1. BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI VEÀ SOÁ HOÏC
CHUYEÂN ÑEÀ: SOÁ CHÍNH PHÖÔNG
I. Ñònh nghóa:
Soá chính phöông laø bình phöông cuûa moät soá töï nhieân.
A : laø soá chính phöông thì A = k2 (kÎN)
II. Tính chaát:
1) Soá chính phöông chæ coù theå taän cuøng baèng: 0;1; 4; 5; 6;
9; khoâng theå taän cuøng baèng 2; 3; 7; 8.
2) Khi phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá, soá chính phöông chæ
chöùc caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ chaün, khoâng
chöùa caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ leû.
Chöùng minh:
Giaû söû A = k2 vaø k = ax.by.cz… (a; b; c; … laø caùc soá
nguyeân toá)
thì A = (ax.by.cz…)2 = a2x.b2y.c2z… (ñpcm)
Töø tính chaát 2 ta coù caùc heä quaû:
a. Soá chính phöông chia heát cho 2 thì phaûi chia heát cho 4
b. Soá chính phöông chia heát cho 3 thì phaûi chia heát cho 9
c. Soá chính phöông chia heát cho 5 phaûi chia heát cho 25
d. Soá chính phöông chia heát cho 8 thì phaûi chia heát cho 16
e. Tích cuûa caùc soá chính phöông laø moät soá chính
phöông
f. A = a.b, neáu a laø soá chính phöông thì b cuõng laø soá
chính phöông.
3) Soá löôïng caùc öôùc cuûa moät soá chính phöông laø leû.
Ngöôïc laïi, moät soá coù soá löôïng caùc öôùc laø leû thì soá
ñoù laø soá chính phöông
- 1 -

2. Chöùng minh:
Neáu A = 1 thì A laø soá chính phöông coù moät öôùc. Ta
giaû söû A > 1 coù daïng phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá
laø A = ax.by.cz… thì soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø (x+1)(y+1)
(z+1) …
a) Neáu A laø soá chính phöông thì x; y; z; … laø caùc soá
chaün, neân x+1; y+1; z+1; … laø leû, do ñoù soá löôïng
caùc öôùc cuûa A laø leû.;
b) Neáu soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø leû thì (x+1)(y+1)
(z+1) … laø leû
Do ñoù caùc thöøa soá x+1; y+1; z+1; … ñeàu laø soá
leû,
Suy ra x; y; z; … laø caùc soá chaün.
Ñaët x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’; … (x’; y’; z’;…ÎN) thì
A = (ax’by’cz’…)2 neân A laø soá chính phöông
(ñpcm)
4) Neáu soá A bao haøm giöõa bình phöông hai soá töï nhieân
lieân tieáp thì A khoâng theå laø số chính phương. Nghóa laø :
neáu n2 < A < (n+1)2 thì A khoâng laø số chính phương.
III. Caùc kieán thöùc lieân quan:
1. Neáu moãi soá haïng cuûa moät toång (hoaëc hieäu) chia
heát cho moät soá thì toång (hoaëc hieäu) ñoù chia heát cho
soá ñoù.
2. Soá coù chöõ soá taän cuøng chia heát cho 2 thì soá ñoù
chia heát cho 2
- 2 -

3. Soá coù hai chöõ soá taän cuøng chia heát cho 4 thì soá ñoù
chia heát cho 4
Soá coù ba chöõ soá taän cuøng chia heát cho 8 thì soá ñoù
chia heát cho 8
Soá coù chöõ soá taän cuøng chia heát cho 5 thì soá ñoù
chia heát cho 5
Soá coù hai chöõ soá taän cuøng chia heát cho 25 thì soá
ñoù chia heát cho 25
Soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3 thì soá ñoù chia
heát cho 3
Soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 9 thì soá ñoù chia
heát cho 9
3. Daáu hieäu chia heát cho 11
Cho A = 5 4 3 2 1 0 ...a a a a a a
A  11 Û (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)  11
IV. Caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp:
Daïng 1: Kieåm tra moät soá coù phaûi laø soá chính phöông hay
khoâng:
Ví duï 1: Cho soá chính phöông n2 , tìm caùc soá chính phöông bieát
n Î þ ý ü
k chöõ soá 0
î í ì
11;101;1001;10001;100001;1000001;...;100...01
Giaûi
Ta coù 112 = 121
1012 = 10201
10012 = 1002001
100012 = 100020001
1000012 = 10000200001
10000012 = 1000002000001
- 3 -

