1. 5.10 Metode Perbedaan Hingga
Solusi analitis untuk masalah transien terbatas pada geometri sederhana dan kondisi batas,
seperti kasus satu dimensi yang dipertimbangkan sebelumnya bagian. Untuk beberapa
geometri dua dan tiga dimensi sederhana, solusi analitik masih memungkinkan. Namun,
dalam banyak kasus geometri dan/atau kondisi batas menghalangi penggunaan teknik
analitis, dan jalan lain harus dilakukan metode perbedaan hingga (atau elemen hingga).
Metode tersebut, diperkenalkan di Bagian 4.4 untuk kondisi tunak, mudah diperluas ke
masalah sementara. Pada bagian ini kami mempertimbangkan bentuk eksplisit dan implisit
dari solusi beda hingga transien masalah konduksi.
5.10.1 Diskritisasi Persamaan Kalor: Metode Eksplisit
Sekali lagi perhatikan sistem dua dimensi pada Gambar 4.4. Di bawah sementara kondisi
dengan sifat konstan dan tidak ada generasi internal, bentuk yang sesuai persamaan panas,
Persamaan 2.19, adalah
𝑇� 𝛼� 𝑡� 𝑥� 𝑦�
Untuk memperoleh bentuk selisih hingga dari persamaan ini, kita dapat menggunakan selisih
pusat perkiraan turunan spasial yang ditentukan oleh Persamaan 4.27 dan 4.28. Sekali lagi
subskrip m dan n dapat digunakan untuk menunjukkan lokasi x dan y dari titik nodal diskrit.
Namun, selain didiskritisasi dalam ruang, masalahnya juga harus didiskritisasi dalam waktu.
Bilangan bulat p diperkenalkan untuk tujuan ini, di mana
𝑡� = 𝑝�
dan pendekatan beda hingga turunan waktu dalam Persamaan 5.72 adalah diekspresikan
sebagai
∂𝑇� 𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 − 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�
| ≈
∂𝑡� 𝑚�,𝑛� Δ𝑡�
Superskrip p digunakan untuk menunjukkan ketergantungan waktu dari T, dan turunan waktu
dinyatakan dalam perbedaan suhu yang terkait dengan yang baru (p + 1) dan sebelumnya (p)
kali.
Oleh karena itu perhitungan harus dilakukan pada waktu yang berurutan dipisahkan oleh
interval
T dan hanya sebagai solusi beda-hingga membatasi penentuan suhu ke titik-titik diskrit
dalam ruang, itu juga membatasinya titik diskrit dalam waktu.
∆
𝑡�
,
∆
1 ∂𝑇�
∂
=
∂2𝑇�
∂ 2
+
∂2
∂ 2
2. Jika Persamaan 5.74 disubstitusikan ke dalam Persamaan 5.72, sifat dari selisih hingga solusi
akan tergantung pada waktu tertentu di mana suhu dievaluasi dalam perkiraan perbedaan
hingga ke turunan spasial. Dalam metode eksplisit solusi, suhu ini dievaluasi pada waktu (p)
sebelumnya.
Oleh karena itu Persamaan 5.74 dianggap sebagai pendekatan selisih maju terhadap turunan
waktu.
