Osiągnięcia matematyki krakowskiej na muralu Ryszarda Paprockiego

1. Wzory
w muralu
ukryte

2. Osiągnięcia matematyki krakowskiej
na muralu Ryszarda Paprockiego

3. M
onumentalny mural krakowskiego ar-
tysty Ryszarda Paprockiego „Alegoria
Matematyki i Informatyki” znajduje się
na tarasie budynku Wydziału Matematyki i Infor-
matyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Na stu kil-
kudziesięciu metrach kwadratowych malowidła
wykorzystano szeroko technikę anamorfozy, czyli
perspektywy dziwacznej. Przedstawiono na nim
najważniejsze osiągnięcia matematyki krakowskiej
od XVII wieku po czasy współczesne: wielokąty
gwiaździste Brożka (1652), twierdzenie Mertensa
o gęstości liczb pierwszych (1873/4), kryterium
Żorawskiego (1900), jądra reprodukujące Zaremby
(1907), dendryt Ważewskiego (1923), punkty Leji
(1955), nierówności Łojasiewicza (1959), nierów-
ność Opiala (1960), funkcję ekstremalną Siciaka
(1962) i funkcję dolną Lasoty (1982).
Można tam też zobaczyć wzór na funkcję dzeta
Riemanna oraz definicję klasy NP, a także sche-
mat „Enigmy”, zbiór semi-analityczny – „podwój-
ną parasolkę”, fraktale, dynamikę wirów, ciąg liczb
pierwszych, złotą proporcję, dziwne atraktory, żuka
Mandelbrota, powierzchnie minimalne, stałą Rama-
nujana i potok Ricciego. Na metalowych belkach nad
tarasem znajdują się najsłynniejsze wzory matema-
tyki i informatyki związane z nazwiskami Eulera,
Hamiltona i Gaussa, oraz Gödla, Turinga i Shanno-
na, a ponadto wielkie problemy milenijne ‒ wciąż
otwarte hipotezy Riemanna i Cooka (P ≠ NP) oraz
kopia sławnego napisu witającego gości Akademii
Platońskiej: Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω μου τὴν
στέγην – Kto nie zna geometrii, niechaj nie wchodzi
pod ten dach.
Jako muzy matematyki i informatyki sportretowano
studentki AST w Krakowie: Darię Muszyńską i Kata-
rzynę Polewany; przy malowaniu muralu współpra-
cowali: Piotr Marciński i Wiktor Paprocki.

4. Wielokąty gwiaździste
Brożka (1652)
an Brożek (1585–1652) – jak pisał
jego biograf Andrzej Pelczar: „wy-
bitny krakowski uczony, matematyk,
astronom i astrolog, medyk i teolog”
był w czasach, gdy Akademia Krakowska
miała już lata świetności za sobą, jedynym
w niej twórczym przedstawicielem królo-
wej nauk. Był pierwszym biografem Miko-
łaja Kopernika. Zawdzięczamy mu także
słynny „Globus Jagielloński”, który ofiaro-
wał uczelni (dziś w Collegium Maius), naj-
starszy na którym zaznaczono „Amerykę niedawno odkry-
tą”. Jego imię nosi jeden z najdawniejszych budynków UJ,
Collegium Broscianum przy ulicy Grodzkiej.
Ostatnim dziełem Brożka, wydanym w roku jego śmier-
ci w wyniku „straszliwej zarazy”, która zaskoczyła go na
stanowisku rektora Akademii, była „Obrona Arystotelesa
i Euklidesa przeciwko Piotrowi Ramusowi”. Przedstawił
tam elementy teorii wielokątów gwiaździstych, dowodząc,
że istnieją takie wielokąty o dowolnej nieparzystej liczbie
wierzchołków i sumie miar kątów ostrych równej 180
stopni.

5. II Twierdzenie Mertensa
(1873/4) F
ranciszek Mertens (1840–1927)
–wychowanekUniwersytetuwBer-
linie, przez 19 lat profesor i kie-
rownik katedry matematyki UJ, dziekan
jego Wydziału Filozoficznego, następnie
rektor politechniki w Grazu oraz profe-
sor Uniwersytetu Wiedeńskiego, członek
akademii w Berlinie, Getyndze, Krakowie,
Pradze i Wiedniu. Jego osoba symboli-
zuje związki matematyki krakowskiej
z czołowymi ośrodkami matematycznymi
w Europie. Od roku 2017 patronuje stypendium dla olim-
pijczyków z zagranicy studiujących na naszym wydziale
– obecnie (w roku akademickim 2021/22) przebywa u nas
22 stypendystów z: Białorusi (11), Bośni i Hercegowiny
(1), Chorwacji (1) i Ukrainy (9).
Pracując w Krakowie (1874) Mertens opublikował
w czasopiśmie „Journal für die reine und angewandte
Mathematik” trzy twierdzenia dotyczące rozmieszczenia
liczb pierwszych, z których najsłynniejsze jest drugie, de-
finiujące stałą M = 0,2614972..., nazwaną później stałą Me-
issela-Mertensa. Ten właśnie wzór znajduje się na naszym
tarasie.

