淺說向量微積分.pdf

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淺說向量微積分
卓永鴻
http://CalcGospel.in
June 10, 2019
卓永鴻 (http://CalcGospel.in) 淺說向量微積分 June 10, 2019 1 / 37

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線積分
線積分

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線積分純量型線積分
物理的求質量問題
密度 × 大小 = 質量

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所謂大小：一維為⻑度、二維為面積、三維大小為體積

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若是不均勻密度，可使用積分，以密度函數作為被積分函數

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若是不均勻密度，可使用積分，以密度函數作為被積分函數
例：一維鐵絲 a ≤ x ≤ b 之密度函數 ρ(x)，其質量
ˆ b
a
ρ(x)dx
例：二維盤子 D 之密度函數 ρ(x,y)，其質量
ˆ
D
ρ(x,y)dA
例：三維物體 R 之密度函數 ρ(x,y,z)，其質量
ˆ
R
ρ(x,y,z)dV

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空間中曲線求質量
如果 C1 是平面上一條彎曲鐵絲，其密度函數 ρ(x,y)，如何求質量？

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如果 C2 是空間中一條彎曲鐵絲，
其密度函數 ρ(x,y,z)，
如何求質量？

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如何求質量？
recall
ˆ
C
ds 可求 C 之弧⻑

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如何求質量？
recall
ˆ
C
所以
ˆ
C1
ρ(x,y)ds 與
ˆ
C2
ρ(x,y,z)ds 可分別求出 C1 與 C2 之質量

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如何求質量？
recall
ˆ
C
所以
ˆ
C1
ρ(x,y)ds 與
ˆ
C2
此即為線積分

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如何求質量？
recall
ˆ
C
所以
ˆ
C1
ρ(x,y)ds 與
ˆ
C2
此即為線積分
由於被積分函數為純量函數，故稱為純量型線積分

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純量型線積分的計算
recall 曲線 C 由參數式



x = x(t)
y = y(t)
, a ≤ t ≤ b 所確定，則其弧⻑：
ˆ
C
ds =
ˆ b
a
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
dt (1)

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純量型線積分的計算
recall 曲線 C 由參數式



x = x(t)
y = y(t)
, a ≤ t ≤ b 所確定，則其弧⻑：
ˆ
C
ds =
ˆ b
a
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
dt (1)
在計算純量型線積分
ˆ
C
f (x,y)ds 時，經常是先將曲線 C 參數化，然
後計算類似(1) 的式子：
ˆ
C
ds =
ˆ b
a
f
(
x(t),y(t)
)
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
dt (2)

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例題 1.1
曲線 C : x(t) =
(
cos(t),sin(t),t
)
, 0 ≤ t ≤ 2π，函數 f (x,y,z) = xy +z，計算線
積分
ˆ
C
f (x,y,z)ds

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例題 1.2
曲線 C : x(t) =
(
cos(t),sin(t),t
)
, 0 ≤ t ≤ 2π，函數 f (x,y,z) = xy +z，計算線
積分
ˆ
C
f (x,y,z)ds
ˆ
C
f (x,y,z)ds =
ˆ 2π
0
f
(
x(t),y(t),z(t)
)
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
+
[
z′(t)
]2
dt

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例題 1.3
曲線 C : x(t) =
(
cos(t),sin(t),t
)
, 0 ≤ t ≤ 2π，函數 f (x,y,z) = xy +z，計算線
積分
ˆ
C
f (x,y,z)ds
ˆ
C
f (x,y,z)ds =
ˆ 2π
0
f
(
x(t),y(t),z(t)
)
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
+
[
z′(t)
]2
dt
=
ˆ 2π
0
(
cos(t)sin(t)+t
)
√
[
−sin(t)
]2
+
[
cos(t)
]2
+12 dt

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例題 1.4
曲線 C : x(t) =
(
cos(t),sin(t),t
)
, 0 ≤ t ≤ 2π，函數 f (x,y,z) = xy +z，計算線
積分
ˆ
C
f (x,y,z)ds
ˆ
C
f (x,y,z)ds =
ˆ 2π
0
f
(
x(t),y(t),z(t)
)
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
+
[
z′(t)
]2
dt
=
ˆ 2π
0
(
cos(t)sin(t)+t
)
√
[
−sin(t)
]2
+
[
cos(t)
]2
+12 dt
=
p
2
ˆ 2π
0
1
2
sin(2t)+t dt sin2(t)+cos2(t) = 1

