Dokumen tersebut membahas tentang konsep kongruensi bilangan bulat, yang didefinisikan sebagai dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo m jika sisa bagi m sama. Dibahas pula sifat-sifat kongruensi seperti reflektif, simetris, transitif, serta operasi hitung kongruensi seperti penjumlahan dan perkalian.

1. KONGRUENSI
Bila dua bilangan bulat a dan b dibagi dengan bilangan asli m, mempunyai
sisa yang sama, maka dikatakan :
“a kongruen b modulo m” dan ditulis :
Demikian juga b kongruen a modulo m ditulis :
Jadi jika a≡ b (mod . m) maka berlaku b ≡ a (mod . m).
Misal :
x ≡ 2 (mod . 3) artinya x adalah sebuah bilangan bulat yang jika dibagi 3 bersisa 2.
Bila a dan b bilangan bulat dan m sebuah bilangan asli, maka secara sederhana
dapat diartikan bahwa :
Definisi :
“Dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo m, jika dan hanya jika
m | (a-b)”
Note :
(m | (a-b)) dibaca “ m membagi a-b atau m merupakan faktor dari a-b”.
Contoh :
1. 19 ≡ 7 (mod.6) , sebab 19 : 6 sisa 1
7 : 6 sisa 1
atau 19 – 7 habis dibagi 6.
a ≡ b (mod . m)
b ≡ a (mod . m)

2. 2. 75 ≡ 12 (mod.9) (buktikan!)
3. 37 ≡ 25 (mod.8) (buktikan!)
4. 36 ≡ 20 (mod.6) (buktikan!)
SIFAT RELASI KONGRUENSI
1. Reflektif
a ≡ a (mod.m)
Sebab : a-a = 0, m adalah faktor dari 0.
2. Simetri
a ≡ b (mod.m), maka b ≡ a (mod.m)
Sebab : a ≡ b (mod.m) ― m | a-b
b ≡ a (mod.m) ― m | b-a, sebab b-a = -(a-b).
3. Transitif
Jika a ≡ b (mod. m) dan b ≡ c (mod.m),maka a ≡ c (mod.m)
Bukti :
a ≡ b (mod.m) berarti ada bilangan asli k1 sehingga a-b = k1.m
b ≡ c (mod.m) berarti ada bilangan asli k2 sehingga b-c = k2.m
maka memenuhi
(a-b)+(b-c)= k1.m+ k2.m
⟺ a-c = (k1+k2)m
Karena m merupakan faktor dari a-c, maka :
a ≡ c (mod.m)
Sifat Operasi Hitung Kongruensi
1. Sifat Penjumlahan
a. Jika a ≡ b (mod.m), maka a + c ≡ b + c (mod.m)
Bukti :
Jika a ≡ b (mod.m) maka ada bilangan bulat k sehingga a-b=km
Misal diberikan bilangan asli c, maka

3. 𝑎 − 𝑏 = 𝑘𝑚 ⟺ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑐 = 𝑘𝑚
⟺ (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) = 𝑘𝑚
Maka a + c ≡ b + c (mod.m)
b. Jika a≡b (mod.m) dan c ≡d (mod.m), maka
(a + c) ≡ (b + d) (mod.m)
Bukti :
a ≡b (mod.m) maka ada bilangan bulat k1 sehingga a – b = k1.m
c ≡d (mod.m) maka ada bilangan bulat k2 sehingga c – d = k2.m
a – b = k1.m
c – d = k2.m +
(a + c) – (b + d) = (k1 + k2)m
karena m faktor dari (a + c) – (b + d),maka
(a + c) ≡ (b + d) (mod.m)
c. (a + c) ≡ (b + c) (mod.m),maka a ≡ b (mod.m)
(bukti untuk latihan)
2. Sifat Perkalian
a. Jika a ≡ b (mod.m),maka ac ≡ bc (mod.m)
Bukti : a ≡ b (mod.m),maka m faktor dari a – b. m juga faktor dari (a – b).c =
ac – bc maka ac ≡ bc (mod.m)
b. Jika a ≡ b (mod.m) dan c ≡ d (mod.m), maka ac ≡ bc (mod.m)
(bukti untuk latihan)
c. c.1 Jika ac ≡ bc (mod.m),maka tidak selalu a ≡ b (mod.m)
Contoh : 20 ≡ 14 (mod.6)
10.2 ≡ 7.2 (mod.6)
Tetapi 10≢ 7 (mod.6)
c.2 jika ac ≡ bc (mod.m), c dan m prima relatif, maka a ≡ b (mod.m)
Contoh : 28 ≡ 8 (mod.5)

