0 introd. of electromagnetic

Recall of Electromagnetism
Oleh,Oleh,
DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.
Program MagisterProgram Magister
Peminatan Teknik ElektroPeminatan Teknik Elektro
Institut Sains dan Teknologi NasionalInstitut Sains dan Teknologi Nasional
Tahun 2009Tahun 2009

8 Maret 2006 2
BIOGRAFI SINGKAT
A. Name : Taswanda TARYO
Place and date of Birth : Tasikmalaya, March 28, 1956
E-mail address : otantaryo@gmail.com
B. Education:
1. Bandung Institute of Technology (ITB), Department of Physics,
Grade S-1, 1976 – 1981, Grade Good
2. University of New Brunswick (UNB), Canada, Department of
Chemical Engineering, Grade Master of Science in Engineering,
1989 – 1991, Grade Excellent.
3. Gadjah Mada State University (UGM), Faqulty of Mathematics
and Natural Sciences, Doctor Degree (DR.), 1998-2003,
Grade Cum Laude

8 Maret 2006 3
C. JOB EXPERIENCES
1. Joined BATAN in 1982
2. 1992-1999 Manager of Reactor Technology BATAN
3. 2005 Director of Nuclear Safeguards Technology
4. 2006 Director of Reactor Technology and Nuclear
Safety
1. 2006-2008 Director of Nuclear Science and Technology
Dissemination
6. 2008-Now Deputy Chairman of BATAN
7. 2011 President Commissioner of PT Batan
Technology

8 Maret 2006 4
Recall of Electromagnetism
• Tujuan Instruksi umum :
• Pada akhir semester mahasiswa diharapkan dapat
mengaplikasikan MK ini pada hal nyata di lapangan.
• Tujuaan Intruksional Khusus :
• diharapkan mahasiswa mengerti :
• Persamaan Maxwell untuk gelombang datar
• Daya, perhambatan, pemantulan dan polarisasi
gelombang.
• Persamaan dan parameter saluran transmisi.
• Analisa dan penentuan medan elaktro statik
dengan analogi.
• Aplikasi Persamaan Maxwell.

8 Maret 2006 5
Daftar Pustaka :
 Semua buku Electromagnetics
 Electromagnetic Surface Mode, Broadman.
 Hayt, W, “Eng. Electromagnetics”,
 D. Krauss, “Electromagnetics”, Mc. Graw Hill, 1992
 E.R. Peck, Electromagnetism, &
 Buku-buku yang sejenis.
 Grading:
• Tugas, UTS (bila ada), UAS.
• Tugas bisa juga short presentation

8 Maret 2006 6
Recall of Elecromagnetism
 Gaya electromotif Gerak:
• Dalam eksp. bahwa gaya electromotif (emf) timbul dalam
sebuah konduktor apabila konduktor tersebut digerakkan
melewati sebuah medan magnet
• Konduktor bergerak dalam sebuah medan magnet
• Anggap gerak meluncur sejajar dgn rel dan kond ⊥ thd rel.

8 Maret 2006 7
 Rel disiapkan untuk memberikan arus I terhadap
gerakan konduktor dengan sumber emf εo
• Bn ⊥ bidang menuju keluar (  ).
• Maka : F searah luncuran
dan
dengan catatan I + ke kanan.
• Misal Bn ditimbulkan oleh magnet permanen,
maka usaha / kerja sejauh ∆ x akan menjadi.
•
• Dalam kasus ini, baterei εo akan memberikan
panas Joule apabila tidak ada gerakan emf.
)1......(..............................lBnF Ι=
)2.....(..........xlBnxFW ∆Ι=∆•=∆

8 Maret 2006 8
 Untuk memenuhi prinsip kekekalan energi, kita harus
definisikan I tetap .
• Kalau demikian, maka adanya tambahan emf ε’av. harus
dipasok selama gerakan tersebut, apabila jarak ∆× terjadi
selama waktu ∆ι , yaitu :
• Dgn kombinasi pers 2 & 3 , maka
• Dgn emf ε’ sesaat terjadi ∆t→ο , maka
Yang sama dengan kecepatan sesaat konduktor, V.
)3........(..............................' Wtav ∆=∆Ιε
)4(........................................'
t
x
lBnav
∆
∆
=ε
dt
dx
t
x
≅
∆
∆

8 Maret 2006 9
 Ingat ε’ bukanlah emf gerak itu sendiri, tetapi emf baterei
tambahan .
• Jadi emf gerak :
dari
• dalam vektor :
atau
• Juga :
•
Daya :
• Dengan konservasi energi = kehilangan daya listrik -εΙ,
karena emf .
)6......(............................... VB

×=ε
)7(................................................... VB ×=ε
)8..(......................................... BIFm ×= 
)9.........(...................... VBIVFP m ×== 
)5....(........................................vBn−=ε
dt
dx
Bn='ε

8 Maret 2006 10
• Maka :
atau
• Ingat : adalah gaya dari sebuah muatan q
yang terjadi karena medan magnet B,
dan adalah energi yang dimasukkan ke RL
dengan proses reversible, apabila muatan q mengalir
melewati konduktor jalan.
)10.......(..................... VBII ×=− ε
)11.....(...............................BV ×=ε
BVq ×
BVq ×

8 Maret 2006 11
 Emf dan Fluks Magnet .
(Hukum Faraday tentang induksi elektromagnet)
• Dari sebelumnya
v : area per unit waktu ( Konduktor ).
• Maka :
s - permukaan yang melewati Flux yang dihitung
da- elemen s
n - vektor normal
)12.....(..........
.
daBn
danB
s
s
∫
∫
=
=φ

8 Maret 2006 12
 Dengan demikian besaran Bnv dapat diartikan
sebagai tambahan flux baru persatuan waktu, atau
dapat ditulis
• Dalam eksperimen Emf timbul sejalan dengan
perubahan flux.
• Misal, galvanometer dilewatkan oleh magnet yang
digerakkan, maka I exists .
)13.(........................................
dt
dφ
ε −=

8 Maret 2006 13
 Induksi diri
dalam sebuah sirkuit
kita tahu :
Maka :
Akhirrnya :
( )If=φ
)14.(..............................
dt
d
L
φ
=
( )15..........................
dt
dI
L
dt
dI
dI
d
=
φ
)16....(..............................
dt
dI
Lmf −=εε
.
sec
111
Amp
volt
A
w
Henry
−
==
( )17...................
/
:
dtdI
LOr
ε
−=

8 Maret 2006 14
• Digunakan untuk seluruh sirkuit, ε adalah emf untuk/
sekitar sirkuit ,
yaitu :
• dalam 2 titik, sebut ε12 (antara titik 1 dan 2 ),
akhirnya induksi:
)18(.........................................∫=
caround
dE ε
( )19...............................................
2
1
12 dEm∫=ε
( )18...................
/
12
12
dtdI
L
ε
−=

8 Maret 2006 15
Sifat-Sifat Bahan
Magnetik
Oleh,Oleh,
DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.
TTahun 2009ahun 2009

8 Maret 2006 16
 Bahan-bahan magnetik dapat dilihat
sifatnya dengan menyelidiki bagaimana
sifat medan magnet dalam sebuah loop
arus
 Hal tersebut dapat dilihat dalam model
sederhana dari sebuah atom dan
mencapai sifat dari tipe dan material di
dalam medan magnet.

8 Maret 2006 17
 Hal lain juga adalah melalui analisis kuantitatif teori
kuantum
 Sebuah elektron orbiter terlihat mempunyai momen
magnet M dengan arah sama seperti medan magnet Bo.
 Medan magnet menghasilkan gaya keluar terhadap
elektron orbiter.
m
v
⊕Bo Bo

8 Maret 2006 18
 Karena radius orbital tidak berubah, maka gaya Coulomb
kedalam berupa tarik - menarik juga tak berubah.
 Apabila kita mempunyai sebuah atom dimana m dan Bo
berlawanan, maka gaya magnetik ke dalam, kecepatan
meningkat, momen orbital meningkat juga, dan Bo yang
lebih besar akan terjadi lagi. Medan E internal akan terjadi
• Material dengan efek diamagnetik .
– Bi . Cu
– H . An
– He . Si
– NaCl . Ge dan lain-lain.

8 Maret 2006 19
 Efek diamagnetik berada dalam seluruh material.
 Hal tsb timbul akibat interaksi medan magnit eksternal
dengan setiap elektron orbital,
 Apabila ada penambahan dalam B, maka cenderung
paramagnetik O , Tu, NeO, dan lain-lain,
 Feromagnetik, antiferomagnetik, ferrimagnetik, super
paramagnetik mempunyai momen atom yang kuat.

8 Maret 2006 20
 Kita lihat:
 Perubahan medan magnet terhadap waktu menghasilkan
medan listrik .
 Hukum Ampere tentang sirkuit
 Agar tidak bergantung waktu, maka setiap sisi :
( )1............................................
t
B
E
∂
∂
−=×∇
( )2..................JH =×∇
( )3...................... JOH ∇=≅×∇∇

8 Maret 2006 21
 Ingat persamaan kontinuitas
 Pers (2) akan benar apabila,
 Agar bisa menerima persamaan bergantung waktu, kita
tambahkan besaran G .
Maka
( )4...................
t
V
J
∂
∫∂
−=∇
( )5.........../ otv =∂∫∂
GJ
GJH
.. ∇+∇=∇
+=×∇
t
V
G
∂
∫∂
=∇.

8 Maret 2006 22
• Pergantian dgn
• Maka sehingga,
dimensi:
- didefinisikan sebagai displacement
current density
∫V ..D∇
( ) ....
t
D
D
t
G
∂
∂
∇=∇
∂
∂
=∇
.
t
D
G
∂
∂
= .
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
dJ
t
D
m
A
t
D
=
∂
∂
=
∂
∂
2
.
t
D
J
JJH
d
d
∂
∂
=→
+=×∇∴

Revisi: 8 Maret 2006 23
Magnetisasi dan Permeabilitas
DR. Taswanda Taryo, M.Sc.Eng.
Tahun 2009Tahun 2009

Mari kita lihat magnetisasiMari kita lihat magnetisasi kaitannya dengan momen dipolkaitannya dengan momen dipol
magnet .magnet . ΙΙbb adalah arus yang meliputi sirkuit pada area keciladalah arus yang meliputi sirkuit pada area kecil
,, sehingga:sehingga:
Jika ada n dipole magnit per unit volume,Jika ada n dipole magnit per unit volume, ∆ν∆ν, maka, maka
menjadimenjadi
Kita definisikan magnetisasi sebagai momen dipole magnit perKita definisikan magnetisasi sebagai momen dipole magnit per
unit volume,unit volume,
Kuliah ke 3
Magnetisasi dan Permeabilitas
M

M

m

)1.(............................................................SdIm b

=
Sd

)2(..................................................
1
∑
∆
=
=
νn
i
itotal mm

totalm

M

)3...(........................................
1
10
lim ∑
∆
=→∆ ∆
=
ν
ν ν
n
i
imM


dan kita lihat satuannya sama dengan , medan magnit,dan kita lihat satuannya sama dengan , medan magnit,
serta lihat gambar berikut:serta lihat gambar berikut:
Maka:Maka:
Maka untuk seluruh kontur:Maka untuk seluruh kontur:
Sekarang akan kita lihat hubungan antara dan ,Sekarang akan kita lihat hubungan antara dan ,
dimana kerapatan flux magnit.dimana kerapatan flux magnit.
Dengan aturan sirkuit Ampere, maka :Dengan aturan sirkuit Ampere, maka :
H

m
A
Ib dS
dL
θ
)4.....(...................... LdMLdSdnIdI bb

==
)5..(.........................................∫= LdMIb

B

H

B

)6.......(...............................∫ = T
o
ILd
B 
µ

dimana :dimana :
I adalah arus bebas total yang berada di dalam jalan tertutup.I adalah arus bebas total yang berada di dalam jalan tertutup.
Maka:Maka:
Maka:Maka:
Dan apabila di ruang bebas,Dan apabila di ruang bebas,
Apabila M = 0 Secara umum maka:Apabila M = 0 Secara umum maka:
Maka rumus untuk adalahMaka rumus untuk adalah
yaitu Hukum Ampere dengan arus bebas.yaitu Hukum Ampere dengan arus bebas.
III bT +=
)7..(...............................∫ −=−= LdM
B
III
o
bT


µ
)8....(..................................................M
B
H
o
−=
µ
)9(............................................................HB oµ=
)10........(..............................).........( MHB o

+= µ
)11......(...................................................∫= LdHI

H


Dengan menggunakan kerapatan arus, maka:Dengan menggunakan kerapatan arus, maka:
Dengan teorema StrokeDengan teorema Stroke’s,’s,
Maka rumus-rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai :Maka rumus-rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai :
Untuk media isotropik linier, dimana suseptibilitas magnitUntuk media isotropik linier, dimana suseptibilitas magnit XXmm dapatdapat
didefinisikan sbb:didefinisikan sbb:
Maka :Maka :
∫
∫
∫
=
=
=
∧
s
s
TT
s
bb
SdJI
SdJI
SdJI



.
.
.
)12......(...............................)(. SdHLdH
s

∫ ∫ ×∇≅
)13..(..................................................JH
J
B
JM
T
o
b
=×∇
=×∇
=×∇



µ
)14........(........................................HM mχ=
HHHB Romo µµχµ =+= )(

dimana:dimana:
µR disebut permeabilitas relatif.disebut permeabilitas relatif.
Sekarang definisikanSekarang definisikan µ, permeabilitas:, permeabilitas:
Sebagai contoh kita lihat penggunaan besaran magnetik, ambil contohSebagai contoh kita lihat penggunaan besaran magnetik, ambil contoh
ferit denganferit dengan µµRR = 50 dan operasikan dengan kerapatan flux rendah= 50 dan operasikan dengan kerapatan flux rendah
sehingga menjadi linier. Maka,sehingga menjadi linier. Maka,
Bila kita ambil B = 0,05 T,Bila kita ambil B = 0,05 T,
MakaMaka
dandan
)15........(........................................1 mR χµ +=
)16.....(..................................................
,
H
Ro

µ
µµµ
=
=
B
sehingga
491=−= Rm µχ
mA
B
H
HB
oR
oR
/796
10450
05,0
7
=
××
==
=
−
πµµ
µµ

Cara lain, pertama, kita lihat hubungan B dan HCara lain, pertama, kita lihat hubungan B dan H
Dan kita lihat arus ampere menghasilkan 49 kali intensitas medanDan kita lihat arus ampere menghasilkan 49 kali intensitas medan
magnit daripada muatan bebas.; dan kedua:magnit daripada muatan bebas.; dan kedua:
Dimana permeabilitas relatif adalah 50, dan besaran ini benar-benarDimana permeabilitas relatif adalah 50, dan besaran ini benar-benar
untuk gerakan muatan disekitar loop.untuk gerakan muatan disekitar loop.
Ingat untuk material dielektrik anisotropik, permeabilitas untuk materialIngat untuk material dielektrik anisotropik, permeabilitas untuk material
magnetik anisotropik harus dituliskan dalam matriks 3x3.magnetik anisotropik harus dituliskan dalam matriks 3x3.
)39000796(10405,0
)(
7
+×=
+=
−
π
µ MHB o
7961045005,0 7
×××=
=
−
π
µµ atauHB oR

