Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
RELAÇÕES MÉTRICAS

2. RELAÇÕES MÉTRICAS
1
01. (Eear 2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é
a)
22
3
b)
16
3
c) 22
d) 16
02. (Espcex 2019) Em um triângulo ABC, BC 12 cm
= e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a
mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?
a) 2
35 cm .
b) 2
2 35 cm .
c) 2
6 35 cm .
d) 2
35
cm .
2
e) 2
3 35 cm .
03. (Espcex 2019) Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a
medida da corda comum a esses dois círculos é
a) 12 cm.
b) 24 cm.
c) 30 cm.
d) 32 cm.
e) 26 cm.
04. (Efomm 2019) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um
segmento de reta com maior comprimento possível, contido internamente na região interna ao círculo maior e externa
ao menor. O valor do segmento é
a) 8,5 cm
b) 11,75 cm
c) 19,25 cm
d) 24 cm
e) 27 cm

3. RELAÇÕES MÉTRICAS
2
05. (Ita 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto
médio de CD. Se MN CN 2 cm,
= = então a altura relativa ao lado CD. do triângulo ACD mede, em cm,
a)
60
.
3
b)
50
.
3
c)
40
.
3
d)
30
.
3
e)
2 6
.
3
06. (Ita 2017) Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente,
10 cm,15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo 𝐴𝐴𝐶𝐶
̂𝐵𝐵 e seja E
um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que 𝐷𝐷𝐵𝐵
�𝐸𝐸 = 𝐷𝐷𝐶𝐶
̂𝐵𝐵. A medida, em cm, de CE é
a)
11 6
.
3
b)
13 6
.
3
c)
17 6
.
3
d)
20 6
.
3
e)
25 6
.
3
07. (Espcex 2017) Na figura, o raio da circunferência de centro O é
25
cm
2
e a corda MP mede 10 cm.
A medida, em centímetros, do segmento PQ é
a)
25
2
b) 10
c) 5 21
d) 21
e) 2 21

4. RELAÇÕES MÉTRICAS
3
08. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir.
A figura acima mostra um triângulo isósceles ABC, com BÂC 36
= ° e AB AC 1m.
= = A bissetriz interna de B corta
AC em D. Por D, traçam-se as distâncias até AB e até BC, determinando os pontos E e F, respectivamente. Sendo
assim, é correto afirmar que o valor do produto
DE DF
AD BF
⋅ é
a)
5 1
4
−
b)
3 5 5
4
−
c)
3 5
2
−
d)
3 5 1
2
−
e)
4 5
2
−
09. (Espcex 2017) Se o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo é 3 cm, a área do círculo (em
2
cm ) é igual a
a)
3
π
b) 3π
c) π
d) 3 3π
e) 81π
10. (Ita 2017) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente.
Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A
área do triângulo AMN, em 2
cm , é
a) 3,36.
b) 3,60.
c) 4,20.
d) 4,48.
e) 6,72.

5. RELAÇÕES MÉTRICAS
4
11. (Ita 2016) Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1cm. O seu maior lado mede 2 cm. e sua área é
de 2
1
cm .
2
Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede
a)
1
1 .
2
−
b) 2 2.
−
c)
1
.
2
d)
2
.
6
e)
3
.
6
12. (Eear 2016) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 5 5 cm de comprimento e a soma dos
catetos é igual a 15 cm.
As medidas, em cm, dos catetos são
a) 6 e 9
b) 2 e 13
c) 3 e 12
d) 5 e 10
13. (Espcex 2016) Na figura abaixo, a circunferência de raio 3 cm tangencia três lados do retângulo ABCD.
Sabendo que a área deste retângulo é igual a 2
72 cm , a medida do segmento EF, em cm, é igual a
a) 3 5
b)
6 5
5
c) 6 5
d)
12 5
5
e) 12 5

