Dokumen tersebut membahas tentang berbagai jenis himpunan bilangan seperti bilangan asli, bulat, rasional, irasional, real dan kompleks serta operasi-operasi yang terkait. Diuraikan pula hierarki hubungan antar himpunan bilangan tersebut.

1. Dyah Paminta Rahayu
Universitas Terbuka
2021
Tutorial 2
Himpunan Bilangan dan Operasinya
Pengantar Matematika (MATA4101)
Modul 2

2. I. Himpunan Bilangan
 Himpunan Bilangan Asli
 Himpunan Bilangan Cacah
 Himpunan Bilangan Bulat
 Himpunan Bilangan Rasional
 Himpunan Bilangan Irasional
II. Bilangan Real dan Bilangan Komplek
 Himpunan Bilangan Real
 Himpunan Bilangan Kompleks
 Hierarki Himpunan Bilangan
Materi

3. Setelah mengikuti tutorial ini diharapkan Anda dapat:
 Membedakan bilangan prima dan bilangan komposit;
 menjelaskan dan mengoperasikan bilangan asli;
 menjelaskan bilangan 0;
 menjelaskan dan mengoperasikan himpunan bilangan bulat;
 menjelaskan dan mengoperasikan himpunan bilangan Rasional;
 menjelaskan dan mengoperasikan himpunan bilangan Irasional;
 menjelaskan dan mengoperasikan himpunan bilangan Real;
 mengenal bilangan imajiner; dan
 mengenal himpunan bilangan kompleks.
Kompetensi

4. Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli, 
 1,2,3,4...
Himpunan bilangan Asli diberi notasi = { }, terdiri dari;
a. Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1, yang
hanya memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri.
Himpunan bilangan prima diberi notasi P,
b. Bilangan Komposist adalah bilangan asli lebih besar 1 yang
bukan bilangan prima. Himpunan bilangan komposit diberi
notasi , { 4 , 6 , 8 , 9 , . . . }
K K 
{2,3,5,7,11,...}
P 
Himpunan Bilangan Prima dan Komposit saling asing/lepas.
Hubungan bilangan Asli, Prima, dan Komposit dapat dituliskan sbb;
P K
  
{1}
 P K
  

5. Himpunan Bilangan
Bilangan 0 dan Himpunan Bilangan Cacah
 
{0} {0} {1,2,3,...} {0,12,3,5,7,11,...}
a     
Himpunan Bilangan Bulat adalah gabungan himpunan bilangan
negatif dari bilangan asli dan himpunan bilangan cacah, maka
Himpunan Bilangan Bulat, 
Himpunan Bilangan Cacah adalah gabungan bilangan 0 (nol)
dan himpunan bilangan asli, diberi notasi , maka
a
{... 3, 2, 1} {0,1,2,3,,...}
{... 3, 2, 1,0,1,2,3...}
n a
     
   

 


6. Himpunan Bilangan
Bilangan Ganjil
Bilangan dikatakan Ganjil, jika ditemukan bilangan bulat ( ),
sehingga berlaku 2 1 atau 2 1

n k k
n k n k

   
Bilangan Genap

Bilangan dikatakan Genap, jika ditemukan bilangan bulat ( ),
sehingga berlaku 2
n k k
n k


Contoh;
a. 7 ganjil, karena untuk 3 , berlaku 7 2( ) 1 2(3) 1
b. 9 ganjil, karena untuk 4 , berlaku 9 2( ) 1 2( 4) 1
k k
k k
     
         


Contoh;
a. 8 genap, karena untuk 4 , berlaku 8 2( ) 2(4)
b. 14 genap, karena untuk 7 , berlaku 14 2( ) 2( 7)
k k
k k
   
       



7. Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan Bilangan Rasional adalah pembagian dua bilangan
bulat dengan pembagi tidak nol, sbb

| , , dan 0
m
q q m n n
n
 
   
 
 
 
* sering disebut sebagai Pecahan,
sebagai pembilang, dan n sebagai penyebut
3 2
* Jika , disebut pecahan sejati ,
5 7
4 8
* Jika , disebut pecahan tidak sejati ,
3 6
m
n
m
m n
m n
 