Mengevaluasi suku-suku di ruas kanan Persamaan 4.27 dan 4.28 di p dan mensubstitusikannya
ke
dalam Persamaan 5.72, bentuk eksplisit persamaan beda hingga untuk simpul interior m, n
adalah
1 𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 − 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�𝑇�𝑚�𝑝�+1,𝑛� + 𝑇�𝑚�𝑝�−1,𝑛� −
2𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�+1 + 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�−1 − 2𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�
= +
𝛼� Δ𝑡� (Δ𝑥�)2
(Δ𝑦�)2
Selesaikan suhu nodal pada waktu baru (p + 1) dan asumsikan demikian ∆x = ∆y, berikut ini
𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 = 𝐹�𝑜�(𝑇�𝑚�𝑝�+1,𝑛� + 𝑇�𝑚�𝑝�−1,𝑛� + 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�+1 + 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�−1) + (1 −
4𝐹�𝑜�)𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�
di mana Fo adalah bentuk selisih hingga dari bilangan Fourier
𝛼�Δt
𝐹�𝑜� = 2
(Δ𝑥�)
Pendekatan ini dapat dengan mudah diperluas ke sistem satu atau tiga dimensi. Jika sistem
satu dimensi dalam x, bentuk eksplisit dari persamaan beda hingga untuk simpul interior m
direduksi menjadi
𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 = 𝐹�𝑜�(𝑇�𝑚�𝑝�+1 + 𝑇�𝑚�𝑝�−1) + (1 − 2𝐹�𝑜�)𝑇�𝑚�𝑝�
Persamaan 5.76 dan 5.78 eksplisit karena suhu nodal tidak diketahui untuk waktu baru
ditentukan secara eksklusif oleh suhu nodal yang diketahui pada waktu sebelumnya. Oleh
karena itu perhitungan suhu yang tidak diketahui sangat mudah. Sejak suhu setiap node
interior diketahui
3. T (p
= 1)
dimana Persamaan 5.76 atau 5.78 diterapkan pada setiap
node interior untuk menentukan suhunya. t persamaan
beda hingga
yang sesuai kemudian diterapkan
pada
T (p = 2) Dengan cara ini, sementara distribusi
T
Keakuratan solusi beda hingga dapat ditingkatkan dengan penurunan nilai ∆x dan ∆ t. Tentunya
jumlah titik nodal interior yang harus ada dianggap meningkat dengan penurunan ∆x, dan jumlah
interval waktu yang diperlukan untuk membawa solusi ke waktu akhir yang ditentukan
meningkat
dengan menurunnya ∆t. Karena itu waktu komputasi meningkat dengan menurunnya ∆x dan ∆t.
Pilihan ∆x biasanya didasarkan pada kompromi antara akurasi dan persyaratan komputasi.
Namun,
setelah pemilihan ini dilakukan, nilai ∆ t tidak dapat dipilih
mandiri.
Sebaliknya, ditentukan oleh persyaratan stabilitas. Fitur yang tidak diinginkan dari metode
eksplisit adalah bahwa metode ini tidak tanpa syarat stabil. Dalam masalah transien, solusi
untuk suhu nodal harus terus mendekati nilai akhir (steady-state) dengan bertambahnya
waktu. Namun, dengan metode eksplisit, solusi ini dapat dicirikan secara numerik osilasi
yang diinduksi, yang secara fisik tidak mungkin. Osilasi mungkin menjadi tidak stabil,
menyebabkan solusi menyimpang dari kondisi kondisi mapan yang sebenarnya. Untuk
mencegah hasil yang salah
tersebut, nilai ∆t yang ditentukan harus dipertahankan di bawah batas tertentu, yang tergantung
pada ∆x dan parameter lainnya sistem. Ketergantungan ini disebut kriteria stabilitas, yang dapat
diperoleh matematis atau ditunjukkan dari argumen termodinamika (lihat Soal 5.92). Untuk
masalah yang menarik dalam teks ini, kriteria ditentukan oleh mensyaratkan bahwa koefisien
yang terkait dengan node yang menarik di sebelumnya
waktu lebih besar atau sama dengan nol. Pada umumnya hal ini dilakukan dengan
mengumpulkan
semua term melibatkan 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛� untuk mendapatkan bentuk koefisien. Hasil ini kemudian
digunakan
untuk dapatkan hubungan pembatas yang melibatkan Fo, dari mana nilai maksimum yang
diijinkan
dari ∆t dapat ditentukan. Misalnya dengan Persamaan 5.76 dan 5.78 dinyatakan dalam bentuk
yang
diinginkan, maka kriteria stabilitas untuk simpul interior satu dimensi adalah (1 - 2Fo) ≥ 0,
atau
Fo
pada t = 0 (p = 0) dari kondisi awal yang ditentukan, perhitungan dimulai pada T= ∆
Dengan suhu dikenal untuk t =
∆
setiap node untuk menentukan suhu di T= 2∆
suhu diperoleh dengan berbaris dalam waktu, menggunakan interval
∆
4. dan untuk simpul dua dimensi, itu adalah (1 - 4Fo) ≥ 0, atau
Fo
Untuk menentukan nilai x dan , kriteria ini dapat digunakan untuk menentukan atas
batas nilai t.
