2. Сложение чисел Правило № 9 При сложении двух чисел в системе счисления с основанием q необходимо записать их столбиком одно над другим так, чтобы соответствующие разряды одного слагаемого располагался под соответствующими разрядами другого слагаемого. Сложение производится поразрядно справа налево, начиная с младших разрядов слагаемых.
3. Сложение чисел (продолжение) Рассмотрим сложение в разряде с номером i . Введем обозначения: a i и b i - цифры соответственно первого и второго слагаемых i -го разряда, p i -признак переноса единицы из i - 1 разряда в i - ый разряд . Признак переноса p i равен 1, если в i -1 разряде сформирована единица переноса в i -ый разряд и равен 0 в противном случае. Всегда: p 0 =0. Найдем сумму: S = a + b + p i ; a и b - десятичные числа, которые соответствуют цифрам a i и b i . Сложение производиться в десятичной системе счисления.
4. Сложение чисел (окончание) Возможны два случая: 1. S q . И з S вычтем основание системы счисления q . С формируем признак переноса p i+1 в следующий i +1 разряд, равный 1 . Р азности, полученной в результате вычитания, поставим в соответствие цифру s i системы счисления с основанием q . 2. S < q . Сформируем признак переноса p i+1 в следующий i +1 разряд, равный 0. Поставим в соответствие десятичному числу S цифру s i системы счисления с основанием q . Полученная цифра s i является цифрой i -го разряда суммы. Аналогично производится сложение в каждом разряде.
8. Вычитание чисел в различных системах счисления Правило № 10. Для того чтобы вычесть числа в системе счисления с основанием q , необходимо записать одно под другим столбиком, чтобы разряды вычитаемого располагались под соответствующими разрядами уменьшаемого. Вычитание производиться поразрядно, начиная с младшего разряда.
9. Вычитание чисел (продолжение ) Рассмотрим вычитание в i -ом разряде. Введем обозначения: a i и b i - цифры соответствующ ие уменьшаемо му и вычитаемо му i -го разряда, p - признак единицы за ё ма в i –ом разряде. П ризнак заёма p равен - 1, если возникла необходимость в за ё ме единицы в i + 1 разряде и признак p i равен 0 в противном случае. Для нулевого разряда всегда выполняется p 0 =0 . Поставим в соответствии a i и b i десятичные .числа a и b . Найдем значение выражения R = a b + p .
10. Вычитание чисел (окончание) Возможны два случая : 1. R 0. П ризнак у заема присвоим значение равное –1: p i+1 = -1, т.е. возникает заем единицы из следующе го разряд а . Найдем сумму R + q . Полученной сумме поставим в соответствие цифру r i системы счисления с основанием q . 2. R 0 . Значению r необходимо поставить в соответствие цифру r i . Признак у заема присвоить значение равное нулю: p i+1 = 0. Полученная цифра r i является цифрой i -го разряда разности. Аналогично производится вычитание в каждом разряде.
14. Умножение двоичных чисел Для того, чтобы умножить одно двоичное число на другое необходимо записать их одно под другим, чтобы разряды второго сомножителя располагался под соответствующими разрядами первого сомножителя. Назовем первый сомножитель - множимое, а второй сомножитель - множитель.
15. Умножение двоичных чисел (продолжение) Сформируем столбик чисел и расположим его под записанными сомножителями. Количество чисел столбика равно количеству единиц множителя. Каждое число столбика соответствует одной единице множителя и образуется из записи множимого. Множимое записывается в строке столбика так, что его младший разряд располагается под соответствующей единицей множителя. Незаполненный элемент строки считается равным нулю.
16. Умножение чисел (окончание) Образованный столбик чисел складывается. При этом первоначально складываются первые два числа. К результату сложения прибавляется третье число, к очередному результату прибавляется четвертое число, и т. д. Полученная сумма является произведением двух исходных чисел.