 

8. Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Rasional ,

* Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal
dengan ciri-2;
(1) angka terakhir di belakang koma (,) adalah 0
1
contoh 0,50 0,5
2
1
0,00160 0,0016
625
  
  
(2) angka terakhir di belakang koma (,) berulang
2
contoh 0,222... berulang angka 2
9
1
1 1,33333... berulang angka 3
3
  
  

9. Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Irasional
Apabila dalam bentuk decimal, ciri Himpunan Bilangan
Irasional kebalikan dari ciri Himpunan Bilangan Rasional, yaitu
 angka di belakang koma tidak berakhir 0 dan tidak berulang
r
I
Contoh * 2 1, 414213562373...
* 3,1415926535...

 
 
Pembulatan bilangan desimal
Misalnya kita akan menuliskan 3 angka di belakang koma, caranya sbb
 Jika angka ke-4 bernilai 4 atau kurang dari 4 maka angka ke-3 tetap
 Jika angka ke-4 bernilai 5 atau lebih besar 5 maka angka ke-3
ditambah 1
Contoh * 2 1, 414213562373... 2 1, 414
* 3,1415926535... 3,142
 
   
   

10. Himpunan Bilangan Real
Bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai {... - 3,-2,-1,0,2,1,...}
Bilangan terawal dan terakhir, karena tidak dapat didefinisikan
maka diberi notasi (minus tak hingga) dan (tak hingga)
 
   
Himpunan bilangan Real memiliki jangkauan dari
sampai (minus tak hingga sampai tak hingga).
Jika digambarkan dalam garis bilangan, tampak sbb;

  

11. Urutan
Apabila urutan ''lebih kecil dari'' diberi notasi '' '', ''
didefinisikan sebagai
0 (positif)
maka urutan ''
x y y x
 
   
Himpunan Bilangan Real
Perhatikan himpunan bilangan Real yang digambarkan pada
garis bilangan berikut. Misalkan ada 4 bilangan, yaitu;
10, 2, 5, 8.
w x y dan z
    
Dari urutan terlihat bahwa w lebih kecil dari , lebih kecil dari ,
lebih kecil dari . Jika dihitung; 5 2 3, lebih besar dari 0 (positif)
x x y
y z y x
   

12. Himpunan Bilangan Komplek
Himpunan bilangan Kompleks didefinisikan dan diberi notasi sbb;
{ | ( , ); bagian real ditulis Re( ) dan
bagian imajiner ditulis Im( )}
 z z x y x z z
y z z
 
2
Himpunan bilangan Kompleks didefinisikan dan diberi notasi sbb;
dengan
{ | ; , 1}
 
z z a bi a b i
     
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
Contoh;
1.
2.
3.
(2,3), Re( ) 2, Im( ) 3; atau 2 3
( 1
,4), Re( ) 1, Im( ) 4; atau 1 4
1 1 1
( 2, ), Re( ) 2, Im( ) ; atau 2
2 2 2
Z Z
Z Z
Z Z
z z i
z z i
z z i
    
       
          

13. Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional
membentuk himpunan bilangan Real ,
Himpunan bilangan rasional memuat himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan

   
   
r
r
I
I
 
 
cacah memuat himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan bilangan asli merupakan gabungan dari bilangan 1,
himpunan bilangan prima , dan himpunan bilangan komposit
{1}
Himpunan bilang
   

  
a a
P K
P K
 
 
an cacah merupakan gabungan dari bilangan 0 dan
himpunan bilangan asli
{0}
Himpunan bilangan bulat merupakan gabungan dari himpunan cacah
dan himpunan bilangan asli negatif
Ap


  
 

   
a
a
a
n
a n
 
 
abila ditulis dalam bentuk himpunan bagian;
    
a
    
Hierarki Himpunan Bilangan

14. Hierarki Himpunan Bilangan
Bagan pembentukan
bilangan dapat dilihat
pada gambar disamping;