1. Лекція 2. Основні етапи розв’язання задач
До основних етапів розв’язання практичних екстремальних задач з
використанням математичних методів та інформаційно-комп’ютерних
технологій належать наступні:
1. Постановка задачі в реальних фізичних термінах.
Спочатку задача формулюється в змістовних термінах тієї галузі
людської діяльності, де вона виникла. При цьому необхідно чітко
сформулювати проблему, яка виникла у галузі, потім мету, яка має бути
досягнута в результаті вирішення проблеми, визначити структурні й
функціональні елементи, щовідповідають сформульованій меті, виявити
найбільш важливі якісні та кількісні характеристики цих елементів і
взаємозв’язки між ними та метою.
2. Постановка задачі у математичних термінах.
Якщо сформульовану вище мету не можливо досягнути безпосередньо у
тій формі, в якій вона записана, необхідно спробувати зробити це з допомогою
математичних методів, тобто описати умови задачі замість мови змістовних
термінів мовою математики. Процес побудови такого опису називається
формалізацією або побудовою математичної моделі.
Поняття моделі виникло давно i нині воно усвідомлюється як дещо
універсальне, яке реалізується різними способами. Світогляд людства
побудований на нескінченній множині моделей, сама ж модель стала способом
існування знань. Класифікація моделей дуже складна, окремі їх види стали
об’єктами таких наукових дисциплін, як теорія моделей, теорія подібності й т.
ін.
Моделлю називається деякий об’єкт-замінник, який за певних умов може
замінювати об’єкт-оригінал, відтворюючи властивості, які нас цікавлять, та
характеристики оригіналу. Вона має істотні переваги та зручності (наочність,
доступність дослідів, легкість оперування з нею та iн.). Наприклад, глобус є
моделлю Землі, фотографія особи ─ моделлю власника паспорта, опудало ─
моделлю тварини.
Математичною моделлю об’єкта є абстрактна чи знакова модель,
побудована засобами математики ( наприклад, у вигляді системи рівнянь,
графа, логічних побудов та iн.).
Процес побудови математичної моделі починається з введення змінних
x , які відповідають структурним і функціональним елементам або суттєвим
характеристикам об’єкта дослідження, процесу або явища. До множини X
таких змінних x включаються лише ті, які мають чисельні характеристики,
тобто можуть бути виміряні самі, їх вплив на мету також виміряний. При цьому
також мають бути визначені змінні, які не мають чисельних характеристик, але
їх вплив на об’єкт, процес або явище значний.
Встановлені взаємозв’язки між структурними і функціональними
елементами, а також їх характеристиками повинні бути записані у вигляді
системи рівнянь або нерівностей. Ця система відповідає дефіциту відповідних
ресурсів або умов, за яких відбувається певний процес, функціонує об’єкт або
2. існує явище, визначає деяку множину значень x X∈ , від яких залежить цільова
функція та які задовольняють усім умовам задачі. Ця множина значень утворює
допустиму множину або область допустимих значень задачі.
Мета (цілі), що сформульовано, повинні бути описані за допомогою
цільової функції, важливого кількісного показника, мінімізація (максимізація)
якого найбільш відповідає зазначеній цілі. При цьому належить визначити, що
єдиної методики вибору показника не існує. Більш того існує переконання, що є
стільки методів конкретизації цілей, скільки осіб приймає рішення з особистим
досвідом, умінням та навичками. Зазначена мета може бути сформульована у
вигляді сукупності цілей, тоді задача буде багатокритеріальною, в іншому
випадку однокритеріальною.
Отримана математична модель є засобом прогнозування кількісного
показника цільової функції, що очікується при виборі відповідних дій х. Якщо
математична модель дає добрий прогноз, то вона є адекватною. Також
важливим є простота математичної моделі, що дає можливість за обмежені
терміни та обчислювальні можливості здійснювати розрахунки. Важливою
властивістю моделі є її реалізація. Проблемам реалізації та адекватності
математичної моделі присвячено багато наукових робіт.
3. Вибір методів розв’язання задачі.
Після побудови математичної моделі необхідно визначити, до якого типу
математичних задач вона належить. Якщо одержана після формалізації
математична задача належить до певного класу, то метод її розв’язання
обирається з уже існуючих методів. У протилежному випадку необхідно:
- перевірити коректність (адекватність) запису математичної моделі
процесу, об’єкта або явища, що розглядається;
- дослідити властивості цільової функції, зокрема, на неперервність і
диференційованість;
- визначити умови існування розв’язку задачі при заданих обмеженнях;
- встановити необхідні, а за можливістю і достатні умови глобального або
локального екстремуму;
- розробити аналітичні або чисельні методи знаходження розв’язку задачі.
4. Вибір програмних засобів розв’язання задачі.
При цьому необхідно використати існуюче програмне забезпечення для
розв’язання зазначеного типу екстремальних задач. Якщо такого програмного
забезпечення не існує, то необхідно розробити алгоритм і програму, для якого
має бути проведено тестування на контрольних прикладах.
5. Розрахунки задачі та інтерпретація результатів
Використовуючи програмні засоби, необхідно розв’язати задачу з
відповідними реальними даними, після чого здійснити аналіз отриманого
результату. Якщо аналіз показав адекватність отриманих результатів, то
необхідно з’ясувати фізичний зміст цих результатів і сформулювати їх мовою
відповідної предметної галузі. Предметний опис повинен бути зрозумілим
людині, яка приймає рішення.
6. Реалізація проекту отриманих розв’язків
3. Фактичні результати, які дає практика функціонування об’єкта, процесу
або явища, повинні бути використані для уточнення розробленої математичної
моделі, підвищення її адекватності або, у разі необхідності, для її перероблення.
