Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
More from Gawewat Dechaapinun
More from Gawewat Dechaapinun (20)
บทที่ 6 สนามแม่เหล็กสถิต
- 1. )0,0,0(O ),,( zyxP ),,( zyxQ rrR Bd r r c lId šš¸É6 สนามแมเหล็กสถต่ ิ สนามแม่เหล็ก จะทําให้เกิดแรงกระทํากับประจุไฟฟา และ้ Á¤ºÉ° ¤¸ž¦ ³‹»Å¢¢µÁ‡¨ ºÉ° œš¸É้ ‹³ ¦ oµŠ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„…¹ÊœÅ—oÄœšœ¸Ê‹³«¹„¬µ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„Ž¹ÉŠÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—˜´ªœÎµ กฎของบิโอต์ – ซาวาร์ต Ÿ¨ …° Š œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ˜n° „´œÁ¤ºÉ° ¤¸„¦ ³Â Å®¨ กฎของ แอมแปร์ โมเมนต์แม่เหล็ก ค่าของสนามแม่เหล็กในรูปของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก และ ความ ´¤¡ ´œ›r¦ ³®ªnµŠ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„„´„¦ ³Â š¸ÉÅ®¨ Äœ¨ ª—˜´ªœÎµ˜µ¤„‘…°ŠÂ°¤Âž¦ r 6.1 กฎของบโอต์ิ -ซาวาร์ต Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â ไหลในตัวนํา หรือÁ¤ºÉ°¤¸„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µ้ จะเกิดสนามแม่เหล็ก …¹Êœ¦ ° Ǧ ·Áª–œ´Êœ‡nµ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ®µÅ—o‹µ„ ¤„µ¦ „‘…° Šบิโอต์ (Biot) กับ ซาวาร์ต(Savart) ความเข้มของสนามแม่เหล็กš¸É‹»—P จากส่วนของลวดตัวนํายาว ld Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å¢¢µ้ I ไหลผ่านลวดตัวนํา ดัง¦ ¼žš¸É6.1 เป็น Bd = 2 ˆ R RlId k จากสมการ Bd เป็นส่วนของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก มีหน่วยเป็น เทสลา ( T ) ¦ ¼žš¸É6.1 ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กš¸É‹»—P ‹µ„ nªœ…°Š˜´ªœÎµš¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ Á¤ºÉ° ld เป็น ส่วนของความยาวในทิศทางของกระแส Rˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥¤¸š·«¸Ê‹µ„ld Åžš¸É‹»—P R เป็นระยะทางจากส่วน…°Š˜´ªœÎµš¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ ld ของตัวนํา ถึงจุด P
- 2. 118 R เป็นเวกเตอร์ระยะ จาก ),,( zyxQ ถึงจุด ),,( zyxP เป็น R = rr k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน ในระบบ SI จะมีค่าตามสมการ k = 4 0 Á¤ºÉ° 0 เป็นสภาพให้ซึมผ่านได้(permeability) ของสุญญากาศ 7 0 104 mH / แทนค่า k จะแสดงค่า Bd ได้เป็น Bd = 3 0 4 R RldI (6.1) Á¤ºÉ°อินทิเกรต สมการ (6.1) จะได้ B = c R RlId 3 0 4 (6.2) Á¤ºÉ° B ÁžÈœ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸É‹»— ),,( zyxP Ž¹ÉŠÁ„·—‹µ„ nªœ…° Š¨ ª— ˜´ªœÎµš¸É¤¸„¦ ³Â ‡Šš¸ÉI ไหลผ่าน และทิศของ B ‹³˜´ÊŠŒµ„„´¦ ³œµ…°Šld กับ R พิจารณาค่าของกระแสในตัวนําของส่วนย่อย lId ในเทอมของความหนาแน่นกระแส เชิงปริมาตร vJ เป็น lId = dvJv ดัŠœ´Êœค่าของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B ในเทอมของความหนาแน่นกระแส เชิงปริมาตร vJ จะเขียนได้เป็น B = v v dv R RJ 3 0 4 (6.3) ทํานองเดียวกัน ค่าความหนาแน่นกระแสเชิงผิว sJ Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®ลบนผิวของตัวนํา จะเป็น B = s s ds R RJ 3 0 4 (6.4) กระแสไฟฟา้ ในตัวนําเกิดจาก„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Šž¦ ³‹»—´Šœ´Êœในสมการ (6.2 ) จะหาค่า สนามแม่เหล็ก ในเทอมของ„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Šประจุ ได้เป็น กําหนดให้ประจุ q Á‡¨ ºÉ° œš¸É—oª¥‡ªµ¤Á¦ ȪÁŒ¨ ¸É¥u Ÿnµœ¡ ºÊœš¸É®œoµ˜´—A ของลวด ตัวนํา ส่วนของลวดตัวนํายาว dl และ v เป็นความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร ค่าของ ประจุของตัวนําในปริมาตร dv เป็น Adldq v —´Šœ´Êœ dqudvJv จากสมการ (6.3) จะได้
- 3. 119 ˆ b I R ˆ P a Idl B = 3 0 4 R Ruq (6.5) จากสมการ (6.5) จะแสดงความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กŽ¹ÉŠÁ„·—จาก„µ¦ Á‡¨ ºÉ° œš¸É ของประจุ q Á‡¨ ºÉ°œš¸É—oª¥‡ªµ¤Á¦ ȪÁŒ¨ ¸É¥u š¸Éตําแหน่งระยะห่างจากประจุเป็นระยะทาง R ˜´ª ° ¥µŠš¸É่ 6.1 ลวดตัวนํายาววางตัวตามแกน z จากระยะ az ถึง bz ดังรูปš¸É6.2 จงคํานวณหาค่าความหนาแน่นฟลักซ์¤nÁ®¨ È„š¸É˜ÎµÂ®œnŠP Ž¹ÉŠ°¥¼nœ¦ ³œµxy และ ถ้าลวดมีความยาวไม่จํากัด a และ b จงหาค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก ¦ ¼žš¸É6.2 แสดงควา¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—‹µ„กระแสไหลในลวดตัวนํา วธีทําิ จากรูปš¸É 6.2 จะได้ lId = kIdz ˆ ระยะในพิกัดทรงกระบอก R = kz ˆˆ RlId = ˆdzI จากสมการ B = c R RlId 3 0 4 แทนค่า จะได้ B = b a z dzI ˆ )(4 2/322 0 B = ˆ 4 2222 0 a a b bI
