1. DINAMIKAREN IZAERA
Hizkera arruntean estatikoa eta dinamikoa antonimoak dira. Estatikoa da beti berdin eta
aldatu gabe mantentzen dena, eta dinamikoa da mugitzen edo aldatzen den hori. Fisikan
esanahiak bestelakoak dira: Mekanikan (higidurak aztertzen dituen Fisikaren atala) parte batzuk
badaude, Zinematika (higidura hutsak aztertzekoa), Estatika (gorputzak ekilibrioan edo orekan
daudenean indarrak aztertzekoa), eta Dinamika (higidura eta haien kausak aztertzekoa).
Estatika ez dugu aurten ikusiko eta, beraz, Dinamika hasiko dugu.
Dinamikak aztertzen dituen higiduren kausak bi motatakoak izan daitezke:
1) indarrak edo bultzadak (objektu bat mahaiaren gainetik arrastatu eta gero bota). Indarrak
XVII. mendetik aurrera aztertzen dira.
2) energiak (objektu batzuk bultzatu gabe mugitzen dira: ibaietako ura, kea, imanak, eta
abar). Gorputz hauek energia dutela esaten da. Energiak XX. mendetik aurrera aztertzen
dira (energia hitza XIX. mendean asmatu zen).
Hizkera arruntean indarra eta energia gauza bera da (pertsona batek indar haundia duela
edo energia haundia duela esaten da). Baina Zientzian ez. Indarrekin hurrengo puntuan hasiko
gara, eta indarrak bukatuta energiekin segituko dugu.
Zinematikan higikarien masa eta dimentsioak (luzera, altuera, lodiera) ez ditugu kontuan
hartu, ekuazioetan ez dira magnitude hoiek sartzen, eta kontsideratu dugu higikariek ez dutela
masarik, ezta dimentsiorik ere. Dinamikan kontsideratuko dugu gorputzek masa badutela
(masa: materia kantitatea, ez pisua), baina dimentsiorik ez, honengatik “higikari” hitza erabiliko
dugun bezela, baita “gorputza” edo “partikula” hitzak ere enpleiatuko ditugu.
2. INDARRAK. DINAMIKAREN LEGEAK.
Lege hauek indar eta mugimenduaren arteko erlazioak finkatzen dituzte. XVIII.
mendekoak dira, eta Newton-en legeak deitzen dira:
1) Inertziaren legea
2) Indar-ekintzaren legea
3) Akzio-erreakzioaren legea.
INERTZIAREN LEGEA.
Inertziaren legea: gorputzek beti abiadura bera, zuzena eta konstantea mantentzeko joera
dute. Abiadura aldatzeko modu bakarra indar bat aplikatzea da. Indarrik aplikatu gabe, goputz
guziak geldirik mantentzen dira, edo haien higidura hzu da. Indarren eraginik gabe existitzen
eta mugitzen diren gorputzak “gorputz askea”ak deitzen dira.
Inertziaren legea logikoa da:
·) gorputz bat geldirik badago, indarrik aplikatzen ez bazaio gorputz hori ez da bapatean
martxan jarriko (v= 0= kte.).
·) gorputz bat espazio librean grabitaterik gabe eta airearen marruskadurarik gabe mugitzen
badago, bapatean ez du azeleratuko edo frenatuko, edo ez da eskubitara ala ezkerretara
joango (zergatik alde batera bai eta bestera ez?).
Beraz, indarrik gabe gorputz askeen higidura beti hzu da, beti abiadura berarekin eta zuzen
mugitzen dira. Inertziarengatik gorputz guzien joera beti abiadura berarekin jarraitzekoa da, eta
ez gelditzeko mugitzen baldin badaude.
3. Marruskadura eta grabitatea bi indar dira, eta Lur gainean bi indar hauek beti daude, toki guzietan.
Marruskadura eta grabitatea ez baleude:
1) marruskadurarik gabe gorputzak beti abiadura berarekin zuzen segituko luke beste gorputz batekin
txokatu arte (eta frenoek ez lukete funtzionatuko). Marruskadurarik gabeko bizitza imajinatzea ere zaila
da: dena irristatuko litzateke, platerak, autoak, gu karrikan, ...
