Manual del estudiante_2020

a
MANUAL DEL ESTUDIANTE
INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL
ÁLGEBRA
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
VICERRECTORÍA ACADÉMICA
2020
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

2
UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA
UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA
ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA
EDICIÓN 2019
Creación
Lorena Rosas Toro
Germán Osses Romano
Dirección
Alejandro García Miño
EDICIÓN 2020
Creación
MARÍA VERÓNICA FERNÁNDEZ
VÁSQUEZ
Validación
BERNARDITA PÉREZ URETA
Dirección
Alejandro García Miño
Juan Pablo Vargas Herrera

3
PRESENTACIÓN
Resolución de Problemas en aritmética y álgebra es una asignatura lectiva que constituye
el peldaño inicial de la formación matemática, para estudiantes que ingresan a carreras
del ámbito tecnológico.
Su propósito fundamental es nivelar a los estudiantes en habilidades matemáticas
necesarias para la vida, mediante la estrategia de enseñanza-aprendizaje, basada en la
Resolución de problemas, acompañada de la solución de ejercicios y el acompañamiento
permanente de los docentes de matemáticas.
Para ello, este manual busca proveer las herramientas suficientes para el desarrollo de la
competencia de resolución de problemas en matemáticas, así como, el desarrollo del
razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional.
El MANUAL DEL ESTUDIANTE “INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA” ofrece
una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes
en la unidad “introducción a la aritmética y el álgebra” presente en el programa de la
asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el
trabajo del estudiante, dentro y fuera del aula de clase.
Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.
Éxito en esta etapa de la asignatura
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
VICERRECTORÍA ACADÉMICA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

4
UNIDAD
INTRODUCCIÓN
LA ARITMÉTICA Y
EL ÁLGEBRA

5
INTRODUCCIÓN A LA
ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA.
La necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o matemáticos
ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La
actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar
propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el
hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos
fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que
habitualmente se nos presenta en los libros.
Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos
inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones,
plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá
de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones
no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución.
La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,
aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que
se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como
la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones
problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las
estrategias matemáticas para su solución.
La aritmética corresponde a la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números
y las operaciones elementales hechas con ellos tales como adición, resta, multiplicación y
división. De igual manera que en otras áreas de la Matemática, como la mayoría de las
ciencias y sus áreas la Aritmética ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las
ciencias.
Trabajaremos sobre distintos conjuntos observando y analizando las operaciones que
podemos realizar en cada uno de estos y las propiedades que se pueden tener. El
conocimiento adecuado de la aritmética permitirá cimentar la base para los cursos y
contenidos de mayor nivel.
El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación
algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio
sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada
del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas.
El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras
son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una
herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de
expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general.

6
Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto,
obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una
herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o
de otros ámbitos en general.
Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la
utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el
estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes,
la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla
y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza,
resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema.
El presente manual contiene los siguientes elementos:
1. Descripción de la unidad: proviene del descriptor de la asignatura y presenta los
elementos característicos de la unidad que se abordará.
2. Formalización de Contenidos: Se basa en un abstract general de los contenidos que se
espera aborde el docente en el proceso de formalización, se deja libertad para profundizar o
no en cada uno de los mismos, de acuerdo con el desarrollo matemático que tengan los
estudiantes de cada sección.
3. Ejercicios resueltos y propuestos: actividades matemáticas rutinarias y algorítmicas que
permitan al estudiante un trabajo autónomo y conciso fuera del aula de clases, relativo a los
conocimientos matemáticos que se van abordando en cada sesión de clases.
4. Problemas propuestos: Actividades Matemáticas no rutinarias que buscan que el
estudiante practique fuera del aula de clase con las herramientas, competencias y
conocimientos desarrollados dentro del aula.

7
DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD
APRENDIZAJES ESPERADOS
1.1.- Resuelve problemas matemáticos que permita la construcción de conocimiento basal
para el aprendizaje del álgebra y las funciones. (Integrada Competencia Genérica
Resolución de Problemas).
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1.1.- Determinar los conceptos teóricos y estrategias que permitan llegar a la o las
soluciones.
1.1.2.- Aplicar las operaciones/estrategias necesarias para resolver el problema.
1.1.3.- Analizar los resultados obtenidos, valorando la eficiencia de la estrategia utilizada.
1.1.4.- Comunicar los resultados o conclusiones, fundamentándolos mediante la
argumentación (datos, justificación, estrategia).
1.1.5.- Modelar múltiples situaciones, mediante la generalización de estrategias en
problemas similares.
1.1.6.- Analizar situaciones problemáticas establecidas.
CONTENIDOS
• Introducción al ACERPA.
• Habilidades matemáticas fundamentales.
• Elementos básicos de aritmética.
• Elementos básicos de potencias.
• Regularidades lineales, cuadráticas y exponenciales.
• Área y perímetro de figuras rectangulares.
• Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución
de problemas genéricos.

9
Elementos básicos de
aritmética
Conjuntos numéricos
Conjunto de los Números Naturales (ℕ): está formado por todos los números que utilizamos para contar.
ℕ = {𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, 𝟒𝟒, 𝟓𝟓, … }
Conjunto de los Números Enteros (ℤ): está formado por la unión de los números naturales, el cero, más los
naturales con el signo menos.
ℤ = {… , −𝟑𝟑, −𝟐𝟐, −𝟏𝟏, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, … }
Conjunto de los Números Racionales (ℚ): está formado por todos los números que se puede expresar como
fracción como, por ejemplo:
• 0 ya que se puede expresar como
0
1
o
0
200
(entre otras posibilidades).
• 2 ya que se puede expresar como
2
1
o
6
3
• -5 ya que se puede expresar como −
5
1
o −
15
3
• 0,5 ya que se puede expresar como
1
2
o
8
16
• 0, 3
� ya que se puede expresar como
1
3
o
3
9
De lo que se puede concluir que, todo número natural es también racional y que todo número entero es también
un racional.
Conjunto de los Números Irracionales (ℚ∗): está formado por todos los números que NO se pueden expresar
como fracción como, por ejemplo:
√2 √3, −√5 𝜋𝜋 𝜑𝜑 ℮
Informalmente, se puede decir que todos estos números tienen desarrollo decimal infinito sin periodo.
√4 no es un irracional, ya que es igual a 2 y como se muestra en los ejemplos de los números racionales, es posible
expresarlo como fracción, así que podemos decir que:
√4 = 2 =
2
1

10
Observación: los conjuntos de los números racionales e irracionales son conjuntos disjuntos, lo que quiere decir
que, no poseen elementos en común.
Conjunto de los Números Reales (ℝ): corresponde a la unión de los racionales e irracionales.
ℝ = ℚ ∪ ℚ∗
Podemos resumir la contención de un conjunto numérico en otro, por medio del siguiente diagrama:
Operatoria
Números Enteros
Adición: se distinguen dos casos:
 Adición de dos números de igual signo, se suma y conserva el signo.
 Adición de dos números de diferente signo, se restan sus valores absolutos y el signo del resultado será del mayor
de los sumandos en valor absoluto.
Sustracción: la sustracción de dos números enteros se define como la suma del primer término por el inverso aditivo
del segundo, es decir:
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + (−𝑏𝑏)
Una vez escrita la sustracción como adición, se opera de acuerdo con las reglas del punto anterior.
Multiplicación y división:
El producto y división se realiza de igual forma que en los números naturales y para determinar el signo del
resultado se debe considerar los siguiente:
 El resultado de un producto o división de dos números de signos iguales es positivo.
 El resultado del producto o división de números de signos distintos es negativo
Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo entero positivo puede descomponerse de manera única como un producto de primos.

