partikularen dinamika

1. 5. Partikularen dinamika
orokorra

2. 1. Dinamikaren helburu nagusia: Higiduraren
ekuazioa eta hasierako baldintzak
Oinarrizko problema: ezagutuz r(t) eta v(t) zehaztu.
Higidura ekuazioa:
F

Newton-en bigarren legetik: 2
2
dt
rd
mam
dt
vd
mF



===
2
2
dt
rd
m)t,v,r(F


= 2. mailako ek. dif.
Baldin hasierako baldintzak eta orduan:
ezagutzen badugu ere ezagutu, beraz:
0 0
0 0
( )
( ) ( )
t t
t t
F t
v t v a t dt v dt
m
= + = +∫ ∫

   
0
0( ) ( )
t
t
r t r v t dt= + ∫
  
Orokorrean ez dugu ezagutzen baizik eta . Gai honetan ikasiko dugu nola
ebatzi problema bakoitza indar motaren arabera.

3. Momentu lineala: partikula baten masa eta abiaduraren arteko biderkadura:
2. Momentu linealaren, momentu
angeluarraren eta energiaren teoremak
1 Momentu linealaren teorema
kg m/svmp

=
Beraz, Newton-en 2. legea berridatziz:
( )dv d mv dp
F ma m
dt dt dt
= = = =
    Momentu linealaren teorema
modu diferentzialean.
“Partikula baten momentu linealaren aldaketa denborarekiko =
partikulak jasaten duen indar erresultantea”
Integratuz…
kg m/s
non bulkada lineala den.
Momentu linealaren kontserbazio-teorema:
“Partikula batek jasaten dituen indarren
erresultantea nulua bada, partikularen
momentu lineala kontserbatuko da”

4. prL0

×=
2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren
teoremak
Momentu angeluarra 0-puntu batekiko:
2 Momentu angeluarraren teorema
kg m2
/s
Indar momentua 0-rekiko
(r eta F-rekiko perpendikularra)
“Partikula baten momentu angeluarraren aldaketa denborarekiko, partikulak jasaten
dituen indarren momentu erresultantearen berdina da”
Momentu angeluarraren kontserbazio-teorema:
“Partikula batek jasaten duen indar momentua nulua bada, partikularen momentu
angeluarra kontserbatuko da”
O
O’
'oL

oL

r

'r

p

{ }Newtonen 2. legeao
o
dL dr dp
p r v p r F r F M
dt dt dt
= × + × = = × + × = × =
          
Deribatuz…
0
Kontserbatzen da!!

5. 2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren
teoremak
3 Energiaren teorema
O
C
1 2
θ
F

dr
 TF
 Partikula batek C ibilbidea deskribatzen du F indar
baten pean
Lan infinitesimala definituz:
cos TdW F dr F dr F drθ= × = =
 
indarra ibilbidearekiko
perpend bada  lana nulua
indarraren osagai
tangentziala
Lan totala:
2
1
r
r
W F dr= ×∫


 
J = kg m2
/s2
Lan totala ibilbidearen menpekoa da.
Def. Aldiuneko potentzia: denbora unitateko indar batek egiten duen lana.
dW dr
P F F v
dt dt
= = × = ×
  
J/s = Watt = W = kg m2
/s3
Def. Energia zinetikoa:
21
2
cE m v= J = kg m2
/s2
Magnitude eskalarra

6. 2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren
teoremak
3 Energiaren teorema
Potentzia berridatziz … 21 1
( )
2 2
zdEdv d d
P F v m v m v v mv
dt dt dt dt
 
= × = × = × = = ÷
 
rr r r r r
Energiaren
teoremaren forma
diferentziala
“Partikula batek jasaten duen indar erresultantearen potentzia, partikularen energia
zinetikoaren denborarekiko aldaketaren berdina da”
Integratuz…
2 2 2
2 1
1 1 1
z
z
E t r
z z z z
E t r
E E E dE Pdt F dr W∆ = − = = = × =∫ ∫ ∫
r
r
r r
Partikula batek jasaten duen indar erresultantearen
lana, partikularen energia zinetikoaren aldaketan
erabiltzen da.
Energia zinetikoaren
kontserbazio teorema!

