I13

1. Геометричний спосіб обчислення інтеграла Максвела – Мора. Спосіб
перемножування епюр. Правило Верещагіна
Рис. 1
Використовуючи геометричну інтерпретацію визначення інтегралу як
значення площі, інтеграл Мора для визначення переміщень у балках постійного
перерізу можна обчислити за допомогою спеціальної операції над епюрами
відповідних згинальних моментів.
В результаті одержимо:



 x
xx
x
xx
EI
M
dz
EI
MM CFF
ij

, (1)
де Fx – площа вантажної (від зовнішнього навантаження) епюри FMx ; CMx –
ордината, узята з одиничної епюри xM під центром ваги C вантажної епюри.
Правило знаків. Якщо епюри, що перемножуються, лежать по одну сторону (обидві
нагорі або знизу), добуток позитивний; якщо епюри, що перемножуються, лежать по
різні сторони – добуток негативний.
Якщо епюра від зовнішнього навантаження кусочно-лінійна на ділянках, а
одинична епюра завжди кусочно-лінійна, результат перемножування не залежить
від порядку використання співмножників, тобто:
x
x
x
xx
EI
M
EI
М FCCF 

 
, (2)

2. де Fx – площа епюри від зовнішнього навантаження; x – площа епюри від
одиничного навантаження; FCM – ордината під центром ваги одиничної xM
епюри, узята з епюри FMx від зовнішнього навантаження.
Якщо епюри FMx і xM складаються з декількох ділянок, то перемножування
здійснюється по ділянках, а результат підсумовується, тобто:




n
i
CiFi
ij
EI
M
1 x
xx
. (3)
Відзначимо, що в розглянутих задачах епюри вантажних та одиничних
згинальних моментів складаються з досить простих площ: прямокутник, трикутник,
параболічний трикутник і т.д. У таблиці приведені площі  та координати центрів
ваги cz плоских фігур, що зустрічаються в епюрах.
Трикутник Трикутник Прямокутник
Парабола
(квадратна) з
вершиною в т.А
Парабола
(квадратна) з
вершиною в
т.А
Парабола
(кубічна) з
вершиною в т.А
Парабола
(квадратна) з
вершиною в т.А
Парабола
(кубічна) з
вершиною в т.А