11
Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor
El mínimo común múltiplo (M.C.M) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes.
El máximo común divisor (M.C.D) es el número más grande por el cual dos o más número se podrán dividir en
forma exacta.
Para realizar el calculo del MCM o MCD sin tener que determinar todos los múltiplos o divisores, respectivamente de cada
uno de los números, se debe realizar la descomposición prima de los números.
El MCM corresponderá al producto de los factores primos comunes elevados al mayor exponente y de los comunes de los
no comunes de los números que se analizan.
Por ejemplo: MCM (120, 36) = 23
· 32
· 5 = 8 · 9 · 5 = 360
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23
· 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22
· 32
El MCD corresponderá solo al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente de los números que
se analizan.
Por ejemplo: MCM (120, 36) = 22
· 3 = 4 · 3 = 12
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23
· 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22
· 32
Números Racionales
Adición y sustracción: para sumar o restar fracciones primero se deben determinar fracciones equivalente de
manera que todas las fracciones tengan el mismo denominador, en los casos que corresponda, para lo cual se
utiliza determinar el MCM entre los denominadores.
𝒂𝒂
𝒃𝒃
±
𝒄𝒄
𝒅𝒅
=
𝒂𝒂 ∙ 𝒅𝒅
𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅
±
𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃
𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃
=
𝒂𝒂 ∙ 𝒅𝒅 ± 𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃
𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅
Multiplicación:
𝒂𝒂
𝒃𝒃
∙
𝒄𝒄
𝒅𝒅
=
𝒂𝒂∙𝒄𝒄
𝒃𝒃∙𝒅𝒅
División:
𝒂𝒂
𝒃𝒃
÷
𝒄𝒄
𝒅𝒅
=
𝒂𝒂
𝒃𝒃
∙
𝒅𝒅
𝒄𝒄
=
𝒂𝒂∙𝒅𝒅
𝒃𝒃∙𝒄𝒄

12
Propiedades de las operatorias
Conmutatividad
Para la adición: ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎
Para la multiplicación: ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎
Asociatividad
Para la adición: ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)
Para la multiplicación: ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐)
Elemento neutro
Aditivo: ∃0 ∈ ℝ, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 0 = 0 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
Multiplicativo: ∃1 ∈ ℝ, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
Inverso
Aditivo: ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, ∃(−𝑎𝑎) ∈ ℝ, 𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) = 0
Multiplicativo: ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ − {0}, ∃𝑎𝑎−1
∈ ℝ, 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎−1
= 1
Observación: 𝑎𝑎−1
=
1
𝑎𝑎
Distributividad de la multiplicación sobre la adición
∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐

13
Elementos básicos de
potencias.
Concepto de Potencia
Si 𝒂𝒂 es un número real y n es un número natural, entonces, 𝒂𝒂𝒏𝒏
corresponde al producto del número real 𝒂𝒂
multiplicado 𝒏𝒏 veces por sí mismo. La expresión 𝒂𝒂𝒏𝒏
se lee “𝒂𝒂 a la n-ésima potencia-
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙. . .∙ 𝑎𝑎
��
�
��
�
��
𝒏𝒏 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒂𝒂
Por ejemplo: 45
= 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1024
Si la base es un número negativo, hay que tener en cuenta que:
• Si el exponente es par, el resultado será positivo, como, por ejemplo: (−2)4
= −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = 16
• Si el exponente es impar, el resultado será negativo, como, por ejemplo: (−2)5
= −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = −32
Observación:
(−2)4
≠ −24
, ya que, en el primer caso, la base es -2 y en el segundo la base es 2.
−24
= −(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = −16
Si 𝑎𝑎 es un número real, entonces 𝑎𝑎1
= 𝑎𝑎
Por ejemplo:
a) 31
= 3
b) −51
= −5
c) 01
= 0
Si 𝑎𝑎 es un número real distinto de cero, entonces, 𝑎𝑎0
= 1
Por ejemplo:
a) 80
= 1
b) (−5)0
= 1
c) −50
= −1

14
Potencias de exponente negativo
En el caso que 𝑎𝑎 es un número real distinto de cero y n es un número natural, entonces, 𝑎𝑎−𝑛𝑛
=
1
𝑎𝑎𝑛𝑛
Por ejemplo:
a) 8−1
=
1
81 =
1
8
b) 3−2
=
1
32 =
1
9
c) −3−2
=
1
−32 =
1
−9
= −
1
9
d) (−3)−2
=
1
(−3)2 =
1
9
e) 54
=
1
5−4
Si 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son números reales distintos de cero, entonces, �
𝑎𝑎
𝑏𝑏
�
−𝑛𝑛
= �
𝑏𝑏
𝑎𝑎
�
𝑛𝑛
Por ejemplo:
a) �
3
4
�
−1
= �
4
3
�
1
=
4
3
b) �
2
5
�
−3
= �
5
2
�
3
=
5
2
∙
5
2
∙
5
2
=
125
8
Potencias de igual base
Si 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son números reales y 𝑛𝑛 y 𝑚𝑚 números enteros se tienen las siguientes propiedades:
𝑎𝑎𝑛𝑛
∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑛𝑛
÷ 𝑎𝑎𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚
, 𝑎𝑎 ≠ 0
Por ejemplo:
a) 32
∙ 34
= 32+4
= 36
esto también se puede analizar de la siguiente forma, aplicando la
definición de potencia:
32
∙ 34
= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 36
b) 412
∙ 443
= 412+43
= 445
c) 𝑎𝑎22
∙ 𝑎𝑎31
∙ 𝑎𝑎80
= 𝑎𝑎22+31+80
= 𝑎𝑎133
Potencias de igual exponente
𝑎𝑎𝑛𝑛
∙ 𝑏𝑏𝑛𝑛
= (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
÷ 𝑏𝑏𝑛𝑛
= (𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏)𝑛𝑛
, b ≠ 0
Por ejemplo:
a) 28
∙ 38
= (2 ∙ 3)8
= 68

15
b) 38
∙ (−4)8
∙ �
1
5
�
8
= �3 ∙ −4 ∙
1
5
�
8
= �−
12
5
�
8
y como el resultado de toda potencia de exponente par
es positiva, �−
12
5
�
8
= �
12
5
�
8
c) (𝑎𝑎𝑎𝑎)15
= (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)15
= 𝑎𝑎15
∙ 𝑏𝑏15
(aquí un ejemplo en que puede ser necesario usarla en sentido
contrario)
Potencias de una potencia
(𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑛𝑛∙𝑚𝑚
Por ejemplo:
a) (58)9
= 58∙9
= 872
b) ((𝑥𝑥4)2)3
= 𝑥𝑥4∙2∙3
= 𝑥𝑥24
c) (35)8
∙ 35
= 35∙8
∙ 35
= 340
∙ 35
= 340+5
= 345
Cuadro resumen con las propiedades
Definición
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙. . .∙ 𝑎𝑎
��
�
��
�
��
𝒏𝒏 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒂𝒂
Potencia de exponente 1
𝑎𝑎1
= 𝑎𝑎
Potencia de exponente 0
𝑎𝑎0
= 1
Potencias de base entera y
exponente negativo
𝑎𝑎−𝑛𝑛
=
1
𝑎𝑎𝑛𝑛
Potencias de base fraccionaria y
exponente negativo
�
𝑎𝑎
𝑏𝑏
�
−𝑛𝑛
= �
𝑏𝑏
𝑎𝑎
�
𝑛𝑛
Potencia de una potencia
Multiplicación de potencias de igual
base
𝑎𝑎𝑛𝑛
∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚
División de potencias de igual base
𝑎𝑎𝑛𝑛
÷ 𝑎𝑎𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚
, 𝑎𝑎 ≠
Potencias de base negativa
• Elevado a exponente par, el
resultado será positivo
• Elevada a exponente impar, el
resultado será negativo
Multiplicación de potencias de igual
exponente
𝑎𝑎𝑛𝑛
∙ 𝑏𝑏𝑛𝑛
= (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)𝑛𝑛
División de potencias de igual
exponente
𝑎𝑎𝑛𝑛
÷ 𝑏𝑏𝑛𝑛
= (𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏)𝑛𝑛
, b ≠ 0
Potencia de una potencia

