Математичне мистецтво     М.К. Ешера
Голландський художник Моріц КорнілісЕшер, що народився в 1898 році вЛеувардене створив унікальні і чарівніроботи, в яких в...
Коли він вчився в школі, батьки     В процесі своєї роботи він черпавпланували, що він стане             ідеї з математичн...
МозаїкиРегулярне розбиття площинии,зване "мозаїкою", - це набірзамкнутих фігур, якими можназамостити площину безперетину ф...
Цікавитися мозаїками Ешерпочав в 1936 році під часподорожі по Іспанії. Вінпровів багато часу вАльгамбре, замальовуючи     ...
Математики довели, що для регулярного розбиттяплощини личать лише три правильні многокутники:трикутник, квадрат і шестикут...
Регулярнерозбиття площини   Рептилії     птахами                  Еволюція 1
Регулярне розбиттяплощини птахами                                                     Рептилії                         У г...
Еволюція 1       Мозаїку рептилій Ешер використовував в          багатьох своїх роботах. У "Еволюції 1"        можна просл...
Далі   Вихід
МногогранникиПравильні геометричні тіла -многогранники - мали особливучарівність для Ешера. У багатьохйого роботах многогр...
На гравюрі "Чотири тіла" Ешерзобразив перетин основнихправильних многогранників,розташованих на одній вісісиметрії, окрім ...
Велика кількість різнихмногогранників може бути отриманаобєднанням правильнихмногогранників, а такожперетворенням многогра...
Фігури, отримані обєднаннямправильних многогранників, можназустріти в багатьох роботах Ешера.Найцікавішою серед них є грав...
Форма просторуСеред найбільш важливих робітЕшера з математичної точки зору єкартини, що оперують з природоюсамого простору...
Під впливом малюнків в книзі математика          не зможете там намалювати фігуриКоксетера, Ешер створив багато ілюстрацій...
Ще дивніший простірпоказаний в роботі "Змії". Тутпростір вирушає внескінченність в обидвісторони - і у бік краю кола, і уб...
Окрім особливостей евклідової і нєєвклідовоїгеометрії Ешера цікавили візуальні аспектитопології. Топологія вивчає властиво...
Інша цікава літографіяназивається "Картиннагалерея", в якій зміненіодночасно і топологія ілогіка простору. Мибачимо хлопчи...
Для розуміння будь-якої картини Ешера потрібна увага іспостережливість, а ця робота вимагає особливої уваги. Якимсь чиномЕ...
Логіка просторуПід "логікою" простору ми розуміємо ті стосунки міжфізичними обєктами, які звичайні для реального світу, іп...
Ешер розумів, що геометріявизначає логіку простору, але ілогіка простору визначаєгеометрію. Одна з найчастішевикористовува...
Ще один з аспектів логіки простору           - перспектива. На малюнках, в яких           присутній ефект перспективи,    ...
Вводячи додаткові точкизникнення і трохи змінюючиелементи композиції длядосягнення потрібного ефекту,Ешер зміг змалювати к...
Третій тип картин з порушеною логікою простору - це              "неможливі фігури". Парадокс неможливих фігур заснований ...
Самовідтворення й інформаціяЦентральна ідеясамовідтворення, узята наозброєння Ешером,звертається до загадкилюдської свідом...
У роботі "Риби і лусочки"концепція самовідтворенняпредставлена більшфункціонально, і в даномувипадку вона може бутиназвана...
Заглиблюючись у вивчення самовідтворення, можна його виявити увіддзеркаленні і перетині віддзеркалень реального світу. Так...
СпіраліЦе закручені в спіраліфігури. У роботі "Спіралі"ми бачимо чотири смужки,що закручуються в спіраль,які постійно збли...
У роботі "Водовороти" Ешеробєднав спіралевидну форму і свійулюблений художній прийом -регулярне розбиття площини (абомозаї...
Сферичні  спіраліІнший спосіб уявлення спіралі використаний в роботі "Сферичні спіралі",де чотири смуги розташовано на пов...
