หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน
รายวิชา คณิตศาสตร
(พค21001)
ระดับมัธยมศึกษาตอนตน
(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554)
หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช 2551
สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย
สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ
กระทรวงศึกษาธิการ

2
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน
รายวิชา คณิตศาสตร (พค21001)
ระดับมัธยมศึกษาตอนตน
ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2554
ลิขสิทธิ์เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ
เอกสารทางวิชาการลําดับที่ 7/2555

3

4
สารบัญ
เรื่อง หนา
คํานํา 3
สารบัญ 4
คําแนะนําการใชหนังสือ 5
โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 6
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม 18
บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ 58
บทที่ 5 การวัด 75
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว 106
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ 128
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ 138
บทที่ 9 สถิติ 151
บทที่ 10 ความนาจะเปน 182
บทที่ 11 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 192

5
คําแนะนําการใชแบบเรียน
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร พค 21001 ระดับมัธยมศึกษา
ตอนตน เปนหนังสือเรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษา
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผูเรียนควรปฏิบัติดังนี้
1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
และขอบขายเนื้อหา
2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด
แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลับไป
ศึกษาและทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศึกษาเรื่องตอไป
3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรื่องของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ
เนื้อหาในเรื่องนั้นๆ อีกครั้ง และการปฏิบัติกิจกรรมของแตละเนื้อหาในแตละ
เรื่อง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆ ที่รวมเรียนในรายวิชา
และระดับเดียวกันได
4. แบบเรียนเลมนี้มี 10 บท
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน

6
โครงสรางรายวิชาคณิตศาสตร
ระดับมัธยมศึกษาตอนตน
สาระสําคัญ
ใหผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวน และทศนิยม เลข
ยกกําลัง อัตราสวน สัดสวน และรอยละ การวัด ปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวนและทศนิยม เลขยก
กําลังอัตราสวน สัดสวน รอยละ การวัด การหาปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติ สามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
2. สามารถคิดคํานวณและแกปญหาโจทยที่ใชในชีวิตประจําวัน
ขอบขายเนื้อหา
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน
สื่อการเรียนรู
1. ใบงาน
2. หนังสือเรียน

7
บทที่ 1
จํานวนและการดําเนินการ
สาระสําคัญ
เรื่องของจํานวนและการดําเนินการ เปนหลักการเบื้องตนที่เปนพื้นฐานในการนําไปใชใน
ชีวิตจริงเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ การบวก การลบ การคูณ และการหาร
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได
2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได
3. บวก ลบ คูณ หาร จํานวนเต็ม และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได
4. บอกสมบัติของจํานวนเต็มและนําความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มไปใชได
ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย
เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม
เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช

8
เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย
จํานวนเต็มประกอบไปดวย จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศูนย ดัง
โครงสรางตอไปนี้
จํานวนเต็มบวก คือ จํานวนนับ เปนจํานวนชนิดแรกที่มนุษยรูจัก มีคามากกวาศูนย จํานวนนับจํานวน
แรก คือ 1 จํานวนที่อยูถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 เสมอ เห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และ
สามารถเขียนจํานวนนับ เรียงตามลําดับไดดังนี้ 1, 2, 3,... ไปเรื่อยๆ จํานวนนับเหลานี้อาจเรียกไดวา
“จํานวนเต็มบวก” ถานําจํานวน 0 และจํานวนเต็มบวกมาเขียนแสดงดวยเสนจํานวนได ดังนี้
จํานวนเต็มศูนย มีจํานวนเดียว คือ ศูนย(0)
สําหรับ 0 ไมเปนจํานวนนับ เพราะจะไมกลาววามีผูเรียนจํานวน 0 คน แตศูนยก็ไมได
หมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมื่อกลาวถึงอุณหภูมิ เพราะทําใหเราทราบและเกิดความรูสึกขณะ
อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได
จํานวนเต็มลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลง
เรื่อยๆ ไมมีที่สิ้นสุด เชน -1, -2, -3, ....
พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขียน
แทนดวย -1 อานวา ลบหนึ่ง
จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยูทางซาย
ของ 0 สามชอง เขียนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม
จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ

9
เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
จํานวนเต็ม 2 จํานวน เมื่อนํามาเปรียบเทียบกันจะไดวา จํานวนหนึ่งที่มากกวาจํานวนหนึ่ง
หรือจํานวนหนึ่งที่นอยกวาอีกจํานวนหนึ่ง หรือจํานวนทั้ง 2 จํานวนเทากัน เพียงอยางใดอยางหนึ่ง
เทานั้น
ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว
a – b = c แลว a มากกวา b
a – b = - c แลว b มากกวา a
หรือ a นอยกวา b
a – b = 0 แลว a เทากับ b
เครื่องหมายที่ใช > แทนมากกวา
< แทนนอยกวา
= แทนเทากับ หรือเทากัน
การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้
จากเสนจํานวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซึ่งจะเห็นไดวา จํานวนที่อยู
บนเสนจํานวนดานขวามีคามากกวาจํานวนที่อยูดานซายเสมอ

10
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปนี้
- 1,
2
4
, 0, - 3,
1000
500
,
250
500
−
จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็ม ประกอบดวย..............................................................................................
2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) -4 ..................................... 3
2) -4 .................................... -3
3) -2 ..................................... -5
4) 4..................................... -2
5) 4..................................... -8
3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
…………………………………………………………………………………………………..
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
…………………………………………………………………………………………………..

11
2.1 จํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม
ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดียว เขียนแทนดวย -a
พิจารณาจากเสนจํานวน
จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปน
ระยะเทากัน เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกัน
ซึ่งสรุปไดวา
สําหรับจํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คือ –a
และจํานวนตรงขามของ -a คือ –a
เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขียนแทนดวย – (-a)
ดังนั้น – (-a) = a
เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขียนแทนดวย –(-3) คือ 3
2.2 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม
สัญลักษณของคาสัมบูรณ ไดแก
ขอสังเกต เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
พิจารณาจากเสนจํานวนจะเห็นวา
คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =
คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =−
ซึ่งสรุปไดวาคาสัมบูรณของจํานวนใดๆ เทากับระยะทางที่จํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสน
จํานวน

12
แบบฝกหัดที่ 2
1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”
1) คาสัมบูรณของ (-3).................................................คาสัมบูรณของ 3
2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จํานวนตรงขามของ 4
3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5
4) คาสัมบูรณของ A....................................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) ............................................5
2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8
3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)
4) 25.........................................25 −−
5) ( )20.........................................20 −−
6) 5..........................................25 −−
7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7)
8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77

13
เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม
3.1 การบวกจํานวนเต็ม
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก เชน 2 + 3 = 5
1). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ 5
จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ เชน
(-2) + (-3) = (-5)
2). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ -5
จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กับ -3
3.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
3). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอง เมื่อบวกดวย -8 ใหนับลดไปทางซายอีก 8 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 4
จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8

14
3.2 กรณีที่ จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมื่อบวกดวย – 10 ใหนับลดไปทางซายอีก 10 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -7
จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10
4.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
4). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมื่อบวกดวย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 2
จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3
4.2 กรณีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมื่อบวกดวย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -2
จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กับ 3

15
1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
แบบฝกหัดที่ 3
1. 3+2
2. (-3)+(-2)
3. 2+1
4. (-2)+(-1)
5. 5+ (-1)
6. (-1) +5
7. (-5) +3
8. 3 + (-5)

16
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปนี้ใหสมบูรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b
เทากันหรือไมกับ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน
2. (-3)+(-2) = -5
3. 2+1 = 3
4. (-2)+(-1) = -3
5. 5+ (-1) = 4
6. (-1) +5 = 4
7. (-5) +3 = -2
8. 3 + (-5) = -2
สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม
1. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มบวก
2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนเต็มลบ
3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณ
มากกวาใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก
4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
ใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ
5. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากัน ผลบวกเปน 0
3.2 การลบจํานวนเต็ม
ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้
จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3
จํานวนตรงขามของ – 3 คือ 3 และ 3+(-3) = 0
จํานวนตรงขามของ -3 เขียนแทนดวย –(-3) ดังนี้ –(-3) = 3

17
พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจํานวนที่กําหนดใหดังนี้
1. 3 – 2
2. 3 – 5
โดยพิจารณาทั้งสองแบบ
1. แสดงการหาผลลบของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
1). 3 – 2 = 1
2). 3 – 5 = -2
2. แสดงการหาผลลบโดย กําหนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b)
ประโยคแสดงผลลัพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของ a + (-b)
1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1
2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2
จากการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทั้ง 2 แบบจะเห็นไดวา
กําหนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b
ผลลัพธของ a-b และผลลัพธของ a+(-b) มีคาเทากัน
ดังนั้น การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังตอไปนี้
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ
a –b = a + จํานวนตรงขามของ b
หรือ a – b = a + (-b)

