solido zurruna

1. 8. Solido zurrunaren
higidura

2. 1.Sarrera
Solido zurruna: GORPUTZ ZABAL DEFORMAEZINA.
Partikulen arteko distantzia kteaEz puntualaPartikula-sistema
Idealizazio oso erabilgarria!! (Idealizazioa da, edozein gorputz era batean edo bestean deformatu baitaiteke)
Adib: Barrak, hagatxoak, poleak, bolak, diskoak, zilindroak, … Simetria handikoak
Solido zurrunean bi higidura mota berezitu:
A. TRANSLAZIOA: Partikula guztiek ibilbide paraleloak deskribatu.
B. ERROTAZIOA: Partikula guztiek ibilbide zirkularrak errotazio ardatzaren inguruan.
TRANSLAZIOA
ERROTAZIOA
SOLIDOAREN HIGIDURA
Higidura definitzeko 6 koordenatu
3 posizioari dagozkionak
3 orientazioari dagozkionak
Momentu linealaren teorema: Translazio higidura ebazteko.
Momentu angeluarraren teorema: Errotazio higidura ebazteko.

3. 2. Solido zurrunaren estatika
Solido zurruna orekan
Pausagunean (oreka estatikoa)
Abiadura ktean (oreka dinamikoa)
Demagun F1, F2, … FN indarren eraginpean dagoen solido bat:
 
i
i 0FF

0FrMM
i
ii
i
OiO

 
OREKA !!

4. 3. Solido zurrunaren dinamika ardatz finko
baten inguruan. Inertzia-momentua.
Demagun solido zurrun bat biratzen, zeinen errotazio
ardatza solidoaren bi puntu finkoetatik pasatzen baita.
• dm-ren abiadura zirkunferentziarekiko tangentea:
 dm

O


Y
X
r

Z
oLd

dm masako elementu infinitesimal arbitrarioa
r dm-ren posizio bektorea
ρ = r sinφ erradioko zirkunferentzia deskribatu dm-k
non ω solidoaren abiadura angeluarra den.
ω berdina da solidoaren puntu guztietan, baina ez v (ardatzaren distantziaren
menpekoa da).
• dm-ren momentu angeluarra: dmvrLd O


dmvrdLo r eta v perpendikularrak 
z ardatzaren norabidean: sindmvrdLoz  dmdL 2
Oz 
ρ = r sinφ
direnez:

5. 3. Solido zurrunaren dinamika ardatz finko baten inguruan. Inertzia-momentua
Solidoaren puntu guztientzat integratuz…
2 2
Oz Oz
M M M
L dL dm dm      
masa guztiarentzat integrala
Loz osagaiak ez du jatorriarekiko menpekotasunik, beraz: Loz = Lz hau da;
zz IL  
M
2
z dmI non
Solidoaren inertzia momentua
errotazio ardatzarekiko
Indarren momentua:
dt
Ld
M O
O



dt
dL
M z
z 
Solidoaren
azelerazio
angeluarraerrotazio
ardatzarekiko
 0 0 ktez
z z
d I
M I
dt

    
Orokorrean Lx eta Ly ez dira zertan nuluak izan behar:
kˆLjˆLiˆLL zyx 



L

y
zL
Ardatzaren norabidea finko mantentzeko, solidoari
nulua ez den indar-momentu bat egin behar zaio.

6. Gorputz baten inertzia momentuak
adierazten du, gorputz horren
erresistentzia azelerazio angeluar bat
hartzeko.
Dantzari batek inertzia
momentu handiagoa
izango du besoak
zabalduz, hauek itxiz
gero arinago biratuko
du.
3. Solido zurrunaren dinamika ardatz finko baten inguruan. Inertzia-momentua

