.

1. Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Sangaku
19, 999 προβλήµατα στη Γεωµετρία
Πάνω σε µία ιδέα του Ανδρέα Πούλου
Λυγάτσικας Ζήνων
email: zenon7@otenet.gr
20 ∆εκεµβρίου 2015

2. Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Το sangaku είναι πινακίδες προβληµάτων γεωµετρίας που επινοήθηκαν και εφαρµόστηκαν ευρέως στην
Ιαπωνία κατά τη διάρκεια των αιώνων, κυρίως όταν η Ιαπωνία αποµονώθηκε από ∆υτικές επιρροές, γύρω στο
16ο αιώνα. Η γεωµετρία στην Ιαπωνία είναι ένα µίγµα τέχνης και µαθηµατικών. Τα sangaku, είναι ξύλινες
πινακίδες, κάτι σαν tablet εποχής, µε Ϲωγραφισµένα γεωµετρικά και αριθµητικά στοιχεία και ϕυλασσόταν
συνήθως στους ϐουδιστικούς ναούς ή στα ιερά Sinhto. Κάθε πινάκιο δηλώνει ένα ϑεώρηµα ή πρόβληµα.
Είναι ένας τροπος επικοινωνίας των µαθηµατικών ώστε να κοινοποιήσουν την εκφώνηση καθώς και την
επισυναπτόµενη απόδειξη ενός ϑεωρήµατος ή την λύση ενός προβλήµατος. Τα sangaku είναι ϕθαρτά, και
η πλειοψηφία τους έχει αποσυντεθεί και εξαφανιστεί κατά τη διάρκεια των δύο τελευταίων αιώνων, αρκετά
όµως από αυτά έχουν διασωθεί µέχρι σήµερα. Στην Ελλάδα για πρώτη ϕορά παρουσιάστηκαν τα προβλήµατα
αυτά στο τεύχος 4 του Απολλώνιου, περιοδική έκδοση της ΕΜΕ Ηµαθίας, από τον Γιάννη Απλακίδη το 2004.
Μπορείτε να το ϐρείτε στην ιστοσελίδα του παραρτήµατος.
Ας δούµε ένα πρόβληµα του τύπου sangaku:
Στο παρακάτω σχήµα ϐλέπουµε ένα σχέδιο sangaku. Το sangaku αυτό απεικονίζει το γνωστό µας ϑεώ-
ϱηµα: Η εγγεγραµµένη γωνία είναι το ήµισυ της αντίστοιχης επικέντρου.
Στη συνέχεια δίνουµε 19 προβλήµατα από το ϐιβλίο H. Fukagawa & D. Pedoe Japanese Temple Geometry
Problems Sangaku Winnipeg, Canada, 1989.
Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015 2

3. 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1 Προβλήµατα wasan
1.1 ∆ύο κύκλοι εφαπτόµενοι εξωτερικά
Το διπλανό sangaku αναπαριστά δύο κύ-
κλους εφαπτοµένους εξωτερικά και εφαπτό-
µενους ταυτόχρονα σε µία ευθεία στα σηµεία
A και B.
Αν η ακτίνα του µεγάλου κύκλου είναι R και
του µικρού r να δείξετε ότι AB2
= 4 · r · R.
1.2 ∆ύο κύκλοι µεσα σε τετράγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά δύο κύ-
κλους ίδιας ακτίνας R εφαπτοµένους εξωτερι-
κά ανάµεσά τους και ταυτόχρονα εφαπτοµέ-
νους στις πλευρές ενός τετραγώνου πλευράς
α.
Να ϐρεθεί ο λόγος
α
R
.
1.3 Τέσσερες κύκλοι σε τετράγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά τέσσερες
κύκλους ίδιας ακτίνας R εφαπτοµένους εξω-
τερικά ανα δύο και τέσσερες εξ αυτών εφά-
πτονται στις πλευρές ενός τετραγώνου πλευ-
ϱάς α.
Να ϐρεθεί ο λόγος
α
R
.
3 Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015

4. Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN
1.4 Τρείς κύκλοι ανάµεσα από δύο παράλληλες
Το διπλανό sangaku αναπαριστά τρείς κύ-
κλους µε ακτίνες αντίστοιχα r3 < r2 < r1 εφα-
πτοµένους ανά δύο και ταυτόχρονα ευρισκό-
µενοι µεταξύ δύο παραλλήλων εφαπτοµένων
ευθειών, όπως ϕαίνονται στο σχήµα.
Να ϐρεθεί ο λόγος
r2
1
r2 · r3
.
1.5 Τρείς κύκλοι σε ισόπλευρο τρίγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά ένα ισό-
πλευρο τρίγωνο πλευράς 1 και τους τρείς εγ-
γεγραµµένους κύκλους στα τρία µικρότερα
και ίσα µεταξύ τους εσωτερικά τρίγωνα.
Να δείξτε ότι η διάµετρος ενός κύκλου είναι
ίση µε 0.26794
1.6 Κύκλοι σε κανονικό πεντάγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά ένα κανονι-
κό πεντάγωνο πλευράς 1. Χαράξτε στο εσω-
τερικό του 5 ισοσκελή και ίσα µεταξύ τους
τρίγωνα καθώς και τους εγγεγραµµένους κύ-
κλους.
Να δείξτε ότι η διάµετρος ενός κύκλου είναι
ίση µε 0.509052
Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015 4

5. 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1.7 ∆ύο κύκλοι και τετράγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά δύο ίσους
εφαπτοµένους εξωτερικά κύκλους ακτίνας r
εφαπτόµενους σε ευθεία. Μεταξύ των κύκλων
και της ευθείας υπάρχει τετράγωνο µε πλευ-
ϱά α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα.
Να ϐρείτε τη πλευρά α συναρτήσει της ακτί-
νας r.
1.8 ∆ύο κύκλοι και τετράγωνο bis
Το διπλανό sangaku αναπαριστά δύο εφα-
πτοµένους εξωτερικά κύκλους ακτίνας r και
R µε R > r, εφαπτόµενους σε ευθεία. Με-
ταξύ των κύκλων και της ευθείας υπάρχει
τετράγωνο µε πλευρά x, το οποίο έχει τις δύο
κορυφές στους κύκλους και την τρίτη στην
ευθεία, όπως ϕαίνεται στο σχήµα.
Να ϐρείτε την ελάχιστη δυνατή τιµή του x σε
όρους των r και R.
Το πρόβληµα είναι άλυτο. Ονοµάζεται πρό-
ϐληµα του Morikawa.
1.9 Κύκλοι σε ϱόµβο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά έναν ϱόµβο
ο οποίος έχει δύο κόκκινους κύκλους ακτί-
νας r δύο λευκούς ακτίνας r1 και πέντε µπλέ
κύκλους ακτίνας r2.
∆είξτε ότι r2 =
r1
2
ή µπλέ=λευκό/2.
5 Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015

6. Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN
1.10 Τέσσερες κύκλοι σε τετράγωνο -bottom right corner
Το διπλανό sangaku αναπαριστά ένα τετρά-
γωνο, δύο κύκλους ακτίνας r που εφάπτονται
στο κέντρο και δύο µικρότεροι κύκλοι ακτί-
νας t που εφάπτονται τις δύο πλευρές του τε-
τραγώνου και τις κοινές εφαπτόµενες των δύο
προηγούµενους κύκλους.
Να ϐρεθεί η ακτίνα ο λόγος t σε όρους της
ακτίνας r.
1.11 Κύκλοι σε κύκλο -top left corner
Το διπλανό sangaku αναπαριστά έναν κύκλο
AB = 2R. Με κέντρα τα A και B γράφουµε
σύο κύκλους ακτίνας R, δύο κύκλους µε διά-
µετρο R, τέσσερες κύκλους κόκκινους ακτί-
νας r και τέσσερες µπλέ ακτίνας r , όπως στο
σχήµα.
Να δείξετε ότι r = r =
R
2
.
1.12 Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά τέσσερες
κύκλους εγγεγραµµένους σε τετράγωνο, εφα-
πτόµενους µεταξύ τους και ίσους ανα δύο µε
ακτίνες r και t, r > t. Το τετράγωνο είναι εγ-
γεγραµµένο σε ορθογώνιο τρίγωνο. ∆ύο κύ-
κλοι είναι εγγεγραµµένοι στα δύο µικρά ορ-
ϑογώνια τρίγωνα µε ακτίνες r και R, R > r.
∆είξτε ότι R = 2t.
Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015 6