4. …………
Toång quaùt 100...01 100...0200...01 2 =
k chöõ soá 0 k chöõ soá 0k chöõ soá 0
Ví duï 2: Caùc toång sau coù phaûi laø soá chính phöông khoâng ?
a) A = 3 + 32 + 33 + … +320
b) B = 11 + 112 + 113
c) C = 1010 + 8
d) D = 100! + 7
e) E = 1010 + 5
f) F = 10100 + 1050 + 1
Giaûi
a) Ta coù 3n  9 vôùi moïi n ³ 2 neân 32 + 33 + … +320  9
Suy ra A = 3 + 32 + 33 + … +320 chia cho 9 dö 3
Vì A chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân A
khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)
b) Ta coù B = 11 + 112 + 113
= 11.(1 + 11 + 112)
= 11.(1 + 11 + 121)
= 11.133
= 1463
Coù chöõ soá taän cuøng laø 3 neân B khoâng phaûi laø soá
chính phöông (t/c 1)
c) Ta coù 1010 + 8 coù chöõ soá taän cuøng laø 8 neân khoâng
phaûi laø soá chính phöông (t/c 1)
d) Ta coù 100! + 7 coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng
phaûi laø soá chính phöông (t/c 1)
- 4 -

5. e) Ta coù 1010 + 5 coù chöõ soá taän cuøng laø 05 chia heát
cho 5 nhöng khoâng chia heát cho 25 neân khoâng phaûi laø
soá chính phöông (t/c 2)
f) Ta coù 10100 + 1050 + 1 coù toång caùc chöõ soá laø 3 chia
heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân khoâng phaûi
laø soá chính phöông (t/c 2)
Ví duï 3:
a) Cho A = 22 + 23 + 24 +…+ 220. Chöùng minh raèng A + 4
khoâng laø soá chính phöông
b) Cho B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 . Chöùng minh raèng 2B + 3
khoâng laø soá chính phöông
Giaûi
a) Ta coù A = 22 + 23 + 24 +…+ 220
neân 2A = 23 + 24 + 25 +…+ 221
suy ra 2A – A = 221 – 2222
do ñoù A – 4 = 221 – 2222 – 4 = 221 = (210)2.2 khoâng laø soá
chính phöông vì 2 khoâng laø soá chính phöông.
b) Ta coù B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100
neân 3B = 32 + 33 + 34 +…+ 3101
suy ra 3B – B = 3101 – 3
do ñoù 2B + 3 = 3101 – 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = (350)2.3 khoâng
laø soá chính phöông vì 3 khoâng laø soá chính phöông.
Ví duï 4: Vieát lieân tieáp töø 1 ñeán 12 ñöôïc soá A = 1234 … 1112.
Soá A coù theå coù 81 öôùc ñöôïc khoâng ?
Giaûi
Giaû söû A coù 81 öôùc.
- 5 -

6. Vì soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø 81 (laø soá leû) neân A laø
soá chính phöông (1)
Maët khaùc, toång cuûa caùc chöõ soá cuûa A laø 1+2+3+…+12
= 51
Vì 51  3; 51  51 neân A chia heát cho 3 nhöng A khoâng chia
heát cho 9, do ñoù A khoâng laø soá chính phöông maâu thuaãn vôùi
(1).
Vaäy A khoâng theå coù 81 öôùc
Daïng 2 : Laäp soá chính phöông töø caùc chöõ soá ñaõ cho
Ví duï 1 :
Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, ñöôïc vieát bôûi caùc
chöõ soá 3, 6, 8, 8.
Giaûi :
Goïi n2 laø soá chính phöông phaûi tìm
Vì soá chính phöông khoâng taän cuøng baèng 3, 8 neân do ñoù
n2 phaûi taän cuøng baèng 6
Soá taän cuøng cuûa n2 baèng 86 hoaëc 36
Neáu taän cuøng laø 86 thì chia heát cho 2 nhöng khoâng
chia heát cho 4 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (tính chaát
2.a)
Suy ra: n2 coù taän cuøng baèng 36
Vaäy soá chính phöông ñoù laø 8836 = 942
Daïng 3: AÙp duïng tính chaát 4
Ví duï: Chöùng minh raèng khoâng toàn taïi hai soá töï nhieân x vaø y
sao cho x2 + y vaø x + y2 laø số chính phương.
Giaûi:
Giaû söû x ³ y. Ta coù : x2 < x2 + y ≤ x2 + x < (x + 1)2
- 6 -

