1. 1
о

2.  Похідна́ — основне поняття диференційного
числення, що характеризує швидкість зміни функції.
Визначається як границя відношення приросту
функції до приросту її аргументу коли приріст
аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
Функцію, що має скінченну похідну, називають
диференційовною.
2

3.  Графік функції, що позначено чорним кольором, та
дотична до нього (червоний колір). Значення
тангенса кута нахилу дотичної є значенням
похідної у вказаній точці.
3

4. 4
І.Ньютон сформулював дві основні
проблеми математичного аналізу:
1). Довжина шляху, який долається, є
постійною(тобто в будь-який момент
часу); необхідно знайти швидкість руху
у пропонований час;
2). Швидкість руху постійно дана;
необхідно знайти довжину пройденого у
запропонований час шляху.

5. 5
Задача про миттєву швидкість:
Задача про знаходження змінного струму, який
проходить по провіднику:

6. 6
Друга похідна:
(t)

7. 7
Висновок:

8. 8
N
дотична
січнаM
Дотичною до
кривої в даній
точці M,
називається
граничне
положення січної
MN, коли точка N
прямує вздовж
кривої до точкиM.

9. 9

10. 10









0,
0,
kякщоarctgk
kякщоarctgk


y
xxx 00x
)( 0 xxf 
)( 0xf
y
x
x
tgxf )(' 0
)(' 0xftgk  
k-кутовий коефіцієнт
))((')( 000 xxxfxfy 
рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою .
)(xfy 
0x

11. ),(),( yxfyyxxfz 
11
Якщо обом змінним дати
приріст, то функція отримає
повне перетворення.

12. Функція називаєтся
дифференційованою в точці М(х,у), якщо її
повне перетворення можна представити у
вигляді
,
де Δx и Δy -похідні аргументів х і у в де
М(х,у), А і В –сталі, незалежні від Δx і Δy ,
-відстань між М(х,у)
і
12
),( yxfz 
)(oyBxAz 
22
yx 
),(1 yyxxM 

13. Головна лінійність відносно Δx и Δy частина
повного перетворення функції
називається повним
диференціалом цієї функції і позначається dz
або df(x,y) . Таким чином,
.
13

14. Якщо функція дифференційована в
точці М(х,у),то вона має в цій точці частинні
похідні ,
і
причому =А, а =В .
Таким чином,
.
Якщо , то
14
dyyxfdxyxfdz yx ),(),( 

15. Дифференціалом другого порядку функції z=f(x,y)
називаєтся:
Взагалом:
Якщо х і у незалежні змінні, то
15

16. Нехай функція в деякому
околі точки М(х,у) має частинні
похідні, і , які
неперервні в точці М. Тоді
функція
дифференційована в цій точці.
16

17. Озн. Функція, котра має в деякій точці
неперервні частинні похідні,
називається неперервно
диференційованою в цій точці
17

18. Означення. Говорять, що в точці
функція f (x,y) має максимум, якщо існує
такий окіл цієї точки, що для всіх точок
P(x,y) цього околу, відміннихх від ,
виконується нерівність
Аналогічно визначається мінімум функції.
Мінімум і максимум функції називаються її
екстремумами.
18

19. Теорема (необхідна умова екстремума). В точці
екстремума функції декількох змінних кожна іі
частинна похідна або рівна нулю, або не існує.
Точки, в яких виконуються ці умови, називаются
критичними.
19

20. Теорема. Нехай функція z=f(x,y) визначена і має
неперервні частинні похідні другого порядку в
деякому околі точки , в якої .
Якщо при цьому в цій точці виконується умова
, то точка являється
точкою екстремума функції, причому точкою
максимума, якщо , і точкою мінімума, якщо
.
Якщо в цій точці , то
екстремума в точці немає.
У випадку, якщо в точке
, теорема відповіді не дає.
20
),( 000 yxM 0 yx zz
0)( 2
 xyyyxx zzz 0M
0xxz
0xxz
0)( 2
 xyyyxx zzz
0M
0M0)( 2
 xyyyxx zzz

21. Означення. Найменше або найбільше значення
функції в даній області називається абсолютним
екстремумом функції (абсолютним мінімумом або
абсолютним максимумом відповідно) в цій
21

22. Відповідно теоремі Вейєрштрасса
неперервна в замкнутій області
функція дясягає в ній свого
найбільшого і найменшого
значення.
Абсолютний екстремум
досягається функцією або в
критичних точках або на границі
області.
22

23. Нехай задана
диференційована
функція скалярного
поля u=u(x,y,z) .
 Похідною цієї
функції за
напрямком l
називаєтся
23

24. Похідну за напрямком обчислюють за
формулою
де cosα, cosβ , cosγ-напрямлюючі
вектори.
Для плоского скалярного поля
24