Persamaan 5.76 dan 5.78 juga dapat diturunkan dengan menerapkan neraca energi metode
Bagian 4.4.3 ke volume kontrol tentang node interior. Akuntansi untuk perubahan
penyimpanan energi termal, bentuk umum dari persamaan keseimbangan energi dapat
dinyatakan sebagai
E˙ in + E˙ g = E˙ st
Demi mengadopsi metodologi yang konsisten, sekali lagi diasumsikan bahwa semua aliran
panas ke dalam node. Untuk mengilustrasikan penerapan Persamaan 5.81, pertimbangkan
node permukaan dari sistem satu dimensi yang ditunjukkan pada Gambar 5.12. Untuk lebih
akurat menentukan termal kondisi di dekat permukaan, simpul ini diberi ketebalan setengah
yang dari node interior. Dengan asumsi perpindahan konveksi dari fluida yang berdampingan
dan tidak ada generasi, maka dari Persamaan 5.81 itu
atau, menyelesaikan suhu permukaan pada t + ∆t
2ℎΔ𝑡� 2𝛼�Δ𝑡�
𝑇�𝑝�+1 = (𝑇�∞ − 𝑇�𝑏�) +
2 𝑇�𝑝�
𝜌�𝑐�Δ𝑥� Δ𝑥�
GAMBAR 5.12 Simpul permukaan dengan konveksi dan konduksi transien satu dimensi.
∆
∆
ℎ𝐴�(𝑇�
∞
− 𝑇�𝑝�
) +
𝑘�𝐴�
Δ𝑥�
(𝑇�
1
𝑝�
− 𝑇�𝑝�) = 𝜌�𝑐�𝐴�
Δ𝑥�
2
𝑇�
0
𝑝�+1
− 𝑇�
0
𝑝�
Δ𝑡
5. 0
𝑇�𝑝�+1
= 2𝐹�𝑜�(𝑇�1𝑝� + 𝐵�𝑖�𝑇�∞) + (1 − 2𝐹�𝑜� − 2𝐵�𝑖�𝐹�𝑜�)𝑇�𝑏�
Bentuk selisih hingga dari bilangan Biot adalah
𝑘�
Mengingat prosedur untuk menentukan kriteria stabilitas, kami mensyaratkan
itu koefisien untuk
T0p lebih besar dari atau sama dengan nol. Karena itu
1 - 2Fo - 2Bi Fo ≥ 0
Atau
Fo
Karena penyelesaian selisih hingga yang lengkap memerlukan penggunaan Persamaan 5.78
untuk simpul interior, serta Persamaan 5.82 untuk simpul permukaan, Persamaan 5.84 harus
dikontraskan dengan Persamaan 5.79 untuk menentukan persyaratan mana yang lebih ketat.
Sejak Bi ≥ 0, terlihat bahwa nilai batas Fo untuk Persamaan 5.84 lebih kecil dari pada
Persamaan 5.79. Untuk memastikan stabilitas untuk semua node, Persamaan 5.84 harus oleh
karena itu digunakan
untuk memilih nilai Fo maksimum yang diijinkan, dan karenanya ∆t, menjadi digunakan
dalam
perhitungan
Bentuk persamaan beda hingga eksplisit untuk beberapa geometri umum disajikan pada
Tabel 5.3(a). Setiap persamaan dapat diturunkan dengan menerapkan energi metode
keseimbangan ke volume kontrol tentang node yang sesuai. Untuk mengembangkan
kepercayaan pada kemampuan Anda untuk menerapkan metode ini, Anda setidaknya harus
mencoba memverifikasi salah satu persamaan ini.
