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あおいたんのパズルを数学しましょうか
長月葵
@aoi_nagatsuki
aoitan@wankuma.com

わんくま同盟 東京勉強会 #82
はじめに

わんくま同盟 東京勉強会 #82
まえおき
• おなまえあおいたん
• どうも最近数学キャラ扱いされがちだけど実はそう数学キャ
ラでもない
– あおいたんはあくまでもソフトウェア工学の基礎として数学基礎論を
嗜んでるだけですよ!

• エヴァリスト・ガロアは
– 読者にとって、...
おねがい

• わからないことは単語でもページ数でもいいのでと
にかくメモしてください
– 後で質問したい場合は手元に残る何かに
– わからなかったところがあおいたんのところに届けばいい
ならアンケートに
– ページのタイトルがユニークにしてあ...
アジェンダ1

•
•
•
•
•
•

まずはおさらい
第一部 解けるパズル解けないパズル
第二部 あみだくじの足し算
第三部 8パズルの足し算
まとめ
付録

わんくま同盟 東京勉強会 #82
アジェンダ2

• 全部はやれない自信があります
• とりあえずおさらいと第一部第二部がやれれ
ばいいと思っています
• 第三部が本題ではありますが必要な道具は
第二部までで揃います
– 第三部に辿りつけなかったら休憩と懇親会で話し
ましょう
...
まずはおさらい

わんくま同盟 東京勉強会 #82
15パズル - 概要

• スライドパズルの元祖です
ね
• よく見る 4  4 のピースの並
びがひとつ欠けていてスラ
イドさせて絵合わせするや
つです
– 最初は数字並べだったようです

• ルービックキューブが出てくるまでパズルの
王様...
15パズル - ルール

• 4  4 のピースを並べたものから一つ取り除い

た盤を用いる
• スライドしてピースのないところと隣接する
ピースを交換できる
• シャッフルされた状態から特定の順序に並び
替えるのが目的
44

• 以下で...
足し算 - 基本

• a個のものとb個のものを並べて数えること
(を抽象化したもの)
• 2個のりんごと3個のりんごを並べて数えると5
個
• と言うのを数だけ取り出して 2  3  5 と書きま

しょうねと約束したものが足し算です
•...
足し算 - 法則

• 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中
で一番細かいものの範囲に収まる
– 整数と整数の足し算なら整数になる
– 整数と実数の足し算なら実数になる

• 足し算の並びはどこから計算しても結果が変
わらない
– (3 ...
パズルを数学しましょうか
第一部 解けるパズル解けないパズル
わんくま同盟 東京勉強会 #82
8パズルを数字で表す

• 毎度図示するのは大変なのでここからは8パ
ズルを数字の並びで表します
• 例えば出来上がりの図は
– 1 2 3 4 5 6 7 8

• とします
• 空きスペースは無視します

わんくま同盟 東京勉強会 #8...
置換を配列で表す

• 8パズルの状態をある状態から別の状態にす
ることを置換と呼ぶことにします
• 置換を2行の数字の列で表します
• 例えば出来上がりの図から一つ入れ替えると
– 1 2 3 4 5 7 8 6 

• になります
• ...
巡回置換にする1

• ある置換
–  1 2 3 4 5 6 7 8

 8 1 4 3 7 6 2 5




• があったとき

わんくま同盟 東京勉強会 #82
巡回置換にする2

– 1→8→5→7→2→1
– 3→4→3
– 6→6

• と元の数まで辿れる組を見つけられます

わんくま同盟 東京勉強会 #82
巡回置換にする3

• これらを
– (1 2 5 7 8)
– (3 4)
– (6)

• と書いて巡回置換と呼ぶことにします

わんくま同盟 東京勉強会 #82
置換の符号1

• 巡回置換の要素数を長さと呼びましょう
– (1 2 5 7 8)=5
– (3 4)=2
– (6)=1

• です

わんくま同盟 東京勉強会 #82
置換の符号2

• この巡回置換の長さ-1の合計が偶数だったら
正、奇数だったら負と言うことにします
– もうちょっと数学的に書くと巡回置換の長さ-1の合
計を-1の冪に乗せて
•  1( 51)( 21)(11)  1
– の...
置換の符号は不変量