Sementara B dan H dalam matriks 3x1.Sementara B dan H dalam matriks 3x1.
Akhirnya kita punya,Akhirnya kita punya,
Bx =Bx = µµxxxxHHxx++µµxyxyHHyy++µµxzxzHHzz
By =By = µµyxyxHHxx++µµyyyyHHyy++µµyzyzHHzz
Bx =Bx = µµzxzxHHxx++µµzyzyHHyy++µµzzzzHHzz
Untuk anisotropik, B =Untuk anisotropik, B = µµH dalam persamaan matriks.H dalam persamaan matriks.
Namun demikian B =Namun demikian B = µµoo (H+M) masih berlaku.(H+M) masih berlaku.
Beberapa besaran suseptibilitas untuk material diamagnetik:Beberapa besaran suseptibilitas untuk material diamagnetik:
HH = -2= -2 ×× 1010-5-5
;; CuCu = -0,9= -0,9 ×× 1010-5-5
GeGe = -0,8= -0,8 ×× 1010-5-5
;; SiSi = -0,3= -0,3 ×× 1010-5-5
CC = -12= -12 ×× 1010-5-5
; dlsb.; dlsb.
Paramagnetik : O _ 2Paramagnetik : O _ 2 ×× 1010-6-6
FeFe22OO33 _ 1,4_ 1,4 ×× 1010-03-03
; Y; Y22OO33 _ 0,53_ 0,53 ×× 1010-6-6
Dlsb.Dlsb.
Assignment: Page 287; d.9.6. & d.9.7Assignment: Page 287; d.9.6. & d.9.7

Batas kondisi MagnetikBatas kondisi Magnetik
Dalam HK. Gauss untuk medan magnit, makaDalam HK. Gauss untuk medan magnit, maka
Pada 2 bahan isotropik dengan permeabilitasPada 2 bahan isotropik dengan permeabilitas µµ11 dandan µµ22
Maka dari rumus (17) akan di dapat:Maka dari rumus (17) akan di dapat:
Maka:Maka:
Jadi ,Jadi ,
Komponen normal B kontinyu, tetapi diskontinyu untuk H dengan rasioKomponen normal B kontinyu, tetapi diskontinyu untuk H dengan rasio
µµ11//µµ22
∫ = )17......(....................0. SdB

021 =∆−∆ SBSB NN
Ht1
+++++
µ1
∆
µ2
area ∆S
BN2
BN1
Ht2
aN12
+++++
)19.....(..........
)18..(....................
1
2
1
2
21
NN
NN
HH
BB
µ
µ
=
=

Untuk material magnetik linier, maka:Untuk material magnetik linier, maka:
Berikutnya dengan Hukum Sirkuit Ampere , digunakan untuk jalan kecilBerikutnya dengan Hukum Sirkuit Ampere , digunakan untuk jalan kecil
di dalam bidang normal terhadap permukaan batas.di dalam bidang normal terhadap permukaan batas.
Dengan searah jarum jam, maka:Dengan searah jarum jam, maka:
Dengan adalah arus permukaan dimana komponen normal terhadap bidangDengan adalah arus permukaan dimana komponen normal terhadap bidang
adalah K,adalah K,
Maka:Maka:
Atau dalam vektorAtau dalam vektor
)20.........(..............................1
21
12
2 N
m
m
N M
X
M
µχ
µ
=
IdH =∫ 

.
LKLHLH tt ∆=∆−∆ 21
K

KHH tt =− 21
)21......(..............................)( 1221 aKaHH n

=×−

DimanaDimana aaN12N12 adalah unit normal pada batas dengan arah dari daerah 1 ke 2.adalah unit normal pada batas dengan arah dari daerah 1 ke 2.
Persamaan di atas dapat ditulis juga denganPersamaan di atas dapat ditulis juga dengan
Untuk BUntuk BTT, maka, maka
Kondisi batas untuk komponen tangensial, magnetisasi bagi materialKondisi batas untuk komponen tangensial, magnetisasi bagi material
linear sbb:linear sbb:
Contoh: Carilah BContoh: Carilah B22 apabila diketahuiapabila diketahui µµ11 = 4= 4 µµH/m di daerah 1 dimana Z>0,H/m di daerah 1 dimana Z>0,
dandan µµ22= 7= 7µµH/m, dimanapun Z<0.H/m, dimanapun Z<0.
)21......(..............................)( 1221 bKaHH ntt

×=−
)22......(..............................
2
2
1
1
K
BB tt
=−
µµ
)23........(..........21
1
2
2 KMM mt
m
m
t χ
χ
χ
−=
1daerahdi32
0Zpermukaanpada80
1 mTaaaB
m
A
aK
zyx
x
+−=
==



Jawab:
Untuk komponen normal B1
Maka:
Untuk komponen tangensial:
Dan
Maka
[ ]
mTa
aaaaa
aaBB
z
zzzyx
NNN
.
)())(32(
)( 121211
=
−−+−=
=
mTaBB zNN .12 ==
mTaaBBB yxNt .32111 −=−=
mAaa
aaB
H
yx
yxt
t
/750500
104
10).32(
6
3
1
1
1
−=
×
−
== −
−
µ
mTaa
aaHB
dan
mAaa
aaa
aaaaKaHH
yx
yxtt
yx
yyx
xzyxNtt
,69,45,3
)670500(107
/670500
80750500
80)(750500
6
222
1212
−=
−×==
−=
+−=
×−−−=×−=
−
µ

Maka :
Assignment : D 9.8
mTaaa
BBB
zyx
tN
,69,45,3
222
+−=
+=
mT
B
94,5
)1()69,4(5,3 222
2
=
+−+=


Sirkuit BermagnitSirkuit Bermagnit
Dalam potensial elektronik, hubungan E dan V adalah:Dalam potensial elektronik, hubungan E dan V adalah:
DalamDalam magnetic potentialmagnetic potential, maka, maka
Dimana Vm adalahDimana Vm adalah magnetomotive forcemagnetomotive force, atau mmf, dgn satuan A., atau mmf, dgn satuan A.
Ingat tidak ada arus yang mengalir di dalam region dimana Vm terdefinisikan.Ingat tidak ada arus yang mengalir di dalam region dimana Vm terdefinisikan.
Beda potensial listrik antara mmf dan H adalah (pada titik A & B)Beda potensial listrik antara mmf dan H adalah (pada titik A & B)
Dan hubungannya adalah:Dan hubungannya adalah:
)1...(........................................VE −∇=
)2..(........................................VmE −∇=
)3...(.........................................∫=
B
A
mAB dEE 

)4...(.........................................∫=
B
A
mAB dHE 


Hukum Ohm untuk sirkuit listrik adalah:
Hal di atas akan analog dengan
Untuk mencari arus total, maka
Dan flux magnit yang melewati area sirkuit magnit adalah:
Bila kita definisikan
Maka reluctance sebagai ratio mmf terhadap flux total
)5.....(........................................EJ σ=
)6.....(........................................HB µ=
)7.....(.........................................∫=
s
sdJI

)8.....(.........................................∫=
s
sdB

φ
)9.....(..............................R
I
V
IRV =⇒=
)10..(........................................RVm Φ=

R dengan satuan A.t/wb.
Di dalam resistor material homogen isotropik dengan konduktivitas dan cross
section S dan panjang d, maka:
Dan dalam material magnit homogen isotropikm dengan panjang d dan uniform
cross section S, maka
Analog untuk , maka garis tertutup:
Dalam fenomena magnit, maka
Mengingat arus total terdiri dari N lilitan, maka:
)11......(..............................
.S
d
R
σ
=
)12......(..............................
.S
d
R
σ
=
LE =&

∫ =0. LdE

∫ = totalILdH

.
∫ = )13.........(..................... NILdH


Marilah kita lihat dari sebuat sirkuit magnit sederhana. Untuk
menghindari kesulitan dari bahan feromagnetik, kita anggap toroid udara
dengan 500 lilitan, luas pintas 6 cm2
, jari-jari rata-rata 15 cm dan arus coil
4A.
Seperti diketahui, medan magnit berada pada bagian dalam toroid, dan
bila sirkuit medan magnit berupa jalan tertutup, sepanjang jari-jari rata-
rata, kita peroleh 2000 A.t. Maka, walaupun medan di dalam toroid tidak
betul-betul uniform, maka untuk kegunaan praktis, reluktan total dari
sirkuit adalah:
wbtA
S
d
R
/.1025,1
106104
15,02
9
47
×=
×××
== −−
π
π
µ

Maka :
wb
wbtA
tA
R
VmSource
106,1
/.
.
1025,1
2000
6
9
−
×=
×
==φ
Harga ini mempunyai kesalahan lebih kecil dari 0,25%, dibandingkan dengan
harga yang dicapai dengan distribusi flux eksak yang melewati luar tersebut.
Maka:
Dan akhirnya:
Sebagai suatu cek, dengan Hukum Ampere menggunakan problem simetrik,
dan
T
S
B 1067,2
106
106,1 3
4
6
−
−
−
×=
×
×
==
φ
t/m.2120
104
1067,2
7
3
A
B
H =
×
×
== −
−
πµ
NIrH =πφ2
ratarataradiuspada/2120
15,028,6
4500
2
−=
×
×
== mA
r
NI
H
π
φ

Oleh,Oleh,
DR. Taswanda TARYO, M.Sc. Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc. Eng.
PROGRAM MAGISTERPROGRAM MAGISTER
PEMINATAN TEKNIK ELEKTROPEMINATAN TEKNIK ELEKTRO
INSTITUT SAINS TEKNOLOGI NASIONALINSTITUT SAINS TEKNOLOGI NASIONAL
TAHUN 2009TAHUN 2009
TEORI GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK

Persamaan Maxwell dalam bentuk titik bergantung waktu :Persamaan Maxwell dalam bentuk titik bergantung waktu :
Untuk persamaan Maxwell tak bergantung waktu adalah :Untuk persamaan Maxwell tak bergantung waktu adalah :
Pers. (3) menyatakan bahwa kerapatan muatan adalah sumber garisPers. (3) menyatakan bahwa kerapatan muatan adalah sumber garis
fluks listrik.fluks listrik.
Pers. (4) menyatakan bahwa muatan magnet atau poles tidak terjadiPers. (4) menyatakan bahwa muatan magnet atau poles tidak terjadi
dan fluks magnet hanya terjadi pada loop tertutup dan tidak pernahdan fluks magnet hanya terjadi pada loop tertutup dan tidak pernah
keluar secara divergen dari sumber titik.keluar secara divergen dari sumber titik.
Persamaan- persamaan yang berkaitan dengan hal-hal di atas danPersamaan- persamaan yang berkaitan dengan hal-hal di atas dan
hubungan antarahubungan antara DD dandan E :E :
)1(........................................
t
B
Ex
∂
∂
=∇


)2(..............................
t
D
JHx
∂
∂
+−=∇


)4.(........................................0
)3.(........................................
=•∇
=•∇
B
D V


ρ
)5...(..............................ED

ε=

Dan hubungan antaraDan hubungan antara BB dandan HH ::
pendefinisian kerapatan arus konduksi :pendefinisian kerapatan arus konduksi :
pendefinisian kerapatan arus konveksi dikaitkan dengan volumependefinisian kerapatan arus konveksi dikaitkan dengan volume
kerapatan muatan,kerapatan muatan, ρρvv ::
Relasi-relasi di atas diperlukan untuk menghubungkan besaran-2 dalamRelasi-relasi di atas diperlukan untuk menghubungkan besaran-2 dalam
persamaan Maxwell.persamaan Maxwell.
Apabila kita berhubungan dengan material-material yang menyangkutApabila kita berhubungan dengan material-material yang menyangkut
polarisasi dan magnetisasi, maka pers. (5) dan (6) menjadi demikian :polarisasi dan magnetisasi, maka pers. (5) dan (6) menjadi demikian :
)6(..............................HB

µ=
)7(..............................EJ

σ=
)8.........(....................vJ v

ρ=
)12......(........................................
)11...(........................................
)10.......(....................).........(
)9..(........................................
0
0
0
HM
EP
MHB
PED
m
e




χ
χε
µ
ε
=
=
+=
+=

Jadi, gaya per unit volume, dituliskan demikian :Jadi, gaya per unit volume, dituliskan demikian :
Persamaan Maxwell dalam bentuk integral bergantung waktu, melaluiPersamaan Maxwell dalam bentuk integral bergantung waktu, melalui
integrasi pers. (1) untuk seluruh permukaan dan menggunakanintegrasi pers. (1) untuk seluruh permukaan dan menggunakan
teorema Stoke, didapat hukum Faraday berikut :teorema Stoke, didapat hukum Faraday berikut :
dan menggunakan prosedur sama menghasilkan hukum Amperedan menggunakan prosedur sama menghasilkan hukum Ampere
berikut :berikut :
Hukum Gauss untuk medan listrik dan magnet dicapai denganHukum Gauss untuk medan listrik dan magnet dicapai dengan
integrasi pers. (3) dan (4) dgn menggunakan teorema divergen danintegrasi pers. (3) dan (4) dgn menggunakan teorema divergen dan
diperoleh :diperoleh :
)13....(....................)( BxvEf v

+= ρ
)14.(........................................Sd
t
B
LdE
S



•
∂
∂
−=• ∫∫
)15..(..............................Sd
t
D
ILdH
S



•
∂
∂
+=• ∫∫
)17.........(........................................0
)16.........(..............................
∫
∫ ∫
=•
=•
S
S vol
v
SdB
dvSdD


ρ

Persamaan di atas memungkinkan kita memperoleh kondisi batas
pada vektor-2 B, D, H dan E yang diperlukan untuk menghitung
konstanta-2 dalam pers. Maxwell.
Diantara 2 media fisik (dimana K harus nol pada permukaan batas),
sehingga diperoleh komponen-2 medan E, dan diperoleh :
Integral permukaan menghasilkan kondisi batas untuk komponen
normal, yaitu :
Di dalam konduktor sempurna dan dengan hukum Ohm diperoleh E =
0 dan dengan hukum Faraday bentuk titik, diperoleh H = 0 untuk
intensitas medan bergantung waktu.
)18...(....................2121 tttt HHdanEE ==
)19........(..........2121 NNSNN BBdanDD ==− ρ

Dengan hukum sirkuit Ampere, nilai tertentu J, maka J = 0 dan arus
harus dibawa sepanjang permukaan konduktor sebagai arus
permukaan K. Maka, jika daerah 2 adalah konduktor sempurna, pers.
(18) dan (19) menjadi demikian:
dimana vektor normal aN arahnya keluar permukaan konduktor.
Kondisi-2 batas di atas merupakan bagian sangat penting dari pers.
Maxwell. Kondisi-2 batas di atas merupakan bagian penting dan
memerlukan solusi dari pers. Maxwell untuk 2 daerah atau lebih.
)21(..............................0
)20().........(0
11
111
==
===
NSN
Nttt
BdanD
axKHKHdanE
ρ


GELOMBANG DATAR SERBASAMA (GDS)GELOMBANG DATAR SERBASAMA (GDS)
Dalam topik ini akan diterangkan, hal-2 berikut :
• Penerapan pers. Maxwell untuk memperkenalkan teori pokok
gelombang
• GDS adalah salah satu pemakaian paling sederhana dari pers.
Maxwell serta perihal dibalik penjalaran/perambatan energi,
• Konsep panjang gel., kec. Penjalaran, impedansi gel., fase dan
tetapan atenuasi serta penggunaan teorema Poynting untuk
menghitung kerapatan daya gel.
• Pembahasan pemantulan, transmisi GDS pada perbatasan dua
media berbeda,
• Penggunaan rasio gelombang berdiri (GBR) untuk membahas hal-2
praktis.

