Dokumen tersebut membahas tentang model matematika aliran panas pada benda homogen berdasarkan persamaan panas satu dimensi dengan syarat batas suhu nol pada ujung benda. Metode pemisahan variabel digunakan untuk menentukan solusi umum persamaan tersebut yang kemudian digunakan untuk menyelesaikan contoh soal tentang waktu suhu maksimum batang tembaga turun menjadi 50°C.

1. ILUSTRASI FENOMENA FISIK
u(x,t)
ISOLATOR
X
t xo xt

2. PENENTUAN
MODEL MATEMATIKA

3. Aliran panas di dalam suatu benda homogen mengikuti persamaan
panas:
Dengan adalah suhu dalam benda tersebut, k adalah
konduktifitas
termal, s adalah panas jenis, dan r adalah kerapatan benda,
adalah
Laplacian dari u, dan relatif terhadap koordinat Kartesius x, y, z:
Sebagai salah satu penerapan penting, marilah kita tinjau suhu pada
suatu

4. Maka u tergantung hanya pada x dan waktu t dan
persamaan panasnya menjadi apa yang dinamakan
persamaan panas berdemensi-satu, yaitu:

5. penyelesaian
MODEL MATEMATIKA

6. Marilah kita mulai dengan kasus kedua ujung batangnya (x=0
dan
x=L) dipertahankan pada suhu nol. Maka syarat-syarat
batasnya
adalah:
untuk setiap t > 0.
Jika f(x) adalah suhu awal batang tersebut, maka syarat
awalnya
adalah:
diketahui
Selanjutnya, kita akan menentukan solusi u(x,t) bagi (1) yang
memenuhi (2)& (3).

7. Langkah Pertama. Dengan menerapkan metode pemisahan variabel,
mula-mula kita tentukan solusi bagi (1) yang memenuhi syarat batas (2
Kita mulai dengan:
Sehingga diperoleh:
Kita simpulkan bahwa kedua ruas itu pasti sama dengan suatu konstan
misalnya k.
Untuk , misalkan , sehingga kita peroleh dari (5):

8. Diperoleh:
Kita lihat bahwa ini menghasilkan dua persamaan diferensial
biasa:

9. Langkah Kedua. Kita perhatikan (6).
Dengan menggunakan pers. bantu diperoleh:
Solusi umumnya adalah:
Syarat batas atas (2) berakibat bahwa:
dan

10. Jika G=0, berimplikasi u=0 (tidak mungkin)
Jika G≠0, maka F(0)=0 dan F(L)=0.
Dari (8):


Untuk 
Berdasarkan (*)& (**) diperoleh:

11. Dengan mengambil B=1, kita memperoleh solusi (6) yang
memenuhi (2):
Sekarang dari (7):
Integralkan kedua ruas:

12. Diketahui , maka:
Solusi umumnya adalah:
Jadi, fungsi-fungsi:
Merupakan solusi bagi pers. panas (1) yang memenuhi (2).
,

13. Langkah Ketiga. Untuk memperoleh solusi yang juga
memenuhi (3),
kita perhatikan:
(10)

14. CONTOH SOAL
Misalkan suhu di dalam sebatang tembaga yang telah
diisolasi
yang panjang 80 cm suhu awalnya adalah 100 sin (πx/80)° C
dan
ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0°C. Berapa lama
sampai
suhu maksimum di dalam batang tembaga itu turun menjadi
50°C?
Data fisik untuk tembaga:
Kerapatan 8.92 gr/cm3, panas jenis 0,092 kal/°C, konduktifitas
termal 0.95 kal/cm det°C.

15. Penyelesaian
Diketahui : Panjang = L = 80 cm
Konduktivitas termal = K = 0,95 kal/cm det
°C
Panas jenis = s = 0,092 kal/gr °C
Kerapatan = ρ = 8,92 gr/cm3

16. Syarat awal menghasilkan:

18. Dari perhitungan di atas, kita peroleh:
Di dalam dibutuhkan , dengan
Sehingga diperoleh:
Solusi bagi adalah
Selanjutnya:
detik
menit