2. Голландський художник Моріц Корніліс
Ешер, що народився в 1898 році в
Леувардене створив унікальні і чарівні
роботи, в яких використано або показано
широке коло математичних ідей.
3. Коли він вчився в школі, батьки В процесі своєї роботи він черпав
планували, що він стане ідеї з математичних статей, в яких
архітектором, але погане здоров'я розповідалося про мозаїчне
не дозволило Моріцу закінчити розбиття площини, проектуванні
освіту, і він став художником. До тривимірних фігур на площну і
початку 50-х років він не був неевклідову геометрію, про що
широко відомий, але після ряду розповідатиметься нижче. Він був
виставок і статей в американських зачарований всілякими
журналах (Time і ін.) він отримує парадоксами і у тому числі
світову популярність. Серед його "неможливими фігурами".
захоплених залицяльників були і Парадоксальні ідеї Роджера
математики, які бачили в його Пенроуза були використані в
роботах оригінальну візуальну багатьох роботах Ешера.
інтерпретацію деяких Найцікавішими для вивчення
математичних законів. Це цікавіше ідеями Ешера є всіляке розбиття
тим, що сам Ешер не мав площини і логіка тривимірного
спеціальної математичної освіти. простору.
4. Мозаїки
Регулярне розбиття площинии,
зване "мозаїкою", - це набір
замкнутих фігур, якими можна
замостити площину без
перетину фігур і щілин між
ними. Зазвичай в якості фігури
для складання мозаїки
використовують прості
многокутники, наприклад,
квадрати або прямокутники.
Але Ешер цікавився всіма
видами мозаїк - регулярними і
нерегулярними (нерегулярні
мозаїки утворюють узори, що
не повторюються) - а також
ввів власний вигляд, який
назвав "метаморфозами", де
фігури змінюються і
взаємодіють одна з одною, а
інколи змінюють і саму
площину. Ескіз з Альгамбри
5. Цікавитися мозаїками Ешер
почав в 1936 році під час
подорожі по Іспанії. Він
провів багато часу в
Альгамбре, замальовуючи У математичних роботах
арабські мозаїки, і згодом
сказав, що це було для регулярне розбиття
нього "багатющим джерелом площини розглядається
натхнення". Пізніше в 1957
році в своєму есе про теоретично... Чи означає
мозаїки Ешер написав: це, що дане питання є суто
математичним?
Математики відкрили
двері, які ведуть в інший
світ, але самі увійти до
цього світу не зважилися.
Їх більше цікавить шлях, на
якому знаходяться ці двері,
6. Математики довели, що для регулярного розбиття
площини личать лише три правильні многокутники:
трикутник, квадрат і шестикутник. (Нерегулярних
варіантів розбиття площини значно більше. Зокрема в
мозаїках інколи використовуються нерегулярні мозаїки, в
основу яких покладений правильний п'ятикутник.) Ешер
використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до
них трансформації, які в геометрії називаються
симетрією, віддзеркалення, зсув та ін. Також він
спотворив базові фігури, перетворивши їх на тварин,
птахів, ящірок і інш. Ці спотворені зразки мозаїк мали
трьох-, четирьох- і шестинаправлену симетрію, таким
чином зберігаючи властивість заповнення площини без
перетнів і щілин.
8. Регулярне розбиття
площини птахами
Рептилії
У гравюрі "Рептилії" маленькі
крокодили граючи вириваються з
в'язниці двомірного простору столу,
проходят довкруги, щоб знову
перетворитися на двомірні фігури.
9. Еволюція 1
Мозаїку рептилій Ешер використовував в
багатьох своїх роботах. У "Еволюції 1"
можна прослідити розвиток спотворення
Цикл квадратної мозаїки в центральну фігуру з
чотирьох ящірок.
11. Многогранники
Правильні геометричні тіла -
многогранники - мали особливу
чарівність для Ешера. У багатьох
його роботах многогранники є
головною фігурою і в ще більшій
кількості робіт вони зустрічаються
як допоміжні елементи. Існує лише
п’ять правильних многогранників,
тобто таких тіл, всі грані яких
складаються з однакових правильних
многокутників. Вони ще називаються
тілами Платона. Це - тетраедр,
гранями якого є чотири правильні
трикутники, куб з шістьма
квадратними гранями, октаедр,
який має вісім трикутнх граней, Утворення зірок
додекаедр, гранями якого є
дванадцать правильних п’ятикутників,
и икосаедр з двадцатю трикутними
гранями.