• スライドをどのように操作してもそこから得ら
れる置換の符号は変わりません
• 置換の符号は不変量です
– 不変量というのは何らかの操作をしても変わらな
い物や値のことを言います
– ここではスライド操作をしても符号が変...
解けないパズル - 解けない形

• 8パズルにはどうやっても解けないダメ形があ
ります
– 1 2 3 4 5 6 8 7 

• からは
– 1 2 3 4 5 6 7 8

• にはできません

わんくま同盟 東京勉強会 #82
解けないパズル - 符号の確認

• 置換の符号を確かめてみます
– 1 2 3 4 5 6 7 8 


1 2 3 4 5 6 8 7   (1)( 2)(3)(4)(5)(6)(7 8)



 1(11)(11...
解けないパズル1

• もしスライド操作でダメ形から完成形にできる
としたら
• スライド操作では符号は変化しないので
– ダメ形の符号=完成形の符号

• になるはずです

わんくま同盟 東京勉強会 #82
解けないパズル2

• 上の等式をそれぞれの符号で置き換えると
– -1=1

• になって矛盾する
• なのでスライド操作でダメ形から完成形にで
きるは成り立たちません
• まとめると8パズルが解けるためには符号が1
でなければならないわけで...
パズルを数学しましょうか
第二部 あみだくじの足し算
わんくま同盟 東京勉強会 #82
あみだくじ1

• 8パズルもパターンが多いのでまずはパター
ンが足し算できることをあみだくじでみていき
ましょう
• ここからはあみだくじを数字で表していきます
– 縦線三本のあみだくじを扱います
• 今後あみだくじ3と書きます

– スター...
あみだくじ2
–
–
–
–
–

1 2 3
|-| |
| |-|
|-| |
1 2 3

– という形があったとき1から3、2から2、3から1に
行くので
• 3 2 1
• と書きます

わんくま同盟 東京勉強会 #82
あみだくじ3の結果のパターン

• あみだくじ3の結果には以下のパターンがあり
ます

1
1
2
2
3
3

2 3

3 2
1 3
3 1

1 2
2 1
わんくま同盟 東京勉強会 #82
あみだくじ3のパターンの省略

• あみだくじのパターンは無限にありますね
• でも結果のパターンは有限です
– あみだくじ3の結果のパターンは前ページの6通り
です

• なので結果が同じものはその結果になる最小
のパターンまで端折ることにし...
あみだくじ3の足し算

• あみだくじのパターンは並べることで行き先を
変えられます
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–

1 2 3
|-| | = (2 1 3)
1 2 3
+
1 2 3
| |-| = (1 3 2)
1 ...
もう一度おさらい - 足し算の法則

• 足し算の法則は
– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で
一番細かいものの範囲に収まる
– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら
ない
– 0を足しても値は変わらない

• なのであみだく...
あみだくじ3の足し算の法則1

• あみだくじ3の足し算はどうでしょう
– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で
一番細かいものの範囲に収まる
• あみだくじの結果のパターンをどう並べてもあだくじの
結果のパターンに収まります

わんくま...
あみだくじ3の足し算の法則2

– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら
ない
• あみだくじの結果のパターンの並びはどこの並び二つ
を取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわ
りません

わんくま同盟 東京勉強会 #82
あみだくじ3の足し算の法則3

– 0を足しても値は変わらない
• あみだくじの結果のパターンには何もしない並び
– 1 2 3
• があるので0のような動きになります

わんくま同盟 東京勉強会 #82
パズルを数学しましょうか
第三部 8パズルの足し算
わんくま同盟 東京勉強会 #82
8パズルのパターン

• 沢山あります
– 8!ぐらいあるので並べません
– ただしこの中には解けないパターンがあるので都
度置換の符号を確かめましょう

わんくま同盟 東京勉強会 #82
8パズルの足し算

• 8パズルのパターンはそれに必要なスライド
操作を続けて行うことで結果が変えられます
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–