- 4. 120 Á¤ºÉ° a และ b แทนค่า a และ b ในสมการ ค่าความเข้มสนามแม่เหล็ก B จากกระแสไหลในลวดตัวนํามีความยาว ไม่จํากัด B = ˆ 2 0 I ตอบ จากตัวอย่าง 6.1 จะได้ค่าความเข้มสนามแม่เหล็ก B š¸ÉÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª— ยาว ไม่จํากัดเป็น B = ˆ 2 0 I (6.6) จากสมการ (6.6) จะพบว่า ค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กจะแปรผกผันกับ ระยะทางตามแนวรัศมี ¨ ³Á oœÂ¦ Š¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ‹³ÁžÈœวงกลมรอบ ๆ เส้นลวด มี ¦ ³œµ˜´ÊŠŒµ„„´Á oœ¨ ª——´Š¦ ¼žš¸É6.3 ทิศของ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ®µÅ—o×¥¤º°…ªµ„ε¦ ° Á oœ¨ ª—Ä®o®´ªœ·Êª¤º° ¸Ê˜µ¤š·«…°Š„¦ ³Â œ·Êªš´ÊŠ4 š¸Éªœ¦ ° Á oœ¨ ª—‹³Âšœš·«…°ŠÁ oœÂ¦ Š¢ ¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ¦ °ÇÁ oœ¨ ª— ¦ ¼žš¸É6.3 เส้นแรงฟลักซ์แม่เหล็กเป็นวงกลมรอบเส้นลวด š¸É¤µ(Becker, 2006)
- 5. 121 P z I x ˆbd d R y z b ตัวอยาง่ 6.2 ลวดตัวนําวงกลมรัศมี b วางอยู่ในระนาบ xy —´Š¦ ¼žš¸É6.4 Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®¨ ในลวดตัวนําเป็น I ‹Š®µ‡nµ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—ėǘµ¤แนวแกน z ¦ ¼žš¸É6.4 ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„œ˜´ªœÎµªŠ„¨ ¤š¸É‹»—P บนแกน z วธีทําิ จาก¦ ¼žš¸É6.4 ในระบบพิกัดทรงกระบอก ld = ˆbd และ R = ˆb + kz ˆ Rld = kb ˆ2 + ˆbz จาก B = c R RlId 3 0 4 แทนค่า B = 2 0 2 0 2/322 0 2/322 2 0 ˆ )(4 ˆ )(4 zb dIbz k zb dIb ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B = k zb Ib ˆ )(2 2/322 2 0 —´Šœ´Êœœแกนของวง(loop)š¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„‹³¤¸ÁŒ¡ µ³ ตามแนวแกน z ให้ 0z จะได้ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก š¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ…°Šวง B = k b I ˆ 2 0
- 6. 122 ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก Á¤ºÉ° ‹»—š¸É ´ŠÁ„˜®nµŠ‹µ„วงมาก ๆ ระยะทางของจุด สังเกตจะประมาณ ได้เป็น 2 3 22 )( zb 3 z —´Šœ´Êœค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก จะมีค่าเป็น B = k z Ib ˆ 2 3 2 0 ตอบ จากตัวอย่าง 6.2 ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ จากกระแสไหลเป็นวงกลม ถ้าจุดสังเกตห่างจากวงมาก ๆ และวง¤¸…œµ—Á¨ È„¤µ„ÇÁ¤ºÉ° Áž¦ ¸¥Áš¸¥„´¦ ³¥³šµŠ˜µ¤ แนวแกน z Äœ„¦ –¸œ¸Ê„¦ ³Â Å®¨ Äœวง จะเป็นลักษณะของ ไดโพลแม่เหล็ก (magnetic dipole) ให้ m เป็นไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก จะนิยามไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก ได้เป็น m = kbI ˆ2 = kIA ˆ (6.7) Á¤ºÉ°A ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É…°Šวง —´Šœ´Êœค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก ในเทอมของไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก จะมีค่า เป็น B = k z m ˆ 2 3 0 การหมุนวนของฟลักซ์แม่แหล็ก B š¸É‹»—Ä—ÇÄœž¦ ·£¼¤·‹³Á„·—…¹Êœล้อมรอบเส้นลวด ¨ ³™oµªµ—Á oœÂ¦ Š¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—‹µ„กระแสไหลในเส้นลวดวงกลม จะคล้ายกับเส้นแรงฟ ¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„Ž¹ÉŠÁ„·—‹µ„แท่งแม่เหล็ก —´Š¦ ¼žš¸É5.6 ทิศของฟลักซ์ด้านบนของเส้นลวดจะคล้าย „´…´ÊªÁ®œº°Â¨ ³—oµœ¨ nµŠ…°Š…—¨ ª—‹³‡¨ oµ¥„´…´ÊªÄ˜oของแท่งแม่เหล็ก ¦ ¼žš¸É6.5 Á oœÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ ÄœÁ oœ¨ ª—ªŠ„ลม š¸É¤µ(Becker, 2006)
