2017.01.04 sae-komplekse tall - ac-kretser v16 med fronter Sven Åge Eriksen Fagskolen Telemark Fasekompensering Komplekse tall Imaginære tall resonans serie kretser resonans parallell kretser

1. AC-KRETSER
RLC SERIE- OG PARALLELL
2017.01.04
Sven Åge Eriksen,
Fagskolen Telemark
Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Fasekompensering
Beregninger med imaginære tall.
En del av kildemateriale til imaginære tall er fra Espen M. Aamodt, Fagskolen Telemark

4. 1. Resonans i RLC serie- og parallellkretser, side 160
2. Fasekompensering, side 155
3. Beregninger med imaginære tall, side 126
http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d9
03bb?index=10#156
http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d9
03bb?index=10#161
http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d9
03bb?index=10#127

5. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Mål for undervisningen:
Du skal kunne forklare hvorfor vi kan kalle en LC-
krets for en elektrisk svingekrets. Du skal også kunne
forklare hva vi mener med resonans i en slik
svingekrets. Du skal kjenne til hvordan serie- og
parallell-svingekretser lages, skal kunne bestemme
resonansfrekvensen og frekvenskarakteristikken for
de to typer svingekretser. (Serie og parallell)

6. En motorsykkel kan komme i egensvingninger, dvs i resonans ved bestemte forhold.
(Fart, design, konstruksjon, påmontert utstyr, vibrasjon, underlag, vind)
Hva gjør du da ? F.eks redusere farten.

7. https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
.
Tacoma bridge, svinget i en time pga moderat
sidevind før den datt ned:

8. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
I svingekretser «svinger» energien
mellom spolen og kondensatoren.

9. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
I svingekretser «svinger» energien
mellom spolen og kondensatoren.

10. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
.
I svingekretser «svinger» energien
mellom spolen og kondensatoren.
VIKTIG:
Del-spenningene over C
og L kan bli mye større
enn tilførselspenningen !
VIKTIG:
Grein-strømmene gjennom C og L
kan bli mye større enn
tilførselstrømmen !

11. Når impedansen til kondensatoren er like stor som impedansen til
spolen, vil strømmen være like stor, bare altså motsatt rettet.
Det vil si at det faktisk ikke går noe strøm i tilførselsledningene
fra funksjonsgeneratoren til parallellkretsen, selv om spenningen
over kretsen kan være betraktelig!

12. Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b)
Seriekobling av de samme.
Dersom kondensatoren og spolen er koblet i serie som vist i figur 4b,
vil strømmen gjennom de to komponentene være den samme.
Sammenlikner vi figurene 2 og 3 (forskyver nullpunktet i tid på en av
figurene slik at strømmen til enhver tid blir den samme), finner vi
faktisk at spenningen over kondensatoren alltid vil ha motsatt
polaritet av spenningen over spolen.

13. Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b)
Seriekobling av de samme.
Betrakter en effektforløpet også for dette tilfellet, finner en at
kondensatoren til enhver tid tar opp like mye effekt som spolen gir fra
seg. Igjen vil energi ”skvulpe” fram og tilbake mellom disse to
komponentene.

14. Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b)
Seriekobling av de samme.
Når impedansen til kondensatoren er lik impedansen til spolen, vil
spenningene være like store, bare motsatt rettet.
Det betyr at den totale spenningen over seriekoblingen blir lik
null, selv om strømmen kan være betraktelig!

15. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Svingekretser blir dannet av en spole og
en kondensator.
Energien «svinger» mellom spolen og
kondensatoren.

16. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Svingekretser blir dannet av en spole og
en kondensator.
Energien «svinger» mellom spolen og
kondensatoren.
Vi får resonans når Xc = XL
Resonans må vi vanligvis unngå !
Hvorfor ?

17. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
fC
Xc
2
1
fLXL 2
Reaktans i spole: Reaktans i kondensator:

18. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
fC
Xc
2
1

fLXL 2
2πfL =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
f2 =
𝟏
𝟐∗𝟐∗𝝅∗𝝅𝑳𝑪
fresonans =
𝟏
𝟐𝝅 𝑳𝑪

19. 2πfL =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪

20. XL=2πfL Xc=
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
fresonans =
𝟏
𝟐𝝅 𝑳𝑪
Oppgave:
Finn resonansfrekvensen til denne LC seriekretsen:
U= 5VAC, f= 100Hz, L= 100mH, C= 10μF

21. Løsning:
Finn resonansfrekvensen til denne LC seriekretsen:
U= 5VAC, f= 100Hz, L= 100mH, C= 10μF
fresonans =
𝟏
𝟐𝝅 𝑳𝑪
=
𝟏
𝟐𝝅 𝟏𝟎𝟎𝒎𝑯 ∗𝟏𝟎μF
= 159,155 Hz

22. 100 Hz

23. 155 Hz

24. Verdiene oscillerer oppover !
159 Hz

25. Verdiene oscillerer oppover !
159,155 Hz

26. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Side 160
Serieresonans:
Ved serieresonans er impedansen lavest, lik
resistansen i kretsen og strømmen er maksimal.
I seriekretsen får vi forskjellige delspenninger.
Impedans
Strøm
Frekvens
Frekvens

27. Resonans i RLC serie- og parallellkretser
Side 162
Parallellresonans:
Ved parallellresonans er impedansen høyest og strømmen inn til
kretsen er minimal. I parallellkretsen får vi forskjellige greinstrømmer
som kan bli veldig mye større enn tilførselstrømmen.
Strøm
Frekvens
Frekvens
Impedans

28. Impedans
• Forholdet mellom spenning og strøm (V/I) er impedans
19.02.2016 INF 1411 28
Impedans
Resistivitet
(frekvensuavhengig)
Reaktans
(frekvensavhengig)
Kapasitiv reaktansInduktiv reaktans
 Idelle komponenter har bare
én type impedans
 Fysiske komponenter har
parastitteffekter av de andre
typene i tillegg

29. Admittans
• Forholdet mellom strøm og spenning (I/V) heter admittans, og er det inverse av impedans.
19.02.2016 INF 1411 29
Admittans
Konduktans
(frekvensuavhengig)
Suceptans
(frekvensavhengig)
Kapasitiv suceptansInduktiv suceptans

30. Kapasitiv reaktans
19.02.2016 INF 1411 30
 En kondensator har frekvensavhengig impedans mot strøm
 Impedansen heter kapasitiv reaktans Xc og er definert ved
 Ut fra formelen ser man at
 Jo større frekvens, desto mindre reaktans
 Jo større kapasitans, desto mindre reaktans

 NB: I en ohmsk motstand er R et mål for resitivitet. Kapasitansen C
angir derimot ikke kapasitiv reaktans
fC
Xc
2
1


31. Effekt i kondensatorer
• En ideel kondensatoer vil ikke forbruke energi, men kun lagre og
deretter avgi energi
• Effekten som lagres når strøm og spenning har samme polaritet vil
avgis når strøm og spenning har motsatt polaritet
19.02.2016 INF 1411 31

32. Total impedans i seriell RC-krets
• Z er den samlede impedansen mot vekselstrøm i en krets
• Impedansen har en frekvensuavhengig resistiv del R og en
frekvensavhengig reaktiv del XC
• Den resistive og reaktive delen har en fasedreining på -90o i
forhold til hverandre
19.02.2016 INF 1411 32

33. Total impedans i seriell RC-krets (forts)
• Den totale impedansen er gitt av Z=R+XC , merk fete bokstaver:
R og XC er vektorer («phasors»).
• Z finner man ved vektorsummasjon
• Siden Z er en vektor har den både en fasevinkel θ og en
magnitude
• Z har fortsatt Ohm (Ω) som enhet
19.02.2016 INF 1411 33

