:

B ∈ S(A1 , 1) ∩ S(A2 , 1) ∩ · · · ∩ S(A1000 , 1)

B ∈ S(P, 32)
Đ có đư c đi u này ch c n ch ng t di n tích c a SS(A1 ,1)∩S(A2 ,1)∩···∩S(A1000 ,1) < SS(P,32) (vì n u nó
nh hơn thì ch c ch n s có đi m B. N u di n tích l n hơn thì có th có đi m B hay không, nhưng
nh hơn thì ch c ch n có). C n chú ý là 1000 đư ng tròn trên không nh t thi t n m trong đư ng
tròn S(P, 32) mà ta ch c n ch ng t mi n di n tích c a 1000 đư ng tròn đó không ph h t hình
tròn S(P, 32) đ có đư c đi m B

Bài 3.15. Bên trong m t hình vuông c nh 100, ngư i ta đ t 35 đ ng xu hình tròn có bán kính 1.
Ch ng minh r ng có th đ t đư c 1 t m bìa hình tròn có bán kính 7 n m trong hình vuông mà
không ch m lên m t đ ng xu nào.

Gi i

Cách 1. V 35 hình tròn bán kính 1 + 7 = 8, có tâm là tâm c a 35 đ ng xu đã cho. Thu nh hình
vuông c nh 100 m i phía 7 đư c hình vuông đ ng tâm có c nh: 100 − 14 = 86.
G i S1 là di n c a c a h p 35 hình tròn bán kính 8, g i S2 là di n tích hình vuông c nh 86, ta
th y S1 < S2 vì:
S1 ≤ 35π.82 < 35.3, 2.64 = 7168 < 7396 = 862 = S2
Do đó t n t i m t đi m, g i là A, n m trong hình vuông c nh 86, n m ngoài các hình tròn bán
kính 8. V hình tròn (A, 7), hình tròn này n m trong hình vuông c nh 100 mà không ch m lên
m t đ ng xu nào.
100 2
Cách 2. Chia hình vuông c nh 100 thành 36 ô vuông có c nh = 16 . Xét tâm c a 35 đ ng
6 3
xu. Theo nguyên lý Dirichlet, t n t i m t ô vuông không ch a tâm c a m t đ ng xu nào. Thu
nh ô vuông đó l i đ đư c hình vuông đ ng tâm c nh 14.
Mi n trong c a hình vuông c nh 14 đó không ch m lên m t đ ng xu nào, do đó hình tròn n i ti p
hình vuông đó có bán kính 7 không ch m lên m t đ ng xu nào.
Luy n t p:
1. Bên trong m t hình ch nh t kích thư c 13 × 14 có 8 t m bìa hình vuông c nh 2. Ch ng minh
r ng t n t i m t hình tròn bán kính 1 n m trong hình ch nh t mà không ch m lên m t t m bìa
nào.
2. Bên trong m t hình ch nh t kích thư c 12, 5 × 14 có 8 t m bìa hình vuông c nh 2. Ch ng
minh r ng t n t i m t hình tròn bán kính 1 n m trong hình ch nh t mà không ch m lên m t
t m bìa nào.
3. Bên trong m t hình vuông c nh 100 đ t 63 đ ng xu hình tròn bán kính 1. Ch ng minh r ng
có th đ t đư c m t t m bìa hình vuông c nh 10 n m trong hình vuông ban đ u mà không ch m
lên m t đ ng xu nào.

Bài 3.16. Trong m t ph ng cho 2009 đi m. Bi t r ng trong 3 đi m b t kỳ l y t các đi m đã cho
luôn có hai đi m có kho ng cách nh hơn 1. Ch ng minh r ng có 1005 đi m n m trong hình tròn
bán kính 1.


Gi i

L y M là m t đi m b t kỳ, v đư ng tròn S(M, 1). Khi đó có hai kh năng x y ra:

• N u t t c các đi m còn l i đ u n m trong S(M, 1) thì bài toán đư c ch ng minh.

• N u có đi m N mà M N > 1 thì v S(N, 1). Khi đó v i đi m P b t kỳ trong s các đi m còn
l i thì v i b ba đi m M, N, P , áp d ng gi thi t bài toán, ta có P ph i thu c m t trong
hai đư ng tròn S(M, 1) và S(N, 1). Có 2009 đi m, ch có th thu c vào hai đư ng tròn trên,
nên ph i có m t đư ng tròn ch a 1005 đi m. Bài toán đư c ch ng minh.