- 7. 123 11 ldI 22 ldI 12R 2Fd 12R 22 ldI 1c 2c ˜´ª œÎµÁ oœš¸É1 ˜´ª œÎµÁ oœš¸É2 6.2 กฎแรงของแอมแปร์ „µ¦ š—¨ ° Š…° ŠÂ° ¤Âž¦ rÁ¡ ºÉ° ®µ‡nµ…° ŠÂ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµต่อกันของลวดตัวนํา 2 เส้นš¸É¤¸ กระแสไหลและอยู่ในสนามของกันและกัน ¦ ¼žš¸É6.6¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ˜n°¨ ª—Á oœš¸É2ÁœºÉ°Š‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—Á oœš¸É1 ให้ ส่วนของลวดตัวนํา 2 เส้น มีกระแสไหลเป็น 11 ldI และ 22 ldI ตามลําดับ ส่วน …°ŠÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„‹µ„˜´ªœÎµ…°Š¨ ª—Á oœš¸É1 „¦ ³šÎµ˜n°¨ ª—Á oœš¸É2 เป็นตามสมการ 2Fd = 3 21 2111220 4 R RldIldI Á¤ºÉ°21R เป็น การกระจัดจาก 11 ldI ถึง 22 ldI Á¤ºÉ° nªœ…°Š¨ ª—˜´ªœÎµš¸É¤¸„¦ ³Â ไหลผ่าน ดัง¦ ¼žš¸É6.6 ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—Á oœš¸É1 „¦ ³šÎµ„´¨ ª—Á oœš¸É 2 š¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ 2F = 2 1 3 21 2111 22 0 4 c c R RldI ldI (6.8) ¤„µ¦ œ¸ÊÁ¦ ¸¥„ªnµÁžÈœสมการแรงของแอมแปร์ ( Ampere’s force law ) โดยใช้สมการ (6.2) จะเขียนสมการ (6.8) ใหม่เป็น 2F = 2 122 c BldI (6.9) ค่าของสนามแม่เหล็ก 1B เป็นความหนาแน่นฟลักซ์แม่เห¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœจากกระแสไหลในลวด ˜´ªœÎµÁ oœš¸É1 ในตําแหน่งบน¨ ª—Á oœš¸É2 š¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ 22 ldI เป็น 1B = 1 3 21 21110 4 c R RldI (6.10)
- 8. 124 —´Šœ´ÊœÁ¤ºÉ°¨ ª—˜´ªœÎµ¤¸„¦ ³Â Å®¨ ¨ ³ªµŠ°¥¼nÄœ œµ¤Â¤nÁ®¨ Ȅ¦ Š‹µ„ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ š¸É„ระทํากับลวดตัวนํา เป็นตามสมการ F = c BlId (6.11) พิจารณา ในเทอมของความหนาแน่นกระแสเชิงปริมาตร จากสมการ (6.11) จะเป็น F = v v dvBJ (6.12) สมการ (6.12) ทําÄ®oÁžÈœ ¤„µ¦ š´ÉªÅžในรูป กฎแรงของแอมแปร์ โดยแทน dvJv ด้วยความหนาแน่นของกระแสเชิงผิว dsJs Ž¹ÉŠจะเป็นแรงแม่เหล็กจากภายนอกš¸É„¦ ³šÎµ„´ „¦ ³Â š¸É„¦ ³‹µ¥˜µ¤Ÿ·ªของตัวนํา ให้ 1v เป็นความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร มี ‡ªµ¤Á¦ ȪÁŒ¨ ¸Éยของประจุเป็น u และ 1A ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É®œoµ˜´—…° Š¨ ª—Á oœš¸É1 ประจุจะเป็น 1111 diAdq v และ 1111 vdqdvJv Á¤ºÉ°°¥¼nÄœ¦ ·Áª–š¸É¤¸‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„B แรงจากสนามแม่เหล็กกระทําต่อประจุ 1q เป็น 1F = Bvq 11 (6.13) Á¤ºÉ° B เป็นความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก š¸Éเ„·—‹µ„Á‡¨ ºÉ°œš¸É…° Šž¦ ³‹»ÁnœÁ—¸¥ª„´œ —´Šœ´Êœสมการ (6.13) จะเขียนสมการ แรงแม่เหล็„š¸É„¦ ³ šÎµ„´ž¦ ³ ‹»1q ÁœºÉ° Š‹µ„ สนามแม่เหล็กŽ¹ÉŠเกิดจาก„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Šประจุ 2q —oª¥‡ªµ¤Á¦ ȪÁŒ¨ ¸É¥2v ได้เป็น 1F = ][ 4 1222113 12 0 Rvqvq R (6.14) สมการ (6.14) จะเป็นสมกµ¦ ¡ ºÊœ“µœ…°ŠÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸ÉÄo®µ„‘แรงของแอมแปร์ และ กฎของบิโอต์ - ซาวาร์ต และจากสมการ จะได้ข้อสังเกตว่าแรงแม่เหล็ก แรงระหว่างประจุ และ แรงดึงดูดระหว่างมวล จะแปรผกผันกับระยะทางยกกําลังสองเหมือนกัน จากสมการ (6.13) Á¤ºÉ° ¤¸„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—˜´ªœÎµš´ÊŠ ° Šแรงกระทํากับลว—Á oœš¸É2 เป็น 2F = 2 1 ][ 1 4 21123 21 210 c c Rldld R II โดยใช้เวกเตอร์เอกลักษณ์ )( CBA = )()( BACCAB สมการ จะเขียนใหม่ เป็น 2F = 2 1 2 1 213 21 21 13 21 212210 4 c c c c R R ldld ld R RldII ÁœºÉ°Š‹µ„ 3 21 21 R R = )/1( 21R อินทิเกรตเทอมแรก ของสมการขวามือ จะได้
- 9. 125 La )( La a a a z y x 3F 1F 2F B 2 1 12 21 1 c c ldld R ถ้าลวดตัวนําเส้นš¸É2 Ž¹ÉŠมีกระแสไหลผ่าน 2I เป็นวงปิด ¤„µ¦ ‹³Áž¨ ¸É¥œ° ·œš·„¦ ´¨ เชิงเส้นเป็นอินทิกรัลเชิงผิว โดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์ จะได้ 2 2 12 21 1 c s ldsd R จากสมการเคิร์ลของเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันจะเป็นศูนย์ั —´Šœ´Êœ ¤„µ¦ …oµŠœ จะมีค่าเป็น ศูนย์ ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ‹µ„„¦ ³Â Å®¨ ÄœªŠž·—ėǤ¸‡nµ˜µ¤ ¤„µ¦ 2F = 1 2 213 21 21210 4 c c R R ldldII (6.15) สมการ (6.15) จะเžÈœ ¤„µ¦ š¸ÉÄo®µÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ˜n° ¨ ª—˜´ªœÎµš¸ÉÁžÈœªŠž·— และกระแสไหล ตัวอยาง่ 6.3 เส้นลวดตัวนํามีส่วนโค้งตรงกลาง ดังรูปš¸É4.7 วางตัวอยู่ในระนาบ xy มี กระแสไหลในเส้นลวดเป็น I ¨ ³ªµŠ°¥¼nÄœ¦ ·Áª–š¸É¤¸‡ªµ¤Á…o¤¢ลักซ์แม่เหล็ก เป็น kBB ˆ จงคํานวณ ®µÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµœÁ oœ¨ ª— ¦ ¼žš¸É6.7 เส้นลวดตัวนําวางในสนามแม่เหล็ก