34. Total impedans i seriell RC-krets (forts)
• Magnituden er lengden til Z og finnes ved Pythagoras:
• Fasen θ finnes ved å beregne invers tangens til vinkelen
19.02.2016 INF 1411 34
22
CXRZ 
)(tan 1
R
XC


35. Induktorer (forts)
26.02.2016 INF 1411 35
 L (måles i Henry) kalles for induktans og uttrykker spolens evne til å
indusere spenning strømmen gjennom spolen endrer seg
 Merk likheten mellom L og C, og forskjellen til R
l
AN
L
2


36. Induktorer (forts)
26.02.2016 INF 1411 36
 Motstanden mot strøm kalles for induktiv reaktans og er gitt av
 Spoler har i tillegg resistans som kalles viklingsresistans Rw og
skyldes at lederen har ohmsk motstand
fLXL 2

37. Tidskonstant i RL-kretser
26.02.2016 INF 1411 37
R
L

 RL-tidskonstanten er forholdet mellom induktansen og resistansen:
 Tidskonstanten angir hvor fort strømmen kan endre seg i en spole: Jo
større induktans, desto lengre tid tar det å endre strømmen

38. Strøm i RL-kretser
26.02.2016 INF 1411 38
 Hvis en spole kobles til en spenningskilde vil strømmen gjennom
spolen øke eksponensielt:

39. Strøm i RL-kretser (forts)
26.02.2016 INF 1411 39
 Hvis en spole kobles fra en spenningskilde vil strømmen
gjennom spolen avta eksponensielt:

40. Respons på en firkantpuls
26.02.2016 INF 1411 40
 Hvis spenningskilden til RL-kretsen er en firkantpuls vil, strømmen
gjennom spolen vekselvis øke og minke eksponensielt:

41. Impedans og fasevinkel i seriell RL-krets (forts)
26.02.2016 INF 1411 41
 Den totale impedansen består en en resistiv og en induktiv
reaktiv del som er 90 grader i forhold til hverandre
 Den totale impedansen er gitt av 22
LXRZ 

42. Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?

43. Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?

44. Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?
F.eks fasekompensering, se side 155 i boka.

45. Side 164
Oppgave som dere skal kunne klare å løse:
Mal for løsning side 155, 156 og 157.

46. Side 156

47. Side 156

48. Eksempel:
PS:
Konstant 50 Hz
Ikke frekvens-
regulering her.

49. PS:
Konstant 50 Hz
Ikke frekvens-
regulering her.

50. Merkeskilt på motor: Merkeskilt på kondensatorbatteri:

51. Beregninger med imaginære tall

52. Når vi regner med komplekse tall, så gjør vi beregninger med
tall som ligger utenfor det reelle tallsystemet:

53. Når vi regner med komplekse tall, så gjør vi beregninger med
tall som ligger utenfor det reelle tallsystemet:

54. Når vi regner med
imaginære tall i elektro
brukes «j» som
betegnelse for −𝟏
Når vi regner med
imaginære tall i
matematikk, brukes «i»
som betegnelse for −𝟏
Husk at: j * j = -1

55. Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

56. Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

57. Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

58. Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

59. Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

60. Nødvendige grunnkunnskaper: j = i = −𝟏 −𝟏 * −𝟏 = -1 j * j = -1
Pytagoras
Brøkregning, f.eks kunne summere to brøker med forskjellig nevner
Kvadratrot og x i andre
Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
Fortegnsregler for multiplikasjon
-1 * -1 = +1 +1 * +1 = +1 -1 * +1 = -1 +1 * -1 = -1 −𝟏 * −𝟏 = -1 j * j = -1

61. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

62. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

63. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

64. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =

65. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =
40*40 – 127,6*127,6 *j*j =

66. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =
40*40 – 127,6*127,6 *j*j = j * j = -1

67. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =
40*40 – 127,6*127,6 *j*j =
40*40 – 127,6*127,6 * -1 =
Husk at: j * j = -1

68. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =
40*40 – 127,6*127,6 *j*j =
40*40 – 1* – 1 * 127,6*127,6 =
Husk at: j * j = -1

69. Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks:
(40 – j127,6) * (40 + j127,6)
Dette kalles å gange med den «konjugerte»
(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =
40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =
40*40 – j127,6*j127,6 =
40*40 – 127,6*127,6 *j*j =
40*40 + 127,6*127,6 =
402 + 127,62 = 1600 + 16282 = 17882
Husk at: j * j = -1

70. Dette her brukes ved parallellkretser: j = i = −𝟏
Vi ganger med den «konjugerte» i teller og nevner for å få bort den komplekse verdien i
nevneren i brøken.

71. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall
- Regneform hvor man benytter tall som ikke eksisterer.
- Det imaginære/ «ikke eksisterende» tallet består av bokstaven i.
- Verdien av ‘j’ er bestandig −1. (PS: Kvadratrot av -1 er egentlig ikke lov.)
- Verdien av ‘j’ får reel betydning, dersom den blir opphøyd i andre (𝑗2).
- Dvs. 𝑗2 = ( −1)2 = −12= −1
1
2
∗2
= −1
- Det imaginære tallet består av bokstaven j innen elektro.
Med andre ord…. En metode for å gjøre ting ekstra vanskelig. 

72. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall
- En spole har ALLTID den imaginære verdien +jXL.
- En kondensator har ALLTID den imaginære verdien –jXC.
- En resistans kalles et reelt/virkelig tall. ALDRI imaginært med reelt.
- En impedans består både av en resistans del og en imaginære del. (Komplekst)
• Den kan derfor representeres som et komplekst tall, med både en reel verdi
(resistans) og en kompleks verdi (total reaktans).
• F.eks kan dette skrives slik: 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 eller 𝑍 = 𝑅 − 𝑗𝑋.
• Pluss eller minus fremfor j’en er helt avhengig av hvilken reaktans (XL eller XC)
som er dominant.
• En serie kobling mellom R og XL, gir altså impedansen, 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋.
- Reaktanser er med andre ord…. ALLTID rene imaginære tall.

73. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall
Det komplekse og reele planet.
Langs X – aksen har vi reelle verdier. Dvs resistans.
Langs Y – aksen har vi komplekse verdier. Dvs XL og XC.
På et imaginært tall som, f.eks impedans kan vi
benytte ren pytagoras. Dvs:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝑅2 + 𝑋2
Ѳ = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑋
𝑅
)
PS: X = XL - XC

74. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall
• Den kompleks «konjugerte» verdien vil alltid
ha motsatt fortegn på den IMAGINÆRE delen
av det komplekse tallet.
• Enkelt forklart, så brukes dette tallet for å løse
ut brøker.
• For eksempel, så er den konjugerte til Z = R - jXC
𝒁 = 𝑹 + 𝒋Xc

77. Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φved hjelp av beregning med imaginære tall:

78. Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φved hjelp av beregning med imaginære tall:
Reell
Imaginær
Reell
Imaginær

79. Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φved hjelp av beregning med imaginære tall:
Reell
Imaginær
Reell
Imaginær XL=2πfL
Xc=
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
5Ω
4Ω

80. XL = 2πfL =
Xc =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
=

81. XL = 2πfL = 2π · 1Hz · 477 mH = +3j
Xc =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
=
𝟏
𝟐𝝅 · 𝟏𝑯𝒛 · 𝟕𝟗,𝟔𝒎𝑭
= 2Ω = -j2

82. Z = R1 + Xc + R2 + XL
Z = 5 - 2j + 4 + j3
Z = 9 + j1
XL = 2πfL = 2π · 1Hz · 477 mH = +3j
Xc =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
=
𝟏
𝟐𝝅 · 𝟏𝑯𝒛 · 𝟕𝟗,𝟔𝒎𝑭
= 2Ω = -j2