18. Деление двоичных чисел (правило № 12) Для того, чтобы разделить одно двоичное число н а другое необходимо записать числа также как записываются числа при делении в десятичной системе счисления (уголком). 1. Просматриваем делимое слева направо, начиная со старшего разряда, и определим минимальную по длине последовательность нулей и единиц, из которой можно образовать число не меньшее, чем делитель. 2. Запишем под образованным числом делитель таким образом, чтобы младший разряд делителя располагался под младшим разрядом образованного числа. 3. Выполним вычитание, т.е. из образованного числа вычтем делитель и найдем разность. 4. В область частного запишем единицу. Если в области частного имеется последовательность цифр, то единица приписывается справа к последовательности цифр, размещенной в области частного.
19. Деление двоичных чисел (окончание) 5 . Припишем справа к полученной разности разряд делимого расположенный за образованным числом. Если такой разряд отсутствует, то деление закончено и образованное из разности и возможно приписанных ранее разрядов делимого число является остатком от деления. Если разряд делимого можно приписать к разности, то возможны два случая: 5.1. Образованное число меньше делителя. В этом случае в область частного необходимо справа приписать ноль и повторить шаг 5. 5.2. Образованное число больше или равно делителя. В этом случае следует вновь выполнить шаги 2, 3, 4, 5.
21. Вычитание с использованием дополнительного кода Правило № 13. Вычитание неотрицательных чисел Дано: неотрицательные десятичные числа. Найти: двоичной код числа, равный разности исходных чисел. 1. Переведем в двоичную систему счисления исходные десятичные числа. 2. Определим количество двоичных разрядов найденных двоичных чисел и обозначим эти величины через k 1 и k 2 . 3. Найдем минимальное количество разрядов, необходимое для выполнения вычитания и для представления вычитаемого в дополнительном коде: k=max( k 1 +1 , k 2 +1 ).
22. Продолжение правила № 13 5. Найдем k - разрядный дополнительный код вычитаемого. Старший разряд – знаковый. 6. Выполним сложение в двоичной системе счисления прямого кода уменьшаемого и дополнительного кода вычитаемого. Знаковые разряды сложим как обычные разряды чисел. Единицу переноса ( при наличии ) из знакового разряда отбросим. Если в знаковом разряде находится ноль, то разность - неотрицательное число и записана в прямом коде. Если в знаковом разряде единица, то разность - отрицательное число и записан а в дополнительном коде.
23. Пример № 1 вычитания чисел Сложить число 17563 10 с числом -1594 10 в двоичной системе счисления ( 1594 10 = 11000111010 2 ). k 1 =1 5 , k 2 = 1 1 , k =max( k 1 +1, k 2 +1) = max (1 5 + 1, 1 1 +1) =16 Единица переноса 1 1000001100111100 1-е слагаемое (уменьшаемое) + 7563 10 = 0100010010011011 2 2-е слагаемое (вычитаемое) -1594 10 = 1111100111000110 2 Результат (разность) 15969 10 = 0011111001100001 2
24. Пример № 2 вычитания чисел Сложить число 1594 10 с числом -17563 10 в двоичной системе счисления . k 1 =11, k 2 = 15, k =max( k 1 +1, k 2 +1) = max (11 + 1, 15 +1) =16 Единица переноса 0111110011000000 1-е слагаемое + 1594 10 = 0000011000111010 2 2-е слагаемое - 17563 10 = 1011101101100101 2 Результат - 15969 10 = 1100000110011111 2
25. Выполнение операций при использовании формата хранения с плавающей точкой 1. При сложении и вычитании чисел сначала уравниваются порядки операндов. Мантисса числа с меньшим порядком сдвигается вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. П орядок при завершении сдвига увеличивается на количество разрядов, равное разности порядков операндов. 2. При умножении чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются. 3. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а над мантиссами совершается операция деления. 4. В случае необходимости полученный результат выполнения арифметических действий нормализуется. Правило № 14
