2. 1.Sarrera
Orain arte Partikula bakarreko problemak aztertu (inguru osoa F edo Ep batekin adierazi)
Orain Partikula Sistema baten higidura aztertuko dugu.
N partikulaz osatutako sistema
Elkar indarrak
Sistema motak
Irekiak: masa galdu edo irabazi
Itxiak: masa ez galdu ez irabazi (KTEA)
hauek aztertuko ditugu
m1
m2
mN
mk
rN
rk
r1
r2
vk
x
y
z
k: partikula zenbakia, k = 1, 2, …, n
mk: partikula bakoitzaren masa
rk: part. bakoitzaren posizioa
vk: part. bakoitzaren abiadura
ak: part. bakoitzaren azelerazioa
Newton-en bigarren legea aplika
dakioke partikula bakoitzari:
2
k
2
kkk
k
Totk,
dt
rd
mam
dt
pd
F
• N partikula eta 3D 3N ekuazio diferentzial eskalar.
• Soluzioa: N higidura ekuazio.
• 3Nx2 = 6N konstante definitu behar hasierako baldintzetatik abiatuz.
Hau askotan ezin ebatzi definituko ditugu: partikula sistemaren momentu lineala,
momentu angeluarra eta energia zinetikoa, eta hauen teoremak garatuko ditugu.
3. 2. Partikula-sistemen teoremak: momentu
lineala, momentu angeluarra eta energia
2.1. Partikula sistema baten momentu linealaren teorema:
Partikula bakoitzari Newton-en 2. legea aplikatuz:
Newton-en 3.legea bete:
Defini dezagun sistemaren momentu lineal osoa:
Demagun 2 partikulaz osaturiko sistema eta bien arteko indarra baino ez dutela jasaten.
1
2
12F
21F
dt
pd
F 1
12
dt
pd
F 2
21
tp,tp 21
indarra jasaten dutenez aldakorrak denboran zehar.
2112 FF
21
21
pp
dt
d
dt
pd
dt
pd
0 hau da; 1 2p pt t kte
ppP 21
4. 2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia
Kanpo indarrak egotekotan …
1
2
21F
12F
kan
1F
kan
2F
dt
pd
FF 1
12
kan
1
dt
pd
FF 2
21
kan
2
Newton-en 2. legea aplikatuz:
Nola 2112 FF
Kanpo indarren erresultantea
Partikula sistema baten
momentu linealaren
teorema
Momentu lineala ez da ktea
Momentu linealaren kontserbazio teorema:
Kanpo indarren erresultantea nulua bada (Fkan = 0) momentu lineal totala
kontserbatzen da.
5. Barne indarrek Newton-en legea betetzen dutenez, bikoteka baliogabetuko dira
eta beraz:
2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia
: partikula-sistema baten momentu angeluar totala jatorriarekiko.
Momentu angeluarraren kontserbazio teorema:
Kanpo indar momentuen erresultantea nulua bada (M0
kan = 0) momentu angeluar
totala kontserbatzen da.
2.2. Partikula-sistema baten momentu angeluarraren teorema:
oL
kan
oM
: kanpo-indarren momentu totala jatorriarekiko.
dt
Ld
M okan
o
Partikula sistema baten momentu
angeluarraren teorema
0 0kan o
o o
dL
M L kte
dt
6. 2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia
2.3. Partikula-sistema baten energiaren teorema:
Ez: Sistemaren energia zinetiko totala
Wbar: Barne-indarren lan totala definituz…
Wkan: Kanpo-indarren lan totala
z
barkan
EWW
Partikula sistema baten
energiaren teorema
Orokorrean, barne indarren lan totala ez da deuseztatuko.
1
2
12F
21F
1rd
2rd
2211122112
bar
rdFrdFFdWFdW2,1dW
0 1221 rdrdF
7. 3. Talkak
Bi partikula elkar hurbiltzen direnean talka egin dezakete.
bai kontaktu fisikoz bai kontaktu fisikorik gabe
Talka guztietan: momentu eta energia trukea bi partikulen higidurak aldatu.