12. На гравюрі "Чотири тіла" Ешер
зобразив перетин основних
правильних многогранників,
розташованих на одній вісі
симетрії, окрім цього
многогранники виглядають
напівпрозорими, і крізь будь-який з
них можна побачити останні.
13. Велика кількість різних
многогранників може бути отримана
об'єднанням правильних
многогранників, а також
перетворенням многогранника в
зірку. Для перетворення
многогранника в зірку необхідно
замінити кожну його грань пірамідою,
основою якої є грань многогранника.
Витончений приклад зірчастого
додекаедра можна знайти в роботі
"Порядок і хаос". В даному випадку
зірчастий многогранник поміщений
всередину скляної сфери. Аскетична
краса цієї конструкції контрастує з
безладно розкиданим по столу Порядок і хаос
сміттям. Відмітимо також, що
аналізуючи картину можна
здогадатися про природу джерела
світла для всієї композиції - це вікно,
яке відбивається верхньою частиною
сфери, що ліворуч.
14. Фігури, отримані об'єднанням
правильних многогранників, можна
зустріти в багатьох роботах Ешера.
Найцікавішою серед них є гравюра
"Зорі", на якій можна побачити тіла,
отримані об'єднанням тетраедрів,
кубів і октаедрів. Якби Ешер
зобразив в даній роботі лише різні
варіанти многогранників, ми ніколи б
не дізналися про неї. Але він з якоїсь
причини помістив всередину
центральної фігури хамелеонів, щоб
утруднити сприйняття всієї фігури.
Таким чином нам необхідно
відволектися від звичного сприйняття
картини і спробувати поглянути на неї
свіжим поглядом, щоб представити її
цілком. Цей аспект даної картини є ще
одним предметом захоплення Зорі
математиків творчістю Ешера.
15. Форма простору
Серед найбільш важливих робіт
Ешера з математичної точки зору є
картини, що оперують з природою
самого простору. Літографія "Три
площинии, що перетинаються" -
гарний приклад для початку огляду
таких картин. Цей приклад демонструє
інтерес художника до розмірності Три площини, що
простору і здатність мозку перетинаються
розпізнавати тривимірні зображення на
двомірних малюнках. Як буде нижче
показано, Ешер використовував даний
принцип для створення дивовижних
візуальних ефектів.
16. Під впливом малюнків в книзі математика не зможете там намалювати фігури
Коксетера, Ешер створив багато ілюстрацій з чотирма прямими кутами,
гіперболічного простору. Один з прикладів сполученими прямими лініями,
можна побачити в роботі "Межа круга III". Тут оскільки в цьому просторі не існує
представлений один з двох видів квадратів і прямокутників. Дивне
неевклідового простору, описаних місце, чи не так?
французьким математиком Пуанкаре. Щоб
зрозуміти особливості цього простору, уявіть,
що ви знаходитеся всередині самої картини. У
міру вашого переміщення від центру круга до
його границі ваш ріст зменшуватиметься
також, як зменшуються риби на даній картині.
Таким чином шлях, який вам треба буде пройті
до границі круга здаватиметься вам
нескінченним. Насправді, знаходячись в
такому просторі ви на перший погляд не
відмітите нічого незвичайного в нім в
порівнянні із звичайним евклідовим простором.
Наприклад, щоб досягти границь евклідового
простору вам також необхідно пройти
нескінченний шлях. Проте, якщо уважно
приглянутися, то можна буде відмітити деякі
відмінності, наприклад, всі подібні трикутники
мають в цьому просторі однаковий розмір, і ви
Межа круга III
17. Ще дивніший простір
показаний в роботі "Змії". Тут
простір вирушає в
нескінченність в обидві
сторони - і у бік краю кола, і у
бік центру кола, що показане
кільцями, що зменшуються.
Якщо ви попадете в такий
простір, на що воно буде
схоже?