2) grabitaterik ez balego, gorputzen ibilbidea beti zuzena izanen litzateke, ezer ez litzateke eroriko.
(boligrafoa botatzen badut,marruskadurarengatik azkenean geldituko da,baina indarrik gabe ez litzateke
sekulan geldituko. Boligrafoa botatzean ere bere ibilbidea parabolikoa da grabitatearengatik, baina
grabitaterik gabe beti zuzen mugituko litzateke inertziarengatik)
Espazio librean ez dago marruskadurarik ezta grabitaterik ere. Espazio librean gorputzen inertzia dago.
Inertzia, beraz, gorputz guzien joera da, geldirik egoteko edo higidura zuzen uniformea mantentzeko.
Eta marruskadura eta grabitatea bi indar dira.
Inertziaren egoera esanguratsuak (kontuan hartu inertzia joera bat dela, momentu batez irauten
duena):
·) Sanferminetako barraka batzutan buruz behera jartzen garenean, inertziarengatik ez gara erortzen,
goian gaudenean inertziarengatik instante batez aurreko abiadura mantentzeko joera dugulako:
·) Baso bat urez erdi beterik, plano bertikalean bueltak eman eta ura ez da erortzen.
Inertziaren eta masaren arteko erlazioa:
Ez da jakiten inertzia zergatik existitzen den (hobeki esanda ia sentsazio subjetiboa da),
baina masaren ezaugarri bat da. Inertzia masarekiko proportzionala da, eta masa haundia bada
gorputzaren inertzia ere bai:
·) honengatik kamioi bati frenatzea askoz ere espazio gehiago kosta zaio auto bati baino
·) eta inertziarengatik ere bai harri txiki bat kristal batera bota eta ez du hautsiko (norabidez
errez aldatuko da), baina harria haundia bada errebotatzea (abiaduraz edo norabidez
aldatzea) gehiago kostako zaio eta kristala hautsi eta zeharkatu eginen du.
aurreko abiaduraren norabidea
gu erortzeko behar den
abiaduraren norabidea
4. INDAR-EKINTZAREN LEGEA.
Indar-ekintzaren legea, kausa-efektuaren legea edo kausa-ondorioaren legea. Dinamikaren
lehen legean deskribitzen da kanpoko indarrik gabeko gorputz askeak nola mugitzen diren, eta
bigarren lege hontan deskribitzen da gorputz bat nola mugitzen den kanpoko indar bat
aplikatzen bazaio.
Gorputz bati indar bat aplikatzen baldin bazaio, gorputzak azelerazio bat hartuko du (ez
abiadura bat), eta indarra eta azelerazioa proportzionalak dira. Beraz, indar haundiagoarekin
azelerazioa haundiagoak lortzen dira, eta alderantziz. Proportzionaltasunak ekartzen du indarra
eta azelerazioa zentzu berekoak izatea ere bai (gorputz bat alde batera bultzatu, eta alde
horretara mugituko da, tiza puskarekin alde batera bota eta kontrako aldera jon dadila).
Beraz, azeleratzeko (at), frenatzeko (at) edo norabidez aldatzeko (bueltak emateko, an) indar
bat aplikatu beharko zaio. Eta indar bat aplikatuz geroz, hzua lortzen da (at) edo higidura
zirkularra (an).
Lege honekin erlazionaturik lau kasu ikusiko ditugu:
1) indar konstantea
2) “t” denboraz irauten duen indarra
3) talka erabat ez-elastikoak
4) gorputz bat bitan zatitzen denean
Lehendabiziko kasua: Indar konstantea.