16
Elementos básicos de raíces.
Raíces
Sí 𝒂𝒂 es un número real, √𝒂𝒂
𝒏𝒏
se lee “raíz n- ésima de 𝒂𝒂”, en dónde el resultado de la raíz elevado a 𝒏𝒏 es igual a 𝒂𝒂.
Observaciones:
• En el caso que el índice sea 2, este no se escribe en la raíz: √a
2
= √a
• √𝑎𝑎 se lee “raíz cuadrada de 𝒂𝒂”
• El resultado de la raíz cuadrada debe ser único y por definición siempre positiva. Lo mismo para
todas las raíces de índice par.
Por ejemplo:
a) √25 = 5 ya que, 52
= 25
b) √0,01 = 0,1 ya que, 0,12
= 0,01
c) √8
3
= 2 ya que, 23
= 8
d) √−8
3
= −2 ya que, (-2)3
= - 8
e) √256
4
= 4 ya que, 44
= 256
Potencias de exponente racional y raíces
Las potencias de exponente racional representan una raíz 𝒂𝒂
𝒎𝒎
𝒏𝒏 = √𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒏𝒏
Donde: 𝒏𝒏 es un número natural mayor que uno, llamado índice.
𝒂𝒂 es la cantidad sub-radical o radicando y 𝒎𝒎 es su exponente.
Por ejemplo:
a) 5
3
4 = √53
4
b) 12
1
3 = √12
3
c) √37
5
= 3
7
5
d) √256
8
= √28
8
= 2
8
8 = 21
= 2

17
Propiedades
Las siguientes propiedades son válidas, cuando todas las raíces involucradas existen.
Multiplicación de raíces de igual índice: √𝒂𝒂
𝒏𝒏
∙ √𝒃𝒃
𝒏𝒏
= √𝒂𝒂 ∙ 𝒃𝒃
𝒏𝒏
División de raíces de igual índice:
√𝒂𝒂
𝒏𝒏
√𝒃𝒃
𝒏𝒏 = �
𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒏𝒏
𝒃𝒃 ≠ 𝟎𝟎
Raíz de una raíz: �√𝒂𝒂
𝒏𝒏
𝒎𝒎
= √𝒂𝒂
𝒎𝒎∙𝒏𝒏
Exponente igual al índice de la raíz: �√𝒂𝒂
𝒏𝒏
�
𝒏𝒏
= �𝒂𝒂
𝟏𝟏
𝒏𝒏�
𝒏𝒏
= 𝒂𝒂
𝟏𝟏
𝒏𝒏
∙𝒏𝒏
= 𝒂𝒂
𝒏𝒏
𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝟏𝟏
= 𝒂𝒂
Entonces: �√𝒂𝒂
𝒏𝒏
�
𝒏𝒏
= 𝒂𝒂
Recordatorio del Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a este
mismo ángulo, hipotenusa.
𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝟐𝟐
= (𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒂𝒂)𝟐𝟐
+ (𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒃𝒃)𝟐𝟐

18
Área y perímetro.
Rectángulo
Perímetro = 2 · base + 2 · altura
Área: base · altura
Cuadrado
Perímetro = 4 · lados
Área: lado2
Triángulo
Perímetro: suma de la medida de los tres lados
Área:
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏∙𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
2

19
Uso de la Calculadora
En la plataforma de matemáticas encontrarás los siguientes videos que te permitirán reforzar el uso de la
calculadora.
 Correcciones en la calculadora científica:
https://www.youtube.com/watch?time_continue=61&v=UsQpAFG7ynk&feature=emb_logo
 Operaciones con fracciones: https://www.youtube.com/watch?v=oRttTwt-Chc&feature=emb_logo
 Potencias y uso de paréntesis: https://www.youtube.com/watch?v=uHRMRPWANkw&feature=emb_logo
 Modos de la calculadora: https://www.youtube.com/watch?v=9NblOVMqS6o&feature=emb_logo
 Cálculo de raíces: https://www.youtube.com/watch?v=M5O-TYoPJCI&feature=emb_logo
Si aún no tienes calculadora científica, puedes descargar un emulador en tu computador mientras adquieres una
para tus clases y así practicar:
Para el modelo Fx-570  https://edu.casio.com/freetrial/es/freetrial_form.php

20
EJERCICIOS
RESUELTOS

21
Ejemplo 1. Problema de las centenas
Un número de 3 cifras cumple que la multiplicación de sus dígitos es 126 y la suma de sus últimas dos cifras
(decena y unidad) es 11. ¿Cuál es el dígito de las centenas?
Para que la suma de decena y unidad sea igual a 11, tenemos las siguientes posibilidades:
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
Tenemos cuatro combinaciones posibles, ahora debemos determinar la centena:
c · 2 · 9 = 126 18 · c = 126  c = 126/18 = 7 por lo tanto la centena puede ser 7
c · 3 · 8 = 126 24 · c = 126  c = 126/24 = 5,25 la centena no puede ser decimal
Del análisis de los diferentes casos, tenemos que unidad y decena pueden ser 2 o 9 y la centena 7, por lo
tanto, los números que se pueden formar son: 729 o bien 792. En ambos casos la centena es la misma.
Respuesta: El dígito de las centenas es 7
Ejemplo 2. Cuadrado mágico.
Sabiendo que en un cuadrado mágico todas las filas, columnas y diagonales deben sumar lo mismo, completa el siguiente
cuadrado mágico:
16 a 2 13
c 10 f g
9 d 7 e
b 15 14 1
Datos:
 La suma de cada fila, cada columna y cada diagonal debe dar la misma suma.
Plan de solución:
 Identificar la fila, columna o diagonal que posea todos los valores, para calcular el número mágico.
 Identificar la fila columna o diagonal en la que falte un único número, sumar los que se tienen y hacer la
diferencia con el número mágico para determinar el valor faltante.
Desarrollo:
 En la diagonal que se destaca, no falta ningún valor, por lo tanto, es posible determinar el número mágico
16 + 10 + 7 + 1 = 34
 NÚMERO MÁGICO = 34
 Primera fila: 16 + a + 2 + 13 = 34  a = 3
 Cuarta fila: b + 15 + 14 + 1 = 34  b = 4
 Primera columna: 16 + c + 9 + 4 = 34  c = 5
 Segunda columna: 3 + 10 + d + 15 = 34  d = 6
 Tercera fila: 9 + 6 + 7 + e = 34  e = 12
 Tercera columna: 2 + f + 7 + 14 = 34  f = 11
 Cuarta columna: 13 + g + 12 + 1 = 34  g = 8