6. Kryterium Żorawskiego
(1900) K
azimierz Paulin Żorawski
(1866–1953) po okresie stu-
diów w Warszawie i Getyndze
doktoryzował się na uniwersytecie w Lip-
sku pod kierunkiem genialnego mate-
matyka norweskiego Sophusa Liego. Na
początku XX wieku był obok Stanisława
Zaremby jedynym reprezentantem mate-
matyki polskiej wobec zagranicy. Kolejno
docent Politechniki Lwowskiej, profesor
dwóch Uniwersytetów: Jagiellońskiego
i Warszawskiego, a także Politechniki Warszawskiej,
w Krakowie pracował przez przeszło dwie dekady, piastu-
jąc w roku akademickim 1917/18 godność rektora UJ.
Żorawski zajmował się na początku XX wieku dynamiką
wirów. W pracy „Überdie Erhaltung der Wirbelbewegung“
wydanej w Krakowie w 1900 roku podał warunek koniecz-
ny i wystarczający na to, aby strumień pola Ψ przez dowol-
ną powierzchnię pozostawał stały. Wzór ten znajduje się
na ścianie naszego tarasu (v oznacza tutaj pole prędkości).
Z rezultatu Żorawskiego wynikają wcześniejsze stwierdze-
nia Helmholza dotyczące zachowania się wirów.

7. Jądra reprodukujące
i rozkład Zaremby (1907) P
rzez pierwsze dekady XX wie-
ku Stanisław Zaremba (1863–
1942) był powszechnie uważany
za najwybitniejszego matematyka działa-
jącego na ziemiach polskich. Urodzony we
wsi Romanówka na Kijowszczyźnie, szkołę
średnią ukończył w Petersburgu. Błysko-
tliwy doktorat w Paryżu pod kierunkiem
Darboux i Picarda otworzył mu drogę do
międzynarodowej kariery, którą od przeło-
mu wieków aż do końca życia kontynuował
na UJ. Był pierwszym prezesem Polskiego Towarzystwa
Matematycznego i pięciokrotnym wykładowcą na Między-
narodowych Kongresach Matematyków. Od roku 1974 jego
imię nosi Koło Matematyków Studentów UJ.
Na muralu przedstawione są dwa wzory, które dały po-
czątek rozwijanej po dziś dzień teorii przestrzeni Hilberta
z jądrem reprodukującym; drugi z nich nazywany bywa
„rozkładem Zaremby”. Pierwszeństwo Zaremby na tym
polu nie od razu zostało dostrzeżone. Dopiero wytrwałej
pracy Franciszka H. Szafrańca zawdzięczamy międzynaro-
dowe uznanie priorytetu krakowskiego uczonego.

8. Dendryt Ważewskiego
(1923) T
adeusz Ważewski (1896–1972)
swoje najbardziej głębokie wyni-
ki uzyskał w dziedzinie równań
różniczkowych, a w szczególności zasły-
nął odkryciem topologicznej metody ba-
dania przebiegu ich rozwiązań nazwanej
później metodą retraktową Ważewskiego.
Był twórcą szkoły naukowej, promotorem
przeszło dwudziestu doktoratów, najbar-
dziej znaczącą postacią lat powojennych
matematyki krakowskiej. Jego imię nosi
jedna z auli w naszym budynku.
Początki kariery naukowej Ważewskiego upłynęły jednak
pod znakiem czystej topologii. Swoje studia na Uniwer-
sytecie Paryskim w początku lat dwudziestych zakończył
doktoratem w roku 1924. Jego rozprawa poświęcona
była specjalnemu rodzajowi przestrzeni topologicznych,
dendrytom, czyli lokalnie spójnym kontinuom nie zawie-
rającym zamkniętych krzywych pojedynczych. Z tej pracy
pochodzi przedstawiony na muralu obiekt – dendryt Wa-
żewskiego. Ma on własność uniwersalności, czyli wszyst-
kie dendryty z pewnej klasy dają się w nim zanurzyć.