18
1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
แบบฝกหัดที่ 4
1. (-12) – 7
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. 7 – (-12)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. (-8) – (-5)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. (-5) – (-8)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. [8 – (-2)] – 6
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
6. 8 – [(-2) – 6]
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปนี้
1. a = 5, b = (-3)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. a = (-14), b = (-6)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. a = (-4), b = (-4)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

19
3.3 การคูณจํานวนเต็ม
1) การคูณจํานวนเต็มบวกดวนจํานวนเต็มบวก
เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5
= 15
7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
= 28
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวกนั้น ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคา
สัมบูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
2) การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)
= -24
2 × (-7) = (-7) + (-7)
= -14
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
3) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ)
= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)
= -28
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
4) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
เชน (-3) × (-5) = 15
( -11) × (-20) = 220
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

20
จงหาผลลัพธ
แบบฝกหัดที่ 5
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3). [4 × (-3)] × (-1)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4). 4 × [(-3) × (-1)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6). (-5) × [6 + (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
8). (-7) × [(-5) + 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
10). 5 × [(-7) + 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

21
3.4 การหารจํานวนเต็ม
การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ ที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารได
โดยอาศัยการคูณ ดังนี้
ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลลัพธ มีความหมายเดียวกับ ผลลัพธ × ตัวหาร = ตัวตั้ง
ถา cba =÷ แลว cba ×=
การหาผลหาร
5
25−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
การหาผลหาร
5
25
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก
คําตอบเปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
การหาผลหาร
5
25
−
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
=
−
−
การหาผลหาร
5
25
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
=
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคู คําตอบเปนจํานวน
เต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

22
แบบฝกหัดที่ 6
1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้
ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5
33 = 3 x 11
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3)
(-15) = 3 x (-5)
10 = (-5) x (-2)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2. 23 ÷ (-23)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3. 15 ÷ (-3)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4. (-72) ÷ 9
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

17
เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช
4.1 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม
1). สมบัติการสลับที่
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
a + b = b + a (สมบัติการสลับที่การบวก)
a × b = b × a (สมบัติการสลับที่การคูณ)
2) สมบัติการเปลี่ยนหมู
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
(a + b) + c = a + (b + c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการบวก)
(a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ)
3) สมบัติการแจกแจง
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
a + (b × c) = ab + ac
และ (b + c) × a = ba + ca
4.2 สมบัติของหนึ่งและศูนย
1). สมบัติของหนึ่ง
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a
a
=
1
2).สมบัติของศูนย
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0
3). ถา a แทนจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 แลว 0
0
=
a
(เราไมใช 0 เปนตัวหาร
ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว
0
a
ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร)
4). ถา a และ b แทนจํานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรือ b = 0
บทที่ 2
เศษสวนและทศนิยม

18
สาระสําคัญ
การอาน เขียนเศษสวน และทศนิยมโดยใชสมบัติ การบวก การลบ การคูณ การหาร
การเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจริงได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนิยมได
2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได
3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได
4. สามารถบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมได และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได
5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยมไปใชแกโจทยปญหา
ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวน และทศนิยม
1.1 เศษสวน หมายถึง สวนตางๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กัน การ
นําเสนอเศษสวนสามารถนําเสนอไดทั้งแบบรูปภาพ หรือแบบเสนจํานวน เชน

19
รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน
สวนที่แรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน
เขียนแทนดวย
4
1
อานวา “เศษหนึ่งสวนสี่”
หรือ
1 หนวยบนเสนจํานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน
จุด A อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น A แทนดวย
5
3
จุด B อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น B แทนดวย
5
7
หรือ
5
2
1
จุด C อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น C แทนดวย
5
13
หรือ
5
3
2
จุด D อยูหางจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น D แทนดวย
5
8−
หรือ
5
3
1−
เศษสวน
"
บทนิยาม เศษสวนเปนจํานวนที่เขียนอยูในรูป เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม โดยที่ b ไมเทากับศูนย
เรียก a วา "ตัวเศษ" เรียก b วา "ตัวสวน”
อานวา เศษหนึ่งสวนหา
อานวา เศษหนึ่งสวนสอง
อานวา ลบเศษสามสวนสอง
อานวา ลบเศษสี่สวนสาม