7. Daïng 3: Kieåm chöùng moät soá thoûa maõn ñieàu kieän cho tröôùc
coù laø soá chính phöông hay khoâng.
Ví duï 1: Moät soá töï nhieân goàm moät soá chöõ soá 0 vaø saùu chöõ
soá 6 coù theå laø moät soá chính phöông khoâng ?
Giaûi
Giaû söû n2 laø soá chính phöông caàn tìm
Neáu n2 taän cuøng baèng 0 thì noù phaûi taän cuøng baèng
moät soá chaün chöõ soá 0.
Ta boû taát caùc chöõ soá 0 taän cuøng naøy ñi thì soá coøn laïi
taän cuøng baèng 6 vaø phaûi laø soá chính phöông. Ta xeùt hai
tröôøng hôïp : Soá coøn laïi taän cuøng laø 06 hoaëc 66. Trong caû
hai tröôøng hôïp ñeàu chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 4
neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)
Neáu n2 taän cuøng laø 6 thì töông töï nhö treân cuõng khoâng
phaûi laø soá chính phöông
Vaäy soá coù tính chaát nhö ñeà baøi khoâng theå laø moät soá
chính phöông.
Ví duï 2: Tìm soá coù hai chöõ soá, bieát raèng neáu nhaân noù vôùi
135 thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.
Giaûi:
Goïi soá phaûi tìm laø n, ta coù 135n = a2 (aÎ N) hay 33. 5. n =
a2. Soá chính phöông chæ chöùa caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi
soá muõ chaün neân n = 3. 5. k2 (kÎN).
Vôùi k = 1 thì n = 15; vôùi k = 2 thì n = 60; vôùi k ³ 3 thì n ³ 135;
coù nhieàu hôn hai chöõ soá (loïai)
Vaäy soá phaûi tìm laø 15 hoaëc 60.
- 7 -

8. Ví duï 3: Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá sao cho hai chöõ
soá ñaàu gioáng nhau, hai chöõ cuoái gioáng nhau.
Giaûi :
Caùch 1:
Goïi soá chính phöông phaûi tìm laø n2 = aabb (a,b Î N, 1≤ a ≤ 9, 0
≤ b ≤ 9).
Ta coù n2 = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a +
b) (1).
Do ñoù 99a + a + b chia heát cho 11 neân a + b chia heát cho 11,
Vaäy a + b = 11.
Thay a + b = 11 vaøo (1) ta ñöôïc n2 = 11(99a + 11) = 112(9a +
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
911£ k £ 82 7
2 => 4 ≤ k ≤ 9
k 4 5 6 7 8 9
11k2 176 275 396 539 704 891
1).
Do ñoù 9a + 1 phaûi laø soá chính phöông .
Thöû vôùi a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ta thaáy chæ coù a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 laø soá chính
phöông
Vaäy a = 7 => b = 4 ta coù soá caàn tìm laø 7744 = 112 . 82 = 882
Caùch 2 :
Bieán ñoåi n2 =aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11.a0b,
Do ñoù a0b =11k2 (kÎN).
Ta coù 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => 9
11
- 8 -

9. Ta choïn 704 vì coù chöõ soá haøng chuïc laø 0
Suy ra k = 8 vaø n2 = aabb = 11 . 11 . 82 = 7744.
Ví duï 4 : Tìm soá ngueân toá ab (a > b > 0) sao cho ab-ba laø soá
chính phöông.
Giaûi : ab-ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b
= 9(a – b) = 32(a – b)
Ñeå ab-ba laø soá chính phöông thì a – b phaûi laø soá chính
phöông.
Ta thaáy 1 ≤ a – b ≤ 8 neân a – b Î {1; 4}.
Vôùi a – b = 1 thì ab Î {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}loïai caùc
hôïp soá 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; coøn laïi 43 laø soá nguyeân toá.
Vôùi a – b = 4 thì ab Î {51; 62; 73; 84; 95} loïai caùc hôïp soá
51; 62; 84; 95; coøn 73 laø soá nguyeân toá.
Vaäy ab baèng 43 hoaëc 73.
Daïng 4: Toaùn chöùng minh:
Ví duï 1: Chứng minh rằng tích cuûa 4 soá töï nhieân lieân tieáp coäng
1 laø moät soá chính phöông.
Chöùng minh:
Giaû söû trong boán soá töï nhieân lieân tieáp ta choïn soá töï
nhieân nhoû nhaát laø a, ta phaûi xeùt tích soá a(a+1)(a+2)(a+3) + 1
coù laø soá chính phöông hay khoâng?
Ta bieát a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3) (a+1) (a+2) + 1
= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1
= (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1
= (a2 + 3a + 1)2
Vì a laø moät soá töï nhieân neân (a2 + 3a + 1)2 phaûi laø moät
soá chính phöông
- 9 -

10. Suy ra ñieàu caàn phaûi chöùng minh.
Thoâng qua baøi chöùng minh treân ta khoâng chæ bieát ñöôïc
a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 laø moät soá chính phöông maø coøn bieát
ñöôïc noù coøn laø bình phöông cuûa soá naøo.
Ví duï :
a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52
2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112
3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192
4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292
b) Bieåu thöùc sau ñaây laø bình phöông cuûa soá töï nhieân
naøo ?
+ 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ?
Bieát a = 10 neân a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131
Neân 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312
+ 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ?
Bieát a = 15 neân a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271
Neân 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712
Vôùi caùch chöùng minh töông töï nhö treân ta coù caùc tính chaát
sau:
i) Tích cuûa 4 soá töï nhieân chaún lieân tieáp coäng 16 laø
moät soá chính phöông.
ii) Tích cuûa 4 soá töï nhieân leû lieân tieáp coäng 16 laø moät
soá chính phöông.
Ví duï 2: Chöùng minh raèng moät soá töï nhieân vieát toaøn baèng
chöõ soá 2 thì khoâng phaûi laø soá chính phöông.
Giaûi
- 10 -