Suposa dezagun gorputz baten gainean indar konstante bat dagoela, indar konstante batek
eragiten duela. Indarra konstantea bada, gorputzak beti azelerazioa izanen du, bere higidura
beti hzua da. Zinematikako ekuazioekin batera Dinamikaren oinarrizko legea aplikatu dezakegu:
e= eo + vot +
2
1
·at2
v= vo + at
F= m·a
F: N (Newton), m: kg, a: m/s2
Adibidez:
F= 47.6 N
F= -0.58 N
5. Dinamikaren oinarrizko ekuazioan garbi ikusten da indarra eta azelerazioa proportzionalak
direla: F= m·a
Suposa dezagun m= 2 kg dela:
·) azelerazio txiki bat lortzeko (adibidez a= 0.1 m/s2) indar txiki bat egin beharko dugu (F=
2·0.1= 0.2 N).
·) azelerazio handi bat lortzeko (adibidez a= 50 m/s2) indar handi bat egin beharko dugu (F=
2·50= 100 N).
Bestalde, indarrak positiboak eta negatiboak izan daitezke, azelerazioak bezela. Noranzko
batean indarrak positiboak baldin badira, kontrako noranzkoan indarrak negatiboak izan behar
dira:
F= 3 N
F= -1.8 N
F= 0.6 N F= -5 N
Lehen kasu honen barruan
Poleakd)
Igogailuakc)
gehiagobainobatIndarb)
Pisuaa)
a) Pisua. Edozein gorputzen pisua beste indar konstante bat da, beti Lurraren erdigunerantz
doana. Pisuarengatik gorputzek hartzen duten azelerazioa grabitatea da, beraz:
P= m · g
P: N, m: kg, g: 10 m/s2
Pisua eta masa ez da gauza bera. Gorputz guziek (hausten ez diren bitartean) beti
masa bera dute. Pisua da Lurrak gorputz horren gainean egiten duen erakarpen-
indarra, eta pisua aldatzen da “g” hori aldatzen bada (mendi-tontorretan g txikiagoa da,
eta gorputz baten pisua ere txikixeagoa da, itsas baztarrean g haundiagoa da eta pisua
ere bai, beste planetetan eta sateliteetan g desberdina da: Ilargian g= 1.6 m/s2
, eta
Jupiterren g= 27.1 m/s2
).
6. Pisuaren unitateak honela erabiltzen dira:
Unitateak:
m Pisua indarra bezela hartuta Pisua baskuletan
kg N kg pisu edo kilopondio (kp)
Adibide bat:
m Pisua indarra bezela hartuta Pisua baskuletan
75 kg 750 N 75 kg pisu = 75 kp
Baskuletako neurketarekin, gorputz baten pisuak eta masak kointziditzen dute, baina
zientzian ez, zientzian indarretarako (eta pisurako ere) bakarrik N-ak erabiltzen direlako.
“g”-k beraz, bi gauza neurtzen ditu:
·) pisua. Suposa dezagun pertsona batek 75 kg-ko masa daukala, Lurrean eta Ilargian.
Lurrean nere pisua 73.5 kilo (kilopondio, kp) edo 735 N da (g= 9.8 m/s2). Ilargian g= 1.6
m/s2, eta nere pisua ere txikiagoa izanen da (120 N= 12 kp). Honengatik indar berarekin
Ilargian adibidez askoz ere salto haundiagoak egin ditzaket. Jupiterren g= 27 m/s2 da, eta
han nere pisua 2033 N da edo (203.3 kp-koa), beraz, Jupiterren, daukadan indarrarekin,
ezin izango nintzateke mugitu.
·) erorketa askearen azelerazioa: Ilargian gauzak askoz ere motelago erortzen dira, eta
Jupiterren askoz ere azkarrago.
b) Indar batek baino gehiagok gorputz baten gainean eragiten badute, Dinamikaren
oinarrizko legean indar guzien batuketa idazten da:
F1+F2+F3+...= m·a edo ΣF= m·a
Adibidez, soka-tiran (ni eta ikasle bat) soka mugitzen ez bada: nik F1 eta ikasleak F2:
Indar berdinak kontrako noranzkoan baldin badaude, gorputza geldirik mantentzen da. Indar
bat noranzko batean baldin badago (positiboa, adibidez 50 N) eta bestea kontrako noranzkoan
(negatiboa, adibidez -50 N), eta bi indarrak berdinak baldin badira, haien batuketa zero da:
F1F2
_ +
7. F1+ (-F2) = msoka·asoka
adibidez: 50 - 50 = msoka·asoka
0= msoka·asoka,
eta asoka= 0, beraz, soka (edo beste edozein gorputz) ez da mugitzen.
