This document discusses Ohm's law and electrical resistance. It begins by explaining that current density J is proportional to the electric field E, as described by J = σE (Ohm's law). The proportionality constant σ is the material's conductivity. Resistance R is defined as the ratio of voltage V to current I, as described by V=IR. Examples are given to show how resistance depends on geometry and conductivity for different arrangements of conductors. The document also discusses how resistivity ρ is the inverse of conductivity and lists typical values for common materials.

1. 7.1 Fuerza Electromotriz
Electrodinámica
7.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ
7.1.1 Ley de Ohm
Para hacer una corriente de flujo, tienes que empujar las cargas. Que tan
rápido es el movimiento, en respuesta a un empuje dado. Depende de la
naturaleza del material. Para la mayor parte de la sustancias, la densidad de
corriente J es proporcional a la fuerza por unidad de carga, f:
𝐉 = σ𝐟 (7.1)
El factor de proporcionalidad σ (no debe confundirse con la carga superficial)
es una constante empírica que varía de un material a otro; se le llama la
conductividad del medio. Actualmente, los manuales generalmente
enumeran el recíproco de σ, llamado la resistividad: ρ = 1/σ (no debe
confundirse con la densidad de carga - Lo siento, pero nos estamos quedando
sin letras griegas, y esta es la notación estándar). Algunos valores típicos se
enumeran en la Tabla 7.1. Nótese que incluso los aisladores conducen
ligeramente, aunque la conductividad de un metal es astronómicamente
mayor; de hecho, para la mayoría de fines, los metales pueden considerarse
como conductores perfectos, con σ = ∞ mientras que para el aislante
podemos pretender σ = 0.
En principio, las fuerzas que impulsan a las cargas para producir corriente
podrían ser cualquiera - las hormigas químicas, gravitacionales o entrenadas
con arneses pequeños. Para nuestro propósito, sin embargo, generalmente es
una fuerza electromagnética que hace el trabajo. En este caso la ecuación 7.1
se convierte en:
𝐉 = σ(𝐄 + 𝐯 x 𝐁) (7.2)
Por lo general, la velocidad de la carga es lo suficientemente pequeña como
para ignorar el segundo término:
𝐉 = σ𝐄 (7.3)
(Sin embargo, en plasmas, por ejemplo, la contribución magnética a f puede
ser significativa.) La ecuación 7.3 se llama ley de Ohm, aunque la física detrás
de ella está realmente contenida en la Ec. 7.1, de la cual la Ec. 7.3 es solo un
caso especial.
Lo sé: estás confundido porque dije 𝐄 = 𝟎 dentro de un conductor (sección
2.5.1). Pero eso es solo para cargas estacionarias (J = 0). A demás, para
conductores perfectos 𝐄 = 𝐉/σ = 𝟎 Incluso si la corriente está fluyendo.

2. 7.1 Fuerza Electromotriz
Material Resistividad Material Resistividad
Conductores: Semiconductores:
Plata 1.59 𝑥 10−8 Agua de Mar 0.2
Cobre 1.68 𝑥 10−8 Germanio 0.46
Oro 2.21 𝑥 10−8 Diamante 2.7
Aluminio 2.65 𝑥 10−8 Silicio 2500
Hierro 9.61 𝑥 10−8 Aislantes:
Mercurio 9.61 𝑥 10−7 Agua (pura) 8.3 𝑥 103
Nicromo 1.08 𝑥 10−6 Vidrio 109
− 1014
Manganeso 1.44 𝑥 10−6 Caucho 1013
− 1015
Grafito 1.6 𝑥 10−5 Teflón 1022
− 1024
Tabla 7.1 Resistividades, en ohm-metros (todos los valores son para 1 atm , 20 °C).
Información de Handbook of Chemistry and Physics, 91 st ed. (Boca Raton, Fla.:CRC
Press, 2010) y otras referencias.
En la práctica, los metales son tan buenos conductores que el campo eléctrico
requerido para conducir la corriente en ellos es despreciable. Por lo tanto,
habitualmente tratamos los cables de conexión en circuitos eléctricos (por
ejemplo) como equipotenciales. Las Resistencias, por el contrario, están
hechas de materiales poco conductores.
Ejemplo 7.1. Una resistencia cilíndrica del área de la sección transversal A y
la longitud L está hecha de material con conductividad σ (vea la figura 7.1;
como se indica, la sección transversal no necesita ser circular, pero supongo
que es la misma completamente hacia abajo). Si estipulamos que el potencial
es constante en cada extremo, y la diferencia de potencial entre los extremos
es V, ¿Cuál es el flujo de corriente?
Figura 7.1
Solución:
Resulta que, el campo eléctrico es uniforme dentro del cable (lo probaré en un
momento). Siguiendo la Ec. 7.3 que la densidad de corriente también es uniforme,
tenemos que:
𝐼 = 𝐽𝐴 = 𝜎𝐸𝐴 =
𝜎𝐴
𝐿
𝑉

3. 7.1 Fuerza Electromotriz
Ejemplo 7.2. Dos cilindros largos de metal coaxial (radios a y b) están
separados por material de conductividad 𝜎 (Fig. 7.2). Si se mantienen en una
diferencia de potencial V, ¿Qué corriente fluye de una a otra, en una longitud
L?
Figura 7.2
Solución:
El campo entre los cilindros es:
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝜀0𝑠
𝑠̂
Donde 𝜆 es carga por unidad de longitud en el cilindro interno. La corriente es por
lo tanto:
𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝑎 = 𝜎 ∫ 𝐸 . 𝑑𝑎 =
𝜎
𝜀0
𝜆𝐿
(La integral está sobre cualquier superficie que encierra el cilindro interior). Mientras
tanto, la diferencia de potencial entre los cilindros es:
𝑉 = − ∫ 𝐸
𝑎
𝑏
. 𝑑𝑙 =
𝜆
2𝜋𝜀0
ln (
𝑎
𝑏
)
Así que :
𝐼 =
2𝜋𝜎𝐿
ln(
𝑎
𝑏
)
𝑉
Como ilustran estos ejemplos, la corriente total que fluye de un electrodo a otro es
proporcional a la diferencia de potencial entre ellos:
V = IR (7.4)
Esta, por supuesto, es la versión más familiar de la ley de Ohm. La constante de
proporcionalidad R se llama resistencia; es una función de la geometría de la
disposición y la conductividad del medio entre los electrodos. (En el ejercicio .7.1,
R= (L/𝜎𝐴); en el ejercicio 7.2, R = ln(b/a)/2𝜋𝜎𝐿). La resistencia se mide en ohms
(Ω): es un voltio por amperio. Nótese que la proporcionalidad entre V y I es una

4. 7.1 Fuerza Electromotriz
consecuencia directa de la ecuación 7.3, si nosotros queremos el doble de V,
simplemente doblas las cargas en los electrodos - simplemente duplica las cargas en
los electrodos: duplica E, lo cual (para un material óhmico) duplica J, lo cual también
duplica I.
Para una conductividad constante y uniforme constante:
∇. 𝐸 =
1
𝜎
∇. 𝐽 = 0 (7.5)