11. Caùch 1:
Ta coù 2 4; 22 4. Giaû söû coù soá töï nhieân A ñöôïc ghi bôûi
n chöõ soá 2 vôùi n > 2 thì :
A = 222…222 = 222…200 + 22 = 100.A1 + 22
Trong ñoùA1 laøsoá ñöôïc ghi bôûi n – 2 chöõ soá 2
A = 4.25A1 + 22
Vì 4.25A1
 4; 22 4 => A 4
A laø soá chaún chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 4
neân A khoâng laø soá chính phöông.
Caùch 2:
Ta coù moät soá töï nhieân vieát toaøn baèng chöõ soá 2 thì coù
chöõ soá taän cuøng laø 2 neân khoâng theå laø số chính phương.
Ví duï 3: Chöùng minh raèng toång cuûa 4 soá töï nhieân lieân tieáp
khoâng laø soá chính phöông.
Giaûi
Goïi 4 soá töï nhieân lieân tieáp laø a; a+1; a+2; a+3;
Ta coù S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
Bôûi vì 4a 2; 6 2 => S 2; 4a 4; 6 4 => S 4
Vaäy S chia heát cho 2 nhöng S khoâng chia heát cho 4 neân S
khoâng laø số chính phương.
Taûn maïn cuøng soá chính phöông :
“Söï tuaàn hoaøn cuûa moät soá chính phöông”.
Quan saùt caùc chöõ soá cuoái cuûa caùc bình phöông caùc soá töø 1 ñeán 9
ta thaáy xuaát hieän daõy soá 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phöông cuûa 10 laø 100, coù
chöõ soá cuoái laø 0. Caùc bình phöông cuûa caùc soá tieáp theo cuõng coù caùc
chöõ soá cuoái laäp thaønh daõy soá 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. taát caû caùc bình phöông
cuûa caùc soá töï nhieân coù caùc chöõ soá cuoái laëp ñi laëp laïi trong voøng tuaàn
hoøan naøy, hieän töôïng laëp ñi laëp laïi voâ soá laàn. Voøng laëp ñi laëp laïi naøy
coù soá 0 laøm ranh giôùi.
- 11 -

12. Ngöôøi ta coøn phaùt hieän “soá goác” cuûa caùc bình phöông chæ coù theå
laø 1, 4, 7, 9. maø khoâng theå laø caùc chöõ soá khaùc. Ngöôøi ta goïi “soá goác”
cuûa moät soá laø chæ con soá thu ñöôïc khi coäng daàn caùc chöõ soá coù trong
con soá, khi toång soá gaëp soá 9 thì boû ñi vaø tính toång tieáp neáu gaëp soá 9 laïi
boû ñi ñeán khi coøn laïi soá cuoái cuøng nhoû hôn 9 thì giöõ laïi, chöõ soá coøn
laïi goïi laø “soá goác” cuûa con soá ñaõ xeùt (hieåu theo caùch khaùc laø laáy
toång caùc chöõ soá cuûa soá ñoù ñem chia cho 9, ta laáy soá dö cuûa pheùp chia
ñoù). Nhö vaäy “soá goác” chính laø keát quaû pheùp tính coäng doàn caùc chöõ
soá coù trong moät con soá, laáy soá 9 laøm ñieåm döøng.
Ví duï : “soá goác” cuûa 135 laø 9, “soá goác” cuûa 246 laø 3…
ÖÙng duïng tính chaát vöøa neâu ta coù theå phaùn ñoaùn moät soá coù
phaûi laø moät soá chính phöông hay khoâng.
Ví duï : Xeùt xem soá 98765432123456789 coù phaûi laø moät soá chính phöông hay
khoâng ?
Ta tìm soá goác cuûa con soá treân :
Ta coù theå tính nhö sau :
Caùch 1 : 9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9
= 9+9+(8+1)+2(7+2)+2(6+3)+2(5+4)+ 8 => coù soá goác laø 8
Caùch 2 9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9
= (9+8+7+6+5+4+3+2+1)+(2+3+4+5+6+7+8+9)
= 45 + 44
= 89
8 + 9 = 17; 1 + 7 = 8 => coù soá goác laø 8
( Hay 89 : 9 = 9 dö 8 => coù soá goác laø 8)
Soá goác laø 8 khaùc 1,4,7,9 neân soá A khoâng laø soá chính phöông.
Soá goác cuûa caùc soá chính phöông coøn laäp thaønh moät daõy soá tuaàn
hoaøn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. ÔÛ ñaây chöõ soá ranh giôùi laø chöõ soá 9 chöù khoâng
phaûi laø chöõ soá 0 nhö tính chaát treân.
Ví duï : 100 ( bình phöông cuûa 10) coù soá goác laø 1
121 ( bình phöông cuûa 11) coù soá goác laø 4
144 ( bình phöông cuûa 12) coù soá goác laø 9
169 ( bình phöông cuûa 13) coù soá goác laø 7
196 ( bình phöông cuûa 14) coù soá goác laø 7
225 ( bình phöông cuûa 15) coù soá goác laø 9
256 ( bình phöông cuûa 16) coù soá goác laø 4
289 ( bình phöông cuûa 17) coù soá goác laø 1
- 12 -