Baina soka-tiran indar desberdinak egiten baldin badira kontrako norabideetan, gorputza
mugituko da indar haundienaren aldera: F1-F2 = msoka·asoka (ni eta ikasle bat soka bereganatzen)
c) Igogailuak eta montakargak. Biak soka batetik zintzilik daude, eta bi indarrek eragiten
dute: sokak gorantz egiten duen indarra (tentsioa deitzen da, T), eta pisua beherantz:
Igogailua igotzen denean, goranzkoa zentzu positiboa da: T (+) eta P (-).
Igogailua mugitzen hasten denean, tentsioa pisua baino haundiagoa da, azelerazioa
agertzen da eta igogailua igotzen hasten da.
T > P
T – P = m a
a= +
arrankatzen du
P
T
P
T
+
_
T _
P = m · a
8. Igogailua abiadura konstantez igotzen denean, azeleraziorik ez dago eta T eta P berdinak dira.
T = P
T – P = 0
a = 0
v= kte
Igogailuak igotzean frenatzen duenean tentsioa txikiagoa da pisua baino, eta azelerazio
negatiboa aterako da:
P > T
T – P = m a
a: -
frenatzen du
Aurreko guzia igotzean gertatzen da.
Igogailua jeisten denean beheranzkoa zentzu positiboa da: P (+) eta T (-).
Jeisten hasten denean, pisua tentsioa baino haundiagoa izanen da, eta azelerazioa agertzen
da:
P > T
P – T = ma
a= +
arrankatzen du
P
T
+
_
P _
T = m · a
9. Igogailua abiadura konstantez jeisten denean, azeleraziorik ez dago eta P eta T berdinak dira.
P = T
P – T = 0
a= 0
v= kte
Igogailuak jeistean frenatzen duenean pisua txikiagoa da tentsioa baino, eta azelerazio
negatiboa ateratzen da:
P < T
P – T = m a
a= -
frenatzen du
d) Poleak. Poleetan gurpil bat daukagu, sabaian zintzilik. Gurpil horretan soka bat bilduta
dago, eta sokaren bi muturretan bi gorputz zintzilik ditugu.
Polearen gorputz bakoitzean sokaren tentsioak eta gorputz bakoitzaren pisuak eragiten dute:
T
P 1 T
P 2
10. Gorputz bat igotzen da eta bestea jeisten da. Igotzen den gorputzean gora doan indarra
positiboa da, eta jeisten den gorputzean behera doana positiboa da.
Adibidez ezkerretako gorputza igotzen bada, eta eskubitakoa jeisten bada, indarren zeinuak
ondokoak dira:
T (+)
P 1 (_
) T (_
)
P 2 (+)
Bigarren kasua: “t” denboraz irauten duen indarra.
Suposa dezagun orain gorputz baten gainean indar batek eragiten duela baina
bakarrik denbora-tarte batean (t).
Indarrak irauten duen bitartean gorputzak azeleratzen du eta hzua dauka, baina
aldiune hori bukatzen denean eta indarra desagertzen denean gorputzak azeleratu
gabe segituko du, lorturiko azken abiadura mantenduz, hzu delako.
Beraz, gorputzak hasieran abiadura bat du (hasierako abiadura, vH), “t” denbora-
tarte horretan azeleratzen du, eta gero beste abiadura batekin segitzen du (bukaerako
abiadura, vB).