20
ตัวอยางที่ 1 จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
1.2. ทศนิยม
ทศนิยม คือ จํานวนที่อยูในรูปทศนิยมประกอบดวยสองสวนคือ สวนที่เปนจํานวนเต็ม
และสวนที่เปนทศนิยม และมีจุด (.) คั่นระหวางจํานวนเต็มกับสวนที่เปนทศนิยม
ทศนิยมแบงไดเปน 2 ชนิด คือ
1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...
2 ทศนิยมซ้ํา แบงเปน
2.1 ทศนิยมซ้ําศูนย เชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5
0.0030000 … เขียนแทนดวย 0.003
ถาตัวซ้ําเปน 0 ไมนิยมเขียน
2.2 ทศนิยมที่ตัวซ้ําไมเปนศูนย เชน
0.3333… เขียนแทนดวย 0.3 อานวา ศูนยจุดสามสามซ้ํา

21
1.414141 … เขียนแทนดวย 1.41 อานวา หนึ่งจุดสี่หนึ่งสี่หนึ่งซ้ํา
0.213213213 … เขียนแทนดวย 0.213 อานวา ศูนยจุดสองหนึ่งสาม สองหนึ่งสามซ้ํา
2.10371037 … เขียนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจุดหนึ่งศูนยสามเจ็ด หนึ่งศูนยสามเจ็ดซ้ํา
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดที่แทนจํานวนตอไปนี้
1)
8
4
,
2
1
1 ,
8
20
2)
2
1
1 ,
6
3
4 ,
6
29
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของทศนิยม
1.
10
6
= ………………………… 2. .................................
100
12
=
3. ................................
1000
357
= 4.
..............
1000
3
100
2
10
1
=++
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
2.1 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม
1)
2)

22
เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันได หมายความวา เศษสวนสามารถเขียนใน
รูปของทศนิยมได และทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน
1. ทําสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......
เชน 0.2 =
10
2
0.25 = 





×+





×
100
1
5
10
1
2
=
100
5
10
2
+
=
100
25
เพื่อใหเกิดความรวดเร็วในการเปลี่ยนทศนิยมเปนเศษสวน อาจทําไดโดยการเลื่อน
จุดทศนิยมและตัวหารเปนจํานวน 10, 100 หรือ 1,000 ขึ้นอยูกับจํานวนทศนิยม เชน ถาทศนิยม 1
ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 10 ถา 2 ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 100 หรือสรุปไดวา จํานวน
0 ที่ถัดเลข 1 จะเทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม
หมายเหตุ เศษสวนที่เปนลบเมื่อเขียนใหอยูในรูปทศนิยมจะไดทศนิยมที่เปนลบ
เชน
10
7−
= 7.0− ,
000,1
39−
= 039.0−
2.2 การเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
ทศนิยมซ้ํา คือ จํานวนเต็มของทศนิยมที่ซ้ําๆ กัน เชน 0.777.... เขียนแทนดวย 7.0 
เมื่อจะเขียนใหเปนเศษสวน สามารถทําไดดังนี้
ตัวอยางที่ 1 จงเปลี่ยน 7.0  ใหเปนเศษสวน
วิธีทํา 7.0  = 0.77777..... = X
ให X = 0.77777… -------------- (1)
(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)
(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…
9X = 7
X =
9
7
∴ 7.0  =
9
7
ตัวอยางที่ 2 จงเปลี่ยน 312.1  เปนเศษสวน
จาก 312.1  = 1.2131313…

23
ให x = 1.2131313… -------------- (1)
(1) × 10 10x = 12.131313….. ---------------(2)
(1) × 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3)
(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12
990x = 1213 – 12
x =
990
121213 −
x =
990
1201
ดังนั้น 312.1  =
990
1201
จากตัวอยาง สรุปไดวา การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนโดยวิธีลัด ทําไดดังนี้
1. 7134.0  =
9900
373417 −
=
9900
3383
เศษ เขียนจํานวนทั้งหมดลบดวยจํานวนที่ไมซ้ํา สวน แทนดวย 9 เทากับจํานวนที่ซ้ําและ
แทนดวย 0 เทากับจํานวนไมซ้ํา
2. 513.1  =
990
131315 −
=
990
1302
=
495
651
3. 3410.3  =
9900
31031043 −
=
9900
30733
แบบฝกหัดที่ 2

24
1. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้ใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......
1)
4
9
2)
4
3
1
........................................................... ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
40
39
4)
25
7
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
8
1
6)
125
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน
1)
11
9
2)
7
1
3
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
16
7
4)
4
5
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
6
5
6)
5
3
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
3.1 การเปรียบเทียบเศษสวน