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例題 1.5
曲線 C : x(t) =
(
cos(t),sin(t),t
)
, 0 ≤ t ≤ 2π，函數 f (x,y,z) = xy +z，計算線
積分
ˆ
C
f (x,y,z)ds
ˆ
C
f (x,y,z)ds =
ˆ 2π
0
f
(
x(t),y(t),z(t)
)
√
[
x′(t)
]2
+
[
y′(t)
]2
+
[
z′(t)
]2
dt
=
ˆ 2π
0
(
cos(t)sin(t)+t
)
√
[
−sin(t)
]2
+
[
cos(t)
]2
+12 dt
=
p
2
ˆ 2π
0
1
2
sin(2t)+t dt sin2(t)+cos2(t) = 1
=
p
2
[
1
4
cos(2t)+
t2
1
]2π
0
= 2
p
2π2

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線積分向量型線積分
物理的作功問題
定力
−
*
F 推動物體造成位移
−
*
S ，所作功為
−
*
F ·
−
*
S

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定力
−
*
−
*
S ，所作功為
−
*
F ·
−
*
S
向量場
−
*
F 中，曲線 C :
−
*
r (t) =
(
x(t),y(t),z(t)
)
是物體移動路徑，則所
作功為
ˆ
C
−
*
F ·d
−
*
r

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定力
−
*
−
*
S ，所作功為
−
*
F ·
−
*
S
向量場
−
*
F 中，曲線 C :
−
*
r (t) =
(
x(t),y(t),z(t)
)
是物體移動路徑，則所
作功為
ˆ
C
−
*
F ·d
−
*
r
此即為向量型線積分

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向量型線積分的不同形式
recall
−
*
r (t) 在 t = t0 處的單位切向量
−
*
T (t0) =
−
*
r ′
(t0)
¯
¯
¯
−
*
r ′(t0)
¯
¯
¯

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recall
−
*
−
*
T (t0) =
−
*
r ′
(t0)
¯
¯
¯
−
*
r ′(t0)
¯
¯
¯
ˆ
C
−
*
F ·d
−
*
r =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)dt =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)
¯
¯
¯
−
*
r ′(t)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
*
r ′
(t)
¯
¯
¯dt =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
T ds

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recall
−
*
−
*
T (t0) =
−
*
r ′
(t0)
¯
¯
¯
−
*
r ′(t0)
¯
¯
¯
ˆ
C
−
*
F ·d
−
*
r =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)dt =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)
¯
¯
¯
−
*
r ′(t)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
*
r ′
(t)
¯
¯
¯dt =
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
T ds
故又可寫作
ˆ
C
−
*
F ·
−
*
T ds

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向量型線積分的微分形式
利用微分 (differential) ：dx = x′
(t)dt,dy = y′
(t)dt,dz = z′
(t)dt

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(t)dt,dy = y′
(t)dt,dz = z′
(t)dt
若向量場
−
*
F =
(
P,Q,Q
)

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(t)dt,dy = y′
(t)dt,dz = z′
(t)dt
若向量場
−
*
F =
(
P,Q,Q
)
ˆ b
a
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)dt =
ˆ b
a
Px′
(t)+Qy′
(t)+Rz′
(t)dt

.
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(t)dt,dy = y′
(t)dt,dz = z′
(t)dt
若向量場
−
*
F =
(
P,Q,Q
)
ˆ b
a
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)dt =
ˆ b
a
Px′
(t)+Qy′
(t)+Rz′
(t)dt
=
ˆ
C
Pdx+Qdy +Rdz

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(t)dt,dy = y′
(t)dt,dz = z′
(t)dt
若向量場
−
*
F =
(
P,Q,Q
)
ˆ b
a
−
*
F ·
−
*
r ′
(t)dt =
ˆ b
a
Px′
(t)+Qy′
(t)+Rz′
(t)dt
=
ˆ
C
Pdx+Qdy +Rdz
此即為向量型線積分的微分形式，看到題目要認得出來

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兩種線積分比較
純量型線積分是密度與微小路徑⻑不斷相乘累加
ˆ
C
ρ(x,y,z)ds

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兩種線積分比較
純量型線積分是密度與微小路徑⻑不斷相乘累加
ˆ
C
ρ(x,y,z)ds
向量型線積分是力與路徑上單位切向量不斷內積累加。
ˆ
C
−
*
F ·d
−
*
r

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曲面積分
曲面積分

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曲面積分純量型曲面積分
曲面面積
σ 為空間中一段曲面區域，作曲面積分
Ï
σ
dS 可求出曲面面積。

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曲面面積
Ï
σ
類比將 σ 壓平成平面 R，每一小段 dS 也被壓成 dA，變成
Ï
R
dA 。