7. 2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren
teoremak
Teorema Enuntziatua Baldintza Kontserbatzen den
magnitudea
Momentu linealaren
teorema
Dif:
Integ:
Momentu
angeluarraren
teorema
Dif:
Energiaren teorema
Dif:
Integ:

8. 3. Posizioaren menpeko indarrak. Indar
kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia
mekanikoaren kontserbazioa.
motakoa denean  ebazten zaila.
Higidura deskribatzeko W eta Ez erabiliko ditugu.
2 2
1 1
2
2 1
1
( )
t t
z
z z
t t
dE
W F r dr P dt dt E E
dt
= × = = = −∫ ∫ ∫
r r r Erabilgarria da lanaren
kalkulua ibilbidea ezagutu
gabe egin daitekeenean.
Badaude naturan indarrak zeinen lana ibilbidearen
independentea den
Indar Kontserbakorrak
“Partikula batek bi posizioren artean transaldatzeko
behar duen lana, bi posizio horien menpekoa da bakarrik”
C’
2
C
O
1 F
r
F
r
1r
r
2r
r
rd
r
rd
r
Energia potentzialapdErd)r(F −=⋅
rrr
Energia potentzialen arteko ezberdintasunak baino ez dauka zentzu fisikorik (Ep=0) posizio bat aukeratu.

9. 4. Posizioaren menpeko indarrak. Indar kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia
mekanikoaren kontserbazioa.
Adibideak:
1. Indar elastikoa malgukietan: ikxF ˆ−=
r
x
ikxF ˆ−=
r
idxrd ˆ=
r
2 2 2
2
1
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
x x x
x
p p p x
x x x
dE E x E x F dr kx dx k x kx kx= − = − × = = = −∫ ∫ ∫
r r
Baldin x1 = 0 non Ep(x1) = 0 eta x2 = x, orduan: 2
2
1
)( kxxEp =
Energia potentzialaren jatorria
2. Indar grabitarorioa: ˆF m gk= −
r
kˆdzrd =
r
z
ˆF m gk= −
r
dz)mg(rdFdEp −−=⋅−=
rr
2 2
2
1
1 1
2 1 2 1( ) ( )
z z
z
p p p z
z z
dE E z E z mg dz mg z mgz mgz= − = = = −∫ ∫
Baldin z1 = 0 non Ep(z1) = 0 eta z2 = z, orduan: mgz)z(Ep =
Energia potentzialaren jatorria

10. 4. Posizioaren menpeko indarrak. Indar kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia
mekanikoaren kontserbazioa.
Ibilbidea itxia denean:
Partikulak jasaten duen indar totala kontserbakorra denean:
pz EEW ∆∆ −==
( ) 0z pE E E∆ ∆+ = =
21
( ) ( )
2
z p pE E E r mv E r kte= + = + =
r r
Partikularen ENERGIA MEKANIKOA
Indar eremu
kontserbakorrean
E = kte E kontserbatzen da!!
Partikulak indar kontserbakor eta ez kontserbakorrak aldi berean jasaten dituenean:
EKK FFF
rrr
+=
2
1
( ) zW F r dr E= × = ∆∫
r r r
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) K EK K EK p EK zW F r dr F F dr F dr F dr E W E= × = + × = × + × = −∆ + = ∆∫ ∫ ∫ ∫
r r r r rr r r r r
EKpz WE)EE( ==+ ∆∆ E ez da kontserbatzen!!

11. 4. Indar kontserbakorrak. Higidura zuzena.
Energia potentzialaren kurba hipotetikoak informazio asko ematen digu:
pdEdxxF −=)(
dx
dE
xF
p
−=)(
xD
xB
A
J
I
H
GED
CB
E1
E3
Ep
(x)
x
E4
E2
F
Ep max edo min den puntuetan (F, A, H)
0=
dx
)x(dEp
0iˆ)x(FF x

==
OREKA
A eta H  OREKA EGONKORRA (min)
F  OREKA EZEGONKORRA (max)
Em = E1 denean v = 0 (geldirik) x = xA puntuan.
Em = E2 denean higidura mugatua xB < x < xC tartean.
xB eta xC puntuetan v = 0
E2 = Ep(xB) = Ep(xC)  Ez = 0
Itzulera puntuak
Em = E3 denean higidura mugatua
xD < x < xE
xG < x < xI
Tarte batean badago ezin da bestera
pasatu; EZIN DU POTENTZIAL-HESIA
GAINDITU!!
Em = E4 denean xJ < x (Ezin da gehiago
hurbildu koordenatu jatorrira).
Nola Em = Ez + Ep …

12. 5. Indar zentralak. Grabitazioa.
Indar eremu bat zentrala da, bere norabidea 0 puntu finko batetik pasatzen bada beti.
INDAR EREMUAREN ZENTROA
Idatz dezakegu: ( ) ( ) rˆrfrF

=
O
F

F

r

r

ˆr
ˆr
Indar momentua 0-rekiko:
0rˆ)r(fr)r(FrM0

=×=×=
Hortaz,
Momentu angeluarraren
teorema!!
Baldin eta beti plano berdinean egongo dira, .
IBILBIDE LAUA
Gainera, eremu kontserbakorra bada (eremu grabitatorioa, elektrostatikoa, …)
kte(r)Emv
2
1
E p
2
=+= Em kontserbatu baita ere!!