22
Respuesta:
El cuadrado mágico completo es:
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Comprobación:
 Primera fila: 16 + 3 + 2 + 13 = 34
 Segunda fila: 5 + 10 + 11 + 8 = 34
 Tercera fila: 9 + 6 + 7 + 12 = 34
 Cuarta fila: 4 + 15 + 14 + 1 = 34
 Primera columna: 16 + 5 + 9 + 4 = 34
 Segunda columna: 3 + 10 + 6 + 15 = 34
 Tercera columna: 2 + 11 + 7 + 14 = 34
 Cuarta columna: 13 + 8 + 12 + 1 = 34
 Diagonal principal: 4 + 6 + 11 + 13 = 34
 Diagonal secundaria: 16 + 10 + 7 + 1 = 34
Ejemplo 3. Problema con fracciones
Daniel tiene un terreno en la playa de 270 m2
. Un tercio lo dejó para construir una casa para él. Del resto del
terreno les dio ¼ a cada uno de sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada hijo?
2
1
270 90 .
3
m del terreno son de Daniel
⋅ =
Se multiplica por
1
3
para determinar el tercio que deja para construir.
2
270 90 180 .
m son para los hijos
− =
2 2
1
180 45
4
m m
⋅ =
Se multiplica por
1
4
, porque se indica que le dio ¼ a cada uno de sus hijos.
Respuesta: A cada uno de los hijos le corresponderá 45 m2
.

23
Ejemplo 4. 1 MCM
Dos personas trabajan por turnos en un mismo lugar, la primera tiene turno de noche cada 8 días y la segunda
cada 6 días. Sí partieron trabajando jutas el mismo día, ¿En cuántos días más se encontrarán nuevamente en el
turno de noche? Y ¿En cuántos días más se encontrarán nuevamente?
Se necesita determinar los múltiplos comunes entre 6 y 8 para determinar cuándo se volverán a encontrar.
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, …}
Los múltiplos comunes son 24, 48, 72, etc, (Notar que, estos son todos los múltiplos de 24).
Respuesta: Se encontrarán en 24 y 48 días
Otra forma de calcular el MCM es realizando la descomposición en factores primos, lo que se realiza de la siguiente
forma:
Descomposición prima de cada uno de los números:
6 = 21
· 31
8 = 2 · 2 · 2 = 23
Los factores comunes y no comunes de la descomposición son: 2 y 3, de cada uno de estos se debe seleccionar el
mayor exponente, obteniendo:
MCM(6, 8) = 23
· 31
= 8 · 3 = 24
Ejemplo 4.2 MCD
Un comerciante desea poner en cajas 240 manzanas, 210 naranjas y 180 peras, de modo que cada caja contenga
el mismo número de manzanas o de naranjas o de peras y además el mayor número posible de ellas. Hallar el
número de naranjas, de manzanas y de peras de cada caja e indicar cuántas cajas de cada fruta necesita el
comerciante.
Para determinar el mismo número necesitamos determinar los divisores comunes
D(240) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240}
D(210) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210}
D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90, 180}
Los divisores comunes diferentes de 1 son, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. El mayor es 30, lo que permitirá colocar
el mayor número posible.
240 = 30 · 8 210 = 30 · 7 180 = 30 · 6
Respuesta: Se necesitarán 30 cajas y cada caja contendrá 8 manzanas, 7 naranjas y 6 peras.

24
Otra forma de calcular el MCD es realizando la descomposición en factores primos, lo que se realiza de la siguiente
forma:
Descomposición prima de cada uno de los números lo podemos realizar de la siguiente forma por ser los números
más grandes que en el ejemplo 4.1:
240 210 180
Se comienza realizando la división
por el primer primo que es divisible
240 : 2 = 120
120 : 2 = 60
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
Ya no es divisible por 2, así que
continuamos con el siguiente
divisor primo
15 : 3 = 5
Ya no es posible dividir por 3,
primo.
5 : 5 = 1
210 : 2 = 105
divisor primo
105 : 3 = 35
continuamos con el siguiente:
35 : 5 = 7
7 : 7 = 1
180 : 2 = 90
90 : 2 = 45
45 : 3 = 15
15 : 3 = 5
5 : 5 = 1
Todos los números destacados en
rojo corresponderán a los factores.
240 = 24
· 3 · 5
210 = 2 · 3 · 5 · 7
180 = 22
· 32
· 5
Los factores comunes de la descomposición son: 2, 3 y 5, de cada uno de estos se debe seleccionar el menor
exponente, obteniendo:
MCM(240, 210, 180) = 2 · 3 · 5 = 30
Ejemplo 5. Ejercicios de operatoria con aplicación de propiedades de los números reales
a)
1
2
3 4 3
4
2 3 8
3 4 3
4 ( )
2 3 8
se ha simplificadola última fracción
− + − ⋅ =
/
=
− + − ⋅ =
/
Por lo que se obtiene:
3 4 3
2 3 2
=
− + − =
Ahora, para poder sumar es necesario que todas las fracciones tengan el mismo denominador, para lo cual se
amplificará para que todas tengan denominador igual a 6 (ya que corresponde al MCM entre 2 y 3).

25
3 3 4 2 3 3
2 3 3 2 2 3
9 8 9
6 6 6
10
( )
6
5
3
Simplificando el resulado
⋅ ⋅ ⋅
=
− + − =
⋅ ⋅ ⋅
=
− + − =
=
− =
= −
b)
2
2
2
2
3
´1
2 1
4
3 3
2 1
3
3 4
2 1
9
3 16
1
6
16
6 16
96
−
−
 
 
⋅ ÷ =
 
 
 
 
 
 
= ⋅ ÷ =
 
 
 
= ⋅ / ÷ =
 
/
 
= ÷ =
= ⋅ =
Ejemplo 6. Potencias
a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
2 1 3 0
2 3 1
3
2 3 1
3
1
0,2 0,1 2 3 4 2 15 (expresar decimales )
2
2 1 1
2 3 1 ( )
10 2 10
1 1 1
2 3 1 (P exp
5 2 10
como fracción
Simplificar cada fracción
otencias de onen
−
− −
− − −
− − −
 
+ − + − − ⋅ ÷ − + =
 
 
     
= + − + − − ⋅
=
     
     
     
= + − + − − ⋅
=
     
     
( )
3
2 3 1
)
5 2 10 2 3 1 ( )
25 8 10 8 3 ( )
12
te negativo
Calcular cada potencia
Sumar y restar
−
= + − + − − ⋅ =
= + − + − =
=

26
b)
34 12
40 20
34 12
34 60
60
26 12
12
26
3 5
( )
3 3
3 5
(División 3 y 3 )
3
3 5 ( exp )
5
3
Multiplicación de potencias de igual base
de potencias de igual base entre
Potencias de onente negativo
−
⋅
=
⋅
⋅
= =
= ⋅ =
=
Ejemplo 7. Raíces
a) Si los lados de un rectángulo miden 5 cm y 8 cm, determina la medida de la diagonal de este rectángulo.
De acuerdo con los datos, se tiene lo siguiente:
Para determinar la medida de la diagonal podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
𝑑𝑑2
= 52
+ 82
𝑑𝑑2
= 25 + 64
𝑑𝑑2
= 89
𝑑𝑑 = √89 ≈ 9,4
Respuesta: la diagonal mide √89 𝑐𝑐𝑐𝑐 lo que es aproximadamente 9,4 cm
b) Determina la cuanto mide la diagonal de un prisma recto de base rectangular cuyas aristas miden 4 cm, 5 cm y 8 cm
De acuerdo con los datos del enunciado, tenemos:
La medida de la diagonal solicitada es que está en azul en la imagen, para determinar su medida debemos determinar
la diagonal de la base 𝐴𝐴𝐴𝐴
��, la cual ya fue calculada en el ejercicio anterior:

27
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴𝐴𝐴) = √89 ≈ 9,4
Si analizamos el prisma, con su altura, diagonal de la base y diagonal del prisma se forma un triángulo rectángulo en
el cual conocemos las medidas de sus catetos y aplicando Pitágoras podemos calcular su hipotenusa 𝐶𝐶𝐶𝐶
��.
𝐷𝐷2
= 42
+ √89
2
𝐷𝐷2
= 16 + 89
𝐷𝐷2
= 105
𝐷𝐷 = √105 ≈ 10,2
Respuesta: la diagonal 𝐶𝐶𝐶𝐶
�� mide √105 𝑐𝑐𝑐𝑐 lo que es aproximadamente 10,2 cm
Ejemplo 8. Regularidades
Ejemplo 8.1: Observa la siguiente secuencia de círculos:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 8?
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 56?
c) ¿Qué figura tiene 289 puntos?

28
Tenemos tres figuras, en cada una hay:
 F1 : 4 círculos
 F2: 7 círculos
 F3: 10 círculos.
A cada figura siguiente, se le agrega un círculo a cada extremo, es decir en total 3 círculos.
La secuencia numérica que se forma es: 4, 7, 10, … y continúa aumentando de 3 en 3 por lo descrito anterior.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
 F1: 1 + 3
 F2: 1 + 3 + 3
 F3: 1 + 3 + 3 + 3
 Fn: 1 + 3n
 F8: 1 + 3*8 = 25
 F56: 1 + 3*56 = 169
 289 = 1 + 3n
288 = 3n
n = 96
Respuesta:
a) La figura 8 tendrá 25 círculos.
b) La figura 56 tendrá 169 círculos.
c) La figura que tiene 289 círculos es la de lugar 96.
Comprobación:
Como la fórmula encontrada es Fn = 1 + 3n, se validará con los valores extraído en datos.
• F1 = 1 + 3*1 = 4 Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 1.
• F2 = 1 + 3*2 = 7 Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 2.
• F2 = 1 + 3*3 = 10Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 3.

29
Ejemplo 8.2: Observa la siguiente secuencia
a) Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n”. Explica cómo
determinaste la respuesta.
b) Comprueba la validez de tu expresión (fórmula).
c) Determine la cantidad de cuadrados de la figura de lugar 3.451
Desarrollo:
a) El cuadrado encerrado con un círculo se mantiene constante en todas las figuras, el resto de la figura es de forma
rectángulos con dos columnas y el número de filas varía según el lugar de la figura, en la primera hay una fila, en la
segunda dos filas, en la tercera hay tres filas, etc. Por lo tanto:
𝐹𝐹𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 + 1
Columnas lugar de la figura Cuadrado constante
(número de filas)
b) Comprueba la validez de tu expresión (fórmula).
𝐹𝐹1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3
𝐹𝐹2 = 2 ∙ 2 + 1 = 5
𝐹𝐹3 = 2 ∙ 3 + 1 = 7
𝐹𝐹4 = 2 ∙ 4 + 1 = 9
Todos los resultados coinciden con el número de cuadrados de cada una de ellas.
c) Determine la cantidad de cuadrados de la figura de lugar 3.451
𝐹𝐹3451 = 2 ∙ 3451 + 1 = 6903
La figura de lugar 3451 tiene 6903 cuadrados.

30
Ejemplo 8.3: Observa la siguiente secuencia:
¿Cuántos puntos tiene la figura de lugar “n”?
En este caso, analizaremos diferentes estrategias que podrían aplicar.
Estrategia 1: Identificar un punto en la base que se mantiene constante y los de los costados se duplica:
La cantidad que se duplica depende de la posición, si está en la primera se duplica el 1, en la segunda se duplica el 2,
etc, por lo tanto, la cantidad de puntos de la figura de lugar “n” está dada por:
En donde vemos que 𝟐𝟐𝟐𝟐 representa la cantidad de puntos que va aumentando de dos en dos en cada figura(variable)
y el 𝟏𝟏 es el punto (constante) que siempre queda en la base de la figura.
Estrategia 2: Consideran los tres puntos iniciales constantes y observan los que se van agregando, es decir:
𝐹𝐹1 = 3 (Figura de lugar 1 tiene 0 sumando 2)
𝐹𝐹2 = 3 + 2 (Figura de lugar 2 tiene 1 sumando 2)
𝐹𝐹3 = 3 + 2 + 2 (Figura de lugar 3 tiene 2 sumando 2)
𝐹𝐹4 = 3 + 2 + 2 + 2 (Figura de lugar 4 tiene 3 sumando 2)
Por lo tanto, la figura de lugar 𝒏𝒏 tendrá un sumandos 2 menos, es decir, tendrá (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏) veces el 2 como sumando.
Como la cantidad de 2 es uno menos que el lugar de la figura, se obtiene:
𝐹𝐹𝑛𝑛 = 3 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 2
A diferencia de la estrategia anterior, los tres puntos iniciales se visualizan y mantienen constantes.
Estrategia 3: Descomponer en dos partes la figura, sin dejar constante ninguno de sus puntos:
De donde se concluye que la formación es la siguiente:
𝐹𝐹1 = 1 + 2
𝐹𝐹2 = 2 + 3
𝐹𝐹3 = 3 + 4
𝐹𝐹4 = 4 + 5
El primer sumando corresponde al lugar de la figura y el segundo al sucesor del primero, por lo tanto:

31
𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1)
En esta estrategia, no hay constantes, cada una de las figuras contiene dos sumandos que varían dependiendo del lugar
de la figura.
Estrategia 4: Determinar la sucesión numérica asociada al número de puntos de cada figura: 3, 5, 7, 9, … y observar que son
todos valores impares consecutivos, si conoce la generalización de los números impares, obtendrá:
Observación: Es importante tener claro que independiente la estrategia, las expresiones obtenidas son equivalente:
Estrategia 1: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏
Estrategia 2: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 3 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 2 = 3 + 2𝑛𝑛 − 2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏
Estrategia 3: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1) = 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 1 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏
Estrategia 4: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏

32
EJERCICIOS
PROPUESTOS

33
1. Realice las siguientes operaciones usando calculadora.
a) 5 ⋅ (22 − (−8)) − (3 − 25)
b) −35 − (−22 + 10) − 3 ⋅ (−24)
c) 56 ÷ (−7) + 23 − 2 ⋅ (55 − 10)
d) 2 ⋅ (−(−7) + 3 − 5) + 21 − 3 ⋅ �62 ÷ (−2) + 2 ⋅ (−5 − 9)� =
e)
3
2
+
2
3
−
1
5
=
f)
2
7
+
2
5
−
1
11
=
g) �
1
7
−
5
12
+
2
5
+
1
10
� ⋅ �
2
5
−
3
10
+
1
6
� =
h)
2
7
−
5
2
2
5
=
i) 2 ⋅ �
17
6
−
5
3
+ 3� =
j) �2 −
1
3
� �2 +
1
3
� =
2. Calcula aplicando propiedades de los reales:
a) 26
=
b) �−
1
5
�
3
=
c) 3−3
= d) −24
=
e) (−2)4
=
f) �−
2
3
�
−3
g) = 0,2−1
h) √512
3
=
i) √−27
3
= j) �
1
32
5
=
k) 0,04−0,5
l) (−0,008)
1
3
3. Expresa como potencia de base 2
a) 32 = b) 2 = c) 1 = d)
1
32
= e) 0,125
4. Expresa las siguientes potencias como raíces.
a) 5
1
2 = b) (−27)
1
5 = c) �
19
25
�
−4
7
=