Beraz, talka bat, partikulen arteko interakzio bat da zeinetan momentu eta energia
trukea gertatzen den.
Talka gertatzen ari den bitartean, sistema isolatutzat hartu daiteke: 0F kan
P kteMomentu lineala kontserbatzen da!!
2121 'p'ppp
Kanpo indarrik ez dagoenez Wkan = 0 Wbar = Ez
- Talka elastikoa: Ez = 0 (ktea)
- Talka inelastikoa: Ez ≠ 0
- Talka erabat inelastikoa edo plastikoa: talkaren ostean itsatsita geratzen direnean.
8. 3. Talkak
Talkan gertatzen den energia-aldaketa Q faktore batez adierazi:
Q = 0 Elastikoa
Q ≠ 0 Inelastikoa
• Kasu berezia: 1D
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
' ' '
2 2 2 2
z z zQ E E E m v m v m v m v
Q < 0 1 motako inelastikoa (endoergikoa)
Q > 0 2 motako inelastikoa (exoergikoa)
v2v1 x
P kte 2x21x12x21x1 v'mv'mvmvm
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
' - ' ' - -
2 2 2 2
z z z x x x xQ E E E m v m v m v m v
Sistema ebatzi
Ekuazio koadratiko honen ordez erabili daiteke. 1x2x1x2x vvev'v'
Newton-ek esperimentalki lortutako ek.
- Talka elastikoa: e = 1
- Talka inelastikoa: e ≠ 1
- Talka plastikoa: e = 0
Itzultze koefizientea
9. 4. Partikula-sistema baten masa-zentroaren
kontzeptua: masa-zentroaren higidura
Masa zentroa:
M
rm
R
N
1k
kk
N
1k
kmM
k-garren partikularen masa
k-garren partikularen posizio bektorea
Sistemaren masa osoa:
Masa banaketa jarraitua baldin badaukagu: nonM
r dm
R
M
M
M dm
Adib:
MZ
m m
MZ
m´ m>
MZ
Partikulak mugitzen badira MZ-aren posizioa ere aldatuko da denborarekin tR
1 1 1 1
( (22) ek.)
N N N N
k
k k k k k k
k k k k
dr d d
P p m v m m r M R
dt dt dt
VM
dt
Rd
M
M
rm
R
N
1k
kk
Masa zentroaren abiadura
M ez da t-rekin aldatzen
10. 4. Partikula-sistema baten masa-zentroaren kontzeptua: masa-zentroaren higidura
Momentu linealaren teoremaren arabera:
AM
dt
Vd
M
dt
Pd
F kan
Masa zentroaren azelerazioa
Partikula-sistema baten masa zentroaren higidura, partikula soil bat balitz
bezalakoa da.
zeinen masa totala M den
11. 5. Partikula-sistema baten higiduraren
deskonposaketa: masa-zentroaren higidura
eta barne higidura
Demagun 2 sistema ezberdin baina masa berekoak era kanpo indar berdinen eraginpean.
Bien MZ-ek higidura berdina deskribatu
MZ
MZ
Urrutitik behatzean partikula puntual bat MZ-aren transalazioa behatu.
Hurbiletik behatzean MZ-aren inguruan ere higidura dagoela ikusi.
12. 5. Partikula-sistema baten higiduraren deskonposaketa: masa-
zentroaren higidura eta barne higidura
'LVMRLo
z
2
z E'VM
2
1
E
VMP
Idatz dezakegu:
MZ-aren inguruko barne higiduraren kontribuzioa
MZ-aren translazioaren kontribuzioa
dt
'Ld
M kan
MZ
Froga daiteke:
L’: sistemako partikula guztien momentu angeluarren batura bektoriala MZ-rekiko
Ez’: sistemako partikula guztien energia zinetikoaren batura MZ-rekiko
p’ = 0: sistemako partikula guztien momentu linealaren batura MZ-rekiko