6. RELAÇÕES MÉTRICAS
5
14. (Col. naval 2016) Analise as afirmativas abaixo:
I. Todo triângulo retângulo de lados inteiros e primos entre si possui um dos lados múltiplos de “5”.
II. Em um triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é igual ao perímetro do triângulo menos a hipotenusa.
III. Há triângulos que não admitem triângulo órtico, ou seja, o triângulo formado pelos pés das alturas.
IV. O raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é o dobro da hipotenusa.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras
b) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
d) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras
e) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras
15. (Acafe 2016) A praça de uma cidade tem a forma de um triângulo retângulo ABC e está sendo reformada. A região
triangular foi dividida em duas partes, conforme a figura abaixo. A região formada pelo triângulo CDE será destinada
aos jardins e a região formada pelo quadrilátero ABED será usada para passeios e eventos.
Sabendo-se que as dimensões são AB 2 km,
= AC 2 3 km
= e AD 4DE,
= a razão entre a área destinada aos passeios
e eventos e a área dos jardins e igual a
a) 11 6. b) 11 2. c) 11 4. d) 11.
16. (Col. naval 2016) Observe a figura a seguir.
A figura acima exibe nove pontos que são vértices, ou pontos médios de lados, ou centro de um mesmo quadrado.
Esses pontos devem ser conectados com segmentos de reta, de modo que cada ponto seja extremidade de, no
máximo, dois segmentos de reta. Deseja-se que a soma dos comprimentos de todos os segmentos de reta, assim
traçados, seja a maior possível. O valor próximo dessa soma, em centímetros, é
a) 10
b) 11
c) 15
d) 18
e) 20

7. RELAÇÕES MÉTRICAS
6
17. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo
ˆ
ADB reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é
a)
21
.
8
b)
27
.
8
c)
35
.
8
d)
37
.
8
e)
45
.
8
18. (Col. naval 2015) Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 3, 4 e 5?
a)
12
5
b) 3
c) 4
d) 5
e)
20
3
19. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da
base é igual a Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados e medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
20. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa
BC, respectivamente. Se a medida de BE é ( )
2 1 cm
− e a medida de AD é 1 cm, então AC mede, em cm,
a) 4 2 5.
−
b) 3 2.
−
c) 6 2 2.
−
d) ( )
3 2 1 .
−
e) 3 4 2 5.
−
ABC, 2
48cm , AP
BC
2
.
3
AB AC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α =

8. RELAÇÕES MÉTRICAS
7
21. (Ime 2013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana
relativa de AC. Sabendo que BH AM 4,
= = a soma dos possíveis valores inteiros de BM é
a) 11
b) 13
c) 18
d) 21
e) 26
22. (Epcar 2012) Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21cm e dobrou
conforme o procedimento abaixo descrito.
1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M
2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E
3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.
4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR, em centímetros, é igual a
a) 6
b) 6 2
c) 9
d) 9 2

9. RELAÇÕES MÉTRICAS
8
23. (Col. naval 2011) ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal
forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o ângulo ˆ
APB é igual a 60º, que =
PA 6 e =
PC 8,
a medida de PQ será
a)
24
7
b)
23
5
c)
19
6
d)
33
14
e)
11
4
24. (Col. naval 2011) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferencia, traçada internamente ao quadrado,
com diâmetro CD, e T a semicircunferencia tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da
semicircunferencia T será
a)
5L
6
b)
4L
5
c)
2L
3
d)
3L
5
e)
L
3
25. (Ita 2011) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D e
um ponto sobre AB e o triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento AD , em cm, é igual a
a)
3
4
b)
15
6
c)
15
4
d)
25
4
e)
25
2
GABARITO
1 - B 2 -C 3 - B 4 - D 5 - A
6 - E 7 - E 8 - B 9 - A 10 - A
11 - B 12 - D 13 - D 14 - A 15 - D
16 - D 17 - E 18 - C 19 - A 20 - C
21 - B 22 - D 23 - A 24 - E 25 - D