83. Z = R1 + Xc + R2 + XL
Z = 5 - 2j + 4 + j3
Z = 9 + j1
XL = 2πfL = 2π · 1Hz · 477 mH = +3j
Xc =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
=
𝟏
𝟐𝝅 · 𝟏𝑯𝒛 · 𝟕𝟗,𝟔𝒎𝑭
= 2Ω = -j2

84. Z = 9 + j1
Z = R + jX = 𝑹 𝟐 + 𝑿 𝟐
Z = 9 + j1 = 𝟗 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 9,06 Ω

85. Z = 9 + j1
Z = R + jX = 𝑹 𝟐 + 𝑿 𝟐
Z = 9 + j1 = 𝟗 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 9,06 Ω
Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

86. Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

87. Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !
Φ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝑿
𝑹
= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏
𝟗
= 𝟔, 𝟑𝟒 ̊

88. Z = 9 + j1
Z = R + jX = 𝑹 𝟐 + 𝑿 𝟐
Z = 9 + j1 = 𝟗 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 9,06 Ω
Finn faseforskyvningsvinkelen Φ ! Φ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝑿
𝑹
= 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏
𝟗
= 𝟔, 𝟑𝟒 ̊

90. Oppgaven kan løses ved bruk av admittans eller
imaginære tall. (Admittans gjennomgås 18/1)
• Forholdet mellom strøm og spenning (I/V) heter admittans, og er det inverse av impedans.
19.02.2016 INF 1411 90
Admittans
Konduktans
(frekvensuavhengig)
Suceptans
(frekvensavhengig)
Kapasitiv suceptansInduktiv suceptans

92. Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φved hjelp av beregning med imaginære tall:

93. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall - Parallell Krets
𝑋 𝐿 = 2π𝑓 ∗ 𝐿 = 2π ∗ 1 𝐻𝑧 ∗ 477 𝑚𝐻 = 3 Ω = +𝑗3 Ω
𝑋 𝐶 =
1
2π𝑓∗𝐶
=
1
2π∗1 𝐻𝑧∗79,6 𝑚𝐹
= 2 Ω = −𝑗2 Ω
𝑍 𝐶𝑅2 = 4 Ω − 𝑗2 Ω
𝑍 𝐿𝑅1 = 5 Ω + 𝑗3 Ω
𝑍 𝑇 =
1
𝑍 𝐶𝑅2
+
1
𝑍 𝐿𝑅1
−1
=
𝒁 𝑪𝑹𝟐 ∗ 𝒁 𝑳𝑹𝟏
𝒁 𝑪𝑹𝟐 + 𝒁 𝑳𝑹𝟏
𝑍 𝑇 =
𝒁 𝑪𝑹𝟐 ∗ 𝒁 𝑳𝑹𝟏
𝒁 𝑪𝑹𝟐 + 𝒁 𝑳𝑹𝟏
=
(4 − 𝑗2) ∗ (5 + 𝑗3)
(4 − 𝑗2) + (5 + 𝑗3)
=
20 + 𝑗12 − j10 − 𝑗2
6
4 − 𝑗2 + 5 + 𝑗3
𝑂𝐵𝑆: 𝑗2
= −1
𝑍 𝑇 =
20 + 𝑗2 − (−1)6
9 + 𝑗1
=
20 + 𝑗2 + 6
9 + 𝑗
=
26 + 𝑗2
9 + 𝑗1
Ganger oppe og nede med den
konjugerte til NEVNEREN.

94. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall - Parallell Krets
𝑂𝐵𝑆: 𝑗2 = −1
𝑍 𝑇 =
(26 + 𝑗2) ∗ (9 − 𝑗)
(9 + 𝑗1) ∗ (9 − 𝑗)
Ganger oppe og nede med den
konjugerte til NEVNEREN.
𝑍 𝑇 =
234 − 𝑗26 + 𝑗18 − 𝑗22
81 − 𝑗9 + 𝑗9 − 𝑗2
=
234 − 𝑗 + 2
81 + 1
=
236 − 𝑗8
82
= 𝟐, 𝟖𝟖 − 𝒋𝟎, 𝟎𝟗𝟖

96. Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !

97. Regn først ut reaktansene !

100. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall - OPPGAVE
En spole med indre resistans på 40Ω og en induktans på 100mH, blir seriekoblet med en
kondensator på 20µF. Kretsen blir tilført en spenning på 60V / 50Hz.
Reaktansene i koblingen er ut fra dette:
Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !
𝐒𝐕𝐀𝐑 𝐒𝐊𝐀𝐋 𝐁𝐋𝐈: 𝑍 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟕 Ω 𝐨𝐠 Ѳ = 𝟕𝟐, 𝟓𝟗°
𝑋 𝐿 = 𝟑𝟏, 𝟒 Ω 𝒐𝒈 𝑋 𝐶 = 𝟏𝟓𝟗 Ω
𝒁 = 40 + j31,4 – j159 = 40 - j127,6 𝑍 = 40 − 𝑗127,6 = 402 + 127,62 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟕
Ѳ = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑋
𝑅
= 𝑡𝑎𝑛−1
127,6
40
= 𝟕𝟐, 𝟓𝟗°

104. AC-kretser
Beregninger med imaginære Tall - OPPGAVE
En spole med indre resistans på 40Ω og en induktans på 100mH, blir parallellkoblet med en
kondensator på 20µF. Kretsen blir tilført en spenning på 60V / 50Hz.
𝐑𝐞𝐚𝐤𝐭𝐚𝐧𝐬𝐞𝐧𝐞 𝐞𝐫 𝐝𝐞𝐫𝐦𝐞𝐝 𝐗 𝐋 = 𝟑𝟏, 𝟒 Ω 𝐨𝐠 𝐗 𝐂 = 𝟏𝟓𝟗 Ω.
Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !
𝒁 =
𝒁 𝑳 ∗ 𝒁 𝑪
𝒁 𝑳 +𝒁 𝑪
=
𝟒𝟎 + 𝒋𝟑𝟏, 𝟒 ∗ −𝒋𝟏𝟓𝟗
𝟒𝟎 + 𝒋𝟑𝟏, 𝟒 + (−𝒋𝟏𝟓𝟗)
=
−𝒋 𝟐 𝟒𝟗𝟗𝟐, 𝟔 − 𝒋𝟔𝟑𝟔𝟎
𝟒𝟎 − 𝒋𝟏𝟐𝟕, 𝟔
𝒁 =
(𝟒𝟗𝟗𝟐, 𝟔 − 𝒋𝟔𝟑𝟔𝟎) ∗ (𝟒𝟎 + 𝒋𝟏𝟐𝟕, 𝟔)
𝟒𝟎 𝟐 + 𝟏𝟐𝟕, 𝟔 𝟐
=
𝟏𝟗𝟗𝟕𝟎𝟒 + 𝒋𝟔𝟑𝟕𝟎𝟓𝟔 − 𝒋𝟐𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎 − 𝒋 𝟐 𝟖𝟏𝟏𝟓𝟑𝟔
𝟏𝟕𝟖𝟖𝟐
𝒁 =
𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐𝟒𝟎 + 𝒋𝟑𝟖𝟐𝟔𝟓𝟔
𝟏𝟕𝟖𝟖𝟐
= 𝟓𝟔, 𝟓𝟓 + 𝒋𝟐𝟏, 𝟒
𝑍 = 56,55 − 𝑗21,4 = 56,552 + 21,42 = 𝟔𝟎, 𝟒𝟔 Ω
Ѳ = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑋
𝑅
= 𝑡𝑎𝑛−1
21,4
56,55
= 𝟐𝟎, 𝟕𝟐°
* (𝟒𝟎 + 𝒋𝟏𝟐𝟕, 𝟔)
* (𝟒𝟎 + 𝒋𝟏𝟐𝟕, 𝟔)