5.10.2 Diskritisasi Persamaan Kalor: Metode Implisit
Dalam skema perbedaan hingga yang eksplisit, suhu setiap node pada t + ∆t mungkin
dihitung dari
pengetahuan suhu pada node yang sama dan tetangga untuk waktu sebelumnya t. Karenanya
penentuan suhu nodal pada beberapa waktu tidak tergantung pada suhu di node lain untuk
waktu yang sama. walaupun metode menawarkan kenyamanan komputasi, itu menderita
keterbatasan
pada pemilihan ∆ t. Untuk penambahan ruang tertentu, interval waktu harus sesuai persyaratan
Mengetahui bahwa (2h ∆ t/pc ∆ x) 2(h ∆ x/k)( α∆ t/ ∆ x2
) 2 Bi Fo dan mengelompokkannya hal
yang melibatkan 𝑇�𝑝�, maka berikut
itu
ℎ∆𝑥�
𝐵�𝑖� =
6. stabilitas. Seringkali, ini mendikte penggunaan nilai yang sangat kecil dari ∆t, dan interval waktu
yang sangat besar mungkin diperlukan untuk mendapatkan solusi.
Pengurangan jumlah waktu komputasi seringkali dapat direalisasikan oleh menggunakan
implisit, bukan eksplisit, skema perbedaan hingga. Yang tersirat bentuk persamaan beda
hingga dapat diturunkan dengan menggunakan Persamaan 5.74 untuk perkiraan turunan
waktu, sambil mengevaluasi semua suhu lainnya pada yang baru (p + 1) waktu, bukan waktu
(p) sebelumnya. Persamaan 5.74 kemudian dianggap memberikan pendekatan perbedaan
mundur terhadap turunan waktu. Berlawanan dengan Persamaan 5.75, bentuk implisit dari
persamaan beda hingga untuk interior node dari sistem dua dimensi kemudian
1 𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 − 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�𝑇�𝑚�𝑝�++11,𝑛� +
𝑇�𝑚�𝑝�+−11,𝑛� − 2𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1
= 2
𝛼� Δ𝑡� (Δ𝑥�)
𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1+1 + 𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1−1 −
2𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1
+ 2
(Δ𝑦�)
Menata ulang dan mengasumsikan ∆x = ∆y, berikut ini
(1 + 4𝐹�𝑜�)𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1 − 𝐹�𝑜�(𝑇�𝑚�𝑝�++11,𝑛� + 𝑇�𝑚�𝑝�+−11,𝑛� + 𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1+1 +
𝑇�𝑚�𝑝�+,𝑛�1−1) = 𝑇�𝑚�𝑝�,𝑛�
Dari Persamaan 5.92 terlihat bahwa temperatur baru dari simpul m,n tergantung pada suhu
baru dari simpul-simpul yang bersebelahan, yang pada umumnya tidak dikenal. Oleh karena
itu, untuk
menentukan suhu nodal yang tidak diketahui pada t + Δt, persamaan nodal yang sesuai harus
diselesaikan secara bersamaan. Solusi seperti itu mungkin dilakukan dengan menggunakan
iterasi Gauss–Seidel atau inversi matriks, seperti yang dibahas pada Bagian 4.5. Solusi
berbaris kemudian
akan melibatkan pemecahan secara bersamaan persamaan nodal pada setiap waktu t= Δt, 2
Δt, . . .
, sampai waktu terakhir yang diinginkan dicapai.
Sehubungan dengan metode eksplisit, formulasi implisit memiliki arti penting keuntungan
menjadi stabil tanpa syarat. Artinya, solusinya tetap stabil untuk semua interval ruang dan
waktu, dalam
hal ini tidak ada batasan pada Δx dan
Δt.
Karena nilai Δt yang lebih besar dapat digunakan
dengan
metode implisit, komputasi kali sering dapat dikurangi, dengan sedikit kehilangan akurasi.