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曲面面積
Ï
σ
類比將 σ 壓平成平面 R，每一小段 dS 也被壓成 dA，變成
Ï
R
dA 。
若 R 為 xy− 平面上的區域，σ 為 z = f (x,y) 在 R 上所表示的曲面，則
σ 的曲面面積為
Ï
σ
dS =
Ï
R
√
1+f 2
x +f 2
y dA 。

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Ï
σ
dS =
Ï
R
√
1+f 2
x +f 2
y dA
Figure: 求曲面面積

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參數化曲面求曲面面積
若曲面 σ 由參數式
−
*
X (u,v) =



x = f (u,v)
y = g(u,v)
z = h(u,v)
,(u,v) ∈ R 所確定，則
Ï
σ
dS =
Ï
R
¯
¯
¯
−
*
X u ×
−
*
X v
¯
¯
¯dudv

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關鍵在於 dS =
¯
¯
¯
−
*
X u ×
−
*
X v
¯
¯
¯dudv（見圖）
Figure: 曲面微元

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純量型曲面積分
如果 D 是空間中的彎曲鐵片，其密度函數 ρ(x,y,z)，如何求質量？

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由於
ˆ
σ
dS 可求 σ 之曲面面積

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由於
ˆ
σ
所以
ˆ
D
ρ(x,y,z)dS 可求出 D 之質量

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由於
ˆ
σ
所以
ˆ
D
此即為曲面積分

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由於
ˆ
σ
所以
ˆ
D
此即為曲面積分
由於被積分函數為純量函數，故稱為純量型曲面積分。

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例題 2.1
計算
Ï
σ
(
1+x2
+y2
+3z
)
dS，
其中 σ 為曲面 z = x2
+y2
在 x2
+y2
≤ 9 的部分。

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例題 2.2
計算
Ï
σ
(
1+x2
+y2
+3z
)
dS，
+y2
在 x2
+y2
≤ 9 的部分。
z = x2
+y2
⇒ zx = 2x,zy = 2y ⇒
√
1+
(
2x
)2
+
(
2y
)2
=
√
1+4
(
x2 +y2
)

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例題 2.3
計算
Ï
σ
(
1+x2
+y2
+3z
)
dS，
+y2
在 x2
+y2
≤ 9 的部分。
z = x2
+y2
⇒ zx = 2x,zy = 2y ⇒
√
1+
(
2x
)2
+
(
2y
)2
=
√
1+4
(
x2 +y2
)
所求為
Ï
x2+y2≤9
[
1+x2
+y2
+3
(
x2
+y2
)] √
1+4
(
x2 +y2
)
dxdy

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例題 2.4
計算
Ï
σ
(
1+x2
+y2
+3z
)
dS，
+y2
在 x2
+y2
≤ 9 的部分。
z = x2
+y2
⇒ zx = 2x,zy = 2y ⇒
√
1+
(
2x
)2
+
(
2y
)2
=
√
1+4
(
x2 +y2
)
所求為
Ï
x2+y2≤9
[
1+x2
+y2
+3
(
x2
+y2
)] √
1+4
(
x2 +y2
)
dxdy
=
ˆ 2π
0
ˆ 3
0
(
1+4r2
) √
1+4r2 r dr dθ

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例題 2.5
計算
Ï
σ
(
1+x2
+y2
+3z
)
dS，
+y2
在 x2
+y2
≤ 9 的部分。
z = x2
+y2
⇒ zx = 2x,zy = 2y ⇒
√
1+
(
2x
)2
+
(
2y
)2
=
√
1+4
(
x2 +y2
)
所求為
Ï
x2+y2≤9
[
1+x2
+y2
+3
(
x2
+y2
)] √
1+4
(
x2 +y2
)
dxdy
=
ˆ 2π
0
ˆ 3
0
(
1+4r2
) √
1+4r2 r dr dθ
= 2π
ˆ 37
1
u
p
u
1
8
du

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例題 2.6
直圓柱面 S 之底面為 xy− 平面上以原點為中心、3 為半徑的圓，S 的高為
15。試求
Ï
S
zdS 。

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例題 2.7
15。試求
Ï
S
zdS 。
S 的側面為 S1 :
{
x = 3cos(u)
y = 3sin(u)
z = v
,0 ≤ u ≤ 2π,0 ≤ v ≤ 15

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例題 2.8
15。試求
Ï
S
zdS 。
S 的側面為 S1 :
{
x = 3cos(u)
y = 3sin(u)
z = v
,0 ≤ u ≤ 2π,0 ≤ v ≤ 15
底面為 S2 :
{
x = ucos(v)
y = usin(v)
z = 0
,0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2π

