Sfera opisannaya vokrug_mnogogrannika

1. ,Сфера описанная
вокруг
многогранника
Курышова Н.Е. СПб лицей 488

2. Определение: Многогранник
называется вписанным в сферу
(вписанным в шар), если все вершины
многогранника принадлежат этой сфере.
Про сферу в этом случае говорят, что
сфера описана около многогранника.

3. • Вспомним, что множество
точек, равноудалённых от
концов отрезка в плоскости,
есть серединный
перпендикуляр,
проведённый к этому
отрезку.
А В С
АВ=ВС
m
Выясним, в какой
точке будет
находиться
центр такой
сферы.

4. • Множество точек,
равноудалённых от двух
данных точек, есть
плоскость,
перпендикулярная к отрезку
с концами в данных точках,
проходящих через его
середину (плоскость
серединных
перпендикуляров).
А
В
С
АВ=ВС
А так же

5. • Множество точек,
равноудалённых от «n» данных
точек («n» больше 2), лежащих
на одной окружности, есть
прямая, перпендикулярная
плоскости этих точек,
проходящая через центр
описанной около них
окружности.
А
В
С
DE
O
m
Значит центр сферы
будет лежать на
прямой m.

6. • Значит, около любой
треугольной пирамиды
можно описать сферу.
А В
С
M
H
O
1О
Посмотри, как
описать сферу,
вокруг треугольной
пирамиды

7. • Если около основания
пирамиды можно описать
окружность, то около этой
пирамиды можно описать
сферу.
• Следствие: Около любой
правильной пирамиды
можно описать сферу.
А В
С
D
M
O
1о
HДелаем
вывод:

8. • Центр сферы, описанной
около пирамиды, высота
которой проектируется в
центр описанной окружности
вокруг основания, лежит на
середине диаметра,
проведённого через центр
этой окружности,
перпендикулярно ей.
А
В
С
D
Е
2R
H
r
2R-HТак как Н – центр сферы,
то НВ=НА, значит Н
лежит на серединном
перпендикуляре,
проведенному к АВ.

9. • Центр сферы, описанной около
пирамиды лежит в точке
пересечения прямой
перпендикулярной основанию
пирамиды, проходящей через
центр описанной около основания
окружности и плоскости,
перпендикулярной любому
боковому ребру, проведённой
через середину этого ребра.
Значит, что

10. Спасибо за
внимание!