This PP is for my work.

1. Läromedel granskning
– Utvärdera och bedöma kunskap i matematik
Linnéuniversitet
Tina Forsberg

2. Begreppet läromedel
Begreppet läromedel har ingen centralt fastställd definition, enligt Skolverket. I skolförordningen
från 1971 beskrevs läromedel som "alla de resurser som kan användas i en undervisningssituation"
(Skolverket, 2012). I dagsläget avgörs kvalitetssäkringen helt av lärarnas förmåga att själva granska
kvalitén på läromedlen (Skolverket, 2012a).
Jag har valt att analysera läromedel i form av en matematikbok och har valt boken Tänk och Räkna
för klass 1, detta för att få en bild om hur addition och subtraktion grundläggs i lågstadiet.
Vad sägs i läroplanen?
I läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Lgr 2011) står ”Genom
undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att
utvecklas i sin förmåga att
 formulera och läsa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och
metoder,
 använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
 välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och läsa
rutinuppgifter,
 föra och följa matematiska resonemang, och
 använda matematikens uttrycksformer för att samtal om, argumentera och redogöra för
frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
(Skolverket 2011, s: 63).
I Sverige har undersökningar visat att många lärare litar på att läromedel är relevanta i förhållande
till läroplanen och de har läroboken som ett stöd i sin undervisning (Skolinspektionen, 2009). Även
digitala läromedel har nu tagit plats i samhället, men vi ser fortfarande att eleverna sitter med sin
mattebok och arbetae ensamma. Får eleverna tillräcklig hjälp som de behöver?
Vad säger forskningen?
Hodgen och Wiliam beskriver matematikläroböcker som ”varierande i kvalitet”. Författarna menar
att ”Alla läroböcker kan dock användas som en start i formativ undervisning. Till exempel så kan
elever bli ombedda att välja ut fyra uppgifter, två som de anser vara lätta och två som de anser
svåra. De kan därefter arbeta individuellt och ge lösningsförslag på de ”lätta” uppgifterna samt
tillsammans med en kamrat arbeta med de ”svåra” uppgifterna.” Ytterligare så menar Hodgen och
Wiliam att ”Vid slutet av ett arbetsområde kan man be eleverna göra ett alternativ till läroboken
med uppgifter och förklaringar. Detta alternativ ska ge råd och hjälp och kunna användas av andra
elever” (Hodgen & Wiliam 2013, s: 22). Det krävs dock att eleverna har tillgång till flera strategier
så att de kan välja mellan att lösa matematikuppgifter effektivt.
I det centrala innehållet i läroplanen för årskurs 1-3 beskrivs att elever ska kunna förstå och välja
rätt strategi vid rätt situation:
• Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och
vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer.
• Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. (Skolverket, 2011a:64)
Johansson menar att det är lärarna i skolan som ansvarar för elevers lärande och arbete för att få
eleverna att uppnå målen. Hon menar att det inte är läromedelsförfattarna som har ansvar
(Johansson 2003, s: 75f). Jag kommer att granska och analysera två uppgifter i addition och

3. subtraktion från matematikboken Tänk och Räkna, åk 1. ”Tänk och räkna” lyfter fram elevernas
språk och kommunikation med lättarbetade laborativa övningar. Färdighetsträningen med eleverna
är en viktig del och återkommer hela tiden i boken.
För att kunna lära ut matematik i grundskolan krävs det god kunskap i matematikens regler, såsom
addition, subtraktion, multiplikation och division. Addition och subtraktion är två av de fyra viktiga
elementen för den grundläggande matematikundervisningen. Enligt Constanta Olteanut finns i
addition två räknelagar, den kommutativa lagen a + b = b + a och den associativa lagen (a + b) + c =
a + (b + c). Constanta menar att subtraktion bör man se som en öppen addition, att ett helt tal i en
subtraktion kan ersättas med en addition av det motsatta talet. Därför är det så i många länder i
Asien, nämner Constanta, att om man samtidigt undervisar i addition och subtraktion, då blir det
enklare att hantera matteuppgifter som annars upplevs som komplicerade. (Constanta Olteanu,
föreläsningen om Dimensioner av variation och förmågor).
I Sverige har Lithner m.fl (2010) definierat matematikförmågor:
– Problemlösningsförmåga
– Resonemangsförmåga
– Begreppsförmåga
– Förmåga att göra kopplingar
– Kommunikationsförmåga
Jag kommer att ta upp några av uppgifterna i läromedlet samt försöka att analysera vilka
möjligheter eleverna får att utveckla sina matematiska förmågor.
Analys
I en rapport som Olteanu gjorde med elever i gymnasiet visade det sig att flera elever hade
svårigheter med minustecknets betydelse och likhetstecknets betydelse (Olteanu 2000, s. 15).
Därför vill jag titta hur det är i en grundläggande matematikbok. Matematikboken ”Tänk och räkna”
tar upp addition och subtraktion inom talområdet 0-10, mönster, byggövningar med klossar, pengar
0-10 kronor samt problemlösning.
Lättarbetade laborativa övningar är ett vanligt förekommande inslag. I materialet finns
problemställningar med flera möjliga lösningar vilket är kreativt och utmanande, till exempel där
eleverna räknar genom att bygga med klossar.
Bild i läromedlet
Som NAMEX montessorilärare är jag väldig glad att se att en matematikbok uppmuntrar eleverna
att träna matematik genom ”Bygg och räkna tillsammans”. Barn lär sig genom att göra – det är på
detta sätt vi arbetar med matematik inom Montessoripedagogiken, med till exempel Rosa Tornet,
Bruna Trappan och Röda Stavarna.

