10. ~ ΠΡΟΛΟΓΟΣ
ουσία τω,, μac,ηucπc,cωs.
lΌ :3φλίο αχολουί:ιεί 6σο είναι tiυνα-:(;ν την αχόλουί:ιη γε,,ι),:-f1 μέΘοtiο:
(ί) Εννοωλογι.κή Ανάπτυξη. Στη
(ίi) Τεχνι.κή Ανάπτυξη. l.:τη
θα 1ψοωΘείτα.ι.
(ίν) Περίληψη. Είναι r.άν-:ο-:ε να τονί-
γ:ι. είναι
11. ΠΡΟΛΟΓΟΣ νίί
(v) Επιλuση Ασκήσεωv κ::.Η Συμπληρώματα. Κ:iθε ,:::ί•.βλίο θα 11:pέ11:ει να
δlνει οργανωμέ,,ες σε χα-:'Jγοpίες αr;χήσεις μαζί με ·ποδειγ:.1ατιχ:i λυμέ-
-:α r.αρα:::iνω με ιχανοr.οιητ~χό τpόr.ο, -:ό-:ε θα
:τpέ:τει ο 7οt-:Ύjτf1ς με Ωυcf1 του :τρωτο:)ουλία να χ:i,,ει κ.:Ί:-:ι ανάλογο.
-:Ύj σι)ζυγό χαι τ::t :π:α•.δ•.·::Χ μο~, Θα,,:iσΎj χα•.
γι::t -:ην υa.ομονή τ:01J -:Ύj δ•.ϊφχει:::ι: της σ1Jγγp:::ι:rιής το1J
.3~βλίου αυ-:οϊJ, αλλά. και γ~α την :τοιχίλη 1'3οΝ:!εια :του μου r.ροσέr;.ιεpαν.
ΠΑ Τ Γ λ 1999
12. viii ΠΡΟΛΟΓΟΣ
(Excit ±:ωηι tl1c· lntωιluct,ion)
INTRODUCTION
Tl1is lωolc star·tcd ns Lc·c·tun· :Κotcs fω· a fiist yc·<.nωnr-sc ίη Tl1c·Dcνai.-t-
λl;-ιtl1ριη;-ιtiί:<1l ,JοιηΊ1Ρ}';• 1νl1ir:l1 l1.-1.n!)ρρη iηαπρω·,ηed into ιl1ρ ηe,ν _l-!ωgr.-1.n1
or Slιιιl_γ οΓ ί,i1ι~ l·Tω.i1ι~rr1<.Hia, ίλψαΓlrr1ι~rιι, irι ί98:3.
Tl1c· tai·gct of t,l1ic,COUΓC>C' ίc, to giYC'to t,l1c ηc,ν stuιlcHt of nωt,l1cnωtic·s.
η glol1..ιl αηΗ:ΡμtiοΗ tΊπ ωc1tl1eω:-ιtiι:~ nnrl tl1Pir ωι-,t.l10rls. lH ntlrlitioH, οΗ tl1ρ
οηρ hω1(l it tl'iPs to tl1P sι1κ{ρηt fωω ;-ι ter:l1niι·,1l. ιnethodologiί:.-il
aπcJ 11s:,,,cl10lop;ica1μoinl ίπ onicΓ lo racc sυcccss1Ίι1lν l11csυ1)scψ1cnι
e>tuιlίcc,; ηηιl ωι t,l1cotl1c1·lωnιt t.o p;iYC'l1ίω/]ιcΙ η ωίηίrηιιηι of a nιatl1c·rnatic·nl
ι:nltιn·e, iHιlisμι-,n~nωe for t.lιe ι:rention of ;-uι ιψμηψri:-ιte ι:li11H1tι-,, οΗ ,νlιi<·lι η
1n~,+11__rnn+Ί·cιl .·,-· !,_, .ι...l.,,,_,_l.
or iΊΊ<~l1Ί(·ιΊΊaιics TJΊC: iΙιaUΊC:ιnaιic:s a1:1
ί-tS]Jρ(;t.s.
Tl1P Pxpedition inr:e11rion of tl1P αJιη·sρ, ί:Prt;-ιinl}' is not Pxl1<1.nsted1νίιl1 .-i
'·scvirψ; ιop;cl11cr·'· CC'Γlain rηall1cn1aιica1 ρicccs, 1)υι n1ain]:,,,iι is rnaιcΓia1i~c(J
lJY ηηιl gn1sping in μc1·sμcc·tiYC'. tl1c nωt,l1cnωtic·al sulJst.nnc·c
tl1ρsρ μieι:e~ of rηηt]ιι-,11Ηιt.ία, ;-uιιl t]ιρ rPlcιtι-,ιl rρnnιrk~ nnrl
r:οιηη1ρηιs.
Τη ιJ1c ·"il(lcn1cssor l11caria.l,'lical rnaιJ1cnia.lίca1 ϊno·"l('(]p;c an(J ιlic in l11c
ωn±Usion
C>YHtl1ctic·
,na1 J,c·,nat,c·ω snlJstanc·c. YCai·c loolcing , using
intcπc·lntiωιsl1ip of tl1c· nωt,l1cnωtic·al ωnc·cμtc,
All ιl1ρsρ le.-1.(lω1(l tr.-insforω tl1e ''rlr}';• ter:l1niι·,1l
ίπlο a. sγπl11clic nia.l11crηalical γίsιiοrη. Η is cxacιlν l11cπ νJ1c1·c n1aιJ1cnia.lίcs
and 1Jl1iloso1Jl1yηη· unitcd into a "JJCτfcc·t lωoί,lcιtgc'·
111tl1e ιι~t 1,) tlιis lJOok l11-11Ψ ]}ρρη μrinterl into IIl<"ut}'μrelίωίrηισ
erlitions, ιn.-i.inl}· tl1P ser'iι·e of tl1P sωrlents of tl1e υe11.-1.rtωenι of ll.-iιl1P-
nia.lίcs .. υιcr· a1l l11csc cxρcΓicnccs anιi a.Γιc1· rnan:,,, ''j11.ιl1lίcalion a.ιivcnι111·cs'·
tl1c·olιl Xotcs l1aYCliccn r-c,πitt,c·n to fοπη tl1c p1·cscnt, lωolc:
INTRODUCTION ΤΟ MATHEMATICAL THOUGHT
19. ((Έτσι όλες οι
χίζοuν με ττ; από χει
στιc έΥνοιεc. χαι τελιχά χα
στις
F:. Καrι.ι
Κεφάλαιο Ο
ΣΥΝΤΟΜΗ
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΆΔΡΟΜΗ
Οι ιστοpιχές
τους χ::tι
τη-::χ, ότι
γένος.
Η ε:μrι:iνιση χαι ανάa.τυξη των μαθημα--:ιχι:,)γ σzε:τί,ζυντα•., ε:ξ:χpτώντ::tι χα•.
20. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
Ο ισ-:οραός χρόνος γ•.α τα μαΟημ::η•.χ:i, συνήΟως δι::tιpε:ίταt ως εξ/1ς:
(ί) Προελλη,,ιχϊ( μαΟημα-:αά (:3000.-..Χ.- 500 :τ.Χ.)