25
เศษสวนที่เทากัน
การหาเศษสวนที่เทากัน ใชจํานวนที่ไมเทากับศูนยมาคูณหรือหารทั้งตัวเศษและ
ตัวสวน
เชน
4
3
=
24
23
×
×
=
8
6
4
3
=
8
6
=
12
9
เปนเศษสวนที่เทากัน
4
3
=
34
33
×
×
=
12
9
18
12
=
218
212
÷
÷
=
9
6
3
2
9
6
18
12
== เปนเศษสวนที่เทากัน
18
12
=
618
612
÷
÷
=
3
2
เศษสวนที่ไมเทากัน
การเปรียบเทียบเศษสวนที่ไมเทากันตองทําสวนใหเทากัน โดยนํา ค.ร.น. ของตัว
สวนของเศษสวนที่ตองการเปรียบเทียบกัน คูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เมื่อตัวสวนเทากันแลวใหนํา
ตัวเศษมาเปรียบเทียบกัน
เชน
5
4
มากกวาหรือนอยกวา
10
7
ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คือ 10
5
4
=
25
24
×
×
=
10
8
จะเห็นวา 8 > 7
ดังนั้น
10
7
10
8
> หรือ
10
7
5
4
>
ยังมีวิธีเปรียบเทียบโดยใชผลคูณไขว ถาผลคูณขางใดมีคามากกวา เศษสวนขางนั้น
จะมีคามากกวา
เชน
5
4
10
7
เปรียบเทียบ 104× กับ 75× จะเห็นวา 3540 >
ดังนั้น
10
7
5
4
>
ตัวอยางที่ 1 จงเปรียบเทียบ
12
7
และ
18
11

26
วิธีที่ 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36
ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36
312
37
×
×
=
36
21
218
211
×
×
=
36
22
จะได
36
22
>
36
21
ดังนั้น
18
11
>
12
7
วิธีที่ 2
12
7
18
11
ผลจากการคูณไขว จะได
7 × 18 และ 12 × 11
จะเห็นวา 126 < 132
ดังนั้น
12
7
<
18
11
2.1 เปรียบเทียบทศนิยม
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนบวก ใหพิจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด
ตัวใดมีคามากกวาทศนิยม จํานวนนั้นจะมีคามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมใน
ตําแหนงที่ 1 ของทั้ง 2 จํานวนมีเลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับ จะเห็นไดวา 5 มากกวา 4
ดังนั้น 38.586 มากกวา 38.498
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8
คาสัมบูรณของ -0.7 เทากับ 0.7
คาสัมบูรณของ -0.8 เทากับ 0.8
จํานวนที่มีคาสัมบูรณนอยกวาจะเปนจํานวนที่มีคามากกวา ดังนั้น
- 0.7 มากกวา - 0.8
แบบฝกหัดที่ 3
1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน

27
2. ใหเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง
3. ใหนักศึกษาเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน
1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501
3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28

28
5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534
7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012
9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01
4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก
1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หารเศษสวนและทศนิยม
4.1 การบวกเศษสวน
วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้

29
1) หา ค.ร.น.ของตัวสวน
2) ทําเศษสวนแตละจํานวนใหมีตัวสวนเทากับ ค.ร.น.ที่หาไดจากขอ 1
3) บวกตัวเศษเขาดวยกันโดยที่ตัวสวนยังคงเทาเดิม
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลบวก
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 3 กับ 4 คือ 12
=
12
9
12
4
+
ตอบ
4.2 การลบเศษสวน
การลบเศษสวน ใชหลักการเดียวกันกับการลบจํานวนเต็ม คือ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลบ
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ 12
=
= 





×
×
+





×
×
112
17
26
25
=
=
12
7
12
10
+
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

30
=
12
17
=
12
5
1
ตอบ
แบบฝกหัดที่ 4

31
1. ใหหาผลลัพธตอไปนี้
2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง
3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง
4. ใหหาผลลัพธตอไปนี้

32
4.5 การคูณเศษสวน

33
ผลคูณของเศษสวนสองจํานวน คือ เศษสวนซึ่งมีตัวเศษเทากับผลคูณของตัวเศษสอง
จํานวนและตัวสวนเทากับผลคูณของตัวสวนสองจํานวนนั้น
เมื่อ
b
a
และ
d
c
เปนเศษสวน ซึ่ง b , d 0
ผลคูณของ
b
a
และ
d
c
หาไดจากกฎ
b
a
×
d
c
=
db
ca
×
×
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของจํานวน
วิธีทํา
=
=
ตอบ
ตัวอยางที่ 2 จงหาผลคูณของ
101
25
5
2
2
1
××
วิธีทํา
101
5
1
1
1
1
××
=
10111
511
××
××
=
101
5
ตอบ
101
5
แบบฝกหัดที่ 5