13. 324 ( bình phöông cuûa 18) coù soá goác laø 9 (ranh giôùi cuûa chu
kyø).
361 ( bình phöông cuûa 13) coù soá goác laø 1 (ranh giôùi laëp laïi)
“Söï kì laï cuûa soá leû”
Ta coù 1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 + 13 = 49 = 72
………………………
Ñeán ñaây ta coù quy luaät: Toång n soá leû ñaàu tieân laø moät soá chính
phöông
1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n2
(Phaàn naøy chöùng minh ôû baøi taäp 22).
“Laïi theâm moät ñieàu thuù vò”
Baïn nghó sao veà caâu noùi: “Toång laäp phöông caùc soá töï nhieân lieân
tieáp töø 1 laø moät soá chính phöông”. Ta deã daøng kieåm tra baèng maùy tính
nhö sau:
13 +23 = 9 = 32
13 +23 + 33 = 36 = 62
13 +23 + 33 + 43 = 100 = 102
13 +23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152
13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441 = 212
13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 +73 = 784 = 282
……………………
Neáu ta ta ñeå yù ta coù theå nhaän ra raèng:
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
…………………
Ñeán ñaây ta coù theå tìm ra ñöôïc quy luaät:
13 +23 +…+ n3 = (1 + 2 +…+ n)2
- 13 -

14. “Baïn tin khoâng”
Ta coù soá 49 laø số chính phương. Neáu ta xen soá 48 vaøo giöõa seõ ñöôïc
soá 4489, neáu tieáp tuïc xen soá 48 vaøo giöõa seõ ñöôïc soá 444889, moät caùch
toång quaùt 44...488...8 9 . Luùc ñoù ta ñöôïc daõy soá 49, 4489, 444889,
44448889, …, 44...488...8 9 , baïn nghó gì veà caùc soá haïng cuûa daõy soá ñoù?
Ñieàu thuù vò ôû ñaây laø moãi soá haïng cuûa daõy laïi chính laø số chính
phương.
Chöùng minh :
A=44...488...8 9 = 9+8.10+8.102+…+8.10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1
Ta vieát 9 = 1+4+4 vaø 8 = 4+4 ta ñöôïc:
A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102+…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1
= 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1)
= 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1)
= 1+4.
10 n+1 -
1 9
+4.
10 1 2 n+2 -
9
=
9 4. 10 4 4. 10 4 + n+1 - + 2 n+2 -
9
=
4. 10 4. 10 1 2 n+2 + n+1 +
9
=
æ + +
Ta coù 2.10n+1+13 (coù toång caùc chöõ soá baèng 3) neân soá trong ngoaëc laø soá
nguyeân. Suy ra A laø số chính phương.
V. MOÄT SOÁ BAØI TAÄP COÙ HÖÔÙNG DAÃN:
n 1 2
3
2 ÷ø
. 10 1 ö çè
1/. (Daïng 1) Caùc soá sau coù phaûi laø soá chính phöông
khoâng ?
a) A = 2004000 b) B = 20012001
2/. (Daïng 3) Chöùng toû raèng caùc soá sau khoâng laø soá
chính phöông.
a) abab b) abcabc c) ababab
3/. (Daïng 3) Chöùng toû raèng toång sau khoâng laø soá chính
phöông.
A = abc+bca+cab
- 14 -