34
5. Aplica propiedades y expresa el resultado en una sola potencia:
a) 32
∙ 3−3
∙ 34
= b) 54
÷ 57
=
c) 3−4
÷ 15−4
=
d) �
3
4
�
−3
∙ �
8
5
�
−3
∙ �
5
9
�
−3
=
e) ��0, 5
��
5
�
1
�
0
=
f) 24
÷ 8−4
=
6. Resuelve aplicando propiedades de raíces.
a) 2√3 ∙ √2 ∙ 4√2 = b) √8
5
∙ √−2
5
∙ √2
5
= c) �√8
4
∙ √32
4
=
d) �√25
3
= e)
4√6
2√2
= f) √32
3
÷ √4
3
=
7. Calcule el valor de cada expresión, reduciendo al máximo la expresión
a) √27 − √50 + √12 + √8 =
b) √9 + 2√3 − √27 =
c) �√3 + √2��√3 − √2� =
8. Aplica propiedades de los números reales para reducir al máximo las siguientes expresiones:
a) �
3𝑒𝑒𝑥𝑥+𝑒𝑒2𝑥𝑥
3+𝑒𝑒𝑥𝑥 �
4
=
b)
𝑒𝑒𝑥𝑥
3
+
𝑒𝑒𝑥𝑥
32
+
𝑒𝑒𝑥𝑥
33
=
c)
2√6
4√2
+
√3
3
=
d)
√5
5
3
2
∙ 53
=
e)
��
1
2
�
−3
�
−5
∙�2−9�
1
3
��
1
2
�
18
�
−
1
6
÷�2
1
2�
−8
=
f)
�35+35+35
3
√36+36+36+36
=

35
9. Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de
manera que los números de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo, también existen variantes en que
el producto de los números de cada fila, columna o diagonal sea el mismo. Resuelve los siguientes cuadrados
mágicos:
CUADRADO MÁGICOS ADITIVOS
16 14
17
18
-8
-12 14
-3
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟔𝟔
𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟓𝟓
10
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
9
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
6 5
CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS
1
1
1 -1
-5
10 4
-50
2 2
-4 -2 -4
4 4
2 -2 -4
1 1
-1 -1 3
-1
-3 3 -1
CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS CON POTENCIAS
5−4 1
5−1
52
72
7
70
7−2
103
0,001 100
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑−𝟒𝟒 𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟕𝟕
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟖𝟖
𝟑𝟑−𝟓𝟓 𝟏𝟏
𝟑𝟑−𝟓𝟓

36
10. Los números de tres cifras: ¿Qué números de tres cifras cumplen que la multiplicación de sus dígitos es 280
y la suma de sus últimas dos cifras (decena y unidad) es 13?
11. Un panel luminoso está conformado por 9 ampolletas numeradas que están programadas para prenderse de manera
intermitente según los divisores de su numeración, por ejemplo: la ampolleta 10 se enciende a los 1, 2, 5 y 10
segundos.
Cuando el panel se enciende, todas las ampolletas se prenden en el segundo 1 (dado que el número 1
divide a cualquier número). Posteriormente, los paneles tienen un sistema de seguridad que, al momento
de prenderse nuevamente todas las ampolletas al mismo tiempo, el panel se desactiva y se apaga.
a) ¿A los cuántos segundos se desactiva el panel?
b) ¿A los cuántos segundos se encienden únicamente los tres vértices simultáneamente?
12. Este año lograste emprender una miniempresa, junto a 3 de tus compañeros, dedicada a la venta de
accesorios para Smartphone. En los primeros meses, han vendido 14 cargadores a $18.000 cada uno, con una
pérdida de $2.000 en cada artículo; 20 carcasas a $4.000 cada una con una ganancia de $1.000 por unidad, y
7 protectores de pantalla a $15.000 cada uno con una ganancia de $3.000 por protector, si la empresa en
estos meses vendió todo lo que compró ¿Cuál fue el costo de toda la mercadería vendida? ¿Logró su empresa
tener ganancias en sus primeros meses?
13. Calcule el costo de un viaje de estudio que durará 8 días, si participan 28 estudiantes y 3 profesores
acompañantes y contempla el traslado en avión, más un traslado en bus, ambos ida y vuelta donde el costo
de cada pasaje en avión es US$ 340 (ida y vuelta). El costo de cada pasaje en bus es de US$ 22 (sólo ida),
además se incluye alimentación de US$ 23 diarios por persona. Realice el cálculo del viaje de estudios para el
total de personas en dólares y pesos chilenos (considere el dólar a 785 pesos chilenos).

37
14. Se quiere dibujar un rectángulo de área 230 [u2
]. Si el
segmento que une los puntos A y B es la base del
rectángulo,
a) ¿Dónde se podrían ubicar los otros vértices?
b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?
15. Un automóvil tarda 2 minutos en dar una vuelta a una pista, una bicicleta tarda 6 minutos y una persona 20
minutos. Si los tres salen al mismo tiempo. ¿Después de cuánto tiempo coinciden los tres y cuántas vueltas
habrá dado cada uno?
16. Una lata de bebida tiene una capacidad de 350 cc de líquido. Si se vierte el contenido de una de estas latas y
alcanza sólo para llenar un vaso cuya capacidad es de 200 cc ¿Qué parte del total de la capacidad de la lata
quedó con líquido?
17. Uno de los mayores premios que ha entregado el juego de azar “LOTO” alcanza a la suma de 8400 millones
de pesos, cuando se sorteó ese premio este se dividió de la siguiente forma
3
2
del total se lo adjudicaron 4
ganadores que recibieron partes iguales y lo restante se dividió entre 112 personas que revieron montos
iguales ¿Cuánto recibió cada persona?
18. María gana como secretaria $480.000 líquido. Gasta la cuarta parte en alimentarse;
5
4
del resto en arriendo,
2
1
de lo que sobra lo gasta en pasajes y vestuario, el resto lo gasta en pago de deudas. ¿Cuánto dinero gasta
en cada una de las cosas mencionadas?
19. Se reparten 36 caramelos entre 4 jóvenes, de tal manera que:
1
3
de los caramelos se los lleva Juan;
2
9
de los
caramelos se los lleva Luis,
4
12
del total se los lleva Mercedes y Pedro se lleva el resto. ¿Cuántos caramelos se
lleva cada uno?
20. En una casa ferretera, deben ayudar a un cliente que necesita aflojar una tuerca de la rueda de su auto, él no
logra explicar la medida de la llave que necesita para aflojar la tuerca. Para ayudarlo un empleado utiliza una
llave de
1
2
pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una llave de
3
4
pulgada que le queda grande,

