This document contains solutions to multiple questions about calculating geometric properties of pyramids and tetrahedrons. It provides step-by-step working to determine measures like base area, lateral area, height, volume, and edge length given various known values for regular pyramids and tetrahedrons.

1. QUESTÕES RESOLVIDAS
PIRÂMIDES

2. Celso Brasil 1
Pirâmides
Celso do Rozário Brasil
QUESTÕES RESOLVIDAS DO LIVRO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, VOLUME 10
(FME – Questão 384) Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide regular, cujas
medidas estão indicadas nas figuras abaixo:
(a)
(ii) No triângulo VOM, temos:
(AP)2
= h2
+ (
5
2
)
2
→ (
5
2
√3)
2
= h2
+
25
4
→
25
4
. 3 = h2
+
25
4
→
75
4
= h2
+
25
4
→ h2
=
75
4
−
25
4
→
h2
=
50
4
→ h = √
25.2
4
→ 𝐡 =
𝟓√𝟐
𝟐
𝐜𝐦
(iii) Área lateral = 4 vezes a área do triângulo VCB:
SL = 4 (
5.
5
2 √3
2
) → SL = 4 (
25√3
4
) → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟓√𝟑 𝐜𝐦²
Área da base:
Sb = (Aresta da base)2
→ Sb = 52
→ 𝐒𝐛 = 𝟐𝟓𝐜𝐦²
(iv) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 25 + 25√3 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟓(𝟏 + √𝟑)𝐜𝐦²
(v) Volume:
Vpirâmide =
Sb. h
3
→ Vpirâmide =
25.
5√2
2
3
→ 𝐕𝐩𝐢𝐫â𝐦𝐢𝐝𝐞 =
𝟏𝟐𝟓√𝟐
𝟔
𝐜𝐦³
(i) AP = Apótema da pirâmide
∆VMB: 52
= (AP)2
+ (
5
2
)
2
→ 25 = (AP)2
+ (
25
4
) →
(AP)2
= 25 −
25
4
→ (AP)2
=
100 − 25
4
→ (AP)2
=
75
4
→
AP = √
75
4
→ AP = √
3.25
4
→ 𝐀𝐏 =
𝟓
𝟐
√𝟑

3. Celso Brasil 2
(b)
Área da base = Área do hexágono de lado 4:
Shexágono =
3a²√3
2
→ Shexágono =
3.4²√3
2
→ Shexágono =
3.16√3
2
→ Shexágono =
48√3
2
→ 𝐒𝐡𝐞𝐱á𝐠𝐨𝐧𝐨 = 𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦²
(iii) No triângulo VOM, temos:
(AP)2
= (ab)2
+ h2
→ (AP)2
= (4√6)
2
= 12 + h2
→ h2
= 96 − 12 → h2
= 84 → h = √22. 21 → 𝐡 = 𝟐√𝟐𝟏 𝐜𝐦
(iv) Área lateral:
SL = 6 x Área do triângulo VBN → SL = 6 (
4.4√6
2
) → SL = 6(8√6) → 𝐒𝐋 = 𝟒𝟖√𝟔 𝐜𝐦²
(v) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 24√3 + 48√6 → ST = 24√3 + 48√3. √2 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟒√𝟑(𝟏 + 𝟐√𝟐) 𝐜𝐦²
(v) Volume
Vpirâmide =
Sb. h
3
→ Vpirâmide =
24√3. 2√21
3
→ Vpirâmide =
48√63
3
→ Vpirâmide = 16√9.7 →
Vpirâmide = 16.3√7 → 𝐕𝐩𝐢𝐫â𝐦𝐢𝐝𝐞 = 𝟒𝟖√𝟕 𝐜𝐦³
(FME – Questão 385) De um tetraedro regular de aresta “a”, calcule:
(a) A medida h da altura
(b) A área total (𝑺𝑻);
(c) O volume.
Solução
(a) A medida h da altura:
(i) No triângulo VMN, temos:
(10)2
= 22
+ (AP)2
→ 100 = 4 + (AP)2
→ (AP)2
= 100 − 4 → (AP)2
= 96 →
AP = √22. 22. 6 → 𝐀𝐏 = 𝟒√𝟔 𝐜𝐦
(ii) No triângulo da base OMB, “ab” é o apótema
da base, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
42
= (ab)2
+ 22
→ 16 = (ab)2
+ 4 →
(ab)2
= 16 − 4
(ab)2
= 12 → ab = √4.3 → ab = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦

4. Celso Brasil 3
Base do Tetraedro
(ii) No Triângulo retângulo destacado AMD, temos:
a2
= m2
+ (
a
2
)
2
→ m2
= a2
−
a2
4
→ m2
=
3a2
4
→
m = √
3a2
4
→ 𝐦 = 𝐚
√𝟑
𝟐
(𝐦 = 𝐚𝐩ó𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐚 𝐩𝐢𝐫â𝐦𝐢𝐝𝐞)
Note, agora o triângulo retângulo de base CD, devemos ter:
No triângulo ABO, temos:
a2
= h2
+ (a
√3
3
)
2
→ a2
= h2
+
3a2
9
→
h2
= a2
−
3a2
9
→ h2
=
9a2
− 3a2
9
→ h2
=
6a2
9
→ h = √
6a2
9
→ 𝐡 =
𝐚√𝟔
𝟑
O apótema da base (OM) equivale a 1/3 da altura do
triângulo equilátero ACD, logo:
OM =
1
3
h → OM =
1
3
.
a√3
2
→ 𝐎𝐌 =
𝐚√𝟑
𝟔

5. Celso Brasil 4
(i) Área da base (𝑺𝒃):
Novamente, no triângulo BCD temos a base valendo “a” e a altura “h”, logo:
Sb =
a. h
2
→ Sb =
a. (a
√3
2
)
2
→ 𝐒𝐛 =
𝐚²√𝟑
𝟒
(ii) Área total (𝐒𝐓) = A área total é quatro vezes a área da base (triângulo ACD) (ou face lateral):
ST = 4. Sb → ST = 4 (
a2
√3
4
) → 𝐒𝐓 = 𝐚²√𝟑
(c) Volume
O volume do tetraedro é dado por:
V =
1
3
. Sb, h → V =
1
3
a²√3
4
.
a√6
3
→ V =
a³√18
36
→ V =
a³3√2
36
→ 𝐕 =
𝐚³√𝟐
𝟏𝟐
(FME – Questão 386) Sabendo que a aresta de um tetraedro mede 3 cm, calcule a medida de sua altura,
sua área total e seu volume.
Solução
(i) Cálculo da altura:
htetraedro =
a√6
3
→ htetraedro =
3√6
3
→ 𝐡𝐭𝐞𝐭𝐫𝐚𝐞𝐝𝐫𝐨 = √𝟔 𝐜𝐦
(ii) Cálculo da área total:
ST = 𝐚²√𝟑 → ST = 32
√3 → ST = 9√3 cm²
(iii) Volume:
Vtetraedro =
a³√2
12
→ Vtetraedro =
3³√2
12
→ Vtetraedro =
3.3.3√2
3.4
→ Vtetraedro =
9√2
4
(FME – Questão 387) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que sua
superfície lateral mede 𝟗√𝟑 cm².
Solução
ST = a²√3 → a²√3 = 9√3 → a² = √3 → 𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦
(FME – Questão 388) Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total 𝟏𝟐√𝟑 cm².
Solução
ST = a²√3 → a²√3 = 12√3 → a² = 12 → a = √4.3 → 𝐚 = 𝟐√𝟑
(i) Cálculo da altura:
h =
a√6
3
→ h =
2√3. √6
3
→ h =
2√18
3
→ h =
2√2.9
3
→ h =
6√2
3
→ 𝐡 = 𝟐√𝟐𝐜𝐦

6. Celso Brasil 5
(ii) Volume:
V =
a³√2
12
→ V =
(2√3)³√2
12
→ V =
8√27. √2
12
→ V =
8√32. 3.2
12
→ V =
8.3√6
12
→ 𝐕 = 𝟐√𝟔 𝐜𝐦³
(FME – Questão 389) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que seu volume
mede 𝟏𝟖√𝟐 m³.
Solução
V =
a³√2
12
→
a³√2
12
= 18√2 → a3
= 12.18 → a = √22. 3.2.3²
3
→ a = √23. 3. ³
3
→ 𝐚 = 𝟔 𝐦
(FME – Questão 390) Calcule a área total de um tetraedro regular cujo volume mede 𝟏𝟒𝟒√𝟐 m³.
Solução
V =
a³√2
12
→
a³√2
12
= 144√2 → a3
= 144.12 → a = √12³
3
→ 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐦
ST = a²√3 → ST = (12)²√3 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟒𝟒√𝟑 𝐦²
(FME – Questão 391) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular sabendo que aumentada
em 4 m, sua área aumenta em 𝟒𝟎√𝟑 m².
Solução
ST = a²√3 → a²√3 + 40√3 = (a + 4)2
√3 → √3(a2
+ 40) = (a2
+ 4)2
√3 ÷ (√3) →
a2
+ 40 = a2
+ 8a + 16 → 8a + 16 = 40 → 8a = 40 − 16 → 8a = 24 → 𝐚 = 𝟑 𝐦
(FME – Questão 392) Calcule a medida da altura de um tetraedro regular, sabendo que o perímetro
da base mede 9 cm.
Solução
(i) A base do tetraedro é um triângulo equilátero. Seu perímetro (P) é:
P = 9 → 3a = 9 → a =
9
3
→ 𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦
(ii) Cálculo da altura:
h =
a√6
3
→ h =
3√6
3
→ 𝐡 = √𝟔 𝐜𝐦
(FME – Questão 393) Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular (quadrada), sabendo que o
apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta lateral 10 cm.