Змії
18. Окрім особливостей евклідової і нєєвклідової
геометрії Ешера цікавили візуальні аспекти
топології. Топологія вивчає властивості тіл і
поверхонь простору, які не змінюються при
деформації, наприклад, розтягуванні,
стискуванні або вигинанні. Єдине, до чого не
повинна приводити деформація - це до розриву.
Топологам доводиться змальовувати безліч
дивних об'єктів. Одним з найбільш відомих є
стрічка Мебіуса, яка зустрічається в багатьох
роботах Ешера. Це може здатися дивним, але в
цієї поверхні є лише одна сторона і одна кромка.
Якщо ви прослідкуєте шлях мурашок на
літографії «Стрічка Мебіуса II", то побачите, що
мурашки повзуть не по протилежних поверхнях
стрічки, а по одній і тій же. Зробити лист Мебіуса
дуже просто. Треба узяти смужку паперу, зігнути
її, і склеїти протилежні краї стрічки клеєм. Як ви
думаєте, що станеться, якщо розрізати аркуш
Мебіуса уподовж?
Стрічка
Мебіуса II
19. Інша цікава літографія
називається "Картинна
галерея", в якій змінені
одночасно і топологія і
логіка простору. Ми
бачимо хлопчика, який
дивиться на картину, на
якій намальовано
приморське місто з
магазином на березі, а в
магазині - картинна
галерея, а в галереї
знаходиться хлопчик, який
дивиться на картину, на
якій намальовано
приморське місто ... стоп!
Щось не так...
Картинна галерея
20. Для розуміння будь-якої картини Ешера потрібна увага і
спостережливість, а ця робота вимагає особливої уваги. Якимсь чином
Ешер загорнув простір в кільце, і вийшло, що хлопчик знаходиться
одночасно усередині картини і поза нею. Секрет цього ефекту полягає в
тому, яким чином перетворено зображення. Зрозуміти це можна,
аналізуючи олівцевий нарис сітки, яким користувався Ешер при
створенні картини. Зверніть увагу, що відстань між лініями сітки
збільшується у напрямі руху стрілки годинника. Відмітимо ще, на чому
заснована хитрість картини - біла пляма в центрі. Математики
називають цю пляму особливим містом або особливою крапкою, де
простору не існує. Не існує способу змалювати цю ділянку картини без
швів або накладень, тому Ешер вирішив цю проблему, помістивши в
центр картини свій автограф.
21. Логіка простору
Під "логікою" простору ми розуміємо ті стосунки між
фізичними об'єктами, які звичайні для реального світу, і
при порушенні яких виникають візуальні парадокси, звані
ще оптичними ілюзіями. Більшість художників, що
експериментують з логікою простору, змінюють ці
стосунки між об'єктами, грунтуючись на своїй інтуїції, як,
наприклад, Пікассо.
22. Ешер розумів, що геометрія
визначає логіку простору, але і
логіка простору визначає
геометрію. Одна з найчастіше
використовуваний особливостей
логіки простору - гра світла і тіні
на опуклих і увігнутих об'єктах.
На літографії "Куб із
смужками" виступи на стрічках
є візуальним орієнтиром того, як
розташовані смужки в просторі і
як вони переплітаються з кубом.
І якщо ви вірите своїм очам, то
ви ніколи не повірите тому, що
намальоване на цій картині.
Куб із смужками
23. Ще один з аспектів логіки простору
- перспектива. На малюнках, в яких
присутній ефект перспективи,
виділяють так звані крапки
зникнення, які повідомляють око
людини про нескінченність
простору. Вивчення особливостей
перспективи почалося ще в часи
відродження художниками
Альберті, Дізаргом і багатьма
іншими. Їх спостереження і виводи
лягли в основу сучасної геометрії
проекцій.
Галерея.
24. Вводячи додаткові точки
зникнення і трохи змінюючи
елементи композиції для
досягнення потрібного ефекту,
Ешер зміг змалювати картини, в
яких змінюється орієнтація
елементів залежно від того, як
глядач дивиться на картину. На
картині "Зверху і знизу"
художник розмістив відразу п'ять
точок зникнення - по кутах
картини і в центрі. В результаті,
якщо ми дивимося на нижню
частину картини, то створюється
враження, що ми дивимося вгору.
