Partikula sistemen dinamika

1. 7. Partikula-sistemen
dinamika

2. 1.Sarrera
Orain arte  Partikula bakarreko problemak aztertu (inguru osoa F edo Ep batekin adierazi)
Orain  Partikula Sistema baten higidura aztertuko dugu.
N partikulaz osatutako sistema
Elkar indarrak
Sistema motak
Irekiak: masa galdu edo irabazi
Itxiak: masa ez galdu ez irabazi (KTEA)
hauek aztertuko ditugu
m1
m2
mN
mk
rN
rk
r1
r2
vk
x
y
z
k: partikula zenbakia, k = 1, 2, …, n
mk: partikula bakoitzaren masa
rk: part. bakoitzaren posizioa
vk: part. bakoitzaren abiadura
ak: part. bakoitzaren azelerazioa
Newton-en bigarren legea aplika
dakioke partikula bakoitzari:
2
k
2
kkk
k
Totk,
dt
rd
mam
dt
pd
F




• N partikula eta 3D  3N ekuazio diferentzial eskalar.
• Soluzioa: N higidura ekuazio.
• 3Nx2 = 6N konstante definitu behar hasierako baldintzetatik abiatuz.
Hau askotan ezin ebatzi  definituko ditugu: partikula sistemaren momentu lineala,
momentu angeluarra eta energia zinetikoa, eta hauen teoremak garatuko ditugu.

3. 2. Partikula-sistemen momentu linealaren
teorema. Masa-zentroaren kontzeptua.
2.1. Partikula sistema baten momentu linealaren teorema:
Partikula bakoitzari Newton-en 2. legea aplikatuz:
Newton-en 3.legea bete:
Defini dezagun sistemaren momentu lineal osoa:
Demagun 2 partikulaz osaturiko sistema eta bien arteko indarra baino ez dutela jasaten.
1
2
12F 

21F 

dt
pd
F 1
12


dt
pd
F 2
21


    tp,tp 21

indarra jasaten dutenez aldakorrak denboran zehar.
2112 FF  

 21
21
pp
dt
d
dt
pd
dt
pd 

0 hau da;    1 2p pt t kte 
rr r
ppP 21



4. 2. Partikula-sistemen momentu linealaren teorema. Masa-zentroaren kontzeptua
Kanpo indarrak egotekotan …
1
2
21F 

12F 

kan
1F

kan
2F

dt
pd
FF 1
12
kan
1

 
dt
pd
FF 2
21
kan
2

 
Newton-en 2. legea aplikatuz:
Nola 2112 FF  

Kanpo indarren erresultantea
Partikula sistema baten
momentu linealaren
teorema
Momentu lineala ez da ktea
Momentu linealaren kontserbazio teorema:
Kanpo indarren erresultantea nulua bada (Fkan = 0)  momentu lineal totala
kontserbatzen da.

5. Masa zentroa:
M
rm
R
N
1k
kk






N
1k
kmM
k-garren partikularen masa
k-garren partikularen posizio bektorea
Sistemaren masa osoa:
Masa banaketa jarraitua baldin badaukagu: nonM
r dm
R
M



r
r
M
M dm 
Adib:
MZ
m m
MZ
m´ m>
MZ
  
Partikulak mugitzen badira MZ-aren posizioa ere aldatuko da denborarekin  tR

2.2. Masa zentroa
Teorema honen ondorioz, Masa-Zentroa delako puntu bat defini daiteke zeinen abiadura VMZ
bider M:
1
1
=
N
k kN
k
MZ k k MZ
k
m v
P MV m v V
M


  


r
r r rr
10 m
2 kg 1 kg
2
2
MZ MZ
MZ
dV d R
A
dt dt
 
r r
r
izango denez…
1 2 kg ·0 m 1 kg ·10 m
3.33
2 1
N
i i
i
MZ
m x
X m
M



  



6. 4. Partikula-sistema baten masa-zentroaren kontzeptua: masa-zentroaren higidura
Momentu linealaren teoremaren honela idatz daiteke:
AM
dt
Vd
M
dt
Pd
F kan




Partikula-sistema baten masa zentroaren higidura, partikula soil bat balitz
bezalakoa da.
zeinen masa totala M den
0kan
F 
rr
kteMZV 
uuurr
beraz, bada, orduan:

