Askisi 5 lisi

1. Λύση .
α) Έχουμε ότι για κάθε  x 0,  ισχύει    
 
 
f e x lnx
f e x lnx f x 1 και
lnx f x 1
  

     
  
Θέτω
ω ω
ω ex , x>0 x= και επειδή x>0 έχουμε 0 ω 0
e e
    
οπότε :
       
 
ω
f ex lnx f ω ln f ω lnω lne f ω lnω 1 , ω>0
e
άρα : f x lnx 1 , x>0
 
         
 
 
Οπότε
 
 
 
 
 
f e x lnx f x lnx 1
και και οπότε f x lnx 1 , x>0
lnx f x 1 f x lnx 1
    
  
   
      
β) Για οποιαδήποτε      1 2 1 2x ,x Α 0, με f x f x έχουμε :   
   1 2 1 2 1 2 1 2f x f x lnx 1 lnx 1 lnx lnx x x        
Άρα η f είναι 1-1 στο Α.
Για να βρούμε την 1
f
λύνουμε την f(x)=y ως προς  x A 0,   .
  y 1
f x y lnx 1 y lnx y 1 x e 
        
Εξετάζουμε για ποιες τιμές του y η λύση είναι δεκτή : y 1
x 0 e 0 ισχύει για κάθε y R
   
και επειδή    1 y 1
f x y f y x e 
    τελικά έχουμε :  1 x 1
f x e , x R 
 
γ) i) Έχουμε ότι η       g x ln x f x ln x lnx 1     έχει πεδίο ορισμού το  0, , άρα
για κάθε x>0 ισχύει x lnx 1 0 lnx x 1     
ii) Για την ανίσωση  1
f x x
 έχουμε :
 1 x 1
f x x e x 
   (1)
Αν x 0 τότε η (1) ισχύει .
Αν x 0 τότε x 1
e x x 1 lnx
    που ισχύει ( το δείξαμε στο (γi))
Οπότε η  1 x 1
f x x e x 
   ισχύει για κάθε x R .

2. Δεύτερος τρόπος . Πολύ χρήσιμος όταν δεν μπορώ να βρω τον τύπο της αντίστροφης .
 1
f x x

1 gf
D R και για την g(x)=x έχουμε D R  
Άρα η ανίσωση  1
f x x
 έχει νόημα στο 1 gf
x D D R  
Επίσης ξέρουμε ότι η 1
f
έχει σύνολο τιμών το  fΑ 0,  , άρα  1
f x 0 , x R
  
Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις
Αν x 0 τότε η ανίσωση  1
f x x
 ισχύει ( αφού  1
f x 0 , x R
   ) , άρα κάθε
1x Σ ,0    είναι λύση της ανίσωσης .
Αν x>0 τότε
Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα θα δείξουμε ότι και η 1
f
είναι γνησίως
αύξουσα .
Τότε για οποιαδήποτε  1 2y ,y f A , με 1 2y y έχουμε
         
f
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2y y f f y <f f y f y f y

   
   
Άρα η 1
f
είναι γνησίως αύξουσα στο  f A R .
Οπότε       1 1
f x x f f x f x x lnx 1 lnx x 1 
         ισχύει .
Άρα το σύνολο λύσεων είναι   Σ ,0 0, R    
δ)
3
4 32x
2 x x x | f(x)| lnx
lim
3 x x 1 x
   
   
Επειδή    x x
lim f x lim lnx 1
 
    έχουμε ότι :  f x 0 όταν x +   άρα :
3 3 3
4 4 43 3 32 2 2x x x
3
33 3 2 x
x x x 04 3 32 4 4
2 2
2 x x x | f(x)| lnx 2 x x x lnx 1 lnx 2 x x x 1
lim lim lim
3 x x 1 x 3 x x 1 x 3 x x 1 x
x x 1
x x 2 1
2 x x 1 1 x xxxlim lim
1 1 1 1
3 x 1 x 3 x 1 x
x xx x
  

  
           
  
           
 
    
     
   
         
1
3
3
1
2
3x
4
2
1 1 3
13 2 3
6
1 1x x
43 24 2 12
6
x 1 1
x 2 1
x x
x
lim
1 1 x
x 3 1
x xx
1 1 1
2 11 1
x2 x 1 x
2 0 0 2x x xlim lim
3 1 0 31 1 11 1 3 13 1 x x xx x
x


 
 
 
     
  
  
 
     
 
 
   
   
 
   
 
      
Λέσχη Μαθηματικών Νέας Ορεστιάδας .
Ουντζούδης Δημήτρης .