4. 7.4 ≡ 2.4 (mod.5) . Karena 4 dan 5 prima relative maka
7 ≡ 2 (mod.5)
Contoh soal :
1. Jika 10 ≡ 2 (mod.8),buktikan bahwa :
700 ≡ 28 (mod.8)
Bukti : 10 ≡ 2 (mod.8) − 70 ≡ 14 (mod.8)
10 ≡ 2 (mod.8)
700 ≡ 2 (mod.8)
2. Diketahui : a = 2 dan b = -6
Carilah bilangan positif yang kongruen terhadap (a + b) (mod.7).
Jawab : Misalkan bilangan itu x,maka :
x ≡ (a + b) (mod.7)
x ≡ (2 – 6) (mod.7)
x ≡ –4 (mod.7)
sedangkan 0 ≡ 7 (mod.7), sehingga menurut sifat penjumlahan
x+0 ≡ -4+7 (mod.7)
x ≡ 3(mod.7)
Lakukan hal yang sama, sehingga diperoleh bilangan-bilangan bulat
positif yang kongruen terhadap (a + b) (mod.7) adalah 3,10,17,…
KONGRUENSI LINEAR
Dari sifat perkalian, jika ac≡bc (mod.m) tidak selalu diperoleh a ≡ b
(mod.m).agar sifat itu berlaku, maka c dan m haruslah prima relatif.
Dalil 1: Jika ac≡ bc (mod.m),dan d merupakan faktor persekutuan terbesar (FPB)
dari c dan m, maka diperoleh : a ≡ b (mod.
d
m
).
Bukti: Jika ac ≡ bc (mod.m),maka ac – bc = (a – b).c merupakan kelipatan m.

5. d
m
adalah faktor dari m, sedang m faktor dari (a – b).c, maka
d
m
adalah
faktor dari (a – b).c.
d adalah FPB dari c dan m, maka FPB dari
d
m
dan c adalah 1. Jadi
d
m
adalah faktor dari (a – b). Sehingga a Ξ b (mod.
d
m
).
Contoh :
1. Sederhanakan 30 ≡ 48 (mod.9)
Jawab : 30 ≡ 48 (mod.9)
5.6 ≡ 8.6 ; FPB (6,9) = 3
Jadi 5 ≡ 8 (mod.3)
2. Sederhanakan 60 ≡ 84 (mod.24)
Jawab : 60 ≡ 84 (mod.24)
5.12 ≡ 7.12 (mod.24) ; FPB (12,24) = 12
Jadi 5 ≡ 7 (mod.2)
Kelas Residu Modula m
Jika bilangan bulat dibagi 3,maka sisanya adalah 0,1 dan 2. Bilangan ini telah
dibagi menjadi 3 kelas yang berbeda, dikatakan bahwa himpunan bilangan bulat itu
telah dipisahkan menjadi 3 set bilangan yang disebut “kelas residu modula m”.
Jadi kelas – kelas residu modula 3 ialah :
1. [0] = {…,-9,-6,-3,0,3,6,9,…}
2. [1] = {…,-8,-5,-2,1,4,7,10,…}
3. [2] = {…,-7,-4,-1,2,5,8,11,…}
Pada umumnya bilangan- bilangan yang terletak pada kelas residu yang
sama adalah kongruen,sedangkan yang terletak pada kelas residu berbeda tidak
kongruen.
Dalil II : “Kongruensi linear ax ≡ b (mod.m), mempunyai penyelesaian jika dan
hanya jika FPB dari a dan m merupakan faktor dari b”.

6. Jika kongruensi itu mempunyai penyelesaian, maka banyaknya penyelesaian sama
dengan FPB (a,m).
Contoh :
1. Selesaikan : 4x ≡ 5 (mod.6)
Jawab : FPB (4,6) = 2, dan 2 bukan faktor dari 5.
Jadi 4x ≡ 5 (mod.6) tidak mempunyai penyelesaian.
2. Selesaikan 4x ≡ 10 (mod.6)
Jawab : FPB (4,6) = 2, dan 2 merupakan faktor dari 10, maka kongruensi
tersebut mempunyai penyelesaian.
4x ≡ 10 (mod.6)
2.2x ≡ 2.5 (mod.6)
2x ≡ 5 (mod.3) ; sebab FPB (2,6) = 2
maka 2x – 5 = 3k
atau 2x = 3k + 5
diperoleh : x = 1, untuk k = -1
x = 4, untuk k = 1
SOAL LATIHAN
1. Selidikilah apakah pernyataan ini benar atau tidak :
a. 89 ≡ 25 (mod.4) c. 237 ≡ 159 (mod.7)
b. 153 ≡ –7 (mod.8) d. 431 ≡ 89 (mod.9)
2. Buktikan : Jika a ≡ b (mod.m) dan c ≡ d (mod.m), maka
(a – c) ≡ (b – d) (mod.m)
3. Tentukan nilai x yang memenuhi relasi kongruensi berikut : :
a. 12x ≡ 20 (mod.9)
b. 33x ≡ 45 (mod.5)
c. 5x ≡ 4 (mod.7)