(ii) jiλλψιιχ6: μα~ημα-:ιχ6: (600 ;-:.Χ. ::-ι2r; μ.Χ.)
σ•;,,έχεια !Ία r.εpιγpάΥο·;με συνοr.-:ιχά, τα χϊJpι:χ ;ι:αpαχ-:ηpιr;τιχά. της χά.Θε
0.1 Τα Πpοελληνικά Μαθηματικά.
χ:χι α,,τ[στο~χες
χοι,,ωνίες, αυ-:ές ;-:oJ α,,α1τ-:1Jχθηχ:tν χο,,τ:i σε :τα
:π:εδι:iδε:ς χ:χι :::ο-:ο-:έλε:σαν :11)-:ό :το,) σ1)νiιΟως α:τοχαλο(,με:
e<Rαροτ.υcό,,,ω,,,, a.ολι-:ισμο(Jς)). Οι 11:ολιτισμοί α'ποί χαp::α-:ηpίζοντ:::ι:ν χ(ψ.α
(1) Ή-:αν σ-:α-:ιχοί :το)·,•.-:ισμοί. Υ:τήpχε x:iJi:01.α
ακίνητες
τά:ξη τ:pαγμ:iτων. μfJ
χαι r.ερωδ~χ:i ε:τα-
(2) 11εξουσία ή-:αν συγχεν-:ρωμένη στο ιερα-:είο χα~ στο μονάρχη.
(3)
-:ηpίας.
21. ~ 0.1 Τα. Προελληνικά. Μα.θημα.τικά..
'Ολα α1πά: είχαν ως σ1ηέτ:ε•.α, ο λαός να
τοβο'J),ίας του, οι δε γνώσεις, :του
,,ο·/ίζουμε:
(ί)
[25].0')-
(iii) Τ:fέσα σε
μα--;α χαι
με,,ές.
,:;ω;Jνων, έγινε δυνα--;ό να
(ίν)
οcαvοl·γτηsαv δ•Δp1Jγε;:: χαι χα,ασ:κωiσcηχc,v
Οι δι:χδαασίες :11)--;ές κ::tΓJ(;Jς χαι η δ•.α--;/1pησ-Ι1 -;ους ::tτ:αιτο(,σε σ~;,,το,,ισμύ
όρασπ1ρωc;τωv μεταξ'J Ετσι αυ--;ύ
-;ων χοινων•Δν α1JτG')ν εlzε ως
θpησχε•.,~ν οι οa.οίες και α1J--;ές
cvαpμc,vcσμt,,cς με τη δομή
με -;ο
23. ~ 0.2 Τα. Ελληνικά. Μα.θημα.τικά..
χ:χι -:ο•; λε:n:-:οϊJ r;ε 60 ΟεϊJτεpα είναι
0.2 Τα Ελληνικά Μαθηματικά.
(1)
σελ.17]. το α:τοχαλεί
κι::φιε:ς
χαι της lΙεσο:τοταμίας -f1ταν r:αpα:τοτ:iμιος
σsατικό χαρακτήρα. ενώ ο ic:λληνιχ(Jς r:ολι-
0::tλάσσιος τ:ολιτωμός χα•. γ•.' :11)-:ό α:τό τη
24. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
(2) Στο χοινωνυ<fJ ε11:l;τεδο, οι αv:::ι:τολυ<έ:: χοιvωvίε;:: i1ταv χα-:& χαvfJv:::ι: σ1J-
(3)
r.pοβλημ:iτω,, του ::.φχαlου
'F.λληνα.
(4)
Γι:χ το Δ.:rjμο δεν 1J:n:6:pzo1Jν <(σω-:~pερJ. Θεοί r.0 1J εr.εμ,3αlνουν σ-:'fί //Jσ'fί -:ων
cρο~λημiτω,,. Ωεν
25. ~ 0.3 Θαλής - Πυθαγόρας - Εύδοξος.
Δήμοc: χαι η χvχλ,'Λιχο-λοyιχή μέ9οδοc:. Η :::ι:μι;ισ~ή--:'f:σ'f: οδηγεί σ--:Υ: ι;ιλοσο
ψlα και α.r.ό αεί σ--:α ::Ι:χΘΥ::_ια-:ιχά.
0.3 Θαλής - Πυθαγόpας - Ε•5δοξος.
Ο Θα.λής εlνα~ γνωστός ως ο r.ρώ--:ος μα.θημ:χτιχός.
γεωμετpιχu')ν
μία σεφ& αr.ό
Οι :π:pοτάσεις αυ--:ές είναι οι αχόλο~,ΓJες:
• Οι :π:αpά: "-:'f:βάση γωνίες ενός ισοσχελο(ις --:p•.γώνοv είν::tι lσες.
• ~,)υ a.ovέzο1;ν μία a.λεvρά: ίση χ:::ι:ι τ•.ς ;-τροσχείμενες γωνίες ίσες
εlνα~
26. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
• Κά:θε διά:με-:pος χGχλου χωplζει το χ'Jχλο σε Μο ίσα μέpη
• Κά:θε εγγεγp:::ι:μμέvη σε ημιχ1)χλιο γωνί:::ι: είv:::ι:ι opθi1
Λν-:6 11:01J εντ~πωσιά:ζει a.ερωσ6τε::;ο εlνα•. ύ--;ι. ο•. :τα::;:::ο~:άvω :τ::;οτάσεις είναι
χά.r.οιας α:n:όδειξης π:έ
ιSμω-:; r,r,μαίJC:( (,τr_,
ο ll1J~,-,γnp:ις (l:i80-,JOO-τr.X_)
ως έ,,::ι.ν
• Τηv Αριθμητική, ή ,ηο1Jς αpιθμο,)ς σε ηpεμί:::ι:>J,
• τη l.Ιοuσική /1 a-:ους αpιΟμο(;ς σε: χ.ί,,ηση»
• τη Γεωμετpία ή «τα μεγέΟη σε ηpε:μί:χ", χαι
• την Αστρονομία /1 " τα μεγέΟη σε: χίνΎjσ°Υj"·
11 r.ιο :τά,,ω -:αξιν6μηση α;-:οοίΩε-:αι στο,,
στ/1 -:ο όνομ:χ ":Ε":(:)αόδω. Το τε:τp:χόδω
οι λόγο~
ενός
28. 10 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
την ~σ-:ορtα -:ων ~Ιαθηματιχών -:r;ς Λ?χαίας Ελλ:iδας: ;τρέ;τει να αναφέρουμε
ότ~ ο Αριστο-:έλτ;ς :::χρό-:ρ1Jνε -:οvς μαθητές -:ου V':J. γράyο:J'i -:τ;ν ιστορία -:ων
:::;ηπ:τ;μών. Ji:r;,. ο Jiύ/Ιiημος (350 ;1:.Χ) έγρα{ιε μια ιc-τοpία τω•ι μcιθημαηΥ.ώ'.'
τ.ου έχει όμως χαΟει
Σχήμα 0.1. Jisι:lH!1·: St,υ:s. Κανον•.χ;i llλα-:ωνικ:i rη:εpεi.