13. 6. Indar zentralak. Grabitazioa.
Indar grabitatorioa:
• Kasu bereziki garrantzitsua.
• Indar zentral erakargarria distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala:
r
r
GMm
rF ˆ)( 2
−=
 2211
KgNm10x67.6G −−
=
M >>> m
0-n
finkoa
Indar honi dagokion Ep:
Ktea
r
GMm
mvE =−= 2
2
1
Beraz, Energia mekanikoa:

14. 6. Indar zentralak. Grabitazioa.
Froga daiteke partikularen ibilbidea (orbita) kurba konika bat dela:
Elipsea
F1Zirkunferentzia
Parabola
Hiperbola
E < 0 (kurba itxiak)
E > 0 (kurba irekiak)
Indarraren zentroa
kurbaren foku batean
dago
Ihes abiadura: E > 0 denean  v = vihes
R
GM
v
2
≥
M = 6x1024
kg
R = 6400 km
Lurran vihes = 11.2 km/s
M = 1.9x1027
kg
R = 70000 km
Jupiterren vihes = 60 km/s
M = 6.6x1023
kg
R = 3400 km
Marten
vihes = 5.1 km/s

15. 6. Indar zentralak. Grabitazioa.
Kepler-en legeak:
1. legea: Planeten orbitak eliptikoak dira eta Eguzkia foku batean dago. INDAR ZENTRALA.
2. legea: Planeta baten posizio bektoreak denbora unitateko orrazten duen elipsearen
azalera berdina da. MOMENTU ANGELUARRAREN KONTSERBAZIOA.
dtL
m2
1
dtvmr
m2
1
dtvr
2
1
dA =×=×=

kte
Denbora unitateko
orraztutako azalera
ktea da.
3. legea: non T biraketa periodoa eta a ardatz-erdi nagusia diren.
Kepler-en legeak
Frogapena (orbita zirkular batentzat): zirkunferentziaren perimetroa
Errotazio periodoa
dtv

r


16. x0
m
z
m
m
z
6. Abiaduraren menpeko indarrak
ezaguna bada 0 0
0 0
( )
( ) ( )
t t
t t
F t
v t v a t dt v dt
m
= + = +∫ ∫
r
r r r r
0
0( ) ( )
t
t
r t r v t dt= + ∫
r r r
ezaguna bada eta gainera eta paraleloak eta aurkako noranzkokoak.
ˆn
F kv v= −
r n = 1  Abiadura baxuak (v < 25 m/s)
n = 2  Abiadura altuak
Fluido likatsu batean
higitzen ari den objektu
batenganako
marruskadura indarrak
Adibideak:
kv−
r
0v
r
0v
r
kv−
r
mg
r
0v
r
mg
rkv−
r
a) v0 abiadura horizontalaz m
partikula baten higidura
b) v0 abiaduraz beherantz
botatzen dugun m partikula
c) v0 abiaduraz gorantz botatzen
dugun m partikula
dv
kv m
dt
− =
dv
mg kv m
dt
− = dv
mg kv m
dt
− − =
0
Abiadura limitea
16. Ariketa

17. 0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60
x(m) t (s)
3. Abiaduraren menpeko indarrak
a) Kasua ebatziko dugu: v0 hasierako abiadura horizontalaz m masadun partikula baten
higidura
dv
kv m
dt
− = integratu behar dugu.
Horretarako lehenengo aldagaiak banatu behar ditugu:
00
t v
v
k dv
dt
m v
− =∫ ∫
0
ln
k v
t
m v
 
− =  ÷
 
0
k
t
m
v v e
−
=
Abiaduraren modulua
esponentzialki gutxitzen da.
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15 20 25 30 35 40
v(m/s)
t (s)Eta x kalkulatzeko:
dx
v
dt
= 0
0 0
x t t k
t
m
o
dx vdt v e dt
−
= =∫ ∫ ∫
0
1
k
t
m
mv
x e
k
− 
= − ÷
 
Partikula gero eta astiroago doa
-n gelditu arte.
0mv
x
k
=
Eta t desagerrarazteko … *