4. Rosa Tornet Bruna Trappan Röda Stavarna
Montessorimateriel
Till skillnad mot de olikfärgade byggklossarna i läromedlet är Montessorimaterial nästan alltid
enfärgade för att gradera svårigheten, så att barnen ska kunna fokusera och uppleva skillnader i
dimensioner, former och mängder. Därför är det bra om lärare kan jobba på ett montessorisätt med
klossarna, till exempel genom att ge barnen klossar av en färg att bygga en kvadrat med och en
annan färg för att bygga en kub. Genom att konstruera en sekvens för att nå en lösning, till exempel
lösa 5 plus 2 genom att först ta 5 blå klossar och sedan ytterligare 2. Addera 5 och 2 för att komma
fram till 7. Alla klossarna har samma blå färg så att eleverna kan fokusera på additionen, inte på
färgen. Det är en aspekt av addition som eleven har en förståelse för. Samtidigt ger det eleven
strategier när den inte vet vad svaret är.
Här är ett annat exempel i läromedlet där eleven ska öva addition och subtraktion samtidigt. Jag ska
fokusera på hur eleven kan utveckla sin problemlösningsförmåga genom denna uppgift.
Bilden i matteboken
Här erbjuds eleverna möjligheter att fördjupa sitt kunnande i att använda begreppen likhetstecken,
plustecken och minustecken kopplat till addition och subtraktion. Elever får också möjlighet att se
nyttan av att kunna begrepp, att känna behov av kunskap om begreppshantering. Med dessa
uppgifter får eleverna arbeta med att hantera begreppen när innehållet är addition och subtraktion.
Constanta har i sin rapport nämnt att många gymnasieelever fortfarande har svårigheter med
minustecknets betydelse och likhetstecknets betydelse (Olteanu 2000, s. 15). Det är bra att övningar
med minustecken och likhetstecken samt likhetstecken finns redan i årsklass 1.
I samband med denna övning kan lärare kombinera med Montessorimaterial, till exempel
Gungbräda och talblock för att öva likhetstecknet, samt använda ”Pärltrappan” för att göra en
gruppövning, det vill säga samtidigt öva addition och subtraktion med Guldpärlorna. Det är bra om
barnen redan i tidig ålder lär sig att ”Likhetstecknet används mellan olika namn för samma tal”.
Vid denna situation erbjöds eleven att fördjupa sitt kunnande inom problemlösning – addition och
subtraktion kopplat till Montessorimaterial. Jag kan se på mitt jobb att Montessorimaterial kan vara

5. motiverande för eleverna att öva addition och subtraktion.
Gungbräda och talblock som övar likhetstecknet
Men jag tycker bilderna i läromedlet med tre katter, som visar addition och subtraktion, är otydliga.
Speciellt bilden gällande subtraktion där det fortfarande är 3 katter kvar i vagnen. Jämfört med
bilden gällande addition är det väldigt otydligt visat vad subtraktion egentligen är. Därför tycker jag
det är bra om man kan byta bilderna för att tydligt visa vad en subtraktion som 3-2=1 är, till
exempel som bilden nedan,
Här är mitt förslag på en bättre bilder på detta uppgifter
Jag anser bilderna som med äpplen (se ovan) ger möjligheter så att problemlösningsuppgifter är
kopplade till elevens vardag, det vill säga att eleverna ska kunna räkna ut hur många äpplen den har
ätit och hur många den har kvar.
För att öva mer addition och subtraktion så är bra om lärare kan kombinera andra läromedel och
matematikmaterial som eleverna kan använda för att öva addition och subtraktion, som med
Pärltrappan i Montessorimaterialet.
Här ser man tydligt att inlärning med Pärltrappan går från det konkreta till det abstrakta. Subtraktion
upplevs alltid som svårare och mer komplicerat än addition. Som jag har nämnt tidigare i denna
uppgift menar Constanta att subtraktion bör ses som en öppen addition. Här ser vi att i Finland gör
man precis som i många länder i Asien, att kombinera undervisningen i addition och subtraktion. På
detta sätt blir det enklare att hantera matteuppgifter med subtraktion som annars upplevs som
komplicerade.
Här är ett bra tillfälle för lärare att kombinera med andra matematikmaterial för eleverna att göra
additions- och subtraktionsövningar. Genom att använda Montessorimaterial som Banken –

