Opredelenie proizvodnoj ot_funkcii

1. Определение производной от функции
(К учебнику Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11»)
Цель презентации – обеспечить максимальную наглядность
изучения темы.

2. Определение производной функции
(Содержание)
I. Геометрический смысл
отношения
II. Геометрический смысл
отношения при
III. Геометрический смысл
производной функции
IV. Определение производной
функции
V. Физический смысл
производной функции
VI. Примеры вычисления
производной функции
x
y
∆
∆
0→∆х
x
y
∆
∆
Слайды 4,5
Слайд 3
Слайды 7,8
Слайд 6
Слайд 9
Слайд 10

3. Геометрический смысл приращения
функции
х
y
0
A
B
α
0х х∆
x
y
AC
BC
tg
∆
∆
==α
0y
y
х
y∆
Секущая
С
y∆
х∆
α
Итак,
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)

4. Геометрический смысл отношения при
х
y
0 0х
х∆ х
y∆
y∆
х∆
α
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
0→
Секущая стремится занять положение касательной. То есть,
касательная есть предельное положение секущей.
Касательная
Секущая
.
0
йкасательнотукоэффициен
угловомуксекущейткоэффициенугловойхПри →→∆
0→∆хx
y
∆
∆
Автоматический показ. Щелкните 1 раз.

5. х
y
0
0х
х∆ х
y∆
y∆
α
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
0→
Секущая стремится занять положение касательной. То есть,
касательная есть предельное положение секущей.
Касательная
Секущая
Геометрический смысл отношения при 0→∆хx
y
∆
∆Конспект
.
0
йкасательнотукоэффициен
угловомуксекущейткоэффициенугловойхПри →→∆

6. Определение производной от функции в данной точке.
х
y
0
0х
х∆ х
y∆
y∆
α
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
0→
Касательная
Секущая
.0
)(
,
)( 0
→∆
∆
∆
хпри
x
xf
отношениестремитсякоторомукчисло
называетсяхточкевxfфункциийПроизводно
Обозначение:
)(xf ′
Конспект

7. х
y
0 0х
х∆ х
y∆
α
ktgxf ==′ α)(
bkxy +=
k – угловой коэффициент
прямой(касательной)
)(xfy =
0→
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке
равна угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику функции в этой
точке.
Конспект

8. Определение производной от функции в данной точке. Ее
геометрический смысл
х
y
0 0х х
y∆
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
х∆ →
Касательная
А
В
1α
.
0
йкасательнотукоэффициен
угловомуксекущейткоэффициенугловойхПри →→∆
Итог
.0
)(
,
)( 0
→∆
∆
∆
хпри
x
xf
отношениестремитсякоторомукчисло
называетсяхточкевxfфункциийПроизводно
0
.)(()( 00
→∆
′→
∆
∆
==
хпри
хточкевxfотйпроизводноxf
x
y
ktgα
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.
α
10 )( αtgxf =′
Автоматический показ.

9. Физический смысл производной функции
в данной точке
.
,
,,,
tвременипромежуткенадвиженияскоростьсредняя
t
х
тодвижениеьвыполнялоскотороготечениив
временипромежутокtателаеперемещенихеслиИли
−
∆
∆
−∆−∆
t
х
Vср
∆
∆
=.
.
).()(,
),(0 .
tStVьноследовател
tVскоростимгновеннойкVtПри cр
′=
→→∆
)()( tVtS =′
.функцииизмененияскорость
этоточкеданнойвфункцииотяПроизводна −
)()( tVtхили =′
)()( xVхf =′

10. Пример вычисления производной
).2(,2)(
.1)(:
0
2
−′−=′
+=
fестьтохточкевxfНайдем
xxfДано
Решение
)()()( 00 xfxxfxf −∆+=∆
5141)2()( 2
0 =+=+−=xf
22
4545)( xxxxxf ∆+∆−=−∆+∆−=∆
x
x
xx
x
xf
∆+−=
∆
∆+∆−
=
∆
∆
4
4)( 2
.4)(,4
)(
,0 −=′−→
∆
∆
→∆ xfестьто
x
xf
тоxЕсли
.4)(: −=′ xfОтвет
22
2
0
45144
1)2()2()(
xxxx
xxfxxf
∆+∆−=+∆+∆−=
=+∆+−=∆+−=∆+
Конспект