Ο llλiτωνας σ;;σχέτιζε τα ::έν-:ε tικ::ινονιχά :τολύεδpα,1 11ωωσμιχά σώμα-:::ι»
με :r, διαλεκτυtiι τετp:iδα, r.ου ;τ::φο:;σι:iζε-:αι στο Σz~μα 0.2, ό..:ου το Δωδε
χϊ(εδpο, ..:ο~ ή-:αν το γι:χ -:ο Σόμπαv, :1:αpουσιάζεται ως «τ; ;τέμχτη
ουσία» δηλ. η '"""ο•οσα".
0.4 Ευκλείδης - Αρχιμήδης - Απολλώνιος.
Κ::ιτ:i το τέλος του τέταρτου r..X . αιι:ινα; το κέν-:ρο -:r;ς μαΟηματιχής δρασ-::rr
ριότη-:ας με-::ιι;,(::θηχε στην Αλεξάνδρεια, ό:του ο Εuκλ!:(δη,:; (,::;:;ioo π.Χ.)
έγρ:χψε χαι ΜΩαξε. Το φψ~(ψένο βι~λlο του ..ΣτοLχεια>ι :::ίν:χι ίσως το βι;3Ηο
με -:r,μεγαλ'Jτεpη ε:i:φp()f1 στα μ::ι:ύr,μα-:ιχά που έχε~ γραφ-:εl ;-;()τέ. Περιείχε χα~
ταυ-:όχρω,::ι: ταξι.νυμυ'Jσε σ' ένα υpθυλυγιχά δuμημένυ σ'Jστημα, σχεδό" όλες:
29. Τετράεδρο
(φωτιά)
Ζεστό
Κύβος
(Γή)
Υγρό
Εικοσάεδρο
(Νερό)
Κρύο
Οκτάεδρο
(Αέρας)
Ξηρό
Δωδεκάεδρο
( Σύμπαν)
§ 0.4 Εuκλείδης - Αρχιμήδης - Απολλώνιος 11
Σχήμα 0.2. Το 1:0.)μ;ταν (δωδεχάεδpο) ως η ;τεμ;ττουσlα .ων (Γτ1αέpας, φω:ι:i
νεpό).
τ~ς μαΟημ:1.τιχές yν<,')σεις της ετ.r;χής εχεlνης. Σ:::t. ;τp(;)τ::t βι,3λlα: τ.εpιείχαν, χυ
pίω;: -:ι;: γεωμε-:?ιχέ;: γνι:')σει;: ,;:o'Jείχαν αναπ-:υχθεί απύ τους Π"Jθαγύρεωυς.
Σ-:ο ,;:έμ,;:το βι,'3λlο των Στοιχείων πεpιέχετα•. τ; θεωρία -:ων αναλογιών του
JiύΛοξου, καθώς επtσης χ::.ι:ι :J..λλα cι;;οτελέσμα-:α του JiύΛοξου ::.ι:λλ:J.. χ::ιι ωυ
Θεα~-:ητου.
Την '.δ•.α περίτ:ου ο χά,;:ω;: νεότε?ος μαθημα-:ιχύς, ο Απολλώνιος
χαf:Ιοι:ιστιχό γ~α την ανά.r.-:·1ξη της Γεωμε-:ρ(αςτης Πέργας, έγρ::ι:/ε ένα
.'3~βλίο τις ,~Κωνικές Τομέςη.
'F.νας :iλλος F:λληνα:; μαΟημ:χτ•.κός ή:::ιν ο Αρχψήδης, σόγr.ρο-
νο;: με τον Συνεισέr,:,1ψε τα μέγιστα σ-:::ι: μαθημ::ιτ•.χά. Τελειοτ:οιεί
τη μέθοδο τη-;: ε:;:Χν-:λησψ;. με τη z?f,στ; της δε υ:τολοyίί,ει, εμβαδά, όγΥ.ο'J;::,
χέντp::ι β:φύτη-:ας rrχετ~χά με χων~χές -:ομές χα έλιχες. r-.Ιεγάλες ε;;ίσης σu
,;εισψιpές κ!.ι:νει ιττη θεωpί::ι -:ων Απείρων Σεψ:)ν, Τηχανιχής χαι Υlpοδιινα
μιχf,;: . Ο Λρχ•.μήδης θεωρείτ::ιι ω;: έ να;: ::ιτ:ύ -:o'J;: μεyαλ1)-:ερους μαθr,μα-:ιχοιJ;:
όλων -:ων επσχών.
11σημασία των εργασ~ών του Αpχιμ#)'Τ, χαι του Α;;ολλώνιου, γ~α ;;ολλούς
30. 12 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
((Έvxc πoci χαrαλαβαί
λίyο '/α απο,σεί με τις
0.5 Η Παpακμή των Ελληνικών Μαθηματικών.
(ί) Τη θεο::οίηση -:0·1 νιχητή :χpχηγο·J χ:χι -:1ι δημιουpγί:χ r;•;γχεν-:pωτιχών χpα.
-:ων.
(ii)
-:ις σω-:Ύjpιολυγιχές θpη-
31. 0.6 Αραβικά. Μα.θημα.τικά..
Πλά-:ωνα χ:χι γι:χ το :π:pϊηο
τ•.ς χαλλί-:εpες τ:Ύjγές γ•.α τα
13
Πpόχλο
δ6ο σχόλ~α του llpόχλoJ: l'ι:χ -:ον ημαω του
-:ου F,,)χλείδη. Τα σχόλια αυ-::i ατ:ο-:ελο(;,,
μαθηματ•.χά:
0.6 Αpαβικά Μαθηματικά.
αν-:αα-:έ-
μ.Χ.) συνέ~εσε μί:χ σ-:οιχειώδη ;-:pαγμ:χτεία
32. 14 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
0.7 Δυτικά Μαθηματικά.
Τα lΙαθηματικ:i του Δυτ~κού JΙεσαιωνα.
1Ιετ6: το
33. ~ 0.8 Fibonacci - Tartaglia - Cardano. 15
του ο~ηυω(, μεσ:1ίων:1.
Ω.R Fihnn:ιι.ι.i - 'Γ:ιrt.:ιgli:ι - C:ιril:=ιnn.
Ο Leon1-1nlo-:ης Πlζας γνωσ-:ός και ως PίlJOH<H"<"i (γιος -:0·1 Ποηηα:iο) (1180 -
ΩιέΩωσε δυ-:ιχή
το,) T.ίl1cr·
34. 16 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
U.!J F'rancois Viet.e.
Ο Franιυis Victι) ή χα•., ό~ι,>ς εί,,:χι αλλι(;Jς γνωστός το .α-:ιναό του
fJvoμα, Franciscus Vieta (1540-1603), θε:ωpε:ί--;αι ο -:ων μον-:έpvωv
1Ό:vυ6 χα-:& το δέχα-:ο έκτο α~ώνα,
35. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 17
0.10 Τα Σύγχρονα Μαθηματικά.
ιιι- T)~;S('λlU'ES - FΕΙί,J:JλΤ - Γ'λS('λΙ, · Η ΗΙ'ΩIΙ<Η ~ΙΙΟΧΗ.
-:οvς
εισάγει σ-:r,ν λναλ·;τ~κ~ Γεωμετpία. -:ο 16:Jϊ σ-:ο :τα.p:ip-:ημα.