38
entonces, se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De
cuántas pulgadas es la llave que necesita el cliente?
21. Pedro desea determinar el grosor de las hojas de su cuaderno de 80 hojas, para esto mide el alto y determina
que mide 0,7 cm.
a) ¿Cuál es el grosor aproximado de una hoja del mismo cuaderno?
b) ¿Cuál será el alto aproximado de un cuaderno del mismo tipo y marca de 100 hojas?
22. Una compañía que proporciona internet ofrece un plan, en el cual durante los 3 primeros gigas de tráfico se
cobra un valor fijo de $6000 y luego de los 3 gigas se cobra $1,8 el mega de tráfico.
a) ¿Qué valor tendrá una cuenta que considera un tráfico de 4,6 gigas?
b) Si la cuenta es de $10.4320 ¿Cuántos gigas ha consumido?
23. Para una campaña pro-defensa de los bosques Milenarios, un grupo ecológico desarrolló como estrategia de
difusión que cada uno de sus 50 miembros enviara una carta a 4 amigos. En ella se daba a conocer la situación
real de los bosques y se pedía a su vez que cada uno repitiera la misma acción enviando copias de la carta a 4
personas más. Si se consideran los envíos de los miembros del primer grupo a sus amigos como etapa 1 y los
envíos de sus amigos a otras personas como etapa 2, y así sucesivamente.
a) ¿Cuántas cartas son enviadas en cada una de las etapas: 1, 2, 3, 4, 5?
b) ¿Cuántas cartas son enviadas en total durante la campaña?
24. Una persona decide ahorrar mes a mes parte con un ahorro inicial de $100.000 pero cada mes se le hace más
difícil y deposita la mitad de lo que deposita el mes anterior.
a) ¿Durante cuantos meses puede la persona realizar esta rutina?
b) ¿Cuál es la restricción que existe?
c) Exprese usando potencias el ahorro para el décimo mes.
25. Pablo, un niño con mucha curiosidad, decide doblar una hoja de papel
en 2 partes, al ver esto, se percata que ahora la hoja es el doble de
gruesa, por lo que vuelve a repetir el proceso.
a) Si Pablo realiza 4 dobles. ¿Cuál es el nuevo grosor de la hoja?
b) Si Pablo fuera capaz de darle 10 dobles. ¿Cuál sería el grosor obtenido?
c) Si la hoja que comenzó a doblar tenía un grosor de 0,1 milímetro. ¿Cuál es el grosor que tendrá después
de 15 dobles?
26. En un teatro la distribución de las butacas tiene igual número de filas que de columnas. Si en la función de la
tarde se venden todas las entradas recaudando $675.000, sabiendo que cada entrada cuesta $3.000, ¿cuántas
filas de butacas tiene el teatro?

39
27. En un Triángulo equilátero de lado 10 cm, se dibuja otro triángulo equilátero en uno de
sus costados, midiendo este lado exactamente la tercera parte. (ver imagen) se repite este
proceso 6 veces. ¿Cuánto mide el triángulo más pequeño? Expresa el resultado como
potencia.
28. Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cuadradas y para cubrirlas se necesitan en total 324 azulejos
cuadrados. Si cada azulejo es de forma cuadrada cuya superficie mide 625 cm2
.
a) ¿cuánto mide la altura de cada pared?
b) Si cada caja contiene 2 m2
de azulejos. ¿Cuántas cajas se necesitan para cubrir todo el baño?
c) Si el metro cuadrado de azulejo cuesta $3990, ¿Cuánto dinero se necesita invertir en azulejos?
29. Se requiere de una caja cubica para envolver un regalo.
a) ¿Cuál es el volumen de la caja si se sabe que el área total de su superficie es de 2400 cm2
?
b) Si el pliego de papel de regalo mide 100 cm de largo por 70 cm de ancho, ¿es posible envolver la caja?
Justifica tu respuesta.
c) Cuál es la medida máxima de la arista del cubo para que sea posible envolverlo en el pliego de papel
de 100 cm de largo y 70 cm de ancho.
30. El área de un círculo mide 324𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐2
. Indica la medida de su radio. (𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 ∙ 𝑟𝑟2)
31. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3,5 metros apoyada sobre la pared si la parte
inferior la situamos a 80 centímetros de ésta.
32. Un gasfíter lleva sus herramientas en un maletín de 40 cm de largo, 30 cm de alto y 15 cm de ancho. Para
terminar un trabajo necesita llevar una cañería de cobre de 55 cm de largo. ¿Es posible que pueda llevar la
cañería en su maletín? Justifica tu respuesta.
33. En un cuadrado se dibuja otro cuadrado dentro, formado por los puntos medios,
dentro de este, otro cuadrado, formado nuevamente por los puntos medios, si este
procedimiento se repite1
.
a) Si se sabe que el lado del cuadrado negro (exterior) mide √32 cm ¿Cuál es la
medida del lado del cuadrado rojo (cuadrado interior más pequeño)? ¿Cuánto mide
su área?
b) Si el área del cuadrado rojo es 5 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado negro
(cuadrado exterior)?
1
Problema adaptado de https://www.iesalandalus.com/joomla3/images/matematicas/eso/1eso/tema14.pdf

40
34. Observa las siguientes secuencias2
:
Secuencia Preguntas
a) Determine una expresión que permita calcular el número de
palitos de la figura de lugar “n”
b) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
c) Con la fórmula determine la cantidad de palitos de la figura de
lugar 451
d) Determine una expresión que permita calcular el número de
palitos de la figura de lugar “n”
e) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
f) Con la fórmula determine la cantidad de palitos de la figura de
lugar 834
g) Determine una expresión que permita calcular el número de
cuadrados de la figura de lugar “n”
h) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
i) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura
de lugar 763
j) Determine una expresión que permita calcular el número de
k) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
l) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura
de lugar 363
m) Determine una expresión que permita calcular el número de
n) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
o) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura
de lugar 63
p) Determine una expresión que permita calcular el número de
q) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
r) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura
de lugar 83
3
s) Determine una expresión que permita calcular el número de
cubos de la figura de lugar “n”
t) Comprueba la validez de su expresión (fórmula).
u) Con la fórmula determine la cantidad de cubitos de la figura de
lugar 71
2
Secuencias tomadas del libro Didáctica del Álgebra de Godino.
3
Imagen obtenida desde: https://i.ytimg.com/vi/blxfFYSRKSo/maxresdefault.jpg

41
Soluciones
1. a) 172 b) 49 c) -75 d) 208 e)
59
30
f)
229
385
g)
19
315
h) −
155
28
i)
25
3
j)
35
9
2. a) 64 b) −
1
125
c)
1
27
d) -16 e) 16 f) −
27
8
g) 5 h) 8 i) -3 j)
1
2
k) 5 l) −
1
5
3. a) 25
b) 21
c) 20
d) 2−5
e) 2−3
4. a) √5 b) √−27
5
c) � �
19
25
�
−4
7
5. 33
b) 5−3
c) 54
d) �
3
2
�
3
e) 1 f) 216
6. a) 16√3 b) -2 c) 2 d) √25
6
e) 2√3 f) 2
7. a) 5√3 − 3√2 b) 3 − √3 c) 1
8. a) 𝑒𝑒4𝑥𝑥
b)
12𝑒𝑒𝑥𝑥
27
c)
5√3
6
d) 25 e) 2-19
f)
1
6
9. Cuadrados mágicos
CUADRADO MÁGICOS ADITIVOS
16 21 14
15 17 19
20 13 18
5 6 -8
-12 1 14
10 -4 -3
𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟔𝟔
𝟕𝟕
𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟓𝟓
10
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
9
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
8
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
7
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
6 9 10 5
CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS

42
-1 1 -1
1 1 1
-1 1 -1
-2 100 -5
25 10 4
-20 1 -50
2 -4 2 -2
-4 -1 -2 -4
-2 4 4 -1
2 2 -2 -4
-3 3 1 1
-1 -1 -1 3
1 -1 3 1
-3 -1 3 -1
CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS CON POTENCIAS
5−4 5 1
53 5−1
5−5
5−2
5−3
52
74
7−3
72
7−1
7 3
70
75 7−2
103
10−4 10
0,001 1 100
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
104
10−3
𝟑𝟑−𝟒𝟒
36 37 𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟕𝟕
3
𝟏𝟏
𝟑𝟑
3−2
𝟑𝟑𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟑𝟑
33
𝟑𝟑𝟐𝟐 1
𝟑𝟑𝟖𝟖
3−6
𝟑𝟑−𝟓𝟓 𝟏𝟏
𝟑𝟑−𝟓𝟓
10. 758 y 785
11. a) A los 7 segundos. b) A los 6 y a los 42 segundos.
12. El costo de la mercadería fue de $424.000 y la empresa logró una ganancia de $13.000
13. El costo total del viaje es de US$17.608 o de CLP$ 13.822.280
14. a) Los otros dos vértices podrían ser (-12, -55) y (34, -55), o bien, (-12, -65) y (34, -65).
b) El área del rectángulo en cualquiera de los dos casos será de 102[u]
15. Los tres coinciden por primera vez a los 60 segundos. El automóvil habrá dado 30 vueltas, la bicicleta 10
vueltas y la persona habrá dado 3 vueltas.
16. 3/7 de la lata quedaron con líquido.
17. Cada uno de los 4 ganadores se adjudicó $1400 millones y cada una de las 112 personas recibió 25
millones cada una.
18. María gasta $120.000 en alimentación, $288.000 en arriendo, $36.000 en pasajes y vestuario y los $36.000
restantes en deudas.
19. Juan y Mercedes se llevan 12 caramelos cada uno, Luis se lleva 8 caramelos, Pedro se lleva 4 caramelos.

43
20. La llave que necesita el cliente es de 5/8 pulgadas.
21. a) Cada hoja tiene un grosor aproximado de 0,00875 cm b) Un cuaderno de 100 hojas tendrá un
alto aproximado de 0,9 cm
22. a) La cuenta es de $8.880 por 4,6 GB de tráfico. b) Ha consumido 5,4 GB
23. a) Etapa 1: 50·4 envíos, Etapa 2: 50·42
envíos, Etapa 3: 50·43
envíos, Etapa 4: 50·44
envíos y Etapa 5: 50·45
envíos.
b) Son enviadas 68.200 cartas en total.
24. a) Durante 16 meses.
b) La restricción consiste en que el monto a depositar debe ser mayor o igual a $1 y en el mes 17 sería
menor.
c) El ahorro para el décimo mes sería de $100.000 ∙ �
1
2
�
10
25. a) El nuevo grosor de la hoja es 16 (24
) veces más gruesa. b) El nuevo grosor sería de 1024 (210
)
veces más gruesa). C) El nuevo grosor sería de 3,3 cm aproximadamente. (0,1 [mm] ·215
).
26. El teatro tiene 15 filas de butacas.
27. El lado más pequeño mide 10 ∙ �
1
2
�
3
cm.
28. a) La altura de la pared es de 2,25 metros. b) Se necesitan 25 cajas. c) Necesita invertir
$87.780 en azulejos (cada caja cuesta $7980, se necesitan 11 cajas).
29. a) El volumen de la caja es de 8.000 cm3
b) Si es posible, porque la red del cubo tendría 80 cm de
largo y 60 cm de ancho. C) La arista puede mejor como máximo 23,3 cm (70/3).
30. La medida del radio es de 18 cm
31. Aproximadamente 3 metros con 40 cm
32. Si, es posible, ya que la llave puede medir como máximo 52 cm por ser esta la medida de la diagonal de
la caja.
33. a) El lado del cuadrado rojo mide √2 cm y su área es igual a 2 cm2
b) El lado del cuadro negro mide
20 cm.
34.
Secuencia Preguntas
a) Número de palitos: 3n + 1, donde n es el lugar de la figura.
b) Figura 1: 3·1+1 = 4 (la figura efectivamente tiene 4 palitos)
Figura 2: 3·2+1 = 7 (la figura efectivamente tiene 7 palitos)
Figura 3: 3·3+1 = 0 (la figura efectivamente tiene 10 palitos)

44
c) Figura 351 tendrá 1354 palitos (3·451+1)
d) Número de palitos de la figura n: 8n – 5 , en donde n es el lugar
de la figura.
e) Realizar el proceso análogo a la sucesión anterior.
f) Figura 834:
g) Número de cuadrados de la figura n: 3n + 1, en donde n es el
lugar de la figura.
h) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión.
i) Figura 763 tiene 2290 cuadraditos.
j) Número de cuadrados de la figura n: n2
+ 4n + 5, en donde n es
el lugar de la figura.
k) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión.
l) Figura 363 tiene 133.226 cuadraditos
m) Número de cuadrados de la figura n: n2
+ 4n + 5, en donde n es
n) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión.
o) Figura 63 tiene 4226 cuadraditos
p) Número de cuadrados de la figura n: n2
+ 4n + 5 en donde n es
q) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión.
r) Figura 83 tiene 7226 cuadraditos.
4
s) Número de cubos de la figura n: n3
en donde n es el lugar de la
figura.
t) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión.
u) Figura 71 tendrá 357.911 cubitos.
4
Imagen obtenida desde: https://i.ytimg.com/vi/blxfFYSRKSo/maxresdefault.jpg

45
Problemas no rutinarios
1. El triángulo de Pascal: seguro has visto muchas veces este triángulo de números
En la fila 103 ¿Cuál es el segundo número? Y ¿Hay algún número que no se repita?
2. Los discos: En la imagen tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito
un número, en la otra cara de cada uno hay otro número. Si sumamos dos de los valores que tienen,
podemos obtener los siguientes resultados: 11, 12, 16 y 17. ¿Qué número están escritos en la cara oculta
de cada disco?
Si ahora con los siguientes tres discos se pueden obtener: 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22 y 23. ¿Qué números
están escritos en la cara oculta?
3. Vigilancia: Imagina una ciudad cuyas calles forman una red cuadrada, en las que cada
manzana tiene una longitud de 100 metro. Supón que un guardia colocado en una
esquina puede ver a un sospechoso a 100 metros; por lo tanto, puede vigilar un
máximo de 400 metros de calle así:
Si tenemos un bloque de casas, con cuatro
esquinas, necesitamos dos guardias:
Para dos bloques alineados necesitamos 3
guardias:
¿Cuántos guardias son necesarias para un grupo de bloques que formen un cuadrado?

46
Referencias
Díaz Godino, J., & Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Granada.
Fernández, S., Basarrate, A., & Fouz, F. (1991). La Resolución de Problemas. Sigma, nº10, 1-88.

Manual del estudiante_2020

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (6)

Similar to Manual del estudiante_2020

Similar to Manual del estudiante_2020 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Manual del estudiante_2020