15. 4/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 0, 2, 3, 4. Tìm soá chính
phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân.
5/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 7, 4, 2, 0. Tìm soá chính
phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân.
6/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 0, 2, 3, 5. Tìm soá chính
phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân.
7/.(Daïng 3)
a) Cho moät soá töï nhieân goàm 15 chöõ soá 2. Coù
caùch naøo vieát theâm caùc chöõ soá 0 vaøo vò trí tuøy yù ñeå soá
môùi taïo thaønh laø moät soá chính phöông hay khoâng ?
b) Moät soá töï nhieân goàm moät chöõ soá 1, hai chöõ
soá 2, ba chöõ soá 3, boán chöõ soá 4, coù theå laø moät soá chính
phöông hay khoâng?
8/. (Daïng 1) Vieát daõy soá töï nhieân töø 1 ñeán 101 laøm
thaønh moät soá A
a) A coù laø hôïp soá hay khoâng ?
b) A coù laø soá chính phöông hay khoâng ?
c) A coù theå coù 35 öôùc hay khoâng ?
9/. (Daïng 1) Töø naêm chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, laäp taát caû caùc
soá coù naêm chöõ soá goàm caû naêm chöõ soá aáy. Trong taát caû
caùc soá ñoù coù soá naøo laø soá chính phöông khoâng?
10/. (Daïng 3) Tìm soá töï nhieân n coù 2 chöõ soá, bieát raèng
2n + 1 vaø 3n + 1 laø caùc soá chính phöông.
11/. (Daïng 3) Tìm soá töï nhieân n coù 2 chöõ soá, bieát raèng
neáu nhaân noù vôùi 45 thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.
12/. (Daïng 4)
- 15 -

16. a) Caùc soá töï nhieân n vaø 2n coù toång caùc chöõ soá
baèng nhau. Chöùng minh raèng n chia heát cho 9.
b) Tìm soá chính phöông n coù ba chöõ soá, bieát raèng n
chia heát cho 5 vaø neáu nhaân n vôùi 2 thì toång caùc chöõ soá cuûa
noù khoâng ñoåi.
1/.(Daïng 3) Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá, sao cho neáu
coäng noù vôùi soá coù hai chöõ soá aáy vieát theo chieàu ngöôïc laïi
thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.
14/. (Daïng 3) Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, bieát
raèng : caùc chöõ soá haøng traêm, haøng nghìn, haøng chuïc, haøng
ñôn vò theo thöù töï ñoù laøm thaønh boán soá töï nhieân lieân tieáp
taêng daàn.
15/. (Daïng 3) Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, bieát
raèng chöõ soá haøng nghìn baèng chöõ soá haøng ñôn vò vaø soá
chính phöông ñoù vieát ñöôïc döôùi daïng (5n+4)2 vôùi n Î N.
16/. (Daïng 1) Cho soá töï nhieân A goàm 100 chöõ soá 1, soá
töï nhieân B goàm 50 chöõ soá 2. Chöùng minh raèng A – B laø moät
soá chính phöông.
17/. (Daïng 1) Coù hay khoâng coù moät soá chính phöông maø
soá ñoù goàm 1995 chöõ soá 1 vaø caùc chöõ soá coøn laïi laø chöõ
soá 0
18/. (Daïng 1) Caùc soá sau coù laø soá chính phöông khoâng :
a) A = 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20
b) B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100
c) C = 11 + 112 + 113
19/. (Daïng 1) Tìm soá töï nhieân n sao cho toång
1! + 2! + 3! + … + n! laø moät soá chính phöông.
- 16 -

17. 20/. (Daïng 1) Soá naøo laø soá chính phöông; soá naøo khoâng
n-2 soá 9 n soá 0
laø soá chính phöông?
a) 21000 b) 31993 c) 4161 d) 1921945
21/. (Daïng 1) Chöùng minh raèng soá 22499...9100...09 laø soá
chính phöông
22/. (Daïng 1) Chöùng minh raèng 100! khoâng phaûi laø soá
chính phöông.
23/. (Daïng 4) Chöùng minh raèng toång cuûa n soá leû daàu
tieân laø moät soá chính phöông: 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n2
24/. (Daïng 4) Chöùng minh raèng: Toång laäp phöông caùc soá
töï nhieân lieân tieáp töø 1 laø moät soá chính phöông: 13 +23 +…+
n3 = (1 + 2 +…+ n)2
25/. Chöùng minh raèng toång caùc chöû soá cuûa moät số
chính phương khoâng theå baèng 5.
26/. Bình phöông caùc soá 1, 2, 3, …, 1982 roài vieát chuùng
lieàn nhau theo moät thöù töï naøo ñoù. Coù ñöôïc moät soá coù
nhieàu chöõ soá laø số chính phương khoâng ?
27/. Số chính phương coù theå baét ñaàu baèng 1983 chöõ soá
9 khoâng ?
28/. Toàn taïi hay khoâng soá töï nhieân A maø khi vieát theâm
chính noù vaøo beân phaûi seõ ñöôïc số chính phương khoâng ?
29/. Soá töï nhieân N laø moät số chính phương vaø khoâng taän
cuøng baèng chöõ soá 0. Sau khi xoùa hai chöõ soá cuoái cuøng cuûa
noù ta laïi ñöôïc moät số chính phương. Tìm soá N lôùn nhaát coù tính
chaát treân.
30/. Chöùng minh raèng caùc soá 16, 1156, 111556, … trong
ñoù moãi soá baét ñaàu baèng chöõ soá thöù hai, baèng soá lieàn
- 17 -