του ~ιβλίου του "Disconrs <ie la MeHιo<le"; με τί-:λο ''La GeornetΓie'".
36. 18 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
h'":.tτ' -:α "'χ:χ-:α
τα•. α:τό ΊΤ:ολλές σ•.C,,στ.,χσc,.χέc
ή-:αν:
(ίί) Η
των ε:μ.--.οραών τ:iξε:ων γι:χ αι!ξΎjσΎj των ,);.ολο-
αvτlληψη γι::t τον κfJσμο κ::tι -:ο ε:vδι:::ι:rιέρον γ•.α την
της χίvηστ;ς χαι της μεταβολής.
Κ:χτά. την Α,,:χγέ,,νΎiσΎi, αλλΥ. χα~ :τολ,~ αργότερα, θεωρούσα,, το ρολόι ως -:ο
Έ-:σ~ από τη vσα,οu,χο,χα
37. 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά..
11.:1.
'-Jicola.ιιs(J 623-1708)
'
.Jnα~;Jes Τ ϊωιtηs Τ
(163-1-17()3) (1662-1ϊ16)
.liωl;ιnslll Uωιί(;!l
(169,J-1726) (ΙϊΟU-1782)
.Jean ΠΙ Daniel ΙΙ
(1746-1807) (17.Jl-1834)
.Jean (;usιaνe
(1811-1863)
(1782-lSG:3)
19
,Jr,uιll
(1710-1790)
Jnι:φJes ΤΤ
(1710-1789)
Σχήμ:ι 0.3. Το ουωγε:νιαχ(; δέν-:pο -:ων l3t-ω1onlli
... () EHLER.
Ο Leonard Euler (1707-liS:)
f,λων ~r.,ν
όλη σχε:δόv τη Y.:XLτο,) Rε:-
38. 20 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
θεωpί:::ι: σvν:::ι:ρ-:i1σε:ων, ενώ με -:ο Λfα:lιαrιίq'ιtc
::pοσ:::Χθε~α να τεθεί η ::Ιηzανυοj rπ σο,3,:ψ~
της ε:;τοχ~ς εκείνης ο οa.οίος π:pοώθησε: -:ην
r.ιθανό-:ητες .
.llαθη-:~ς της ~r:ole
Augnstin-Luis C::ιuchy (1789-
Y.:XL τη
39. 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 21
λλλοι γνωσ--:οί :::ο~:ύ(DοιτrJι πκ Ecolc Γolvtc·,:-lωωuc ή--:αν ο Siιneon Pois-
son (1781-Ί840) χ:χι ο Josepl1°F'ourieι·
.,. Ο (:Aι:ss.
p:iσ--:::ω"Yj --:ων μιγαδ•.κϊ>,,
:::ο-:ύ --:ους Ca:-:;par χα•. η
τ:.λi1 ;-τεpιοδιχύ--:Ύjτ:χ των ελλε•.;-ττυ<ών σ1Ν:φ--:~σεωγ κο1J :χν:χχο•.νG'/::Ιηκε :χκύ --:ον
Ν. Η. Abel (1802-1829) χα.ι Ύi 1J:ο,:αpξη -:ων :_ι1ι-Ε1Jχλεlδειων
οηυ.οσ,eυτ,,κe α.r:6 τους Nikolai Ivanovi(:lι Lol>aclιevski χα~
:χκύφοιτος
40. 22 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
της Eωlc· ΓolYtcc·l1inquc· 11:01Jαvέ11:-:1Jξε -:ηv ΠpυβολιχΥ: Γεωμετpία. ΛΙια σεψ:Χ
αr.ό μαθηματιχο·Jς Gergonne 1 Brianclιon, Clιasles, Plucker 1 Steiner,
Bolzano, Β. ο ,ι1 ν Π?:.ίγ1.1., ot
μοια. :τpο1'3λήμα-:α με :χ·;τ6: -:ο•; G.-ιη~~-
.... (_) lυ"ς ;ΙΩΝΑΣ ΚΑΙ 0Ι ΣΥΓΧΡΩΝΕΣ Τ ΑΣΕΙΣ.
α,,οL)ζ;:(Jς, -:αJτόχpονα δε
με: τον (ia.ιιss χα•. το,,
αιC)να
Ε.
μία
α1π!1 ocασc·c,cco,"'"-
41. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 23
Θεμέλ•.α -:ων ΛΙαΘημ:::ι:τιχών, με έμι;:::ι:σf: σ-:ι::: ,:::ίασιχές έννοιες των :::ι:pιθμG')ν χα•.
του συνεχο,~ς. Το 1S72. η y·Jση τω,, ::pαγματιχών αριθμών
"ι-γ~-Γι r·-ι-·.~/i r~·-·- -, ..', ...,
R.iι~hard Dcdι)kincl
ιων Σ,Jν·..ψ, f/Jt:ων •..(,ιιJ .uν γι:lι:η;l,ιcι::;::; X·..(L Ιj
αριθμών με τ~ς -:ομές του Dι-,(lekinίl, :n:αpέ:1,ε~ναν -:α
της λ,,:iλυσης.
σJ,,εισ'?rψές σ-:α
μ::ηιχοί: Hanιilton, W. R.
Κιιιηιηer, Ε. (1810-1898)
Kroιιecket', L. (1S2:J-1S91).
ϊι.λλη μεγϊ(λη φυσιογνωμί::t στ::t
Ομάδων βpfιχαν στους
τους ά:ξιους σvνεzιστέ:::
Το 1S72 ο KlPin στο εναpκ-:f1pιο μά:θη:_ια του. ε::ικεντpώθηκε σ-:η
της έννο~ας -:ης ομάδ::tς γι::t -:α μαθημα-:ιχά. Ζ.:το μάθημ::t αυ-:(;.
"11'o0Yoαucu.α ':Ου Ερλ:iγκεν (Erlangι)n progran1)11 ο Klcin
σ(;τεpοι μ:1Θημ:1τυωί. του (i;-ι.nss μη-εξαφουμέ,,οJ.
έννο•.α του ενεστω-:ιχοϊι ::tτ:εlpou, ::αοδεzόμενοι μόνον :χ~ηήν του
ατ:εlpο1J5
42. 24 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
1S79 -::η,,
-:Ύjς
.l.Lt:ellli .l uiHLdl,;;
με -::ον χλ:'.iΛο α:.;τtι.
Ί.Τε -::η,, αpχ-11 το,) ::ttών::t έχο~ψε: μια σεφά :::ο-:ό τ:ολ(; :χξιόλογο~,ς μαΟημα
τυωGς: Cartan, Ε. (1869-191.3). Borel, Ε. (1871-19.36); Lebesgue, Η.
(1875-1941) Καραθεοδωι,ή, Κ. (1873-19.30); Baire, R. (1874-1932). Ba-
naclι, S. (1S92-1945). Haar, Α. (1885-19:J:J), Zerιnelo, Ε. (18il-1956),
R.iesz, F. (1880-1956), Skoleιn, Τ.
Γι:.: το,, Hίll)cr-l (1862-192!:i), -::ο (:Ίασιχό
τ.ετ.ερασμtνες με:Ει6δοvς τη συνέπ:ειχ των ο,ιιnυ,,ωα,>,.