Namun
7. demikian, untuk memaksimalkan akurasi, Δ t harus cukup kecil untuk memastikan bahwa
hasilnya
independen pengurangan lebih lanjut dalam nilainya. Bentuk implisit persamaan beda hingga
juga dapat diturunkan dari metode keseimbangan energi. Untuk node permukaan Gambar
5.12, mudah ditunjukkan bahwa
0 1
Untuk setiap simpul interior dari Gambar 5.12, juga dapat ditunjukkan bahwa
(1 + 2𝐹�𝑜�)𝑇�𝑚�𝑝�+1 − 𝐹�𝑜�(𝑇�𝑚�𝑝�+−11 + 𝑇�𝑚�𝑝�++11) = 𝑇�𝑚�𝑝�
Bentuk persamaan beda hingga implisit untuk geometri umum lainnya adalah disajikan pada
Tabel
5.3(b). Setiap persamaan dapat diturunkan dengan menerapkan energi metode keseimbangan
5-4. LAPISAN BATAS LAMINAR PADA BIDANG DATAR
Pertimbangkan volume kontrol unsur yang ditunjukkan pada gambar 5-4. Kami
menurunkan persamaan gerak untuk lapisasan atas dengan dengan membuat
kesetimbangan gaya dan momentum pada elemen ini.sehingga diasumsikan:
Fluida tidak dapat dimanfaatkan dan alirannya stabil
Tidak ada variasi tekanan pada arah tegak lurus plat
Viskositasnya konstan
Gaya geser kental pada arah y diabaikan
Sehingga diterapkan hukum kedua newton
Hukum kedua newton diatas berlaku untuk sistem massa konstan .Dalam dinamika
fluida biasanya tidaknyaman untuk bekerja dengan elemen massa ,melainkan kita
berurussan dengan volume kontrol unsur seperti yag ditunjukkan pada gambar 5-4.
Dimana massa dapat mengalir masuk atau keluar dari sisi yang berbeda dari
volume,yang tetap dalam ruang.
(1 + 2𝐹�𝑜� + 2𝐹�𝑜�𝐵�𝑖�)𝑇�𝑝�+1
− 2𝐹�𝑜�𝑇�𝑝�+1
= 2𝐹�𝑜�𝐵�𝑖�
8. Gambar 5-4 volume kontrol elemen untuk keseimbangan gaya pada lapisan batas laminar
Untuk sistem kesetimbangan gaya di nyatakan sebagai berikut
∑Fx = Peningkatan fluks momentum dalam arah x
Flux momentum dalam arah x adalah produk dari aliran massa melalui sisi tertentu dari
volume atur dan komponen x dari kecepatan dari titik tersebut . Massa yang memasuki sisi
kiri elemen persatuan waktu adalah
Jika kamu mengasumsikan kedalam unit dalam arah z.Dengan demikian momentum
memasuki sisi kiri persatuan waktu adalah
Aliran massa yang meninggalkan sisi kanan adalah
Dan momentum meninggaelkan sisi kanan adalah
Aliran masssa yang memasuki permukaan bawah adalah
Aliran massa yang meninggalkan permukaan atas adalah
9. Neraca massa pada elemen menghasilkan
Persamaan diatas merupakan persamaan kontinuitas massa untuk lapisan batas. Kembali
keanalisis momentum dan gaya ,momentum di arah yang masuk ke muka bawah adalah
Dan momentum dalam arah x yang meninggaelkan permukaan atas adalah
Kita hanya tertarik pada momentum dalam arah x karena gaya yang diperhitungkan dalam
analisis adalah gaya dalam arah x. Gaya gaya ini adalah gaya geser viskos dsn gaya tekan
pada elemen .Gaya tekan disisi kiri adalah p dy, dan disisi kanan adalah –[p + (∂p /∂x)dx] dy
,sehingga gaya tekan netto dalah arah gerak adalah
Dan gaya geser diatas adalah
Gaya geser viskos bersih dalam arah gerakan adalah dari jumlah yang diatas :
Menyamakan jumlah gaya geser viskos dan tekanan dengan transfer momentum bersih dalam
arah x,sehingga diperoleh
Mlenghapus suku,memanfaatkan hubungan kontinuitas (5-12)dan mengabaikan diferensial
orde kedua ,diberikan
Ini adalah persamaan momentumlapisan batas laminar dengan sifat konstan.Persamaan dapat
diselesaikan dengan tepat untuk banyak kondisi batas .dan para pembaca mengacu pada
risalah oleh schlichting[1] untuk perincian berbagai metode yang digunakan dalam
10. solusi.Dalam lampiran B kami telah memasukkan metode klasik untuk mendapatkan solusi
eksak untuk persmaan (5-13) untuk aliran laminar diatas pelat datar.Untuk pengembangan
dalam bab ini kita akan puas dengan analisis perkiraan yang lebih mudah tanpa kehilangan
pemahaman fisik dari proses yang terlibat.Metode perkiraan adalah karena von karman [2].
