2. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
2 '' 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) ( , ) 2 "( , ) "( , )
2
xx xy yyd f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Adx Bdxdy Cdy
= + +
= + +
Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:
2 2 2 2
11 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz= + + + + +
3. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2
của hàm nhiều biến.
4. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm
xác định như sau: với mỗi
:V Rω →
1 2( , ,..., )nx x x x V= ∈
5. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2
....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω = + + + +
+ + + +
+ + +
+
được gọi là dạng toàn phương trên V.
6. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Cho dạng toàn phương:
3
1 2 3
2
1 1 2 1 3
2
2 2 3
2
3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6
2
8
2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + −
− +
+
= + − − + +
11a 122a 132a 22a 232a 33a
7. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho dạng toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2
....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω = + + + +
+ + + +
+ + +
+
khi đó, ma trận sau:
8. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Gọi là ma trận của dạng toàn phương
11 12 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
ω
=
9. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Cho dạng toàn phương
3
1 2 3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + − − + +
Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:
2 2 3
2 1 1
3 1 8
Aω
−
= −
−
10. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x xω = − + + −
1 3 0
3 3 2
0 2 5
Aω
−
= −
−
11. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x xω = − + + − −
3 4 5
4 7 4
5 4 3
Aω
−
= − −
− −
12. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x xω = + − − + +
1 2 3
2 4 1
3 1 5
Aω
−
= −
−
Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:
13. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Nhận xét:
Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
.35)(
.432)(
.523)(
.8262)(
2
3
2
2
2
14
2
3
2
2
2
13
2
3
2
2
2
12
323121
2
3
2
2
2
11
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
−+=
−−−=
++=
−++−+=
ω
ω
ω
ω
14. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo
nna
a
a
000
............
0...0
0...0
22
11
15. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
....)( 22
222
2
111 nnn xaxaxax +++=ω Hay
Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.
16. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x xω = + + + − −
17. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 2 2
( ) 2 2
a b a ab b a b ab
a b a ab b a b ab
+ = + + = + +
− = − + = + −
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 2 2 2
( ) 2 2 2
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
+ − = + + + − −
− − = + + − − +
18. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
( ) 2 10 2 4 8
( 2 ) 6 4
( 2 ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
ω = + + + − −
= + − + + −
= + − + − +
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2
2
y x x x
y x x
y x
= + −
= −
=
2 2 2
1 2 3( ) 2y y y yω⇒ = + +
Đặt
19. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x xω = + + + − −
2
1( )x= 22x+ 33x− 2
22x+ 2
34x+ 2 310x x+
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x= + − + + +
2 2
1 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x= + − + 3
5
2
x+ 2
3
17
4
x−
2 2 2
1 2 3 2 3 3
5 17
( 2 3 ) 2( )
2 2
x x x x x x= + − + + −
2 2 2
1 2 3
17
2
2
y y y= + −
20. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 4 2x x x x x x x x x xω = + + + − +
2
1( )x= 22x+ 3x− 2 35x x+
1 1 2 3
2 3 3 2
2 3
2
,
2 2
y x x x
x x x x
y y
= + −
+ −
= =
2 2 2
1 2 3( ) 5 5y y y yω = + −
Đặt
21. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x xω = + − − + +
2
1 )(x=
22. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x xω = + − + − −
−−−
−
−
=
132
331
212
A
23. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
−−−
−
−
=
132
331
212
A
,2111 == aD0 1,D = 11 12
2
21 22
2 1
5,
1 3
a a
D
a a
= = =
Đặt
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
2 1 2
1 3 3 35,
2 3 1
a a a
D a a a
a a a
−
= = − = −
− − −
24. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Nếu thì dạng toàn phương
có dạng chính tắc là:
2 2 20 1 2
1 2 3
1 2 3
( )
D D D
y y y y
D D D
ω = + +
2 2 2
1 2 3
2 5 35
( )
1 2 5
y y y yω
−
= + +
,...2,1,0 =∀≠ iDi
25. Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ §7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x xω = − + − − + −
−−
−−
−−
=
341
422
121
A