Використання Ешером різних математичних фігур і законів не обмежуєтьсялише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи йог...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Mathematical art of Escher

1,380 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Mathematical art of Escher

  1. 1. Математичне мистецтво М.К. Ешера
  2. 2. Голландський художник Моріц КорнілісЕшер, що народився в 1898 році вЛеувардене створив унікальні і чарівніроботи, в яких використано або показаношироке коло математичних ідей.
  3. 3. Коли він вчився в школі, батьки В процесі своєї роботи він черпавпланували, що він стане ідеї з математичних статей, в якихархітектором, але погане здоровя розповідалося про мозаїчнене дозволило Моріцу закінчити розбиття площини, проектуванніосвіту, і він став художником. До тривимірних фігур на площну іпочатку 50-х років він не був неевклідову геометрію, про щошироко відомий, але після ряду розповідатиметься нижче. Він буввиставок і статей в американських зачарований всілякимижурналах (Time і ін.) він отримує парадоксами і у тому числісвітову популярність. Серед його "неможливими фігурами".захоплених залицяльників були і Парадоксальні ідеї Роджераматематики, які бачили в його Пенроуза були використані вроботах оригінальну візуальну багатьох роботах Ешера.інтерпретацію деяких Найцікавішими для вивченняматематичних законів. Це цікавіше ідеями Ешера є всіляке розбиттятим, що сам Ешер не мав площини і логіка тривимірногоспеціальної математичної освіти. простору.
  4. 4. МозаїкиРегулярне розбиття площинии,зване "мозаїкою", - це набірзамкнутих фігур, якими можназамостити площину безперетину фігур і щілин міжними. Зазвичай в якості фігуридля складання мозаїкивикористовують простімногокутники, наприклад,квадрати або прямокутники.Але Ешер цікавився всімавидами мозаїк - регулярними інерегулярними (нерегулярнімозаїки утворюють узори, щоне повторюються) - а такожввів власний вигляд, якийназвав "метаморфозами", дефігури змінюються івзаємодіють одна з одною, аінколи змінюють і самуплощину. Ескіз з Альгамбри
  5. 5. Цікавитися мозаїками Ешерпочав в 1936 році під часподорожі по Іспанії. Вінпровів багато часу вАльгамбре, замальовуючи У математичних роботахарабські мозаїки, і згодомсказав, що це було для регулярне розбиттянього "багатющим джерелом площини розглядаєтьсянатхнення". Пізніше в 1957році в своєму есе про теоретично... Чи означаємозаїки Ешер написав: це, що дане питання є суто математичним? Математики відкрили двері, які ведуть в інший світ, але самі увійти до цього світу не зважилися. Їх більше цікавить шлях, на якому знаходяться ці двері,
  6. 6. Математики довели, що для регулярного розбиттяплощини личать лише три правильні многокутники:трикутник, квадрат і шестикутник. (Нерегулярнихваріантів розбиття площини значно більше. Зокрема вмозаїках інколи використовуються нерегулярні мозаїки, воснову яких покладений правильний пятикутник.) Ешервикористовував базові зразки мозаїк, застосовуючи доних трансформації, які в геометрії називаютьсясиметрією, віддзеркалення, зсув та ін. Також вінспотворив базові фігури, перетворивши їх на тварин,птахів, ящірок і інш. Ці спотворені зразки мозаїк малитрьох-, четирьох- і шестинаправлену симетрію, такимчином зберігаючи властивість заповнення площини безперетнів і щілин.
  7. 7. Регулярнерозбиття площини Рептилії птахами Еволюція 1
  8. 8. Регулярне розбиттяплощини птахами Рептилії У гравюрі "Рептилії" маленькі крокодили граючи вириваються з вязниці двомірного простору столу, проходят довкруги, щоб знову перетворитися на двомірні фігури.
  9. 9. Еволюція 1 Мозаїку рептилій Ешер використовував в багатьох своїх роботах. У "Еволюції 1" можна прослідити розвиток спотворенняЦикл квадратної мозаїки в центральну фігуру з чотирьох ящірок.