7. 4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en
teorema.
-k biraketa-ardatzaren norabidearekin bat datorrenean INERTZIA-ARDATZ NAGUSIA
Hau da, // biraketa ardatza
Solidoa simetria zilindrikoa badauka:
• ARDATZ NAGUSIA = SIMETRIA-ARDATZA
• 3 ardatz nagusi cartesiar:
Y
X
Z
Y
X
Y
X
Z Z
Steiner-en teorema:
Masa zentrotik pasatzen den ardatz batekiko inertzia-momentua ezaguna bada, kalkula
daiteke horrekiko paraleloa den beste edozein ardatzen inertzia-momentua.
MZ
P
dm
2
2 2 2
' 2P
M M M M M
I dm d dm dm d dm d dm             
r rr r

 d

'

M
IMZ
Ip = IMZ + Md2

8. 4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en teorema.
Solido simetriko batzuen inertzia momentuak ardatz nagusiarekiko:
Eraztuna
Zilindro (L  0)
edo
Diskoa (L  0)
(a)
(b)
Hagatxo mehea
Esfera
Paralelepipedoa
R
2
I MR
21
2
I MR
2 21 1
4 12
I MR ML 
21
12
I ML
22
5
I MR
 2 21
12
I M a b 
R
(a)
(b)L
L
2
L
2
a
b

9. 5. Solido zurrunaren errotazioaren energia
zinetikoa ardatz finko baten inguruan. Energiaren
teorema.
Demagun berriz ere
Solido zurrunarentzat (barne
indarren lana nulua denez)
energiaren teorema:
Ez t-rekiko deribatuz:
 dm

O


Y
X
r

Z
oLd

2 2 21 1
2 2
zdE v dm dm  
2 2 2 21 1
2 2
z z
M M M
E dE dm dm       
ktea solidoaren puntu guztientzat
Iz
21
2
z zE I 
kan
zW E
2
z
1
2
z
z z
dE d
I I M
dt dt
  
 
   
 
Kanpo indarrek egindako potentzia: zP M 

10. 5. Solido zurrunaren errotazioaren energia zinetikoa ardatz finko baten
inguruan. Energiaren teorema
z zdW Pdt M dt M d   
Beraz, lana kalkulatzeko:
Solidoak dt-n biratutako angelua.
zW M d Integratuz…
Kanpo-indar kontserbakorren lana kalkula daiteke: EKE W 
Ardatzari eragiten dioten indarrek ez dute lanik egiten, beste kanpo indar guztiak
kontserbakorrak badira:
kteZ PE E 
Solidoaren energia potentzial grabitatorioa:
non
MZ
y
dm
X
Y
Z
z
MZz
MZ
MM
p gMzzdmggzdmE  

M
MZ zdm
M
1
z
Solido zurrun baten Ep-a MZ-ren altuerarekiko menpekoa
baino ez da:
Ep=MghMZ
Era berean…
indar momentua:
O MZM R mg 
r r r

11. 5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketa energia zinetikoa.
Energiaren teorema
Translazio eta biraketa magnitudeen baliokidetasunak:
a
v
x
mI









Puntu materialaren higidura Simetria-ardatz finko baten inguruko
solido zurrunaren higidura
Momentu lineala, Ardatzarekiko momentu angeluarra,
Energia zinetikoa, Biraketako energia zinetikoa,
Lana, Lana,
Newton-en bigarren legea, edo
.
Biraketa-higiduraren oinarrizko ekuazioa,
edo .
vmp

 L I
21
2
zE mv 21
2
zE I 
dxFdW  dMdW 
amF


dt
pd
F

 M I dL
M
dt

r
r

12. 6. Solido zurrunaren higidura laua
• Solidoaren partikula guztiak plano batekiko paraleloki higitzen direnean.
• Hiru askatasun gradu
2 translazio higidura deskribatzeko
1 planoarekiko perpendikularra den ardatzarekiko biraketa deskrib.
Adib: zilindroa, gurpila, kotxe baten motorraren parte asko, …
- MZ-aren higidura
- MZ-aren inguruko barne higidura
1
2
aztertuko ditugu.
Erraztasunerako: OXY planoa = MZ-ren higidura planoa
OZ ardatza = errotazio-ardatza
1 MZ-ren higidura ekuazioak:
2
2
dt
Rd
MAMF