Gerak Gelombang dalam Ruang Hampa
 Pembahasan dimulai dengan gel. di ruang hampa, dielektrik
sempurna, dielektrik merugi dan konduktor yang baik,
 Hal di atas dilakukan melalui metoda pendekatan dan diperoleh
karakteristik khusus masing-2 media, melalui penjalaran dalam
media tsb.
 Untuk meninjau gerak gel.Untuk meninjau gerak gel. dalam ruang hampa, kita lihat pers.dalam ruang hampa, kita lihat pers.
Maxwell dalamMaxwell dalam EE dandan HH berikut :berikut :
)3(..............................0;0
)2.....(..............................
)1.........(..............................
0
0
=•∇=•∇
∂
∂
−=∇
∂
∂
=∇
HE
t
H
Ex
t
E
Hx





µ
ε

 Sekarang kita lihat pers-2 di atas, bahwa apabilaSekarang kita lihat pers-2 di atas, bahwa apabila EE berubahberubah
terhadap waktu, makaterhadap waktu, maka HH mempunyai curl pada titik tsb dan dianggapmempunyai curl pada titik tsb dan dianggap
membentuk loop tertutup yang berkaitan dengan perubahanmembentuk loop tertutup yang berkaitan dengan perubahan E.E.
Begitu pula berlaku dengan pers. (2).Begitu pula berlaku dengan pers. (2).
 Sekarang kita lihat pers-2 Maxwell tsb. khususnya yang berubahSekarang kita lihat pers-2 Maxwell tsb. khususnya yang berubah
terhadap waktu menurut sinusoidal (kosinusoidal) dan biasanyaterhadap waktu menurut sinusoidal (kosinusoidal) dan biasanya
memakai notasi kompleks dan fasor. Kita anggap satu komponen,memakai notasi kompleks dan fasor. Kita anggap satu komponen,
misalnya Emisalnya Exx yang ditulis berikut :yang ditulis berikut :
EExx = E= Exyzxyz cos (cos ( ωω t +t + ψψ )) ....................................(4)....................................(4)
dimana Edimana Exyzxyz merupakan fungsi nyata dari x, y, z dan mungkinmerupakan fungsi nyata dari x, y, z dan mungkin ωω,,
tetapi bukan t, dantetapi bukan t, dan ψψ adalah sudut fase yang juga merupakan fungsiadalah sudut fase yang juga merupakan fungsi
x, y, z danx, y, z dan ωω. Dengan teorema Euler, e. Dengan teorema Euler, e jjωω tt
= cos= cos ωω t + j sint + j sin ωω t,t,
kita ambilkita ambil
EExx = R= Ree EExyzxyz ee j(j( ωω t +t + ψψ ))
= R= Ree EExyzxyz ee jjψψ
ee jjωω tt
.......... (5)(5)
dengan Re menyatakan bagian real dari besaran tersebut.dengan Re menyatakan bagian real dari besaran tersebut.

Dengan menghilangkan RDengan menghilangkan Ree dan edan e jjωω tt
, medan E, medan Exx menjadi suatu fasormenjadi suatu fasor
atau besaran kompleks yang kita identifikasi dengan subskrip s, Eatau besaran kompleks yang kita identifikasi dengan subskrip s, Exsxs..
Jadi: EJadi: Exsxs = E= Exyzxyz ee jj ψψ
............................(6).............................(6).
Subskrip s dapat dipakai sebagai penunjuk besaran domain frekuensiSubskrip s dapat dipakai sebagai penunjuk besaran domain frekuensi
sebagai fungsi kompleks s, walaupun di sini didefinisikan bahwasebagai fungsi kompleks s, walaupun di sini didefinisikan bahwa
s = js = j ωω..
Ambil contoh, EAmbil contoh, Eyy = 100 cos (10= 100 cos (1088
t - 0,5 z ) V/m dan dinyatakant - 0,5 z ) V/m dan dinyatakan
sebagai sebuah fasor.sebagai sebuah fasor.
Soal di atas dapat ditulis sebagai fungsi eksponensial berikut,Soal di atas dapat ditulis sebagai fungsi eksponensial berikut,
EEyy = R= Ree [ 100 exp { j (100.000.000 t – 0,5 z)} ][ 100 exp { j (100.000.000 t – 0,5 z)} ]
dan kemudian hilangkan Rdan kemudian hilangkan Ree dan exp (j 100.000.000 t) , untukdan exp (j 100.000.000 t) , untuk
mendapatkan fasor,mendapatkan fasor,
EEysys = 100 e= 100 e – j 0,5 z– j 0,5 z

Perhatikan bahwa EPerhatikan bahwa Eyy bilangan nyata, tetapi Ebilangan nyata, tetapi Eysys bilangan kompleks.bilangan kompleks.
Jika diketahui suau fasor, besaran nyata yang bersesuaian dengannyaJika diketahui suau fasor, besaran nyata yang bersesuaian dengannya
selalu dapat kita peroleh dengan mengalikannya dengan eselalu dapat kita peroleh dengan mengalikannya dengan ejjωωtt
dandan
mengambil bagian nyata dari bentuk resultan tsb.mengambil bagian nyata dari bentuk resultan tsb.
Sekarang, karenaSekarang, karena
= R= Ree jjωω EExyxy exp (jexp (jωωt)t)
Disini jelas bahwa pengambilan turunan parsial suatu besaran medanDisini jelas bahwa pengambilan turunan parsial suatu besaran medan
terhadap waktu setara dengan pengalian fasor ybs. dengan jterhadap waktu setara dengan pengalian fasor ybs. dengan jωω..
Sebagai contoh jikaSebagai contoh jika
persamaan fasor yang sesuai adalah :persamaan fasor yang sesuai adalah :
dimana Edimana Exsxs dan Hdan Hysys keduanya menyatakan besaran kompleks.keduanya menyatakan besaran kompleks.
)7().........(sin])(cos[ Ψ+−=Ψ+
∂
∂
=
∂
∂
tEtE
tt
E
xyzxyz
x
ωωω
z
H
t
E yx
∂
∂





−=
∂
∂
0
1
ε
z
H
Ej
ys
xs
∂
∂





−=
0
1
εω

Jika diketahui pers. Maxwell , maka hubungan yangJika diketahui pers. Maxwell , maka hubungan yang
sesuai dengannya serta dinyatakan dalam vektor fasor adalah :sesuai dengannya serta dinyatakan dalam vektor fasor adalah :
dan pers.-2 lainnya :dan pers.-2 lainnya :
Pers.-2 di atas merupakan pers. Maxwell dalam notasi fasor untukPers.-2 di atas merupakan pers. Maxwell dalam notasi fasor untuk
medan yang berubah waktu secara sinusoidal dalam ruang hampa.medan yang berubah waktu secara sinusoidal dalam ruang hampa.
Apabila kita lakukan divergensi dari pers. (9), misalnya :Apabila kita lakukan divergensi dari pers. (9), misalnya :
KarenaKarena ∇∇.E = 0. Pers. Ini dikenal sebagai pers. vektor Helmholtz..E = 0. Pers. Ini dikenal sebagai pers. vektor Helmholtz.
Persamaan (11) artinyaPersamaan (11) artinya
t
E
Hx
∂
∂
=∇


0
ε
)8......(..............................0 ss EjHx

ωε=∇
)10(....................00
)9......(..............................0
=•∇=•∇
−=∇
ss
ss
HdanE
HjEx


ωµ
)11.....(....................
)(
2
00
2
0
2
ss
ssss
EE
HxjEEExx
∇−==
∇−=∇−•∇∇=∇∇
εµω
ωµ

)12...(00
2
2
2
2
2
2
2
xs
xsxsxs
E
x
E
x
E
x
E
εµω−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

Maka pemecahan pers. (12) adalahMaka pemecahan pers. (12) adalah
EExsxs = A exp (-j= A exp (-jωω {{√µ√µ00 εε00 } z)} z) (13)(13)
Dengan mengembalikan faktor eDengan mengembalikan faktor ejjωωtt
, dan mereduksinya menjadi bentuk, dan mereduksinya menjadi bentuk
trigonometri melalui bagian nyata, dan kita peroleh :trigonometri melalui bagian nyata, dan kita peroleh :
EExx = A cos [= A cos [ ωω (t - z(t - z √√ µµ00εε00) ]) ]
dimana faktor amplitudo sebarangnya bisa diganti dengan Edimana faktor amplitudo sebarangnya bisa diganti dengan Ex0x0, harga E, harga Exx
pada z = 0 dan t = 0, dan akhirnya dapat ditulispada z = 0 dan t = 0, dan akhirnya dapat ditulis
EExx = E= Ex0x0 cos [cos [ ωω (t - z(t - z √√ µµ00εε00) ]) ] (14)(14)
Sebelum kita mencari pemecahan komponen medan lainnya, pers. (14)Sebelum kita mencari pemecahan komponen medan lainnya, pers. (14)
adalah medan listrik yang arahnya ke atas permukaan datar bumi. Akaradalah medan listrik yang arahnya ke atas permukaan datar bumi. Akar
µµ00εε00 harga pendekatan yang besarnya 1/(3 x 10harga pendekatan yang besarnya 1/(3 x 1088
) s/m ialah kebalikan) s/m ialah kebalikan
dari kecepatan cahaya dalam ruang hampa.dari kecepatan cahaya dalam ruang hampa.

Kita coba sumbu z mempunyai arah ke timur dan ambil z = 0 untukKita coba sumbu z mempunyai arah ke timur dan ambil z = 0 untuk
Chicago. Jadi medannya adalahChicago. Jadi medannya adalah
EExx = E= Ex0x0 coscos ωω t ;t ;
Di Cleveland yang letaknya 500 km ke arah timur, makaDi Cleveland yang letaknya 500 km ke arah timur, maka
EExx = E= Ex0x0 cos [cos [ ωω ( t – (500000/300000000))]( t – (500000/300000000))]
= E= Ex0x0 cos [cos [ ωω ( t – 0,00167)]( t – 0,00167)]
yang memperlihatkan bahwa intensitas medan di Cleveland identik
dengan medan yang sama pada saat 0,00167 detik sebelumnya. Pada
umumnya bahwa setiap titik z meter sebelah timur Chicago ketinggalan
dari medan acuan dengan z √ µ0ε0 atau z/(3x108
) det.
Dengan mengubah sudut pandang kita dan kita periksa medan diDengan mengubah sudut pandang kita dan kita periksa medan di
mana-2 dengan t = 0, makamana-2 dengan t = 0, maka
EExx = E= Ex0x0 cos (-cos (- ωω zz √√ µµ00εε00) = E) = Ex0x0 cos (cos (ωωz/c) (15)z/c) (15)

Kita dapatkan perubahan periodik terhadap jarak.Kita dapatkan perubahan periodik terhadap jarak. Perioda gelombangPerioda gelombang
kosinus ini yang diukur sepanjang sumbu z disebut panjangkosinus ini yang diukur sepanjang sumbu z disebut panjang
gelombanggelombang λλ,,
((ωω λλ) / c = 2) / c = 2ππ atauatau λλ = c/f = (3 x 10= c/f = (3 x 1088
) / f) / f
di dalam ruang hampa; c adalah kec. Cahaya dan f frekuensi gel.di dalam ruang hampa; c adalah kec. Cahaya dan f frekuensi gel.
(Hertz). Pada setiap saat, E(Hertz). Pada setiap saat, Exx mempunyai arah vetikal. Kita bisamempunyai arah vetikal. Kita bisa
katakan bahwa tetap jika fasekatakan bahwa tetap jika fase ωω(t-z(t-z√µ√µ00εε00) atau) atau ωω (t-z(t-z√µ√µ00εε00) = tetapan.) = tetapan.
Dengan mengambil diferensialnya, kita perolehDengan mengambil diferensialnya, kita peroleh
dz/dt = v = 1/ (dz/dt = v = 1/ (√√ µµ0εε00) = c) = c
Kecepatan ini disebut sebagai kec. fase karena berkaitan dengan titikKecepatan ini disebut sebagai kec. fase karena berkaitan dengan titik
yang berfase sama. Dalam hal ini kecyang berfase sama. Dalam hal ini kecepatanepatan fasenya sama denganfasenya sama dengan
keckecepatanepatan cahaya.cahaya.

Berapapun harga medan sesaat pada z = z1 dan t = t1, medan tersebut
berharga sama lagi pada saat (z2-z1)/c kemudian; medan tersebut berharga
sama lagi pada saat t=t2 pada jarak (t2-t1)/c kesebelah timur dari titik semula.
Medan listrik ini secara nalar kita menyebutnya gelombang berjalan.
Pers. (15) yang juga merupakan solusi dari pers. Gel. Jelas menyatakan
gelombang berjalan ke arah –z, atau ke barat. Kita hanya meninjau gel. yang
berjalan positif.
Sekarang mari kita kembali ke pers. (8-10) dan tentukan bentuk medan H.
Bentuk Es dan Hs dengan mudah diperoleh dari pers. (9)
Apabila disederhanakan utnuk komponen Exs, tunggal yang hanya berubah
terhadap z,
(∂ Exs / ∂t) = - jωµ0 Hys
Dengan memakai pers. (13) untuk Exs serta A = Ex0, akan diperoleh
Hys = - (1/ jωµ0) Ex0 (- jω√ µ0ε0) e-jωz/c
dan
Hy = Ex0 / (√ µ0/ε0) cos [ω{(t- z/c)}] (16).
)9.(........................................0 ss HjEx

ωµ−=∇

Jadi kita dapatkan komponen vertikal yang berjalan ke timur disertai dengan
medan magnet horizontal (utara-selatan). Selanjutnya rasio intensitas medan
listrik terhadap intensitas medan magnet dinyatakan oleh :
Ex/ Hy = (√ µ0/ε0) (17) suatu tetapan.
Dengan memakai bahasa teori kita katakan bahwa EDengan memakai bahasa teori kita katakan bahwa Exx dan Hdan Hyy sefase dansefase dan
hubungan sefase ini berlaku baik terhadap waktu maupun terhadap jarak.hubungan sefase ini berlaku baik terhadap waktu maupun terhadap jarak.
Perlu kita perhatikan bahwa rasio kedua komponen tersebut dimana-manaPerlu kita perhatikan bahwa rasio kedua komponen tersebut dimana-mana
sama, walaupun keduanya berubah terhadap waktu dan tempat. Akar kuadratsama, walaupun keduanya berubah terhadap waktu dan tempat. Akar kuadrat
rasio permeabilitas terhadap permitivitas disebut impedansi intrinsikrasio permeabilitas terhadap permitivitas disebut impedansi intrinsik ηη (eta).(eta).
ηη == √√ µµ/ε/ε (18)(18)
dandan ηη berdimensiberdimensi ΩΩ (ohm). Impedansi intrinsik ruang hampa ialah(ohm). Impedansi intrinsik ruang hampa ialah
ηη00 == √√ µµ00/ε/ε00 = 377= 377 ≅≅ 120120 ππ (19).(19).
Gelombang seperti tersebut di atas disebut gelombang datar serbasama,Gelombang seperti tersebut di atas disebut gelombang datar serbasama,
karena harganya serbasama pada seluruh bagian bidang z = tetapan.karena harganya serbasama pada seluruh bagian bidang z = tetapan.
Gelombang tersebut juga menyatakan aliran energi dalam arah z positif.Gelombang tersebut juga menyatakan aliran energi dalam arah z positif.
Medan listrik dan medan magnetnya tegak lurus pada arah penjalaran.Medan listrik dan medan magnetnya tegak lurus pada arah penjalaran.
Keduanya terletak pada bidang transversal terhadap arah penjalaran.Keduanya terletak pada bidang transversal terhadap arah penjalaran.
Gelombang datar serbasama ini disebut gelombang elektromagnetikGelombang datar serbasama ini disebut gelombang elektromagnetik
transversal (gelombang EMT atau TEM).transversal (gelombang EMT atau TEM).