Perhatikan sistem aliran lapisan batas yang yang ditunjukkan pada gambar 5-5.Kecepatan
aliran bebas di luar lapisan batas adalah u,,, dan ketebalan lapisan batas adalah
Gambar 5-5 Volume kontrol elemen untuk momentum integral analisis lapisan batas laminar
Kami ingin membuat keseimbangan momentum dan gaya pada volume kontrol yang
ditentukan oleh bidang 1,2,A-A, dan dinding padat.Komponen kecepatan mal terhadap
dinding diabaikan ,dan hanya komponen komponen dalam arah x yang dipertimbangkan
.Kami berasumsi bahwa volume kontrol cukup tinggi sehingga selalu aliran massa melalui
bidang I adalah
Dan aliran momentum melalui bidang I adalah
Aliran momentum melalui bidang 2 adalah
Dan aliran massa melalui bidang 2 adalah
Mempertimbangkan kekekalan massa dan fakta bahwa tidak ada massa yang dapat memasuki
volunme atur melalui dinding padat ,aliran masssa tambahan dalam pernyataan (d) diatas
yang dalam (a) harus masuk melalui bidang A-A.Aliran massa ini membawa serta momentum
dalam arah x sama dengan.
11. Oleh karena itu ,aliran momentum bersih keluar dari volume atur adalah
Ungkapan ini dapat dimasukkan kedalam bentuk yang lebih berguna dengan mengingat
rumus produk dari kalkulus diferensial:
Adalah fungsi dan u adalah fungsi .dengan demikian
Ini dapat ditempatkan di dalam integral karena bukan merupakan fungsi dari y dan
karenanya dapat diperlakukan sebagai konstanta sejauh integral terkait dengan y .Kembali ke
analisa gaya pada bidang I adalah gaya tekan pH dan bahwa pada bidang 2 adalah [p +
(dp/dx)dx]H.Gaya geser pada dinding adalah
Tidak ada gaya geser pada bidang A-A karena gradien kecepatan adalah nol diluar lapisan
batas.Mengater gaya pada elemen sama dengan peningatan bersih dalammomentum dan
istilah pengupulan memberi
Ini adalah persamaan momentum dalam integral dari lapisan batas .Jika tekanan konstan
sepanjang aliran.
Karena tekanan dan kecepatan aliran bebas dihubungkan dengan persamaan bernouli .untuk
kondisi tekanan konstan ,persamaan integral lapisan batas menjadi
Batas atas integral telah diubah menjadi dan karena integralnya adlah nol untuk y >δ sejak
u= uα untuk y > δ.
12. Profil kecepatan diketahui ,fungsi yang sesuai dapat dimasukkan ke dalam persamaan (5-17)
untuk mendapatkan expresi ketebalan lapisan batas .Untuk kita analisis perkiraan oertamae-
tama kita tulis beberapa kondisi yang kecepatannya funsi harus memenuhi:
Untuk kondisi tekanan konstan persamaan persamaan (5-13) memberi
Karena kecepatan u dan v adlah nol pada y = 0. Kita asumsikan bahwa profil kecepatan pada
berbagai pada berbagai posisi x serupa : yaitu mereka memiliki ketergantungan fungsional
yng sama pada koordinat y. Ada empat syarat yang harus dioenuhi .Fungsi paling sederhanan
yang dapat kita pilih untuk memenui kondisi ini adalah poli.nominal dengan empat konstanta
abriter.dengan demikian
Menerapkan empat kondisi (a) ke (d).