2
2
xx
dt
Xd
MM AF 
2
2
yy
dt
Yd
MM AF 
MZ-ren azelerazioa
MZ-ren posizioa
2 MZ-ren inguruko higidura:
MZz IM 

13. Energia zinetikoa:
6. Solidu zurrunaren higidura laua
2
z z
1
2
E M V E' 
MZ-ren
energia
zinetikoa
MZ-rekiko higidurari dagokion Ez
2 21 1
2 2
z MZE M V I ω 
2
2
1
'' MZMZz IEE 

14. Errodatze higidura
6. Solido zurrunaren higidura laua
Zilindro edo esfera batek gainazal lau batean errodatzen dutenean: lotura bat egongo da.
Biraketarekin
lotutakoa
Translazioa deskribatzeko: (1)
Bi askatasun gradu baino ez!
Translazio
zuzenarekin
lotutakoa
Errotazioa deskribatzeko: (2)
RM
dt
Pd
F




    

MZMZ
MZz
z I
dt
d
I
dt
Id
dt
dL
M 
Bi egoera posible
Solidoak labaindu gabe errodatzen du
Solidoak labainketarekin errodatzen du
1
2

15. 6. Solido zurrunaren higidura laua
gorputzak errodatu labaindu gabe s= r
Solidoak labaindu gabe errodatzen du1
Zoruarekin kontaktua
duen puntuaren
abiadura nulua
Marruskadura derrigor
Biraketa eta translazioa akoplatuta:
s = r φ
ds
V r
dt
 
dV
R A r
dt
  &&
2
2 2
2
1 1 1
1
2 2 2
MZ
Z MZ
IV
E M V I M V
r Mr
  
      
   
Egoera honetan energia zinetikoa MZren abiaduraren menpe kalkulatu daiteke:
Labainketarik gabe errodatzean
marruskadurak ez du lanik egiten
Beste indar denak
kontserbakorrak
Em kontserbatu!
Solidoak labaindu2
s = r φ
ds
V r
dt
 
dV
R A r
dt
  &&
Marruskadura dago
Dinamikoa izango da
Em ez kontserbatu!

16. 
C
C
P
P’
r

P
Suposa dezagun objektua plano inklinatu batean errodatzen duela:
RF

N

gM


r

s= r
gorputzak errodatu labaindu gabe
Bi egoera posible: labaindu edo ez labaindu.
6. Solido zurrunaren higidura laua
Adibidea: Plano inklinatu batean beherantz doan objektu bat.
(1) eta (2) berridatziz:
Solidoak labaindu gabe errodatzen du1
s = r φ
ds
V r
dt
 
dV
R A r
dt
  &&
Mg sin  - FR = MA
r
A
IIrF MZMZR  
2
sin
1
R
MZ
Mg
F
Mr
I



2
sin
1MZ
g
A
I
Mr




17. Labainketarik gabe errodatzeko vzorua ukitzen duen solidoko puntuaren abiadura = 0
marruskadura estatikoa: cosR s sF N Mg   
2
sin
cos
1
R s
MZ
Mg
F Mg
Mr
I

  

2
tan 1s
MZ
Mr
I
 
 
  
 
Labainketarik gabeko errodaduraren kasuan ez da energiarik disipatzen:
Kontserbatzen da!
EZ+Ep= ktea
2 21 1
sin kte
2 2
MZMV I Mgs   
6. Solido zurrunaren higidura laua

18. Plano inklinatuak malda handia badu
edo
s <<
2
Objektuak labaindu
2
tan 1s
MZ
Mr
I
 
 
  
 
Ekuazioak:
Mg sin  - mdN = MA
d MZN r I 
Labainketa dagoenean  marruskadura indarrak lan negatiboa egin  Em galtzen da 
EZ DA KONTSERBATZEN!!
Solidoak labaindu
6. Solido zurrunaren higidura laua