Dư i đây là bài toán có ngu n g c xu t phát t hình h c. Ngư i ta đã bi t nh ng tính ch t
"đi m c đ nh c a hình h c" r i reo vào m t chút "y u t t h p", và như v y bài toán tr nên
khó khăn hơn nhi u so v i yêu c u c a m t bài hình h c thu n túy.

Bài 3.17. Cho hình vuông ABCD và 2005 đư ng th ng th a mãn đ ng th i các tính ch t sau:

a) M i đư ng th ng đ u c t hai c nh đ i c a hình vuông.
1
b) M i đư ng th ng đ u chia hình vuông thành hai ph n có t s di n tích b ng .
2
Ch ng minh r ng trong 2005 đư ng th ng có ít nh t 502 đư ng th ng đ ng quy.

Gi i

G i EF, HK là các tr c đ i x ng l n lư t song song v i AD, BC c a hình vuông. Gi s m t
đư ng th ng nào đó c t AB, CD l n lư t t i G, T . Đo n GT c t HK t i J. Khi đó n u
SAGT D 1 HJ 1
= ⇒ = .
SBGT C 2 JK 2

T c J là đi m c đ nh. Tương t cho trư ng h p ngư c l i. Kh o sát tương t v i trư ng h p
đư ng th ng c t hai c nh AD, BC c a hình vuông. V y trong m i trư ng h p các đư ng th ng
luôn đi qua b n đi m c đ nh, đó là các đi m chia đo n HK, EF thành ba ph n b ng nhau. Có
2005 đư ng th ng, m i đư ng th ng đi qua m t trong b n đi m c đ nh trên, theo nguyên lý
Dirichlet thì có ít nh t 502 đư ng th ng đ ng quy.
Luy n t p:
1. Cho hình bình hành ABCD và 25 đư ng th ng(m i đư ng th ng đ u c t hai c nh đ i c a hình
1
vuông). M i đư ng th ng chia ABCD thành 2 hình thang v i t s di n tích là . CMR trong 25
3
đư ng th ng đó có 7 đư ng th ng đ ng quy.
2. Trong m t ph ng cho hình vuông ABCD. M t tam giác g i là n i ti p hình vuông n u ba đ nh
c a nó n m trên ba c nh hình vuông. Ch ng minh r ng trong 6015 đư ng th ng ch a các c nh
c a 2005 tam giác đ u n i ti p hình vuông trên có ít nh t 502 đư ng th ng đ ng quy.
3. Cho hình bình hành ABCD và 25 đư ng th ng, mà m i đư ng th ng chia ABCD thành 2 hình
1
thang v i t s di n tích là . Ch ng minh r ng trong 25 đư ng th ng đó có 7 đư ng th ng đ ng
3
quy.

Bài 3.18. Trong m t ph ng cho n_giác l i có t a đ các đ nh là các s nguyên (n > 4).


a) Ch ng minh r ng trên c nh ho c bên trong đa giác đó còn có ít nh t m t đi m nguyên khác
n a.
b) Ch ng minh r ng bên trong m t ngũ giác l i (n = 5) còn có ít nh t m t đi m nguyên n a.

Gi i

a) Ta chia t p các đi m nguyên thành 4 lo i: lo i I(ch n, ch n), lo i II(ch n, l ), lo i III(l , ch n),
lo i IV(l , l ). Vì n > 4, t c đa giác có ít nh t 5 đ nh, mà m i đ nh ch rơi vào 4 lo i trên nên
có ít nh t 2 đ nh cùng lo i. Khi đó trung đi m c a hai đ nh đó n m trên c nh c a đa giác và
có t a đ nguyên.

b) G i 5 đ nh c a ngũ giác l i là A, B, C, D, E. Trong 5 đ nh A, B, C, D, E ph i có hai đ nh chung
m t c nh có t ng s đo hai góc > 1800 (vì n u không thì 6.1800 = 2(A + B + C + D + E) ≤
5.1800 (vô lý)). Ta có

B + BCE ≥ 1800
B + A + ABC + AEC = 1800 ⇒ .
A + AEC ≥ 1800

Gi s B + BCE ≥ 1800 , ta k hai tia Ax//BC, Ct//AB, và chúng c t nhau t i I. Vì A + B ≥
1800 nên tia Ax n m trong mi n góc BAE, và B + BCE ≥ 1800 nên tia Ct n m trong mi n
c a góc BCE. Do đó I n m trong ngũ giác ABCDE. Vì ABCI là hình bình hành, A, B, C có
t a đ nguyên nên I cũng có t a đ nguyên.