Gerak Gelombang dalam Dielektrik SempurnaGerak Gelombang dalam Dielektrik Sempurna
Kita analisis sekarang gerak gelombang dalam dielektrik sempurna denganKita analisis sekarang gerak gelombang dalam dielektrik sempurna dengan
permitivitas ε serta permeabilitaspermitivitas ε serta permeabilitas µµ ; medium isotropik dan serbasama; pers.; medium isotropik dan serbasama; pers.
gelombangnya :gelombangnya :
(1)(1)
untuk Euntuk Exsxs kita peroleh :kita peroleh :
((∂∂22
EExsxs // ∂∂zz22
) =) = −− ωω22
µµ εε EExsxs (2).(2).
Selanjutnya kita ambil atenuasi eksponensial dengan menganggap :Selanjutnya kita ambil atenuasi eksponensial dengan menganggap :
EExx = E= Ex0x0 ee−−ααzz
cos (cos (ωωt -t - ββz)z)
dan bentuk Eksponenial kompleks setaranya adalah :dan bentuk Eksponenial kompleks setaranya adalah :
EExsxs = E= Ex0x0 ee−−ααzz
ee−−jjββzz
Faktor eksponensial memperkenankan kita untuk meninjau suatu gel.Faktor eksponensial memperkenankan kita untuk meninjau suatu gel.
mengalami atenuasi ketika gel. tsb menjalar ke arah +z;mengalami atenuasi ketika gel. tsb menjalar ke arah +z; αα disebut konstantadisebut konstanta
atenuasi danatenuasi dan ββ disebut konstanta fase (rad/m).disebut konstanta fase (rad/m).
ss
EE εµω 22
−=∇

Biasanya gabunganBiasanya gabungan αα dandan ββ sering disebut konstanta penjalaran (sering disebut konstanta penjalaran (propagationpropagation
constantconstant) kompleks) kompleks γγ (gamma) dengan(gamma) dengan
γγ == αα + j+ jββ (3)(3)
sehingga kita dapat menuliskan Esehingga kita dapat menuliskan Exsxs = E= Ex0x0 ee−γ−γzz
..
Sekarang kita substitusikan ke dalam pers. (2) dan diperoleh :Sekarang kita substitusikan ke dalam pers. (2) dan diperoleh :
γγ22
EEx0x0 ee−γ−γzz
== −− ωω22
µµ ε Eε Ex0x0 ee−γ−γzz
,,
sehingga kita perolehsehingga kita peroleh
γγ22
== −− ωω22
µµ ε atauε atau γγ == ±± jjωω √√µµ εε
jadijadi
αα = 0 dan= 0 dan
ββ == ωω√√µµ εε (4)(4)
Dan disini kita memilih akar yang menghasilkan dalam arah z positif. JadiDan disini kita memilih akar yang menghasilkan dalam arah z positif. Jadi
EExx = E= Ex0x0 cos (cos (ωωt -t - ββz)z)

dan ini adalah gelombang yang menjalar dalam arah +z dengan kecepatan fase v,dan ini adalah gelombang yang menjalar dalam arah +z dengan kecepatan fase v,
vv == ωω // ββ (5).(5).
Untuk GDS yang menjalar dalam dielektrik sempurna, kita peroleh :Untuk GDS yang menjalar dalam dielektrik sempurna, kita peroleh :
vv = 1/ (= 1/ (√√µµε) = c/(ε) = c/(√√µµRR εεRR).).
Panjang gel. adalah rasio besar kecepatan terhadap frekuensiPanjang gel. adalah rasio besar kecepatan terhadap frekuensi
λλ = v/f = c/(f= v/f = c/(f√√µµRR εεRR) =) = λλ00 /(/(√√µµRR εεRR)) (6)(6)
dimanadimana λλ00 adalah panjang gel. dalam ruang hampa. Perhatikan bahwaadalah panjang gel. dalam ruang hampa. Perhatikan bahwa µµR εRR εR 〉〉 1,1,
sehingga dalam segala media nyata, panjang gel. nya lebih pendek dan kec. lebihsehingga dalam segala media nyata, panjang gel. nya lebih pendek dan kec. lebih
kecil daripada di ruang hampa. Selain hal di atas, juga kita peroleh :kecil daripada di ruang hampa. Selain hal di atas, juga kita peroleh :
ββ = 2= 2ππ // λλ (7).(7).
Berkaitan dengan EBerkaitan dengan Exx, intensitas medan magnetik,, intensitas medan magnetik,
HHxx = (E= (Ex0x0//ηη) cos () cos (ωωt -t - ββz)z) (8)(8)

dan impedansi intrinsiknya (satuandan impedansi intrinsiknya (satuan ΩΩ) adalah :) adalah :
ηη == ((√√µµ //εε)) (9)(9)
Kedua medan EKedua medan Exx dan Hdan Hyy salingsaling ⊥⊥, tegak lurus pada arah penjalaran, dan selalu, tegak lurus pada arah penjalaran, dan selalu
sefase pada setiap titik. Jika kita lakukan perkalian silang, maka resultannyasefase pada setiap titik. Jika kita lakukan perkalian silang, maka resultannya
menyatakan arah penjalaran.menyatakan arah penjalaran.
Sebagai contoh gel. dengan frekuensi 300 MHz dan menjalar pada air tawar.Sebagai contoh gel. dengan frekuensi 300 MHz dan menjalar pada air tawar.
Kita coba abaikan atenuasinya dan menganggapKita coba abaikan atenuasinya dan menganggap αα = 0. Jadi dengan= 0. Jadi dengan µµRR=1 dan=1 dan
εεRR=78 (pada 300 MHz), dan=78 (pada 300 MHz), dan
vv = c/ (= c/ (√√µµRR εεRR) = (3 x 10) = (3 x 1088
)/)/ √√7878
= 0,340 x 10= 0,340 x 1088
m/det.m/det.
λλ = v/f= v/f = (0,340 x 10= (0,340 x 1088
) / 3 x 10) / 3 x 1088
= 0,113 m,= 0,113 m,
sedangkan kita tahu bahwa panjang gelombang udara 1 m.sedangkan kita tahu bahwa panjang gelombang udara 1 m.

Selain hal di atas, kita peroleh juga :Selain hal di atas, kita peroleh juga :
ββ = 2= 2ππ // λλ = 55,5 rad/m atau 80,0= 55,5 rad/m atau 80,0°°/inc. dan/inc. dan
ηη == ηη00 ((√√µµRR εεRR) = 377/ () = 377/ (√√78) = 42,778) = 42,7 ΩΩ..
Jika kita ambil intensitas medan listriknya mempunyai amplitudo maksimumJika kita ambil intensitas medan listriknya mempunyai amplitudo maksimum
0,1 V/m, maka0,1 V/m, maka
EExx = 0,1 cos (6= 0,1 cos (6ππ 101088
t – 55,5 z)t – 55,5 z)
HHyy = E= Exx//ηη = 2,34 x 10= 2,34 x 10−−33
cos (6cos (6ππ 101088
t – 55,5 z).t – 55,5 z).

Gelombang Datar Dalam Dielektrik MerugiGelombang Datar Dalam Dielektrik Merugi
Setiap bahan mempunyai harga konduktivitas, walaupun dalam banyak kasusSetiap bahan mempunyai harga konduktivitas, walaupun dalam banyak kasus
hal ini dapat diabaikan. Persamaan Maxwell untuk hal ini adalah,hal ini dapat diabaikan. Persamaan Maxwell untuk hal ini adalah,
▼▼ xx HHss == JJss + j+ jωωεε EEss atauatau ∇∇ xx HHss = (= (σσ + j+ jωωε)ε) EEss
dandan ∇∇ xx EEss = - j= - jωµωµ HHss (1).(1).
Satu-satunya efek pemasukan konduktivitasSatu-satunya efek pemasukan konduktivitas σσ ialah faktor jialah faktor jωωε berubah menjadiε berubah menjadi
σσ + j+ jωωε. Harga konstanta penjalaran yang baru ialah,ε. Harga konstanta penjalaran yang baru ialah,
γγ22
= (= (σσ + j+ jωωε) jε) jωω µµ dandan γγ == ±± √√[([(σσ + j+ jωωε) jε) jωµωµ].].
Akhirnya kita peroleh,Akhirnya kita peroleh,
γγ = j= jω√ω√((µµεε) [) [√√{1- (j{1- (jσσ//ωωεε)}])}] (2)(2)
kita ambil harga yang positif. Akhirnya,kita ambil harga yang positif. Akhirnya,
γγ == αα + j+ jββ
dan komponen x dari intensitas medan listrik yang menjalar dalam arah +zdan komponen x dari intensitas medan listrik yang menjalar dalam arah +z
diperoleh,diperoleh,
EExsxs = E= Ex0x0 ee−−ααzz
ee−−jjββzz
..

Pemakaian tanda plus dalam akar pers. (2) menghasilkan harga numerikPemakaian tanda plus dalam akar pers. (2) menghasilkan harga numerik αα dandan ββ
yang positif, sehingga sesuai dengan penjalaran dalam arah +z.yang positif, sehingga sesuai dengan penjalaran dalam arah +z.
Dengan memakai pers. (1), dapat diperoleh HysDengan memakai pers. (1), dapat diperoleh Hys
HHxx = (E= (Ex0x0//ηη) e) e−−ααzz
ee−−jjββzz
..
Sekarang impedansi intrinsiknya adalah,Sekarang impedansi intrinsiknya adalah,
(3).(3).
Medan listrik dan medan magnet tidak sefase lagi. Ingat satuan atenuasi dalamMedan listrik dan medan magnet tidak sefase lagi. Ingat satuan atenuasi dalam
kasus ini adalah Np/m (Np- neper).kasus ini adalah Np/m (Np- neper).
Sebagai contoh, untuk air suling yang merupakan dielektrik yang buruk sekali.Sebagai contoh, untuk air suling yang merupakan dielektrik yang buruk sekali.
PadaPada ωω = 10= 101111
rad/det. atau f = 15,9 GHz yang jatuh dalam arah pita SHFrad/det. atau f = 15,9 GHz yang jatuh dalam arah pita SHF
(frekuensi super tinggi/super high frequency) untuk(frekuensi super tinggi/super high frequency) untuk µµR = 1,R = 1, εεR = 50 danR = 50 dan σσ = 20= 20
Mho/m, kita perolehMho/m, kita peroleh
σσ//ωωεε = (20x 10= (20x 101212
)/(10)/(101111
x 50 x 8,854) = 0,452 danx 50 x 8,854) = 0,452 dan
γγ = {j(10= {j(101111
[[√√(1 x 50)]/(3x 10(1 x 50)]/(3x 1088
)})} √√(1-j0,452)(1-j0,452)
= j2,360= j2,360 √√ 1,0971,097 ∠∠ -24,3-24,3°°
= 2470= 2470 ∠∠ 77,877,8°° = 520 + j 2410 m= 520 + j 2410 m−−11
..
JadiJadi αα = 520 Np/m.= 520 Np/m.
)/(1
1
ωεσε
µ
ωεσ
ωµ
η
jj
j
−
=
+
=

Jadi amplitudo HJadi amplitudo Hxx dan Edan Eyy akan bertanetuasi dengan faktor 0,368 (eakan bertanetuasi dengan faktor 0,368 (e-1-1
) untuk tiap) untuk tiap
1/520 m penjalaran dalam air.1/520 m penjalaran dalam air.
Dalam hitungan ini, konstanta fasenya adalah :Dalam hitungan ini, konstanta fasenya adalah :
ββ = 2410 rad/m= 2410 rad/m
besaran ini hanya dipengaruhi sedikit konduktivitas yangbesaran ini hanya dipengaruhi sedikit konduktivitas yang ≠≠ dengan nol.dengan nol.
Perhitungan di atas menunjukkan bahwa, jikaPerhitungan di atas menunjukkan bahwa, jika σσ = 0, maka= 0, maka ββ = 2360 rad/m. Dan= 2360 rad/m. Dan
panjang gel. untuk frekuensi tersebut dalam udara 1,88 cm dan karenapanjang gel. untuk frekuensi tersebut dalam udara 1,88 cm dan karena ββ = 2= 2ππ//λλ,,
maka utnuk gel. dalam airmaka utnuk gel. dalam air λλ menjadi 2,60 m.menjadi 2,60 m.
Dengan demikian, impedansi intrinsik (Dengan demikian, impedansi intrinsik (ηη ) :) :
dan Edan Exx mendahului Hmendahului Hyy dengan 12,2dengan 12,2°° pada tiap titik.pada tiap titik.
Dalam kasus khusus misalnya tangen kerugian kecil (Dalam kasus khusus misalnya tangen kerugian kecil (σσ//ωωεε), maka), maka
∇∇ x Hs = (x Hs = (σσ+j+jωεωε) Es = J) Es = Jσσs + Jdss + Jds
hasil bagi kerapatan arus konduksi terhadap kerapatan arus perpindahan adalahhasil bagi kerapatan arus konduksi terhadap kerapatan arus perpindahan adalah
JJσσs / Jds =s / Jds = σσ / j/ jωεωε
Ω+=∠=
−
= 7,108,492,129,50
452,01
1
50
377
j
j

η

Jadi kedua vektor ini mempunyai arah yang sama tetapi fasenya berbeda 90Jadi kedua vektor ini mempunyai arah yang sama tetapi fasenya berbeda 90°°..
Kerapatan arus perpindahan mendahului kerapatan arus konduksi dengan 90Kerapatan arus perpindahan mendahului kerapatan arus konduksi dengan 90°°..
Hal tsb. Identik dengan arus yang melalui suatu kapasitor mendahului arusHal tsb. Identik dengan arus yang melalui suatu kapasitor mendahului arus
yang lewat resistor (paralel) dengan 90yang lewat resistor (paralel) dengan 90°°..
dandan
tantan θθ == σσ//ωωεε (4)(4)
yang disebutyang disebut tangen kerugiantangen kerugian. Jika tan. Jika tan θθ kecil, dan karenakecil, dan karena
(5).(5).
Jds = jωεEs
Js =(σ+jωε)Es
Jσs =σEs
θ=tan−1
(σ/ε)
ωε
σ
µεωγ jj −= 1

