2. Давайте дадим точное
определение: Сфера —
замкнутая поверхность,
геометрическое место точек
в пространстве,
равноудалённых от данной
точки, называемой центром
сферы.
Все пространство по отношению к данной
шаровой поверхности разбивается на внутреннюю
область (куда можно присоединить и точки самой
поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей
называется шаром.
Также сфера является шаровой поверхностью.
3. Итак, шар - геометрическое место всех точек,
удаленных от заданной точки О (центра) на
расстояние, не превышающее данной
величины R (радиуса). Шаровая поверхность
является границей, отделяющей шар от
окружающего пространства.
4. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-
нибудь точку сферы, называется радиусом сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и
проходящий через её центр, называется диаметром
сферы.
5. Плоскость, имеющая со сферой только
одну общую точку, называется
касательной плоскостью к сфере, а их
общая точка называется точкой касания
плоскости и сферы.
Плоскость, проходящая через центр шара,
называется диаметральной плоскостью. Сечение
шара диаметральной
плоскостью называется
большим кругом ,
а сечение сферы —
большой окружностью.
6. Давайте выведем уравнение сферы. Зададим систему
координат. Пусть центр сферы это точка С и имеет
координаты (x0;y0;z0). Возьмем точку М,
принадлежащую данной сфере. Пусть она имеет
текущие координаты (x;y;z). Найдем расстояние от
точки М до точки С.
М(x;y;z)
Это расстояние и будет
радиусом окружности.
СМ=R= (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 + (𝑧 − 𝑧0)2
7. Значит, 𝑅2
= (𝑥 − 𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
+ (𝑧 − 𝑧0)2
. Если т.
М не лежит на сфере, то MC не равно R, т.е.
координаты точки М не удовлетворяют уравнению.
Мы вывели уравнение сферы
𝑅2
= (𝑥 − 𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
+ (𝑧 − 𝑧0)2
8. Неравенство шара выводится также, как и уравнение
сферы. Зададим систему координат. Пусть центр
сферы-это точка С и имеет координаты
(x0;y0;z0).Возьмем точку М, принадлежащую
данному шару. Пусть она имеет текущие
координаты (x;y;z). Расстояние от точки М до точки
С будет меньше или равно радиусу шара, тогда (𝑥 −
𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
+ (𝑧 − 𝑧0)2
≤ 𝑅2
Это выражение и
является неравенством шара.
(𝑥 − 𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
+ (𝑧 − 𝑧0)2
≤ 𝑅2
9. Пусть нам задана некоторая сфера с центром в точке
С и радиусом R. Пусть d - это расстояние от центра
сферы до некоторой плоскости. Зададим систему
координат таким образом, чтобы ось аппликат
проходила через центр сферы, а оси абсцисс и
ординат лежали в заданной плоскости. Тогда точка С
будет иметь координаты (0;0;d).
10. Уравнение сферы тогда примет вид
𝑥2
+ 𝑦2
+ (𝑧 − 𝑑)2
= 𝑅2
. А плоскость можно задать
уравнением z=0. Тогда запишем в виде системы.
Подставив первое уравнение системы во второе
получим: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 − 𝑑2. Возможны 3 случая:
11. 1) Если d>R, то уравнение не будет иметь решений, а
значит сфера и плоскость не пересекаются.
2) Если d=R, то решением уравнения будет лишь
пара чисел x и y, значит, что сфера и плоскость
касаются в единственной точке.
3) Если d<R, то уравнение будет иметь бесконечно
много решений, а значит плоскость будет пересекать
сферу.
(причем сечением сферы
будет окружность,
а сечением шара круг).
12. Рассмотрим некоторые теоремы, связанные с
касательной плоскостью к сфере.
Теорема 1: Радиус сферы, проведённый в точку
касания сферы и плоскости, перпендикулярен к
касательной плоскости.
13. Доказательство: Воспользуемся методом от
обратного. Предположим, что СА не
перпендикулярен плоскости. Где С- центр сферы, а
А- точка касания. Тогда СА>R, ведь СА-наклонная.
Но точка А принадлежит данной сфере, значит, мы
получаем противоречие. Из чего следует, что радиус
сферы, проведённый в точку касания сферы и
плоскости, перпендикулярен к касательной
плоскости.
14. Теорема 2: Если радиус сферы перпендикулярен
к плоскости, проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта плоскость является
касательной к сфере.
Доказательство: Из условия теоремы следует, что
данный радиус является перпендикуляром,
проведённым из центра сферы к данной плоскости.
Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости
равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и
плоскость имеют только одну общую точку. Это
означает, что данная плоскость является касательной
к сфере.
15. Для определения площади сферы воспользуемся
понятием описанного многогранника. Многогранник
называется описанным около сферы (шара) , если
сфера касается всех его граней. При этом сфера
называется вписанной в многогранник. Пусть
описанный около сферы многогранник имеет n-
граней. Будем неограниченно увеличивать n таким
образом, чтобы наибольший размер каждой грани
стремился к нулю.
16. За площадь сферы примем предел
последовательности площадей поверхностей
описанных около сферы многогранников при
стремлении к нулю наибольшего размера каждой
грани( lim
𝑛→+∞
𝑆 𝑛−угольника). Можно доказать, что этот
предел существует, и получить формулу для
вычисления площади сферы радиуса R :
𝑆сферы = 4 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅2
17. Формулы:
(𝑥 − 𝑥0)2
+ (𝑦 − 𝑦0)2
+ (𝑧 − 𝑧0)2
≤ 𝑅2 Неравенство шара
𝑅2 = (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 + (𝑧 − 𝑧0)2
Уравнение сферы
𝑆сферы = 4 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅2
Площадь поверхности шара
𝑉шара =
4
3
∗ 𝜋 ∗ 𝑅3 Объём шара
Запомните эти формулы. Они пригодятся вам при
решении многочисленных задач на тему
«Сфера и Шар»
