1. Лекція 9. Метод множниківЛагранжа
Розглянемо частинний випадок задачі нелінійного програмування.
Знайти екстремум функції
(8.1)
при обмеженнях
, (8.2)
де обмеження (8.2) складаються лише із рівнянь, відсутні умови невід’ємності, функції
і неперервні разом із своїми частинними похідними.
Задача (8.1)─(8.2) називається задачею на умовний екстремум, або класичною
задачею оптимізації.
Основна ідея методу множників Лагранжа полягає в переході від задачі пошуку
умовного екстремуму до задачі знаходження безумовного екстремуму деякої спеціальним
чином побудованої функції Лагранжа.
Для задачі (8.1)─(8.2) складаємо функцію Лагранжа:
, (8.3)
де ─ множники Лагранжа за числом обмежень.
Для пошуку екстремуму функції Лагранжа (8.3) обчислюємо та прирівнюємо до
нуля частинні похідні по :
(8.4)
В результаті маємо систему рівнянь із невідомими
Ця система є необхідною умовою екстремуму функції Лагранжа (8.3).
Розв’язавши систему рівнянь (8.4), знаходимо стаціонарну точку в якій
може бути екстремум функції , (або з’ясовуємо, що стаціонарних точок
немає). Для визначення виду екстремуму в точці потрібно перевірити достатню умову
дослідженням похідних більш високих порядків від функцій та
.
Слід зазначити, що кожен множник Лагранжа визначає «реакцію»
значення цільової функції на зміну відповідного параметра . Отже,
знаючи конкретні значення , можна визначити ступінь впливу обмежень
на отримане значення цільової функції та визначити, яке з обмежень найкраще змінити
для отримання, наприклад, максимального приросту цільової функції .
Розроблений відносно класичної постановки задачі оптимізації метод множників
Лагранжа має ряд недоліків і для розв’язання практичних задач використовується не дуже
широко. Але функцію Лагранжа можна змінити і отримати метод модифікованої функції
max(min)),...,( 1 nxxf
),...,( 1 ni xxg ),...,1( mi
),...,( 1 nxxf ),...,( 1 ni xxg
,,...,( 1 n
xxL
m
i
niiinm
xxgbxxf
1
111
),...,(),...,(),...,
m
,...,1
,X
).,...,1(,0)(
),(
),...,1(,0
)()(),(
1
miXgb
XL
nj
x
Xg
x
Xf
x
XL
ii
i
j
i
m
i
i
jj
mn mn ,,...,1 n
xx
.,...,1 m
),,...,( 00
1 n
xxX
),...,( 1 n
xxf
X
)(Xf )(Xgi
),...,1( mi
i
),...,1( mi
)(Xf i
b ),...,1( mi
i ),...,1( mi
)(Xf
2. Лагранжа, який досить ефективно використовується для розв’язання загальної задачі
нелінійного програмування (7.1)─(7.3), яка включає обмеження-рівності, обмеження-
нерівності і умови невід’ємності змінних.
Ідея методу множників Лагранжа має значення для дослідження властивостей
нелінійних задач і успішно використовується в нелінійному програмуванні.
Приклад. Використовуючи метод множників Лагранжа, визначити екстремум
функції
(8.5)
при обмеженнях
(8.6)
Розв’язання. Складемо функцію Лагранжа. Оскільки обмеження тільки одне, то
множник Лагранжа буде один .
Знайдемо частинні похідні по і :
Прирівнюючи похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь для визначення
стаціонарних точок:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо Отже,
отримали стаціонарну точку Перевіримо достатню умову екстремуму в
цій точці. Для цього знаходимо другі похідні і обчислюємо матрицю Гессе:
Оскільки матриця Гессе додатне визначена, а головний мінор першого порядку
>0 і мінор другого порядку
2
2
2
1
)3()2()( xxXf
.721 xx
).7()3()2(),( 21
2
2
2
1
xxxxXL
,1
x 2
x
.7
),(
;)3(2
),(
;)2(2
),(
21
2
2
1
1
xx
XL
x
x
XL
x
x
XL
.07
;0)3(2
;0)2(2
21
2
1
xx
x
x
,3*
1
x ,4*
2
x .2*
,3(*
X ,4 ).2
.4
20
02
)()(
)()(
2
2
*2
12
*2
21
*2
2
1
*2
x
Xf
xx
Xf
xx
Xf
x
Xf
H
H
2
1
*2
1
)(
x
Xf
M
3. >0,
то функція опукла і в точці має абсолютний мінімум
Можна зазначити, що такий самий результат отримаємо, якщо дослідження задачі на
умовний екстремум функції зведемо до дослідження на безумовний екстремум
функції , отриманої перетворенням функції . Для цього з рівняння (8.6)
знайдемо і підставимо його у вираз (8.5). В результаті отримаємо функцію
однієї змінної :
Знайдемо стаціонарну точку цієї функції
Маємо стаціонарну точку За аналогією із наведеним прикладом
встановлюємо, що точка є точкою мінімуму і функція в цій точці набуває
мінімального значення.
2
2
*2
12
*2
21
*2
2
1
*2
2
)()(
)()(
x
Xf
xx
Xf
xx
Xf
x
Xf
M
)(Xf *
X .2)( 2
min
Xff
)(Xf
)(1 Xf )(Xf
21 7 xx
2
x
.)3()5()3()27()( 2
2
2
2
2
2
2
21 xxxxXf
.084)3(2)1)(5(2
)(
222
2
1
xxx
x
Xf
,3*
1
x .4*
2
x
*
X )(Xf