34
จงหาผลคูณตอไปนี้
1)
5
1
1
3
1
2 ×
2)
9
5
5
1
1 ×
3)
9
1
1
11
2
5 ×
4)
10
7
3
2
16 ×
5)
5
2
1
3
2
2
16
5
××
6)
6
1
4
3
3
2
6 ××
7)
18
35
25
24
49
15
××
8)
22
10
25
11
27
10
25
24
×××
4.6 การหารเศษสวน

35
การหารจํานวนที่เปนเศษสวนไมมีสมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู
เมื่อ
b
a
และ
d
c
แทนเศษสวนใดๆ และ
พิจารณาผลหารที่เกิดจากการหาร
b
a
ดวย
d
c
ดังนี้
d
c
b
a
÷ =
d
c
b
a
=
c
d
d
c
c
d
b
a
×
×
=
1
c
d
b
a
×
=
c
d
b
a
×
ดังนั้น
d
c
b
a
÷ =
c
d
b
a
×
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลหารของ
วิธีทํา
=
ตอบ
แบบฝกหัดที่ 6

36
1. จงหาผลลัพธตอไปนี้
2. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
4.7 การนําความรูเรื่องเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา

37
โจทยปญหาเศษสวน
การทําโจทยปญหาเศษสวน ควรกําหนดจํานวนทั้งหมดเปน 1 หนวย แลวดําเนินการตาม
โจทย เชน นักเรียนหองหนึ่ง เปนชาย
5
3
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ดังนั้น หองนี้เปนนักเรียนหญิง 1 -
5
3
=
5
2
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ตัวอยางที่ 1 ถังใบหนึ่งจุน้ํา 140 ลิตร มีน้ําอยู
4
3
ถัง หลังจากใชน้ําไปจํานวนหนึ่งจะ
เหลือน้ําอยู
2
1
ถัง จงหาวาใชน้ําไปเทาไหร
วิธีทํา มีน้ําในถัง
4
3
× 140 = 105 ลิตร
หลังจากใชน้ําเหลือน้ําในถัง ×
2
1
140 = 70 ลิตร
ดังนั้นใชน้ําไปจํานวน 70105 − = 35 ลิตร
แบบฝกหัดที่ 7

38
1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้
1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา
5
2
ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ
16
5
ของเงินที่เหลือ จง
หาวาตองเหลือเงินเทาไร
2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน
4
3
3 ของความกวาง และความกวางเปน
5
2
4 ของ
ความสูง ถาหองสูง
2
1
3 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวา โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศ
หายใจกี่ลูกบาศกเมตร
3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง
5
4
6 เมตร ยาว
2
1
10 เมตร ใน
ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร
4) โทรทัศนเครื่องหนึ่งประกาศลดราคาลง
4
1
ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อน
กับผูขายลดใหอีก
5
1
ของราคาที่ประกาศลดแลวในครั้งแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท
จงหาวาโทรทัศนเครื่องนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร
5) ในการเดินทางครั้งหนึ่งเสียคาที่พัก
5
2
ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง
4
1
ของ
คาใชจายทั้งหมด คาใชจายอื่น ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร

39
4.8 การบวก และการลบทศนิยม
การหาผลบวกของทศนิยมใดๆ จะใชหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนลบ
3. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาลบ
กันแลวตอบเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา
การหาผลลบของทศนิยมใด ๆ ใชขอตกลงเดียวกันกับที่ใชในการหาผลลบของจํานวน
เต็ม คือ
สรุป การบวกและการลบทศนิยม จะตองตั้งใหจุดทศนิยมตรงกันกอน แลวจึงบวก
ลบ จํานวนในแตละหลัก ถาจํานวนตําแหนงทศนิยมไมเทากัน นิยมเติมศูนยขางทายเพื่อให
จํานวนตําแหนงทศนิยมเทากัน
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

40
แบบฝกหัดที่ 8
1. จงเติมผลลัพธตอไปนี้

41
4.9 การคูณทศนิยม
การคูณทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
3. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณ
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ
หมายเหตุ ผลคูณทศนิยม จะมีจํานวนหลักทศนิยมเทากับผลบวกของจํานวนหลัก
ทศนิยมของตัวตั้งและจํานวนหลักทศนิยมของตัวคูณ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของ
1. 1.25 ×2.431
1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25
2.431
12155
125
4862
303875 0
2431 0
∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875
2. -5.12 × 0.125
512
2560
125
1024
64000 0
512 0
∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64
×
×