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例題 2.9
15。試求
Ï
S
zdS 。
S 的側面為 S1 :
{
x = 3cos(u)
y = 3sin(u)
z = v
,0 ≤ u ≤ 2π,0 ≤ v ≤ 15
底面為 S2 :
{
x = ucos(v)
y = usin(v)
z = 0
,0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2π
頂面為 S3 :
{
x = ucos(v)
y = usin(v)
z = 15
,0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2π。

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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
−3sin(u) 3cos(u) 0
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt

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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv

.
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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv
= 3
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
vdsdt = 675π

.
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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv
= 3
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
vdsdt = 675π
Ï
S2
zdS = 0 此處之 z 值恆為 0

.
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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv
= 3
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
vdsdt = 675π
Ï
S2
Ï
S3
zdS = 15
Ï
S3
dS = 135π 此處之 z 值恆為 15

.
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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv
= 3
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
vdsdt = 675π
Ï
S2
Ï
S3
zdS = 15
Ï
S3
Ï
S
zdS =
Ï
S1
zdS+
Ï
S2
zdS+
Ï
S3
zdS

.
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Ï
S1
zdS =
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯dsdt
=
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
v
¯
¯
¯3cos(s)i+3sin(s)j
¯
¯dudv
= 3
ˆ 15
0
ˆ 2π
0
vdsdt = 675π
Ï
S2
Ï
S3
zdS = 15
Ï
S3
Ï
S
zdS =
Ï
S1
zdS+
Ï
S2
zdS+
Ï
S3
zdS
= 675π+0+135π = 810π

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曲面積分向量型曲面積分
向量型曲面積分
曲面 σ 由參數式 X(u,v) =
{x = f (u,v)
y = g(u,v)
z = h(u,v)
,(u,v) ∈ D 所確定，向量函數
−
*
F = Pi+Qj+Rk 在曲面 σ 上的曲面積分為
Ï
σ
−
*
F ·d
−
*
S =
Ï
σ
−
*
F ·
−
*
n dS
=
Ï
D
−
*
F ·
(
Xu ×Xv
)
dudv
=
Ï
D
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
P Q R
fu gu hu
fv gv hv
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
dudv

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例題 2.10
設
−
*
F = xi+yk+(z−2y)k，計算
Ï
σ
−
*
F ·d
−
*
S ，其中
σ : X(u,v) = (ucos(v),usin(v),v), 0 ≤ s ≤ 1,0 ≤ t ≤ 2π 。

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例題 2.11
設
−
*
Ï
σ
−
*
F ·d
−
*
S ，其中
−
*
n =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
cos(v) sin(v) 0
−usin(v) ucos(v) 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= sin(v)i−cos(v)j+uk

.
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例題 2.12
設
−
*
Ï
σ
−
*
F ·d
−
*
S ，其中
−
*
n =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
cos(v) sin(v) 0
−usin(v) ucos(v) 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= sin(v)i−cos(v)j+uk
Ï
σ
−
*
F ·d
−
*
S =
ˆ 2π
0
ˆ 1
0
(
ucos(v)i+usin(v)j+(v −2usin(v))k
)
·
(
sin(v)i−
cos(v)j+uk
)
dudv =
ˆ 2π
0
ˆ 1
0
(
uv −2u2
sin(v)
)
dudv = π2

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散度定理與旋度定理
散度定理與旋度定理

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散度定理與旋度定理梯度、散度與旋度
Nabla 算子：∇ := i
∂
∂x
+j
∂
∂y
+k
∂
∂z
=
( ∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
梯度：∇f (x,y,z) =
(∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)

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∂
∂x
+j
∂
∂y
+k
∂
∂z
=
( ∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
(∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
散度：∇·
−
*
F = Px +Qy +Rz

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∂
∂x
+j
∂
∂y
+k
∂
∂z
=
( ∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
(∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
散度：∇·
−
*
F = Px +Qy +Rz
旋度：∇×
−
*
F =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯

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散度定理與旋度定理散度定理
高斯散度定理
向量函數
−
*
F = (P,Q,R)，Ω 為有界的三維區域，其邊界 ∂Ω 。則
Ó
∂Ω
−
*
F ·d
−
*
S =
Ñ
Ω
∇·
−
*
F dV
散度定理退化成二維，即為 Green 定理一。

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高斯散度定理
向量函數
−
*
F = (P,Q,R)，Ω 為有界的三維區域，其邊界 ∂Ω 。則
Ó
∂Ω
−
*
F ·d
−
*
S =
Ñ
Ω
∇·
−
*
F dV
散度定理退化成二維，即為 Green 定理一。
向量形式的 Green 定理一
向量函數
−
*
F = (P,Q)，D 為有界的二維區域，其邊界 ∂D 。則
˛
∂D
−
*
F ·
−
*
n ds =
Ï
D
∇·
−
*
F dA
⇒
˛
∂D
Pdy −Qdx =
Ï
D
(
Px +Qy
)
dA