1
4
7
1
4
5

2
5
8
2
6
8

3
6 = 初期配置
3 例) 1 2 3...
8パズルの足し算の法則1

• 8パズルの足し算の法則も確認しましょう
– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で
一番細かいものの範囲に収まる
• 8パズルの結果のパターンをどう並べても8パズルの結
果のパターンに収まります

わんくま同...
8パズルの足し算の法則2

– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら
ない
• 8パズルの結果のパターンの並びはどこの並び二つを
取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわり
ません

わんくま同盟 東京勉強会 #82
8パズルの足し算の法則3

– 0を足しても値は変わらない
• 8パズルの結果のパターンには何もしない並び
– 1 2 3 4 5 6 7 8
• があるので0のような動きになります

わんくま同盟 東京勉強会 #82
まとめ

• これまで見たように置換で動きを表現できる
パズルはすべて置換の足し算で表現できます
• 今回見た内容をちゃんとやると対称群と言う
概念になります
• 群論は構造を整理する強力な道具なので一
度勉強してみると世の中が楽しく見えるかも...
付録

わんくま同盟 東京勉強会 #82
参考文献

わんくま同盟 東京勉強会 #82
対称群と15ゲーム

• 平成21年度 数学特別講義I
• 対称群と15ゲーム
– 佐垣 大輔
– http://ocw.tsukuba.ac.jp/25a0-v-165705b66985e/65705b66727952258b1b7fa9i/...
数学ガール - ガロア理論

• 数学ガール ガロア理論
– 結城浩
– http://www.amazon.co.jp/dp/4797367547/aoiro
yozora-22

• 第二部の内容はこの本の第一章と第三章を
参考にしました
...
群論の味わい

• 群論の味わい -置換群で解き明かすルービッ
クキューブと15パズル- [単行本]
– David Joyner (著), 川辺 治之 (翻訳)
– http://www.amazon.co.jp/dp/4320019415/...
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わんくま勉強会東京#82 あおいたんのパズルを数学しましょうか

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わんくま勉強会東京#82 あおいたんのパズルを数学しましょうか