7. 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1.13 Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο bis
Το διπλανό sangaku αναπαριστά ένα
ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος του και
τον εγγεγραµµένο σε αυτό κύκλο
ακτίνας R. ∆ύο µικροί κύκλοι είναι
εφαπτόµενοι µεταξύ των δύο καθέτων
πλευρών του τριγώνου, του εγγεγραµ-
µένου κύκλου και του ύψους µε ακτί-
νες r και t.
∆είξτε ότι: r =
R
√
γ +
√
R
2
και
t =
R
√
β +
√
R
2
.
1.14 Το γνωστό τετράγωνο µε το εσωτερικό ισόπλευρο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά ένα ισό-
πλευρο τρίγωνο στο εσωτερικό τετραγώνου µε
την ίδια πλευρά. Υπάρχει ο εγγεγραµµένος
κύκλος στο ισόπλευρο ακτίνας R και δύο άλ-
λοι εφαπτόµενοι στο τετράγωνο και στις πλευ-
ϱές του ισοπλεύρου τριγώνου ακτίνων r.
Να ϐρεθεί η ακτίνα t µε όρους της ακτίνας R.
1.15 Κύκλοι σε κύκλο
Το παρακάτω sangaku, Σχήµα 1, αναπαριστά δέκα ίσους κύκλους ακτίνας
r, εφαπτόµενους σε κύκλο και µεταξύ τους. Αν E είναι εµβαδόν του µεγάλου
κύκλου µείον το εµβαδόν των δέκα κύκλων, να υπολογίσετε τη διάµετρο των
µικρών ίσων κύκλων.
7 Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015

8. Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN
2r =
4E
π 2
√
8 − 1
Σχῆµα 1: Sangaku 1.15.
1.16 Σφαίρα και κύλινδροι
Το διπλανό sangaku αναπαριστά δύο ίσους
και εφαπτόµενους κυλίνδρους ακτίνας r οι
οποίοι διαπερνάν µια σφαίρα. Αν η ευθεία
εφαρµογής των κυλίνδρων διέρχεται από το
κέντρο της σφαίρας και η ακτίνας της είναι
2r, να δείξετε ότι:
ο όγκος της σφαίρας που κόπηκε από τους
κυλίνδρους είναι V =
16
9
(2r)3
καθώς και η
επιφάνειά της που κόπηκε επίσης από τους
δύο κυλίνδρους είναι E = 8(2r)2
.
1.17 ΄Ελλειψη και κύκλοι
Το sangaku στο Σχήµα 2, αναπαριστά µία έλλειψη και πέντε κύκλους ακτί-
νας r1, r2 και r3. Οι κύκλοι ακτίνας r3 και r2 εφάπτονται στην ευθεία όπως
Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015 8

9. 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
ϕαίνεται στο Σχήµα 2. Υποθέτουµε ότι ο κύκλος ακτίνας r1 είναι ίση µε τη
καµπυλότητα της έλλειψης στο τέλος του µεγάλου άξονα1
. ∆είξτε ότι r3 =
r1
3
.
Σχῆµα 2: Sangaku 1.17.
1.18 Κύκλοι σε τραπέζιο
Το διπλανό sangaku αναπαριστά πέντε κύ-
κλους δύο ακτίνας α, ένας ακτίνας β και δύο
ακτίνας γ. Οι κύκλοι εφάπτονται µεταξύ τους
και σε ένα ισοσκελές τραπέζιο.
Να ϐρεθεί η ακτίνα β συναρτήσει των α και γ.
1
Αν 2α ο µεγάλος άξονας και 2β ο µικρότερος, τότε η ακτίνα r1 =
β2
α
.
9 Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015

10. Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ WASAN
1.19 Υπολογισµός µήκους
Το διπλανό sangaku αναπαριστά τον εγγε-
γραµµένο κύκλο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο
καθώς και τον κύκλο που διέρχεται από δύο
κορυφές του τριγώνου και είναι εφαπτόµενος
εσωτερικά τουεγγεγραµµένου κύκλου.
Να ϐρείτε την σχέση µεταξύ του α και β, ό-
που α είναι το ευθύγραµµο τµήµα κάθετο στο
µέσο της πλευράς του τριγώνου.
Π ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής - 20 ∆εκεµβρίου 2015 10