7. Celso Brasil 6
(FME – Questão 394) De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm²
e que o apótema da pirâmide mede 6 dm. Calcule:
(a) a aresta da base (ab)
(b) o apótema da base (m)
(c) a altura da pirâmide
(d) a aresta lateral (a)
(e) a área lateral (SL)
(f) a área total (ST).
Solução
(a) Área da base = 32 dm, logo:
Sbase = 32 → (ab)2
= 32 → ab = √22. 22. 2 → 𝐚𝐛 = 𝟒√𝟐 𝐝𝐦
(b) o apótema da base (m)
O apótema da base = metade da aresta da base, logo: m = (4√2)/2
----> m = 2 √𝟐 dm
(c) a altura da pirâmide
Solução
No triângulo VMA destacado, temos:
(10)2
= 62
+ (
𝑎
2
)
2
→ 100 = 36 +
𝑎2
4
→
𝑎2
4
= 100 − 36 →
𝑎2
4
= 64 → 𝑎2
= 64.4 → 𝑎 = √64.4 → 𝑎 = 8.2 →
𝐚 = 𝟏𝟔 𝐜𝐦
No triângulo VOM destacado, temos:
62
= (2√2)
2
+ h2
→ 36 = 8 + h2
→ h2
= 36 − 8 → h2
= 28 →
h = √4.7 → 𝐡 = 𝟐√𝟕 𝐝𝐦

8. Celso Brasil 7
(d) a aresta lateral (a)
(e) a área lateral (SL)
A área lateral = 4 x a área do triângulo VBC:
(f) a área total (ST)
ST = Sb + SL → ST = (4√2)
2
+ 48√2 → ST = 32 + 48√2 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟔(𝟐 + 𝟑√𝟐) 𝐝𝐦²
(FME – Questão 395) A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de
perímetro. Calcule o volume.
Solução
𝐏𝐞𝐫í𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 𝐝𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞 (P) = 8 cm → P = 4a → 4a = 8 → 𝐚 = 𝟐 𝐜𝐦
Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞 (Sb) = a2
→ Sb = 22
→ 𝐒𝐛 = 𝟒 𝐜𝐦𝟐
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 (𝐕) =
Sb. h
𝟑
→ 𝐕 =
𝟒. 𝟔
𝟑
→ 𝐕 =
𝟐𝟒
𝟑
→
𝐕 = 𝟖 𝐜𝐦³
(FME – Questão 396) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular cuja
aresta lateral mede 82 cm e cuja aresta da base mede 36 cm.
Solução
No triângulo VMC destacado, temos:
a2
= 62
+ (2√2)
2
→ a2
= 36 + 8 → a2
= 44 → a = √4.11 →
𝐚 = 𝟐√𝟏𝟏 𝐝𝐦
SL = 4 (
4√2. 6
2
) → SL =
96√2
2
→ 𝐒𝐋 = 𝟒𝟖√𝟐 𝐝𝐦²

9. Celso Brasil 8
(i) No triângulo VMB destacado, temos:
(82)2
= (AP)2
+ (18)2
→ 6724 = (AP)2
+ 324 → (AP)2
= 6724 − 324
→ (AP)2
= 6400 → AP = √6400 → 𝐀𝐏 = 𝟖𝟎 𝐜𝐦
(ii) Área lateral = 3 x área do triângulo VAB:
SL = 3. (
36.80)
2
) → SL = 3(36.40) → 𝐒𝐋 = 𝟒𝟑𝟐𝟎 𝐜𝐦²
. Cálculo da área da base: A base é um triângulo equilátero de lado 36 cm
Sb =
a²√3
4
→ Sb =
(36)²√3
4
→ Sb =
1296√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟑𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦²
(iii) Área total (ST)
ST = Sb + SL → ST = 324√3 + 4320 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟎𝟖(𝟑√𝟑 + 𝟒𝟎) 𝐜𝐦²
(FME – Questão 397) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular,
sendo 7 m a medida do seu apótema e 8 m o perímetro da base.
Solução
(i) Perímetro da base (P)
P = 8 ----> 4ab = 8 ----> ab = 2 m
(ii) Apótema da base (OM) = ab/2 ----> OM = 2/2 ---->
OM = 1 m
(iii) Cálculo da altura.
No triângulo VOM, temos:
h2
+ (OM)2
= 72
→ h2
+ 12
= 49 → h2
= 49 − 1 →
h = 48 → h = √22. 22. 3 → 𝐡 = 𝟒√𝟑 𝐦
(𝐢𝐯) Á𝐫𝐞𝐚 𝐥𝐚𝐭𝐞𝐫𝐚𝐥
SL = 4 x Área do ∆VAB → SL = 4 (
2.7
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟖 𝐦²
(v) Área da base
Sb = (ab)2
→ Sb = 22
→ 𝐒𝐛 = 𝟒𝐦²
(vi) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 4 + 28 → 𝐒𝐓 = 𝟑𝟐 𝐦²

10. Celso Brasil 9
(FME – Questão 398) Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular de 7
cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base.
Solução
(FME – Questão 399) Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo
que a área da base mede 64 m² e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base.
Solução
(i) Área da base:
Sb = 64 → (ab)2
= 64 → ab = √64 →
𝐚𝐛 = 𝟖 𝐦
(ii) Altura(h) = Diagonal da base (db)
h = db → h = ab√2 → 𝐡 = 𝟖√𝟐 𝐦
(iii) Apótema da pirâmide
. Note que no ∆VOM, OM
̅̅̅̅̅ = 4 m, logo: (AP)2
= h2
+ (OM)2
→ (AP)2
= (8√2)
2
+ 42
→
(AP)2
= 128 + 16 → (AP)2
= 144 → AP = √144 → 𝐀𝐏 = 𝟏𝟐 𝐦
(iv) Área lateral
SL = 4 x Área do ∆VBC → SL = 4 (
8.12
2
) → SL = 4.48 → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟗𝟐 𝐦²
(v) Área total
ST = Sb + SL → ST = 64 + 192 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟓𝟔 𝐦²

11. Celso Brasil 10
(FME – Questão 402) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas somas das dimensões vale 34 cm
sendo uma delas 5/12 da outra. Determine as dimensões da base e a área total da pirâmide, sabendo que
a sua altura mede 5 cm e que a sua projeção sobre a base é o ponto de intersecção das diagonais da base.
Solução
(i) Observe pela figura que há dois valores distintos para os apótemas
da pirâmide. Há, portanto duas áreas de faces distintas. Sejam x e y as
dimensões da base. As diagonais cortam-se ao meio. Calculando cada
medida, temos:
x + y = 34 (i)
y =
5
12
x (ii)
Substituindo (ii) em (i), temos:
x +
5
12
x = 34 → 12x + 5x = 408 → 17x = 408 →
x =
408
17
→ 𝐱 = 𝟐𝟒 cm
y =
5
12
x → y =
5
12
. 24 → 𝐲 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦
(ii) Diagonal AC:
No triângulo ABC (destacado), temos:
d2
= x2
+ y2
→ d2
= (24)2
+ (10)2
→ d2
= 576 + 100 → d2
= 676 → d = √676 → 𝐝 = 𝟐𝟔 𝐜𝐦
(iii) Cálculo de g1:
(g1)² = h² + (
x
2
)² → (g1)² = 5² + (24/2)² → (g1)² = 25 + 144 → (g1)² = 169 → 𝐠𝟏 = 𝟏𝟑 𝐜𝐦
(iv) Cálculo de g2:
(g2)2
= h2
+ (
y
2
)
2
→ (g2)2
= 52
+ (
10
2
)
2
→ (g2)2
= 25 + 25 → (g2)2
= 50 → 𝐠𝟐 = 𝟓√𝟐 𝐜𝐦
(v) Área lateral:
Área lateral = 2 x Área do ∆VAB + 2 x Área do ∆VBC
SL = 2 (
x. g2
2
) + 2 (
y. g1
2
) → SL = 24.5√2 + 10.13 → 𝐒𝐋 = (𝟏𝟐𝟎√𝟐 + 𝟏𝟑𝟎) 𝐜𝐦𝟐
(vi) Área da base:
Sb = 𝑥. 𝑦 → Sb = 24.10 → 𝐒𝐛 = 𝟐𝟒𝟎 𝐜𝐦²
(vii) Área Total:
ST = Sb + SL → ST = 240 + 120√2 + 130 → ST = 370 + 120√2 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟎(𝟑𝟕 + 𝟏𝟐√𝟐) 𝐜𝐦²