  1. 1. あおいたんのパズルを数学しましょうか 長月葵 @aoi_nagatsuki aoitan@wankuma.com わんくま同盟 東京勉強会 #82
  2. 2. はじめに わんくま同盟 東京勉強会 #82
  3. 3. まえおき • おなまえあおいたん • どうも最近数学キャラ扱いされがちだけど実はそう数学キャ ラでもない – あおいたんはあくまでもソフトウェア工学の基礎として数学基礎論を 嗜んでるだけですよ! • エヴァリスト・ガロアは – 読者にとって、著者がわかっていない事を明確にしている科学書が もっとも有用で、難しさを包み隠すことがもっとも有害であるということ は、残念ながら余り気づかれていない。 • と言いましたが今回は敢えて隠していきます • ちゃんとした話がしたい人は懇親会で • 多分質疑応答の時間は取れないので質問は休憩時間か懇 親会で わんくま同盟 東京勉強会 #82
  4. 4. おねがい • わからないことは単語でもページ数でもいいのでと にかくメモしてください – 後で質問したい場合は手元に残る何かに – わからなかったところがあおいたんのところに届けばいい ならアンケートに – ページのタイトルがユニークにしてあるのでページ数がわ からなければタイトルを書いてください • ほぼ間違いなくその疑問はおぼえていられないので まずメモりましょう • メモる時間が取れるかはちょっと保障しかねます(マ テ わんくま同盟 東京勉強会 #82
  5. 5. アジェンダ1 • • • • • • まずはおさらい 第一部 解けるパズル解けないパズル 第二部 あみだくじの足し算 第三部 8パズルの足し算 まとめ 付録 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  6. 6. アジェンダ2 • 全部はやれない自信があります • とりあえずおさらいと第一部第二部がやれれ ばいいと思っています • 第三部が本題ではありますが必要な道具は 第二部までで揃います – 第三部に辿りつけなかったら休憩と懇親会で話し ましょう • 時間が足りないので数学的にちゃんとした言 葉での説明はしません – 要望があればブログに書きます わんくま同盟 東京勉強会 #82
  7. 7. まずはおさらい わんくま同盟 東京勉強会 #82
  8. 8. 15パズル - 概要 • スライドパズルの元祖です ね • よく見る 4  4 のピースの並 びがひとつ欠けていてスラ イドさせて絵合わせするや つです – 最初は数字並べだったようです • ルービックキューブが出てくるまでパズルの 王様でした わんくま同盟 東京勉強会 #82
  9. 9. 15パズル - ルール • 4  4 のピースを並べたものから一つ取り除い た盤を用いる • スライドしてピースのないところと隣接する ピースを交換できる • シャッフルされた状態から特定の順序に並び 替えるのが目的 44 • 以下では数字が多いとめんどくさいので8パ ズルを扱います わんくま同盟 東京勉強会 #82
  10. 10. 足し算 - 基本 • a個のものとb個のものを並べて数えること (を抽象化したもの) • 2個のりんごと3個のりんごを並べて数えると5 個 • と言うのを数だけ取り出して 2  3  5 と書きま しょうねと約束したものが足し算です • ちょっと頭おかしくなると集合の直和と元の数だとか関 数の入れ子の数だとか0と或る数の次の数を得る操作 をn回繰り返すだとかで表現しちゃうわけですが気にな る人は懇親会で誰かに聞いてね わんくま同盟 東京勉強会 #82
  11. 11. 足し算 - 法則 • 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中 で一番細かいものの範囲に収まる – 整数と整数の足し算なら整数になる – 整数と実数の足し算なら実数になる • 足し算の並びはどこから計算しても結果が変 わらない – (3  5)  7  3  (5  7)  15 • 0を足しても値は変わらない – 50  05  5 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  12. 12. パズルを数学しましょうか 第一部 解けるパズル解けないパズル わんくま同盟 東京勉強会 #82
  13. 13. 8パズルを数字で表す • 毎度図示するのは大変なのでここからは8パ ズルを数字の並びで表します • 例えば出来上がりの図は – 1 2 3 4 5 6 7 8 • とします • 空きスペースは無視します わんくま同盟 東京勉強会 #82
  14. 14. 置換を配列で表す • 8パズルの状態をある状態から別の状態にす ることを置換と呼ぶことにします • 置換を2行の数字の列で表します • 例えば出来上がりの図から一つ入れ替えると – 1 2 3 4 5 7 8 6  • になります • このような置換は – 1 2 3 4 5 6 7 8   1 2 3 4 5 7 8 6     • と書くことにします わんくま同盟 東京勉強会 #82
  15. 15. 巡回置換にする1 • ある置換 –  1 2 3 4 5 6 7 8   8 1 4 3 7 6 2 5    • があったとき わんくま同盟 東京勉強会 #82
  16. 16. 巡回置換にする2 – 1→8→5→7→2→1 – 3→4→3 – 6→6 • と元の数まで辿れる組を見つけられます わんくま同盟 東京勉強会 #82