Gorputzaren higidura-kantitatea edo momentu lineala (p) honela definitzen dugu:
p= m·v
p: kg·m/s, m: kg, v: m/s
Gorputzarendako bi momentu lineal kalkula daitezke, hasierako eta bukaerakoa:
HASIERAN
BUKAERAN
p H= m · vH
INDARRA APLIKATU
"t" DENBORAZ
F
p B = m · vBazeleratu (F+)
ala frenatu (F -)
11. Dinamikaren oinarrizko legeak (F= m a) itxura hau hartzen du (“F·t” biderketari “bultzada
mekanikoa” deitzen zaio):
bultzada mekanikoa= F·t= pB - pH
bultzada mekanikoa: N·s edo kg·m/s
p: kg·m/s
F: N
t: s
Bultzada mekanikoak (F · t) neurtzen du indar bat denbora batez aplikatu ondoren
gorputzaren abiadura zenbat aldatzen den.
Adibidez:
v H = 15 m/s
HASIERAN BUKAERAN
h z u
F
a
h z u a, " t " denboraz h z u
m= 100 kg
p H = 1500 kg · m/s
v B = 40 m/s
m= 100 kg
p B = 4000 kg · m/s
Kasu hontan bultzadaren balioa hau da:
bultzada= F·t= pB - pH= 4000 - 1500= 2500 N·s.
Hirugarren kasua: Talka erabat ez-elastikoak.
Oraingoan suposatuko dugu bi higikari dauzkagula, eta biak hzu higiduraz mugitzen direla
(abiadura konstantez). Bi higikariak elkarren kontra jotzen badute (talka egiten badute) talka
egiteko modu asko daude. Aurten guk talka mota bat ikusiko dugu: talka erabat ez-elastikoak,
eta talka hauek Newton-en bigarren lege honekin oso erlazionatuta daude.
Talka hauetan bi gorputz mugitzen dira bakoitza bere momentu linealarekin (p1, p2), talka
egiten dute, eta ondoren bi gorputzek (sistema) elkarturik segitzen dute (p1+2) (kotxe bat beste
batean enpotraturik gelditzen denean, adibidez). Kasu hontan, talka egiterakoan gorputz
bakoitzak besteari indar bat egiten dio, baina ariketak egiteko bakarrik momentu linealak
erabiliko ditugu. Adibidez bi autok talka egiten badute:
HASIERAN BUKAERAN
p1 p2
p1+2
12. Holako kasutan beti formula hau erabili beharko dugu:
p1 + p2 = p1+2
m1·v1 + m2·v2 = (m1+m2)·v
Formula honek esan nahi du talkaren aurreko momentu linealen batuketa, eta talkaren
ondoreko momentu linela, berdinak direla. Honengatik esaten da talketan momentu lineala
kontserbatzen dela.
Adibidez: Bi auto bata bestearen atzetik dabiltza. Atzekoa 100 kg-koa da eta 20 m/s
abiaduraz dabil, eta aurrekoa 300 kg-koa da eta 5 m/s abiaduraz dabil. Atzekoak aurrekoa
harrapatzen duenean, talka egin ondoren biak enpotraturik gelditzen badira, zenbateko
abiaduraz mugituko dira?
HASIERAN BUKAERAN
p1 p2
p1+2
m = 100 kg m = 300 kg
v = 20 m/s v = 5 m/s v?
m = 100 + 300= 400 kg
p1 + p2 = p1+2
m1·v1 + m2·v2 = (m1+m2)·v
100 · 20 + 300 · 5 = 400 · v
v= 8.75 m/s
Laugarren kasua: Gorputz bat bitan zatitzen denean.
Kasu hontan, hasieran gorputz bat dago (pH), eta gorputz hori bitan banatzen da (p1, p2).
Momentu lineala kontserbatzen da orain ere bai, eta honek esan nahi du hasieran eta bukaeran
momentu lineal osoa bera dela:
HASIERAN
BUKAERAN
p1 p2
pH
13. Holako kasuak gertatzen dira gorputz bat lehertzen denean, edo parte bat bereizten
zaionean (nik tiza bat bota). Holakotan erabili behar dugun formula da:
pH = p1 + p2
(m1+m2)·v = m1·v1 + m2·v2
AKZIO-ERREAKZIOAREN LEGEA.