12. Celso Brasil 11
(FME – Questão 403) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões medem 10 cm e 24
cm, respectivamente. As arestas laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da
pirâmide.
(Resposta: 𝟐(𝟓√𝟔𝟓𝟏 + 𝟐𝟒√𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟐𝟎)𝐜𝐦²
(FME – Questão 404) Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces
laterais são triângulos equiláteros, sendo 𝟖𝟏√𝟑 cm² a soma das áreas desses triângulos.
Solução
(FME – Questão 405) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que
uma diagonal da base mede 𝟑√𝟐 cm e que o apótema da pirâmide mede 5 cm.
Solução
(i) Diagonal da base = 𝟑√𝟐
a√2 = 3√2 → 𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦
(ii) Área lateral = 4 x área do ∆𝐕𝐁𝐂
SL = 4 (
3.5
2
) → SL = 2.15 → 𝐒𝐋 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦²
(FME – Questão 406) Determine a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sendo 144 cm²
a área da base da pirâmide e 10 cm a medida da aresta lateral.
(i) A soma das áreas laterais = Área lateral = 𝟖𝟏√𝟑 cm²
(ii) Note que “x” = “y” e que g é igual a altura do triângulo equilátero
VCB, logo:
g =
𝑦√3
2
cm
𝑆𝐿 = 𝟖𝟏√𝟑 → 𝟒 (
𝒙. 𝒈
𝟐
) → 𝟐 (𝒙.
𝑦√3
2
) = 𝟖𝟏√𝟑 → 𝐱𝐲 = 𝟖𝟏 𝐜𝐦²

13. Celso Brasil 12
Solução
(i) Área da base = 144 cm²
a2
= 144 → a = √144 → 𝐚 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
(ii) No triângulo VMC, temos:
(10)2
= (
12
2
)
2
+ g2
→ 100 = 36 + g2
→ g2
= 64 → 𝐠 = 𝟖 𝐜𝐦
(iii) A área lateral = 4 x área do triângulo VBC:
SL = 4 (
𝑎. 𝑔
2
) → SL = 2.12.8 → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟗𝟐𝐜𝐦²
(FME – Questão 407) Determine a área da base, a área lateral e a área total de uma pirâmide
triangular regular, sabendo que a altura e a aresta da base medem 10 cm cada uma.
Solução
(i) 𝐀𝐁
̅̅̅̅ =
𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐝𝐞 𝐮𝐦 𝐭𝐫𝐢â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐥á𝐭𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐝𝐨 𝟏𝟎 𝐜𝐦, 𝐥𝐨𝐠𝐨:
𝐀𝐁
̅̅̅̅ =
𝟏𝟎√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(ii) 𝐀𝐌
̅̅̅̅̅ equivale a 1/3 da altura do triângulo da base:
𝐴𝑀
̅̅̅̅̅ =
1
3
AB
̅̅̅̅ → 𝐴𝑀
̅̅̅̅̅ =
1
3
.
10√3
2
→ 𝑨𝑴
̅̅̅̅̅ =
𝟏𝟎√𝟑
𝟔
(iii) No ∆AMC, temos:
(AC
̅̅̅̅)2
= (AM
̅̅̅̅̅)2
+ 102
→ (AC
̅̅̅̅)2
= (
10√3
6
)
2
+ 100 →
(AC
̅̅̅̅)2
=
300
36
+ 100 → (AC
̅̅̅̅)2
=
300 + 3600
36
→
(AC
̅̅̅̅)2
=
3900
36
→ (AC
̅̅̅̅)2
=
39.100
36
→ AC
̅̅̅̅ = √
39.100
36
→
AC
̅̅̅̅ =
10
6
√39 → 𝐀𝐂
̅̅̅̅ =
𝟓√𝟑𝟗
𝟑
𝐜𝐦
(iv) Área da base:
A área da base equivale à área de um triângulo equilátero de lado 10 cm, logo:

14. Celso Brasil 13
𝑆𝑏 =
10²√3
4
→ 𝑆𝑏 =
100√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟐𝟓√𝟑 𝐜𝐦²
(v) Área lateral:
SL = 3 x área do ∆CDE
SL = 3 (
10.
𝟓√𝟑𝟗
𝟑
2
) → SL = 3 (
50√39
6
) → SL =
50√39
2
→ 𝐒𝐋 = 𝟐𝟓√𝟑𝟗 𝐜𝐦𝟐
(vi) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 25√3 + 25√39 → 𝐒𝐓 = 𝟐𝟓(√𝟑 + √𝟑𝟗) 𝐜𝐦²
(FME – Questão 408) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a
diagonal da base da pirâmide mede 𝟖√𝟐 cm e a aresta lateral é igual à diagonal da base.
Solução
(i) Diagonal do quadrado ABCD = AC
̅̅̅̅ = 𝑎√2 → 𝐀𝐂
̅̅̅̅ = 𝟖√𝟐
AC
̅̅̅̅ = 8√2 → a√2 = 8√2 → 𝐚 = 𝐦 = 𝟖 𝐜𝐦
(ii) No ∆𝐕𝐎𝐂:
OC
̅̅̅̅ =
8√2
2
→ OC
̅̅̅̅ = 4√2 h2
= (OC
̅̅̅̅)2
+ m2
→
h2
= (4√2)
2
+ 82
→ h2
= 32 + 64 → 𝐡𝟐
= 𝟗𝟔
(iii) No ∆VOM, temos: OM = a/2 = 8/2 = 4 cm
(iv)Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆VOM, temos:
(VM)2
= h2
+ (OM)2
→ (VM)2
= 96 + 42
→
(VM)2
= 96 + 16 → (VM)2
= 112 → VM = √22. 22. 7 →
𝐕𝐌 = 𝟒√𝟕 𝐜𝐦
(v) Área lateral:
SL = 4 x área do ∆VBC
SL = 4 (
BC. VM
2
) → SL = 4 (
8.4√7
2
) → SL = 2.32√3 → 𝐒𝐋 = 𝟔𝟒√𝟕 𝐜𝐦²

15. Celso Brasil 14
(FME – Questão 409) Sendo 192 m² a área total de uma pirâmide quadrangular e 𝟑√𝟐 m o raio do
círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.
Solução
(FME – Questão 410) Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo
𝟏𝟎√𝟑
𝟑
cm. Calcule: O apótema da base (m), o apótema da pirâmide (m’), a aresta lateral (a), a área da
base (B), a área lateral (SL), a área total (ST) e o volume (V).
Solução
(i) O apótema da base equivale à altura do ∆𝐀𝐎𝐁, logo:
m =
10√3
3
. √3
2
→ 𝑚 =
30
6
→ 𝐦 = 𝟓 𝐜𝐦
(ii) No tirângulo VOM, destacado, temos:
(m’)² = (OM)² + 12² ----> (m’)² = 5² + 144 ---->
(m’)² = 25 + 144 ---->(m’)² = 169 ----> m’ = √169 → 𝐦′
=
𝟏𝟑 𝐜𝐦
(iii) No triângulo VMC, temos:
a² = (MC)² + (m’)² ----> a² = (
10√3
3
2
)
2
+ 169 →
a2
= (
10√3
6
)
2
+ 169 → a2
= (
5√3
3
)
2
+ 169 →
𝑎2
=
25.3
9
+ 169 → a2
=
25
3
+ 169 → 𝑎2
=
532
3