6. växlingsleken är det enkelt att öka elevernas medvetenhet om addition, subtraktion samt
likhetstecken och minustecken.
Montessorimaterial - Guldpärlor med stora sifferkort
Guldpärlorna och stora sifferkort ger inte barnen bara en chans att öva addition och subtraktion
samtidigt utan ger även barnen en förståelse för hur dessa fungerar genom att använda
decimalsystemet på ett konkret sätt.
Guldpärlorna och Pärltrappan använder jag mycket i min matematikundervisning. Jag kan se hur
eleverna genomför addition och subtraktion på ett konkret sätt. Genom att eleverna berättar för mig
samt för varandra hur de löste uppgifterna blir dessa övningar en del av problemlösningsprocessen.
Från problemlösningsperspektiv är det viktigt för lärare att vara uppmärksam på i vilken fas eleven
är och vilket konkret material som ska tas fram för att stödja elevens övningar.
Här tar jag ett exempel från läromedlet om övningar för addition och subtraktion, vilket jag ser är
väldigt likt Montessori-arbetssätt, se bilden nedan
.
Bilden i läromedlet om övningar för addition och subtraktion
Jag uppskattar att bilden tydligt visar resultat genom de olika klossarnas färger, samt mönster i olika
färger, med tanke på det är barn i åk 1. I denna uppgift har klossarna i två färger så att uppgifterna
går att försvåra för eleverna, till exempel så att eleverna samtidigt arbetar i olika räkne- eller
talområden vilket medför att uppgifterna i sig tas tillvara som problemlösningssituationer.
Uppgiften är en kombination av de två räknesätten addition och subtraktion samt additionstecken,
subtraktionstecken och likhetstecken. Jag tycker det är bra att de återkommer regelbundet i boken.
”sambandet mellan uppräkning och addition och subtraktion är självklart för oss, men de del barn är
på ett tidigt stadium omedvetna om detta samband”, menar McIntosh. ”Räkna är inte en enkel
färdighet som man lär sig en gång för alla … Om eleven inte ser sambandet mellan uppräkning om
addition och subtraktion och tror att uppräkning är en bestämd process där man alltid börjar räkna
på talet ”1” kan det leda till svårigheter” (McIntosh 2015, s: 63).