  10. 10. Далі Вихід
  11. 11. МногогранникиПравильні геометричні тіла -многогранники - мали особливучарівність для Ешера. У багатьохйого роботах многогранники єголовною фігурою і в ще більшійкількості робіт вони зустрічаютьсяяк допоміжні елементи. Існує лишеп’ять правильних многогранників,тобто таких тіл, всі грані якихскладаються з однакових правильнихмногокутників. Вони ще називаютьсятілами Платона. Це - тетраедр,гранями якого є чотири правильнітрикутники, куб з шістьмаквадратними гранями, октаедр,який має вісім трикутнх граней, Утворення зірокдодекаедр, гранями якого єдванадцать правильних п’ятикутників,и икосаедр з двадцатю трикутнимигранями.
  12. 12. На гравюрі "Чотири тіла" Ешерзобразив перетин основнихправильних многогранників,розташованих на одній вісісиметрії, окрім цьогомногогранники виглядаютьнапівпрозорими, і крізь будь-який зних можна побачити останні.
  13. 13. Велика кількість різнихмногогранників може бути отриманаобєднанням правильнихмногогранників, а такожперетворенням многогранника взірку. Для перетвореннямногогранника в зірку необхіднозамінити кожну його грань пірамідою,основою якої є грань многогранника.Витончений приклад зірчастогододекаедра можна знайти в роботі"Порядок і хаос". В даному випадкузірчастий многогранник поміщенийвсередину скляної сфери. Аскетичнакраса цієї конструкції контрастує збезладно розкиданим по столу Порядок і хаоссміттям. Відмітимо також, щоаналізуючи картину можназдогадатися про природу джереласвітла для всієї композиції - це вікно,яке відбивається верхньою частиноюсфери, що ліворуч.
  14. 14. Фігури, отримані обєднаннямправильних многогранників, можназустріти в багатьох роботах Ешера.Найцікавішою серед них є гравюра"Зорі", на якій можна побачити тіла,отримані обєднанням тетраедрів,кубів і октаедрів. Якби Ешерзобразив в даній роботі лише різніваріанти многогранників, ми ніколи бне дізналися про неї. Але він з якоїсьпричини помістив всерединуцентральної фігури хамелеонів, щобутруднити сприйняття всієї фігури.Таким чином нам необхідновідволектися від звичного сприйняттякартини і спробувати поглянути на неїсвіжим поглядом, щоб представити їїцілком. Цей аспект даної картини є щеодним предметом захоплення Зоріматематиків творчістю Ешера.
  15. 15. Форма просторуСеред найбільш важливих робітЕшера з математичної точки зору єкартини, що оперують з природоюсамого простору. Літографія "Триплощинии, що перетинаються" -гарний приклад для початку оглядутаких картин. Цей приклад демонструєінтерес художника до розмірності Три площини, щопростору і здатність мозку перетинаютьсярозпізнавати тривимірні зображення надвомірних малюнках. Як буде нижчепоказано, Ешер використовував данийпринцип для створення дивовижнихвізуальних ефектів.
  16. 16. Під впливом малюнків в книзі математика не зможете там намалювати фігуриКоксетера, Ешер створив багато ілюстрацій з чотирма прямими кутами,гіперболічного простору. Один з прикладів сполученими прямими лініями,можна побачити в роботі "Межа круга III". Тут оскільки в цьому просторі не існуєпредставлений один з двох видів квадратів і прямокутників. Дивненеевклідового простору, описаних місце, чи не так?французьким математиком Пуанкаре. Щобзрозуміти особливості цього простору, уявіть,що ви знаходитеся всередині самої картини. Уміру вашого переміщення від центру круга дойого границі ваш ріст зменшуватиметьсятакож, як зменшуються риби на даній картині.Таким чином шлях, який вам треба буде пройтідо границі круга здаватиметься вамнескінченним. Насправді, знаходячись втакому просторі ви на перший погляд невідмітите нічого незвичайного в нім впорівнянні із звичайним евклідовим простором.Наприклад, щоб досягти границь евклідовогопростору вам також необхідно пройтинескінченний шлях. Проте, якщо уважноприглянутися, то можна буде відмітити деяківідмінності, наприклад, всі подібні трикутникимають в цьому просторі однаковий розмір, і ви Межа круга III