16. Celso Brasil 15
→ 𝑎 = √
532
3
→ 𝑎 =
√532
√3
→ 𝑎 =
√22. 133
√3
→ 𝑎 =
2√133
√3
.
√3
√3
→ 𝐚 =
𝟐
𝟑
√𝟑𝟗𝟗 𝐜𝐦
(iv) Área da base = 6 x área do triângulo AOB:
Sb =
[
6 (
10√3
3
. 5)
2
]
→ Sb =
(300√3)/3
2
→ Sb =
100√3
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟓𝟎√𝟑 𝐜𝐦²
(v) Área lateral = 6 x área de um triângulo VBC.
SL =
6 (
10√3
3
. 13)
2
→ SL = 10√3. 13 → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟑𝟎√𝟑 𝐜𝐦²
(v) Área total = Área da base + área lateral
ST = Sb + SL → ST = 50√3 + 130√3 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟖𝟎√𝟑 𝐜𝐦²
(vi) Volume
V =
Sb. h
3
→ V =
50√3 .12
3
→ 𝐕 = 𝟐𝟎𝟎√𝟑 𝐜𝐦³
(FME – Questão 411) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo
apótema mede 4 cm e a aresta da base mede 2 cm.
Solução
(i) No triângulo VMD, temos:
a2
= 42
+ 12
→ a2
= 8 + 1 → a2
= 9 → 𝐚 = 𝟑 𝐜𝐦
(ii) No triângulo equilátero da base BOC, temos:
m =
2√3
2
→ 𝐦 = 𝐎𝐌 = √𝟑 𝐜𝐦
(ii) No triângulo VOM, temos:
42
= (OM)2
+ h2
→ 16 = (√3)
2
+ h2
→ 16 = 3 + h2
→ h2
= 13
→ 𝐡 = √𝟏𝟑 𝐜𝐦
(iii) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:
SL = 6 (
2.4
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟒 𝐜𝐦²
Área da base:

17. Celso Brasil 16
Sb =
3.2²√3
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟔√𝟑 𝐜𝐦
(iv) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 24 + 6√3 → 𝐒𝐓 = 𝟔(𝟒 + √𝟑) 𝐜𝐦²
(FME – Questão 412) Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regular, sabendo que sua base é um
hexágono de 6 cm de lado, sendo 10 cm a altura da pirâmide.
Solução
(i) No triângulo equilátero AOB da base, temos:
m′
=
6√3
2
→ 𝐦′
= 𝐎𝐍 = 𝟑√𝟑 𝐜𝐦
(ii) No triângulo VON, temos:
m2
= (ON)2
+ 102
→ m2
= (3√3)
2
+ 100 → m2
= 27 + 100 →
𝐦² = 𝟏𝟐𝟕
(ii) No triângulo VNC, temos:
a2
= m2
+ (NC)2
→ a2
= 127 + 32
→ a2
= 127 + 9 → a2
= 136
→ a = √22. 34 → 𝐚 = 𝟐√𝟑𝟒 𝐜𝐦
(FME – Questão 413) A base de uma pirâmide é um hexágono inscrito em um círculo de 12 cm de
diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.
Solução
(i) Diâmetro = 12 cm, logo, raio (r) = 6 cm
(ii) Área da base = (Área lateral)/10
A área lateral é igual a 6 vezes a área de um triângulo de base 6 e altura m’:
A área da base é igual a 6 vezes a
área de um triângulo equilátero
BOC de lado 6:
𝑆𝑏 =
3.6²√3
2
𝐒𝐛 = 𝟓𝟒√𝟑 𝐜𝐦²

18. Celso Brasil 17
SL = 6 (
6. m′
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟖𝐦′
Assim, temos que:
54√3 =
18m′
10
→ 540√3 = 18m′
→ 𝐦′
= 𝟑𝟎√𝟑 𝐜𝐦
Para calcular a altura h da pirâmide podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo VOM:
(m')² = m² + h²
sendo "m" a apótema da base que equivale à altura do triângulo equilátero BOC:
m =
6√3
2
→ 𝐦 = 𝟑√𝟑 𝐜𝐦
Assim:
(m')² = m² + h²
(30√3)
2
= (3√3)
2
+ h2
→ 2700 = 27 + h2
→ h2
= 2673 → h = √32. 32. 33 → 𝐡 = 𝟗√𝟑𝟑 𝐜𝐦
(FME – Questão 414) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3
cm a sua altura e 10 cm a medida da aresta da base.
Solução
(i) No triângulo equilátero da base BOC, temos:
m =
10√3
2
→ 𝐦 = 𝟓√𝟑 𝐜𝐦
(ii) Área da base:
Sb =
3.10²√3
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟏𝟓𝟎√𝟑 𝐜𝐦²
(iii) No triângulo VOM. Temos:
(𝑉𝑀)2
= (𝑂𝑀)2
+ (𝑉𝑂)2
→ (𝑉𝑀)2
= (5√3)
2
+ 3² →
(VM)2
= 75 + 9 → (VM)2
= 84 → VM = √84 → VM = √22. 21 → 𝐕𝐌 = 𝟐√𝟐𝟏 𝐜𝐦
(iv) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:
SL = 6 (
10.2√21)
2
) → SL = 6(10√21) → 𝐒𝐋 = 𝟔𝟎√𝟐𝟏 𝐜𝐦²
(v) Área total:
ST = 𝑆𝑏 + 𝑆𝐿 → ST = 150√3 + 60√21 → 𝐒𝐓 = 𝟑𝟎(𝟓√𝟑 + 𝟐√𝟐𝟏) 𝐜𝐦²

19. Celso Brasil 18
(FME – Questão 415) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo
apótema mede 20 cm, sendo 6 cm a medida do raio da base.
Solução
Devemos ter:
(i) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:
SL = 6 (
6.20
2
) → SL = 6(60) → 𝐒𝐋 = 𝟑𝟔𝟎𝐜𝐦²
(ii) Área da base:
Sb =
3.6²√3
2
→ Sb = 3.18√3 → 𝐒𝐛 = 𝟓𝟒√𝟑
(ii) Área total:
ST = 𝑆𝑏 + 𝑆𝐿 → ST = 54√3 + 360 → 𝐒𝐓 = 𝟏𝟖(𝟑√𝟑 + 𝟐𝟎) 𝐜𝐦²
(FME – Questão 416) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8 cm e a
área lateral igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide.
Solução
(i) Área lateral = 4 x área do triângulo VBC:
SL = 4 (
8.m
2
) → SL = 4(4m) → 𝐒𝐋 = 𝟏𝟔. 𝐦
Área da base = 8² ----> Sb = 64
(ii) A área lateral igual a 3/5 da área total:
SL =
3
5
ST → 16. m =
3
5
(Sb + SL) → 16. m =
3
5
(64 + 16. m) →
80m = 192 + 48m → 32m = 192 → m =
192
32
→ 𝐦 = 𝟔 𝐜𝐦
(iii) No triângulo VBC, temos:
m2
= h2
+ 42
→ 62
= h2
+ 16 → h2
= 36 − 16 → h2
= 20 → h = √4.5 → 𝐡 = 𝟐√𝟓
(iv) Sendo:
SL = 16. m → SL = 16.6 → 𝐒𝐋 = 𝟗𝟔 𝐜𝐦²

20. Celso Brasil 19
(FME – Questão 417) A aresta lateral de uma pirâmide quadrangular regular mede 15 cm e a aresta
da base 10 cm. Calcule o volume.
Solução
(i) No triângulo VMC, temos:
(15)2
= a2
+ 52
→ 225 = a2
+ 25 → a2
= 225 − 25 →
𝐚𝟐
= 𝟐𝟎𝟎 → a = √200 → 𝑎 = √2.100 → 𝐚 = 𝟏𝟎√𝟐 𝐜𝐦
(ii) No triângulo VOM, destacado, temos:
a2
= 52
+ h2
→ 200 = 25 + h2
→ h2
= 200 − 25 →
h2
= 175 → h = √175 → h = √52. 7 → 𝐡 = 𝟓√𝟕 𝐜𝐦
(iii) Área da base:
Sb = (10)2
→ 𝐒𝐛 = 𝟏𝟎𝟎𝐜𝐦²
(iv) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
100.5√7
3
→ 𝐕 =
𝟓𝟎𝟎√𝟕
𝟑
𝐜𝐦³
(FME – Questão 418) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango
cujas diagonais medem 6 cm e 10 cm.
Solução
(i) Cálculo da área da base:
Sb =
𝐷. 𝑑
2
→ Sb =
10.6
2
→ Sb =
60
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦²
(i) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
30.12
3
→ V = 30.4 → 𝐕 = 𝟏𝟐𝟎 𝐜𝐦³
(FME – Questão 419) Se a altura de uma pirâmide regular hexagonal tem medida igual à aresta da
base, calcule o seu volume, sendo “a” a aresta da base.
Solução
(i) Área da base = 6 x área do triângulo da base BOC, temos:
Sb = 6(
𝑎²√3
4
) → 𝐒𝐛 =
𝟑𝒂²√𝟑
𝟐
(ii) Volume
V =
Sb. h
3
→ V =
3a²√3
2
. a
3
→ V =
3a³√3
6
→ 𝐕 =
𝐚³√𝟑
𝟐