- 10. 126 ˆ dz I R x y 2 L I b z 2 L วธีทําิ จาก¦ ¼žš¸É6.7 แรงแม่เหล็กกระทําบนเส้นลวดแบ่งออกเป็น 3 ส่วน 1. nªœÁ oœ˜¦ Šš¸É¦ ³¥³ Lax ถึง ax 2. ส่วนของเส้นโค้ง รัศมี a 3. nªœÁ oœ˜¦ Šš¸É¦ ³¥³ ax ถึง Lax ‹µ„ ¤„µ¦ ¦ Š„¦ ³šÎµ˜n°Á oœ¨ ª—š¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ F = c BlId nªœš¸É1 แทนค่า 1F = a La dxkiIB )ˆˆ( = jBILˆ nªœš¸É2 แทนค่า 2F = 0 )ˆˆ( adkIB = 0 ˆ BIad = 0 ]sinˆcosˆ[ djiBIa = jIBaˆ2 nªœš¸É3 แทนค่า 3F = La a dxkiIB )ˆˆ( = jBILˆ แรงลัพธ์บนเส้นลวด เป็น F = 1F + 2F + 3F = jLaIB ˆ)(2 ตอบ ˜´ª ° ¥µŠš¸É่ 6.4 ลวดตัวนํายาว L มีกระแสไหลเป็น I ในทิศทาง kˆ วางอยู่ห่างจากลวด ตัวนํายาวไม่จํากัด วางตัวอยู่ตามแนวแกน z มีระยะห่างกันเป็น b และมีกระแสไหลในทิศ ตรงข้ามกับลวดเส้นแรก ดัง¦ ¼žš¸É6.8 ‹Š‡Îµœª–®µ‡nµ…°ŠÂ¦ Š˜n°®œnª¥‡ªµ¤¥µªš¸É„¦ ³šÎµ˜n° ลวดตัวนํายาว L ¦ ¼žš¸É6.8 ลวดตัวนํายาวไม่จํากัดและ ยาว L วางห่างกันเป็นระยะ b
- 11. 127 วธีทําิ ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กจากลวดตัวนํายาวไม่จํากัดมีกระแสไหล I š¸É¦ ³¥³b เป็น B = ˆ 2 0 b I จะเกิด แรงแม่Á®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµœ¨ ª—¥µªL เป็น F = 2/ 2/ 2 0 )ˆˆ( 2 L L dzk b I = ˆ 2 20 LI b แรงแม่เหล็„˜n°®œnª¥‡ªµ¤¥µªš¸É„¦ ³šÎµ˜n°ลวดตัวนํายาว L เป็น ˆ 2 2 0 b I L F mN / แรงแม่เหล็กจะมีทิศในแนวของรัศมี ˆ แรงš¸É„¦ ³šÎµ˜n° „´นจะเป็นแรงผลัก และถ้า กระแสไหลในทิศทางเดียวกันแรงกระทําต่อกันจะเป็นแรงดูด ตอบ สมการแรงแม่เหล็กต่อหน่วยความยาว จะใช้เป็นนิยามหน่วยของกระแสไฟฟา้ Á¤ºÉ°Á oœ ลวด ตัวนํา 2 เส้น ยาว 1 เมตรวางขนานกันและห่างกัน 1 เมตร จะมีแรงกระทําต่อกัน เป็น 7 102 นิวตัน Á¤ºÉ°˜´ªœÎµš´ÊŠ °Š¤¸„¦ ³Â Å®¨ Ÿnµœ1 แอมแปร์ 6.3 โมเมนต์แมเหล็ก่ ‹µ„®´ª…o°š¸ÉŸnµœ¤µÁ¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—˜´ªœÎµš¸ÉªµŠ°¥¼nÄœบริเวณสนามแม่เหล็ก จะ มีแรงแม่เหล็ก „¦ ³šÎµ„´ž¦ ³‹»š¸ÉÁ‡¨ ºÉ°œš¸ÉÄœ˜´ªœÎµÄœš·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´ œµ¤Â¤nÁ®¨ Ȅ¨ ³˜´ªœÎµ œ´ÊœÂ¨ ³™oµ¤¸„¦ ³Â Å®¨ Äœ…—¨ ª—š¸ÉªµŠ°¥¼nÄœ œµ¤Â¤nÁ®¨ Ȅ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„‹³„¦ ³šÎµ„´…—¨ ª— ทําÄ®o…—¨ ª—®¤»œ¦ °Â„œŽ¹ÉŠÁžÈœ®¨ ´„„µ¦ ¡ ºÊœ“µœของมอเตอร์ และ มิเตอร์ไฟฟา้ ขดลวดตัวนํารูป ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤Ÿºœผ้ามีกระแสไหล I และวางอยู่ในบริเวณสนามแม่เหล็ก B ดัง¦ ¼žš¸É6.9 ก. จากรูป ระนาบของขดลวดจะขนานกับ สนามแม่เหล็ก และขดลวดหมุนได้ รอบแกน z ¡ ºÊœš¸É®œoµ˜´—…°Š…—¨ ª—ÁžÈœLW
- 12. 128 ¦ ¼žš¸É6.9 แสดงทอร์กš¸ÉÁ„·—…¹Êœœ¨ ª—˜´ªœÎµ¦ ¼ž ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤š¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ ¨ ³°¥¼nÄœ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ จากกฎแรงของแอมแปร์ จะไม่มีแรงกระทํากับขดลวดด้าน bc และ da ส่วนด้าน ab และ cd จะมีแรงจากสนามแม่เหล็ก B กระทํา มีขนาดเป็น ด้าน ab abF = - jBIL ˆ ด้าน cd cdF = jBIL ˆ จาก¦ ¼žš¸É6.9 ข.  —ŠÂ¦ Š„¦ ³šÎµœ—oµœš´ÊŠ °Š…°Š¨ ª—˜´ªœÎµÂ¨ ³š·«…°ŠÂ¦ Šš´ÊŠ °Š ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทําให้เกิดทอร์ก และทําให้ขดลวดหมุนรอบแกน ทอร์กกระทําต่อด้าน ab เป็น abT = abFi W ˆ 2 = kBILW ˆ 2 1 ทอร์กกระทําต่อด้าน cd เป็น cdT = cdFi W ˆ 2 = kBILW ˆ 2 1 ทอร์ก »š›·š¸É„¦ ³šÎµœ…—¨ ª— T = cdab TT
- 13. 129 T = - kBILW ˆ ¡ ·‹µ¦ –µÄœ¦ ¼ž…° ŠÃ¤Á¤œ˜r…´Êª ‡¼n¤nÁ®¨ È„กําหนดให้ m ÁžÈœÃ¤Á¤œ˜r…´Êª‡¼n¤nÁ®¨ È„ สมการจะÁ…¸¥œÄœÁš°¤…°ŠÃ¤Á¤œ˜r…´Êª‡¼n¤nÁ®¨ È„ได้เป็น T = Bm (6.16) Á¤ºÉ° m = jILW ˆ = jIA ˆ (6.17) จาก สมการ (6.17 ) จะได้ว่า…œµ—…°ŠÃ¤Á¤œ˜r…´Êª‡¼n¤nÁ®¨ È„¤¸…œµ—Ášnµ„´„¦ ³Â ‡¼– —oª¥¡ ºÊœš¸Éจึงมีหน่วยเป็น แอมแปร์เมตรกําลังสอง พิจารณาÁ¤ºÉ°…—¨ ª—®¤»œÁœºÉ°Š‹µ„ทอร์ก ทําให้เกิดมุม เทียบกับแกน y ดัง¦ ¼žš¸É 6.9 ค. ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ—oµœab และ cd จะยังคงมีค่าเท่าเดิม และด้าน bc และ da จะมีแรงกระทําÁ„·—…¹ÊœÃ—ยแรง¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ—oµœbc เป็น bcF = 2 ˆ)ˆˆ( c BidyjdxiI bcF = cosˆBIWk ÄœšÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œÂ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµœ—oµœda เป็น daF = cosˆBIWk ‹µ„ ¤„µ¦ š´ÊŠ ° Š‹³Á®ÈœªnµÂ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµbcF และ daF จะอยู่ในแนวเดียวกัน ทําให้ แรงลัพธ์ของ¦ Šš´ÊŠ ° Šš¸É„¦ ³šÎµÄœš·«šµŠ˜µ¤Â„œz ÁžÈœ«¼œ¥r—´Šœ´Êœ‹¹Šมีเฉพาะแรง abF และแรง cdF ทําให้เกิดทอร์ก ดัง¦ ¼žš¸É6.9 ค. เป็น abT = )ˆ(]cosˆsinˆ[ 2 BILjji W abT = kBILW ˆsin 2 1 และ cdT = )ˆ(]cosˆsinˆ[ 2 BILjji W cdT = kBILW ˆsin 2 1 ทอร์กลัพธ์ จะเป็น T = cdab TT T = kBILW ˆsin = Bm (6.18) ถ้าขดลวด มี N รอบ ทอร์ก »š›·š¸ÉÁ„·—‹µ„ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ„´…—¨ ª—‹³¤¸‡nµ เป็น N เท่า ของขดลวดรอบเดียว ทอร์ก »š›·š¸ÉÁ„·—œÁ oœ¨ ª—ÁžÈœ T = kNBILW ˆsin (6.19) ทอร์กš¸É„¦ ³šÎµ˜n°…—¨ ª—‹³Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Šเป็นแบบเส้นโค้งของไซน์ ทอร์กจะมีค่าสูงสุด ‹³Á„·—…¹ÊœÁ¤ºÉ°¦ ³œµ…—¨ ª—…œµœ„´ œµ¤Â¤nÁ®¨ Ȅ¨ ³‹³¤¸‡nµÁžÈœ«¼œ¥rÁ¤ºÉ°¦ ³œµ…—¨ ª—˜´ÊŠ