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不嚴謹的方式理解散度定理
對於區域中某一點，畫出向外箭頭表示其發散程度。

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接著標出左右鄰居，並標示發散程度

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左右鄰居們的發散程度彼此抵消，整個區域消到最後剩：

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Ñ
Ω
∇·
−
*
F dV ⇒
Ó
∂Ω
−
*
F ·d
−
*
S
區域中每點散度累積起來彼此相消後剩邊界通量

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台大 107 轉學考微積分 B
Let E be tetrahedron (四面體) in ’3
bounded by the planes
x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0. Let also
−
*
F := (xy)i+(y2
+z2
)j+ex3
k.
(a) curl
−
*
F = .
(b) If S1 is the boundary surface of E (including all faces) endowed with the
outward orientation, one has
Ï
S1
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
(c) If S2 is the surface obtained from S1 by removing the face in the xy-plane
whlie keeping the orientation from S1 on all other faces, one then has
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .

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−
*
F := (xy)i+(y2
+z2
)j+ex3
k.
(a) curl
−
*
F = .
curl
−
*
F =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i j k
Dx Dy Dz
x−y y2
+z2
ex3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −2zi−3x2
ex3
j+k
=(−2z,−3x2
ex3
,1)

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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(b) If S1 is the boundary surface of E (including all faces) endowed with the
outward orientation, one has
Î
S1
curl F·d
−
*
S = .
由散度定理
Ï
S1
curl
−
*
F ·d
−
*
S =
Ñ
E
div
(
curl
−
*
F
)
dV
=
Ñ
E
0dV = 0

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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .

.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
設移去之面為 K =
{
(x,y,0)
¯
¯ x,y ≥ 0,x+y ≤ 3
}

.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
{
(x,y,0)
¯
¯ x,y ≥ 0,x+y ≤ 3
}
S1 = S2
∪
K ⇒

:0
Ï
S1
curl
−
*
F ·d
−
*
S =
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S +
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S

.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
{
(x,y,0)
¯
¯ x,y ≥ 0,x+y ≤ 3
}
S1 = S2
∪
K ⇒

:0
Ï
S1
curl
−
*
F ·d
−
*
S =
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S +
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = −
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S

.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
−
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S = −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(
−2z,−3x2
ex3
,1
)
·(0,0,−1)dxdy

.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
−
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S = −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(
−2z,−3x2
ex3
,1
)
·(0,0,−1)dxdy
= −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(−1)dxdy

.
.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
−
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S = −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(
−2z,−3x2
ex3
,1
)
·(0,0,−1)dxdy
= −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(−1)dxdy =
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
dxdy

.
.
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x+y +z = 3,x = 2z,y = 0 and z = 0.
(a) curl
−
*
F = (−2z,−3x2
ex3
,1) .
Ï
S2
curl
−
*
F ·d
−
*
S = .
−
Ï
K
curl
−
*
F ·d
−
*
S = −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(
−2z,−3x2
ex3
,1
)
·(0,0,−1)dxdy
= −
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
(−1)dxdy =
ˆ 3
0
ˆ 3−y
0
dxdy
=
3×3
2
=
9
2

.
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散度定理與旋度定理旋度定理
旋度定理
向量函數
−
*
F = (P,Q,R)，σ 為有邊界的曲面，其邊界 ∂σ 為封閉曲線 C 。則
˛
∂σ
−
*
F ·d
−
*
s =
Ï
σ
∇×
−
*
F ·d
−
*
S

.
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散度定理退化成二維，即為 Green 定理二。
向量形式的 Green 定理二
向量函數
−
*
F = (P,Q,0)，D 為 x,y 平面上的有界區域，其邊界 ∂D 。則
˛
∂D
−
*
F ·d
−
*
s =
Ï
D
∇×
−
*
F ·kdA
⇒
˛
∂D
Pdx+Qdy =
Ï
D
(
Qx −Py
)
dA

.
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不嚴謹的方式理解旋度定理
對於曲面上某一點及其左右鄰居，畫出環流標示旋度。

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不嚴謹的方式理解旋度定理
左右鄰居們彼此抵消，整個區域消到最後剩邊界上環流：

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.
Ï
σ
∇×
−
*
F dS ⇒
˛
∂σ
−
*
F ·d
−
*
s
曲面上每點旋度累積起來彼此相消後剩邊界

淺說向量微積分.pdf

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