7. Barne indarrek Newton-en legea betetzen dutenez, bikoteka baliogabetuko dira
eta beraz:
: partikula-sistema baten momentu angeluar totala jatorriarekiko.
Momentu angeluarraren kontserbazio teorema:
Kanpo indar momentuen erresultantea nulua bada (M0
kan = 0)  momentu angeluar
totala kontserbatzen da.
oL

kan
oM

: kanpo-indarren momentu totala jatorriarekiko.
dt
Ld
M okan
o



Partikula sistema baten momentu
angeluarraren teorema
0 0kan o
o o
dL
M L kte
dt
    
r
r rr r r
3. Partikula-sistema baten momentu
angeluarraren teorema.

8. Ez: Sistemaren energia zinetiko totala
Wbar: Barne-indarren lan totala definituz…
Wkan: Kanpo-indarren lan totala
z
barkan
EWW 
Partikula sistema baten
energiaren teorema
Orokorrean, barne indarren lan totala ez da deuseztatuko.
1
2
12F 

21F 

1rd

2rd

        2211122112
bar
rdFrdFFdWFdW2,1dW

  0  1221 rdrdF

4. Partikula-sistema baten energiaren
teorema

9. 5. Talkak
Bi partikula elkar hurbiltzen direnean talka egin dezakete.
bai kontaktu fisikoz bai kontaktu fisikorik gabe
Talka guztietan: momentu eta energia trukea bi partikulen higidurak aldatu.
Beraz, talka bat, partikulen arteko interakzio bat da zeinetan momentu eta energia
trukea gertatzen den.
Talka gertatzen ari den bitartean, sistema isolatutzat hartu daiteke: 0F kan


P kte
r r
Momentu lineala kontserbatzen da!!
2121 'p'ppp


Kanpo indarrik ez dagoenez  Wkan = 0  Wbar = Ez
- Talka elastikoa: Ez = 0 (ktea)
- Talka inelastikoa: Ez ≠ 0
- Talka erabat inelastikoa edo plastikoa: talkaren ostean itsatsita geratzen direnean.

10. 3. Talkak
Talkan gertatzen den energia-aldaketa Q faktore batez adierazi:
Q = 0  Elastikoa
Q ≠ 0  Inelastikoa
• Kasu berezia: 1D
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
' ' '
2 2 2 2
z z zQ E E E m v m v m v m v      
Q < 0  1 motako inelastikoa (endoergikoa)
Q > 0  2 motako inelastikoa (exoergikoa)
v2v1 x
P kte
r r
2x21x12x21x1 v'mv'mvmvm 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
' - ' ' - -
2 2 2 2
z z z x x x xQ E E E m v m v m v m v   
Sistema ebatzi
Ekuazio koadratiko honen ordez erabili daiteke.   1x2x1x2x vvev'v' 
Newton-ek esperimentalki lortutako ek.
- Talka elastikoa: e = 1
- Talka inelastikoa: e ≠ 1
- Talka plastikoa: e = 0
Itzultze koefizientea

11. 6. Partikula-sistema baten higiduraren
deskonposaketa: masa-zentroaren higidura
eta barne higidura
Demagun 2 sistema ezberdin baina masa berekoak era kanpo indar berdinen eraginpean.
Bien MZ-ek higidura berdina deskribatu
MZ
MZ
Urrutitik behatzean  partikula puntual bat  MZ-aren transalazioa behatu.
Hurbiletik behatzean  MZ-aren inguruan ere higidura dagoela ikusi.

12. 5. Partikula-sistema baten higiduraren deskonposaketa: masa-
zentroaren higidura eta barne higidura
'LVMRLo


z
2
z E'VM
2
1
E 
VMP


Idatz dezakegu:
MZ-aren inguruko barne higiduraren kontribuzioa
MZ-aren translazioaren kontribuzioa
dt
'Ld
M kan
MZ



Froga daiteke:
L’: sistemako partikula guztien momentu angeluarren batura bektoriala MZ-rekiko
Ez’: sistemako partikula guztien energia zinetikoaren batura MZ-rekiko
p’ = 0: sistemako partikula guztien momentu linealaren batura MZ-rekiko