18. tröôùc noù xen soá 15 vaøo giöõa, laø nhöõng số chính phương. (xem
muïc “Baïn tin khoâng ?”)
31/. Tìm taát caû caùc soá coù boán chöõ soá maø khi vieát noù
vaøo beân phaûi soá 400 seõ ñöôïc moät số chính phương.
32/. Toång caùc chöõ soá cuûa moät số chính phương coù theå
baèng 1983 khoâng? 1984 khoâng?
33/. Chöùng minh raèng moãi soá haïng cuûa daõy soá 11, 111,
1111, … khoâng theå laø số chính phương.
34/. Vieát taát caû caùc soá töï nhieân töø 1 ñeán 1976 theo
thöù töï baát kì. Chöùng minh raèng soá vieát ñöôïc khoâng laø số
chính phương.
- 18 -

19. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI HOAËC ÑAÙP SOÁ
1/. a) Soá A khoâng taän cuøng moät soá chaün chöõ soá 0
(3 chöõ soá 0). neân khoâng laø soá chính phöông.
b) Ta coù B = 20012001 = (20011000)2 . 2001
Soá 2001 coù toång caùc chöõ soá laø 3 chia heát cho
ba nhöng khoâng chia heát cho 9 => B khoâng laø soá chính phöông.
2/. a) n2 = abab=101.abÞab101 , voâ lí.
b) n2 = abcabc=1001.abcÞabc1001 , voâ lí.
c) n2 = ababab=10101.ab= 3.7.13.37.abÞab10101 , voâ lí.
3/. A = abc+bca+cab = 111a+ 111b + 111c
= 3.37.(a+ b + c)
soá chính phöông chöùa thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ
chaün,
do ñoù a+b+c = 37k2 (kÎN). Voâ lí vì a+b+c ≤ 27.
Vaäy A khoâng laø soá chính phöông.
4/. Ñaùp soá : 2304 = 482
5/. Ñaùp soá : 2704 = 522
6/. Ñaùp soá : 3025 = 552
7/. a) Khoâng phaûi laø soá chính phöông vì soá môùi taïo
thaønh chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9
- 19 -

20. b) Khoâng phaûi laø soá chính phöông vì soá môùi taïo
thaønh chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9
8/. a) Toång caùc chöõ soá cuûa A laø 903 neân A 3 do ñoù
b) A chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân A
khoâng laø soá chính phöông.
Hay A coù soá goác laø 3 neân khoâng phaûi laø soá
c) A khoâng laø soá chính phöông neân soá löôïng caùc
öôùc khoâng theå laø leû.
9/. Toång caùc chöõ soá töø caùc soá laäp ñöôïc laø 15 chia
heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân moãi soá laäp ñöôïc
khoâng phaûi laø soá chính phöông
10/. Vì n coù 2 chöõ soá neân 10 ≤ n ≤ 99 neân 21 ≤ 2n + 1 ≤
199. Caùc soá chính phöông leû trong khoaûng treân laø 25; 49; 81;
121; 169.
25 49 81 121 169
laø hôïp soá
chính phöông
n 12 24 40 60 84
3n + 1 37 73 121 181 253
Chæ coù soá 3n + 1 = 121 laø soá chính phöông. Vaäy n = 40
11/. Ñaùp soá : 20; 45; 80
12/. a) Goïi toång caùc chöõ soá cuûa n vaø cuûa soá 2n laø k
=> ta coù n – k  9 vaø 2n – k  9; do ñoù (2n – k) – (n – k)  9 hay n
 9
b) soá chính phöông phaûi tìm  5;  9 vaø coù 3 chöõ
soá neân coù 2 ñaùp soá : 225 vaø 900
13/. n2 = ab+ ba ; coù 8 ñaùp soá: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92.
- 20 -