- 14. 130 ฉากกับสนามแม่เหล็ก ™oµ¦ ³œµ…—¨ ª—Ťn˜´ÊŠŒµ„„´ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ทิศของทอร์กจะทําให้เกิด „µ¦ ®¤»œ…°Š…—¨ ª—‹œ„¦ ³š´ÉŠ¦ ³œµ…—¨ ª—‹³¤µ°¥¼nĜœª˜´ÊŠŒµ„„´ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ พิจารณาไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กกล่าวได้ว่า ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก m มีแนวโน้ม š¸É‹³ªµŠ˜´ªÄœÂœªÁ—¸¥ª„´ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„B ตัวอยาง่ 6.6 ขดลวดตัวนําวงกลมจํานวน 2000 รอบ ¤¸¡ ºÊœš¸ÉÁŒ¨ ¸É¥ÁžÈœ10 2 cm และ ระนาบขดลวดทํามุม 30 „´‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„ ¤ÎɵÁ ¤°…œµ—1.5 T . ดัง¦ ¼žš¸É 6.10 ก. จงคํานวณหาทอร์กš¸ÉÁ„·—…¹Êœบนขดลวด ถ้ามีกระแสไหลในขดลวดเป็น 50 A ก. ข. ¦ ¼žš¸É6.10 ขดลวดวงกลมวางอยู่ในสนามแม่เหล็ก ก. ทิศของสนามแม่เหล็กทํามุม 30 กับ ระนาบขดลวด ข. ทิศของแรงบนขดลวด วธีทําิ ไดโพลโมเมนต์š¸Á„·—…¹ÊœœÁ oœ¨ ª—‹³¤¸š·«šµŠ—´Š¦ ¼žš¸É6.14 ข. ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กจะวางตัวอยู่ในระนาบ xy มีขนาดเป็น m = NIA = 4 1010502000 = 100 2 mAt ทอร์กš¸ÉÁ„·—…¹Êœœ…—¨ ª—ÁžÈœ T = Bm T = 60sin5.1ˆ100 k = kˆ9.129 mN ตอบ
- 15. 131 6.4 ฟลักซ์แมเหล็ก และกฎของเกาส์สําหรับสนามแมเหล็ก่ ่ ก. ข. ¦ ¼žš¸É6.11 แสดงฟลักซ์แม่เหล็ก ก. Á oœÂ¦ Š…° Š¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„Ÿnµœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁž·—ข. เส้น แรงฟลักซ์แม่เหล็กผ่านส่วน¡ ºÊœŸ·ª is จาก¦ ¼žš¸É6.11 ก.  —ŠÁ oœÂ¦ Š œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É¡ »nŠŸnµœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁž·— s ล้อมรอบ ด้วยเส้นปิด c ¨ ³¤¸‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ ¤ÎɵÁ ¤°¡ »nŠŸnµœ¡ ºÊœŸ·ª¡ ·‹µ¦ –าโด¥ÂnŠ¡ ºÊœŸ·ª s ออกเป็นส่วน¡ ºÊœŸ·ªย่อย ๆ n ส่วน ดัง¦ ¼žš¸É6.11 ข. ฟลักซ์แม่เหล็กพุ่งผ่านส่วน¡ ºÊœŸ·ª ย่อย ๆ ของส่วน¡ ºÊœŸ·ª is จะนิยามได้เป็น i = ii sB Á¤ºÉ°iB ÁžÈœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸Éพุ่งŸnµœÁ…oµÅžÄœ¡ ºÊœŸ·ª is —´Šœ´Êœ¢¨ ´„Žrš´ÊŠ®¤—š¸ÉŸnµœ ¡ ºÊœŸ·ªs เป็น = i n i i sB 1 šœš¸ÉŽ´¤Á¤´Éœด้วยอินทิกรัลแบบไม่จํากัดขอบเขต Á¤ºÉ°ส่วนของผิวเปิดมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉŸnµœ¡ ºÊœŸ·ªÁž·—s เป็น = s sdB (6.20) ฟลักซ์แม่เหล็กมีหน่วยเป็น เวเบอร์ (Wb ) ถ้าความหนาแน่นฟลักซ์ แม่เหล็กในแนว สัมผัสกับ¡ ºÊœŸ·ª¢¨ ´„Žrš´ÊŠ®¤—š¸ÉŸnµœŸ·ª‹³ÁžÈœ«¼œ¥r ÁœºÉ° Šจากแม่เหล็กจะมี …´ÊªÁ®œº° ¨ ³…´Êª Ęo Ž¹ÉŠไม่สามารถแยกจากกันได้จํานวน ของฟลักซ์ ¤nÁ®¨ È„š¸É¡ »nŠ° ° „‹µ„…´ÊªÁ®œº° ‹³Ášnµ„´‹Îµœªœš¸ÉÁ…oµไป ¼n…´ÊªÄ˜o—´Šœ´Êœเส้น ¦ Š¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„‹³¤¸‡ªµ¤˜n° ÁœºÉ°Šหรือกล่าวได้ว่า ในผิวปิดใด ๆ Á¤ºÉ° ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„Ÿnµœ เข้าไปในผิวปิดจะเท่ากับ ¢¨ ´„Žrš¸É°°„‹µ„Ÿ·ªž·— s sdB = 0 (6.21) สมการ (6.21) เรียกว่า รูปอินทิกรัลของกฎของเกาส์สําหรับสนามแม่เหล็ก
- 16. 132 อินทิกรัลตลอดผิวปิดของสมการ (6.21) Áž¨ ¸É¥œให้เป็นอินทิกรัลของปริมาตรโดยใช้ ทฤษฎีไดเวอร์เจน จะเป็น s dvB = 0 Á¤ºÉ°v ÁžÈœ° ·œš·„¦ ´¨ ž¦ ·¤µ˜¦ š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Ÿ·ªž·ด s พิจารณาสมการ (6.21 ) ÁœºÉ° Š‹µ„ž¦ ·¤µ˜¦ £µ¥Ä˜o„µ¦ ¡ ·‹µ¦ –µÃ—¥š´ÉªÅž‹³Å¤nÁžÈœ ศูนย์ —´Šœ´Êœสมการจะเป็น B = 0 (6.22) จากสมการ (6.22) Á¤ºÉ° ไดเวอร์เจนของสนามแม่เหล็ก B มีค่าเป็นศูนย์ แสดง ว่าฟลักซ์แม่เหล็ก¤¸‡ªµ¤˜n° ÁœºÉ° ŠÂ¨ ³ ¤„µ¦ œ¸Êเรียกว่า รูปอนุพันธ์ของกฎของเกาส์สําหรับ สนามแม่เหล็ก 6.5 ศักย์เวกเตอร์แมเหล็ก่ ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กมีความต่อÁœºÉ° ŠÁ¤ºÉ° Å—Áª° ¦ rÁ‹œÁžÈœ«¼œ¥r ¨ ³Á¤ºÉ° ไดเวอร์เจนของเวกเตอร์ B เป็นศูนย์จะเขียนสมการในเทอมเคิร์ลของปริมาณเวกเตอร์ A ได้เป็น B = A (6.23) เวกเตอร์ A เรียกว่า ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก( Magnetic Vector Potential) มีหน่วย เป็นเวเบอร์ต่อเมตร ( mWb / ) จากสมการ (6.23) Á¤ºÉ° š¦ µค่าของ A จะทําให้หาค่าของ B ได้ พิจารณาค่าของ A Á¦ ·É¤—oª¥„‘…°Š·Ã°˜r – ซาวาร์ต สําหรับสนามแม่เหล็ก B ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸É‹»— ),,( zyxP Ä—Çš¸ÉÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ˜´ªœÎµÁžÈœ B = c R RldI 3 0 4 Á¤ºÉ°R = kzzjyyixx ˆ)(ˆ)(ˆ)( สัญลักษณ์ไพร์ จะแสดงความแตกต่าง ระหว่างพิกัดของแหล่งกําเนิดŽ¹ÉŠÂ —ŠÄœสมการเป็น zyx ,, ¨ ³ œµ¤š¸ÉÁ„·—…¹ÊœÁžÈœ zyx ,, Á¤ºÉ° ) 1 ( R = 3 R R ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก จะเขียนใหม่ได้เป็น B = c ld R I ) 1 ( 4 0 (6.24) จากเวกเตอร์เอกลักษณ์ อินทิกรัลในสมการ (6.24) จะแสดงได้เป็น
- 17. 133 ld R ) 1 ( = ld RR ld 1 ÁœºÉ° Š‹µ„ตัวดําเนินการเคิร์¨ Áš¸¥„´¦ ³ ¡ ·„´—š¸ÉŤn¤¸ ´¨ ´„¬ –rไพร์ ของจุด ),,( zyxP , จะได้ 0 ld —´Šœ´Êน สมการ (6.24) จะเป็น B = c R ldI 4 0 สมการจะเขียนใหม่ ได้เป็น B = c R ldI 4 0 (6.25) เปรียบเทียบสมการ (6.23) และสมการ (6.25) จะได้ ปริมาณศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก A มีค่า เป็น A = c R lId 4 0 (6.26) และÁ¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®¨ Äœ˜´ªœÎµÁžÈœªŠž·—ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก จะเป็นตาม สมการ A = c R lId 4 0 (6.27) ¤„µ¦ š´ÉªÅžš¸É —ŠÄœÁš°¤…°Š‡ªµ¤®œµÂœnนกระแสเชิงปริมาตร จะเป็น A = v v R vdJ 4 0 (6.28) ให้ นิยามของเวกเตอร์ A เป็นศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก และเคิร์ลของ A จะได้ความหนาแน่น ฟลักซ์แม่เหล็ก ฟลักซ์แม่เหล็ก ในเทอมของ A เป็น = s sdB = s sdA )( ประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของสโตกซ์ จะได้ = c ldA (6.29) Á¤ºÉ°c เป็นเส้œšµŠš¸É¨ o°¤¦ °ผิวเปิด s ตัวอยาง่ 6.7 ลวดตัวนําเส้นตรงยาววางตัวอยู่ในแนวแกน z และมีกระแสไหลในทิศ +kˆ จง ®µ‡nµ«´„¥rÁª „Á˜° ¦ r¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—ในระนาบระหว่าง„¹ÉŠ„¨ µŠของลวดตัวนํา และ ค่าความ หนาแน่น ฟลักซ์แม่เหล็ก วธีทําิ ลวดตัวนํามีกระแสไหลวางตัวอยู่ตามแนวแกน z มีความยาว จาก Lz ถึง Lz ดัง¦ ¼žš¸É6.12
- 18. 134 ˆ I R P Idz L L y z x ¦ ¼žš¸É6.12«´„¥rÁª„Á˜°¦ r¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—P จากกระแสไหลในลวดตัวนํา ระยะกระจัด ของจุด P ในระนาบ จากส่วนของลวดตัวนํามีกระแสไหลเป็น kIdz ˆ เป็น kzR ˆˆ «´„¥rÁª„Á˜°¦ r¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—P จาก สมการศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก A = c R lId 4 0 จะได้ A = L L z dzkI 2/122 0 ][4 ˆ = kLLLL I ˆ]ln[]ln[ 4 22220 «´„¥rÁª„Á˜°¦ r¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—ÂnŠÄœ¦ ³œµ…°Š˜´ªœÎµš¸É¤¸„¦ ³Â Å®¨ Á¤ºÉ°¨ ª—˜´ªœÎµ¥µª มาก ๆ L จะประมาณค่าได้เป็น L L LLLL 2 2 1 2 22 LL LLLL 22 1 22 22 ค่าศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก A = k LI ˆ2 ln 2 0 ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—P B = A
- 19. 135 = ˆ zA = ˆ1 2 22 0 L IL Á¤ºÉ°¨ ª—˜´ªœÎµ¥µª¤µ„Ç L จะได้ B = ˆ 2 0 I ตอบ 6.6 กฎของแอมแปร์ การศึกษาสนามแม่เหล็กสถิต จะได้ ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟาในเทอมของความเข้ม้ สนามไฟฟา เป็น้ D = E Á¤ºÉ° D Ťn…¹Êœ„´ £µ¡ ¥°¤…° Š˜´ª„¨ µŠÂ¨ ³Á¤ºÉ° ¡ ·‹µ¦ –µÄœ กรณีของสนามแม่เหล็กสถิต ให้ H เป็นความเข้มฟลักซ์แม่เหล็กในสุญญากาศ นิยามความเข้มฟลักซ์แม่เหล็ก ในสุญญากาศ เป็น H = 0 B (6.30) หรือ B = H 0 (6.31) จากสมการ (6.30) และ (6.31) เป็นค่าความเข้¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ ȄŤn…¹Êœ„´ £µ¡ Ä®oŽ¹¤ ผ่านได้ของตัวกลาง และความสัมพันธ์ระหว่าง B กับ H จึงคล้ายกับความสัมพันธ์ระหว่าง D กับ E ของสนามไฟฟา้ Á¤ºÉ° ¤¸„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—˜´ªœÎµ‹³มีความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กÁ„·—…¹ÊœÁป็นวงตาม Âœª¦ ´«¤¸¦ °Ç¨ ª—˜´ªœÎµœ´Êœ‡ªµ¤ ´¤¡ ´œ›rœ¸Êจะพิจารณาในรูปกฎของแอมแปร์ Ž¹ÉŠกล่าวได้ว่า “ ° ·œš·„¦ ´¨ ˜µ¤Á oœ…°Š‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„¦ ° ª ·™¸ž·—‹³Ášnµ„´„¦ ³Â š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥ Á oœž·—œ´Êœ” เขียนรูปสมการ ได้ c ldH = I (6.32) Á¤ºÉ°I ÁžÈœž¦ ³‹» »š›·š¸É°¥¼n£µ¥Äœ¡ ºÊœš¸Éš¸Éถูกล้อมรอบด้วยวิถีปิด จากสมการ (6.32) จะเป็นรูปอินทิกรัลของกฎของแอมแปร์ (integral form of Ampere’s law) และกระแสสุทธิในสมการจะห¤µ¥¦ ª¤™¹Š„¦ ³Â š¸ÉÅ®¨ Äœ˜´ªœÎµ¦ ¼žÂ˜nµŠÇ Ánœ„¦ ³Â ‹µ„„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œš¸É…°Šž¦ ³‹»Â¨ ³„¦ ³Â …°Š¨ εอิเล็กตรอนในหลอดสุญญากาศ จากสมการของกระแสในเทอมของความหนาแน่นของกระแสเชิงปริมาตร I = s v sdJ
- 20. 136 I H จากสมการ (6.32) แทนค่า จะได้เป็น c ldH = s v sdJ ใช้„‘…°Š Ø„ rÁž¨ ¸É¥œÁž¨ ¸É¥œ° ·œš·„¦ ´¨ Á·ŠÁ oœÁžÈœ° ·œš·„¦ ´¨ Á·ŠŸ·ª เป็น s sdH )( = s v sdJ Á¤ºÉ° s ÁžÈœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁž·—Ä—Çš¸É™¼„¨ o° มรอบด้วยเส้นปิด c จากสมการจะเขียนในรูปสมการ š´ÉªÅžÅ—oÁžÈœ H = vJ (6.33) จากสมการ (6.33) จะเป็นกฎของแอมแปร์ในรูปอนุพันธ์ของ (differential form of Ampere’s law) สําหรับสนามแม่เหล็กสถิต ตัวอยาง่ 6.8 ลวดตัวนําบางและยาวมาก วางตัวอยู่ตามแกน z Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®¨ ŸnµœÁžÈœ I ในทิศทางตามแกน z ‹Š®µ‡nµ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—Ä—ÇÄœž¦ ·£¼¤·Ã—¥Äo„‘…° Š แอมแปร์ วธีทําิ สนามแม่เหล็ก‹³Á„·—…¹ÊœÁžÈœªŠ„¨ ¤¦ ° ¨ ª —˜´ªœÎµ ดัง¦ ¼žš¸É6.12 ความเข้มสนาม แม่เหล็ก‹³¤¸‡nµÁšnµ„´œÄœªŠš¸É¤¸รัศมี เท่ากัน ¦ ¼žš¸É6.13 สนามแม่เหล็กรอบลวดตัวนํายาวมากและมีกระแสไหลผ่าน จากสมการ กฎของแอมแปร์ c ldH = I 2 0 dH = I H2 = I H = 2 I
- 21. 137 ก. ข. ค. หรือเขียนในรูปเวกเตอร์ได้เป็น H = ˆ 2 I ตอบ ตัวอยาง่ 6.9 ตัวนํารูปทรงกระบอกกลวงมีรัศมีภายในเป็น a รัศมีภายนอกเป็น b วางตัวอยู่ ตามแกน z และมีกระแส I ไหลผ่านในทิศตามแกน z ดังรูปš¸É6.14 ถ้าการกระจายของ „¦ ³Â ¤ÎɵÁ ¤°‹Š‡Îµœª–®µ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—Ä—ÇÄœž¦ ·£¼¤· . ¦ ¼žš¸É6.14 ทรงกระบอกกลวง Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å¢¢µÅ®¨ Ÿnµœ้ ก. ภายใน a ข. ในทรงกระบอก ba ค. ภายนอก b วธีทําิ Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â Å®¨ „¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°ÄœÁš°¤…°Š‡ªµ¤®œµÂœnœ„¦ ³Â Á·Šž¦ ·¤µ˜¦ ÁžÈœ k ab I Jv ˆ )( 22 œµ¤Â¤nÁ®¨ È„‹³Á„·—…¹Êœ¦ °Ç˜´ªœÎµ˜µ¤Â„œ ในพิกัดทรงกระบอก ÂnŠ¦ ·Áª–š¸É จะหาค่าความเข้มสนามแม่เหล็ก ออกเป็น 3 ส่วน ก. ภายใน a £µ¥Äœš¦ Š„¦ ³°„„¨ ªŠÅ¤n¤¸„¦ ³Â —´Šœ´Êœ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ÁžÈœ«¼œ¥r‹³Å—o 0H ข. ในตัวนําทรงกระบอก ba กระแสไหลผ่าน s v sdJI = a dd ab I 2 022 )( = 22 22 )( ab aI
- 22. 138 ก. ข. จากสมการ c ldH = I แทนค่า c dlH = 22 22 )( ab aI )2( H = 22 22 )( ab aI H = )(2 )( 22 22 ab aI หรือ H = ˆ )(2 )( 22 22 ab aI š¸É ba ค. ภายนอก b จุด ´ŠÁ„˜°¥¼n£µ¥œ°„˜´ªœÎµÂ¨ ³˜´ªœÎµ¤¸„¦ ³Â Å®¨ Ÿnµœš´ÊŠ®¤—ÁžÈœI c ldH = I )2( H = I H = ˆ 2 I š¸É b ตอบ ตัวอยาง่ 6.10 ขดลวดทอรอยด์ จํานวน N รอบ และพันรอบแกนเป็นรูปวงแหวน ดัง¦ ¼žš¸É 6.15 รัศมีภายในวงแหวนเป็น a รัศมีภายนอกเป็น b วงแหวนสูง h Á¤ºÉ°¤¸„¦ ³Â I ไหลผ่าน จงหา ก. ความเข้มสนามแม่เหล็กภายในแกนวงแหวน ข. ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก ค. ¢¨ ´„Žrš´ÊŠ®¤—£µ¥Äœแกนวงแหวน ¦ ¼žš¸É6.15 ก. ขดลวดโทรอยด์พันรอบแกนวงแหวน ข. £µ¡ ˜´—…° ŠÂ„œ…—¨ ª—š¸É¦ ´«¤¸ ba
- 23. 139 วธีทําิ ก. ความเข้มสนามแม่เหล็กภายในแกนวงแหวน ba c ldH = I )2( H = NI H = ˆ 2 NI š¸É ba ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก จาก HB 0 แทนค่า B = ˆ 2 0 NI š¸É ba ¢¨ ´„Žrš´ÊŠ®¤—£µ¥Äœแกนวงแหวน = s sdB = b a h dz dNI 0 0 2 = ab NIh /ln 2 0 ตอบ 6.7 บทสรุป Á¤ºÉ° ¤¸„¦ ³Â ไหลในตัวนํา‹³Á„·— œµ¤Â¤nÁ®¨ È„…¹Êœ¦ ° Ǧ ·Áª–œ´Êœ‡nµ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸ÉÁ„·—…¹Êœ®µÅ—o‹µ„ ¤„µ¦ „‘…°Š·Ã°˜r(Biot) กับซาวาร์ต(Savart) Bd = 3 0 4 R RldI แรงแม่เหล็„š¸ÉÁ„·—‹µ„„¦ ³Â Å®¨ Äœ¨ ª—Á oœš¸É1 „¦ ³šÎµ„´¨ ª—Á oœš¸É2 š¸É¤¸„¦ ³Â ไหลจะเป็น ตามสมการแรงของแอมแปร์ ( Ampere’s force law ) 2F = 2 1 3 21 2111 22 0 4 c c R RldI ldI …—¨ ª—˜´ªœÎµ¦ ¼ž ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤ŸºœŸoµ¤¸„¦ ³Â Å®¨ I และวางอยู่ในบริเวณสนามแม่เหล็ก B š°¦ r„š¸ÉÁ„·—‹µ„ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ„´…—¨ ª—‹³¤¸‡nµÁžÈœ T = kNBILW ˆsin ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก จากการเกิดวงกระแส m = kbI ˆ2 = kIA ˆ ค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก ของไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก จะมีค่าเป็น