9. Punkty Leji (1955)
F
ranciszek Leja (1885–1979), syn
podkarpackiej wsi, uważał, że swo-
je długie życie zawdzięcza temu,
że w młodości bywał głodny. W tym czasie
jednak doświadczył wiele życzliwości in-
nych, dlatego też sam starał się pomagać
młodym, przeznaczając sporą sumę pienię-
dzy na nagrodę dla wyróżniających się stu-
dentów matematyki. W nieco zmienionej
formule przyznawana jest ona do dziś. Na-
uczyciel, autor podręczników, współzało-
życiel Polskiego Towarzystwa Matematycznego, odkrywca
grup topologicznych, twórca szkoły funkcji analitycznych,
odgrywał po wojnie czołową rolę w matematyce krakow-
skiej. Jego imię nosi główna aula w naszym budynku.
Jednym z trudniejszych problemów interpolacji jest zna-
lezienie węzłów, które pozwolą na szybką aproksymację
funkcji wielomianami interpolacyjnymi w danym zbiorze.
Leja użył takiej konstrukcji dla przybliżenia funkcji Greena,
stosując węzły znane obecnie jako punkty ekstremalne
Leji. Na muralu zaznaczono je (jako gwiazdy) dla koła
z wyciętym kątem prostym.

10. Anamorfoza, czyli
perspektywa dziwaczna A
namorfoza, czyli perspektywa
dziwaczna, jest deformacją obra-
zu, która oglądana z odpowied-
niego punktu, lub dodatkowo po odbiciu
w powierzchni lustrzanej, wraca do natu-
ralnych proporcji. Technika ta obecna jest
wsztuceodstuleci–najsłynniejszyjejprzy-
kład stanowi anamorficzne przedstawienie
czaszki na obrazie Holbeina „Ambasado-
rowie”. Wystawa „Perspektywa dziwaczna
w Polsce” odbyła się w 2016 roku w Bi-
bliotece Jagiellońskiej i była zwieńczeniem
pracy naukowej Ady Pałki-Muskietorz,
wówczas doktorantki WMiI UJ. Podziwia-
no tam starodruki, zawierające rysunki
anamorficzne, a także przyglądano się ana-
morfozom tworzonym współcześnie przez
polskich artystów. Obecni na wernisażu mogli też śledzić
narodziny anamorficznego obrazu malowanego na po-
sadzce przez Ryszarda Paprockiego i Marcina Czaję.
W 2019 roku Ryszard Paprocki ponownie podjął współ-
pracę z wydziałem, tworząc monumentalny mural na ta-
rasie naszego budynku. Stworzył dzieło unikatowe w skali
światowej, które ma nie jeden, a dwa punkty anamorficzne.

11. T
reści umieszczone na metalowych
belkach nad tarasem mają cha-
rakter uniwersalny. Zapisano na
nich bowiem jedne z najsłynniejszych praw
matematyki i informatyki: formułę Eulera
uważaną powszechnie za najpiękniejszy
wzór królowej nauk, gdyż łączy pięć naj-
ważniejszych stałych matematycznych: e,
π, i, 1 oraz 0 (analiza); identyczności dla
kwaternionowych jednostek urojonych po-
chodzące od Hamiltona (algebra), przepis
na gęstość rozkładu Gaussa (probabilistyka), twierdzenie
Gödla o zupełności (logika), schemat maszyny Turinga (in-
formatyka) i wzór na entropię Shannona (teoria informa-
cji). Ponadto znajdują się tam słynne i wciąż otwarte wiel-
kie problemy milenijne: hipotezy Riemanna oraz Cooka
(P ≠ NP), za rozwiązanie których można otrzymać milion
dolarów, a także kopia (w języku starogreckim) sławnego
napisu witającego w starożytności gości Akademii Platoń-
skiej: Kto nie zna geometrii, niechaj nie wchodzi pod ten
dach. Na jednej z belek zakodowana jest data powstania
muralu.
Wzory na belkach
nad tarasem

12. Nierówności Łojasiewicza
(1959) S
tanisław Łojasiewicz (1926
–2002) należał do pokolenia, które
w świat matematyki wkroczyło już
po II wojnie światowej. Na początku ka-
riery udało mu się pozytywnie rozwiązać
postawiony przez Schwartza problem dzie-
lenia dystrybucji. Rozwinięcie zastosowa-
nych idei doprowadziło go do stworzenia
dwóch nowych gałęzi analizy: geometrii
semi-analitycznej, a następnie sub-anali-
tycznej. Wspaniały oryginalny wykładow-
ca, naukowiec o autorytecie daleko wykraczającym poza
świat krakowskiej matematyki, był przez lata jej ikoniczną
postacią. Jego imię nosi główna ulica na kampusie, a po-
stać upamiętnia rozpoczęty dekadę temu cykl wykładów,
w czasie którego gościmy u nas największe gwiazdy mate-
matyki światowej.
Nierówności na muralu są ściśle związane z problemem
dzielenia dystrybucji. Pierwsza z nich to tzw. nierówność
gradientowa dla funkcji subanalitycznych. Druga szacuje
od dołu wartości funkcji analitycznej w danym punkcie
przez jego odległość od zbioru jej zer.