Dengan teorema binomial, maka akan diperolehDengan teorema binomial, maka akan diperoleh
(6)(6)
(7a)(7a)
Dalam banyak kasusDalam banyak kasus
(7b).(7b).
Dengan cara yang serupa, dapat diperoleh :Dengan cara yang serupa, dapat diperoleh :
atauatau (8a)(8a)
(8b).(8b).
Untuk melihat kecermatan pendekatan, kita hitung lagi dengan rumus-2 di atas.Untuk melihat kecermatan pendekatan, kita hitung lagi dengan rumus-2 di atas.
Akhirnya kita peroleh :Akhirnya kita peroleh :
α= 533 Np/m ( bandingkan denga harga eksak= 533 Np/m ( bandingkan denga harga eksak αα = 520 Np/m).= 520 Np/m).
Tetapan fasenyaTetapan fasenya ββ = 2410 rad/m (harga eksak= 2410 rad/m (harga eksak ββ = 2420 rad/m) dan tanpa= 2420 rad/m) dan tanpa
kerugian dengan (7b)kerugian dengan (7b) ββ = 2360 rad/m.= 2360 rad/m.
ε
µσ
ωε
σ
µεωα
2
)
2
( =−≅ jj
])
2
(
8
1
1[ 2
ωε
σ
µεωβ +≅
µεωβ ≅
]
2
)
2
(
8
3
1[/ 2
ωε
σ
ωε
σ
εµη j+−≅
]
2
1[/
ωε
σ
εµη j+≅

Dengan pers. (8a), kita perolehDengan pers. (8a), kita peroleh
ηη = 50,7= 50,7∠∠13,713,7°° = 49,2 + j 12,0= 49,2 + j 12,0 ΩΩ bandingkan dengan harga eksak 50,9bandingkan dengan harga eksak 50,9∠∠12,212,2°° ==
49,8 + j 10,749,8 + j 10,7 ΩΩ. Dengan pers. (8b), diperoleh 54,7. Dengan pers. (8b), diperoleh 54,7∠∠12,712,7°° = 53,3 + j 12,0= 53,3 + j 12,0 ΩΩ..
Dianjurkan agarDianjurkan agar pemakaian pendekatanpemakaian pendekatan untukuntuk σσ//ωωεε << 0,1.0,1.
Dalam kebanyakan bahan dielektrik, tangen kerugian lebih mendekati tetapanDalam kebanyakan bahan dielektrik, tangen kerugian lebih mendekati tetapan
terhadap frekuensi dpd. konduktivitas.terhadap frekuensi dpd. konduktivitas. Artinya, konduktivitas cenderung naik thdArtinya, konduktivitas cenderung naik thd
kenaikan frekuensi walaupun tak linear.kenaikan frekuensi walaupun tak linear.
D 11.4. (hal. 412)D 11.4. (hal. 412)
Suatu bahan denganSuatu bahan dengan εεRR = 2,5 dan= 2,5 dan µµRR =1, dan=1, dan σσ = 4 x 10= 4 x 10−−55
mho/m dipakai padamho/m dipakai pada
frekuensi 1 MHz. Tentukan harga numerik dari : a) tangen kerugian; b) konstantafrekuensi 1 MHz. Tentukan harga numerik dari : a) tangen kerugian; b) konstanta
atenuasi; c) konstanta fase.atenuasi; c) konstanta fase.
Jawab : 0,288; 4,72 x 10Jawab : 0,288; 4,72 x 10−−33
Np/m; 33,5 x 10Np/m; 33,5 x 10−−33
rad/m.rad/m.
D 11.5. (hal. 412)D 11.5. (hal. 412)
Suatu bahan non-magnetik mempunyai tangen kerugian 0,05 dan permitivitas relatifSuatu bahan non-magnetik mempunyai tangen kerugian 0,05 dan permitivitas relatif
((єєRR=5,2). Harga tsb dapat dianggap tetap dalam selang frekuensi 2 s/d 50 MHz.=5,2). Harga tsb dapat dianggap tetap dalam selang frekuensi 2 s/d 50 MHz.
CariCari αα dandan λλ pada f sama dengan: a) 3 MHz; b) 30 MHz.pada f sama dengan: a) 3 MHz; b) 30 MHz.
Jawab : 3,58 x 10Jawab : 3,58 x 10−−33
Np/m; 43,8 m; 0,0358 Np/m; 4,38 m.Np/m; 43,8 m; 0,0358 Np/m; 4,38 m.

VEKTOR POYNTING DAN PENINJAUAN DAYAVEKTOR POYNTING DAN PENINJAUAN DAYA
Dalam bagian ini, akan dibahas daya pada gelombang datar serba sama (GDS).Dalam bagian ini, akan dibahas daya pada gelombang datar serba sama (GDS).
Untuk itu, perlu dikembangkan teori daya untuk medan elektromagnetik yangUntuk itu, perlu dikembangkan teori daya untuk medan elektromagnetik yang
dikenal dengan teorema Poynting.dikenal dengan teorema Poynting.
Pertama kali dikemukakan oleh John H Poynting, fisikawan Inggris tahun 1884.Pertama kali dikemukakan oleh John H Poynting, fisikawan Inggris tahun 1884.
Kita lihat persamaan berikut :Kita lihat persamaan berikut :
dan kemudian kita lakukan perkaliandan kemudian kita lakukan perkalian
titik utk masing-2 suku pers. tsb dengantitik utk masing-2 suku pers. tsb dengan E,E,
..
Sekarang kita pakai identitas vektor,Sekarang kita pakai identitas vektor,
atauatau
tetapitetapi
jadijadi
atauatau
t
D
JHx
∂
∂
+−=∇


t
D
EEJHxE
∂
∂
•+•=∇•


xEHxHEHxE ∇•+∇•−=•∇ )(

t
D
EEJHxExEH
∂
∂
•+•=∇•−∇•


t
B
Ex
∂
∂
−=∇


t
D
EEJHxE
t
B
H
∂
∂
•+•=∇•−
∂
∂
•


t
H
H
t
E
EEJHxE
∂
∂
•+
∂
∂
•+•=∇•− µε


Namun,
dan
Jadi,
Akhirnya, kita integrasi ke seluruh volume,
dan dengan teorema divergensi kita peroleh,
(1)
Jadi, kita anggap dalam vol. tersebut tidak terdapat sumber, maka suku ke-1
ruas kanan merupakan daya ohmik (sesaat) yang dimasukkan ke dalam vol
tersebut.






∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
•
22
22
E
tt
E
t
E
E
εε
ε =
∂
∂
•
t
H
Hµ 





∂
∂
2
2
H
t
µ






+
∂
∂
+•=•∇−
22
)(
22
HE
t
EJExH
µε
dv
HE
t
EdvJdvExH VOLVOLVOL 





+∫
∂
∂
+•∫=•∇∫−
22
)(
22
µε
dv
HE
t
EdvJdSExH VOLVOLS 





+∫
∂
∂
+•∫=•∇∫−
22
)(
22
µε

Jika terdapat sumber, maka integrasi ke seluruh vol positif dan negatif jika dayaJika terdapat sumber, maka integrasi ke seluruh vol positif dan negatif jika daya
dikeluarkan oleh sumber teersebut. Integral pada suku ke-2 adalah energi totaldikeluarkan oleh sumber teersebut. Integral pada suku ke-2 adalah energi total
yang tersimpan dalam medan listrik dan medan magnet.yang tersimpan dalam medan listrik dan medan magnet.
Turunan ke-2 terhadap waktu menjadikan hal ini sebagai laju pertambahanTurunan ke-2 terhadap waktu menjadikan hal ini sebagai laju pertambahan
energi yang tersimpan dalam vol tersebut, atau sebagai daya sesaat yangenergi yang tersimpan dalam vol tersebut, atau sebagai daya sesaat yang
menambah penyimpanan energi dalam vol tsb. Jumlah dari kedua suku itumenambah penyimpanan energi dalam vol tsb. Jumlah dari kedua suku itu
merupakan daya total yang mengalir masuk ke dalam vol tsb. Jadi daya totalmerupakan daya total yang mengalir masuk ke dalam vol tsb. Jadi daya total
yang mengalir ke luar dari vol tersebut ialah,yang mengalir ke luar dari vol tersebut ialah,
integralnya mencakup seluruh permukaan tertutup yang melingkupi volintegralnya mencakup seluruh permukaan tertutup yang melingkupi vol
tersebut. Perkalian silang E x H dikenal sebagai vektor Poyntingtersebut. Perkalian silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting ℘℘,,
℘== EE xx HH (2)(2)
yang dapat ditafsirkan sebagai kerapatan daya sesaat yang diukur dalam wattyang dapat ditafsirkan sebagai kerapatan daya sesaat yang diukur dalam watt
per meter kuadrat (w/m2). Besaran tsb seperti halnya ½ Dper meter kuadrat (w/m2). Besaran tsb seperti halnya ½ D••E atau ½ BE atau ½ B••H.H.
Vektor tsb memperlihatkan bahwa integrasi vektor Poynting pada permukaanVektor tsb memperlihatkan bahwa integrasi vektor Poynting pada permukaan
tertutup menghasilkan kerapatan daya total yang melalui permukaan ke arahtertutup menghasilkan kerapatan daya total yang melalui permukaan ke arah
luar.luar.
Arah vektor tsb tentu saja arah aliran daya pada setiap titik yang selalu normalArah vektor tsb tentu saja arah aliran daya pada setiap titik yang selalu normal
pada E dan juga H.pada E dan juga H.
dSExHS
)(•∇∫

Hal tsb di atas sejalan dengan gel datar serbasama; penjalaran dalam arah z+Hal tsb di atas sejalan dengan gel datar serbasama; penjalaran dalam arah z+
selalu bertautan dengan komponen Ex dan Hy. Selain itu juga,selalu bertautan dengan komponen Ex dan Hy. Selain itu juga,
EExx aaxx ×× HHyy aayy == ℘℘zz aazz
Dalam dielektrik sempurna medan E dan H nya dapat dinyatakan sebagaiDalam dielektrik sempurna medan E dan H nya dapat dinyatakan sebagai
berikut :berikut :
EExx = E= Ex0x0 cos (cos (ωωt -t - ββz) ; Hz) ; Hxx = E= Ex0x0//ηη cos (cos (ωωt -t - ββz)z)
sehingga,sehingga,
℘℘zz = (= (EEx0x0))22
//ηη coscos22
((ωωt -t - ββz)z)
untuk mendapatkan kerapatan daya rata-2, kita integrasi untuk satu siklus danuntuk mendapatkan kerapatan daya rata-2, kita integrasi untuk satu siklus dan
kita bagi dengan perioda T = 1/f,kita bagi dengan perioda T = 1/f,
(3)(3)
[ ]
danztt
Ef
dtz
Ef
dtzt
E
f
f
x
f
x
f
x
avz
/1
0
2
0
/1
0
2
02
/1
0
2
0
,
)22(sin
1
2
)22cos(1
2
)(cos




−+=
−+=−=℘ ∫∫
βω
ωη
βω
η
βω
η
2
2
0
,
/
2
1
mW
Ex
avz
η
=℘

Jika kita gunakan akar-kuadrat rata-2 sebagai ganti amplitudo puncak, makaJika kita gunakan akar-kuadrat rata-2 sebagai ganti amplitudo puncak, maka
faktor ½ tidak ada.faktor ½ tidak ada. Maka, daya rata-2 yang mengalir melalui setiap permukaanMaka, daya rata-2 yang mengalir melalui setiap permukaan
seluas S yang normal thd sumbu z adalahseluas S yang normal thd sumbu z adalah
Dalam kasus dielektrik merugi, EDalam kasus dielektrik merugi, Exx dan Hdan Hyy waktunya tidak sefase dan integrasinyawaktunya tidak sefase dan integrasinya
selangkah atau dua langkah lebih panjang. Hasilnya adalahselangkah atau dua langkah lebih panjang. Hasilnya adalah sebagai berikut:sebagai berikut:
(4)(4)
dengandengan ηη dinyatakan dalam bentuk kutubdinyatakan dalam bentuk kutub ηη == ηηmm//θθηη..
Soal D 11.6 (hal. 417)Soal D 11.6 (hal. 417)
Pada frekuensi 1, 100 dan 3000 MHz, tetapan dielektrik dari es murni adalahPada frekuensi 1, 100 dan 3000 MHz, tetapan dielektrik dari es murni adalah
4,15; 3,45 dan 3,20 sedangkan tangen kerugiannya adalah 0,12, 0,035 dan4,15; 3,45 dan 3,20 sedangkan tangen kerugiannya adalah 0,12, 0,035 dan
0,0009. Cari daya rata-rata, jika gel datar serbasama dengan amplitudo 100 V/m0,0009. Cari daya rata-rata, jika gel datar serbasama dengan amplitudo 100 V/m
pada z=0 menjalar dalam es tersebut terhadap waktu yang melalui penampangpada z=0 menjalar dalam es tersebut terhadap waktu yang melalui penampang
seluas 1 mseluas 1 m22
di z=0 dan z=5 m untuk masing-2 frekuensi.di z=0 dan z=5 m untuk masing-2 frekuensi.
Jawab : 27,1; 26,4; 24,7; 12,48; 23,7; 14,31 W.Jawab : 27,1; 26,4; 24,7; 12,48; 23,7; 14,31 W.
WattS
Ex
avz
η
2
0
,
2
1
=℘
Watte
E
n
z
m
x
avz )(cos
2
1 2
2
0
, θ
η
α−
=℘

PENJALARAN DALAM KONDUKTOR YANG BAIK : EFEK KULITPENJALARAN DALAM KONDUKTOR YANG BAIK : EFEK KULIT
Dalam konduktor baik (KB), setiap medan yang berubah tdh waktu akanDalam konduktor baik (KB), setiap medan yang berubah tdh waktu akan
mengalami atenuasi yang sangat cepat,mengalami atenuasi yang sangat cepat,
KB memiliki konduktivitas yang tinggi dan arus konduksinya besar,KB memiliki konduktivitas yang tinggi dan arus konduksinya besar,
KB berarti tangen kerugian besar,KB berarti tangen kerugian besar, σσ//ωεωε >>1.>>1.
Rumusan umum untuk tetapan penjalaran ialahRumusan umum untuk tetapan penjalaran ialah
JadiJadi
Maka,Maka,
(1)(1)
Kita dapat lihat bahwaKita dapat lihat bahwa µµ dandan σσ tak bergantung dari parametertak bergantung dari parameter αα dandan ββ daridari
konduktor tsb atau frekuensi medan yang dipakai.konduktor tsb atau frekuensi medan yang dipakai.
ataujjjj
ωε
σ
µεω
ωε
σ
µεωγ −≅−= )1(
danjtetapijj °−∠=−−= 901ωµσγ
2
1
2
1
451901 j−=°−∠=°−∠
µσπωµσγ fjjj )11()
2
1
2
1
( +=−=
µσπβα f==