Akzio-erreakzioaren legea: gorputz baten gainean indar bat aplikatzen bada, gorputzak
errakzionatzen du eta gorputzak berak beste indar bat sortzen du, guk eginiko indarra bezain
sendoa, eta kontrako noranzkokoa (aplikagune desberdinengatik ez dira anulatzen).
Unibertso osoan beti gertatzen da indar bat egiten denean (akzioko indarra), berehala
erreakzioko indarra agertzen dela. Honengatik indar bakanik ez dago, indarrak beti binakan
agertzen dira. Indarrak egon beharrean, elkarrekintzak daudela esaten da.
·) borradorea (pilota) pizarraren kontra (borradorea alde batera botata, alde hortara doa,
ikasleengana joateko ikasleenganako indarra, borradorea pizarraren kontra, zerk eragin du
errebotea?)
·) behatzean marka bat egin. Lehen ikasle batek neri, marka agertu ikasleak indarra egin
didalako. Gero nik mahaiaren kontra, marka agertu mahaiak indarra egin didalako.
·) kolpea arbelean, indarra arbelean, mina eskuan.
·) hegazkinak “a reacción”, erreakzio-hegazkinak
·) patinadorea izotz pista batean, ballaren kontra bultza egin eta patinadorea pista erdira
joan
·) ibai batean, barka barrutik ibai baztarraren kontra bultza egin eta barka ibai erdira doa
·) barkua (edo beste gorputz bat), ez ondoratzeko:
·) edozein gorputz azalera horizontal baten gainean baldin badago, pisuaren erreakzio-
indarra normala deitzen da (N). Normalik egongo ez balitz, bakarrik pisua existituko balitz,
boligrafoa mahaian ondoratuko litzateke uretan balego bezela:
P
14. Zenbait egoeratan (batzuk ikusiko ditugu) baskulak markatzen duena (N) eta gure pisua (P =
m g) ez dira berdinak.
·) gorputz bat gainazal horizontalean mugitzeko (zoruan, mahai gainean, ...) indar
bat egiten baldin badugu, agertzen den erreakzio-indarra marruskadura deitzen da.
Aireak, urak (gorputza urpean baldin badabil), zoruak edo beste edozein gainazalek
marruskadura egiten dute.
Marruskadura (R) indar bat da, N-etan neurtzen da, eta beti mugimenduaren kontra
dago, beti gorputza frenatzen du eta Dinamikaren oinarrizko legean bere zeinua beti
negatiboa da: F-R= m·a.
FR noranzko positiboanoranzko negatiboa
Marruskadura beharrezkoa da bizitza arrunterako. Marruskadurarik gabe dena irristatuko
litzake: mugitzen diren objektuek ezingo lukete frenatu beste objektu baten kontra txokatu
arte, platerak mahaitik eroriko lirateke, boligrafoak eskuetatik irristatuko lirateke, oinez ibili
beharrean beti irrist egiten ibiliko ginake, eta abar.
Gainazal batzuk latzak dira, eta hauetan marruskadura haundiagoa da. Beste gainazal
batzuk leunak dira, eta beste hauetan marruskadura txikiagoa da. Marruskadura oso txikia
bada, gainazal irristakorra da.
Gainazalaren laztasuna (edo leuntasuna) neurtzeko korfiziente bat erabiltzen da,
marruskadura-koefizientea “μ”. Marruskadura-koefizientea beti “1” baino txikiagoa da,
gainazal latzetan altuagoa, eta gainazal leunetan bajuagoa.
Marruskadura-indarra marruskadura koefizientearekin kalkulatzen da: R= μ · N
Aurten gainazal guziak horizontalak izanen direlako, gelditzen zaiguna honako hauda:
R= μ · m · g
Eta Dinamikaren oinarrizko ekuazioa hola gelditzen da:
F _ R= m · a
F _ μ · m · g = m · a
P
N N = P = m · g