21. Celso Brasil 20
(FME – Questão 420) Determine a razão entre os volumes de uma pirâmide hexagonal regular cuja
aresta da base mede “a”, sendo “a” a medida de sua altura, e uma pirâmide cuja base é um triângulo
equilátero de lado “a” e altura “a”.
Solução
O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
Lembre-se que: a área de um triângulo equilátero é igual a: S =
L²√3
4
. Já a área de um hexágono é igual a 6
vezes a área de um triângulo equilátero.
Sendo assim, temos que o volume de uma pirâmide de base hexagonal cuja aresta da base mede “a”, sendo
“a” a medida de sua altura é igual a:
V1 =
6(
a²√3
4
. 𝑎)
3
→ V1 =
2(𝑎³√3)
4
→ 𝐕𝟏 =
𝒂³√𝟑
𝟐
O volume da pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado “a” e altura “a” vale:
V2 =
(
𝑎²√3
4
. 𝑎)
3
→ 𝐕𝟐 =
𝒂³√𝟑
𝟏𝟐
Portanto, a razão entre os volumes é igual a:
V1
V2
=
𝑎³√3
2
𝑎³√3
12
→
V1
V2
=
𝑎³√3
2
.
12
𝑎³√3
→
𝐕𝟏
𝐕𝟐
= 𝟔
(FME – Questão 421) Calcule a razão entre os volumes de duas pirâmides, P1 e P2, sabendo que os
vértices são aos mesmos e que a base de P2 é um quadrado obtido ligando-se os pontos médios da base
quadrada de P1.
Solução
A altura das duas pirâmides é a mesma, o que muda é a área de cada uma. Vamos supor que “L” seja o lado
do quadrado da base de P1, assim sendo:
Área da base da pirâmide P1 → 𝐒𝐛𝟏 = 𝐋²
Conforme já dissemos, “h” é a altura das duas pirâmides, logo, o volume de P1 vale:

22. Celso Brasil 21
V1 =
𝑆𝑏1. ℎ
3
→ 𝐕𝟏 =
𝐋𝟐
. 𝐡
𝟑
Agora, marcando os pontos médios do quadrado de P1, temos um novo quadrado que serve de base para a
pirâmide P2. O lado do quadrado de P2 (que chamamos de “x”) pode ser calculado através do Teorema de
Pitágoras aplicado no triângulo retângulo destacado na figura abaixo:
x2
= (
L
2
)
2
+ (
L
2
)
2
→ x2
=
L2
4
+
L2
4
→ x2
=
2L2
4
→
x = √
2L2
4
→ 𝐱 =
𝐋
𝟐
√𝟐
Este é o lado do quadrado que é a base da pirâmide P2, logo, a área
de P2 vale:
Sb2 = x² → Sb2 = (
𝐋
𝟐
√𝟐)
𝟐
→ Sb2 =
2L²
4
→ 𝐒𝐛𝟐 =
𝐋𝟐
𝟐
O volume de P2 vale:
V2 =
Sb2. ℎ
3
→ V2 =
L2
2
. h
3
→ 𝐕𝟐 =
𝐋𝟐
. 𝐡
𝟔
A questão pede a razão entre os volumes de P1 e P2:
V1
𝑉2
=
𝐋𝟐
. 𝐡
𝟑
𝐋𝟐. 𝐡
𝟔
→
V1
𝑉2
=
𝐋𝟐
. 𝐡
𝟑
.
𝟔
𝑳𝟐. 𝒉
→
V1
𝑉2
=
6
3
→
𝐕𝟏
𝑽𝟐
= 𝟐
(FME – Questão 422) A área da base de uma pirâmide regular hexagonal é igual a 216√3 m³.
Determine o volume da pirâmide, sabendo que sua altura mede 16 m.
Solução
V =
Sb. h
3
→ V =
216√3. 16
3
→ V = 72.16√3 → 𝐕 = 𝟏𝟏𝟓𝟐√𝟑 𝐦³
(FME – Questão 423) Determine o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 2 m a medida da
aresta da base e 3 m a medida de suas arestas laterais.
Solução

23. Celso Brasil 22
(i) No triângulo equilátero da base DEC o segmento BC vale 2/3 da sua
altura, logo:
BC =
2
3
h → BC =
2
3
.
2√3
2
→ 𝐁𝐂 =
𝟐
𝟑
√𝟑 𝒎
(ii) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:
32
= (
2
3
√3)
2
+ h2
→ 9 =
4
9
. 3 + h2
→ h2
= 9 −
12
9
→ h2
=
81 − 12
9
→
h2
=
69
9
→ h =
√69
√9
→ 𝐡 =
√𝟔𝟗
𝟑
𝒎
(iii) A área da base da pirâmide equivale à área do triângulo equilátero CDE. logo:
Sb =
𝐿²√3
4
→
2²√3
4
→ 𝐒𝐛 = √𝟑 𝐦²
(iv) Volume
V =
Sb. h
3
→ 𝑉 =
√3.
√𝟔𝟗
𝟑
3
→ 𝑉 =
√207
9
→ 𝑉 =
√32. 23
9
→ 𝑉 =
3
9
√23 → 𝐕 =
√𝟐𝟑
𝟑
𝐦³
(FME – Questão 424) O volume de uma pirâmide triangular regular é 𝟔𝟒√𝟑 cm³. Determine a medida
da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.
Solução
(i) Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero, temos como semiperímetro da base:
p =
3L
2
→ ℎ =
3𝐿
2
𝑐𝑚 (𝑖)
(ii) Volume da pirâmide:
V = 64√3 →
L²√3
4
. h
3
= 64 →
L2
.
3L
2
12
→
3L3
24
= 64 →
L3
8
= 64 → L3
= 512 → L = √512
3
→ 𝐋 = 𝟖 𝐜𝐦 (𝒊𝒊)
Substituindo (ii) em (i) temos:
h =
3L
2
→ h =
3.8
2
→ 𝐡 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦

24. Celso Brasil 23
(iii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM
vale 1/3 da sua altura, logo:
OM =
1
3
h → OM =
1
3
.
L√3
2
→ OM =
8
6
√3 → 𝐎𝐌 =
𝟒√𝟑
𝟑
𝐦
(iv) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo VOM, temos:
a2
= (OM)2
+ h2
→ a2
= (
𝟒√𝟑
𝟑
)
𝟐
+ (12)2
→ a2
=
48
9
+ 144
→ 𝑎2
=
48 + 1296
9
→ 𝐚𝟐
=
𝟏𝟑𝟒𝟒
𝟗
(v) No triângulo retângulo VMC, temos:
m2
= a2
+ (
L
2
)
2
→ m2
=
1344
9
+ (
8
2
)
2
→ m2
=
1344
9
+ 16 → m2
=
1344 + 144
9
→ m2
=
1488
9
→
→ m =
√1488
√9
→ m =
√22. 22. 93
3
→ 𝐦 =
𝟒√𝟗𝟑
𝟑
𝐜𝐦
(FME – Questão 425) Uma pirâmide triangular tem para base um triângulo de lados 13, 14 e 15; as
outras arestas medem 425/8. Calcule o volume.
Solução
(i) As arestas laterais sendo congruentes, a projeção ortogonal do
vértice sobre o plano da base é o circuncentro “o” (cenytro da
circunferência circunscrita) do triângulo ABC. A altura é VO.
(ii) Cálculo da área da base
No triângulo da base ABC de lados: 13, 14 e 15, temos:
. Semiperímetro (p) =
13+14+15
2
→ p =
42
2
→ 𝐩 = 𝟐𝟏
. Cálculo da área da base:
Sb = √p(p − a)(p − b)(p − c) →
Sb = √21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) → Sb = √21.8.7.6 →
Sb = √7056 → 𝐒𝐛 = 𝟖𝟒
(iii) A área de um triângulo com lados: “a”, “b” e “c” inscrito em uma circunferência de raio R é dada
por:

25. Celso Brasil 24
𝐒 =
𝐚. 𝐛. 𝐜
𝟒𝐑
→ 84 =
13.14.15
4R
→ 84 =
2730
4R
→ 4R =
2730
84
→ R =
2730
336
:
2
2
→ R =
1365
168
:
3
3
→
R =
455
56
:
7
7
→ 𝐑 =
𝟔𝟓
𝟖
(iv) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOA, temos:
(
425
8
)
2
= ℎ2
+ 𝑅2
→
180625
64
= ℎ2
+ (
65
8
)
2
→
1800625
64
= ℎ2
+
4225
64
→ ℎ2
=
180625
64
−
4225
64
→
ℎ2
=
176400
64
→ ℎ =
√176400
√64
→ ℎ =
420
8
:
4
4
→ 𝐡 =
𝟏𝟎𝟓
𝟐
(v) Volume:
𝑉 =
𝑆𝑏. ℎ
3
→ 𝑉 =
84.
105
2
3
→ 𝑉 =
84.105
6
→ 𝑉 =
8820
6
→ 𝑽 = 𝟏𝟒𝟕𝟎
(FME – Questão 426) Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sabendo que o apótema
da base mede 4 cm e o apótema da pirâmide 5 cm.
Solução
Note no triângulo abaixo que:
Apótema da base (OM) = 4 cm e apótema da pirâmide (VM) = 5, logo:
(i) No triângulo retângulo VOM, temos:
52
= h2
+ 42
→ 25 = h2
+ 16 → h2
= 25 − 16 → h2
= 9 →
h = √9 → 𝐡 = 𝟑 𝐜𝐦 (Altura da pirâmide)
(ii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM vale
1/3 de sua altura, logo:
4 =
1
3
h → 𝐡 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
. Sabemos que a altura do triângulo equilátero ABC vale:
h =
L√3
2
→ 12 =
L√3
2
→ L√3 = 24 → L =
24
√3
.
√3
√3
→ L =
24√3
3
→ 𝐋 = 𝟖√𝟑
(iii) Área da base:

26. Celso Brasil 25
Sb =
L²√3
4
→ Sb =
(8√3)²√3
4
→ Sb =
64.3√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟒𝟖√𝟑 𝐜𝐦²
(iv) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
48√3. 3
3
→ 𝐕 = 𝟒𝟖√𝟑 𝒄𝒎³
(FME – Questão 427) Uma pirâmide triangular regular tem as medidas da altura e da aresta da base
iguais a 6 cm. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume dessa pirâmide.
Solução
(i) A base da pirâmide é um triângulo equilátero ABC cujo lado
mede 6 cm, logo, sua área vale:
Sb =
L²√3
4
→ Sb =
6²√3
4
→ Sb =
36√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟗√𝟑 𝒄𝒎²
(ii) (ii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM
(que é o apótema da base) vale 1/3 de sua altura, logo:
OM =
1
3
h → Om =
1
3
.
L√3
2
→ OM =
1
3
.
6√3
2
→ 𝐎𝐌 = √𝟑 𝐜𝐦
(iii) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VOM, temos:
m2
= (OM)2
+ 62
→ m2
= (√3)
2
+ 36 → m2
= 3 + 36 → 𝐦 = √𝟑𝟗 𝐜𝐦
(iv) A área lateral é igual a 3 vezes a área da face lateral (VBC):
SL = 3 (
6. √39
2
) → SL =
18√39
2
→ 𝐒𝐋 = 𝟗√𝟑𝟗 𝐜𝐦²
(v) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 9√3 + 9√39 → ST = 9√3 + 9√3. √13 → 𝐒𝐓 = 𝟗√𝟑(𝟏 + √𝟏𝟑) 𝐜𝐦²
(vi) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
9√3. 6
3
→ 𝐕 = 𝟏𝟖√𝟑 𝐜𝐦³
(FME – Questão 428) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta “a”.
Solução

27. Celso Brasil 26
(i) O triângulo equilátero ACE
de lado “a” é uma face lateral,
logo, área total do octaedro é
igual a 8 vezes o valor desta
face:
SL = 8 (
𝑎2
√3
4
) →
𝐒𝐋 = 𝟐𝐚²√𝟑
(ii) Volume
O octaedro regular é a reunião de duas pirâmides de base quadrada de lado “a” e de altura igual à metade da
diagonal do quadrado ADEF, logo:
Altura:
𝐡 =
𝒂√𝟐
𝟐
Área da base:
A base do octaedro é o quadrado BCDE de lado “a”, logo:
𝐒𝐛 = 𝐚²
𝑉 = 2 (
𝑆𝑏. ℎ)
3
) → 𝑉 = 2 (
𝑎2
.
𝑎√2
2
3
) → 𝐕 =
𝐚³√𝟐
𝟑
(FME – Questão 429) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de 2 cm de aresta.
Calcular
(i) A área total do octaedro e dada por:
ST = 2. SL →= 2a2
√3+ → ST = 2.2²√3 → 𝐒𝐓 = 𝟖√𝟑 𝐜𝐦²
(ii) Volume:
V =
a³√2
3
→ V =
2³√2
3
→ 𝐕 =
𝟖√𝟐
𝟑
𝐜𝐦³
(FME – Questão 430) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base
é circunscrita a um círculo de 6 cm de raio e que a aresta lateral mede 12 cm.
Solução

28. Celso Brasil 27
(i) Note que:
L = 2R ----> L = 2.6 -----> L = 12 cm
(ii) No triângulo retângulo AMD, temos:
(12)2
= m2
+ (
L
2
)
2
→ 144 = m2
+ 62
→
m2
= 144 − 36 → 𝐦𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 → m = √108 →
m = √22. 32. 3 → 𝐦 = 𝟔√𝟑 𝐜𝐦
(iii) Note que o segmento OM = L/2 = 6 cm, logo, no triângulo retângulo AOM, temos:
m2
= h2
+ (OM)2
→ 108 = h2
+ 62
→ h2
= 108 − 36 → h2
= 72 → h = √2.36 → 𝐡 = 𝟔√𝟐 𝐜𝐦
(iv) Cálculo da área da base:
Sb = L2
→ Sb = (12)2
→ 𝐒𝐛 = 𝟏𝟒𝟒 𝐜𝐦²
(v) Cálculo do volume:
V =
Sb. h
3
→ 𝑉 =
144.6√2
3
→ 𝑉 = 144.2√2 → 𝐕 = 𝟐𝟖𝟖√𝟐 𝐜𝐦³
(FME – Questão 431) Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 6 cm e a área
lateral igual a 5/8 da área total. Calcule a altura, a área lateral e o volume dessa pirâmide.
Solução
(i) No triângulo retângulo AOM, temos:
h2
+ 32
= m2
→ h2
= m2
− 9 (i)
(ii) A área lateral igual a 5/8 da área total:
SL =
5
8
ST → 4 (
6. m
2
) =
5
8
(36 + 4.
6. m
2
) → 12. m =
5
8
(36 + 12. m) →
96. m = 180 + 60. m → 96. m − 60. m = 180 → 36. m = 180 →
𝐦 = 𝟓 𝐜𝐦 (𝐢𝐢)
(iii) Substituindo (ii) em (i), temos:
h2
= m2
− 9 → h2
= 52
− 9 → h2
= 25 − 9 → h2
= 16 → h = √16 → 𝐡 = 𝟒 𝐜𝐦
(iv) Cálculo da área lateral = 4 x área do triângulo ACD:
SL = 4 (
6.5
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟔𝟎 𝐜𝐦²
(v) Volume:

29. Celso Brasil 28
V =
Sb. h
3
→ V =
62
. 4
3
→ 𝐕 = 𝟒𝟖 𝐜𝐦³
(FME – Questão 432) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro
da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais.
Solução
(i) Como a base tem formato de hexágono regular e seu perímetro é de 24
cm, a medida do lado é:
P = 6L ----> 24 = 6.L -----> L = 24/6 -----> L= 4 cm
(ii) Área da base:
Sb =
3L²√3
2
→ Sb =
3.4²√3
2
→ Sb = 3.8√3 → 𝐒𝐛 = 𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦²
(iii) Como a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais mede 30 cm, cada aresta lateral mede:
6a = 30 -----> a = 30/6 -----> a = 5 cm
(iv) O raio da base e o lado do hexágono têm a mesma medida. Logo:
L= r = 4 cm
(iv) Note que no triângulo retângulo VOC, VC= a = 5 cm, logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h² + r² = (VC)² ----> h² + 4² = 5² -----> h² + 16 = 25 -----> h² = 25 – 16 -----> h² = 9 -----> h = √9 ---->
h = 3 cm
(v) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
24√3. 3
3
→ 𝐕 = 𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦³
(FME – Questão 433) Calcule o volume de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 6 cm a medida da
aresta da base e 10 cm a medida da aresta lateral.
Solução
(i) No triângulo retângulo VMD, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(10)2
= 32
+ m2
→ 100 = 9 + m2
→ m2
= 100 − 9 → 𝐦𝟐
= 𝟗𝟏 𝐜𝐦
(iii) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura dele.
Logo:
OM =
L√3
2
→ OM =
6√3
2
→ 𝐎𝐌 = 𝟑√𝟑 𝐜𝐦