Jika kata anggap ada komponen x yang menjalar dalam arah z, maka,Jika kata anggap ada komponen x yang menjalar dalam arah z, maka,
(2).(2).
Misal daerah z>0 konduktor baik dan daerah z<0 dielektrik sempurna, makaMisal daerah z>0 konduktor baik dan daerah z<0 dielektrik sempurna, maka
pada z = 0, pers (2) menjadipada z = 0, pers (2) menjadi
z=0z=0
Ini dapat dilihat sebagai sumber medan yang menimbulkan medan dalamIni dapat dilihat sebagai sumber medan yang menimbulkan medan dalam
konduktor. Karena arus perpindahannya dapat diabaikan, maka J =konduktor. Karena arus perpindahannya dapat diabaikan, maka J = σσ E.E.
Jadi kerapatan arus konduksi pada setiap titik berkaitan langsung dengan E :Jadi kerapatan arus konduksi pada setiap titik berkaitan langsung dengan E :
(3a).(3a).
Faktor eksponensial ini besarnya satu pada z = 0 dan berkurang menjadi e-1Faktor eksponensial ini besarnya satu pada z = 0 dan berkurang menjadi e-1
= 0,368, jika= 0,368, jika
(3b).(3b).
Jarak tsb di atas dinyatakan dalamJarak tsb di atas dinyatakan dalam δδ dan disebut kedalam penembusan (dan disebut kedalam penembusan (depthdepth
of penetrationof penetration) atau kedalaman kulit () atau kedalaman kulit (skin depthskin depth),),
(4).(4).
)(cos)(
0
µσπωµσπ
fzteEE fz
xx
−= −
)(cos0
tEE xx
ω=
)(cos)(
0
µσπωσσ µσπ
fzteEEJ fz
xxx
−== −
µσπf
z
1
=
βαµσπ
δ
111
===
f

Kecepatan dan panjang gel dalam konduktor baik. Karena,Kecepatan dan panjang gel dalam konduktor baik. Karena, ββ = 2= 2ππ//λλ dandan
dengan pers. (4), makadengan pers. (4), maka
λλ = 2= 2ππ δδ (5)(5)
dan dengan v =dan dengan v = ωω//ββ, maka diperoleh, maka diperoleh
v =v = ωω δδ (6).(6).
Untuk tembaga pada 60 HUntuk tembaga pada 60 Hzz,, λλ=5,36 cm dan v = 3,22 m/s atau sekitar 7,2=5,36 cm dan v = 3,22 m/s atau sekitar 7,2
mil/jam.mil/jam. Dalam ruang hampa gel 60 Hz mempunyai panj gel 3100 mil menjalarDalam ruang hampa gel 60 Hz mempunyai panj gel 3100 mil menjalar
dengan kec cahaya.dengan kec cahaya.
Untuk memperoleh HUntuk memperoleh Hyy, kita memerlukan rumusan dari impedansi intrinsik suatu, kita memerlukan rumusan dari impedansi intrinsik suatu
konduktor yang baik. Dengankonduktor yang baik. Dengan
dan karenadan karena σσ>>>>ωεωε
maka dapat ditulismaka dapat ditulis atau dapat ditulisatau dapat ditulis
(7).(7).
ωεσ
ωµ
η
j
j
+
=
τ
ωµ
η
j
=
σδσδσδ
η
11
45
2
j+=∠=

Jadi kita bisa menuliskan pers (2) dinyatakan dalamJadi kita bisa menuliskan pers (2) dinyatakan dalam δδ,,
(8).(8).
Maka,Maka,
(9)(9)
atauatau
..
Kita bisa lihat bahwa pada jarak satu kedalaman kulit kerapatan dayanya hanyaKita bisa lihat bahwa pada jarak satu kedalaman kulit kerapatan dayanya hanya
ee−−2 = 0,135 harga kerapatan daya permukaan.2 = 0,135 harga kerapatan daya permukaan.
Kerugian daya total pada daerah selebar 0<y<b dan sepanjang 0<x<L dalamKerugian daya total pada daerah selebar 0<y<b dan sepanjang 0<x<L dalam
arah arus Jarah arus Jxx = J= Jx0x0 ee-z/-z/δδ
ee-jz/-jz/δδ
..
Kerugian daya rata-2 dalam daerah 0<y<b, 0<x<L adalahKerugian daya rata-2 dalam daerah 0<y<b, 0<x<L adalah δδbL (JbL (Jx0x0))22
/4/4σσ watt.watt.
Jadi,Jadi,
Jika kita nyatakan dalam kerapatan arus pada permukaan JJika kita nyatakan dalam kerapatan arus pada permukaan Jx0x0 (J(Jx0x0 == σσ EEx0x0),),
PPL,avL,av = ¼ [= ¼ [δδbL (JbL (Jx0x0))22
//σσ]] (10).(10).
)/(cos/
0
δωδ
zteEE z
xx
−= −
)4//(cos
2
/0
πδω
σδ δ
−−= −
zte
E
H zx
y
ataue
E zx
avz
)4/(cos
22
1 /
2
0
,
π
δσ δ−
=℘
WatteE z
xavz
δ
σδ /22
0,
4
1 −
=℘
2
0,
4
1
xavL
ELbP δσ=

Kerugian daya jika arus total selebar b terbagi serbasama pada kedalamanKerugian daya jika arus total selebar b terbagi serbasama pada kedalaman
kulit.kulit.
Dengan mengintegrasi s/d kedalaman tak berhingga dalam konduktor denganDengan mengintegrasi s/d kedalaman tak berhingga dalam konduktor dengan
dalam notasi eksponensial kompleks, untuk menyederhanakan integrasinya,dalam notasi eksponensial kompleks, untuk menyederhanakan integrasinya,
Jadi,Jadi,
Jika arus ini terbagi serbasama dalam penampang 0<y<b, 0<z<Jika arus ini terbagi serbasama dalam penampang 0<y<b, 0<z<δδ, maka, maka
Kerugian daya ohmik per satuan volume ialah JKerugian daya ohmik per satuan volume ialah J••E, sehingga daya sesaat totalE, sehingga daya sesaat total
yang didisipasikan dalam vol tersebut ialah,yang didisipasikan dalam vol tersebut ialah,
atauzteJJ z
xx
)/(cos/
0
δωδ
−= −
δδ //
0
jzz
xxx
eeJJ −−
=
)4/cos(
211
00
πω
δδ
−=
+
= t
bJ
Idan
j
bJ
I xx
S
).4/cos(
2
0'
πω −= t
J
J x
).4/cos(
2
)(
1 2
02'
πωδ
σ
δ
σ
−== tLb
J
LbJP x
L

Kerugian daya rata-2 thd waktu dapat kita peroleh dengan mudah, karena kitaKerugian daya rata-2 thd waktu dapat kita peroleh dengan mudah, karena kita
tahu harga rata-2 afktor kosinus kuadrat ialah ½,tahu harga rata-2 afktor kosinus kuadrat ialah ½,
(11).(11).
Jika kita bandingkan pers (10) dan (11), kita lihat bahwa keduanya identik. JadiJika kita bandingkan pers (10) dan (11), kita lihat bahwa keduanya identik. Jadi
kerugian daya rata-2 dalam konduktor dengan efek kulit dapat dihitung dengankerugian daya rata-2 dalam konduktor dengan efek kulit dapat dihitung dengan
menganggap bahwa arus totalnya terbagi merata dalam daerah setebalmenganggap bahwa arus totalnya terbagi merata dalam daerah setebal
kedalaman kulit.kedalaman kulit.
Jika dinyatakan dalam resistansi, maka daerah resistansi untuk selebar b danJika dinyatakan dalam resistansi, maka daerah resistansi untuk selebar b dan
panjang L dari lempengan yang tebalnya tak berhingga dengan efek kulit.panjang L dari lempengan yang tebalnya tak berhingga dengan efek kulit.
Hal tsb sama dengan resistansi bujursangkar selebar b, dengan panjang L danHal tsb sama dengan resistansi bujursangkar selebar b, dengan panjang L dan
tebaltebal δδ tanpa efek kulit, atau dgn distribusi arus yang merata.tanpa efek kulit, atau dgn distribusi arus yang merata.
Hal ini dapat diterapkan utk konduktor berpenampang lingkaran denganHal ini dapat diterapkan utk konduktor berpenampang lingkaran dengan
kesalahan kecil, jika jejari a >>> dpd kedalam kulit. Resistansi pada frekuensikesalahan kecil, jika jejari a >>> dpd kedalam kulit. Resistansi pada frekuensi
tinggi yang diikuti dengan efek kulit dicari dengan meninjau lempengan selebartinggi yang diikuti dengan efek kulit dicari dengan meninjau lempengan selebar
keliling lingkaran 2keliling lingkaran 2ππa dan tebalnyaa dan tebalnya δδ. Jadi,. Jadi,
R = L/(R = L/(σσS) = L/(2S) = L/(2 ππ aa σσ δδ)) (12).(12).
.)(
1
4
1 2
0
δ
σ
LbJP xL
=

Seutas kawat tembaga dengan penampang lingkaran jejari 1 mm danSeutas kawat tembaga dengan penampang lingkaran jejari 1 mm dan
panjangnya 1 km mempunyai resistansi arus searah sebesar,panjangnya 1 km mempunyai resistansi arus searah sebesar,
R = 10R = 1033
/{/{ππ1010−−66
(5,8 x 10(5,8 x 1077
)} = 5,48)} = 5,48 ΩΩ..
Pada frekuensi 1 MHz kedalama kulitnya 0,0661 mm. JadiPada frekuensi 1 MHz kedalama kulitnya 0,0661 mm. Jadi δδ <<<a, dan<<<a, dan
resistansi pada frekuensi 1 MHz dapat dihitung dengan pers (12),resistansi pada frekuensi 1 MHz dapat dihitung dengan pers (12),
R = 103/{2R = 103/{2 ππ 1010−−3 (3 (
5,8 x 105,8 x 1077
) (0,0661 x 10) (0,0661 x 10−−33
) } = 41,5) } = 41,5 ΩΩ..
Soal D 11.7. (hal. 425)Soal D 11.7. (hal. 425)
Sebuah konduktor berpenampang lingkaran dengan r = 2,5 mm, terbuat dariSebuah konduktor berpenampang lingkaran dengan r = 2,5 mm, terbuat dari
baja dgnbaja dgn σσ = 5,1 x 10= 5,1 x 1066
1/1/ΩΩ/m dan/m dan µµR = 200. Jika panjang konduktor tsb 300 mR = 200. Jika panjang konduktor tsb 300 m
dan arus totalnya I (t) = 1,5 cos (3 x 10dan arus totalnya I (t) = 1,5 cos (3 x 1044
) t A, tentukan :) t A, tentukan :
a) kedalaman kulit;a) kedalaman kulit; b) resistansi efektif;b) resistansi efektif;
c) resistansi arus searah;c) resistansi arus searah; d) kerugian daya rata-2.d) kerugian daya rata-2.
Jawab : 0,228 mm; 16,42Jawab : 0,228 mm; 16,42 ΩΩ; 3,00; 3,00 ΩΩ; 18,47 W.; 18,47 W.

PEMANTULAN GEL. DATAR SERBASAMAPEMANTULAN GEL. DATAR SERBASAMA
Untuk memecahkan persoalan praktis, kita pusatkan pada daerah yangUntuk memecahkan persoalan praktis, kita pusatkan pada daerah yang
ukurannya berhingga.ukurannya berhingga.
Misalkan kita mempunyai komponen tunggal, daerah 1 (Misalkan kita mempunyai komponen tunggal, daerah 1 (µµ1,1,εε1,1,σσ1) untuk z < 01) untuk z < 0
dan (dan (µµ2,2,εε2,2,σσ2) untuk z > 0. Mula-2 kita mempunyai gel yang menjalar dalam2) untuk z > 0. Mula-2 kita mempunyai gel yang menjalar dalam
arah z+ dalam daerah 1,arah z+ dalam daerah 1,
(1)(1)
Gelombang di atas disebut gel datang dalam daerah 1. Untuk gel yang datangGelombang di atas disebut gel datang dalam daerah 1. Untuk gel yang datang
pada daerah 2,pada daerah 2,
(2).(2).
z
xys
z
xxs
eEHdaneEE 1
10
1
1
1
101
1 γγ
η
−++−++
==
z
xys
z
xxs
eEHdaneEE 2
20
2
2
2
202
1 γγ
η
−++−++
==
Daerah 1
µ1,ε1,σ1
E1
+
, H1
+
Gelombang datang
E1
+
, H1
+
Gelombang pantul
Daerah 2
µ2,ε2,σ2
E2
+
, H2
+
Gelombang transmisi
x
Z=0

Gelombang di atas disebut gel transmisi dan tetapan penjalaranGelombang di atas disebut gel transmisi dan tetapan penjalaran γγ2 berbeda2 berbeda
juga dengan impedansijuga dengan impedansi ηη2. Untuk gel pantul,2. Untuk gel pantul,
(3)(3)
Pada z = 0,Pada z = 0,
(4)(4)
(5)(5)
(6)(6)
Kita dapatkan,Kita dapatkan,
(7).(7).
z
xys
z
xxs
eEHdaneEE 1
10
1
1
1
101
1 γγ
η
−−−−
−==
+−+
=+= 21121 xsxsxsxsxs
EEEatauEE
+−+
=+ 201010 xxx
EEEJadi
+−+
=+ 20
2
10
1
10
1
111
xxx
EEE
ηηη
12
12
1010
ηη
ηη
+
−
= +−
xx
EE

Rasio amplitudo pantul terhadap amplitudo datang dari medan listrik disebutRasio amplitudo pantul terhadap amplitudo datang dari medan listrik disebut
koefisien pemantulan dan dinyatakan dengankoefisien pemantulan dan dinyatakan dengan ΓΓ (gama).(gama).
(8).(8).
Amplitudo relatif dari intensitas medan listrik yang diteruskan diperoleh sbb,Amplitudo relatif dari intensitas medan listrik yang diteruskan diperoleh sbb,
(9).(9).
Apabila daerah 1 sebagai dielektrik sempurna dan daerah 2 konduktorApabila daerah 1 sebagai dielektrik sempurna dan daerah 2 konduktor
sempurna, makasempurna, maka ηη2 = 0 atau2 = 0 atau ΓΓ == −−1 dan gel pantul mempunyai amplitudo sama1 dan gel pantul mempunyai amplitudo sama
dengan gel datang, tetapi tandanya berlawanan. Ini berarti,dengan gel datang, tetapi tandanya berlawanan. Ini berarti,
EExs1xs1 = E= Exs1xs1
++
+ E+ Exs1xs1
−−
= E= Ex10x10
++
ee−−jjββ1z1z
−− EEx10x10
++
eejjββ1z1z
12
12
10
10
ηη
ηη
+
−
==Γ +
−
x
x
E
E
12
2
10
20
2
ηη
η
+
=+
+
x
x
E
E

Disini kita telah mengambilDisini kita telah mengambil γγ11 = 0 + j= 0 + jββ11 dalam dielektrik sempurna. Dengandalam dielektrik sempurna. Dengan
penyederhanaan kita peroleh,penyederhanaan kita peroleh,
EExs1xs1 = ( e= ( e−−jjββ1z1z
−− eejjββ1z1z
) E) Ex10x10
++
== −−2j sin2j sin ββ11z Ez Ex10x10
++
atau dengan mengalikannya dengan eatau dengan mengalikannya dengan ejjωωtt
dan mengambil bagian nyata akhirnyadan mengambil bagian nyata akhirnya
diperoleh,diperoleh,
EEx1x1 = 2 E= 2 Ex10x10
++
sinsin ββ11z sinz sin ωωtt (10).(10).
Medan total dalam daerah 1 bukan merupakan gel berjalan walau diperolehMedan total dalam daerah 1 bukan merupakan gel berjalan walau diperoleh
dengan mengkombinasikan dua gel berjalan (arahnya berlawanan). Lihat kitadengan mengkombinasikan dua gel berjalan (arahnya berlawanan). Lihat kita
bentuk gelombang,bentuk gelombang,
EEx1x1
++
= E= Ex10x10+ cos (+ cos (ωωtt −− ββ11z )z ) (11).(11).
Kita lihat sukuKita lihat suku ωωtt −− ββ11z atauz atau ωω(t(t −− z/vz/v11) adalah gel berjalan dalam arah z dengan) adalah gel berjalan dalam arah z dengan
kecepatan vkecepatan v11== ωω//ββ11. Dalam pers (9) waktu dan jarak merupakan suatu yang. Dalam pers (9) waktu dan jarak merupakan suatu yang
terpisah.terpisah.
Pada setiap bidang yang memenuhi persamaanPada setiap bidang yang memenuhi persamaan ββ1z= n1z= nππ, Ex1 menjadi nol, Ex1 menjadi nol
untuk setiap waktu. Selanjutnya jikauntuk setiap waktu. Selanjutnya jika ωωt= nt= nππ, maka Ex1 menjadi nol untuk setiap, maka Ex1 menjadi nol untuk setiap
titik.titik.