  17. 17. 巡回置換にする3 • これらを – (1 2 5 7 8) – (3 4) – (6) • と書いて巡回置換と呼ぶことにします わんくま同盟 東京勉強会 #82
  18. 18. 置換の符号1 • 巡回置換の要素数を長さと呼びましょう – (1 2 5 7 8)=5 – (3 4)=2 – (6)=1 • です わんくま同盟 東京勉強会 #82
  19. 19. 置換の符号2 • この巡回置換の長さ-1の合計が偶数だったら 正、奇数だったら負と言うことにします – もうちょっと数学的に書くと巡回置換の長さ-1の合 計を-1の冪に乗せて •  1( 51)( 21)(11)  1 – のようにして正負を得ます • これで得られた正負を置換の符号と呼ぶこと にします わんくま同盟 東京勉強会 #82
  20. 20. 置換の符号は不変量 • スライドをどのように操作してもそこから得ら れる置換の符号は変わりません • 置換の符号は不変量です – 不変量というのは何らかの操作をしても変わらな い物や値のことを言います – ここではスライド操作をしても符号が変わらないこ とを言っています わんくま同盟 東京勉強会 #82
  21. 21. 解けないパズル - 解けない形 • 8パズルにはどうやっても解けないダメ形があ ります – 1 2 3 4 5 6 8 7  • からは – 1 2 3 4 5 6 7 8 • にはできません わんくま同盟 東京勉強会 #82
  22. 22. 解けないパズル - 符号の確認 • 置換の符号を確かめてみます – 1 2 3 4 5 6 7 8   1 2 3 4 5 6 8 7   (1)( 2)(3)(4)(5)(6)(7 8)     1(11)(11)(11)(11)(11)(11)( 21)  1 • 対して完成形の符号が – 1 2 3 4 5 6 7 8   1 2 3 4 5 6 7 8   (1)(2)(3)( 4)(5)(6)(7)(8)     1(11)(11)(11)(11)(11)(11)(11)(11)  1 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  23. 23. 解けないパズル1 • もしスライド操作でダメ形から完成形にできる としたら • スライド操作では符号は変化しないので – ダメ形の符号=完成形の符号 • になるはずです わんくま同盟 東京勉強会 #82
  24. 24. 解けないパズル2 • 上の等式をそれぞれの符号で置き換えると – -1=1 • になって矛盾する • なのでスライド操作でダメ形から完成形にで きるは成り立たちません • まとめると8パズルが解けるためには符号が1 でなければならないわけです わんくま同盟 東京勉強会 #82
  25. 25. パズルを数学しましょうか 第二部 あみだくじの足し算 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  26. 26. あみだくじ1 • 8パズルもパターンが多いのでまずはパター ンが足し算できることをあみだくじでみていき ましょう • ここからはあみだくじを数字で表していきます – 縦線三本のあみだくじを扱います • 今後あみだくじ3と書きます – スタート位置に1,2,3と番号を振ります – ゴール位置にも1,2,3と番号を振ります わんくま同盟 東京勉強会 #82
  27. 27. あみだくじ2 – – – – – 1 2 3 |-| | | |-| |-| | 1 2 3 – という形があったとき1から3、2から2、3から1に 行くので • 3 2 1 • と書きます わんくま同盟 東京勉強会 #82
  28. 28. あみだくじ3の結果のパターン • あみだくじ3の結果には以下のパターンがあり ます 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  29. 29. あみだくじ3のパターンの省略 • あみだくじのパターンは無限にありますね • でも結果のパターンは有限です – あみだくじ3の結果のパターンは前ページの6通り です • なので結果が同じものはその結果になる最小 のパターンまで端折ることにします わんくま同盟 東京勉強会 #82
  30. 30. あみだくじ3の足し算 • あみだくじのパターンは並べることで行き先を 変えられます – – – – – – – – – – – – 1 2 3 |-| | = (2 1 3) 1 2 3 + 1 2 3 | |-| = (1 3 2) 1 2 3 = 1 2 3 |-| | | |-| = (3 1 2) 1 2 3 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  31. 31. もう一度おさらい - 足し算の法則 • 足し算の法則は – 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で 一番細かいものの範囲に収まる – 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら ない – 0を足しても値は変わらない • なのであみだくじが足し算できるならこれらが できるはずです わんくま同盟 東京勉強会 #82