- 24. 140 B = k z m ˆ 2 3 0 ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉŸnµœ¡ ºÊœŸ·ªÁž·—s เป็น = s sdB กฎของเกาส์สําหรับสœµ¤Â¤nÁ®¨ È„ÄœŸ·ªž·—Ä—ÇÁ¤ºÉ°¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„ŸnµœÁ…oµÅžÄœŸ·ª ž·—‹³Ášnµ„´¢¨ ´„Žrš¸É°°„‹µ„Ÿ·ªž·— s sdB = 0 ‡ªµ¤®œµÂœnœ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„¤¸‡ªµ¤˜n°ÁœºÉ°ŠÁœºÉ°Š‹µ„Å—Áª°¦ rÁ‹œÁžÈœ«¼œ¥r¨ ³Á¤ºÉ° ไดเวอร์เจนของเวกเตอร์ B เป็นศูนย์ สมการในเทอม เคิร์ล ของศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก A จะ เป็นค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กได้เป็น B = A กฎของแอมแปร์ อินทิกรัลตามเส้นของความเข้มสนามแม่เหล็กรอบวิถีปิด จะเท่ากับ „¦ ³Â š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Á oœž·—œ´Êœ c ldH = I 6.8 คําถามท้ายบท 1. อนุภาคมีประจุมวล m มีประจุ q Á‡¨ ºÉ° œš¸ÉÁ…oµÄœ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ ¤ÎɵÁ ¤° 0B ด้วย ความเร็ว v จงแสดงว่ารัศมีวงโคจร เป็น R = 0qB mv 2. จงแสดงว่าแรงระหว่างเส้นลวดตัวนําขนานกันเป็นตามสมการ 2F = - 1 2 3 12 12 1221 0 4 rr rr ldldII 3. ลวดตัวนํายาว L มีกระแสไหลผ่านเป็น I ในทิศทางตามแนวแกน z จงแสดงว่าศักย์ Áª„Á˜°¦ r¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—®nµŠ‹µ„¨ ª—˜´ªœÎµÁžÈœ¦ ³¥³R จากจุดกําเนิด มีค่าตามสมการ k R IL A ˆ 4 0 4. „ε®œ—Ä®oªŠ‹¦ „¦ ³Â ¤¸¦ ¼ž¦ nµŠÁžÈœ¦ ¼ž®„Á®¨ ¸É¥¤—oµœÁšnµ¥µª—oµœ¨ ³a ถ้ากระแสไหล ในเส้นลวดเป็น I ‹Š®µ‡nµ„µ¦ Á®œ¸É¥ªœÎµš¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ…—¨ ª—( aIB /3 0 ) 5. ขดลวดโซเลœ° ¥—r¤¸¡ ºÊœš¸É£µ‡˜´—…ªµŠÁžÈœ¦ ¼ž ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤‹´˜»¦ ´ ¤¸‹ÎµœªœN รอบต่อ หน่วยความยาว และมีกระแสไหลผ่าน I ˜n¨ ³—oµœ…° Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤‹´˜»¦ ´ ¥µªa ถ้า …—¨ ª—ÃŽÁ¨ œ° ¥—r¥µª ¤µ„‹Š®µž¦ ·¤µ–„µ¦ Á®œ¸É¥ªœÎµÂ¤nÁ®¨ È„˜µ¤Âœª „œ…° Š โซเลนอยด์ )( 0 NI
- 25. 141 6. ¨ ª—˜´ªœÎµ™¼„Š° ÁžÈœ¦ ¼ž ¸Á®¨ ¸É¥¤ŸºœŸoµ…œµ— 85 cm Äœ¦ ·Áª–š¸É¤¸ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ 15.0 2 / mWb ขนานกับแกน x ถ้าระนาบของลวดทํามุม 30 กับแกน x และมี กระแสภายในเส้นลวดเป็น 10 A ในทิศทางตามแกน y จงคํานวณหา ก. ¦ ŠÂ¤nÁ®¨ È„š¸É„¦ ³šÎµ˜n°¨ ª——oµœ¥µª8 cm ข. š°¦ r„…°Š¨ ª—Á oœœ¸Ê (ก. 0.12 N )(ข. 3 102.5 mN ) 7. ลวดเคเบิลยาว ประกอบด้วยโลหะทรงกระบอกตันรัศมี a เป็นแกนกลางล้อมรอบด้วย โลหะทรงกระบอกกลวงรัศมีภายในเป็น b และรัศมีภายนอกเป็น c ถ้าให้ กระแสไฟฟา้ I ไหลผ่านโลหะš´ÊŠ °Šœ·«šµŠ˜¦ Š„´œ…oµ¤‹Š‡Îµœª–®µ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„ š¸É‹»—®nµŠ‹µ„„œ„¨ µŠ¦ nª¤˜µ¤Âœª¦ ´«¤¸ÁžÈœ¦ ³¥³r Á¤ºÉ° ก. ar ( aIrB 2/0 ) ข. bra ( rIB 2/0 ) ค. crb ( )(2/)( 2222 0 bcrrcIB ) ง. rc ( 0B ) 8. ขดลวดโซเลนอยด์ยาว 1 m ¤¸Á oœŸnµ«¼œ¥r„¨ µŠÁŒ¨ ¸É¥3 cm ประกอบด้วยขดลวดพัน กัน 5 ´ÊœÃ—¥Â˜n¨ ³´Êœ¤¸‹Îµœªœ850 รอบถ้ากระแสไฟฟา้ ผ่านเส้นลวดเท่ากับ 5 A จงคํานวณหา ก. œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É¦ ·Áª–Ä„¨ o„œ…°Š…—¨ ª—ÃŽÁ¨ œ°¥—r ( 22 /107.2 mWb ) ข. ¢¨ ´„Žr¤nÁ®¨ È„š¸ÉŸnµœ¡ ºÊœš¸É®œoµ˜´—…°Š…—ÃŽÁ¨ œ°¥—r ( 5 109.1 Wb ) 9. ‹Š‡Îµœª–®µ œµ¤Â¤nÁ®¨ È„š¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ…° ŠªŠ¦ ° ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤‹´˜»¦ ´ Ž¹ÉŠ¤¸„¦ ³Â ‡Šš¸É I ไหลผ่าน ให้ R ÁžÈœ¦ ³¥³šµŠ‹µ„‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ™¹Š—oµœ…°Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤‹´˜»¦ ´ ( RIB /2 0 ) 10. ลวดวงแหวนรัศมี a มีกระแสไหลผ่านเป็น I จงหาค่าความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก š¸É˜ÎµÂ®œnŠÄ—ǘµ¤ÂœªÂ„œªŠÂ®ªœ (H = 2/3222 )(2/ˆ zakIa )