Medan yang dinyatakan dalam pers (9) disebutMedan yang dinyatakan dalam pers (9) disebut gelombang berdiri.gelombang berdiri.
HHys1ys1 = (E= (Ex10x10
++
//ηη11) ( e) ( e−−jjββ1z1z
+ e+ ejjββ1z1z
) atau) atau
HHys1ys1 = 2 (E= 2 (Ex10x10
++
//ηη11) cos) cos ββ11z cosz cos ωωtt (12).(12).
Ini jugaIni juga gelombang berdirigelombang berdiri, tetapi amplitudo max nya pada kedudukan E, tetapi amplitudo max nya pada kedudukan Ex10x10 = 0,= 0,
juga berbeda fase waktu 90juga berbeda fase waktu 90°° terhadap Eterhadap Ex10x10 di setiap titik.di setiap titik.
Marilah kita tinjau dielektrik sempurna pada ke dua daerah 1 dan 2;Marilah kita tinjau dielektrik sempurna pada ke dua daerah 1 dan 2; ηη11 dandan ηη22
merupakan bilangan positip nyata, sertamerupakan bilangan positip nyata, serta αα11 == αα22 = 0. Pers (8) memungkinkan= 0. Pers (8) memungkinkan
untuk menghitung koefisien pemantulan dan mendapatkan Euntuk menghitung koefisien pemantulan dan mendapatkan Ex1x1
−−
dinyatakandinyatakan
dalam amplitudo datang Edalam amplitudo datang Ex10x10+. Dengan mengetahui E+. Dengan mengetahui Ex1x1
++
dan Edan Ex1x1
−−
, kita peroleh H, kita peroleh Hy1y1
++
dan Hdan Hy1y1
−−
..
Dalam daerah 2, EDalam daerah 2, Ex2x2
++
diperoleh dari pers (9) dan besaran ini menentukan Hdiperoleh dari pers (9) dan besaran ini menentukan Hy2y2
++
..
Sebagai contoh numerik, marilah kita pilih,Sebagai contoh numerik, marilah kita pilih,
ηη11 = 300= 300 ΩΩ dandan ηη22 = 100= 100 ΩΩ; E; Ex10x10
++
= 100 V/m.= 100 V/m.
Maka,Maka, ΓΓ = (100-300)/(100+300) == (100-300)/(100+300) = −− 0,5.0,5.
EEx10x10
−−
== −− 50 V/m.50 V/m.

Besar intensitas magnetiknya ialahBesar intensitas magnetiknya ialah
HHy10y10
++
= 100/300 = 0,333 A/m.= 100/300 = 0,333 A/m.
HHy10y10
−−
== −− ((−−50/300) = 0,167 A/m.50/300) = 0,167 A/m.
Kerapatan daya rata-2 gelombang datang ialah,Kerapatan daya rata-2 gelombang datang ialah,
PP1,av1,av
++
= ½ E= ½ Ex10x10
++
HHy10y10
++
= 16,67 W/m= 16,67 W/m22
Sedangkan,Sedangkan, PP1,av1,av
−−
== −− ½ E½ Ex10x10
−−
HHy10y10
−−
= 4,17 W/m= 4,17 W/m22
..
Dalam daerah 2,Dalam daerah 2, EEx20x20
++
= [2= [2ηη22/(/(ηη11++ηη22)] E)] Ex10x10
++
= 50 V/m= 50 V/m
dandan HHy20y20
++
= 50/100 = 0,500 A/m.= 50/100 = 0,500 A/m.
Jadi,Jadi, PP2,av2,av
++
= ½ E= ½ Ex20x20
++
HHy20y20
++
= 12,5= 12,5 W/mW/m22
..
Perhatikan bahwa energinya kekal :Perhatikan bahwa energinya kekal :
PP1,av1,av
++
= P= P1,av1,av
−−
+ P+ P2,av2,av
++
Dan juga bisa kita lihat, EDan juga bisa kita lihat, Ex10x10
++
+ E+ Ex10x10
−−
= E= Ex20x20
++
..

D11.8 (hal. 433)
Dalam daerah 1, y < 0, ε1 = 10 pF/m, µ1 = 2,5 µH/m, dan σ1 = 0. Untuk
daerah 2, y > 0, ε2 = 9 pF/m, µ2 = 4 µH/m, dan σ2 = 0. Suatu GDS dalam
daerah 1,
Exs1
+
= 500 V/m menjalar ke arah perbatasan pada y = 0.
Jika ω = 108
rad/s, carilah :
a). Ez1
+
(t);
b). medan magnetik datang sebagai fungsi vektor terhadap waktu;
c). Ez1
−
(t); dan
d). Ez2
+
.
Jawab : 500 cos(108
t − 0,5y) V/m ; cos(108
t − 0,5y) ax A/m;
71,4 cos(108
t + 0,5y) V/m ; 571,4 cos(108
t − 0,6 y) V/m.

RASIO GELOMBANG BERDIRI (RASIO GELOMBANG BERDIRI (STANDING WAVE RATIOSTANDING WAVE RATIO))
Salah satu pengukuran yang mudah dilakukan dalam sistem transmisi
adalah amplitudo relatif dari intensitas medan listrik atau magnetik
dengan menggunakan probe (penguar).
Suatu sosok penggandeng kecil dapat dipakai untuk mengukur
amplitudo medan magnet, sedangkan seutas kabel sesumbu yang
konduktor tengahnya agak menonjol keluar dapat mengukur medan
listriknya. Kedua alat tersebut biasanya diselaraskan untuk bekerja
pada frekuensi tertentu. Outputnya kemudian dihubungkan langsung
dengan mikroameter.
Bila suatu GDS menjalar dalam daerah tak merugi dan tak terdapat gel
pantul, pengukur akan menunjukkan amplitudo yang sama pada setiap
titik. Medan sesaatnya akan berbeda fase β(z2-z1) rad ketika probe
bergerak dari z = z1 ke z= z2, tetapi sistemnya tidak peka thd fase
medan tsb.
Karakteristik gel berjalan sangat bergantung kepada bahan yang
dilaluinya. Keadaan paling rumit akan timbul apabila medan yang
dipantulkan tidak nol atau tidak sama dengan 100% dari medan
datang.

Untuk memulai menyelidiki rasio gel berdiri, maka kita mulai dengan gel medanUntuk memulai menyelidiki rasio gel berdiri, maka kita mulai dengan gel medan
berikut,berikut,
EEx1x1 = E= Ex1x1
++
+ E+ Ex1x1
−−
Gelombang tegangan berdiri yang ditimbulkan dalam medium takmerugi olehGelombang tegangan berdiri yang ditimbulkan dalam medium takmerugi oleh
pemantulan pada konduktor sempurna yang berubah menurut | sinpemantulan pada konduktor sempurna yang berubah menurut | sin ββz |.z |.
Medan EMedan Ex1x1 merupakan fungsi sinusoidal thd waktu (biasanya dengan sudut fasemerupakan fungsi sinusoidal thd waktu (biasanya dengan sudut fase
≠≠ nol) dan besarnya berubah thd z.nol) dan besarnya berubah thd z.
Kita akan melihat gel amplitudo makasimum dan minimum dan menentukanKita akan melihat gel amplitudo makasimum dan minimum dan menentukan
rasionya. Kita sebut saja rasio gel berdiri dan dinyatakan dengan s.rasionya. Kita sebut saja rasio gel berdiri dan dinyatakan dengan s.
2|Ex10
+
sinβz|
-2λ1 -3λ1 -λ1 -λ1
2 2
|Ex1|
2 |Ex10
+
|
Konduktor
sempurna

Kita lihat kasus daerah 1 dengan dielektrik sempurna,Kita lihat kasus daerah 1 dengan dielektrik sempurna, αα11 = 0, tetapi daerah 2= 0, tetapi daerah 2
boleh dari bahan apa saja. Kita peroleh,boleh dari bahan apa saja. Kita peroleh,
EExs1xs1
++
= E= Ex10x10
++
ee−−jjββ1z1z
dan Edan Exs1xs1
−−
== ΓΓ EEx10x10
++
eejjββ1z1z
dengandengan ΓΓ = (= (ηη22 -- ηη11)/ ()/ (ηη22 ++ ηη11).).
ηη11 bilangan nyata positif, tetapibilangan nyata positif, tetapi ηη22 bilangan kompleks.bilangan kompleks.
JadiJadi ΓΓ dapat merupakan bilangan kompleks, dan kemungkinannya bisa,dapat merupakan bilangan kompleks, dan kemungkinannya bisa,
ΓΓ = |= |ΓΓ| e| ejjφφ
..
Jika daerah 2 merupakan konduktor semp. ,Jika daerah 2 merupakan konduktor semp. ,φφ== ππ; jika; jika ηη22 bil nyata dan < daribil nyata dan < dari ηη11,,
φφ juga sama denganjuga sama dengan ππ; jika; jika ηη22 dan > daridan > dari ηη11,, φφ sama dengan nol. Medan totalsama dengan nol. Medan total
dalam daerah 1,dalam daerah 1,
EExs1xs1
++
= E= Ex10x10
++
{ e{ e−−jjββ1z1z
+ |+ |ΓΓ| e| ej(j(ββ1z+1z+φφ))
} (1)} (1)
Kita cari harga max dan min besaran kompleks dalam tanda kurang. Kita dapatKita cari harga max dan min besaran kompleks dalam tanda kurang. Kita dapat
harga max jika masing-2 suku dalam tanda kurung memiliki sudut fasa yangharga max jika masing-2 suku dalam tanda kurung memiliki sudut fasa yang
sama; jadi utk Ex10+ dan nyata,sama; jadi utk Ex10+ dan nyata,
EExs1,maxxs1,max = E= Ex10x10
++
( 1 + |( 1 + |ΓΓ|) (2)|) (2)

Dan hal ini terjadi ketika,
-β1z = β1z + φ + 2nπ (n=0, ±1, ±2,......), jadi
-β1zmaks = φ/2 + nπ (3).
Perhatikan bahwa tegangan maks terletak pada bidang perbatasan (z=0) jika
φ=0;selalnjutnya, φ=0 jika Γ bilangan nyata dan +. Ini terjadi utk η2 dan η1 yang
merupakan bilangan nyata jika η2 > η1.
Untuk keadaan minimum diperoleh apabila berbeda fase 180°. Jadi,
Exs1,min = Ex10
+
( 1 − |Γ|) (4)
terjadi ketika,
− β1z = β1z + φ + 2nπ (n=0, ±1, ±2,......), atau
− β1zmin = φ/2 + π/2 (5).
Untuk supaya lebih jelas, mari kita lihat sebuah gel dengan 100 V/m pada 3GHz
yang merambat dalam bahan εR1 = 4, µR1=1 dan σ=0. Gel tsb datang dalam arah
normal pada bahan dielektrik sempurna dalam daerah 2, z>0 dimana
εR2 = 9, µR2 =1 (Lihat Gbr).

Kita hitung ω=6π109
rad/s, β1=40 rad/m, dan β2= 60π rad/m. Walaupun panjang
gel dalam udara 10 cm, kita dapatkan disini λ1= 5 cm, λ2=3,33 cm, η2= 2/3 η1
dan Γ= − 0,2. Kita lihat η2 < η1 dan nyata, maka akan ada min medan listrik
pada perbatasan dan akan terulanag pada ½ gel (2,5 cm) dalam dielektrik 1.
Dari pers (4), maka Exs1,min = 80 V/m.
Maksimum E didapat pada jarak 1,25, 3,75, 6,25 dtst cm dari z=0. Semua
maks mempunyai amplitudo 120 V/m seperti ditunjukkan pers (2).
Dalam daerah 2 tidak terdapat maks dan min karena daerah tsb tidak terdapat
gel pantul.
εR1= 4,, µR1=1, σ1=0
Dielektrik 1
Exs1
+
=100e-j40πz
Exs1
-
= -20ej40πz
Z
εRz = 9,, µR2= 1, σ2= 0
Dielektrik 2
Exs2
+
= 80e-j60πz

Rasio amplitudo maks tehadap min disebut rasio gel berdiri (standing wave ratio)
s = Exs1,maks /Exs1,min = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) (6).
Untuk contoh di atas s = 1,5.
Jika η2 =η1, maka Γ=0, dalam hal ini tak ada energi yang dipantulkan, dan s=1;
amplitudo maks dan min menjadi sama.
Untuk selanjutnya, mari kita lihat, anggap daerah 1 sebagai bahan tak merugi, dan
kita lihat rasio intensitas listrik dan megnetik total. Untuk gel berjalan kuantitasnya
adalah ±η1 dimana tandanya bergantung pada arah penjalaran.
Walaupun demikian, pemantulan dari konduktor sempurna telah menunjukkan bahwaWalaupun demikian, pemantulan dari konduktor sempurna telah menunjukkan bahwa
Exs1 atau Hys1 dapat berharga nol pada kedudukan tertentu, dan s nya dapatExs1 atau Hys1 dapat berharga nol pada kedudukan tertentu, dan s nya dapat
berubah-ubah. Medan total pada jarak tertentu, misal z=berubah-ubah. Medan total pada jarak tertentu, misal z= −− L, ialah,L, ialah,
EExs1xs1 = E= Ex10x10+ { ej+ { ejββ11L +L + ΓΓee−−jjββ11L }L } (7)(7)
HHys1ys1 = (E= (Ex10x10+ /+ /ηη11){ e){ ejjββ
11
LL
−− ΓΓee−−jjββ
11
LL
}} (8)(8)

Kita tuliskan rasio impedansi intrinsik masukan (input)Kita tuliskan rasio impedansi intrinsik masukan (input) ηηinin,,
ηηinin= E= Exs1xs1/H/Hys1|z=ys1|z=−−LL==ηη11{e{ejjββ1L1L
++ΓΓee−−jjββ1L1L
}{e}{ejjββ1L1L
−−ΓΓee−−jjββ1L1L
}}
dan dapat disederhanakan menjadi,dan dapat disederhanakan menjadi,
ηηin== ηη11{{ηη22+j+jηη11 tan (tan (ββ11L)} / {L)} / {ηη11+j+jηη22 tan (tan (ββ11L)}L)} (9).(9).
KalauKalau ηη11 == ηη22 makamaka ηηinin == ηη11 (tak ada pemantulan), disebut transmisi ini(tak ada pemantulan), disebut transmisi ini sepadansepadan..
Persamaan (9) akan terus dipakai dalam hal-2 selanjutnya.Persamaan (9) akan terus dipakai dalam hal-2 selanjutnya.
Lihat gambar berikut :Lihat gambar berikut :
ηo = 377
energi
datang
ηin
η1
Kubah
radar
η2 = 377Ω
= ηo
-L 0

Misal daerah 1 dielektrik sempurna yang sangat tipis, agar anggapan
kerugiannya dapat berlaku utk kasus ini. Dalam daerah 2, z>0, daerah ruang
hampa yang kedalamnya sinyal radar disampaikan. Untuk menghindari
pemantulan daya ke dalam antena, atau utk menyepadankan dengan dunia
luar, kita ambil ηin=377. Karena η2 = 377 juga, kita peroleh,
377= η1{377+jη1 tan (β1L)} / {η1+j377 tan (β1L)} atau
j3772
tan (β1L)= jη1
2
tan (β1L)}. Karena η1<377 untuk bahan non-magnetik, kita
dapat memenuhi pers di atas dengan β1L = nπ. Kubah radar yang paling tipis
apabila β1L = π atau L = λ1/2. Jika frekuensi yang dipakai 10.000 Hz, maka kita
bisa pilih plastik ringan dengan εR1=2,25 dan tebalnya kita pilih,
L =λ1/2= v1/2f1 =3x108
/(2√2,25x1010
) =10−2
m (1 cm).