Melaksanakan intergrasi kecepatan mengarah ke persamaan (5-17) sehingga
Melaksanakan integrasi mengarah ke
Sejak p dan uω adalah konstanta ,variable dapat dipisah menjadi
Ini dapat ditulis da;am bidang reynolds sebagai
13. Solusi eksak dari persamaan lapisan batas seperti yang diberikan pada lampiran B hasil
5-5. Persmaan Energi Lapisan Batas
Analisa sebelumnya mempertimbanglkan dinamika fluida batas laminar- sistem aliran
lapisan.Untuk mengembangkan persamaan energi untuk sistem ini dan kemudian
melanjutkan ke metode penyelesaian integral.Pertimbngkan volume kontrol unsur yang
ditunjukkan pada gambar 5.6 .Untuk menyederhanakan analisi sehingga di asumsikan
Gambar 5-6 volume unsur untuk analisis energi lapisan batas laminar
Aliran mantap yang tidak dapat dimanpatkan
Viskositas konstan ,konduktivitas thermal ,dan panas spesifik
Konduksi panas yang dapat diabaikan dalam arah aliran (arah x)
Kemudian ,untuk unsur yang ditunjukkan ,neraca energi dapat dituliskan energi yang
di konveksi di sisi kiri + energi yang dikonveksi di sisi bawah + kalor yang
dikonveksi di sisi bawah + kerja kental yang bersih yang dilakukan pada elemen =
energi di konveksikan di sisikanan + energi dikonveksikan di sisi atas + kalor
dikonveksikan sisi atas.
Kuantitas energi konvektif dan konduksi ditunjukkkan pada gambar 5-6, dan istilah
energi untuk kerja kental dapat diturunkan sebagai berikut .Pekerjaan kental dapat
dihitung sebagai produk dari gaya geser -viskos bersih dan jarak yang ditempuh
14. gaya ini dalam waktu singkat. Gaya geser viscos adalah produk dari tegangan geser
dan luas dx.
Dan jarak yang dilaluinya persatuan waktu sehubungan dengan volume kontrol
unsur dx dy adalah
Sehingga energi kental bersih yang dikirim ke elemen adalah
Menuliskan neraca energi yang sesuai dengaan besaran yang ditunjukkan pada
gambar 5-6,mengasumsikan kedalam satuan dalam arah z dan mengabaikan
differensial orde kedua
Menggunakan hubungan kontinuitas
Dan membaginya dengan pc ,berikan
Ini adalah persamaan energi dari lapisan batas laminar.Sisi kiri mewakili trar bersih
energi kedalam volume atur ,dan sisi kanan mewakili jumlah panas bersih yang
dilakukan di luar volume atur dan kerja kental bersih yang dilakukan pada elemen .
Istilah kerja kental hanya penting pada kecepatan tinggi karena besarnya akan kecil
dibandingkan dengan istilah lain ketika aliran kecepatan rendah dipelajari.Hal ini
dapat ditunjukkan dengan analisis orde besaran ini , kita dapat menganggap
kecepatan memiliki orde kecepatan airan bebas u. dan dimensi y orde δ, jadi
Jika rasio jumlah ini kecil,yaitu
Maka disipasi kental kecil dibandingkan dengan istilah konduksi ,mari kita mengatur
ulang persamaan (5-23) dengan memperkenalkan
15. Dimana pr disebut bilangan prandtl ,yang akan kita bahas nanti .persamaan (5-23)
menjadi
Sebagai contoh ,perhatikan aliran udara di
Untuk kondisi tersebut cp = 1005 j/kg.∙◦C dan Pr = 0,7 sehingga
Menunjukkan bahwa di spasi kental kecil .jadi untuk aliran ampan berkevcepatan
rendah ,kita punya
Pada pernyataannya derivasi persamaan energi kami telah disederhanakan ,dan
beberapa istilah telah ditinggalkan dari analisis karena kecil dalam perbandingan
denag orang lain.
Ada kesamaan yang mencolok antara persamaan (5-25) dan persamaan momentum
untuk tekanan konstan.
Solusi untuk kedua persamaan akan memiliki bentuk yang persis sama ketika α = v.
dengan demikian kita harus mengharapkan bahwa besaran raletif dari difusifitas
thermal dan viskositas kinematik akan memiliki pengaruh penting pada panas
konveksi .Transfer karena besaran ini menghubngjan distribusi kecepatan denga suhu.