30. Celso Brasil 29
(iv) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m2
= (OM)2
+ h2
→ 91 = (3√3)
2
+ h2
→ 91 = 27 + h2
→ h2
= 91 − 27 → h2
= 64 → h = √64 →
𝐡 = 𝟖 𝐜𝐦
(v) Cálculo da área da base:
Sb =
3L2
√3
2
→ Sb =
3.6²√3
2
→ Sb =
3.36√3
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟓𝟒√𝟑 𝐜𝐦²
(vi) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
54√3. 8
3
→ 𝐕 = 𝟏𝟒𝟒√𝟑
(FME – Questão 434) O volume de uma pirâmide regular hexagonal é 𝟔𝟎√𝟑 𝒎³, sendo 4 m o lado do
hexágono. Calcule a aresta lateral e a altura da pirâmide.
Solução
(i) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura
desse triângulo. Logo:
OM =
L√3
2
→ OM =
4√3
2
→ 𝐎𝐌 = 𝟐√𝟑 𝐦
(ii) Área da base:
Sb =
3L2
√3
2
→ Sb =
3.4²√3
2
→ Sb =
3.4²√3
2
→ 𝐒𝐛 = 𝟐𝟒√𝟑 𝒎²
(iii) Pelo eninciado da questão:
𝑉 = 60√3 → V =
Sb. h
3
→ 60√3 =
24√3. h
3
→ 180 = 24. ℎ → h =
180
24
:
12
12
→ 𝐡 =
𝟏𝟓
𝟐
𝐦
(iv) No triângulo retângulo VOD, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(VD)2
= h2
+ (OD)2
→ (VD)2
= (
15
2
)
2
+ 42
→ (VD)2
=
225
4
+ 16 → (VD)2
=
225 + 64
4
→
(VD)2
=
289
4
→ VD = √
289
4
→ 𝐕𝐃 =
𝟏𝟕
𝟐
𝐦
(FME – Questão 435) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m. Calcule a
altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.
Solução

31. Celso Brasil 30
(i) Área da base:
Sb =
3L²√3
2
→ Sb =
3.3²√3
2
→ 𝐒𝐛 =
𝟐𝟕√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(ii) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura
desse triângulo. Logo:
OM =
L√3
2
→ 𝐎𝐌 =
𝟑√𝟑
𝟐
𝒄𝒎
(iii) A área lateral da pirâmide dada é igual a 6 vezes a área do triângulo VCD. Logo:
SL = 6(
3. m
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟗. 𝐦
(iv) Pelo enunciado da questão:
SL = 10. 𝑆𝑏 → 9. 𝑚 = 10.
27√3
2
→ 9. m = 135√3 → 𝐦 =
𝟏𝟑𝟓√𝟑
𝟗
→ 𝐦 = 𝟏𝟓√𝟑 𝐜𝐦
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m2
= h2
+ (OM)2
→ (15√3 )
2
= h2
+ (
3√3
2
)
2
→ 225.3 = h2
+
27
4
→ 675 = h2
+
27
4
→
h2
= 675 −
27
4
→ h2
=
2700 − 27
4
→ h2
=
2673
4
→ h = √
2673
4
→ h =
√32. 32. 33
2
→ 𝐡 =
𝟗
𝟐
√𝟑𝟑 𝒄𝒎
𝑶𝒖: 𝐡 =
𝟗
𝟐
√𝟑𝟑 → 𝐡 =
𝟗
𝟐
√𝟑. √𝟏𝟏 𝐜𝐦
(vi) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
𝟐𝟕√𝟑
𝟐
.
𝟗
𝟐 √𝟑√𝟏𝟏
3
→ V =
243.3√11
12
→ 𝐕 =
𝟐𝟒𝟑. √𝟏𝟏
𝟒
𝐜𝐦³
(FME – Questão 436) A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m.
As três arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m. Calcule o volume da pirâmide.
Solução

32. Celso Brasil 31
(i) Cálculo da área da base:
a = 13 m; b = 14 m e c = 15 m
✓ Semiperímetro da base (p): p =
a+b+c
2
→ p =
13+14+15
2
→
𝑝 =
42
2
→ 𝐩 = 𝟐𝟏
(ii) Área da base:
Sb = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) →
Sb = √21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) →
Sb = √21.8.7.6 → Sb = √7056 → 𝐒𝐛 = 𝟖𝟒
(iii) Como as arestas laterais são congruentes, então a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é
o circuncentro “O” (centro da circunferência circunscrita). Logo, a área do triângulo ABC é dada por:
Sb =
a. b. c
4R
→ 84 =
13.14.15
4R
= 84 → 13.14.15 = 336R → 24R = 13.15 → R =
195
24
:
3
3
→
𝐑 =
𝟔𝟓
𝟖
(iv) No triângulo retângulo VOA, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(20)2
= ℎ2
+ (
65
8
)
2
→ 400 = ℎ2
+
4225
64
→ ℎ2
= 400 −
4225
64
→ ℎ2
=
25600 − 4225
64
→ ℎ2
=
21375
64
→
→ ℎ = √
21375
64
→ ℎ =
√32. 52. 95
8
→ 𝒉 =
𝟏𝟓√𝟗𝟓
𝟖
Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
84.
𝟏𝟓√𝟗𝟓
𝟖
3
→ V =
84.15√95
24
→ V =
14.15√95
4
→ V =
7.15√95
2
→ 𝐕 =
𝟏𝟎𝟓√𝟗𝟓
𝟐
𝐦³
(FME – Questão 437) O volume de uma pirâmide é 27 m³, sua base é um trapézio de 3 m de altura,
seus lados paralelos têm por soma 17 m. Qual é a altura dessa pirâmide.
Solução
(i) A soma das bases vale 17, logo: (B+b) = 17
(ii) A área da base (trapézio) vale:
Sb =
(B + b). h
2
→ Sb =
17.3
2
→ 𝐒𝐛 =
𝟓𝟏
𝟐
𝐦²

33. Celso Brasil 32
(ii) Pelo enunciado da questão:
V = 27 m3
→
𝑆𝑏. ℎ
3
= 27 →
51
2
. ℎ
3
= 27 →
51
6
. ℎ = 27 → 51ℎ = 6.27 → 51ℎ = 162 → ℎ =
162
51
:
3
3
→
𝐡 =
𝟓𝟒
𝟏𝟕
𝒎
(FME – Questão 438) Determine o volume de uma pirâmide triangular cujas arestas laterais são de
medidas iguais, sabendo que o triângulo da base tem os lados medindo 6 m, 8 m e 10 m e que sua
maior face lateral é um triângulo equilátero.
Solução
(i) Cálculo da área da base:
a = 6 m; b = 8 m e c = 10 m
✓ Semiperímetro da base (p): p =
a+b+c
2
→ p =
6+8+10
2
→
𝑝 =
24
2
→ 𝐩 = 𝟏𝟐 𝐦
Sb = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) →
Sb = √12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10) →
Sb = √12.6.4.2 →
Sb = √576 → 𝐒𝐛 = 𝟐𝟒 m²
(ii) Como as arestas laterais são iguais elas pertencem a uma reta perpendicular ao plano da base
equidistantes dos vértices da base. Sendo a base um triângulo retângulo pois 102 = 62 + 82, essa reta passa
pelo ponto médio da hipotenusa. Desta forma, a face triangular regular é perpendicular à base e em
consequência, a altura da pirâmide coincide com a altura dessa face. Portanto, a altura da pirâmide:
h =
L√3
2
→ h =
10√3
2
→ 𝐡 = 𝟓√𝟑 𝐦
Volume:
𝑉 =
𝑆𝑏. ℎ
3
→ 𝑉 =
24.5√3
3
→ 𝐕 = 𝟒𝟎√𝟑 𝒎³