Jika kubah radarnya setebal 0,5 cm, dapat dilihat bahwa ηin = 1,67 Ω dan
14,8% dari daya akan dipantulkan.
D11.9 (hal 441)
GDS 4 GHz datang dalam arah normal dari daerah 1, z<0, εR1=5, µR1=1,
σ1=0 ke daerah 2, z>0, εR2=2, µR2=10, σ2=0. Cari : a) s dalam daerah 1; b) s
dalam daerah 2; c) ηin pada z = −0,6 cm.
Jawab: 5,00; 1,00; 86,9∠−61,8°.

Saluran Transmisi
Sistem transmisi dapat berbentuk transmisi dan antena, register geser dan
teras memori dalam komputer digital, PLTA dengan substationnya yang
jauhnya beberapa mil, antena dan penerima, suatu saluran gramafon stereo
dan masukan prapenguat.
Ada analogi langsung antara saluran transmisi serbasama (STS) dan GDS,
karena dua-2 nya sama-2 gel elektromagnetik transversal. Artinya, E dan H
keduanya tegak lurus pada arah penjalaran atau keduanya terletak pada
bidang transversal.
Persamaan Saluran Transmisi
Model rangkaian terdiri dari induktansi, kapasitansi, konduktansi shunt dan
resistansi seri yang berkaitan dengan unsur pertambahan panjang dari saluran
transmisi.
Kita lihat pertama dengan saluran transmisi sesumbu (koaksial) yang berisi
dielektrik yang mempunyai permeabilitas µ, permitivitas ε dan konduktivitas σ.
Dengan mengetahui frekuensi yang dipakai, maka dapat ditentukan harga R,
G, L dan C dengan dasar per satuan panjang.

Marilah kita anggap arah penjalarannya ax, dan sekarang kita potong bagian
sepanjang ∆z yang berisi resistansi R∆z, induktansi L∆z, konduktansi G∆z dan
kapasitansi C∆z, seperti gambar berikut,
Tegangan V antara konduktor pada umumnya merupakan fungsi z dan t,
misalnya,
V = V0 cos (ωt − βz + ψ).
Dengan memakai teorema Euler,
V = Re V0 ej(ωt − βz + ψ)
= Re V0 ej ψ
e−jβz
ejωt
Dengan menganulir Re dan menghilangkan exp(jωt) kita mengalihkan bentuk
tegangan menjadi sebuah fasor yang ditandai dengan s,
Vs = V0 exp(j ψ) exp(−jβz)

Sekarang kita tuliskan persamaan tegangan sepanjang tepi rangkaian pada
gambar sebelumnya,
Vs = ( ½ R∆z + j ½ωL∆z ) Is + ( ½ R∆z + j ½ωL∆z ) (Is+∆ Is) + Vs + ∆Vs
atau
∆Vs/∆z = − (R + jωL) Is − (½ R + j ½ωL) ∆Is
Kita ambil ∆z menuju nol, ∆Is juga menuju nol, dan seku ke dua sebelah kanan
menjadi nol. Dalam limitnya
dVs/dz = − (R + jωL) Is (1).
∆Is/∆z = − (G + jωC) Vs atau
dIs/dz = −(G + jωC) Vs (2).
Dari pers kurl Maxwell, dapat dituliskan bahwa
Es = Exs ax dan Hs = Hys ay merupakan fungsi dari z saja.

Maka dari Exs = Ex0 e−γz
dapat kita peroleh
Vs = V0 e−γz
(3)
yang menjalar dalam arah +z dengan amplitudo Vs = V0 pada z=0 (dan Vs = V0
pada z = 0, t = 0 untuk ψ = 0).
Tetapan penjalaran untuk gelombang datar serbasama,
(4)
Panjang gel masih didefinisikan sebagai jarak yang bersesuaian dengan
pergeseran fase 2π rad, sehingga
λ = 2π/β;v = ω/β; (5 dan 6).
Persamaan di atas berlaku untuk GDS dan saluran transmisi serbasama (STS).
Apabila saluran tanpa rugi (R = G = 0), dapat kita lihat,
γ = jβ = jω (LC)1/2
, jadi v = 1/(LC)1/2
(7).
menjadijj )( ωεσωµγ +=
)()( CjGLjRj ωωβαγ ++=+=

Dari rumusan untuk intensitas medan magnetik
Hys = {(Ex0)/η} exp(−γz), kita lihat
Is = (V0/Z0) e(−γz) (8)
berkaitan dengan gelombang tegangan berjalan positif melalui impedansi
karakteristik Z0 yang analog dengan η. Karena η = { jωµ/(σ+jωε)}1/2, maka
diperoleh,
(9).
Bila GDS dalam medium 1 tiba pada perbatasan dengan medium 2, fraksi dari
gelombang datang yang dipantulkan disebut koefisien pemantulan Γ,
Jadi fraksi tegangan datang akan dipantulkan oleh saluran yang mempunyai
impedansi karakteristik, Z02 ialah,
(10)
Maka rasio gelombang berdiri,
s = (1+|Γ|)/(1−|Γ|) (11).
CjG
LjR
Z
ω
ω
+
+
=0
12
12
0
0
ηη
ηη
+
−
==Γ +
−
x
x
E
E
0102
0102
0
0
ZZ
ZZ
V
V
+
−
==Γ +
−

Akhirnya, apabila η = η2 untuk z>0, rasio Exs terhadap Hys pada z = −L ialah
ηin= η1{η2+jη1 tan (β1L)}/{η1+jη2 tan (β1L)}, jadi impedansi masukan (input) ialah,
Zin= Z01{Z02+jZ01 tan (β1L)}/{Z01+jZ02 tan (β1L)} (12)
yang merupakan rasio Vs terhadap Is pada z = −L, bila Z0 = Z02 untuk z>0.
Kita sering mengakhiri saluran transmisi pada z=0 dengan impedansi ZL,
biasanya pada antena. Impedansi masukan pada z = −L dapat ditulis,
Zin= Z0{ZL+jZ0 tan (β1L)}/{Z0+jZL tan (β1L)} (13).
Kita akan memakai pers-2 di atas untuk mengenal dengan baik persoalan
saluran transmisi setelah menentukan parameter R, G, L dan C yang tepat.
D12.1 (hal 456)
Seutas saluran transmisi bekerja pada ω = 108
rad/s mempunyai harga
parameter sebagai berikut : R = 0,1 Ω/m, L = 0,2 µH/m dan G = 10 µMho/m
dan C = 100 pF/m.
Hitunglah : a) α; b) β; c) λ; d) v; e) Z0.
Jawaban : 1,342 m Np/m; 0,447 rad/m; 14,05 m;
8

PARAMETER SALURAN TRANSMISI
a. Kapas/sat panjang : C ={2πε}/{ln(b/a)} (1)
b. Kond/sat panjang : G ={2πσ}/{ln(b/a)} (2)
c. Induk/sat panjang : Lekst ={µ/2π}{ln(b/a)} (3)
Pers (3) berlaku frekuensi tinggi dan rendah dan efek kulit (δ) sangat
kecil, sehingga fluks yang ada di dalam konduktor dapat diabaikan.
Untuk frekuensi sangat rendah, induktor dalam konduktor pusat adalah,
La,int = µ/8π H/m (4).
a
b
c
Konduktor
(σc)
Dielektrik
(σ, ε, µ)
a
b
c
Konduktor
(σc)
Dielektrik
(σ, ε, µ) A. KABEL SESUMBU,
dengan jejari kabel
dalam a dan kabel luar
jejari dalam b dan jejari
luar c. Medium
dielektrik µ, ε, σ

Persamaan (4) berguna untuk daerah frekuensi transmisi daya.
Energi yang tersimpan per sat panjang pada tabung luar yang berjejari-
dalam dan luar b dan c serta arus yang terbagi serbasama ialah,
(5)
Jadi induktansi internal dari konduktor luar pada frekuensi yang sangat
rendah ialah,
(6)
Pada frekuensi rendah, maka
(7)
Pers (7) dipakai untuk konduktor sesumbu dengan distribusi arus
serbasama tanpa ada efek kulit yang cukup besar.
Pada frekuensi pertengahan, dan mengingat,
Hφs = Is/2πa; {Exs/Hxs}ρ=a = (1+j1)/σc d ;
atau {Exs/Is}ρ=a = (1+j1)/2πa δσc.
)}(ln
4
3{
)(16 22
4
22
22
2
b
c
bc
c
cb
bc
I
WH
−
+−
−
=
π
µ
)}(ln
4
3{
)(8 22
4
22
22int,
b
c
bc
c
cb
bc
Lbc
−
+−
−
=
π
µ












−
+−
−
++=
b
c
bc
c
cb
bca
b
Lrendah ln
4
)(4
1
4
1
ln
2 22
4
22
22
π
µ

Besaran di atas merupakan impedansi per satuan panjang,
Z = R + jωLint = (1/2πaδσc) + (j/2πaδσc).
Dengan demikian induktansi internal pada frek. tinggi untuk konduktor dalam,
(8).
Untuk konduktor-luar,
(9).
Jadi induktansi total pada frekuensi tinggi ialah,
(10).
)(
42
1
int, a
aa
L
c
a <<== δ
π
µδ
ωδσπ
)(
42
1
int, bc
bb
L
c
bc −<<== δ
π
µδ
ωδσπ
),(
11
2
ln
2
bca
baa
b
Ltinggi −<<<<











++= δδ
δ
π
µ

Resistansi per satuan panjang,
(11),
bila terdapat efek kulit. Ini untuk resistansi internal dan untuk resistansi eksternal biasanya
dipakai konduktansi per satuan panjang.
Dari seluruh uraian sebelumnya, maka impedansi karakteristiknya ialah,
(12).
B. DUA KAWAT, selanjutnya lihat gambar berikut:
),()
11
(
2
1
bca
ba
R
c
−<<<<+= δδ
πδσ
)(ln
2
1
0
a
b
C
L
Z ekst
ε
µ
π
==
Dielektrik
(σ,ε,µ)
d
Konduktor (σc)
Dielektrik
(σ,ε,µ)
d
Konduktor (σc)

Kapasitansi adalah,
C = {πε}/{cosh−1
(d/2a)} (13)
atau C = {πε}/ln (d/a) (a<<d) (14).
Induktansi eksternalnya,
Lekst = (µ/π) cosh−1
(d/2a) (15)
atau Lekst = (µ/π) ln (d/a) (a<<d) (16).
Induktansi total pada frekuensi tinggi ialah,
Ltinggi = (µ/π) {δ/2a + cosh−1
(d/2a)} (δ<<a) (17).
Resistansi per satuan panjang,
R = 1/(πaδσc) (δ<<a) (18)

Konduktansinya diperoleh dari kapasitansi,
G = {πσ}/{cosh−1
(d/2a)} (19).
Akhirnya impedansi karakteristiknya ialah,
(20).
C. DUA BIDANG DATAR SAMA, seperti gambar di bawah ini.
Kita anggap b <<d atau kita tinjau b dari suatu sistem yang lebih luas dan
diperoleh,
C = (εb)/d (21)
Lekst = µ (d/b) (22)
Ltotal = µ (d/b) + 2/(σcδbω) = µ (d + δ) /b (δ<<t) (23).
)
2
(
1 1
0
a
d
CoshZ −
=
ε
µ
π
b
t
t
d Konduktor (σc) Dielektrik
(σ,ε,µ)
b
t
t
d Konduktor (σc) Dielektrik
(σ,ε,µ)

Disini kita menganggap terjadinya efek kulit sedemikian sehingga δ<<t; t menyatakan
tebal bidang datar tersebut. Demikian juga,
R = 2/(σcδb) dengan (δ<<t) (24)
G = σb/d (25)
Z0 = (Lekst/C)1/2
= (µ/ε)1/2
(d/b) (26).
D12.2 (hal 462)
Masing-masing saluran transmisi tanpa rugi berikut ini bekerja pada frekuensi 400 MHz
dengan impedansi beban 100 Ω. Dapat disumsikan bahwa bahan terbuat dari Aluminium
dengan σc = 3 x 107
Mho/m. Tentukan λ dan Γ untuk masing-masing :
a) sesumbu : a=0,5 mm, b=2,8 mm, εR= 3,1, µR=1,0;
b) dua kawat : a=0,5 mm, d=9,0 mm, εR= 5,0, µR=3,1;
c) bidang datar : d=0,2 mm, b=5,0 mm, εR= 2,2, µR=1,0.
Jawaban : 42,6 cm dan 0,260; 33,5 cm dan −0,215; 50,6 cm dan 0,816.

D12.3 (hal 462)
Saluran transmisi sesumbu bekerja pada 400 MHz dengan a= 0,5 mm,
b=2,8 mm, εR= 3,1, µR=1; σc=3x107
Mho/m, dan σ = 10−5
Mho/m.
Hitunglah :
a) induktansi per meter; b) tetapan atenuasi.
Jawaban : 0,364 µH/m; 24,2 mNp/m.

0 introd. of electromagnetic

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to 0 introd. of electromagnetic

Similar to 0 introd. of electromagnetic (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

0 introd. of electromagnetic