  32. 32. あみだくじ3の足し算の法則1 • あみだくじ3の足し算はどうでしょう – 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で 一番細かいものの範囲に収まる • あみだくじの結果のパターンをどう並べてもあだくじの 結果のパターンに収まります わんくま同盟 東京勉強会 #82
  33. 33. あみだくじ3の足し算の法則2 – 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら ない • あみだくじの結果のパターンの並びはどこの並び二つ を取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわ りません わんくま同盟 東京勉強会 #82
  34. 34. あみだくじ3の足し算の法則3 – 0を足しても値は変わらない • あみだくじの結果のパターンには何もしない並び – 1 2 3 • があるので0のような動きになります わんくま同盟 東京勉強会 #82
  35. 35. パズルを数学しましょうか 第三部 8パズルの足し算 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  36. 36. 8パズルのパターン • 沢山あります – 8!ぐらいあるので並べません – ただしこの中には解けないパターンがあるので都 度置換の符号を確かめましょう わんくま同盟 東京勉強会 #82
  37. 37. 8パズルの足し算 • 8パズルのパターンはそれに必要なスライド 操作を続けて行うことで結果が変えられます – – – – – – – – – – 1 4 7 1 4 5 2 5 8 2 6 8 3 6 = 初期配置 3 例) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 7 4 6 8 4 6 8 6 7 8 6 7 4 6 7 7 5 7 5 4 5 4 5 8 5 8 = 初期配置+(1 2 3 5 6 4 7 8) 1 2 3 6 7 4 = 初期配置+(1 2 3 5 6 4 7 8)+(1 2 3 5 6 4 7 8) 5 8 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  38. 38. 8パズルの足し算の法則1 • 8パズルの足し算の法則も確認しましょう – 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で 一番細かいものの範囲に収まる • 8パズルの結果のパターンをどう並べても8パズルの結 果のパターンに収まります わんくま同盟 東京勉強会 #82
  39. 39. 8パズルの足し算の法則2 – 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わら ない • 8パズルの結果のパターンの並びはどこの並び二つを 取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわり ません わんくま同盟 東京勉強会 #82
  40. 40. 8パズルの足し算の法則3 – 0を足しても値は変わらない • 8パズルの結果のパターンには何もしない並び – 1 2 3 4 5 6 7 8 • があるので0のような動きになります わんくま同盟 東京勉強会 #82
  41. 41. まとめ • これまで見たように置換で動きを表現できる パズルはすべて置換の足し算で表現できます • 今回見た内容をちゃんとやると対称群と言う 概念になります • 群論は構造を整理する強力な道具なので一 度勉強してみると世の中が楽しく見えるかもし れないですよ わんくま同盟 東京勉強会 #82
  42. 42. 付録 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  43. 43. 参考文献 わんくま同盟 東京勉強会 #82
  44. 44. 対称群と15ゲーム • 平成21年度 数学特別講義I • 対称群と15ゲーム – 佐垣 大輔 – http://ocw.tsukuba.ac.jp/25a0-v-165705b66985e/65705b66727952258b1b7fa9i/ 300c5bfe79f07fa430681530fc30e0300d30b93 0e930a4-pdf30d530a130a430eb • -第一部の内容はこのPDFを参考にしました わんくま同盟 東京勉強会 #82
  45. 45. 数学ガール - ガロア理論 • 数学ガール ガロア理論 – 結城浩 – http://www.amazon.co.jp/dp/4797367547/aoiro yozora-22 • 第二部の内容はこの本の第一章と第三章を 参考にしました わんくま同盟 東京勉強会 #82
  46. 46. 群論の味わい • 群論の味わい -置換群で解き明かすルービッ クキューブと15パズル- [単行本] – David Joyner (著), 川辺 治之 (翻訳) – http://www.amazon.co.jp/dp/4320019415/aoiro yozora-22 • 群によるパズルの表現と全体の構成はこの 本の第一章、第三章、第五章、第八章以降を 参考にしました わんくま同盟 東京勉強会 #82

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