σχε,ιχές υ;-;οσ~μεώσεις στ~ σελ G-·l
43. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 25
Σχήμα 0.4 . .ΙΔ,l1ρ,1·: l.lω1(ls .-in(lC:.-1.llρ,ΓJ'. Αυ,,οα-,αφορc>.iσJστ/1ματα
(ScH r·cΙC1·cncc s_γslcrns). Το το,) G0<1c1χ:χτ:i
χα•. ό-:ι τελ•.χ:i τα μαΓJημ:χτιχ:i δε,, μ:τοpο(ιν ,,::,::π:ε-
μόνο,, των αχpι,Ξ,ολογtΥ.(;Jν το1)ς Ίαρ,αχ-,ηρι.στ•_χι;,,,
συγχλονω-:ιχό-:εpη συνέ:π:εια χαι την lδ•.α -:Ύjν
χpησψ,ποcησc ο Gδίlρ,} γ~α ,,-:1 α:τοδείξει -:ο
στο αχό-
Γω: τr, Θεώρημα μη-πληρότψας το~ Giίιlfl. Ελλτ,νυ::i1
44. 26 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
ssο,cεΛεο<~sτα ωc
::ο~:όδε:ιξης στα
JΙεταμαθηματ~κά, ή Θεωι,ια Απόδε~ξης
:χvτά -::α ίδια τα μαθημ::ηυ<ά:. Στη σ1ηέχε•.α
-:Υjς Θεωplας Μοντέλων. λr.ό
λογικ~ς. μr.οpοl!σε χανεlς να
με: συνετ:εlς συλλογές αξιωμ:iτων
σvμ11:λΥjpωμα-::ιχο(ις τpfJτ:01Jς
εlνα•. η μελέ-::Υj -::Υjς συντακτικής διαδικασ(ας (syntac·tic·
στην οr.οία κά.r.οιες ::pο-::Χσε~ς (:n:ου ονομά.ζον-:αι Θεωp~:1π-:α)
απ:ό συνε;:είς συλλογές αξ~ωμά-:ων σ-:α 1τλαίσια μ~ας ψοpμα
γλώσσας χα~
λογές :χξιωμ&-::ων.
45. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 27
ένα
μ,-Εω,λείδεc,ο, γεωμε--:p•.,~ν. μfJvo a.ou --:ώp:::ι:
α.,,τιχεί:1,εvο. τη συνολοtlεωpία χα.ι
.ΣccιιιzfJ
Α.νJΙλrJcιχό - λοyιχ(;
Πuσuτιχ6
Δίτψη χλασ~κ~ λογική
χανείς να βρει στο Κεφ. 3 χαι σ--:ο
δεν χα~ δεν
:ι.π:ό μεpιχ& ~ασιχ&
....luναμιzό
Ολισιιzό - δομιχ(;
Ποιο--:-~χό
Πλειότψη μη-χλ:ι.σιχή λογ~κ~.
Το στα--:ιχϊι, --:ο :;ι:v:::ι:λλοί,ω--:ο χαι σταΟεpϊι είναι επ:•.δεχ--:ιχϊι αν&λ:;σης. ~ο
σοτυω'J z::φ:::ι:Χ--:Ύjpισμο(ι X::tt χλασιχi1ς λογιχής επ:εξεpγ:::ι:σί:::ι:ς. λvτίθε--:α --:ο δ1J-
46. 28 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
εlνα•. ένα μη χε:νό σ<,,,ολο.
-:(_ι:J Ω χαΟ,ηί~ύΥ:eι.ς,
-:0 1J Ω αγ~χο·;,, σε ::οιο σύνολο.
ή ;:οιες δομιχές σχέσεις ιχανο;:οιουν.
Σ(,μψ,>',:Χ λοι:π:όν με -:ο αξίωμ::t -:ης ε:χτα-:αό-:Ύjτ::tς -:Ύjς Οε:ωpί::tς συνόλων
. ~ Β αν; (Ιχ)[(χ Ε Λ) "'(χ Ε Β)]
ότ:ου «α,,ν,, είναι συν-:ομογρ:χ?ία -:ου aαν χ::tt μόνον ανη. Η ;:::φα:τ:i,,ω
μέθοδος θα να zαp:::ι:Χ-:Ύjpισ-:εί αvαλ~τ;ιχ~ μέθοδος,
αν6:λ1JσΎj του Ω στα σ-:οιχεία -:0 1J, ε::ιr.λέον
:τ.χ ..
λ ς;: 13 {ο} Α. n 1J= λ αν-:ί του λ ς;: 13 {ο} (i.r)[.r ε Α. =? .ι: ε .LJ]
.--.U Χ= Β U Χ τότε .--.= D.
χ.λτ:. (~ες Κεφ.1).
49. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 31
0.11 Μαθηματικά και Υπολογιστές.
~ ΣΥ."'Ι'ΟJΙ.:JΗ ΤLΤί)Ι'ΙΚΗ ΑλΑ~Ι'01Η.
το 1950
50. 32 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
αv:::ι:11:e;1)σσετα•. η εμτ:οpυ<ή τ:αpαγωγή ~πολογιστώv χα•. e;α1πfJχpovα :::ι:να;-ττ(ισσο
το1J Fonnnl.-ι
51. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 33
.'"-απυ~'. ΧΟL',ωνα' α' .Lα X'L :1 ετ:'1'ι-α-
χοινωνlες ε:ίναι -:εp:iστια. Γι:χ ν':J.. γίνει
εlναL :χνάγχ'J να γίνεL μία
γοϊJμε:νες jjιομ'Jχανιχές ε1ταναστ:iσε:ις .
.... Η ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ llETA ΤΗΝ
ΠΤΧ)'Τ'U RT(}'IU"'.1"''TT(U f"'Π.1"''.1)T.1>U.
τ:ολ(; χόσμο, τ:έp'::Ι.. α:τό το1)ς 1);.ε:p-ε:ιδαο1)ς,
·J.ΛΛV. χv.ι ο .r 1
αναδρομή σ-:ις :τpοη-
μ:i~α τ:ο~, δι)σχολα
52. 34 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
.,,_ΙΙ .Δ..ΚΥΤΕΡΗ DIOIIHXANIKH ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ:
ΙΙ I'IETADIO:[HXA:'IKH ΕΠΟΧΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ί,γ~α-:p6ς)) έχοJ,, ,,:ι. μειώvο,,τα.ι μέ-
ΧΡ'· γ:ι. ε:ξ,α?:χνισ-:ο(;,, τελείως. Το σι)σ-:ημ:χ να ε:ξ,α?:χνισ-:ε:ί,
τη δε έvcι. ε:pγοστάσιυ με εpγ&-:ες
αν-:ίληψη -:ης :τα.p:χγωγf1ς χα.ι με α::οψασιστ~χές
-:Ύjς χοιvω,,ί:ι.ς, Γ)::ι. ε:ί,,:χι μί:χ γ•.γαντ•.αί:χ ανά-
γκη ε:Jτ•.μύpψωσης του σε υa.ολογισ-:ιχ& σ1Jσ-:i1μ:::ι:τ:ι.. Π&ν-:ως οι τελιχές
ε:n:~:ττώσεις χ:χι ο -:·Jr.oς -:ης χοιvω,,ία.ς r.0 1J θα δι:χ:_ιορψωθεί στην ε::οχή της
φαlνετα•. ;:ε:ρωσότεpο
72. a b c
d
e
f
g
54 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1.2 Βασικές Εννοιες από τη Λογική
Σχήμα 1.2.
r.εριέyε~ ονόμ:χτα. f,
,,ε:ι -:'Jζ σχέση γε~-:ονί:χς τω,, ;-:ε:pωχώ,, χαι
83. ~ 1.4 Σύνολα.. 65
ή εντασιαχ:f1 r:pοσέγγιση στην
6:pχισε με τη Ωουλει:i του
Ft'C)'!;Cχαι χοριηϊ/Jηχε με δεν είχε τόση σχέση όση
της αa.οδίδε--:α•. με --:Υ1 <(γεωμετριχf1)) συνολοθεωρί:::ι: το1J c:nntor·
1.4.2 Ορtσμός. (i) λ ς;; Β <=> F Α ::::;--.ι· F Β].
