sistemas de ecuaciones

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN
UNIDAD EDUCATIVA INTEGRAL EL PRADO
MARACAIBO - ESTADO ZULIA
5TO AÑO
SECCIONES: A – B
DOCENTE: ELIAS GONZALEZ
CORREO: eliasgonzalezueielprado@gmail.com Whatsapp: 04146550643

2. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
USANDO LA MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS:
Resolver el siguiente sistema:
2𝑥 + 10𝑦 − 6𝑧 = 22
8𝑥 + 42𝑦 − 20𝑧 = 134
7𝑥 + 29𝑦 − 28𝑧 = −21
Solución:
La Matriz ampliada del Sistema es la siguiente;
2 10 −6
8 42 −20
7 29 −28
22
134
−21
debemos de convertirla a
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
Convertimos en 1 el elemento a11, multiplicando la fila 1 por
1
2
2 10 −6
8 42 −20
7 29 −28
22
134
−21
f1=
1
2
. f1

3. 1 5 −3
8 42 −20
7 29 −28
11
134
−21
multiplicamos la fila 1 por − se la sumamos a la
Fila 2 = fila 2 y en la fila 3 multiplicamos -7 por la fila 1 y se la sumamos a
la fila 3
1 5 −3
0 2 4
0 −6 −7
11
46
−98
Ahora en la fila 2 va ser igual
a
1
2
por fila 2 y en la fila 3 colocamos la multiplicación de 6 por la fila 2
mas (+) a fila 3
1 5 −3
0 1 2
0 0 5
11
23
40
f3=
1
5
por f3
1 5 −3
0 1 2
0 0 1
11
23
8
f1= f1+3f3 y f2=f2-2f3
1 5 0
0 1 0
0 0 1
35
7
8

4. RESOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES USANDO LA MATRIZ
ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
1 5 0
0 1 0
0 0 1
35
7
8
y por ultimo en la fila 1 multiplicamos -5 por la fila 3 y se la
sumamos a la fila 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
7
8
entonces la solución queda : x=0
y=7 z= 8 el sistema se dice que es compatible determinado
METODO GAUSS – JORDAN:
METODO DE ELIMINACION:
La Matriz en forma escalonada Reducida, es obtenida usando el Método
de Gauss –Jordán el cual se hace todos los pivotes 1 produciendo ceros
arriba y debajo de ellos.
Para pasar de un Sistema No escalonado a otro escalonado equivalente
, se usa un procedimiento que se conoce como “Método de Gauss "o
“Método de Eliminación “de incógnitas.

5. Ejemplo:
Resolver el siguiente Sistema:
S=
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1
Solución:
Método GAUSS:
La Matriz ampliada del Sistema es:
M=
2 1 3
3 −1 1
1 2 −1
1
4
−1
-3f1 +2f2 = f2
-6 -3 -9 -3
6 -2 +2+8 M=
2 1 3
0 −5 −7
1 2 −1
1
5
−1
ahora -1f1+2f2 =f3
0 -5 -7 +5

6. -1f1+2f2 =f3
-2-1-3-1
2 4 -2-2
0 3 -5 -3
M=
2 1 3
0 −5 −7
0 3 −5
1
5
−3
ahora en la fila 3
efectuamos lo siguiente 3f2+5f3=f3
0 -15 -21 15
0 15 -25 -15 M=
2 1 3
0 −5 −7
0 0 −46
1
5
0
0 0 -46 0= f3
Finalmente el sistema queda reducido al sistema equivalente
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
−5𝑦 − 7𝑧 = 5
−46𝑧 = 0
Ahora se despeja la z y nos queda:

7. 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
−5𝑦 − 7𝑧 = 5
−46𝑧 = 0
-46z=0
Z=
0
−46
z=0 se sustituye el valor encontrado de la z en la segunda
ecuación −5𝑦 − 7𝑧 = 5
−5y − 7z = 5
−5y − 7(0) = 5
−5y-0=5 -5y=5 y=
5
−5
y=-1
Se sustituyen y y la z en la ecuación 1
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
2x + (-1) +3(0)= 1 2x-1 +0=1 2x=2 x=
𝟐
𝟐
x=1 entonces el sistema tiene:
x=1 y= -1 z=0