7. Montessorimaterial - Pärltrappan med additions- och subtraktionsuppgifter
Det räcker inte för lärare att skapa situationer för elevens lärande, utan det är också centralt hur vi
sedan genomför arbetet samt behåller elevens uppmärksamhet på sina matematiska förmågor. Till
exempel kan lärare ställa frågor som bjuder in eleverna att engagera sig i matematik, ”Hur gick det
när vi pratade? Vad sa du då? Vad sa din kompis? Kan du visa detta med någon annan
uttrycksform?” vilket leder till att utveckla elevers kommunikationsförmåga.
Varför Montessorimaterial?
Maria Montessori menar att matematiken ska läras in konkret och det är viktigt att få en bra start för
att barn ska tycka att matematik är något positivt. Allt Montessorimaterial börjar i det konkreta
materialet och går mot abstraktion. Detta kallas ”Matematiska sinnet” (Maria Montessori, 1999).
Matematikmaterialet visar klart och tydligt hur och varför man räknar på ett visst sätt. När ett barn
väl förstått matematikens uppbyggnad är det dags att lämna hjälp/inlärningsmaterialet och lösa
abstrakta problem utan hjälpmedel.
”Det finns olika tankegångar inom additionen, men inom subtraktionen finns ännu fler varianter,
vilket förtjänar extra uppmärksamhet” … ”För att tydliggöra tankegångarna i subtraktion får barnen
använda diverse konkret material, till exempel plockmaterial, med vilket de kan utföra övningar.
Detta är speciellt viktigt för barn med någon form av inlärningshandikapp, till exempel dyslexi”
((Malmer 2002, s120). Klossarna i läromedlet och Montessorimaterialet ger eleverna fler
möjligheter och flera olika perceptionsvägar. Som uttrycket säger, ”Lär med kroppen, så fastnar det
i knoppen”.
Målet är att eleverna ska klara sig utan dessa Montessorimaterial som hjälpmedel. Men i elevers
arbete där vi lärare vill bjuda in dem att utveckla sina olika förmågor i matematik kan dessa
Montessorimateriel vara en metod som ger ytterligare strategier för eleverna.
Avslutning
Alla dessa uppgifter som jag har tagit upp här att diskuteras är syftar till hur vi lärare kan ge
eleverna möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor.
- Kommunikationsförmåga
Eleverna löser uppgifter och arbetar tillsammans, samtalar och argumenterar för sina idéer och
tankar. Eleverna berättar för varandra hur de har tänkt och hur de kommit fram till sin lösning.
- Resonemangsförmåga
Elever löser problem genom resonera, upptäcka och ställa frågor till varandra om hur de ska göra
för att komma fram till lösningen.
- Begreppsförmåga
Malmer menar att räknesätten addition och subtraktion ”kan jämföras med läsprocessen där man
ägnar särskild uppmärksamhet åt vissa ord för att närmare studera ordets delar, de olika ljuden och

8. deras beteckningar” (Malmer 2002, s: 119). I instruktionerna till uppgifterna finns begrepp som
eleverna ska använda när de löser uppgifterna.
- Förmåga att göra kopplingar
Elever löser uppgifter med olika metoder, dvs övningar i läromedel samt Montessorimaterial. Det
finns inte en metod som är bättre eller sämre än den andra. Begreppen finns i alla dessa övningar.
- Problemlösningsförmåga
Genom lösa uppgiften på olika sätt utvecklar elever problemlösningsförmåga under hela uppgiften.
Det är viktig för eleverna att läraren går genom alla begrepp innan en ny uppgift startar, så att
eleverna kan lägga fokus på dessa.
Den internationella PISA-UNDERSÖKNINGEN har flera år i rad visat att svenska elevers
matematiska kunskapsnivå är låg jämfört med många andra länder. Orsaken till detta kan vara att
eleverna i Sverige inte har lärt sig att se ett samband mellan olika matteområden, på grund av att
många lärare använder matematikböcker med ett sekventiellt undervisningssätt istället för
hierarkiskt undervisningssätt, enligt Constanta. Eleverna har inte fått möjlighet förstå att olika
områden inom matematiken egentligen hänger ihop. Men det är ju inte läroboksförfattarnas ansvar
att se till att eleverna uppnår målen, utan lärarnas. I min matteundervisning använder jag mycket
Montessorimaterial som komplement. Men oavsett vilket läromedel eller material man använder är
inte läromedel det viktigaste, utan det är att se barnet. Läromedel och material är bara hjälpverktyg
på vägen till inlärningen.
Slutligen vill jag ställa en öppen fråga – Ska lärare lära ut att siffran ”0” eller siffran ”1” kommer
först? I matteboken Tänk och räkna börjar undervisningen i siffror med ”0”. Jag brukar stoppa in
”0” efter ”9” för den är lite speciell då eleverna har vant sig vid att använda de 9 ”vanliga” siffrorna.
Dessutom räknar vi ju alltid från ”1” med eleverna, inte från ”0”.
Referenser
Hodgen, Jeremy & Wiliam, Dylan (2013). Mathematics inside the black box: bedömning för
lärande i matematikklassrummet. 2. uppl. Stockholm: Liber
Häggblom, Lisen & Karlberg, Ann (2009). Tänk och räkna. 6a. 1. uppl. Malmö: Gleerup
Johansson, M (2003). Textbooks in mathematics education – a study of textbooks as the
potentially implemented curriculum. Luleå universitet.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. 2.
uppl. Lund: Studentlitteratur
McIntosh, Alistair (2009). Förstå och använda tal en handbok. Johanneshov: TPB
Montessori, Maria (1987). Barnasinnet. Stockholm: MacBook
Olteanu, Constanta (2001) Vilka är elevernas svårigheter i algebra? Tillgänglig: http://www.diva-
portal.org/smash/get/diva2:214231/FULLTEXT01.pdf Hämtad den: 2014-03-29.
Skolverket (2011) Läroplan för grundskolan, förskolaklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm:
Fritzes.