Bài 3.19. Cho X là 1 t p h p g m 14 s nguyên dương phân bi t. Ch ng minh r ng có 1 s
nguyên dương k ≤ 7 và có 2 t p con k_ph n t :
{a1 , a2 , . . . , ak }, {b1 , b2 , . . . , bk }
r i nhau c a X sao cho:
1 1 1 1 1 1 1
+ + ··· + − + + ··· + <
a1 a2 ak b1 b2 bk 1000


Gi i
7
Ta có t t c là C14 = 3432 t p con ch a 7 ph n t c a X. T ng các ngh ch đ o c a các ph n trong
m i t p con này không vư t quá
1 1 1
+ + · · · + < 2.6.
2 2 7
Do đó m i t p con ch a 7 ph n t có t ng các ngh ch đ o c a các ph n t r i vào 2600 n a kho ng

0 1 1 2 2500 2600
, , , ,..., , .
1000 1000 1000 1000 1000 1000

Vì có t i 3432 t p con ch a 7 ph n t , theo nguyên lý Dirichlet s t n t i hai t p con khác nhau
có t ng ngh ch đ o các ph n t thu c cùng m t n a kho ng. Lo i b kh i hai t p con đó các ph n
t chung (hai t p con ch a 7 ph n t thì có t i đa 6 ph n t chung), thì ta thu đư c hai t p h p
con k_ph n t (k ≤ 7, k ∈ N) th a mãn yêu c u bài toán.

Bài t p dư i đây có k t lu n g n gi ng như nh ng ki u bài áp d ng Dirichlet, tuy nhiên trong
l i gi i l i không dùng đ n Dirichlet.

Bài 3.20. (APMO 1991) Cho 997 đi m khác nhau n m trên m t m t ph ng. Ch ng minh r ng
t n t i ít nh t 1991 trung đi m khác nhau t các c p c nh này. Khi nào thì có đúng 1991 trung
đi m khác nhau.

Gi i

Ta g i A và B là 2 đi m có kho ng cách c c đ i trong s 997 đi m đã cho. Ta xét các trung đi m
sau đây: Đi m M , trung đi m AB, trung đi m AX v i đi m X b t kì thu c t p h p(khác v i A
và B), và trung đi m c a BX. Ta s ch ng minh r ng các trung đi m này đ u khác nhau.
Th t v y, gi s X và Y là hai đi m b t kì khác v i A và B. Rõ ràng các trung đi m c a AX
và AY ph i khác nhau(n u không th , X và Y s trùng nhau). Tương t như v y, các trung đi m
c a BX và BY cũng khác nhau. Trung đi m c a AX không th là đi m M (vì n u không X s
trùng v i B), cũng th trung đi m c a BX không th là đi m M . Sau cùng, ta gi s r ng N là
trung đi m chung c a AX và BY , khi đó, AY XB là hình bình hành, ho c là AX, ho c là BX
ph i có đ dài l n hơn AB, đi u này vô lí, b i vì AB là đo n l n nh t.
Như v y, ta có ít nh t 1991 trung đi m khác nhau. Ngoài ra có th s p x p 997 đi m đ có
1991 trung đi m khác nhau. Ví d trên tr c s ta ch n các đi m có to đ 1, 3, 5, . . . , 1993, lúc đó
có đúng 1991 trung đi m n m các to đ 2, 4, . . . , 1992.

Th c ra thì bài toán này có hai y u t mà ta c m nh n là không th dùng Di đư c: m t là: y u
t t n t i quá l n, hai là: không có đi u ki n ràng bu c gi a các đi m đ ta có th nh t "th " vào
"chu ng", mà đây là bài toán xây d ng t p h p.

Bài toán trên minh h a tư tư ng c a phương pháp c c h n: V i m t con h u h n c a R thì
luôn t n t i ph n t nh nh t và ph n t l n nh t. Trong bài toán trên ta ch n AB là đ dài dài
nh t trong s các đo n th ng đã cho.

Bdhsg nguyen ly dirichle

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (11)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Bdhsg nguyen ly dirichle

Similar to Bdhsg nguyen ly dirichle (20)

More from honghoi

More from honghoi (20)

Bdhsg nguyen ly dirichle