Документ объясняет перевод чисел между различными системами счисления, акцентируя внимание на двоичной системе, предложенной Готфридом Вильгельмом Лейбницей в 1666 году. В нем рассматриваются характеристики позиционных и непозиционных систем счисления, с примерами десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем. Документ также описывает методы перевода чисел из одной системы в другую с иллюстрацией применения и преимуществ двоичной системы в вычислительной технике.

1. 3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
В 1666 году В. Лейбниц предложил идею записи любого числа в двоичной
системе и возможность использовать двоичную систему в вычислительном
устройстве.
Все виды информации, хранящиеся в памяти компьютера (слова, числа,
рисунки, программы управления работой компьютера), записываются в виде
последовательности двоичных чисел. В вычислительной технике двоичные
числовые символы 0 и 1 называются специальным термином – бит, который
является единицей измерения информации.
Система счисления – это совокупность правил записи чисел и
арифметических операций над ними. Системы счисления делятся на
позиционные и непозиционные.
В непозиционной системе счисления цифры не зависят от значения
(мощности) числа, от положения (позиции). В качестве примера можно
привести римские цифры, которые пишутся с использованием латинского
алфавита: ССLХVII (100+100+50+10+7). Здесь С – число сто, где бы оно не
стояло, L – пятьдесят и т.д.
В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от ее
положения, например, в числе 777,7 первая цифра 7 – сотни, вторая –
десятки, третья – единицы, последняя цифра 7 показывает 7/10 часть числа.
Системы счисления бывают четырех видов:
1) десятичная система счисления; 2) двоичная система счисления; 3)
восьмеричная система счисления; 4) шестнадцатеричная система счисления.
В десятичной системе счисления для выражения чисел используются
арабские цифры от 0 до 9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 234 = 200 + 30 +
4, 2 из разряда сотен, 3 из разряда Вы узнаете:
• о системе счисления;
• о видах систем счисления;
• об особенностях двоичной системы счисления;
• о переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную,
восьмеричную и шшестнадцатеричную.
В десятичной системе счисления для выражения чисел используются
арабские цифры от 0 до 9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 234 = 200 + 30 +
4, 2 из разряда сотен, 3 из разряда десятков, 4 из разряда единиц. Десятичная
система счисления является позиционной, так как в записи десятичного числа

2. значение цифры зависит от его позиции или от его места в числе. Позицию,
выделенную на цифру числа, называют разрядом.
Если записать число 234 в виде суммы, то получим следующее: 2*10+ 3*10+
4*10
Число 10 в этой записи является основанием системы счисления. Для каждой
цифры числа 10 в зависимости от позиции цифры основания возводится в
степень и умножается на эту цифру. Для единиц – 0; для десятичных знаков –
1, для сотен – 2 и так далее
Двоичная система счисления – позиционная система счисления с основанием
числа 2. В этой системе счисления используются только два знака – 0 и 1.
Каждая единица следующего разряда будет в 2 раза больше предыдущей,
следовательно, эти единицы образуют последовательность чисел 2, 4, 8, 16,
..., 2n, ....
Восьмеричная система счисления – позиционная целочисленная система
счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются
цифры от 0 до 7. Например, число 356 в восьмеричной системе записывается
так: 356=3*8+5*8+6*8
Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система счисления по
целочисленному основанию 16. В шестнадцатеричной системе счисления
используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B
(11), C (12), D (13), E (14), F (15).
При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное первое разбивается на
группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество
разрядов не делится нацело, то к первой четверке впереди дописываются
нули. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системы
счисления.
Для того, чтобы перевести число из десятичной системы счисления в любую
другую, нужно выполнять целочисленное деление исходного числа на
основание той системы счисления, в которую нужно перевести число. При
этом важен остаток от деления и частное. Частное нужно делить на
основание до тех пор, пока не останется 0. После этого все остатки нужно
выписать в обратном порядке – это и будет число в новой системе счисления.

3. Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную необходимо
записать его в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и
соответствующей его степени, и вычислить по правилам десятичной
арифметики:
Числа также можно перевести с помощью таблицы соответствия систем
счисления (таблица 1).

4. В таблицы видно, что число 1011 в двоичной системе счисления равно числу
11 в десятичной системе счисления.
Отвечаем на вопросы:
1. В какой сфере применяется систем счисления?
2. Как можно перевести чисела из десятичной системы счисления в любую
другую?
3. Как можно перевести чисела из двоичной системы счисления в любую
другую?
Думаем и обсуждаем:
1. Почему персональный компьютер работает с кодом, написанным в
двоичной системе счисления?
2. Почему в вычислительной технике используются только цифры 0 и 1?
3. Любое ли число можно перевести в двоичную систему?