21. 14/. Giaû söû n2 =(a+1)a(a+2)(a+3) chöõ soá taän cuøng cuûa
soá chính phöông laø a + 3 chæ coù theå baèng 4; 5; 6; 9.
Töông öùng ta coù n2 baèng 2134; 3245;4356;7689
Chæ coù 4356 = 662 coøn caùc tröôøng hôïp coøn laïi loaïi
15/. Soá 5n + 4 taän cuøng laø 4 hoaëc 9. Ta xeùt 2 tröôøng
hôïp:
TH 1: Soá 5n + 4 taän cuøng laø 4 thì (5n + 4)2 taän cuøng laø 6.
Caàn tìm caùc soá coù daïng 6 **6 laø bình phöông cuûa moät soá
taän cuøng baèng 4. Khoâng coù soá naøo thoûa maõn vì 742 = 5476
<6 **6 < 7056 = 842
TH 2: Soá 5n + 4 taän cuøng laø 9 thì (5n + 4)2 taän cuøng laø 1.
Caàn tìm caùc soá coù daïng 1**1 laø bình phöông cuûa moät soá
taän cuøng baèng 9.
Ta thaáy 292 = 841 <1**1< 2401 = 492 coøn 392 = 1521
Vaäy soá caàn tìm laø 1521
16/. Ta coù A = 11...100...0 + 11...1
11...1 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá
Ñaët C = thì B = 2C
Suy ra A = C.1050 + C
do ñoù A – B = C.1050 + C – 2C = C(1050 – 1).
Ta coù 1050 – 1 = 99...9 = 9C
50 chöõ soá
Vaäy A – B = C. 9C = 9C2 = (3C)2 = 99...9laø soá chính
50 chöõ soá
phöông.
17/. Giaû söû A = 11...100...0
1995 soá 1
Toång caùc chöõ soá cuûa A baèng:
1+1+ ...+1+ 0 + 0 + ...+ 0 = 1995 laø moät soá chia heát cho 3 nhöng
1995 soá 1
khoâng chia heát cho 9 neân A khoâng laø soá chính phöông.
- 21 -

22. Vôùi n = 2 thì 1! + 2! = 3 khoâng laø soá chính phöông
Vôùi n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 9 = 32 laø soá chính phöông
Vôùi n ³ 4 thì 1! + 2! +…+ n! taän cuøng baèng 3 neân
khoâng laø soá chính phöông. (Thaäy vaäy 1! + 2! + 3! + 4! = 33,
coøn 5!; 6! … ñeàu taän cuøng baèng 0).
n-2 soá 9
18/. a) Khoâng vì A taän cuøng 3 chöõ soá 0
b) Khoâng (xem ví duï 2 daïng 1)
c) Khoâng vì C coù chöõ soá taän cuøng laø 3
19/. Vôùi n = 1 thì 1! = 1 = 12
Vaäy n = 1 hay n = 3
20/. a) 21000 = 22.500 = (2500)2
b) 31993 = 31992.3 = (3996)2.3
c) 4161 = (22)161 = (2161)2
d) 192 192 .2 (192 )2 1945 1994 1994 = =
21/. Ta coù
22499...9100...09 = 224.102n + 99...9.10n+2 +10n+1 + 9
n-2 soá 9 n soá 0 n-2 soá 9

= 224.102n +(10n-2 -1).10n+2 +10n+1 + 9
= 224.102n +10n-2.10n+2 -1.10n+2 +10n+1 + 9
= 224.102n +102n -10n+2 +10n+1 + 9
= 225.102n -(102 -10).10n + 9
= (15.10n )2 -2.3.15.10n +9
= (15.10n -3)2 laø số chính phương
22/. Ta coù 100! = 1.2.3…100
Ta ñi tìm soá coù taän cuøng laø 2 hoaëc 5 (vì 2.5 = 10)vaø taän
cuøng laø 0
Coù 10 soá taän cuøng laø 2 laø: 2; 12; 22; 32; 42; 52; 62;
72; 82; 92.
- 22 -

23. Coù 10 soá taän cuøng laø 5 laø: 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65;
75; 85; 95.
=> Tích cuûa chuùng coù 10 chöõ soá 0 taän cuøng
Coù 9 soá taän cuøng laø 1 soá 0 : 10; 20; 30; 40; 50; 60;
70; 80; 90.
Coù 1 soá taän cuøng laø 2 soá 0 : 100
Vaäy 100! coù 10 + 9 + 2 = 21 (leû) chöõ soá 0 taän cuøng neân
khoâng laø số chính phương.
23/. Giaû söû coâng thöùc: 1 + 2 + 3 + … + (2n + 1) = n2 (1)
ñuùng vôùi n=k, ta chöùng minh coâng thöùc (1) ñuùng vôùi n = k + 1.
Theo quy naïp ta coù:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
Suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.
24/. Theo baøi toaùn cuûa Gauss ta coù:
1+ 2 + 3+ ...+ n = n(n + 1)
2
1 2 3 ... n n (n 1)
2 + 2
3 + 3 + 3 + + 3 = (1)
Baøi toùan trôû thaønh cmr: 4
Giaû söû coâng thöùc (1) ñuùng vôùi n, ta chöùng minh coâng
thöùc (1) ñuùng vôùi n + 1. Theo quy naïp ta coù :
3
2 2
1 + 2 + 3 + ...+ n + (n + 1) = n (n + 1) + +
3 3 3 3 3 (n 1)
4
[ ]
3 2 2 2 2
= n2 (n + 1) + 4(n + 1)= + + + = (n + 1) (n + 2)
4
(n 1) n 4(n 1)
4
4
Suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.
- 23 -