~ηλ:::ι:δ~ το ..-είναι vποσιJνολο το') R αν χ6:Οε στοιχείο τΟ'J Α. είνχι χχι
στυιχεiο ω,'_; Β.
r·~.-τrtπr;ι:: Α = Η q ( 4 ς;: ιη ι (Η ς;: 4)
(ii) AnJJ ,~ {.r ε Ω, (χε .'1) • (., ε JJJ}
(iii) .4 u 1J ,~ {χ ε Ω , (., ε -4) ν (., ε JJ)}
(τομ-!1 συνόλων)
(ένωση συνόλων)
(iv) A._C:= {.ι· Ε Ω: ,ι: ε Α.} (r;·;μ:n:λ~ρωμα του Α. ως r:ρος -:ο Ω).
(ν) -4-Β,~ εΩ, ελ)Λ(χ~Β))~ΑnΒ' (Ωι:tr;,ιοpά. ή σzε-:ιχό
συμ;;λ/1pωμ:t) Y.:tL
(vi) λΔΒ ,~ (-4-Β) U (Β-..1) (συμμε-:ριχή διαψοpά.).
1.4.3 Πρόταση. Αν
Ω, τότε ισχιJοι)ν οι
πvμβολ{ζει το πιί11ολο όλων των vποπvνόλων τοu
ταvτότητες: Για όλα τα Α. R, C Ε ~?(Ω):
(ί) Α. U .4 = Α. Α. nΑ. = Α. (Αuτο8uναμ{α)
(ίί) Α U 1J = 1JU Α., Α. n 1J = 1Jn -4.(Αντψετα&ετιχότητcΥ)
(iii) (AUJJ)Ul ~AU(lJUJ'). (AΠJJ)nl·~An(lJΠl) {llροσπαψ,
στιχ,Jτητα)
(iv) Α n (R u η~ (.4 n R) u (Α n η, , u (R n r) ~ (Α u RJ n (Α u Γ)
(Ηπψεpιστιχότφ:α)
1 '''J.-ι·,~-,- ω'ιϊ.ι.ι,.,'c~ τ1;,ω) -,.,-~,,.,- -,,---,. .ι.ιω c,oιj.-.·.~ ~ιι
of ;ι f--ingl~tolι~I~nt irr;ι: ίΙΙ~ tollf'ttioιιf-. tlιαt Ιιι
84. 66 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
(v) ΛΠίΛUΒ)=.1. .lU(.lnB)=Λ {Λπ:υppόφησr;)
(vi) λuω~..ι. λnΩ~Α ΑuΩ~Ω. Αnω~ω.
(vii) λUΧ ~ 11•..nλ' ~ ω; (..')'~ .4; Ω' ~ω.ω' ~ Ω.
ΑΠΟ.}.f;:ΤΞΤΤ: Οι :.οτοδείξεις είναι ε6χολες, ωστόσο ~α (iY).
'F.σ-:ωχΕ AU(Rnη. Τότε: (.rE Α)/(.Ι'Ε (RΠΓ)). ΧΕ Α
τό--;ε ;-τprηανώς (χ Ε Λ U Β) X::tt (χ Ε .1 U Γ) .ι Ε (Λ U Β) Π (.1 U Γ)
λν -:ο J; Ε (Β n Γ) τότε (.ι· Ε Β) και (.ι· Ε ι Ε (Α.. U Β) χα~
χ ε η (-::σι .r ε (Α. U lJ) n (.4 υ 1'). ~ηλαδ/1 δείΞε~ (;τι:
..!u (Π n ΓΙ ς; (..! u ΠΙ n (.. u ΓΙ
Ascωτot,c;,ωc. έσ-:ω .Ι" ε (A.uR) n (A.u ϊ). -:ό-:ε: -:ο .r ε Α U R) χαι χε (Α U ϊ)
χ Ε 1' θα
(Α U RI n
Ε Β) χα•. (:ι· Ε .1) / (:ι· Ε Γ). Εστω Ε Λ) 1 (χ Ε
Α.. -:ότε ,ι: Ε" Α U (Β n Γ) αν δε .ι· '{/- χ Ε" Β χα~
ό-:ι .r ε 13n 1' χαι εr:ομέ,,ως .r ε Α.. U (13 n Ω'Jλαδ-!1 .
U ς Α U (R n Γ). 'Ετσι
..ι u (Π n Γ) ~ (..! u Π) n (..u Γ).
Ομοίως χ::ιι για την
..!n(ΠuΓ)
Α n(RU rJ~ (.4 n RIU (An r).
ότ~ είναι γνωστό ό-:ι αν φ1 (.ι'). ψ::{ι:) χα~ 'p;,.(,ι:) είναι
[•,1(.,·)Λ ψ2(Λ)] V
V[φ1(xl Λ φ,(Γ)]
,~(χε Ω 1
{Λ ε Ω ι ,,, (χ)) n (χε Ω ι ,,,(,) V ,ψ,))
{.,· Ε Ω [ ,1(,(j Λ [ψ,(χ) V ,;;(xl]}
{., ε Ω Ι [, 1 (.,) ν ψ2 (.,;)] ν [ψ1 (.,;) Λ φ,(χ)])
(.4 n RJu (Α n rJ
...ληλαδf1A.Π(lJU1')=(A.ΠlJ)UlA.n1'). --ιι
85. ~ 1.4 Σύνολα..
άλλα •.ποσι)vολα του Ω.