13. Nierówność Opiala (1960)
K
ariera Zdzisława Opiala (1930
–1974) rozwijała się błyska-
wicznie; gdy w wieku 30 lat zo-
stał docentem miał już w dorobku 44 prace.
Po pobycie w Paryżu, stał się orędowni-
kiem przeszczepienia na grunt krakow-
ski nowoczesnych idei matematycznych.
Jego wszechstronność w nauce, dydaktyce
i działalności administracyjnej zwieńczo-
nej funkcją prorektora UJ, była legendarna.
Z Andrzejem Lasotą stworzyli duet, który
uzyskał wiele świetnych wyników w równaniach różnicz-
kowych. Tragiczna śmierć przerwała życie tego być może
największego talentu matematycznego jaki kiedykolwiek
objawił się na UJ. Jego imię (i Włodzimierza Mlaka) nosi
nagroda przyznawana za wybitne wyniki w teorii równań
różniczkowych i teorii operatorów.
Nierówność Opiala pokazana na muralu zachodzi dla funk-
cji gładkich nieujemnych zerujących się na końcach odcin-
ka. Jak pisał Czesław Olech: „Nierówność ta zrobiła szcze-
gólnie dużą karierę, jak to zwykle bywa w matematyce
z wynikami prostymi, ale o ogólnym znaczeniu.”

14. Funkcja ekstremalna
Siciaka (1962)
ózef Siciak (1931–2017) pochodził
z niewielkiej wsi Lecka na Rzeszow-
szczyźnie. Wychowany był w atmo-
sferze patriotyzmu, uczciwości i cięż-
kiej pracy. Uczeń i następca Franciszka Leji,
przez całe zawodowe życie związany był
z UJ. Dzięki pobytowi na Uniwersytecie
Stanforda (1960/1961) u Stefana Berg-
mana stał się liderem teorii funkcji wielu
zmiennych zespolonych w Polsce. Był mi-
strzem i autorytetem zarówno w nauce, jak
i w życiu prywatnym i publicznym. Miał 18 doktorantów,
a grono jego potomków naukowych (wielu jest obecnie
profesorami) obejmuje przeszło stu matematyków. Przez
35 lat był opiekunem Koła Matematyków Studentów UJ.
Znakiem rozpoznawczym twórczości naukowej Siciaka
stała się zdefiniowana przez niego funkcja ekstremalna
nazwana później jego nazwiskiem (lub funkcją Siciaka-Za-
haryuty), która stanowi dziś podstawowe narzędzie uży-
wane nie tylko w analizie zespolonej wielu zmiennych, ale
i w teorii pluripotencjału oraz teorii aproksymacji.

15. Funkcja dolna Lasoty (1962)
A
ndrzej Lasota (1932–2006)
– warszawiak z urodzenia, który
marzył o studiach z fizyki na UJ,
ale wybrał ostatecznie matematykę, dzie-
ląc od 1976 roku swój czas między Kra-
ków i Katowice. Z pionierem teorii chaosu
Jimem Yorkiem uzyskał fundamentalne
wyniki z tej dziedziny. Miał też ogromną
umiejętność pracy z nie-matematykami:
z biologiem Michaelem Mackeyem napisał
świetną monografię z układów dynamicz-
nych, z medykiem Marią Ważewską-Czyżewską badał mo-
dele populacji krwinek, a z inżynierem Piotrem Ruskiem
opracował prototyp świdra gryzowego. Mawiał, że mate-
matyk musi być entuzjastą i sam tym entuzjazmem zarażał
innych. Przez całe życie zdumiewał łatwością zgłębiania
nowych dziedzin matematyki i dokonywania tam oryginal-
nych odkryć.
Istnienie funkcji dolnej Lasoty, której definicja znalazła się
na muralu, gwarantuje asymptotyczną stabilność operato-
rów Markowa. Jest to idea zarazem prosta (współautorem
był Yorke), jak i głęboka oraz mająca różnorakie zastoso-
wania.

16. Zdjęcia: Aleksandra Dudziak
Rysunki: Julia Dudek
Teksty: Wojciech Słomczyński
Projekt graficzny i skład: Jakub Pierzchała | studiobaraban.com
WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI
UNIWERSYTETU JAGIELLOŃSKIEGO
ul. Prof. Stanisława Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
matinf.uj.edu.pl