42
4.10 การหารทศนิยม
การหารทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
3. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหาร
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ ขอสําคัญตองทําใหตัวหารเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ
1. 15.015 ÷(-0.15)
วิธีทํา 15.015 ÷(-0.15) =
15.0
015.15
−
=
10015.0
100015.15
×−
×
=
15
5.1501
−
1.100
15
5.150115
00
0
01
0
15
15
∴15.015 ÷(-0.15) = -100.1
2. (-37.65) ÷ (-1.5)
วิธีทํา (-37.65) ÷ (-1.5) =
5.1
65.37
−
−
=
105.1
1065.37
×
×
=
15
5.376
1.125
30
5.37615
76
75
15
15
∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1

43
แบบฝกหัดที่ 9
1. จงหาคาของ
2. จงหาคาของ
1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)
………………………………………………………………………………………………...
2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}
………………………………………………………………………………………………...
3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)
………………………………………………………………………………………………...
4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)
………………………………………………………………………………………………...
5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2×(-3.6)]
………………………………………………………………………………………………...

44
4.11 การนําความรูเรื่องทศนิยมไปใชในการแกโจทยปญหา
ตัวอยางที่ 1 เหล็กเสนกลมขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร จะ
หนัก 3.862 กิโลกรัม ถาเหล็กเสนขนาดเดียวกันนี้ยาว 1.25 เมตร จะหนักกี่กิโลกรัม
วิธีทํา เหล็กเสนกลมมีขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร
และยาว 100 เซนติเมตร หนัก 3.862 กิโลกรัม
ถายาว 1 เซนติเมตร หนัก 03862.0
100
862.3
= กิโลกรัม
ดังนั้น เหล็กเสนขนาดเดิมแตยาว 125 เซนติเมตร หนัก 12503862.0 ×
= 8275.4 กิโลกรัม
เหล็กเสนขนาดเดิมยาว 25.1 เมตร หนัก 8275.4 กิโลกรัม
ตัวอยางที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีพื้นที่ 11.3364 ตารางเซนติเมตร ถาดานยาว
เทากับ 4.23 เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว
11.3364 = กวาง × 4.23
ดังนั้น กวาง =
23.4
3364.11
= 68.2 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −
= 55.1 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนติเมตร

45
แบบฝกหัดที่ 10
1. ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปนี้
1) เชือกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรง
รอยตอ 0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5
เมตร ดานยาวจะยาวดานละกี่เมตร
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
2. น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม
จะใชน้ําตาลไดทั้งหมดกี่วัน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32
ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
4. มีทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ
8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………

46
บทที่ 3
เลขยกกําลัง
สาระสําคัญ
สัญลักษณของการเขียนแทนการคูณจํานวนเดียวกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ ครั้ง เขียนแทนดวย n
a
อานวา a ยกกําลัง n และการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่
กําหนดใหได
2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
3. อธิบายการคูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได
ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

47
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เลขยกกําลัง หมายถึง การใชสัญลักษณ เขียนแทนจํานวนที่เกิดขึ้นจากการคูณ ซ้ําๆ กัน
หลายๆ ครั้ง เชน 3333 ××× สามารถเขียนแทนไดดวย 4
3 อานวา สามยกกําลังสี่ ซึ่งมีบทนิยาม
ดังนี้
บทนิยาม
n
a
ถา a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a
กําลัง n” เขียนแทนดวย =   
n
aaaa ×××× ......
เรียก n
a วาเลขยกกําลังที่มี a เปนฐานและ n เปนเลขชี้กําลัง เชน
5
4 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4
5
4 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชี้กําลัง
สัญลักษณ 5
4 อานวา “สี่ยกกําลังหา” หรือ “สี่กําลังหา” หรือกําลังหาของสี่
( )6
2− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−
( )6
2− มี ( )2− เปนฐาน และมี 6 เปนเลขชี้กําลัง
ในทํานองเดียวกันสัญลักษณ ( )6
2− อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง
หกของลบสอง
จงพิจารณาตารางตอไปนี้
เลขยกกําลัง ฐาน เลขชี้กําลัง เขียนในรูปของการคูณ แทนจํานวน
3
3 3 3 3×3×3 27
5
4 4 5 4×4×4×4×4 1,024
( )4
2− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16
2
2
1