υ;:οσ1Jνόλων. Έ-:σ~ αν Θεωρήσουμε την
τα αr:ο-:ε:λέσματα (βλ. llpό-::ωη ως
.-.ο~, λέγε:-::χι ά.λγεβpα ':ου Boolc χαι η ωωlα
μη-σ-:οιzε:ιαχfJ τpϊηω fJλα τα υ.-.οσ1)νολα -:ov Ω. λς
1.4.5 Παράδειγμα. Εσ-:ω Α.,Β Ε /Υ(Ω). Αν
ώστε: Α. U Χ = 1JU Χ χαι .4 n Χ = JJ n Χ τό-:ε: Α. =
ως
Α.ΠΟ.}.1':ΤΞΤΤ:
Α An(AU ~An(HuX)
(ΛnB)U
(AnB)U(B
nn(A..uλ)
Rn(RUX)~R
67
ιu χ:.:ι:6υί·,•.χι) oVvuλu
91. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συνα.pτήσε:ως. 73
:χν Γ; = { (α , bι ). (α;. /ι2) · · · (α , lι,,)} i = 1. 2
εί,,:χι -:ο
#μχΒ) #(Γ1 UΓ2 U ··· UΓ,,,)
η+ η + ·· · + rι = ιrι · η
#(..)·#(Β). -il
yινύμενο. δεν έχει υ'Jτε τη σ,'.ψμε:τpιχή. o'J-
Απο..l~ΙΞΙΙ: (lΙε αντι;:αράδειγμα). Έσ-:ω Α = {1}, Β = {1}, Γ = {2}
,όcε 1J χ 1' ,' 1· χ 11 χα, .4 χ 11 ~ {(1,1)} χαc (.4 χ 11) χ 1' ~ {((1.1),2)}
R χ r~ {(Ι.21) χα•. Αχ (R χ r) ~ {(1.(1,2)1) αλλόι. (1, 1) # 1. -il
Στη συνέχε:ι:χ Ο:χ δϊ>σο~ψε: -:ον (ψωμό -:Ύjς έ,,νοι:χς της σzέσης.
1.5. 7 Ορισμός. "Τι:χ διμελής σχέση α~ό το σϊινολο Α στο σ1)νολο R
εlνα•. ένα -:ov .1 χ Β . ...1.Ύjλ::tδi1 R είν::tι
-:ο ..-.σ-:ο D α.,,ν R ς;; Α. χ Β. Γ pάyο·ψε: r;•;,,f1Θως
(ii) Το πεδιο οι,ισμοt) της σχέσης R οpίζε-:::tι ως εξής:
1lon1(R) ,~ {α Ε Α, (ΞJΙ, Ε R)[(α.11) Ε R]}
ωη(Π) ,~ (b Ε Β, (Ξ3α Ε .ί)[(α.b) Ε Π]}
(iii) 11ανsίστρο9η σχέση της Η οplζε:τα~ ως εξής:
π-' ,~((Ι,,ο) ε Β χ .4, (α.Ι,) ε Π)
Γα ε= A)[(rι,b) F Ι{]}
Ωστόσο εδι::Ο Θα ::ιχολο·,fJο,Jμε την χοιν'Υj
92. 74 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
( ίν-) Η ταu-:οτική ή διαγώνιο,:; σχέση επί -:ου Λ οptζετα~ ως εζf1:;:
'itl,1:= {(ιι,ιι) : α Ε Λ } ς; Λ χ ι1
την ταυ-:οτική σχέση εr.l -:01J Α. μ:r~:οpούμε ν::ι: -:y;ν εχypάσουμε και :.1ε -:7:βοήθε~α
του «οέλ-:::ι: -:ου Kroneι:kι-,n δηλ.
{ 1 ~v α = !ι
δ,.1, := l Ο ::,:,; α-/- l)
1.G.8 Παράδειγμα. 'Εσ-:ω Α. - [J - ί(J, 1], τό-:ε ο~ σχέσεις < , > χ::.ι.ι -, έχοvν
τη γεωμετι:ιχfι ::::φάσ:αση του Lχήμα:ος 1.4
,~<Υ >,,
+
χ>Υ
Σχήμα 1.4. Γεωμετpιχ+ι Παράσταση -:ων σχέσεων- <. > χα~=
'Οταν έχο'J!-{Ε μια δ~μελή σχέση ε:ιι:t ενός r.ε:-:ερασμένου συνόλου Χ
{χ 1, x:,i 1 • • • χ-,1 } τό:ε uπάpχε~, ένας (1:ωυδαίος :ρ/ι:ως yp::iηιχής ανα:ταρiσ-:1,η;ς
της σχέσης. Πρv'ι:::ι: τ:αρ~σ:άνουμε τα σημεια του Χ με σημεία :συ ε;ιι:-:έδοΙJ.
Λν μεταξύ των σημείων χ.; Υ.::ιι ισχϊιει η σχέση fl , δηλαδή αν (xi,:ιΛ Ε Π
τό-:ε σχεδι&:ζο·ψε έν::ι: 1'3έλος -:ο χ;. στο Xj . Αν τότε σχεl'>Lάζο·ψε
ένα ~ρόγχο γϊφw α;:ό το ;η ::Ιε τον τρόπο ,::~:υ-:ό χα-::ι:σχε·16:.ζο·ψε ένα προ-
σ:.ινα-:ολισμένο για -:η σχέση R. Αν το γp:Υηημ6:. μας Ωεν έχεL ού-:ε
,:5έλr,, ο(ηε βρόγχους. η ::tντ(στοιχη σχέση λέyε:-:::tι κενή σχέση. "F,τσι :χν
Χ= {χ, , χ2 , χ;~.η} έχουμε:
105. 1.5 Η Εννοια. της Συνα.pτήσε:ως. 87
Το σGvολο των :ι.π:ό -:ο σGvολο •1 στο σ(ιvολο Β Ει:ι. -:ο σvμ-
,3ολίζο1J:1,ε §(Α..,Β) χ:ι.ι με Βλ. δηλαδ·~:
ii'(A. πJ Ξ π4 ,~ υ ι ι, ..ι ~ πJ.
Αξίζει ,,:ι. σημειωθεl ότι αν Α. -1-ω τό-:ε (,}/!.= ~ χα.ι α.·;τό για-:ί δεν
_λ:.-.: ,~ν .. ~Ω:., -·r..::,,._,..ν ,.:
αν Ο = 0 -:ό-:ε: Α. Ω = 1 = χα•.
δι:ι.διχασlες ;-τ:ι.p:ι.γωγi1ς νέων συνόλων-
• 1. Η διαδικασία ή τελε:σ":ής του δυναμοσυνόλου. :?(,)
• 2. Η διαδικασ[α σχηματισμού του και;:":ε:σιανού γινομένου Α. χ R,
δύο αυθαφέτων συνόλων . ι Β, και,
• 3. Η διαδικασία σχηματισμού του εκθετικού συνόλου ΒΑ, δt)ο
συνόλων .--ι D.
Ο αξιωματιχός των φι&5ν αuτών διαδιχασι6)ν. ουσιαστιχά χα9ο
των Συvόλων.
1.5.18 Ορισμός. Έσ-:ω Α. χ Β -:ο δi_'Jo r;•;νόλωv. Τό-:ε
ορίζο:.ψ.ε τις συναρτήσεις προβολές ως εξής:
A.xlJ Α.
(α; b) Jιι (α. b) := α χα~
: Α. χ R -------. R
(ιι,/J) ;;:2(0,lJ):=lJ
108. 90 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
έ:n:ετα~ ότι
Γ1 [11nYJ] ~ Γ1 [ri] nΓ1 [r,'] ~
Ομοίως J[X1 - Χ2];;, J[X1]- .f(X2] καc J[X1 - Χ,] c; f[X,].
1.5.21 Παράδε~γμα. Έσ-:ω f :Α..--------> Β :_ιία r;•;,,-!ιρ-:ηση και Χ ς;; Α.., Υ ς;; Π.