34. Celso Brasil 33
(FME – Questão 439) A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da
base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3 cm.
Solução
(i) De acordo com os dados da questão devemos ter:
𝑺𝑳 = 𝟒𝑺𝒃 (𝒊)
(ii) A área da base é igual à área do triângulo equilátero ABC de
lado 3 cm. Logo:
Sb =
L²√3
4
→ Sb =
32
√3
4
→ 𝐒𝐛 =
𝟗√𝟑
𝟒
𝒄𝒎
(iii) A área lateral é igual a 3 vezes a área do triângulo VBC, assim sendo:
𝑆𝐿 = 3 (
3. 𝑚
2
) → 𝐒𝐋 = 𝟗.
𝐦
𝟐
(𝒊𝒊)
(iv) Substituindo (ii) em (i), temos:
SL = 4Sb →
9m
2
= 4.
9√3
4
→ 𝐦 = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦
(v) Note que no triângulo equilátero da base ABC, que o segmento OM (apótema) vale 1/3 da altura, logo:
𝑂𝑀 =
1
3
.
𝐿√3
2
→ 𝑂𝑀 =
1
3
.
3√3
2
→ 𝐎𝐌 =
√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m2
= (OM)2
+ h2
→ (2√3)
2
= (
√3
2
)
2
+ h2
→ 12 =
3
4
+ h2
→ h2
= 12 −
3
4
→ h2
=
48 − 3
4
→
h2
=
45
4
→ h =
√5.9
√4
→ 𝐡 =
𝟑√𝟓
𝟐
𝒄𝒎
(vi) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
𝟗√𝟑
𝟒
.
𝟑√𝟓
𝟐
3
→ V =
27√15
24
→ V =
27√15
24
:
3
3
→ 𝐕 =
𝟗√𝟏𝟓
𝟖
𝐜𝐦³

35. Celso Brasil 34
(FME – Questão 440) Calcule a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que
sua altura mede 12 cm e que o perímetro da base mede 12 cm.
Solução
(i) De acordo com o enunciado:
3L = 12 → L =
12
3
→ 𝐋 = 𝟒 𝐜𝐦
(ii) A área da base vale:
Sb =
L²√3
4
→ Sb =
42
√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟒√𝟑 𝒄𝒎
(iii) Note que no triângulo equilátero da base ABC, que o segmento OM (apótema) vale 1/3 da altura, logo:
𝑂𝑀 =
1
3
.
𝐿√3
2
→ 𝑂𝑀 =
1
3
.
4√3
2
→ 𝐎𝐌 =
𝟐√𝟑
𝟑
𝐜𝐦
(iv) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m2
= (OM)2
+ h2
→ 𝑚2
= (
2√3
3
)
2
+ (12)2
→ m2
=
12
9
+ 144 → m2
=
12 + 1296
9
→ 𝑚2
=
1308
9
→
→ 𝑚 = √
1308
9
→ 𝑚 =
√22. 3.109
3
→ 𝐦 =
𝟐√𝟑√𝟏𝟎𝟗
𝟑
𝒄𝒎
(v) A área lateral = 3 x área do triângulo VBC:
SL = 3 (
4.
𝟐√𝟑√𝟏𝟎𝟗
𝟑
2
) → SL =
24√𝟑√𝟏𝟎𝟗
6
→ 𝐒𝐋 = 𝟒√𝟑√𝟏𝟎𝟗 → 𝐒𝐋 = 𝟒√𝟑𝟐𝟕 𝐜𝐦²
(vi) Área total:
ST = Sb + SL → ST = 4√3 + 4√3√109 → 𝐒𝐓 = 𝟒√𝟑(𝟏 + √𝟏𝟎𝟗) 𝐜𝐦²

36. Celso Brasil 35
(FME – Questão 441) Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área
total é 𝟑𝟔√𝟑 cm² e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm.
Solução
(i) Observe que no triângulo equilátero ABC,
da base, OM |(apótema) = r = 2 cm, logo:
𝑂𝑀 =
1
3
.
𝐿√3
2
→ 2 =
1
3
.
𝐿√3
2
→ 12 = 𝐿√3
L =
12
√3
.
√3
√3
→ L =
12√3
3
→ 𝐋 = 𝟒√𝟑 𝐜𝐦
(ii) Área da base:
Sb =
L²√3
4
→ Sb =
(4√3)²√3
4
→ Sb =
48√3
4
→ 𝐒𝐛 = 𝟏𝟐√𝟑 𝐜𝐦²
(iii) De acordo com o enunciado:
ST = 36√3 → Sb + SL = 36√3 → 12√3 + SL = 36√3 → SL = 36√3 − 12√3 → 𝐒𝐋 = 𝟐𝟒√𝟑 𝐜𝐦²
(iv) A área lateral = 3 x área do triângulo VBC, logo:
SL = 24√3 → 3 (
4√3. m
2
) = 24√3 → 6√3. m = 24√3 → 6. m = 24 → m =
24
6
→ 𝐦 = 𝟒 𝐜𝐦
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h2
+ (OM)2
= m2
→ h2
+ 22
= 42
→ h2
= 16 − 4 → h2
= 12 → h = √12 → 𝐡 = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦
(FME – Questão 442) Calcule a medida do diedro formado pelas faces laterais com a base de uma
pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede o dobro do apótema da base.
(Resposta: 60°)

37. Celso Brasil 36
(FME – Questão 443) Determine a medida da altura e da aresta lateral de uma pirâmide que tem por
base um triângulo equilátero de lado 16 cm, sabendo que as faces laterais formam com o plano da base
ângulos de 60°.
Solução
(i) O apótema da base “m” é dado por:
𝑚 =
1
3
.
𝐿√3
2
→ 𝑚 =
1
3
.
16√3
2
→ 𝐦 =
𝟖√𝟑
𝟑
𝐜𝐦
(ii) Cálculo da altura h:
No triângulo VGM, temos:
tag 60° =
h
m
→ √3 =
h
8√3
3
→ h =
8√3
3
. √3 → 𝐡 = 𝟖 𝐜𝐦
(iii) No triângulo equilátero ABC, o segmento AG vale 2/3 de sua altura (h’), logo:
AG =
2
3
h′
→ AG =
2
3
.
L√3
2
→ 𝐀𝐆 =
𝟏𝟔√𝟑
𝟑
(iv) No triângulo retângulo VGA, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
𝑎2
= ℎ2
+ (𝐴𝐺)2
→ 𝑎2
= 82
+ (
16√3
3
)
𝟐
→ 𝒂𝟐
= 𝟔𝟒 +
𝟐𝟓𝟔. 𝟑
𝟗
→ 𝒂𝟐
= 𝟔𝟒 +
𝟕𝟔𝟖
𝟗
→ 𝒂𝟐
=
𝟓𝟕𝟔 + 𝟕𝟔𝟖
𝟗
→
→ a2
=
1344
9
→ a = √
1344
9
→ a =
√22. 22. 22. 21
3
→ 𝐚 =
𝟖√𝟐𝟏
𝟑
𝒄𝒎
(FME – Questão 444) Uma pirâmide tem por base um triângulo equilátero de lado “a”. As faces laterais
formam com o plano da base diedros de 60°. Calcule a altura, o comprimento das arestas e o volume da
pirâmide.
Solução
(i) O apótema da base (GM) = “m” é 1/3 da altura do triângulo ABC:
𝑚 =
1
3
.
𝑎√3
2
→ 𝐦 =
𝒂√𝟑
𝟔
𝐜𝐦

38. Celso Brasil 37
(ii) Cálculo da altura h:
No triângulo VGM, temos:
tag 60° =
h
m
→ √3 =
h
a√3
6
→ h =
a√3
6
. √3 → h =
3a
6
:
3
3
→ 𝐡 =
𝐚
𝟐
(iii) No triângulo equilátero ABC, o segmento AG vale 2/3 de sua altura (h’), logo:
AG =
2
3
h′
→ AG =
2
3
.
a√3
2
→ 𝐀𝐆 =
𝐚√𝟑
𝟑
(iv) No triângulo retângulo VGA, chamamos de “L” a aresta lateral, logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
L2
= h2
+ (AG)2
→ L2
= (
a
2
)
2
+ (
a√3
3
)
2
→ L2
=
a2
4
+
3a²
9
→ L2
=
9a2
+ 12a²
36
→ L2
=
21a²
36
→ L = √
21a²
36
→ 𝐋 =
𝐚√𝟐𝟏
𝟔
(v) Área da base = Área do triângulo equilátero ABC de lado “a”
𝐒𝐛 =
𝐚2
√𝟑
𝟒
(vi) Volume:
V =
Sb. h
3
→ V =
a2
√3
4
.
a
2
3
→ 𝐕 =
𝐚³√𝟑
𝟐𝟒