8. METODO GAUSS- JORDAN:
Forma Escalonada Reducida por filas:
Resolver el siguiente Sistema:
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1
Solución:
M=
2 1 3
3 −1 1
1 2 −1
1
4
−1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
Solución:
M =
2 1 3
3 −1 1
1 2 −1
1
4
−1
𝟏
𝟐
f1
1
1
2
3
2
3 −1 1
1 2 −1
1
2
4
−1
-3f1 + f2 = f2 y -1f1 + f3 = f3

9. 1
1
2
3
2
0
−5
2
−7
5
0
3
2
−5
2
1
2
5
2
−3
2
1
−5
2
. 𝑓2
1
1
2
3
2
0 1
7
5
0
3
2
−5
2
1
2
−1
−3
2
ahora se multiplica -
1
2
. 𝑓2 + 𝑓1 𝑦
−3
2
.f2+f3
1 0
4
5
0 1
7
5
0 0
−23
5
1
−1
0
ahora se multiplica
1
−23
5
. F3
1 0
4
5
0 1
7
5
0 0 1
1
−1
0
y por
ultimo
−4
5
. 𝑓3 + 𝑓1 y
−7
5
. 𝑓3 + 𝑓2

10. 1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
−1
0
la solución es: x= 1 y= -1 z=0
Ejemplo:
2) Determina la solución del sistema de ecuaciones por Método Gauss –
Jordán
Matriz Escalonada Reducida por filas:
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −12
6𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0
Solución:
El Sistema puede escribirse como:
1 1 −2
3 −1 4
6 2 2
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
−12
0
la matriz ampliada es: A=
1 1 −2
3 −1 4
6 2 2
1
−12
0
Los siguientes pasos conducen a la reducción del sistema:

11. a) Dividimos la fila 3 por 2
1 1 −2
3 −1 4
3 1 1
1
−12
0
b) Multiplicamos la fila 1 por 3 y el resultado
se lo restamos a las filas 2 y 3
1 1 −2
0 −5 10
0 −2 7
1
−15
−3
c) Dividimos la fila 2 por -5
1 1 −2
0 1 −2
0 −2 7
1
3
−3
d) Le restamos la fila 2 a la fila1
1 0 0
0 1 −2
0 −2 7
2
3
−3
e) Multiplicamos la fila 2 por 2 y el resultado se lo
sumamos a la fila 3
1 0 0
0 1 −2
0 0 3
−2
3
3
f) Dividimos la fila 3 por 3

12. 1 0 0
0 1 −2
0 0 1
−2
3
1
g) Multiplicamos la fila 3 por 2 y el resultado se lo
sumamos a la fila 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−2
5
1
El resultado anterior conduce al
Siguiente sistema equivalente con:
𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = −2
0𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 5
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 1
De cual puede obtenerse inmediatamente la solución:
X=-2 y=5 z=1

13.  1) Utiliza el Método de la Matriz Escalonada Reducida por
Filas para encontrar la solución de los siguientes sistemas :.
Valor 3pts c/u

 a)
𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 = −8
4𝑥 + 8𝑦 − 𝑧 = 76
8𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 110
b)
−𝑥 − 3𝑦 + 12𝑧 = 6
2𝑥 + 10𝑦 − 40𝑧 = −4
−4𝑥 − 7𝑦 + 41𝑧 = −31
 c)
4𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 8
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = −1
2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 3
d)
6𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12
9𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 37
10𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 21

NOTA: La actividad debe estar identificada con nombre, apellido, año, sección, fecha y materia.
Solo deben pasar al WhatsApp o al correo la actividad. Aquel estudiante que por diversas causas no pueda enviarlas la puede
entregar en físico en la institución los días viernes.

14. 2) Utilizando el método de Gauss de Eliminación resolver
los siguientes sistemas. Valor 2ptsc/u
a)
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
6𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −14
3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
b)
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −4
c)
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1
𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = −12
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −5
d)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 6
NOTA: La actividad debe estar identificada con nombre, apellido, año, sección, fecha y materia.
Solo deben pasar al WhatsApp o al correo la actividad. Aquel estudiante que por diversas causas no pueda enviarlas la puede
entregar en físico en la institución los días viernes.