  17. 17. Ще дивніший простірпоказаний в роботі "Змії". Тутпростір вирушає внескінченність в обидвісторони - і у бік краю кола, і убік центру кола, що показанекільцями, що зменшуються.Якщо ви попадете в такийпростір, на що воно будесхоже? Змії
  18. 18. Окрім особливостей евклідової і нєєвклідовоїгеометрії Ешера цікавили візуальні аспектитопології. Топологія вивчає властивості тіл іповерхонь простору, які не змінюються придеформації, наприклад, розтягуванні,стискуванні або вигинанні. Єдине, до чого неповинна приводити деформація - це до розриву.Топологам доводиться змальовувати безлічдивних обєктів. Одним з найбільш відомих єстрічка Мебіуса, яка зустрічається в багатьохроботах Ешера. Це може здатися дивним, але вцієї поверхні є лише одна сторона і одна кромка.Якщо ви прослідкуєте шлях мурашок налітографії «Стрічка Мебіуса II", то побачите, щомурашки повзуть не по протилежних поверхняхстрічки, а по одній і тій же. Зробити лист Мебіусадуже просто. Треба узяти смужку паперу, зігнутиїї, і склеїти протилежні краї стрічки клеєм. Як видумаєте, що станеться, якщо розрізати аркушМебіуса уподовж? Стрічка Мебіуса II
  19. 19. Інша цікава літографіяназивається "Картиннагалерея", в якій зміненіодночасно і топологія ілогіка простору. Мибачимо хлопчика, якийдивиться на картину, наякій намальованоприморське місто змагазином на березі, а вмагазині - картиннагалерея, а в галереїзнаходиться хлопчик, якийдивиться на картину, наякій намальованоприморське місто ... стоп!Щось не так... Картинна галерея
  20. 20. Для розуміння будь-якої картини Ешера потрібна увага іспостережливість, а ця робота вимагає особливої уваги. Якимсь чиномЕшер загорнув простір в кільце, і вийшло, що хлопчик знаходитьсяодночасно усередині картини і поза нею. Секрет цього ефекту полягає втому, яким чином перетворено зображення. Зрозуміти це можна,аналізуючи олівцевий нарис сітки, яким користувався Ешер пристворенні картини. Зверніть увагу, що відстань між лініями сіткизбільшується у напрямі руху стрілки годинника. Відмітимо ще, на чомузаснована хитрість картини - біла пляма в центрі. Математикиназивають цю пляму особливим містом або особливою крапкою, депростору не існує. Не існує способу змалювати цю ділянку картини безшвів або накладень, тому Ешер вирішив цю проблему, помістивши вцентр картини свій автограф.
  21. 21. Логіка просторуПід "логікою" простору ми розуміємо ті стосунки міжфізичними обєктами, які звичайні для реального світу, іпри порушенні яких виникають візуальні парадокси, званіще оптичними ілюзіями. Більшість художників, щоекспериментують з логікою простору, змінюють цістосунки між обєктами, грунтуючись на своїй інтуїції, як,наприклад, Пікассо.
  22. 22. Ешер розумів, що геометріявизначає логіку простору, але ілогіка простору визначаєгеометрію. Одна з найчастішевикористовуваний особливостейлогіки простору - гра світла і тініна опуклих і увігнутих обєктах.На літографії "Куб ізсмужками" виступи на стрічкахє візуальним орієнтиром того, якрозташовані смужки в просторі іяк вони переплітаються з кубом.І якщо ви вірите своїм очам, тови ніколи не повірите тому, щонамальоване на цій картині. Куб із смужками
  23. 23. Ще один з аспектів логіки простору - перспектива. На малюнках, в яких присутній ефект перспективи, виділяють так звані крапки зникнення, які повідомляють око людини про нескінченність простору. Вивчення особливостей перспективи почалося ще в часи відродження художниками Альберті, Дізаргом і багатьма іншими. Їх спостереження і виводи лягли в основу сучасної геометрії проекцій.Галерея.