(ί) I[J- 1 [Υ]] ς;; Υ. Το lσον ισχύει ανν Τί f εlνα~ ε::ί.
(ii) f- 1 [f[X]] :2Χ. Το lσον ισχύει ανν Τί f εlνα~ 1-1.
Ασκήσεις. 1. :_fα χ:::ι:τ::ωχευαστο(ιν αν-:ικαρ:::ι:δεlγμα-::::ι:. τ:011 γχ :::ι:τ:οδειχν,)οvν
ότ~ οι ισό-:ητες στ~ς (i) και (ii) εlνα~ δυνα-:όν να μην ιr;χ,~01Jν.
109. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως.
2. (i) λν ..f Ε Β 4 χαι .GΕ c;R χα•. οι .f Υ.:::ι:ι μ εlνα•. 1-1
και εr.ί), -:ό-:ε χα~ η σϊ;νf-Jεr;η g O j" Θ:::ι: εί,,:::ι:ι 1-1 (αν-:ίσ-:οιzα,
91
εa.ί η 1-1
χαι ε:τί).
(ii) Αν η είναι 1-1 -:ό-:ε χα~ η f εlνα~ 1-1 χαι αν η 9 "f ε;:ί -:ό-:ε χα~
η g εί,,:.ιι .lη r;το~χειαχός ορισμός -:ων εννο~ών -:ης αμcρlppι1_;;ης. έvpιψης
χαι ετ:ίpp•.1~ης.
3. (ί) Η Ι: .--i-----+ R είν:::ι:ι 1-1 χαι ετ:ί αν υ:π:άpzε•. .rJ: R-----+ Α, -:έ-:υια ώστε.
Ι C _q= idH Y.Y:L _qο .f = 'ίιl,ι
(ii) :.Ιι:::ι: σ'Jν?φ-:ηση j": Λ ----, Β είναι 1 - 1 :::ι:ν
(iiί) ::Ιια συνάρτηση .f :Α.. ---+ Β εί,,:χι εr.ί αν.
4. λν Ι... ΙΗ εlνα•. οι
(ii) Ι1πΗ=Ι.1·ΙΗ
(iii) Ι,ι, = 1 - Τ.,ι
(ίν) ...tn R = 0 =?" T.-ιuJJ = (ι + r1J
(v) (ιuJJ = Ι.1 + JJJ- Ι,ιπJJ
(vi) l,1 ΔΗ~ (1,4 - ln) 2
.1 χα•. Β -:ϊηε να
5. Λ-Ιε -:η χρ~ση ":O'J συμβολιπ:.ωϊ; nA:= υι f: Α---+ Β} να δειz-:ο·J,,:
(ί) Αν BnC = ω τότε A_flU(~ '""A_fl χ .4.(:όr.01J Α. ,".,Β r;·;μι'3ολlζει ότι 1J:π:ϊφzε~
μεταξ,'; τω,, Α. lJ μία 1 - 1 χαι εr.ί r;J,;:ίρ-:ηπη.
(ii) ) μ.n)(''"" A_flx(:' χαι
(ίίίJ (Α. χ nγ-: "".4.Γ' χ nΓ'
6. Να δcczτci όcc (.f ·ιι) Β ~ f (ιι I Β)
110. 92 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Σχήμα 1.12. Το σύμβολο του α::είρου ~oc», ως μία πεr.ερασ:.ιένη τ,:ι~νtα του
λ'iδl)ίιιs. Ηαρ' 6λο r.ου η -:αινί:χ εlνα~ :::ε:τερασμένr,, το ,ιταξίδι» μπομt να
σ:;νεχίζεται ε:::' ,::Χ;ι;εφο .
1.6 Το Πεπερασμένο και το Άπειρο.
((infinit,ιιnι ,κtu ηοη ιlntuι-.6»
Οι ένvοιε;; -:o•J r.ε:::ερασμένου κα~ του αr.εi_ρου, εlναι θεμελι::αές γι:χ όλα
τα nύγχρονα μ-:χθημα:ικά χαι α7tοτελούν :η μό,;ψη :::ηγ~ :::::φαΜξων χαι δια
φωνιών. Α;; Οεωρ:f1σουμε τη σεφά του J..cil>t1ίz: 1 - t + ~ + t + f.
Παρατηρούμε ότ•. α:τfJ :fιΙ ::φιστερ~ πλευρά: έχουμε μία ά:τειρη σειρ:i ενώ πό
την :iλλη έναν χαθrηισμένο τ.ραyμα:ιχό cψ.θμό. Το ίδιο συμ~αίνει με χάθε
άρρητο :φ:ιγματικό αpιθ:J.ό. Ο:::ως όμως θεωρούμε νόμψη :ην ,Jπαρξη :ων
r.ραγμ,:χ-:ιχών αριθμών r. χαι ~, έτσι θα θεωρο:;σ:ιμε 6τι εlναι νόμιμη η θεώρηση
ως μί:χς -::ελειωμένης
δ•.αχpίvει δύο -::t)πους το uεν δυv6:μει
ά.r.εφο» χ:ιι το ·~τελειωμένο &:r.εφωι, χαt σχεδόν όλη η :χ;::χ:ιι6-
τη-:::ι μέχFι Υ.:tι -::ον (:;-ιnss Υ.:tι -::ους δι:χισθητtχο1';ς ;-:ίστεJ:ιν σ-::ην εν δυνάμει
έννοια του :>:πείρου χ:χι ;τοτέ σ-::"'ιν στ:χτtχfι-ενεστωτ•.χ/1. Ο;τως έχουμε f,δ"'ι αν:χ
ψέpει ο σ1Jμβολισμ6:; Nn = {Ο, 1, 2, · ·} !J:τ:οδηλt)νε:ι ε:νεσ-::ω-::ιχό :iπε:φο, ε:ν<il
ο ,((), 1;2, . ,1, θ:χ μ~οροJσε να σ ;μ;3ολt:ει δ'.Jναμ•χο α~ε:ιρο Ομοtα η yρ:ιψη
1 - _1_-'- _1_-'- _1_-'- · · · = -.".'1 έμ:,εσ,. εη?άζει ένα δuνψ.Υ.6 ά,εφο άθροισμα εν<f,- ;3 ",) . 7 '
~,.Δε-., v.:ά(zε~ ε'ιειΓ::ωη:~6
' Θα t1J"ιJ,βολίζου--lε το σJνολο με Ν ενώ -:ο {υ, 1, 2. · ·}με ω f, με Νο
111. ~ 1.6 Το Πετιεpα.σμένο κα.ι το Άπειρο. 93
1 ,, 'Ί, ~ -ι-,·-,.:,.- 1·: · -·---·- '--,---,---· 'Ji-:σι ·1 ···-- __: .. _
,,εξlσωσψ, στην 01Jσί:::ι: εμκεpιέzει χ:::ι:ι -:ηv ι<εvvοιολογιχi1 εξίσωσΎj>J
Elvα•. φαvεpfJ fJτ•. η ΕιεώpΎjσΎj του Ν ως εvεσ-:ωτιχi1:;: :iκεφης ολfJητ:;ι:ς εμr;η-
και -:ο εvεσ-:ωτιχό 6:::ειpο, συvδέον-:::tι χαι χ:::ι:τ::t-