2
1 2
2
1
×
2
1
4
1
y
x x y X×X×X…(y ครั้ง) X×X×X…(y ครั้ง)
ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้
1. 3
8 อานวาอยางไร
2. 3
10 มีจํานวนใดเปนฐาน
3. 5
11 มีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายอยางไร
5. ( )5
5− อานวาอยางไร
วิธีทํา 1. 3
8 อานวา 8 ยกกําลัง 3
2. 3
10 มี 10 เปนฐาน
3. 5
11 มี 5 เปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5
5. ( )5
5− อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา

48
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้ง
บอกฐานและเลขชี้กําลัง
1.1 25 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.2 64 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.3 169 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.4 729 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
2. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
2.1 8
2 =…………………………………=………………………………
2.2 ( )4
3− =…………………………………=………………………………
2.3 ( )5
3.0 =…………………………………=………………………………
2.4 ( )6
02.0 =…………………………………=………………………………
2.5
3
3
1






=…………………………………=………………………………
2.6
3
7
2






=…………………………………=………………………………
2.7 ( )4
5− =…………………………………=………………………………
2.8 3
2− =…………………………………=………………………………
2.9
5
10
1






=…………………………………=………………………………
2.10 ( )6
5.0 =…………………………………=………………………………

49
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร มีรูปทั่วไปเปน A × n
10
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้
1. 2,000 = 2 × 1,000
= 2 × 3
10
2. 800,000 = 8 × 100,000
= 8 × 5
10
ตัวอยางที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 600,000,000 = 6 × 100,000,000
= 6 × 8
10
ตอบ 6 × 8
10
ตัวอยางที่ 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000
= 7.32 × 100 × 100,000
= 7.32 × 2
10 × 5
10
= 7.32 × 7
10
ตัวอยางที่ 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยูใน
รูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร
113,000,000 = 113 × 1,000,000
= 113 × 100 × 1,000,000
= 1.13 × 2
10 × 6
10
= 1.13 × 8
10
ตอบ 1.13 × 8
10 เมตร

50
แบบฝกหัดที่ 2
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
1. 400,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. 639,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
4. 247,500,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ
วิทยาศาสตร
1,430,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด
3.1 2 × 6
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.2 4.8 × 13
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.3 4.03 × 9
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.4 9.125 × 5
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………

51
3. การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเปนเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
3.1 การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันตอไปนี้
3
2 × 4
2 = ( ) ( )2222222 ××××××
= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2
= 7
2 หรือ 43
2 +
32
33 × = ( ) ( )33333 ××××
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3
= 5
3 หรือ 32
3 +
23
3
1
3
1






×





=












×





×












×





×





3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
= 





×





×





×





×





3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=
5
3
1






หรือ 23
3
1
+





การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป
ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจํานวนเต็มบวก nm
aa × = nm
a +

52
แบบฝกหัดที่ 3
1. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
1.1 65
22 × =……………………………=…………………………………
1.2 25
32 × =……………………………=…………………………………
1.3 ( )3
32× =……………………………=…………………………………
1.4 ( )2
75.0 =……………………………=…………………………………
1.5 2
2
3
3
1
×




 −
=……………………………=…………………………………
1.6 ( )3
23×− =……………………………=…………………………………
1.7
43
2
5
5
2






×





=……………………………=…………………………………
1.8
56
2
7
7
1






×





=……………………………=…………………………………
1.9 ( )
4
3
2
1
5.0 





=……………………………=…………………………………
1.10 ( ) ( )32
1111 −− =……………………………=…………………………………
2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง
2.1 732
222 ×× =……………………………=…………………………………
2.2 ( ) ( ) ( )53
333 −×−×− =……………………………=………………………………
2.3 5 × 625 × 2
5 =……………………………=…………………………………
2.4 121 × 11 × 2
11 =……………………………=…………………………………
2.5 ( ) ( ) ( )734
333 −×−×− =……………………………=………………………………

53
การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน
จํานวนเต็มบวกในรูปของ
3.2 การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
m
a ÷ n
a จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n และ m <
n ดังนี้
กรณีที่ 1 m
a ÷ n
a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m,n แทนจํานวนเต็มบวก
และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้
1. 2
5
2
2
=
22
22222
×
××××
= 222 ××
= 3
2 หรือ 25
2 −
2.
7
5
3
3
=
33333
3333333
××××
××××××
= 2
3 หรือ 57
3 −
3. ( )
( )3
8
5
5
−
−
= ( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )555
55555555
−−−
−−−−−−−−
= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−
= ( )5
5− หรือ ( ) 38
5
−
−
จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม
และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ
การหารเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n
nm
aa ÷ = nm
a −