  24. 24. Вводячи додаткові точкизникнення і трохи змінюючиелементи композиції длядосягнення потрібного ефекту,Ешер зміг змалювати картини, вяких змінюється орієнтаціяелементів залежно від того, якглядач дивиться на картину. Накартині "Зверху і знизу"художник розмістив відразу пятьточок зникнення - по кутахкартини і в центрі. В результаті,якщо ми дивимося на нижнючастину картини, то створюєтьсявраження, що ми дивимося вгору.Якщо ж кинути погляд на верхнюполовину картину, то здається,що ми дивимося вниз. Щобпідкреслити цей ефект, Ешерзмалював два види однієї і тієї жкомпозиції. Зверху і знизу
  25. 25. Третій тип картин з порушеною логікою простору - це "неможливі фігури". Парадокс неможливих фігур заснований на тому, що наш мозок завжди намагається представити намальовані на папері двомірні малюнки як тривимірні.Ешер створив багато робіт, в якихзвернувся до цієї аномалії.Найцікавіша робота - літографія"Водопад" - заснована на фігурінеможливого трикутника, придуманогоматематиком Роджером Пенроузом. Уцій роботі два неможливі трикутникисполучено в єдину неможливу фігуру.Створюється враження, що водопад єзамкнутою системою, що працює затипом вічного двигуна, порушуючизакон збереження енергії. Примітка. Зверніть увагу на многогранники, встановлені на баштах водопаду. Водопад
  26. 26. Самовідтворення й інформаціяЦентральна ідеясамовідтворення, узята наозброєння Ешером,звертається до загадкилюдської свідомості іздатності людського мозкуобробляти інформацію так, якне зможе обробити жоденкомпютер. Літографії "Руки" і"Риби і лусочки"використовують цю ідеюрізними способами.Самовідтворення єнаправленою дією. Рукималюють одна одну,створюючи самих себе. Прицьому самі руки і процес їхсамовідтвореннянеразделіми. Руки
  27. 27. У роботі "Риби і лусочки"концепція самовідтворенняпредставлена більшфункціонально, і в даномувипадку вона може бутиназвана самоподобієм. Уцьому сенсі дана роботаописує не лише риб, а всіживі організми, у тому числіі людину. Звичайно, ми нескладаємося із зменшенихкопій самих себе, але кожнаклітка нашого тіла несе всобі інформацію про всетіло у вигляді ДНК. Риби і лусочки
  28. 28. Заглиблюючись у вивчення самовідтворення, можна його виявити увіддзеркаленні і перетині віддзеркалень реального світу. Такий перетинзустрічається в багатьох картинах Ешера. Ми розглянемо лише одинприклад - літографію "Три сфери", на яких присутньо три кулевидні тіла,зроблених з різних матеріалів з різною здатністю відбивання. Ці сферивідображають один одного і художника, і кімнату, в якій він працює, і аркушпаперу, на якому він малює сфери. Хофстадтер в своїй книзі написав "...кожна частинка світу містить в собі весь світ і міститься у всіхінших частинках світу...". Три сфери
  29. 29. СпіраліЦе закручені в спіраліфігури. У роботі "Спіралі"ми бачимо чотири смужки,що закручуються в спіраль,які постійно зближуються іпоступово закручуютьсясамі в себе, утворюючисвоєрідний тор.Пройшовши цілий круг,спіраль заходитьвсередину самої себе,утворюючи тим самим, якби, спіраль другого порядку- спіраль в спіралі. Спіралі
  30. 30. У роботі "Водовороти" Ешеробєднав спіралевидну форму і свійулюблений художній прийом -регулярне розбиття площини (абомозаїку). Тут риби, випливши зодного водоворота, потрапляють вдругий і, занурюючись в нього,поступово зменшуються в розмірах інарешті зовсім зникають. Звернітьувагу на мозаїку, що поступовозменшується в розмірах. Якщо вдумках розвернути спіраль, то мипобачимо лише два ряди риб, щопливуть назустріч одна одній. Алескручені в спіраль і відповіднимчином деформовані образи рибповністю покривають деяку областьнескінченної площини.
  31. 31. Сферичні спіраліІнший спосіб уявлення спіралі використаний в роботі "Сферичні спіралі",де чотири смуги розташовано на поверхні кулі, проходя від одного полюсакулі до іншого. Схожий шлях може одолати літак, що летить з північногополюса земної кулі на південний.
  32. 32. Використання Ешером різних математичних фігур і законів не обмежуєтьсялише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи його картини, можнавиявити також інші геометричні тіла або візуальну інтерпретаціюматематичних законів.Закінчити хотілося б картиною "Вузли", що зображає замкнуті фігури. Вузли

×