Якщо ж кинути погляд на верхню
половину картину, то здається,
що ми дивимося вниз. Щоб
підкреслити цей ефект, Ешер
змалював два види однієї і тієї ж
композиції. Зверху і
знизу
25. Третій тип картин з порушеною логікою простору - це
"неможливі фігури". Парадокс неможливих фігур заснований
на тому, що наш мозок завжди намагається представити
намальовані на папері двомірні малюнки як тривимірні.
Ешер створив багато робіт, в яких
звернувся до цієї аномалії.
Найцікавіша робота - літографія
"Водопад" - заснована на фігурі
неможливого трикутника, придуманого
математиком Роджером Пенроузом. У
цій роботі два неможливі трикутники
сполучено в єдину неможливу фігуру.
Створюється враження, що водопад є
замкнутою системою, що працює за
типом вічного двигуна, порушуючи
закон збереження енергії.
Примітка. Зверніть увагу на многогранники,
встановлені на баштах водопаду.
Водопад
26. Самовідтворення й інформація
Центральна ідея
самовідтворення, узята на
озброєння Ешером,
звертається до загадки
людської свідомості і
здатності людського мозку
обробляти інформацію так, як
не зможе обробити жоден
комп'ютер. Літографії "Руки" і
"Риби і лусочки"
використовують цю ідею
різними способами.
Самовідтворення є
направленою дією. Руки
малюють одна одну,
створюючи самих себе. При
цьому самі руки і процес їх
самовідтворення
неразделіми.
Руки
27. У роботі "Риби і лусочки"
концепція самовідтворення
представлена більш
функціонально, і в даному
випадку вона може бути
названа самоподобієм. У
цьому сенсі дана робота
описує не лише риб, а всі
живі організми, у тому числі
і людину. Звичайно, ми не
складаємося із зменшених
копій самих себе, але кожна
клітка нашого тіла несе в
собі інформацію про все
тіло у вигляді ДНК.
Риби і лусочки
28. Заглиблюючись у вивчення самовідтворення, можна його виявити у
віддзеркаленні і перетині віддзеркалень реального світу. Такий перетин
зустрічається в багатьох картинах Ешера. Ми розглянемо лише один
приклад - літографію "Три сфери", на яких присутньо три кулевидні тіла,
зроблених з різних матеріалів з різною здатністю відбивання. Ці сфери
відображають один одного і художника, і кімнату, в якій він працює, і аркуш
паперу, на якому він малює сфери. Хофстадтер в своїй книзі написав "...
кожна частинка світу містить в собі весь світ і міститься у всіх
інших частинках світу...".
Три сфери
29. Спіралі
Це закручені в спіралі
фігури. У роботі "Спіралі"
ми бачимо чотири смужки,
що закручуються в спіраль,
які постійно зближуються і
поступово закручуються
самі в себе, утворюючи
своєрідний тор.
Пройшовши цілий круг,
спіраль заходить
всередину самої себе,
утворюючи тим самим, як
би, спіраль другого порядку
- спіраль в спіралі.
Спіралі
30. У роботі "Водовороти" Ешер
об'єднав спіралевидну форму і свій
улюблений художній прийом -
регулярне розбиття площини (або
мозаїку). Тут риби, випливши з
одного водоворота, потрапляють в
другий і, занурюючись в нього,
поступово зменшуються в розмірах і
нарешті зовсім зникають. Зверніть
увагу на мозаїку, що поступово
зменшується в розмірах. Якщо в
думках розвернути спіраль, то ми
побачимо лише два ряди риб, що
пливуть назустріч одна одній. Але
скручені в спіраль і відповідним
чином деформовані образи риб
повністю покривають деяку область
нескінченної площини.
31. Сферичні
спіралі
Інший спосіб уявлення спіралі використаний в роботі "Сферичні спіралі",
де чотири смуги розташовано на поверхні кулі, проходя від одного полюса
кулі до іншого. Схожий шлях може одолати літак, що летить з північного
полюса земної кулі на південний.
32. Використання Ешером різних математичних фігур і законів не обмежується
лише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи його картини, можна
виявити також інші геометричні тіла або візуальну інтерпретацію
математичних законів.
Закінчити хотілося б картиною "Вузли", що зображає замкнуті фігури.
Вузли
